Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Предмет курсу.
2.Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.
Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, …
Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій : P(A)= m /n.
Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.
Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!
Розміщенням із n елементів по m
(0 mn) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)!
Комбінаціями з n елементів по m
(0 mn) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)!
Система подій називається алгеброю подій, якщо:
Числова функція P, що визначена на системі подій , називається ймовірністю, якщо:
випливає рівність
,
Трійка (), де є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.
Наслідки аксіом:
3 Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей.
Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:
а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C);
б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C)-P(BÇC).
4 Умовна ймовірність та її властивості.
Імовірність події A, визначена за умови, що подія В відбулася, називається умовною і позначається P(A/B). P(A/B)= P(AB) / P(B), P(B)0. Властивості умовної ймовірності:
5 Формули множення ймовірностей для залежних та незалежних випадкових подій.
Нехай подія А є добутком двох подій В і С. Тоді:
а) якщо події В і С незалежні, то P(A)=P(BÇC)=P(B)*P(C);
б) якщо події В і С залежні, то P(A)=P(BÇC)=P(B)*P(C/B).
6 Формула повної ймовірності та формула Байеса.
Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:
де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.
Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.
Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:
7 Означення повторних незалежних випробувань.
Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають а ймовірність настання протилежної події
8 Формула Бернуллі для обчислення ймовірності і наймовірнішого числа.
Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:
Формула застосовується, якщо
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:
9 Локальна та інтегральна теореми Мавра-Лапласа.
Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:
Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10 i p > 0,1.
Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:
—функція Лапласа;
Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.
10Формула Пуассона малоймовірних випадкових подій.
Точність асимптотичних формул для великих значень n- числа повторних незалежних експериментів за схемою Бернуллі – знижується з наближенням p- до нуля .Тому при n → R,
p- 0 за умови np=a=const імовірність появи випадкової події m раз
(0<=m <=n),обчислюється за такою асимптотичною формулою:
Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань , а n велике, то
11 Означення випадкової величини.
Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною.
12.Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.
Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.
Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.
Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане мо многокутник розподілу ймовірностей).
13. Функція розподілуУніверсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Цю функцію можна тлумачити так:унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення,меншого за х. Для дискретних величин
Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва,
Для довільних
Якщо Х — неперервна випадкова величина, то — неперервна і диференційована; її похідна називається щільністю розподілу ймовірностей. При цьому — невід’ємна функція, для якої
Властивості:
1.0F(x)1
2.F(x) є неспадною функцією,а саме F(x2)F(x1), якщо х2х1
14,Математичним сподіванням, або середнім значенням, МХ випадкової величини, називається ряд (для дискретних випадкових величин) і інтеграл (для неперервних випадкових величин), якщо вони абсолютно збіжні. Математичне сподівання має такі властивості:
Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:
Основні властивості дисперсії:
Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою ) є квадратним коренем із дисперсії.
Якщо від випадкової величини віднімемо її математичне сподівання, то дістанемо центровану випадкову величину, математичне сподівання якої дорівнює нулю. Ділення випадкової величини на її середнє квадратичне відхилення називається норму ванням цієї випадкової величини.
Випадкова величина має нульове математичне сподівання й одиничну дисперсію.
Початковий, центральний і абсолютний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:
Якщо існує початковий абсолютний момент порядку k, то існують усі моменти нижчих порядків.
Медіаною випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння
Мода дискретної величини — це таке її значення, імовірність якого найбільша.
Модою неперервного розподілу є значення випадкової величини, за якого щільність розподілу має максимум.
Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:
Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:
15. Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. У загальному випадку систему випадкових величин можна інтерпретувати як випадкову точку або випадковий вектор у просторі вимірів.
Розглядають системи дискретних випадкових величин, неперервних випадкових величин, а також системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами. Так, закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин можна задати таблицею:
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
У цій таблиці
Функція розподілу системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій:
16.Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин. Якщо тобто розглядається система двох випадкових величин , то геометрично її можна тлумачити як випадкову точку з координатами на площині або як випадковий вектор, складові якого — випадкові величини Початковим моментом порядку системи називається величина . Якщо , маємо при дістаємо
Центральним моментом порядку називається величина . При значеннях Якщо навпаки, , то нарешті, при — кореляційний момент (коваріація) випадкових величин Його можна обчислити також за формулою: Для незалежних випадкових величин кореляційний момент дорівнює нулю.
Кореляційний момент характеризує тісноту лінійної залежності між величинами. З цією самою метою застосовують коефіцієнт кореляції r1, або -1rxy1.Отже якщо випадкові величини Х таУ є незалежними , то Кху =0 і rxy=0. Якщо кореляційний момент (коефіцієнт кореляції) дорівнює нулю, то величини називаються некорельованими.
17. Функція розподілу системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій: Геометрично функцію розподілу можна інтерпретувати як імовірність потрапляння випадкової точки в нескінченний прямокутник із вершиною обмежений згори і праворуч
Функція розподілу має такі властивості:
— неспадна функція х і y;
Функції визначають закони розподілу для випадкових величин які входять до системи.
За допомогою функції розподілу можна подати ймовірність потрапляння випадкової точки у прямокутник, сторони якого паралельні осям координат:
Якщо розглядається система неперервних випадкових вели-чин, то для неї визначається щільність розподілу При цьому має такі властивості:
Імовірність потрапляння випадкової точки у довільну область D подається формулою:
Функція розподілу системи двох випадкових величин виражається через щільність розподілу:
Скориставшись властивостями функції розподілу системи неперервних величин, можна знайти щільності розподілу величин, які входять до цієї системи:
19.Сукупність випадкових величин які розглядаються спільно, називається системою випадкових величин.Для системи випадкових величин числові характеристики задаються вектором математичних сподівань і кореляційною матрицею:
Якщо елементи цієї матриці поділимо на добуток , дістанемо матрицю, складену з коефіцієнтів кореляції:
20.Нехай закон дискретной випадкової величини Х задано таблицею:
|
Х=хі |
х1 |
х2 |
х3 |
... |
хк |
|
Р(Х=хі)=рі |
р1 |
р2 |
р3 |
.. |
рк |
Тоді закон розподілу випадкової величини У=(х) матиме такий вигляд:
|
У=(хі) |
(х1) |
(х2) |
(х3) |
................... |
(хк) |
|
Р(У=(хі)=рі |
р1 |
р2 |
р3 |
.................... |
рк |
Де кожне можливе значення У дістають,виконуючи ті операції,які вказані в невипадковій функції,умовно позначеній .
Числові властивості:
1.Математичне сподівання
2.Дисперсія
3.Середнє квадратичне відхилення
23. Означення дискретної випадкової величини
Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій . Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною. Якщо простір дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.
Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.
Для дискретних випадкових величин закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова величина, і ймовірностями цих значень.
Якщо то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то
Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістане мо многокутник розподілу ймовірностей). Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція розподілу Для дискретних величин
Функція розподілу — неспадна, неперервна зліва,
24. Біноміальний закон розподілу
Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Імовірнісна твірна:
Закон розподілу Пуассона
Дискретна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо вона набуває зліченної множини значень з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності
Якщо у схемі незалежних повторних випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли
Ймовірна твірна
25. Числові характеристики розподілу Біноміального закону розподілу:
Імовірності в цьому законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:
Пуасонівський закон: M(X)=a=np; D(X)=a; P(X)=a.
26. Рівномірний закон розподілу
Якщо ймовірність потрапляння випадкової величини на інтервал пропорційна до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон розподілу. Щільність такого розподілу:
Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:
27. Нормальний закон розподілу задається щільністю Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:
Часто застосовується також формула:
28. Логарифмічний нормальний закон розподілу
Нехай Y має закон розподілу,
- ∞<y<∞.
Необхідно знайти f(x), якщо Х=. Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді Оскільки
Отже,
Закон розподілу випадкової величини Х із цією щільністю називають логарифмічним нормальним законом.
29. Показниковий закон розподілу
. .
Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:
Випадкові величини з таким законом розподілу широко застосовуються в задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:
Ме=ln2/a.
Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість – відсутність післядії, а саме: якщо пов”язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість закону використовують у харківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.
30. Розподіл Розглядаємо послідовність попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.
Якщо то ця сума має розподіл з ступенями волі. Щільність розподілу Числові характеристики розподілу: До виразу щільності розподілу входить гамма-функція
Графік щільності розподілу зображено на рис. 3.3.
Для розподілу складено таблиці виду для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого 0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано значення для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального з відповідними математичним сподіванням і дисперсією.
M(X)=n. D(X)=2n.
31. Розподіл Стьюдента. Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, а . Випадкова величина не залежить від Х і має розподіл з n ступенями волі. Щільність розподілу Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t, якщо особливо за малих значень n
Складено таблиці розподілу Стьюдента, здебільшого виду для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
M(Z)=0. .
32. Розподіл Фішера. Якщо випадкові величини незалежні і мають — розподіл відповідно з ступенями волі, то випадкова величина має розподіл Фішера з ступенями волі. Щільність цього розподілу подається формулою:
Щільність розподілу Фішера має графік, зображений на
Для розподілу Фішера складено таблиці, в яких для відповідної кількості ступенів волі для ймовірностей наведено значення –
33. . Закон великих чисел, центральна гранична теорема.
Нерівності Чебишова.
Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то
Друга форма: якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то
Нехай задано послідовність випадкових величин:
Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо
Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність (1).
Теорема Хінчина. Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, однаково розподілені і мають скінченне математичне сподівання то
Теорема Чебишова. Якщо випадкові величини у послідовності (1) незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.
Теорема Маркова. Нехай випадкові величини в послідовності (1) мають скінченні і як завгодно залежні математичні сподівання. Тоді, якщо при то для послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.
Теорема Бернуллі. Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р. Тоді
де — частота події А у даних випробуваннях.
Центральна гранична теорема.
Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:
Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то
(2)
тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність (1), існують моменти третього порядку і виконується умова
то для виконується співвідношен-
ня (2).
Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.
У схемі незалежних повторних випробувань
де Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.
Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:
де m — частота події А у n випробуваннях.
34)Нерівності Чебишова та її значення . Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то
Зауваження : існує друга форм, якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то
Нехай задано послідовність випадкових величин:
(1)
Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо
Окремі форми закону великих чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність(1).
35) Теорема Чебишова
Нехай послідовність незалежних випадкових величин ,які задовольняють умовам:
1.M(Xі)>= aі
2.D(Xі )<= с Для всіх і=1,2,3…..n
Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел. Це означає що середне арифметичне достатньо великої кількості незалежних випадкових величин дуже мало відрізняється від середнього арифметичного їхніх математичних сподівань ,взятого за абсолютним значенням .
Ця теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема
36) Теорема Бернулі
Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність настання події А дорівнює р.Якщо ймовірність появи випадкової події А в кожному з незалежних випробувань n є величиною сталою і дорівнює P,то при необмеженому збільшенні числа експериментів n→∞
Імовірність відхилення відносної частоти появи випадкової події W(A) від імовірності p ,взятої за абсолютною величиною на ε(ε>0) прямуватиме до одиниці зі зростанням n ,що можна записати так:
де — частота події А у даних випробуваннях. Таким чином при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань за схемою Бернулі відносна частота дуже мало відрізняється від ймовірності .
Наведена теорема є законом великих чисел ,так само як і центральна гранична теорема
37) Центральна гранична теорема. Для послідовності випадкових величин розглянемо:
Теорема. Якщо випадкові величини в послідовності незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то
тобто граничним розподілом для є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.
Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють послідовність , існують моменти третього порядку і виконується умова
то для виконується співвідношен-
ня (2).
Наслідком розглянутих теорем є інтегральна теорема Лапласа.
У схемі незалежних повторних випробувань
де Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.
Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати формулу:
де m — частота події А у n випробуваннях.
38) Випадковим процесом називається процес, значення якого за будь-якого значення аргументу t є випадковою величиною.
Реалізацією випадкового процесу називається детермінована функція , на яку перетворюється випадковий процес внаслідок випробування, тобто його траєкторія.
Кілька реалізацій певного випадкового процесу зображено на рис. 4.1. Нехай переріз цього процесу при даному t є неперервною випадковою величиною. Тоді випадковий процес при даному t визначається щільністю ймовірності
Очевидно, що щільність імовірності не є вичерпним заданням випадкового процесу , оскільки вона не виражає залежності між його перерізами в різні моменти часу.
Випадковий процес являє собою сукупність усіх перерізів за всіх можливих значень t, тому для його задання необхідно розглядати багатовимірну випадкову величину утворену з усіх перерізів цього процесу.
Таких перерізів нескінченно багато, але для задання випадкового процесу вдається обмежитись порівняльно невеликою кількістю перерізів.
Випадковий процес має порядок п, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу п довільних перерізів процесу, тобто щільністю п-вимірної випадкової величини де — переріз випадкового процесу у момент часу
Випадковий процес може бути заданий числовими характеристиками.
Математичним сподіванням випадкового процесу називається детермінована функція яка за будь-якого значення змінної t дорівнює математичному сподіванню відповідного перерізу випадкового процесу , тобто
Дисперсією випадкового процесу називається детермінована функція , яка за будь-якого значення змінної t дорівнює дисперсії відповідного перерізу випадкового процесу , тобто
Середнім квадратичним відхиленням випадкового процесу називається арифметичне значення квадратного кореня з його дисперсії, тобто
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення
— розкид реалізацій відносно середньої траєкторії