Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Прямые в пространстве
Пусть – подмножество точек пространства Вектор называется параллельным множеству , если найдется такая пара точек из множества , что . Из этого определения следует, что вектор , где и – точки из множества , параллелен . Будем говорить, что множество проходит параллельно вектору , если вектор параллелен этому множеству, и обозначать этот факт символом ║.
Подмножество пространства называется прямой, если оно обладает следующими свойствами:
1. Если вектор , параллельный множеству , отложить от некоторой точки множества :, то конец этого вектора также принадлежит .
2. Если параллелен , то вектор параллелен множеству при любом .
3. Если векторы и параллельны прямой , то .
Вектор , параллельный прямой , называется направляющим вектором этой прямой.
Теорема 1.10. Справедливы следующие утверждения.
1. Множество , состоящее из точек , , , является прямой при любой точке и любом векторе .
2. Если прямая , которая проходит через точку , т.е. , и вектор
параллелен прямой , то
, .
Доказательство
1. Сначала докажем, что вектор параллелен множеству тогда и только тогда, когда . Имеем:
║, ,
.
Отсюда сразу вытекает, что множество обладает свойством 2 из определения прямой. Если же векторы и параллельны множеству , то каждый из них пропорционален вектору . Следовательно, , т.е. множество обладает и свойством 2 из определения прямой.
Множество обладает также свойством 1 из определения прямой, так как, используя доказанное утверждение ║, имеем следующую цепочку импликаций:
, ║, ,
. ■
Прямую, проходящую через точку параллельно вектору , будем обозначать символом . Если задать координаты точки и вектора : и , то из равенства следует, что координаты произвольной точки прямой имеют вид:
,.
Эти уравнения называются, также как и уравнение , параметрическим уравнением прямой .
Из теоремы 1.10 вытекает следствие.
Следствие. Прямая является единственной прямой, проходящей через точки и .
Доказательство. Параметрическое уравнение прямой имеет вид
, . Отсюда следует, что , если . Если же , то , т.е. прямая проходит через точки и .
Прямая будет единственной прямой, проходящей через точки и , если она совпадает с произвольной прямой , проходящей через точки и . Так как точки и принадлежат прямой , то вектор ║. Отсюда следует, что параметрическое уравнение прямой имеет вид: , , т.е. параметрические уравнения прямых и совпадают, поэтому эти прямые совпадают. ■
Отрезок и луч. Уравнение прямой, проходящей через точки , можно записать также в виде:
, .
Справедливость этого утверждения вытекает из следствия к теореме 1.10 и следующей цепочки равносильных утверждений:
.
Множество точек , называется отрезком в пространстве . Отрезок содержит точки и : точку получаем при значении , а точку – при значении . Точки и называются концами отрезка . Точка , принадлежащая отрезку и не совпадающая с его концами, называется внутренней точкой этого отрезка. Отрезок является подмножеством прямой, проходящей через точки и .
Точки отрезка , где ,, и только они являются решениями системы уравнений
,…, , .
Множество точек , , называется лучом , параллельным вектору с началом в точке .
Задачи
1. Построить прямую :
a) , , б) , .
2. Построить луч , :
а) , , б) , .
3. Выяснить, принадлежит ли точка
а) прямой, проходящей через точку параллельно вектору ;
б) лучу с началом в точке и параллельному вектору ;
в) отрезку с концами и .
4. Даны три точки: , , . Выяснить, принадлежит ли точка
а) прямой, проходящей через точки и ;
б) лучу, проходящему параллельно вектору с началом в ;
в) отрезку .
5. Доказать, что =, где и — точки пространства .
6. Прямые в пространстве называются параллельными, если они имеют общий направляющий вектор. Доказать, что если прямые не совпадают и параллельны, то они не имеют общих точек.
7. Доказать, что параллельные прямые, имеющие общую точку, совпадают.