Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Метод простых итераций
| Напомним, что здесь А - матрица системы, B - столбец свободных членов, а X -столбец неизве-стных.
Преобразуем систему к другому виду, выражая все неизвестные через самих себя,
Вот пример:;
из первого уравнения получим из второго уравнения следовательно, при таком преобразовании
Пусть - столбец из n чисел, записанный ради экономии места в виде строки, заданный для каждого k=1,2,3,... . Пусть, далее, имеется столбец Назовем рас-стоянием от до число
ясно, что - числовая последовательность; если эта числовая последова-тельность стремится к нулю, то говорят, что столбцы стремятся к столбцу Z или что Z является пределом последовательности .
(1) если , то процесс итераций сходится к решению системы (3.1.1);
(2) если , то процесс итераций сходится к решению системы
2. Метод Зейделя
Метод Зейделя состоит в том, что итерации осущест-вляются несколько иначе. А именно, распишем равенство в виде обычных числовых равенств:
согласно этим равенствам, числа отыскиваются через числа Зейдель предложил отыскивать по , используя те же самые фор-мулы. Иными словами, в итерациях по Зейделю учитываются уже найденные значения прибли-жений. Сформулируем окончательно метод Зейделя: последовательность итераций строит-ся по формулам:
Вопрос о сходимости процесса итераций к решению решается здесь так же, как и выше в случае простых итераций: всё зависит от матрицы D. Условия здесь те же, что и выше.
3. Метод итераций для решения уравнений
Мы искали решения систем линейных уравнений разными способами, в том числе - методом итераций. В общем случае схему итераций можно также воспроизвести. А именно, предположим, что тождественными преобразованиями данную в начале этого пункта систему уравений удалось представить в виде:
Тогда, начав с произвольного набора , можно организовать итерации где . В случае линейных систем урав-нений мы сообщали условия, которые должны выполняться для того, чтобы указанный процесс итераций приводил именно к решению данной систе-мы уравнений. В общем случае такие усло-вия формулируются в существенно более сложных терминах - якобианах. Мы пока оставляем за пределами нашего курса этот вопрос.
4. Метод деления отрезка пополам для решения уравнений
Отсюда возникает простая методика приближенного поиска корня, отделенного в интервале (a,b): надо построить последовательность точек по следующему правилу: затем из двух интервалов (a,c1) и (c1,b) выбирается тот, на концах которого имеет разные знаки и его середина принимается за ; обозначим кон-цы этого интервала (у которого - середина) через (a2,b2), а затем выберем ту из его половин, на концах которой имеет разные знаки. Пусть (a3,b3) - эта половина и - середина этого отрезка и т.д. Доказывается, что построенная последовательность сходится к корню уравнения (3.3.1). Если с самого начала задается некоторая точность вычислений, то на практике построение последовательности прерывается тогда, когда два раза подряд получаются одинаковые с заданной точностью числа. Это последнее перед прерыванием построения последовательности число и при-нимается за приближенное с заданной степенью точности значение корня. Описанный метод уточнения корня называется методом деления отрезка попо-лам.
5. Метод хорд для решения уравнений
В качестве отрезка берется отрезок . Точка с1 берется как точка пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точки и . Укажем значение для c1 в явной форме:
.
Из двух отрезков и выберем тот, на концах которого функция имеет разные знаки и этот отрезок примем за . Затем найдем точку по отрезку точно так же, как нашли точку по отрезку : это будет точка пересече-ния с осью абсцисс прямой, проходящей через точки и :
.
Затем в качестве отрезка берется тот из отрезков и , на концах которого имеет разные знаки и т.д. Через последовательность точек приближенное значение корня находится так же, как в п.1. Название метода происхо-дит из того, что конструируемые по ходу дела прямые являются хордами по отношению к графику функции.
6. Метод касательных для решения уравнений
Пусть =. Выберем тот край отрезка , на котором функция имеет тот же знак, что и ее вторая производная. В нашем примере на приведенной выше схе-ме - это точка b. Проведем через точку касательную к графику функции . Точку пересечения этой касательной с осью абсцисс и примем за точку c1. Вот соответ-ствующая формула для рассматриваемого случая:
Нетрудно получить аналогичные формулы для случаев, когда знаки упомянутых выше значений иные. Важен принцип: касательная проводится к графику в той точке, где знак значения функции совпадает со знаком ее второй производной. После этого из двух отрезков и выберем тот, на концах которого функция имеет разные знаки и этот отрезок примем за . Затем найдем точку по отрезку точно так же, как нашли точку по отрезку и т.д. Через последователь-ность точек приближенное значение корня находится так же, как в п.1.
7. Интерполяционный многочлен Лагранжа и различные формы его записи
Будем исхожить из таблицы в предыдущем пункте. Построим по ней следующий многочлен:
.
Для ясности надо заметить, что в этой сумме - () слагаемых, что в слагаемом № k в числи-теле ровно множителей и что каждый из них является многочленом степени n. Этот многочлен называется многочленом Лагранжа таблицы значений функции.
Вот его основные свойства:
2) , т.е. многочлен Лагранжа имеет в точках те же значения, что
и функция ;
3) если фиксировать любое число то окажется выполненным неравенство
где на участке , т.е. число ограничивает производную го порядка функции .
8. Существует иной подход, именуемый равномерным приближением. При этом подходе тоже происходит замена значения на значение некоторой функции , причем оказывается возможным оценить ошибку этой подмены. Строится функ-ция следующим образом.
Для осуществления равномерного приближения должна быть задана не только таблица из п.1, но и некоторый класс функций G внутри которого и будет выделена функция . Введем величину
,
в которой числа берутся из таблицы в п.1, а числа для каждой функции из класса G предполагаются вычислимыми. Функция выбирается как доставляющая минимум величине . Эту функцию называют наилучшим равномерным приближением функ-ции из класса G. Конечно, как оценить разность в такой ситуации, - это от-дельная тема, тесно связанная как с природой класса G, так и с таблицей из п.1. Мы не затрагиваем здесь эту тему.
9. Метод наименьших квадратов.
Предположим, что класс G представляет собой множество всех многочленов степени не превосходящей некоторого конкретного числа m. Тогда задача равномерного приближения функций приобретает следующий вид:
среди многочленов найти такой, при котором ве-личина
принимает минимальное значение.
Для этого надо найти такие , при которых функция
принимает минимальное возможное значение, а это происходит тогда, когда равны нулю все ее частные производные:
это - система из m+1линейных алгебраических уравнений с m+1 неизвестными ; можно доказать, что эта система всегда совместна и определенна. Ее решение и есть искомый многочлен.
Распишем эту систему в традиционной форме, раскрыв скобки и приведя подобные
члены:
;
включив процедуру решения систем линейных алгебраических уравнений теперь легко получить ответ.
10. Численное интегрирование функции одной переменной.
Требуется найти
с той или иной степенью точности. Известны три классических способа сделать это.
Способ № 1: метод прямоугольников. Отрезок разбивается на равных частей: длиной , где
.
Затем на каждом участке функция заменяется на константу , после чего искомый интеграл заменяется на интеграл от новой ступенчатой функции, т.е. на число
.
Можно доказать, что справедлива следующая оценка:
,
где - максимум модуля первой производной функции на отрезке .
Способ № 2: метод трапеций.
В этом методе искомый интеграл после разбиения отрезка на равные части заменяется на следующую сумму (суммируются площади трапеций, а не прямоугольников, как в предыду-щем случае):
,
где Можно доказать, что если - исходный обсуждаемый интеграл,то
,
где на отрезке .
Способ № 3: метод парабол. В этой ситуации отрезок разбивается на равных частей: , где . На участках , функцию заменяют на параболу, проходящую через точки и интегралом от этой параболы на участке заменяют интеграл от функции на этом же участке, после чего все эти интегралы суммируют и результаты принимают за интеграл от по всему отрезку . Полученная приближенная формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. Вот ее окончательный
вид:
.
Если левую часть этого приближенного равенства обозначить через I, а правую – через S, то окажется выполненной следующая формула для оценки погрешности:
,
где - максимум на интервале четвертой производной функции
11. Метод Эйлера численного решения обыкновенного дифференциального уравне-
ния.
1й шаг. Фиксируем точность, с которой нужно найти значение . Обозначим это число через . Поясним, что это означает, что числа, отличающиеся меньше, чем на , считаются одинаковыми.
2й шаг. Фиксируем произвольное и разделим отрезок на равных частей: , где .
3й шаг. Построим последовательность чисел
,
в которой, напомним, . Обозначим через .
4й шаг. Заменим на и повторим шаги 2 и 3. Полученное число (т.е. последнее из вычисляемых на шаге 3) обозначим теперь через V.
5й шаг. Если окажется, что числа U и V отличаются друг от друга меньше, чем на , то число считается найденным и равным V. В противном случае переобо-значим V через U и вернемся к шагу 4.
Можно доказать, что когда функция из имеет непрерывные частные производные, описанный процесс обязательно конечен и ответ находится действительно с любой наперед заданной точностью.
12. Метод Рунге-Кутта численного решения обыкновенного дифференци-
ального уравнения.
1й шаг. Фиксируем точность, с которой нужно найти значение . Обозначим это число через . Поясним, что это означает, что числа, отличающиеся меньше, чем на , считаются одинаковыми.
2й шаг. Фиксируем произвольное и разделим отрезок на равных частей: , где .
3й шаг. Построим последовательность чисел
, где
и
в которой, напомним, . Обозначим через U.
4й шаг. Заменим на и повторим шаги 2 и 3. Полученное число (т.е. послед-нее из вычисляемых на шаге 3) обозначим теперь через .
5й шаг. Если окажется, что числа U и V отличаются друг от друга меньше, чем на , то число считается найденным и равным V. В противном случае переобозначим V через U и вернемся к шагу 4.