Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
11. ОПТИМИЗАЦИЯ РАЗВИТИЯ ГЕНЕРИРУЮЩИХ МОЩНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
11.1. Сущность имитационного подхода. Блоки имитационной
модели
При использовании оптимизационных методов для решения задач развития энергосистем возникают значительные трудности, которые заключаются в следующем.
Неопределенность исходной информации. Применение методов теории принятия решений лишь частично снимает эту проблему, так как их трудоемкость многократно возрастает при увеличении числа параметров, характеризующихся неопределенностью.
Многокритериальность задачи (неопределенность цели). Для электроэнергетики, кроме того, следует учитывать возможность несовпадения целей системы и подсистем.
Невозможность строгой формализации цели и системы ограничений и связей.
Динамический характер изменения структуры электроэнергетики и ее взаимосвязей с внешней средой.
Одним из перспективных направлений является бурно развивающийся в последние годы имитационный подход, который можно рассматривать как методологию изучения больших систем, являющуюся одной из разновидностей системного подхода.
Одной из характерных черт имитационного подхода является применение имитационного моделирования (ИМ). По Р. Шеннону ИМ — это процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью понять поведение системы либо оценить различные стратегии, обеспечивающие функционирование этой системы. Более короткое определение дает Т. Нейлор, определяя ИМ как экспериментирование с моделью во времени. Таким образом, сложность описания реальной системы заставляет отказаться от применения формальных методов решения типа математического программирования. Принятие решений облегчается конструированием и многократным «прогоном» имитационных моделей.
Для решения задачи с применением имитационного подхода характерны следующие этапы.
Формулировка задачи. Сюда относятся определение целей, установление характера их взаимного соответствия и способов представления. Определение состава независимых и управляющих параметров, связей между переменными. Использование экспертной информации. Агрегирование информации (выделение уровней описания и блоков параметров) и составление структурного представления и функционального описания системы.
Сбор и обработка данных с реальной системы. Выполняется наблюдение за объектом моделирования, измерение его параметров, выявление диапазонов варьирования, выяснение механизма функционирования и свойств моделируемой системы. Для этих целей на данном этапе возможно широкое применение пассивного эксперимента. Значительная часть полученной информации носит статистический характер и анализируется с целью выяснения законов и функций распределения параметров. Для обработки исходной информации могут быть применены методы корреляционного, регрессионного, факторного анализа и др.
Формирование модели. На основе полученных представлений осуществляется формализация связей между параметрами. При этом стремятся к разработке возможно более простых моделей. Разработка моделей облегчается использованием теории подобия, составлением сценариев явления. Выдвигаются предложения о способах и приемах моделирования (методы Монте-Карло, геометрического моделирования, планирования факторного эксперимента и т. д.).
Прогон модели. Прогон модели означает реализацию одного из возможных путей развития системы на модели с целью предварительной оценки пригодности модели. Выполняется верификация, т. е. сравнение результатов моделирования с результатами функционирования реального объекта, оценка чувствительности и устойчивости модели.
Подготовка к экспериментированию с моделью. На данном этапе может быть эффективно планирование эксперимента, применение шагового подхода (последовательного анализа) к планированию и анализу имитационных экспериментов. Намечаются необходимые объемы выборок и разрабатываются способы оценки статистической надежности результатов.
Экспериментирование. В процессе осуществления имитационного эксперимента обрабатываются его результаты, определяются параметры модели, выполняется оценка ее адекватности, точности. При этом применяются обучающие и контрольные выборки, обработка ведется на основе применения критериев согласия. Выявляются недостатки модели и осуществляется в диалоговом режиме ее совершенствование. Главная цель на данном этапе, как правило, заключается в достижении функционального подобия модели и оригинала. Здесь может быть эффективно планирование экстремальных экспериментов.
Эксплуатация имитационной модели. Полученная имитационная модель может использоваться как фрагмент при решении сложных оптимизационных задач развития.
Указанные этапы являются наиболее характерными в имитационном подходе, но в конкретных задачах они или их содержание могут изменяться. Однако в любом случае к имитационному моделированию предъявляется ряд требований, в том числе: полнота решения главных задач; гарантия от абсурдных выводов (последнее обычно связано с трудностями моделирования редких событий); простота и удобство работы для пользователя; адаптивность, возможность совершенствования.
Имитационный подход перспективен в плохо формализуемых задачах, в которых система представляется в виде «черного ящика» с известными входами и выходами, но с неизвестным (или плохо известным) механизмом взаимосвязи между входными и выходными параметрами. Поэтому для имитационного подхода характерны:
- итеративный характер моделирования и сопоставления получаемых результатов с процессами, происходящими в реальной системе;
- использование статистических методов моделирования и обработки информации;
- имитационный подход опирается на три источника информации: эксперимент, моделирование и экспертизу.
Решение задачи оптимизации развития и размещения генерирующих мощностей может быть выполнено на основе имитационного подхода. Сложность задачи не позволяет получить ее прямое аналитическое решение, поэтому оно осуществляется итерационно-поэтапным способом на основе комплекса экономико-статистических моделей. Совокупность моделей может быть представлена в виде следующих четырех взаимосвязанных блоков: выявление внешних условий развития ЭЭС и степени агрегирования исходной информации; моделирование размещения и экономических характеристик электростанций; моделирование экономических характеристик электрических сетей; моделирование приведенных затрат по развитию и распределению генерирующей мощности ЭЭС и оптимизация развития и размещения электрических станций.
В первом блоке формируются внешние связи моделей развития генерирующих мощностей с ТЭК страны и природной средой. Особенностью учета связи с ТЭК является высокая степень агрегирования информации и наличие зон неопределенности.
Внешние условия развития определяются следующими показателями: прогнозные характеристики электро- и теплопотребления, режимы электропотребления, балансы производства и потребления электроэнергии для энергосистем; состав и размещение топливных баз и размеры топливопотребления для электростанций; варианты структуры энергогенерирующих мощностей.
Таким образом, характерной особенностью данной задачи является установление целесообразной степени агрегирования показателей развития электроэнергетических систем и реализация способов учета неопределенности условий развития. Учет неопределенности условий развития осуществляется путем формирования и анализа ситуационной матрицы условий развития энергосистем. Вследствие большой размерности ситуационной матрицы целесообразно группировать исходные ситуации по некоторым результирующим признакам, например, потребности в суммарной генерирующей мощности.
Во втором блоке формируются модели технико-экономических характеристик электростанций, прежде всего конденсационных и атомных электростанций. Специфику данного блока составляет учет особенностей сооружения электростанций на уровне пунктов размещения. Капиталовложения в электростанций рассматривают как функцию многих (нескольких десятков) параметров, характеризующих условия местоположения электростанции. Формирование экономических показателей их сооружения во многом определяется региональными и местными условиями сооружения, характеризующимися информационными параметрами, образующими второй и третий информационные уровни. Многочисленность параметров (несколько десятков) и случайный характер взаимосвязей заставляет применить специальные методы конструирования математических моделей экономических характеристик электростанций.
Третий блок образуют модели экономических характеристик электрических сетей. Учет развития электрической сети, осложняется тем, что на столь дальнюю перспективу невозможны достоверные прогнозы нагрузок отдельных узлов, а значит, не может ставиться задача разработки конкретных вариантов развития электрической сети. Задача оптимизации развития электрической сети относится к более низкому уровню временной иерархии — среднесрочному планированию.
В то же время, учет электрической сети обязателен при решении задачи размещения генерирующих мощностей, так как оптимальность местоположения электрической станции во многом определяется сравнительной стоимостью транспортировки топлива и электроэнергии. Отмеченные трудности, связанные с высокой степенью неопределенности исходной информации, требуют построения имитационных моделей электросетевого блока, основанных на использовании методов планирования активного эксперимента.
В четвертом блоке на основе объединения моделей, полученных в предыдущих блоках, формируется общая модель приведенных затрат по развитию генерирующих мощностей КЭС:
(157)
Здесь — установленные в узле с номером е мощности электрических станций типа j , работающие на топливе i и вводимые на этапе h; —потребности в мощности в агрегированном районе е на этапе h .
Сложность функционала (157) заставляет применять для его определения методы имитационного подхода. Одновременно с формированием модели целесообразно осуществлять оптимизацию размещения и мощности электростанций. При этом следует учитывать ограничения, диктуемые инженерно-строительными и экологическими факторами. Процесс оптимизации является развитием имитационного подхода, а его особенностью является применение методов планирования экстремальных экспериментов.
При использовании методов планирования экстремальных экспериментов выступают в качестве факторов эксперимента, а в качестве функции отклика. Число факторов эксперимента определяется размерностью решаемой задачи – возможным числом мест размещения электростанций.
Рассмотрение реального количества площадок, в которых возможно сооружение электростанций, практически невозможно в связи с большой размерностью (кадастр площадок содержит более сотни наименований). В этих условиях выполняется предварительная группировка площадок с использованием методов таксономии. При решении реальной задачи группировки площадок по условиям сооружения электростанций рассматривалась совокупность из 99 площадок. В результате проведения таксономии выделено 12 таксонов с относительно однородными условиями сооружения электростанций.
В качестве общей модели приведенных затрат по развитию генерирующих мощностей КЭС построена линейная модель, поэтому факторы эксперимента могут варьироваться на двух уровнях.
В качестве диапазонов варьирования — сооружаемых в таксоне с номером е мощности электрических станций типа КЭС рассматриваются значения в диапазоне от 0 до 6 ГВт.
Полный факторный эксперимент при 12 факторах, варьируемых на двух уровнях, включает планов и не может быть практически осуществлен в связи с большой размерностью задачи. Поэтому был проведен дробный факторный эксперимент , содержащий 128 планов.
Оценка функции отклика при проведении эксперимента выполнена по отдельно построенным моделям составляющих затрат
(158)
где - модели приведенных затрат по сооружению электростанций, затрат на топливо и электросетевых затрат.
Полученное решение на базе имитационной модели может быть уточнено с использованием метода динамического программирования.
11.2. Районирование территории по условиям сооружения электростанций
Анализ условий сооружения электростанций, выявление и резервирование территорий для их сооружения представляет собой первый этап решения задачи оптимального размещения электростанций.
Трудности, сопровождающие задачу размещения, определяются обилием факторов, влияющих на экономическую оценку сооружения электростанций. В рассмотренных выше моделях определения структуры генерирующих мощностей и их размещение использовалась лишь энерго-экономическая информация: число и единичная мощность блоков, вид топлива, вид системы техводоснабжения. Этот вид информации, несомненно, присутствует на всех стадиях анализа, но он образует лишь начальный, первый информационный уровень. Более глубокий анализ показывает, что условия размещения электростанций определяются как связями ЭЭС с другими системами народного хозяйства (транспортом, строительством, сельским хозяйством), так и ее влиянием на окружающую среду.
Совокупность этих параметров можно назвать инженерно-географической, так как она определяет как народнохозяйственные связи, так и связи с окружающей средой. Совокупность инженерно-географических параметров целесообразно разбить на несколько блоков по смысловому признаку:
Экономико-географический блок. В него входят параметры, характеризующие население, транспортные связи, характеристики электропотребления, замыкающие затраты на топливо и пр.
Физико-географический блок. К нему относятся параметры, определяющие рельеф местности, климатические условия. Например, удельный вес сильно пересеченной местности, средняя температура наиболее холодного месяца, продолжительность отопительного периода и пр.
Гидрологический блок. Параметры этого блока определяют условия техводоснабжения электрической станции, такие как модуль стока, испарение с поверхности воды, экономическая оценка воды и т. д.
Биогеографический блок. К нему относятся параметры, характеризующие земляные ресурсы и санитарные условия в районе сооружения электрической станции. Например, экономическая оценка пашни, глубина промерзания грунта, относительная влажность воздуха и т. д.
Инженерно-строительный блок. Включает в себя параметры, относящиеся к условиям строительства электростанции. Это, например, удельный объем строительно-монтажных работ, стоимость земляных работ и др.
На первом этапе выявления условий сооружения электростанций достаточно находить усредненные значения параметров для сравнительно крупных районов (соизмеримых с административными областями). Совокупность таких региональных параметров образует второй информационный уровень.
На следующем этапе область решений сужается за счет перехода от районов к пунктам сооружения электростанций. При этом привлекаются новые параметры, характеризующие условия сооружения электростанций в пунктах и уточняются ранее усредненные параметры, которые характеризовали районы. Эти локальные параметры образуют третий информационный уровень.
Особенностью второго и третьего информационных уровней является значительное количество входящих в них параметров.
При анализе региональных условий сооружения электростанций приходится исследовать огромное количество параметров (второй информационный уровень включает около 80—100 параметров), характеризующих условия сооружения электростанций и выявлять синтетические показатели районов возможного сооружения, позволяющие установить сходство и различие районов по условиям строительства станций. Так возникает задача дифференциации территории страны или ее крупных регионов по всей совокупности инженерно-географических параметров и по отдельным блокам этой совокупности. Представляет также интерес дифференциация (районирование) территории и по другим показателям, например, по экономическим условиям. Существо дифференциации территории по любому блоку или группе параметров заключается в выделении районов (называемых таксонами), внутри которых условия сооружения объектов практически не различаются.
Для дифференциации (районирования) территории целесообразно применять статистические методы таксономии.
Таксономия — объединение наблюдений, рассматриваемых как точки пространства параметров, в группы (таксоны), внутри которых существует сходство между наблюдениями в противовес заметному отличию между различными таксонами, точнее между наблюдениями, входящими в разные таксоны.
Существующие процедуры таксономии можно условно разбить на параллельные и последовательные: параллельные процедуры, которые реализуются с помощью итерационных алгоритмов, где на каждом шаге рассматриваются все объекты; последовательные процедуры, отличающиеся от параллельных тем, что на каждом шаге используется лишь часть совокупности. Одной из разновидностей последовательных процедур являются иерархические процедуры, основу которых составляют алгоритмы пошагового объединения объектов в таксоны.
Для задач таксономии условий сооружения электрических станций наиболее подходящими являются алгоритмы иерархических процедур, дающие наглядную интерпретацию результатов.
Рассмотрим алгоритм пошаговой группировки N объектов, каждый из которых характеризуется совокупностью параметров , в таксоны. На каждом шаге решается вопрос, какой очередной объект (или таксон) должен быть присоединен к одному из уже выделенных таксонов. Решение зависит от степени близости рассматриваемого объекта к таксону, точнее, к его центру тяжести. Под центром тяжести таксона понимается средневзвешенное положение в пространстве параметров всех объектов, входящих в таксон. Взвешивание производят по весам, которые придаются параметрам. Если рассматриваются нормированные параметры, то центр тяжести таксона совпадает с геометрическим центром всех объектов , входящих в таксон i и координата j его центра определяется по формуле
(159)
здесь — количество наблюдений, входящих в таксон i.
К началу первого шага исходная совокупность представляется в виде N таксонов, состоящих каждый из одного наблюдения.
Наиболее общим критерием качества разбивки исходной совокупности объектов на таксоны следует считать отношение межгрупповой дисперсии совокупности объектов к максимальной из дисперсий объектов, входящих в таксоны
(160)
Здесь — оценка межгрупповой дисперсии таксонов; — оценка максимальной внутригрупповой дисперсии объектов, входящих в таксон i ( имеет число степеней свободы , имеет число степеней свободы ). Оценки дисперсий вычисляются как обычно, при этом значения параметров в центре тяжести таксона рассматриваются как оценка математического ожидания параметров рассматриваемого таксона. Если принять гипотезу нормального распределения объектов и характеризующих их параметров, то W имеет распределение Фишера. Сравнение значения W с табличным значением F-распределения дает критерий остановки процесса разбиения. Использование максимальной внутригрупповой дисперсии объектов, входящих в таксон позволяет уменьшить число расчетов, так как положительный результат проверки качества разбиения для таксона с гарантирует качественное объединение в остальные таксоны.
Поясним изложенный алгоритм на простом примере. Пусть имеется совокупность из шести наблюдений, представленная в пространстве двух параметров (рисунок 29,а). Результаты анализа качества объединения в таксоны по шагам приведены в таблице 20.
Анализ качества объединения в таксоны
|
Номер шага |
Число таксонов |
W |
|||||
|
1 |
5 |
1,714 |
4 |
0,225 |
1 |
7,62 |
224,6 |
|
2 |
4 |
2,212 |
3 |
0,237 |
2 |
9,33 |
19,16 |
|
3 |
3 |
3,029 |
2 |
0,351 |
3 |
8,63 |
9,55 |
|
4 |
2 |
5,448 |
1 |
0,415 |
4 |
13,13 |
7,72 |
Процесс последовательного объединения наблюдений в таксоны показан на рисунке 30 в виде дерева. Расчет показывает, что разделение совокупности на два таксона приводит к статистически значимой группировке наблюдений. Иначе говоря, группировка наблюдений в два таксона является неслучайной, так как межгрупповая дисперсия значительно больше внутригрупповой. Результат таксономии показан на рисунке 29,б.
С применением изложенного метода было выполнено районирование территории областей и районов России по инженерно-географическим условиям. Рассматривалось 38 параметров второго информационного уровня. В результате проведения таксономии выделено 12 таксонов с относительно однородными условиями сооружения электростанций.
Непосредственное применение алгоритмов таксономии к исходной совокупности наблюдений — весьма трудоемкий процесс, вследствие значительного числа параметров. Заметное отличие здесь может дать применение методов факторного анализа. Применение факторного анализа к исходной совокупности наблюдений позволяет заменить значительное количество порой сильно корректированных исходных параметров сравнительно небольшим числом некоррелированных (ортогональных) факторов, называемых главными. Расположение факторов в порядке убывания доли суммарной дисперсии совокупности, объясняемой ими, приводит к тому, что несколько первых факторов статистически полно отражают совокупную вариацию всех параметров. Например, применение метода к совокупности, включающей 38 параметров второго информационного уровня, показало, что всего шесть первых факторов имеют вклад в суммарную дисперсию параметров, равный 76%. Это количество факторов явилось статистически достаточным, что подтвердила проверка по критерию Неймана — Пирсона. Замена многомерных векторов наблюдений их проекциями на главные факторы значительно упрощает процедуру таксономии вследствие резкого уменьшения размерности исследуемого пространства.
11.3. Факторно-регрессионные модели характеристик электрических станций
Задача оптимизации размещения и выбора мощности электрических станций предполагает наличие экономических показателей их сооружения. При решении оптимизационных задач или задач сравнительной эффективности вариантов развития энергетических объектов в качестве экономического критерия обычно используются затраты. Затраты могут быть представлены в виде зависимости от совокупности технико-экономических показателей, включая постоянные (Kпостуд) и переменные (Kперуд) удельные капиталовложения в сооружение электрических станций и другие экономические показатели (Эст),
З = f (Kпостуд, Kперуд, Эст ). (161)
Постоянные удельные капиталовложения Kпостуд практически не зависят от местоположения электростанции и определяются, в основном, конкретными технико-экономическими параметрами такими как тип и мощность электростанции, число и мощность блоков, система технического водоснабжения, вид топлива и другие, образующие первый информационный уровень (ХI). В связи с тем, что размер совокупности параметров первого информационного уровня не очень велик и составляет около десяти параметров, моделирование постоянных удельных капиталовложений Kпостуд обычно выполняется на основе прямого использования методов регрессионного моделирования,
Kпостуд = f (Х1). (162)
Формирование переменных удельных капиталовложений Kперуд во многом определяется региональными (ХII) и местными или локальными (ХIII) инженерно-географическими условиями сооружения электрических станций, характеризующимися информационными параметрами, образующими второй и третий информационные уровни,
Kперуд = f (ХII, ХIII) . (163)
Сложность задачи моделирования переменных удельные капиталовложения Kперуд объясняется свойствами параметров второго и третьего информационных уровней.
Перечисленные свойства параметров второго и третьего информационных уровней ограничивают использование прямого регрессионного анализа для моделирования переменных удельных капиталовложений и обуславливают необходимость предварительного применения методов ортогонального преобразования пространства.
Одним из таких методов является метод факторного анализа. С помощью факторного анализа при моделировании переменных удельных капиталовложений Kперуд в сооружение электростанций коррелированное пространство параметров второго и третьего информационных уровней (ХII , ХIII) размерности (n) может быть преобразовано в пространство ортогональных факторов (F) той же размерности (n). При этом, практически без потери точности описания совокупности параметров, размерность пространства факторов может быть существенно снижена до (m), причем (m<<n). Снижение размерности ортогонального пространства факторов позволяет повысить достоверность результатов моделирования переменных удельных капиталовложений Kперуд, так как при снижении размерности пространства факторов по сравнению с пространством параметров размер выборочной совокупности не меняется и число наблюдений N становится больше числа переменных m.
Суть метода факторного анализа можно продемонстрировать на примере преобразования пространства двух коррелированных параметров Х1 и Х2 в пространство ортогональных факторов F1 и F2 (см. рисунок 31).
Пусть имеются выборочные совокупности коррелированных параметров Х1 = {х11, х12, .. х1i, .. х1N} и Х2 = {х21, х22, .. х2i, .. х2N}. Выборочные совокупности сформированы случайным образом, поэтому параметры х1i и х2i распределены вокруг своих математических ожиданий по нормальному закону.
Перейдем от именованных параметров Х1 и Х2 к нормированным Z1 и Z2 :
, (164)
Х1
Х2
f1
Z2
f2
Z1
0
Рис.31. Преобразование пространства
где i=1,...,n; j=1,...,N .
Следует отметить, что математическое ожидание каждого нормированного параметра равно нулю, а дисперсия единице. Если выборочная совокупность содержит n нормированных параметров, то суммарная дисперсия совокупности нормированных параметров будет равна числу параметров n. В пространстве нормированных параметров Z1 и Z2 выборочные значения параметров образуют, как показано на рисунке 31, облако наблюдений по виду близкое к эллипсу (в многомерном случае к гиперэллипсоиду).
При направлении первого фактора F1 вдоль главной, большей оси эллипса, первый фактор будет определять большую часть дисперсии нормированных параметров Z1 и Z2. В общем случае, это направление не совпадает с осями Z и это значит, что параметры Х1 и Х2 (Z1 и Z2) коррелированны между собой.
Второй фактор F2 направляется по меньшей оси эллипса и определяет оставшуюся часть дисперсии нормированных параметров Z1 и Z2.
В связи с тем, что первый фактор концентрирует в себе большую часть дисперсии параметров, для описания исходной совокупности параметров Z1 и Z2 достаточно выделения одного фактора. Таким образом, исходная коррелированная совокупность двух параметров n=2 заменена ортогональной совокупностью факторов размерностью m =1.
Теперь, вместо модели
Kперуд = а0 + а1 х1 + а2 х2 , (165)
может быть построена модель
Kперуд = b0 + b1 f 1. (166)
При большей размерности совокупности параметров n>2 бывает недостаточно учета только одного фактора и следует учесть m факторов, но обычно m<<n.
В общем случае исходное пространство n нормированных коррелированных параметров Z может быть преобразовано в ортогональное пространство факторов F той же размерности n, но при этом первые m факторов (m<<n) , как правило, достаточно полно отражают исходное пространство параметров.
Матрица нормированных параметров Z имеет ту же размерность nN, что и выборочная совокупность именованных параметров X (N-размер выборки наблюдений, n-число параметров),
Z = .
Целью ортогонального преобразования пространства является корректная замена матрицы нормированных параметров Z на матрицу факторов F той же размерности,
F =.
Связь между матрицей нормированных параметров Z и матрицей ортогональных факторов F описывается матрицей нагрузок А на факторы размера nn,
A = .
Для каждого отдельного наблюдения к=1,...,N связь вектора параметров c вектором факторов в координатной форме имеет вид:
zk1 = a11fk1 + a12fk2 + a13fk3 +…+ a1mfkm +…+ a1nfkn ,
zk2 = a21fk1 + a22fk2 + a23fk3 +…+ a2mfkm +…+ a2nfkn, (167)
. . . . . . . .
zkn = an1fk1 + an2fk2 + an3fk3 +…+ anmfkm +…+ annfkn.
В матричном виде связь нормированных параметров с факторами имеет вид:
Z=AF. (168)
Для оценки коэффициентов матрицы нагрузок А используется матрица выборочных коэффициентов парной корреляции параметров R. Каждый из коэффициентов rij матрицы определяется в зависимости от нормированных параметров:
,
где i,j=1,…,n.
Выражение (168) можно записать в матричном виде:
. (169)
Матрица нагрузок связана с выборочной корреляционной матрицей соотношением:
. (170)
Для обоснования формулы (170) достаточно умножить обе части выражения (168) на их транспонированные значения,
,
тогда
. (171)
Выразив правую часть соотношения (171) с использованием выражения (169) можно получить выражение (170):
.
Коэффициенты матрицы нагрузок А находятся на основе собственных значений (чисел) и проекций собственных векторов i,j=1,2,3,…,m,…,n, корреляционной матрицы R выборочных значений параметров по выражению:
. (172)
С целью определения собственных значений (чисел) и проекций собственных векторов , составляется характеристическое уравнение для корреляционной матрицы в виде:
= 0 . (173)
Корни характеристического уравнения и есть собственные числа матрицы R. Если матрица неособенная, а R-именно такая, и её ранг равен её размерности, то собственные числа матрицы положительны (>0), количество собственных чисел и их сумма равны размерности матрицы n,
. (174)
Как видно сумма корней характеристического уравнения – собственных чисел корреляционной матрицы равна суммарной дисперсии выборочной совокупности нормированных параметров и, следовательно, собственные числа могут служить оценкой дисперсии параметров. Если расположить собственные числа корреляционной матрицы в порядке их убывания так, чтобы >>…>>…>, то первое собственное число будет описывать максимальную долю дисперсии совокупности параметров, а каждое последующее меньшую долю. Анализ значений собственных чисел показывает, что сумма первых m собственных чисел практически равна n, а остальные собственные числа несопоставимо малы и могут быть отброшены,
.
Это означает, что первые m собственных чисел могут служить оценкой дисперсии всей совокупности параметров.
Далее возникает задача определения собственных векторов корреляционной матрицы, соответствующих первым m собственным числам . Расчет векторов корреляционной матрицы ведется в порядке убывания собственных чисел, то есть вначале находится собственный вектор, соответствующий максимальному собственному числу , затем следующим по величине .
Для оценки проекций собственного вектора , где j=1,2,…,n , i=1,2,…,m составляется система линейных уравнений вида
, (175)
здесь Е - единичная матрица, - собственный вектор с номером i.
Выражение (175) можно представить в координатной форме:
(176)
Система линейных уравнений (176) включает два линейно зависимых уравнения (так как – являются корнями характеристического уравнения корреляционной матрицы R). Системы линейно зависимых уравнений имеют множество решений, поэтому для получения проекций собственного вектора необходимо предварительно как-то ориентировать одну из проекций вектора и понизить размерность системы уравнений. Задав одну из проекций , можно определить остальные координаты вектора на основе решения системы уравнений меньшей размерности.
Первый собственный вектор , соответствующий максимальному собственному значению, указывает направление первого фактора, а его длина определяется значением. Теперь коэффициенты матрицы нагрузок А можно найти на основе собственных значений корреляционной матрицы и соответствующих им собственных векторов по выражению (172).
Как уже было указано выше, суммарная дисперсия совокупности n нормированных параметров равна размерности совокупности n. Учет факторами суммарной дисперсии нормированных параметров определяется соответствующими собственными числами корреляционной матрицы, сумма которых равна n. Следовательно, если сумма первых m собственных чисел примерно равно n, тогда и первые m (m<n) факторов учитывают почти всю дисперсию n параметров.
Вклад каждого фактора в дисперсию параметров соответствует величине , так как сумма дисперсий нормированных параметров равна их сумме, то есть n, учет суммарной дисперсии параметров первыми m факторами показан на рисунке 32.
Число факторов
Вклад факторов, %
1
2
m
n
…
…
100
50
0
Рис.32.Вклад факторов в дисперсию параметров
На основе анализа учета факторами суммарной дисперсии совокупности нормированных параметров можно отбросить несущественные факторы с номерами i = m+1, m=2,…n и получить редуцированную (усеченную) матрицу А.
.
Для оценки учета дисперсии совокупности нормированных параметров первыми m выделенными факторами используется матрица вычисленных коэффициентов корреляции .
Матрицу вычисленных коэффициентов корреляции можно определить по выражению (10) с использованием редуцированной матрицы нагрузок на факторы,
. (177)
Проверку достаточности числа выделенных факторов m необходимо проверить по статистическим критериям. В качестве статистического критерия может быть использован критерий Пирсона. По критерию Пирсона оценивается значимость коэффициентов матрицы остаточных коэффициентов корреляции . Матрица остаточных коэффициентов корреляции вычисляется как разность матриц выборочных и вычисленных коэффициентов корреляции параметров,
. (178)
Для оценки значимости матрицы остаточных коэффициентов корреляции определяется матрица доверительных интервалов коэффициентов корреляции , состоящая из доверительных интервалов для каждого коэффициента корреляции . Доверительные интервалы коэффициентов корреляции определяются с использованием стандартного статистического распределения Пирсона.
Принцип проверки значимости матрицы остаточных коэффициентов корреляции заключается в сравнении каждого коэффициента матрицы с его доверительным интервалом. Коэффициент считается незначимым если соблюдается условие для каждого коэффициента матрицы или для всей матрицы остаточных коэффициентов корреляции в целом,
. (179)
Если проверка значимости матрицы остаточных коэффициентов корреляции неудовлетворительна, то следует увеличить число выделяемых факторов. Процесс увеличения числа факторов продолжается до тех пор, пока остаточные коэффициенты корреляции значимы.
После выделения достаточного числа ортогональных факторов следует приступить к оценке значений факторов по всем наблюдениям выборочной совокупности нормированных параметров. Значения m выделенных факторов по N наблюдениям образуют матрицу факторов F.
Оценка значений факторов по наблюдениям производится с помощью регрессионного анализа. С этой целью левая и правая части выражения (168) умножаются на их транспонированные значения:
. (180)
Теперь, обратив матрицу вычисленных коэффициентов корреляции и преобразовав выражение (180), можно получить матрицу значений факторов по наблюдениям
,
или
F= W Z, (181)
где W –матрица связи параметров с факторами,
(182)
После оценки значений факторов по наблюдениям можно на основе регрессионного анализа построить факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение электрических станций в зависимости от ортогональных факторов в виде
. (183)
Факторно-регрессионные модели переменных удельных капиталовложений в сооружение электрических станций в зависимости от ортогональных факторов обладают приемлемой точностью и могут быть использованы при решении задач развития электроэнергетических систем. Следует заметить, что при использовании факторно-регрессионных моделей для прогнозирования технико-экономических характеристик необходимо предварительно определить на перспективу прогнозные значения факторов. Обычно при определении прогнозных значений факторов не выполняется уточнение матрицы связи W и используется матрица связи, полученная по обучающей выборке параметров.
Пример построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение электрической станции
В настоящем разделе построена факторно-регрессионная модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции. Выборочная совокупность переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции Kперуд (млн.руб./МВт) по 20 наблюдениям представлена в таблице 21 (столбец 2).
Исходные данные и результаты моделирования переменных удельных капиталовложений
|
№ набл. 1 |
Kперуд , тыс.руб/ МВт 2 |
хi1, км 3 |
хi2, чел/км 4 |
хi3, ºС 5 |
Нормированные параметры |
Значения фактора по набл. fi1 9 |
Вычис-ленные Kперуд , тыс.руб/ МВт 10 |
Откло-нения Kперуд , тыс.руб/ МВт 11 |
||
|
zi1 6 |
zi2 7 |
zi3 8 |
||||||||
|
1 |
48 |
98 |
20 |
13 |
1.892 |
-1.793 |
1.586 |
1.861 |
52.41 |
4.41 |
|
2 |
55 |
87 |
90 |
14.5 |
0.961 |
-1.055 |
1.813 |
1.356 |
57.86 |
2.86 |
|
3 |
57 |
95 |
70 |
10 |
1.638 |
-1.266 |
1.131 |
1.4248 |
57.12 |
0.12 |
|
4 |
59 |
84 |
100 |
12.5 |
0.707 |
-0.949 |
1.51 |
1.1208 |
60.4 |
1.4 |
|
5 |
67 |
81 |
130 |
6 |
0.453 |
-0.633 |
0.524 |
0.5681 |
66.37 |
-0.63 |
|
6 |
64 |
86 |
120 |
7 |
0.876 |
-0.738 |
0.675 |
0.8083 |
63.78 |
-0.22 |
|
7 |
65 |
82 |
130 |
7.5 |
0.537 |
-0.633 |
0.751 |
0.6791 |
65.14 |
0.14 |
|
8 |
72 |
83 |
180 |
2 |
0.622 |
-0.105 |
-0.083 |
0.2268 |
70.05 |
-1.95 |
|
9 |
72 |
79 |
190 |
4 |
0.284 |
0 |
0.22 |
0.1791 |
70.57 |
-1.43 |
|
10 |
74 |
72 |
170 |
0.5 |
-0.309 |
-0.211 |
-0.311 |
-0.147 |
74.09 |
0.09 |
|
11 |
79 |
76 |
150 |
-2.5 |
0.03 |
-0.422 |
-0.766 |
-0.1165 |
73.76 |
-5.24 |
|
12 |
73 |
77 |
200 |
3 |
0.114 |
0.105 |
0.068 |
0.0281 |
72.2 |
-0.8 |
|
13 |
85 |
69 |
180 |
1 |
-0.563 |
-0.105 |
-0.235 |
-0.2466 |
75.16 |
-9.84 |
|
14 |
76 |
65 |
280 |
-3 |
-0.901 |
0.949 |
-0.842 |
-0.9504 |
82.76 |
6.76 |
|
15 |
81 |
75 |
220 |
-1 |
-0.055 |
0.316 |
-0.539 |
-0.3224 |
75.98 |
-5.02 |
|
16 |
86 |
61 |
250 |
-6 |
-1.24 |
0.633 |
-0.297 |
-1.123 |
84.62 |
1.38 |
|
17 |
75 |
66 |
370 |
-2 |
-0.817 |
1.899 |
-0.69 |
-1.197 |
85.4 |
10.4 |
|
18 |
90 |
55 |
290 |
-8 |
-1.748 |
1.055 |
-1.601 |
-1.5584 |
89.32 |
-0.68 |
|
19 |
84 |
62 |
310 |
-4 |
-1.155 |
1.266 |
-0.994 |
-1.205 |
85.54 |
1.51 |
|
20 |
88 |
60 |
350 |
-3.5 |
-1.324 |
1.688 |
-0.918 |
-1.385 |
87.45 |
-0.55 |
|
M(хj) |
72.5 |
75.65 |
190 |
2.55 |
0 |
0 |
0 |
- |
- |
- |
|
S(хj) |
11.79 |
11.816 |
94.81 |
6.59 |
1 |
1 |
1 |
- |
- |
- |
Матрица выборочной совокупности именованных параметров приведена в таблице 21 (столбцы 3 -4), здесь: Х1 – удалённость от железных дорог площадки электрической станции, км; Х2 – обеспеченность региона трудовыми ресурсами, чел/км2; Х3 – среднегодовая температура окружающеё среды, ºС.
Для построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции необходимо выявить связи между независимыми параметрами и моделируемым показателем. Для этого необходимо построить матрицу выборочных коэффициентов парной корреляции параметров между собой и параметров и моделируемого показателя. Расчет матрицы выборочных коэффициентов парной корреляции включает определение математических ожиданий M(хj) и среднеквадратичных отклонений S(хj) параметров и моделируемого показателя,
, .
На основе математических ожиданий M(хj) и среднеквадратичных отклонений S(хj) параметров и моделируемого показателя выполняется нормировка выборочной совокупности параметров
.
Значения математических ожиданий M(хj) и среднеквадратичных отклонений S(хj) именованных и нормированных параметров и моделируемого показателя приведены в таблице 1 (последняя и предпоследняя строки соответственно).
Коэффициенты парной корреляции rij между параметрами определены по соотношению,
.
Размерность матрицы коэффициентов парной корреляции соответствует числу параметров n = 3 и имеет вид,
.
Для оценки матрицы нагрузок на факторы необходимо найти собственные значения корреляционной матрицы и соответствующие им собственные векторы. С этой целью составляется характеристическое уравнение корреляционной матрицы,
,
отсюда .
Корни характеристического уравнения могут быть определены любым известным методом, например, итерационным методом.
Теперь можно записать корни характеристического уравнения в порядке убывания: λ1=2,682; λ2=0,195; λ3=0,123. Как указано выше, сумма корней характеристического уравнения равна числу параметров n = 3, λ1 + λ2 + λ3 = 2,682 + 0,195 + 0,123 = 3.
Для оценки учета ортогональными факторами дисперсии параметров и определение достаточного числа выделяемых факторов необходимо определить долю суммарной дисперсии параметров Di(%), учитываемую каждым фактором, Di(%) = .
Число факторов
Вклад факторов, %
1
2
100
50
0
89.4
2
3
Рис.33 Вклад факторов в дисперсию параметров
Таким образом, первый фактор учитывает D1 = дисперсии; второй D2 = = ; третий D3 = = . Всеми тремя факторами учитывается 100% суммарной дисперсии параметров. Иллюстрация учета факторами суммарной дисперсии параметров приведена на рисунке 33.
Как видно из рисунка первый фактор учитывает почти 90% дисперсии параметров, поэтому можно предположить, что для описания выборочной совокупности трех параметров достаточно выделения одного фактора.
Для вычисления собственных векторов корреляционной матрицы необходимо составить и решить систему
,
(-)
Проекции первого собственного вектора , соответствующего λ1=2,682 определяются при решении следующей системы уравнений:
.
Или в координатном виде :
.
В приведенной системе третье уравнение является линейной комбинацией двух первых, такая система имеет множество решений. Для получения одного из решений такой системы достаточно зафиксировать одну из проекций собственного вектора и понизить размерность системы уравнений. Удобно принять , тогда значения остальных проекций: , .
Коэффициенты матрицы нагрузок на факторы определяются по выражению,
.
Подставив в приведенное выражение значения первого собственного числа и значений проекций первого собственного вектора, можно определить коэффициенты первого столбца матрицы нагрузок:
, , .
Если для описания совокупности выборочных параметров выделяется только один фактор, то матрица нагрузок усекается до одного столбца и тогда редуцированная матрица нагрузок имеет вид:
.
Матрица вычисленных коэффициентов корреляции определяется по редуцированной матрице нагрузок на факторы,
.
Теперь необходимо оценить значимость остаточной матрицы коэффициентов корреляции, и убедиться в достаточном количестве выделенных факторов.
Далее следует приступить к оценке значений факторов по всем наблюдениям N = 20. С этой целью требуется найти матрицу связи W на основе обратной матрица вычисленных коэффициентов корреляции ,
.
Для рассматриваемого примера матрица связи представляет собой матрицу-строку,
W =
Теперь можно определить значения факторов по наблюдениям F, представляющего собой матрицу-столбец,
F= W Z.
.
Значения факторов по наблюдениям приведены в таблице 21 (9 столбец).
Далее с использованием обычного регрессионного анализа можно получить факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции в линейном виде:
.
Учитывая, что при определении прогнозных значений факторов не выполняется уточнение матрицы связи W модель можно записать в виде:
Точечные оценки коэффициентов модели определяются по соотношению:
,
Информационная матрица имеет вид:
,
,
,
Тогда вектор коэффициентов модели:
,
Построение доверительных интервалов коэффициентов модели выполняется с использованием стандартного значения распределения Стьюдента
,
Теперь модель может быть записана с учетом точечных и интервальных оценок:
.
Вычисленные по модели значения переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции и их отклонения от выборочных значений приведены в таблице 21 , соответственно столбцы 10 и 11.
Библиографический список
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Ананичева Светлана Семеновна
Мызин Анатолий Леонидович
МОДЕЛИ РАЗВИТИЯ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Редактор
Компьютерный набор
|
Подписано в печать |
Формат 6084 1/16 |
|
|
Бумага писчая |
Ризография |
Усл. печ. л. |
|
Уч.-изд.л. |
Тираж 300 экз. |
Заказ Цена «С» |