Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. основные положения теории
электромагнитного поля
Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопической электродинамике, подчиняются законам, впервые сформулированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Максвеллом. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В интегральной форме оно имеет вид:
, (1.1)
где - вектор напряженности магнитного поля;
- вектор плотности тока проводимости;
- вектор электрического смещения;
- произвольная поверхность, опирающаяся на контур L;
- векторный дифференциал контура L;
- векторный дифференциал поверхности S.
Уравнение (1.1) говорит о том, что линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру равен полному току, проходящему через поверхность, ограниченную этим контуром.
Максвеллом этот закон был сформулирован также в дифференциальной форме
. (1.2)
Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который формулируется следующим образом: электродвижущая сила e, возникающая при изменении магнитного потока Ф, проходящего сквозь поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L, равна скорости изменения этого потока с обратным знаком:
. (1.3)
Знак минус в правой части формулы (1.3) означает, что возникающая в контуре ЭДС всегда как бы стремится воспрепятствовать изменению потока, пронизывающего данный контур.
Пусть L – произвольный одновитковый контур, а S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур L (рис. 1.1.). Электродвижущая сила, наводимая в этом контуре
, (1.4)
а магнитный поток Ф связан с вектором магнитной индукции соотношением
. (1.5)
. (1.6)
Соотношение (1.6) сформулировано для контура конечных размеров и называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме.
В дифференциальной форме второе уравнение Максвелла имеет вид:
. (1.7)
Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом q, сосредоточенным внутри этой поверхности:
. (1.8)
Заряд q может быть произвольно распределен внутри поверхности S. Поэтому в общем случае
, (1.9)
где - объемная плотность зарядов; V – объем, ограниченный поверхностью S.
Уравнение (1.8) обычно называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме используют для преобразования левой части этого уравнения теорему Остроградского-Гаусса, в результате чего получают
. (1.10)
Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с законом Гаусса для магнитного поля, который можно сформулировать следующим образом. Поток вектора через замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.
. (1.11)
В дифференциальной форме четвертое уравнение Максвелла записывается следующим образом
. (1.12)
Выше были рассмотрены основные уравнения электродинамики. Каждое из них описывает те или иные свойства электромагнитного поля. Анализ электромагнитных процессов возможен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой системой являются уравнения Максвелла
(1.13)
совместно с уравнениями, связывающими векторы и , и , и , которые в случае линейных изотропных сред имеют вид
(1.14)
Уравнения (1.14) часто называют уравнениями состояния, а также материальными уравнениями; они характеризуют среду. В них: - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; - электрическая постоянная; - относительная диэлектрическая проницаемость среды; - абсолютная магнитная проницаемость среды; - магнитная постоянная; - относительная магнитная проницаемость среды; - удельная проводимость среды.
Наряду с уравнениями Максвелла в дифференциальной форме в ряде случаев удобно использовать уравнения максвелла в интегральной форме:
(1.15)
На основе уравнений Максвелла можно сделать следующие выводы относительно свойств электромагнитного поля. Электрическое и магнитное поля тесно связаны между собой. Всякое изменение одного из них вызывает изменение другого. Независимое существование одного поля без другого (например, электрического без магнитного, или магнитного без электрического) возможно только в статическом режиме. Источниками электромагнитного поля являются заряды и токи. Магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть и вихревым, и потенциальным и в общем случае представляет собой суперпозицию таких полей. Чисто потенциальным электрическое поле может быть только в статическом случае. Векторные линии электрического поля могут иметь истоки и стоки. Векторные линии магнитного поля (и линии вихревого электрического поля) всегда непрерывны.
Уравнения, входящие в полную систему уравнений Максвелла (1.13) и (1.14), являются линейными уравнениями. Поэтому можно утверждать, что электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником.
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому большой практический интерес представляет режим гармонических колебаний. Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд.
Перейдем в системе уравнений Максвелла (1.13) к комплексным векторам и . При этом первое уравнение Максвелла примет вид . Учитывая, что , а , приходим к соотношению
.
Вводя обозначение
, (1.16)
получаем
. (1.17)
Уравнение (1.17) является первым уравнением Максвелла для монохроматического поля. Величина , определяемая формулой (1.16), характеризует электрические свойства среды и называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее значение зависит от частоты. Входящая в (1.16) величина равна отношению амплитуд плотностей тока проводимости и тока смещения и называется тангенсом угла электрических потерь
. (1.18)
Второе уравнение Максвелла для монохроматического поля для изотропной среды имеет вид:
, (1.19)
Третье и четвертое уравнения Максвелла в случае произвольной среды запишутся следующим образом
; (1.20)
, (1.21)
а для частного случая однородной изотропной среды
; (1.22)
. (1.23)
При решении задач по расчету параметров электромагнитного поля необходимо знать, как ведут себя компоненты поля на границе раздела сред, т.е. граничные условия для векторов электромагнитного поля.
Для электрического поля на границе двух сред должны выполняться условия
; (1.24)
, (1.25)
где - плотность поверхностных зарядов на границе раздела сред. Если , то
. (1.26)
; (1.27)
, (1.28)
где - плотность поверхностных токов. Если . То
. (1.29)
При изучении электромагнитных полей вблизи поверхности металлических тел часто предполагают, что рассматриваемое тело есть идеальный проводник. В этом случае поле внутри проводника , а
. (1.30)
В соотношениях (1.24) – (1.30) индексы n означают нормальные составляющие векторов, индексы - касательные.
Электромагнитное поле является одной из форм материи, поэтому оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии. Запас энергии в объеме V, ограниченном поверхностью S, определяется суммой электрической и магнитной энергий
. (1.31)
Используя уравнения Максвелла, можно получить уравнение баланса мгновенных значений мощности
, (1.32)
где dS – элемент поверхности S, ограничивающий объем V.
Уравнение (1.32) называют теоремой Умова-Пойнтинга. Левая часть уравнения (1.32) характеризует расход энергии во времени, правая указывает, как расходуется энергия, заключенная в объеме, за единицу времени. Первое слагаемое в правой части (1.32) представляет собой поток энергии в единицу времени через замкнутую поверхность S объема V в окружающее пространство. Второе слагаемое выражает энергию внутри объема, преобразуемую в тепло за единицу времени.
Величина, равная векторному произведению векторов и , называется вектором Пойнтинга
. (1.33)
Векторы , и образуют правую тройку векторов. Вектор перпендикулярен плоскости, которую могут образовать векторы и . Направление вектора можно определить правилом правой руки, где большой палец укажет направление вектора , указательный - , а средний - .
Излучаемая или поступающая в объем через ограничивающую поверхность энергия равна интегралу от скалярного произведения вектора Пойнтинга на элемент поверхности dS:
. (1.34)
Зная величины векторов напряженности электрического и магнитного поля на поверхности кабеля, можно определить энергию, поглащаемую или излучаемую им (рис.1.2).
Для монохроматического электромагнитного поля можно вывести уравнение баланса комплексной мощности.
В зависимости от режима работы, используемых длин волн, диапазона частот и среды, в которой происходит распространение электромагнитной энергии, можно выделить пять различных режимов передачи:
Статический режим соответствует объемным статическим зарядам и относится к процессам электростатики и магнитостатики. В этом случае перемещение заряженных частиц не происходит () и отсутствует временная зависимость параметров поля. При этих условиях система уравнений (1.13) и (1.14) распадается на две независимые системы:
(1.35)
и
. (1.36)
Уравнения (1.35) содержат только векторы электрического поля, а (1.36) – только векторы магнитного поля. Это означает, что в данном случае электрические и магнитные явления независимы.
Явления, описываемые системой уравнений (1.35), принято называть электростатическими. Электростатические поля – это поля, созданные неподвижными, неизменными по величине зарядами. Система уравнений (1.35) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики.
Уравнения (1.36) характеризуют поля, создаваемые постоянными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа свойств магнитного поля, созданного постоянными токами в области, в которой плотность тока проводимости равна нулю () и которая не сцеплена с током (не охватывает его линий). Явления, описываемые системой (1.36), называют магнитостатическими, а соотношения (1.36) – уравнениями магнитостатики.
В технике линий связи на основе уравнений электростатики определяется электрическая емкость проводников.
Стационарный режим относится к случаю передачи по проводникам постоянного тока. При наличии постоянного тока электрическое и магнитное поля уже нельзя считать независимыми. Система уравнений Максвелла в этом случае принимает вид
(1.37)
В данном режиме магнитное поле имеет вихревой характер, а электрическое – безвихревой (потенциальный).
В технике линий связи из анализа стационарного магнитного поля определяется внешняя индуктивность направляющей системы, а из стационарного электрического – проводимость.
Квазистационарный режим охватывает процессы, протекающие достаточно медленно. В этом случае в первом уравнении Максвелла при наличии тока проводимости можно пренебречь током смещения.
Уравнения Максвелла для этого режима имеют вид:
(1.38)
Данный режим справедлив для частот, при которых длина волна значительно больше поперечные размеры направляющей системы. Это относится к проводным системам (воздушные линии, симметричные и коаксиальные кабели) в диапазоне частот примерно до 109 Гц.
Волновой и квазиоптический режимы характерны для процессов в диэлектриках и свободном пространстве, когда доминирующими являются токи смещения, токи проводимости и потери незначительны. Это относится к процессам распространения и излучения электромагнитных волн в радиотехнике и лазерной технике и охватывает диапазон частот от 1012 Гц и выше. В этом случае, как правило, длина волны меньше поперечных размеров направляющей системы.
Уравнения Максвелла для данного режима
(1.39)
Электродинамический режим относится к области высоких частот и коротких длин волн, когда необходимо учитывать как токи проводимости, так и токи смещения. В этом режиме осуществляется передача электромагнитной энергии по волноводам, радиочастотным линиям в диапазоне (1010 – 1012) Гц. Здесь длина волны соизмерима с поперечными размерами направляющей системы. Расчет надо вести по полным уравнениям Максвелла (система (1.13) и (1.14)).
и диэлектриках
Среды могут сильно отличаться друг от друга по величине удельной проводимости, поэтому электромагнитные поля в таких средах могут обладать разными свойствами. Чем больше величина , тем больше плотность тока проводимости в среде при той же напряженности электрического поля. Часто для упрощения анализа вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальный проводник – это среда с бесконечно большой удельной проводимостью (). В идеальном диэлектрике . В идеальном проводнике может существовать только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике – только ток смещения. В реальных средах имеется как ток проводимости, так и ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в которых ток проводимости намного превосходит ток смещения, а диэлектриками – среды, в которых основным является ток смещения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет относительный характер, так как существенно зависит от скорости изменения электромагнитного поля.
В случае монохроматического поля комплексные амплитуды векторов плотности тока проводимости и плотности тока смещения равны соответственно и . Отношение
(1.40)
и является критерием деления сред на проводники и диэлектрики. Если »1, среду называют проводником, если «1 - диэлектриком. Из соотношения (1.40) следует, что диэлектрические свойства сильнее проявляются при более высоких частотах.
Металлы имеют большую удельную проводимость, поэтому у них »1 на всех частотах, используемых в радиотехнике. У типичных диэлектриков (полиэтилен, полистирол, гетинакс и др.), наоборот, удельная проводимость очень мала.
Существует ряд сред, занимающих промежуточное положение между проводниками и диэлектриками, например, вода, почва, лед и др.
При рассмотрении процессов в диэлектриках расчетные формулы приобретут вид
(1.41)
После разделения в системе (1.41) переменных, можно получить однородные уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд векторов напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля
, (1.42)
. (1.43)
Коэффициент распространения электромагнитной волны в идеальном диэлектрике
, (1.44)
где коэффициент затухания (ослабления) , а коэффициент фазы .
Фазовая скорость
, (1.45)
волновое сопротивление
. (1.46)
Для проводников уравнения Максвелла записываются следующим образом
(1.47)
Коэффициенты распространения, затухания и фазы определяются формулами
, (1.48)
фазовая скорость
, (1.49)
волновое сопротивление
. (1.50)
Сравнивая электромагнитные процессы в проводнике и диэлектрике, можно сделать следующие выводы:
Кроме того, при анализе электромагнитных процессов в реальных токопроводящих жилах кабелей связи, необходимо учитывать поверхностный эффект.
1.4. Типы и классы электромагнитных волн
Характер распространения электромагнитных волн в направляющих системах, структура поля и частотные характеристики систем зависят в первую очередь от класса волны, используемой для канализации энергии. Существуют следующие классы волн: поперечные, электрические, магнитные и гибридные.
Поперечными волнами, или Т-, или ТЕМ-волнами (Т – первая буква английского слова transvers, что означает поперечный), называют волны, у которых векторы и перпендикулярны направлению распространения волны, т.е. не имеют продольных составляющих (). Силовые линии лежат в поперечных плоскостях и в точности повторяют картину силовых линий поля при статическом напряжении и постоянном токе.
Электрическими волнами, или Е-волнами, называют волны, у которых вектор имеет как поперечные, так и продольную составляющие, а продольная составляющая вектора напряженности магнитного поля Hzравна нулю. Е-волны иногда называют поперечными магнитными волнами или ТМ-волнами.
Магнитными волнами, или Н-волнами, называют волны, у которых вектор имеет как поперечные, так и продольную составляющую, а продольная составляющая вектора напряженности электрического поля Еz равна нулю. Н-волны иногда называют поперечными электрическими волнами или ТЕ-волнами.
Силовые линии электрических и магнитных волн располагаются как в продольных, так и в поперечных сечениях направляющей системы. Они возбуждаются в высоком диапазоне частот, где определяющими являются токи смещения. Используются данные волны при передаче энергии по металлическим и диэлектрическим волноводам и однопроводным линиям. Поперечные размеры волновода соизмеримы с длиной волны, передаваемой по направляющей системе.
Гибридными, или смешанными волнами называют волны, у которых и вектор , и вектор наряду с поперечными составляющими имеют и продольные составляющие. Они представляют собой нераздельную сумму Е- и Н-волн. К числу смешанных волн относятся волны, передаваемые по световодам и диэлектрическим волноводам.
Волны делятся также по типам. Тип волны или мода определяется сложностью структуры, т.е. числом максимумов и минимумов поля в поперечном сечении. Мода обозначается двумя числовыми индексами n и m. Например, в круглых волноводах n означает число полных изменений поля по окружности волновода, m – число изменений поля по диаметру.
1.5. Уравнения электродинамики для различных типов волн
Рассмотрим произвольную бесконечно протяженную однородную направляющую систему, ориентированную вдоль оси Z цилиндрической системы координат.
Векторы и должны удовлетворять однородным уравнениям Гельмгольца
(1.51)
где - комплексное волновое число среды.
Проецируя уравнения (1.51) на ось Z цилиндрической системы координат, получаем
(1.52)
В области, где отсутствуют сторонние источники, комплексные амплитуды векторов и , соответствующие волне, бегущей вдоль однородной линии передачи, могут быть представлены в виде
, (1.53)
где , .
Подставив (1.53) в (1.52), получим
(1.54)
где .
Система уравнений (1.54) позволяет определить продольные составляющие векторов и . При желании, зная их, можно определить и поперечные составляющие .
Рассмотрим поперечные, или Т-волны. Для них , поэтому , откуда
, (1.55)
,
.
Если среда не обладает проводящими свойствами () и отсутствуют потери, то
.
Волновое сопротивление
, (1.56)
а в случае отсутствия потерь
.
Рассмотрим параметры электрических и магнитных волн. При этом предположим, что среда не обладает проводимостью (), тогда , .
С учетом того, что , где - длина волны, получим
. (1.57)
Из (1.57) видно, что в зависимости от частоты подкоренное выражение может быть положительным, равным нулю или отрицательным.
В первом случае g>k, параметр - действительное число. Амплитуды составляющих векторов и экспоненциально убывают вдоль оси Z. Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рассматривается идеальная направляющая система, в которой потери отсутствуют.
В третьем случае g<k, подкоренное выражение в (1.57) оказывается отрицательным, параметр - мнимая величина. Фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент линейно зависят от координаты z, что является признаком распространения волны вдоль оси Z с постоянной скоростью . Распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси Z без затухания.
Во втором случае g=k, параметр . Такой режим называют критическим. Частота, определяемая из условия g=k, называется критической частотой
. (1.58)
Соответствующая этой частоте критическая длина волны
. (1.59)
Таким образом, Е-, Н- и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую критическую частоту, определяемую формулой (1.58). Отметим, что значение fкр зависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны. Область волн λ>λкр, f<fкр является областью отсечки, в которой линия не может быть использована для обычной передачи энергии.
Коэффициент распространения Е- и Н-волн в случае отсутствия потерь
, (1.60)
где .
Волновое сопротивление Е-волны
. (1.61)
Для случая, когда среда, в которой распространяются волны, не обладает проводимостью
. (1.61)
Волновое сопротивление Е-волны при f>fкр меньше Zвт (рис.1.3). При f→∞ ZвЕ→Zвт.
Волновое сопротивление H-волны
. (1.62)
Волновое сопротивление Н-волны при f>fкр всегда больше Zвт (рис.1.3). При увеличении частоты от критической до бесконечности оно убывает от бесконечности до Zвт.
В области волн длиннее критической (λ>λкр) волновые сопротивления Е- и Н-волн являются чисто мнимыми величинами. Это означает, что при λ>λкр поперечные составляющие векторов напряженностей электрического и магнитного полей сдвинуты по фазе на 90о. Очевидно, что при этом комплексный вектор Пойнтинга принимает чисто мнимые значения, т.е. вдоль линии не происходит переноса энергии.
Рассмотрим фазовую скорость – скорость перемещения вдоль линии фронта определенной электромагнитной волны
. (1.63)
Для Т-волн при условии
, (1.64)
где – скорость света в вакууме, - скорость света в среде с параметрами и .
Для Е- и Н-волн фазовая скорость
. (1.65)
Отметим, что у Е-, Н- и гибридных волн фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называют дисперсией волн. При f=fкр фазовая скорость равна бесконечности, при увеличении частоты она приближается к скорости света в среде (рис.1.4).
Понятие фазовой скорости относится лишь к режиму установившихся колебаний. По линиям же передаются сигналы, которые можно представить в виде совокупности бесконечно большого числа гармонических составляющих. Фазовые скорости этих составляющих различны. Поэтому для характеристики скорости распространения сигнала недостаточно понятия фазовой скорости, и вводится понятие групповой скорости.
Групповая скорость определяет скорость распространения максимума огибающей группы смежных по частоте составляющих сложного колебания. Она характеризует скорость, с которой распространяется вся группа волн. Для непрерывного частотного спектра модулированного сигнала
. (1.66)
Для Т-волн при условии
, (1.67)
для Е- и Н-волн
. (1.68)
Сравнивая выражения для фазовой и групповой скоростей, можно сделать заключение, что для всех типов рассматриваемых волн .
Зависимость групповой скорости от частоты для Е- и Н-волн показана на рис.1.4. При f=fкр групповая скорость равна нулю и по мере повышения частоты приближается к скорости света в данной среде.