тематика Специальность 240 01 01 Программное обеспечение информационных технологий Группа Препо
Работа добавлена на сайт samzan.net:
План учебного занятия № 36.
дисциплины «Высшая математика»
Специальность 2-40 01 01 Программное обеспечение информационных технологий
Группа
Преподаватель Моисеева Т.И.
Раздел программы Линейная алгебра.
Тема: Формулы Крамера. Метод Гаусса.
Цель обучения: Сформировать понятие о решении системы линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса.
Цель развития: Показать возможные способы решения систем линейных уравнений.
Цель воспитания: Способствовать воспитанию аккуратности, четкости мышления и восприятия незнакомых образов.
Тип занятия: Урок изучения нового материала.
Вид занятия: Урок-лекция.
Межпредметные связи: Науки, изучающие решение систем линейных уравнений.
Ход занятия:
1. Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
i =
Пример.
A = ; 1= ; 2= ; 3= ;
x1 = 1/detA; x2 = 2/detA; x3 = 3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
= = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
x1 = 1/ = 1;
2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
x2 = 2/ = 2;
3 = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = 3/ = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
2. Решение произвольных систем линейных уравнений.
Матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
, (1)
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица
А = называется матрицей системы, а матрица
А*= называется расширенной матрицей системы
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.
3. Элементарные преобразования систем.
К элементарным преобразованиям относятся:
1) Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2) Перестановка уравнений местами.
3) Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
4. Теорема Кронекера – Капелли.
(условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A =
~ . RgA = 2.
A* = RgA* = 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А = ; = 2 + 12 = 14 0; RgA = 2;
A* =
RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.
5. Метод Гаусса.
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.
Для самостоятельного решения:
Ответ: {1, 2, 3, 4}.
2. Есть несколько классификаций природных ресурсов
3. Варіант 1 Охарактеризуйте основні праці та джерела з історії України
4. Классный час География Английский
5. нибудь стояли перед серьезным выбором Таким что может изменить вашу жизнь Таким что способен повлиять на
6. Матеріалістичний світогляд означає просто розуміння природи такою яка вона є без усяких сторонніх додат
7. Три жизни. Романхроника.
8. I. Христианам необходимо молиться 1- Что можно совершить с помощью молитвы Молитва производит силу Моли
9. Лабораторна робота 3 Основні положення лабораторної роботи В ході аналізу плану проекту необхідно оціни
10. Полиакриламидный гель (ПААГ)
11. История развития рекламы
12. Сидит Помощница Деда мороза
13. вступления в действие НК РФ правовое регулирование налоговых отношений пополнилось многими новыми для Росси.
14. СибАК приглашает Вас принять участие в XXXVI МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ Личнос
15. вариант ответа Организация в условиях кризиса внешней задолжности в мире решающая вопросы по реструктури
16. Дополнений к диалектике мифа
17. і Своїм корінням сучасна біологія сягає давнини і бере початок у Давньому Єгипті та Давній Греції
18. .Измельчение Процесс уменьшения размера частиц материала приводящий к увеличению удельной поверхности изм
19. проект в социальной сфере направлен в первую очередь на позитивные изменения существующей ситуации
20. 961.5- 542.22 ПАРОВА КОНВЕРСІЯ ГАЗІВ З ВИСОКИМ ВМІСТОМ ОКСИДУ ВУГЛЕЦЮ НА ЦИНКХРОМОВО