Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого
Президента России Б. Н. Ельцина»
Институт радиоэлектроники и информационных технологий - РТФ
Кафедра информационных технологий
Отчет по лабораторной работе №2
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ И КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
По дисциплине «Основы теории управления»
Вариант 7
Преподаватель Цветков А. В.
Студенты
Гр. Р-490202 Першин Д. А.
Соловьев Е. А.
2012
Целью работы является анализ частотных характеристик разомкнутых и замкнутых систем, получение навыков по использованию критерия устойчивости Найквиста.
В работе предусматривается исследование трех систем, различающихся видом передаточной функции (ПФ) разомкнутого контура. Варианты значений параметров ПФ приведены в табл. Замкнутая система построена по типу классической следящей системы, ее структурная схема представлена на рис. 3.1.
|
Номер варианта |
7 |
|
|
Система 1 |
T1 |
3,0 |
|
T2 |
0,6 |
|
|
T3 |
3,0 |
|
|
Система 2 |
T1 |
6 |
|
T2 |
0,12 |
1. Исследование системы №1.
Комплексный передаточный коэффициент:
Уравнения модуля и фазы:
Передаточная функция системы 1 имеет полюс в начале координат, поэтому необходим доворот АФХ системы на угол -π/2. Существует некое ккр при котором АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1; j0). По критерию Найквиста для устойчивости системы в замкнутом состоянии расширенная АФХ должна повернуться вокруг точки (-1; j0) на угол +π (передаточная функция имеет один полюс в правой полуплоскости).
Используя критерий Гурвица найдём ккр, при котором система находится на границе устойчивости.
Характеристический полином передаточной функции замкнутой системы 1 имеет вид:
;
Для устойчивости системы третьего порядка, по критерию устойчивости Гурвица, необходимо, чтобы выполнялись следующие неравенства:
Используя критерий Гурвица мы вычислили , при котором система 1 находится на границе устойчивости. Если то система неустойчива, а если то система устойчива.
Практическая часть
При анализе передаточной функции системы №1 с помощь средств компьютерного моделирования были получены результаты в виде ЛАЧХ и ЛФЧХ. При значении параметра к =1 система является устойчивой.
Необходимо по совмещенным ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы вычислить значение k, при котором:
- замкнутая система будет находиться на границе устойчивости (k=kкр);
- замкнутая система будет неустойчива (k=kну);
Рис.1 Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к =1.
Рис.2 АФХ при к =1.
а) Определим к = ккр. из ЛАЧХ и ЛФЧХ. Как видно из характеристик необходимо опустить ЛАЧХ на 6,99 Дб, т.е.
20*lg(к) = -6,99
n=-6,99
k=0,447
что примерно совпадает с теоретическим значением.
При к = 1 система является устойчивой, о чём свидетельствует график переходного процесса.
Рис.3. Вид переходного процесса при к = 1.
Ниже приведены графики, соответствующие к = ккр = 0,447.
На рис.4 представлены совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при k = kкр.. Как видно из представленных характеристик система находится на границе устойчивости.
Рис.4. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы при к = 0,447
На рис.5 представлена АФХ при k = kкр. Как видно из характеристики система находится на границе устойчивости, т.к. АФХ пересекает действительную ось в точке -1;j0. Также видно, что при увеличении ω фазный угол φ изменяется от (при ω=0) до π при ω → ∞.
Рис.5. АФХ системы при к = 0,447
На рис.6 представлена переходная функция при k = kкр. Как видно из характеристики система находится на границе устойчивости, т.к. колебательный процесс постоянен.
Рис.6. Переходный процесс в системе при к = 0,447
Рассмотрим характеристики системы в неустойчивом состоянии. В неустойчивой состояние система переходит при к < 0,447. Выберем к = 0.3
ЛАЧХ и ЛФЧХ при k = kну = 1 представлены на рис.7.
Рис.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы при к = 2
Как видно из характеристик система находится в неустойчивом состоянии, т.к. амплитудное значение в фазе -π имеет отрицательное значение. Таким образом критерий Найквиста не выполняется. АФХ системы при k = kну пересекает действительную ось правее характерной точки (1;j0).
Рис.8. АФХ системы при к = 0.3
На рис.9 представлена переходная функция при k = kну. Как видно из характеристики система находится в неустойчивом состоянии, т.к. размах колебаний переходной функции нарастает.
Рис.9. Переходный процесс в системе при к = 0.3
Найдём к = ку, при котором система будет устойчива с запасом по модулю не менее 10 Дб.
Для этого используем результат построения ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ккр. При к = ккр = 0,447 система находится на границе устойчивости, и запас по модулю равен 0. Соответствующую ЛАЧХ необходимо поднять на 10 Дб, следовательно = 1,41.
При ку = 1,41 запас по модулю равен 10 Дб. Ниже приведены графики ЛАЧХ, ЛФЧХ, АФХ и переходной функции для устойчивой системы. АФХ пересекает действительную ось левее точки (-1; j0). Согласно критерию Найквиста система устойчива.
Рис.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ системы при к = 1,41
Рис.11. АФХ системы при к = 1,41
Рис.12. Переходный процесс в системе при к = 1,41
2. Исследование системы №2.
2.2 Т1 = 6; Т2 = 0.12
Комплексный передаточный коэффициент:
Уравнения модуля и фазы:
Согласно критерию Найквиста с использованием переходов, для устойчивости системы необходимо, чтобы суммарное число переходов N было равно 0. (W(p) не имеет полюсов с положительной вещественной частью.).
Используя критерий Гурвица найдём ккр1, ккр2, при которых система находится на границе устойчивости.
Характеристический полином передаточной функции замкнутой системы 2 имеет вид:
;
Для устойчивости системы пятого порядка, по критерию устойчивости Гурвица, необходимо, чтобы выполнялись следующие неравенства:
Используя критерий Гурвица мы вычислили и , при которых система 2 находится на границе устойчивости. А так же выяснили, что система в замкнутом виде устойчива при , и не устойчива при и .
При анализе передаточной функции системы №2 с помощь средств компьютерного моделирования были получены результаты в виде ЛАЧХ и ЛФЧХ (Рис.13.) при значении параметра к =1, при этом система является неустойчивой.
Рис.13 Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к =1.
Рис.14 АФХ при к =1.
Необходимо по совмещенным ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы вычислить значение k, при котором:
- замкнутая система будет находиться на границе устойчивости (k=kкр);
- замкнутая система будет неустойчива (k=kну);
- замкнутая система будет устойчива (k=kу) с запасом по модулю не менее 10 дБ.
Определим к1 = ккр1 и к2 = ккр2. из ЛАЧХ и ЛФЧХ. Как видно из характеристик необходимо опустить ЛАЧХ на 7,21 Дб для к1 и на 52,7 Дб для к2 т.е.
20*lg(к1) = -7,21
20*lg(к2) = -52,7
Как видим к1=0,43 к2=0,0023
что примерно совпадает с теоретическими значениями
Система неустойчива при к< 0,0023 или к > 0,43
Система устойчива при ку = 0.1
Проведём анализ системы на границе устойчивости при к = ккр1
На рис.15 мы наблюдаем совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ккр1. . Из характеристик видно, что система находится на границе устойчивости. В фазе –π амплитудное значение находится в нуле
Рис.15 Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ккр1
Рис.16 АФХ при к = ккр1
Заметно, что характерная точка -1;j0 находится на пересечении кривых характеристики, что говорит о граничном состоянии системы.
Рис.17. Переходная функция замкнутой системы при к = ккр1
Переходная функция (Рис.17) показывает, что замкнутая система действительно находится на границе устойчивости, видно что размах колебаний с течением относительно длительного времени не нарастает.
Проведём анализ системы на границе устойчивости при к = ккр2
На рис.18 мы наблюдаем совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ккр2. . Из характеристик видно, что система находится на границе устойчивости. В фазе –π амплитудное значение находится в нуле
Рис.18 Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ккр2
Заметно, что характерная точка -1;j0 находится на пересечении кривых характеристики, что говорит о граничном состоянии системы
.
Рис.19 АФХ при к = ккр2
Рис.20. Переходная функция замкнутой системы при к = ккр2
Проведём анализ устойчивой системы при к = ку
Рис.21 Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = ку
Совмещённые ЛАЧХ и ЛФЧХ при к = 0.1 показывают, что система имеет две критические точи с запасом на уменьшение и увеличение не менее 10Дб. Система устойчива.
Рис.22 АФХ при к = ку
Заметно, что характерная точка -1;j0 находится между точками пересечения характеристики реальной оси, что говорит о устойчивости системы.
Переходная функция (Рис.20) показывает, что замкнутая система действительно является устойчивой, видно что функция достаточно быстро приходит в установившейся режим.
Рис.23 Переходная функция замкнутой системы при к = ку
Выводы.
В ходе лабораторной работы был проведен анализ двух систем, были построены ЛАЧХ, ЛФЧХ по которым определялись запасы устойчивости и граничные значения. Найденные критические значения и характеристики соответствуют теоретическим, найденных по критерию Гурвица.