Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.
1.1.1. Предел последовательности
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое вещественное число то говорят, что задана числовая последовательность Кратко она обозначается символом называют n-м членом последовательности. Совокупность этих чисел называют множеством значений последовательности.
Существует несколько способов задания числовых последовательностей.
|
xn + 2 = xn + 1 + xn при n > 0 |
Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство
|
|xn – a| < ε, |
т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:
Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.
|
Рисунок 1.1.1.1. ε-окрестность точки a. |
Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.
Так, если то Действительно, выбрав для произвольного ε > 0 получаем , так как . Здесь существенно, что Nε зависит от ε.
Для стабилизирующейся последовательности (т. е. последовательности {xn} такой, что xn = a при n ≥ n0) в качестве Nεдля любого ε можно взять n0.
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Если никакое число не является пределом последовательности, то она называется расходящейся.
Можно показать, что числовая последовательность имеет только один предел.
Последовательность называется возрастающей, если для любого выполняется неравенство
|
xn + 1 > xn. |
Последовательность называется убывающей, если для любого выполняется неравенство
|
xn + 1 < xn. |
Если в этих определениях неравенство будет нестрогим, то последовательности будут называться соответственно неубывающей и невозрастающей.
Возрастающие и убывающие последовательности называют строго монотонными. Неубывающие и невозрастающие последовательности называют монотонными.