Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ.
§1. Функция. Основные понятия.
Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определения функции, - множеством (или областью) значений функции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .
Функция называется чётной на множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.
Функция называется периодической на множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.
Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .
Функция называется ограниченной на множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.
Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому
ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).
Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .
4.1 В треугольнике сторона см, сторона см и угол Выразить и площадь как функции переменной
4.2 Найти выражение для площади равнобочной трапеции с основаниями и как функции угла при основании
4.3 В шар радиуса R вписан цилиндр. Написать выражение для объема V цилиндра от его высоты Н. Найти область определения этой функции.
4.4 В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Написать выражение для площади боковой поверхности S конуса: а) от его образующей l; б) от угла при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла при основании конуса. Найти области определения каждой из полученных функций.
4.5 Определить функцию удовлетворяющую заданному условию: а);
б) ; в)
В задачах 4.6-4.12 найти область определения функций:
4.6 а); б);
в); г).
4.7 а); б);
в); г).
4.8 а); б) .
4.9 а); б).
4.10 а); б).
4.11 а); б) .
4.12 а); б) .
В задачах 4.13-4.21, выяснить какие из указанных функций четные, какие нечетные, а какие ни четные, ни нечетные.
4.13 . 4.14 . 4.15
4.16. 4.17 .
4.18. 4.19 .
4.20 . 4.21 .
В задачах 4.22-4.30 выяснить, какие из функций являются периодическими, и определить их наименьший период Т:
4.22 4.23 4.24
4.25 4.26
4.27 4.28
4.29 4.30
В задачах 4.31-4.34 доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:
4.31 4.32.
4.334.34.
В задачах 4.35-4.38 доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:
4.35 4.36
4.37 . 4.38.
В задачах 4.39-4.46 найти обратную функцию и её область определения:
4.39 4.40 4.41 4.42
4.43 4.44 , а); б)
4.45 если: а) б) .
4.46 если: а) ; б) .
В задачах 4.47-4.51 найти композиции функций:
4.47 4.48
4.49 4.50
4.51 , .
4.52 Найти .
4.53 Найти .
4.54 Функция определена при Найти области определения функций:
а) ; б); в) ; г).
§2. Графики элементарных функций.
Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция (, ), логарифмическая функция (, ), тригонометрические функции ,,,, обратные тригонометрические функции ,,,.
Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций. Функции, , , называются, соответственно, гиперболическими: синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом.
Если задан график функции , , то построение графика функции сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие или растяжение, отображение) графика :
1) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 2) преобразование симметрично отображает график , относительно оси ; 3) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вправо, - влево); 4) преобразование сдвигает график по оси на единиц (- вверх, - вниз); 5) преобразование график вдоль оси растягивает в раз, если или сжимает в раз, если ; 6) преобразование график вдоль оси сжимает в раз, если или растягивает в раз, если .
Последовательность преобразований при построении графика функции можно представить символически в виде:
.
Примечание. При выполнении преобразования следует иметь в виду, что величина сдвига вдоль оси определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу , а не к аргументу .
Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если . Графиком дробно-линейной функции является гипербола с центром в точке , асимптоты которой проходят через центр, параллельно осям координат.
В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них. Например, при построении графика функции, в аналитическое выражение которой входит функция , следует выделить и рассмотреть отдельно промежутки, на которых выражение под знаком модуля не меняет знак.
График функции можно построить, предварительно построив графики функций и , а затем сложив их ординаты при одинаковых значениях .
В задачах 4.55-4.59 построить графики элементарных функций:
4.55 a); б); в); г).
4.56 a); б);
в)
4.57 а); б);
в)
4.58 а) ; б) ; в) .
4.59 а); б); в).
4.60 Построить графики следующих элементарных функций, используя правило построения графика функции по графику :
а) , , , , ;
б) , , , ,
;
в) , , , ,
.
г) , , , ,
.
В задачах 4.61-4.64 построить графики дробно-линейных функций:
4.61 . 4.62 .
4.63 . 4.64 .
В задачах 4.65-4.81 построить графики следующих функций:
4.65. 4.66 . 4.67 .
4.68 4.69. 4.70.
4.71. 4.72. 4.73.
4.74 4.75 4.76.
4.77 4.78 4.79
4.80 4.81
В задачах 4.82-4.84 с помощью графического сложения построить графики следующих функций:
4.82 . 4.83 .
4.84
§ 3 Предел числовой последовательности и функции
Если каждому натуральному числу по некоторому правилу поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Кратко обозначают . Число называется общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.
Число называется пределом последовательности , и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .
Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется бесконечно малой, если . Последовательность называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .
Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Рассматривают также односторонние пределы функций: , , , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.
Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):
1) Если - постоянная величина, то .
2) Если существуют конечные пределы , , то:
а) ; б) ;
в) ; г) , если .
При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .
Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .
Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :
1) Если, то,если, то
2) Если и , то .
3) Если и , то .
4) Если и , то .
5) Если и , то .
6) Если и , то .
Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.
В задачах 4.85-4.88 , используя определение предела, доказать, что и найти номер такой, что для всех :
4.85 , .
4.86 , .
4.87 , .
4.88 , .
В задачах 4.89-4.111 найти пределы последовательностей:
4.89 4.90 4.91
4.92. 4.93. 4.94.
4.95. 4.96.
4.97. 4.98.
4.99. 4.100.
4.101. 4.102. 4.103.
4.104. 4.105.
4.106. 4.107.
4.108.
4.109. 4.110.
4.111.
В задачах 4.112-4.113 пользуясь только определением предела функции доказать, что и заполнить таблицу:
|
0.1 |
0.01 |
0.001 |
|
4.112 а) ; б).
4.113 а) ; б).
В задачах 4.114-4.132 вычислить пределы рациональных выражений:
4.114. 4.115.
4.116. 4.117.
4.118. 4.119
4.120 4.121
4.122. 4.123.
4.124 4.125
4.126 4.127.
4.128. 4.129 .
4.130. 4.131.
4.132.
В задачах 4.133-4.149 вычислить пределы иррациональных выражений:
4.133. 4.134
4.135 4.136.
4.137 . 4.138.
4.139 . 4.140 .
4.141. 4.142.
4.143. 4.144.
4.145. 4.146 . 4.147. 4.148.
4.149.
Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:
, , .
В задачах 4.150-4.170, используя 1-ый замечательный предел, вычислить пределы:
4.150 4.151. 4.152. 4.153. 4.154. 4.155.
4.156. 4.157.
4.158. 4.159.
4.160. 4.161
4.162. 4.163 .
4.164. 4.165.
4.166.. 4.167..
4.168. 4.169.
4.170.
Вторым замечательным пределом называются пределы:
,
где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .
При нахождении пределов следует иметь в виду:
1) Если ,, то .
2) Если ,, то вычисляют, учитывая, что: , .
4.171 Доказать пределы:
а); б); в)
В задачах 4.172-4.174 вычислить пределы:
4.172. 4.173. 4.174.
В задачах 4.175-4.204, используя 2-oй замечательный предел, а также результаты задачи 4.171, вычислить пределы:
4.175 . 4.176 .
4.177 . 4.178 .
4.179 . 4.180.
4.181. 4.182.
4.183. 4.184.
4.185. 4.186.
4.187. 4.188.
4.189. 4.190.
4.191. 4.192
4.193. 4.194.
4.195. 4.196.
4.197. 4.198.
4.199 . 4.200.
4.201. 4.202.
4.203. 4.204.
Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, и пишут ~, если .
Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~, ~ при , то:
;
|
Основные эквивалентности при |
|||
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
~ |
В задачах 4.205-4.222 вычислить пределы с помощью принципа замены эквивалентных бесконечно малых функций:
4.205.. 4.206.
4.207. 4.208.
4.209. 4.210.
4.211. 4.212.
4.213. 4.214.
4.215. 4.216.
4.217. 4.218.
4.219. 4.220.
4.221. 4.222.
4.223 Доказать, что при
а) б) в)
г) д) .
Если , , и при этом существует действительное число такое, что , то называется бесконечно малой функцией порядка относительно .
В задачах 4.224-4.235 определить порядок малости от-носительно
4.224 4.225
4.226 4.227
4.228 4.229
4.230 4.231
4.232 4.233
4.234 4.235
Если , , или и при этом существует действительное число такое, что , (), то называется бесконечно большой функцией порядка относительно .
В задачах 4.236-4.241 определить порядок роста бесконечно большой функции относительно при :
4.236 4.237
4.238 4.239
4.240 4.241
В задачах 4.242-4.247 найти односторонние пределы:
4.242. 4.243.
4.244. 4.245.
4.246. 4.247.
§ 4. Непрерывность функций.
Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки (левой полуокрестности, правой полуокрестности) и (, ), то функция называется непрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).
Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения и непрерывна слева (справа) в крайней правой (крайней левой) точке области определения.
Если в точке , то называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:
1) Если , то называется точкой устранимого разрыва функции .
2) Если в точке функция имеет конечные односторонние пределы и , но они не равны друг другу, то называется точкой разрыва 1-ого рода.
3) В остальных случаях называется точкой разрыва 2-ого рода .
Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа, в точке - непрерывна слева). Функция непрерывная на отрезке обладает свойствами: 1) ограничена на ; 2) достигает на отрезке своего наименьшего значения и наибольшего значения ; 3) для любого числа , заключённого между числами и , всегда найдётся точка такая, что ; 4) если , то всегда найдётся точка такая, что .
В задачах 4.248-4.251 установить при каком выборе параметров, входящих в выражение функции, функция будет непрерывной.
4.248 4.249
4.250 4.251
В задачах 4.252-4.269 определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек.
4.252 4.253
4.254 4.255 4.256 . 4.257 4.258 4.259
4.260 4.261
4.262 4.263
4.264 4.265
4.266 4.267
4.268 4.269
4.270 Имеет ли корень уравнение
4.271 Имеет ли уравнение корни, принадлежащие отрезку
4.272 Дана функция на отрезке Существует ли на этом отрезке точка, в которой
4.273 Принимает ли функция значение внутри отрезка
4.274 Доказать, что функция разрывна в точке и, тем не менее, принимает на как наибольшее, так и наименьшее значения.
§ 5. Комплексные числа.
Комплексным числом называется число вида , где ,-действительные числа, символ - мнимая единица, для которой . Число - называется действительной частью комплексного числа , число - мнимой частью. Множество всех комплексных чисел обозначается .
Комплексное число изображается на плоскости с системой координат (называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой и имеющей координаты .
Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки . Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: , а угол его с осью называется аргументом комплексного числа: , .
Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле: .
Комплексно-сопряжённым числу называется число .
Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, выражением - тригонометрической формой и выражением - его показательной формой.
Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :
;
.
Деление комплексных чисел выполняют по формуле: .
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме выполняют по формулам:
;
.
Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме выполняют по формулам:; .
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняют, используя формулу Муавра: .
Извлечение корня -ой степени из комплексного числа (не равного нулю) выполняют по формуле:
,
(здесь - действительное положительное число). Корень степени из комплексного числа имеет различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса .
Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида: , где , - некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём .
Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число , для которого называется корнем многочлена или уравнения.
Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на , т.е. когда представляется в виде: , где - многочлен степени .
Число называется корнем кратности многочлена , если , где .
Для многочленов имеет место следующая теорема:
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность .
Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных (с действительными коэффициентами) множителей.
Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение только линейных множителей: , где корни и многочлена находятся по формулам:
1) если , то - действительные;
2) если , то - комплексно-сопряжённые.
4.275. Изобразить на комплексной плоскости числа:
а)
;
б)
В задачах 4.276- 4.279 выполнить указанные действия, представив результат в алгебраической форме:
4.276 а); б); в).
4.277 а); б); в).
4.278
а) ; б); в).
4.279
а); б); в).
В задачах 4.280- 4.283 представить в тригонометрической форме комплексные числа, заданные в алгебраической форме:
4.280 а) ; б) ; в) .
4.281 а) ; б) ; в) .
4.282 а) ; б) ; в) .
4.283
а) ; б) ; в) .
4.284 Вычислить:
а) ;
б)
В задачах 4.285-4.286 представить в показательной форме следующие комплексные числа:
4.285 а) ; б); в).
4.286 а) ; б); в)
4.287 Данные числа представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:
а) ;
б)
В задачах 4.288-4.289 используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
4.288 а) ; б) ; в) .
4.289 а) ; б) ; в).
4.290 Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
В задачах 4.291-4.293 найти все значения корней:
4.291 а) ; б); в).
4.292 а) ; б); в).
4.293 а) ; б); в).
В задачах 4.294-4.296 найти все корни следующих алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел:
4.294 а); б); в).
4.295 а); б); в).
4.296 а); б); в).
ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
§ 1. Производная.
Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется выражение .
Производной 1-ого порядка функции в точке называется конечный предел .
Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.
Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке естественной области определения функции , в которой аналитическое выражение её производной имеет смысл. Производная , рассматриваемая на множестве тех точек , где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется также дифференцированием функции .
Основные правила дифференцирования элементарных функций.
1. Если и дифференцируемые функции, - постоянная, то:
|
, |
|
|
, |
2. Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и имеет производную: или кратко ..
PAGE 91