Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопросы к экзамену:
1. Деление отрезка в данном отношении.
2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.
3. Общее уравнение прямой.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
5. Уравнение прямой линии в отрезках.
6. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
7. Полярные координаты на плоскости, связь с декартовыми.
8. Эллипс, эксцентриситет, директрисы и фокальные радиусы эллипса.
9. Гипербола, её асимптоты, эксцентриситет, директрисы и фокальные радиусы гиперболы.
10. Парабола, эксцентриситет и директрисы параболы.
11. Определители третьего порядка, основные свойства.
12. Матрицы, операции над матрицами.
13. Ранг матрицы.
14. Обратная матрица.
15. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
16. Скалярное произведение векторов и его основные свойства.
17. Векторное произведение двух векторов и его свойства.
18. Смешанное произведение трёх векторов.
19. Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные. Доказать, что не является рациональным числом.
20. Предел последовательности. Простейшие свойства предела последовательности. Примеры.
21. Бесконечно малые последовательности. Примеры.
Задание 1.
Выяснить, компланарны ли векторы:
Решение:
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. По теореме о компланарности 3х векторов: векторы компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение векторов >0.
. Смешанное произведение равно нулю, следовательно, векторы компланарны.
Задание 2.
Выяснить, является тройка векторов правой или левой:
, где - стандартный орто-нормированный базис в декартовой системе координат в .
Решение:
Векторы даны в разложении по базису, т.е
Тройка векторов - правая, если смешанное произведение векторов >0 и левая, если <0.
, следовательно, тройка правая.
Замечание.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах равна .
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен .
Площадь треугольника, построенного на векторахравна .
Объем тетраэдра, построенного на векторах , равен .
Задание 3.
Даны векторы . Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах, проведенную к плоскости векторов .
Решение:
Найдем объем параллелепипеда:
.
Теперь найдем объем параллелограмма, построенного на векторах по формуле: .
Высота равна
Задание 4.
Являются ли векторы линейно-независимыми:
Решение:
Запишем в виде разложения по базису:
Составим линейную комбинацию векторов:
где - числа.
Т.к. - линейно-независимы (т.к. это стандартный ортонормированный базис).
Решая систему методом Гаусса (решить!), получаем Поскольку все коэффициенты в линейной комбинации равны 0, то система линейно-независима.
Задание 5.
Вычислить пределы последовательности, заданной общим членом:
Замечание (некоторые важные пределы, которые можно использовать при решении задач):
Решение:
1)
2)
3)
4)
5) .
6)
7)
8)
9)