Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
Вопрос 13. Числовые ряды. Признаки сходимости. Опр. Последовательность чисел a1, a2, …,an,…, соединенные знаком сложения, т.е выражение вида а1+а2+…+аn+… (1), называется числовым рядом. a1, a2, …,an,…- члены ряда. При произвольном n, an-общий член ряда либо n-ый член. а1+а2+…+аn+…= Опр. Суммы S1=a1, S2=a1+a2, …,Sn=a1+a2+…+an, называются частичными суммами ряда (1). Опр. Ряд (1) называется сходящимся, если при этом S называется суммой ряда (1). Если предела не существует, то ряд расходится. Геометрический ряд – это ряд вида Рассмотрим прогрессию (пример)
Бесконечную десятичную дробь вида а,а1а2а3…аn… можно представить в виде следующего числового ряда: (2)- бесконечно числовой ряд. Заметим, что Рассмотрим - ряд сходится. Тогда сходится ряд (2). Опр. Ряд - называется положительным, если все члены данного ряда не отрицательны. Признаки сходимости положительных рядов:
Док-во:
Если сходится, тогда , Sn – ограничено сверху => Предположим, что - расходится, то => расходится. #
, с неотрицательными членами. , сходятся и расходятся одновременно Док-во: сходится => сходится, (по 1му признаку сравнения) тоже сходится. расходится => расходится. расходится, (по 1му признаку сравнения) тоже сходится. сходится => сходится расходится => расходится
Если и положительны, то , то ряды сходятся и расходятся одновременно. (Признак Коши): Пусть дан ряд . Тогда, если существует , то
(Интегральный признак): Пусть дан положительный ряд (3) и существует непрерывная, неубывающая, определенная функция f(x) при x≥1: f(n)=an. Тогда для сходимости ряда (3) - сходящийся (Признак Даламбера): Пусть дан ряд сходится, расходится. Док-во: геометрический ряд – сх-ся => q<1 (по 3 пр.сравнения) сх-ся вместе с значит и сходится при q<1. расходится => расходится. # Пример: рассмотрим ряд Следовательно, ряд сходится, т.к. l<1. Пример на применение признака Коши: Рассмотрим ряд Ряд сходится, т.к. q=, <1. Опр. Ряд называется знакопеременным, если он содержит бесконечно много как полож. так и отриц.членов. Опр. Знакочередующийся ряд, соседние члены которого имеют разные знаки, т.е. Признак Лейбница: Если обладает свойствами {an} не возрастает. сходится. Пр.
=> ряд сходится ШКМ: Как такового понятия ряда нет! Рассматривается геометрическая и арифметическая последовательности. |
Вопрос 14. Степенные ряды. Разложение функции в степенной ряд. Опр. Пусть функции f1(x), f2(x),…fn(x)… определены на некотором множестве X. Тогда функциональным рядом будем называть сумму f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… - числовой ряд. Опр. Ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной x или двучлена (x-a) (где a-постоянная), умноженные на числовые коэффициенты: (1) Или (*) x-a=y называются степенными рядами. Сумма степенного ряда – функция. Область сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой прямой, либо представлять собой одну точку, либо некоторое подмножество R. Более точный ответ на вопрос о структуре области сходимости степ. ряда даёт теорема Абеля: Если функц. ряд (1) сходиться в т. х0 ≠ 0, то он будет сходиться абсолютно во всех х: |х|<|х0|; если ряд (1) расходиться в т. х1, то он будет расходиться в любой т. х: |х|>|х1|. Док-во: 1. сходится =>
Обозначим сходится => (по признаку сравнения) сходится абсолютно. (Опр. ! дан ряд ΣUn, если сумма модулей из Un сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся.)
_________________________________ На основе этой Теоремы утверждаем, что существует R>0 ряд сходится. ряд расходится. Опр. Число R>0 о котором идет речь называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R;R) называется интервалом сходимости. Радиус сх-ти можно найти по признаку Даламбера: или по признаку Коши: Т. (о непрерывности суммы степенного ряда) На всяком отрезке, содерж. на интервале сходимости сумма степенного ряда непрерывна. Т. (об интегрируемости ст.ряда) На любом отрезке, входящем на интервал сходимости ст.ряда, ст.ряд можно интегрировать, причем ряд из интегралов сходится к интегралу от суммы ряда. Т. (о дифференцируемости ст.ряда) ! ст.ряд сходится к некоторой ф.f на интервале сходимости, тогда ряд из производных сходится к некоторой ф.g, причем df=g Опр. Рядом Тейлора функции f(x) (с центром в т. x0) называется ряд ,(2) х0 = 0 (3) Если функция f(x) разлагается в ряд Тейлора с центром в т. x0, то она является бесконечно дифференцируемой в т. x0. Задача: Любую ли функцию можно представить в виде ряда (1) или ряда (*) Опр. Будем говорить, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на множестве X, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на X Единственность разложения в степенной ряд вида (1), (*) обосновывается однозначностью вычисления их коэффициентов. Т.к. все ряды вида (1) или (*) отличаются только коэффициентами сn. Так как однозначная операция (единственность предела). Арифметические операции умножение и деление тоже однозначные, то сn при заданных условиях однозначные. Тем самым разложение функции в ряд Тейлора единственно. Примеры:
ряд Тэйлора
, .
Sinx= |
Вопрос 15. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия теории ДУ. Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется выражение вида: F(x,y(x),y’(x))=0. x-неизвестная переменная, y(x)-неизвестная функция, y’-производная. Если оно решено отн-но производной, то y’=f(x;y). Пример. y’=3x2, y=x3+C. Опр.Обыкновенным дифф. уравнением n-го порядка наз. выражение вида: F(x,y(x),y’(x),y’’(x)…y(n)(x))=0 Опр.Порядком ДУ наз-ся порядок старшей производной, входящей в это ДУ. Опр. Степенью ДУ наз-ся показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка. Пример.y=xy’+y’-y’2-ДУ 1 пор.2степени. Опр. Ур-ие вида F(x1,x2…xk,y(x1..xk),δy/δx,…)=0, где x1,x2…xk-переменные, y= y(x1..xk)-функция, δy/δxk-частные производные, F-функция многих переменных, наз-ся ур-ем в частных производных. Порядок старшей производной, вх.в это ур-ие, наз-ся порядком ур-ия. Опр. Решение диф. уравнения называется любая функция y=φ(x), которая удовлетворяет 2 условиям:
- задача Коши Решить задачу Коши означает найти такое решение диф. ур-ия (1), которое удовл-ет начальному условию (2). Опр.Решить диф. уравнение означает найти все его решения. Решить диф уравнение: проинтегрировать диф уравнение, найти все его решения, найти общее решение. Опр. Функция φ(сx)- общее решение диф уравнения, если для любого значения постоянной с при подстановки φ в уравнение мы получаем верное равенство. Опр. частным решение диф. уравнения называется решение, которое получено из общего решения при конкретном значении постоянной c. Геометрический смысл общего решения: График решения называется интегральной кривой. Этих интегральных кривых бескон. множество. Геометр. смысл частного решения: интегральная кривая, проходящая через заданную точку. Теорема Пикара. Задача Коши Имеет решение и при том единственное, если f является непрерывной функцией 2х переменных имеет непрерывную производную по переменной у в некоторой окрестности точки (х0;у0). Геом. смысл. Теорема указывает, в каких случаях можно ручаться за то, что через данную точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Действительно, теорему можно прочитать сл. образом: если даны д. у. (1) и начальные условия (2) и его правая часть непрерывна в окрестности точки (х0, у0) и производная по у от правой части ограничена в окрестности точки (хо, уо), то через точку плоскости М (хо, уо) проходит одна и только одна интегральная кривая ур-ия (1). Методы решения ДУ.
у’=f(x) 2) у’=f(у) 3) уравнение с разделенными переменными P(x)dx+Q(y)dy=0
при Q1(y) ≠ 0, Р2(х) ≠ 0 - уравнение с разделяющимися переменными. Опр. Уравнением с разделяющими переменными называется уравнение вида: (**) Название уравн. объясняется тем, что в таком уравнении можно «отделить» переменные x и y друг от друга, уединив все члены с переменной x и dx в одной части уравнения, а все члены с переменной y и dy – в другой. Для этого надо поделить левую часть уравнения (**) на Последнее равенство можно переписать в виде равенства 2 диффер.: , Откуда , или Произв. постоян c входит в равенство (***) в составе неопред интегралов. Равенство (***) дает общий интеграл уравнение (**). Пример. x(1+y)dx+y(1+x)dy=0, (x/1+x)dx+(y/1+y)dy=0, S(x/1+x)dx+S(y/1+y)dy=0, ln(1+x)+ln(1+y)=C1, (1+x)(1+y)=C-общий интеграл. Опр. Диф. уравнение вида y’+A(x,y)=B(x)(*) называется линейным ДУ первого порядка. A(x), B(x) – непрерывные функции. Опр. называется однородным ДУ, если P, Q являются однородными функциями одного и того же порядка. Пример. (x+y)dx+(y-x)dy=0, P(x;y)=x+y, Q(x;y)=y-x, P(αx;αy)=αx+αy=α(x+y)-однор.ф-ция 1 пор.и вторая аналог-но=>ур-ие однор. y/x=u, y=ux, dy=xdu+udx, (x+y)dx+(y-x)xdu+(y-x)udx=0, (x+xu)dx+(xu-x)xdu+(ux-x)udx=0, x(1+u2)dx+x2(u-1)du=0 x((1+u2)dx+x(u-1)du)=o (x=0-частное реш-ие)–ур-ие с разделяющимися переменными, dx/x+(u-1)/(u2+1)du=0, S dx/x+S(u-1)/(u2+1)du=0, S(u-1)/(u2+1)du=Su/( u2+1)du-S1/( u2+1)du=1/2ln(u2+1)-arctgu+C1, ln|x|+1/2ln(u2+1)-arctgu+lnC2=0, ln(x2(u2+1)C)=2arctgu, ln(C(x2u2+x2))=2arctgu, C(y2+x2)=e2arctgy/x-общее решение. Опр. Диф. уравнение вида y’+p(x)y=q(x)(*) называется линейным диф. уравнением первого порядка. p(x), q(x) – непрерывные функции, q(x)тожд-но равно 0-однородное лин.ДУ 1 пор, q(x)тожд-но≠0-неоднор.лин.ДУ 1 пор. у’=f(x;y) 1)Решить однор.ДУ. Однородное линейное уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными. y’+p(x)y=0, разделим перем-ые: dy/y+p(x)dx=0, ln|y|+Sp(x)dx+lnc=0, ln(|y|c)=-Sp(x)dx, |y|c=e-Sp(x)dx, y=C e-Sp(x)dx-общее решение. 2)Метод вариации переменной(метод Лагранжа). Получили решение в виде y=cφ(x), с-произвольная постоянная. Будем искать решение неоднородного уравнения q(x)≠0 в виде y=c(x)φ(x), c(x) –неизвестная пока функция, которую надо найти. Подставим y=c(x)φ(x) в уравнение(*) получим д.у. в котором все известно, кроме c(x), т.е c(x)-неизвестная функция. (урав с раздел перемен). Находим с(x). 3) Ответ: общее решение Y=c(x)φ(x). Пример. y’+2xy=2xe-x^2 1)y’+2x=0, dy/y+2xdx=0, ln|y|+x2=C1, ln|y|=lnC2-x2, |y|=elnC2-x^2, y=Ce-x^2 2)y=c(x)e-x^2, y’=c’e-x^2+ce-x^2(-2x), c’e-x^2-2xce-x^2+2xce-x^2=2xe-x^2, c’e-x^2=2xe-x^2/ex^2, c’=2x, c=x2+Const, y=(x2+c)e-x^2-общее решение. ШКМ: как такового понятия диф уравнения в школ. курсе нет. Но на самом деле есть задачи на механические приложения производной, при решении которых решают самые элементарн. диф уравнения. Например, задано уравнение движения. нужно найти скорость. s(t)=2t2+3y V(t)=S’(t)=4t+3- диф уравнение первого порядка. |