Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
14.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
А) Усвоение учащимися системы фактов, дальнейшее изучение геометрических свойств реального мира;
Б)Повышение уровня логической культуры учащихся через их ознакомление с методами геометрии, ее логической структуры;
В)развитие у школьников пространственных представлений и пространственного воображения;
Г) выработка у учеников умения применять свои теоретические знания на практике
В основу построения курса стереометрии старших классов положены следующие принципы:
1)обеспечение приемственности курса с курсом геометрии основной школы.
2)Обеспечение строгости математического языка, в частности, через уточнение смысла ведущих понятий;
3)Создание условий для развития пространственного воображения учащихся.
Изучене параллельности в пространстве включает рассмотрение параллельности прямых в пространстве, параллельности прямой и плоскости, параллельности плоскости параллельной проекции фигурки.
А) Взаимное расположение прямых в пространстве.
Анализ возможности взаимного расположения прямых в пространстве предваряется решением задачи на проведение в пространстве прямой, параллельной данной прямой и в связи с этим разъяснение символа «построение в пространстве».
Из следствий, вытекающих из аксиом стереометрии, известно, что две прямые в пространстве могут быть пересекающимися или параллельными. Такие прямые расположены в некой плоскости. Ставится проблема выяснить, существуют ли в пространстве прямые, которые не пересекаются и не параллельны. С помощью модели выясняется возможность в принципе существования таких моделей. Дальнейшее изложение материала целесообразно проводить по следующей схеме:
Б) Параллельность прямой и плоскости. Изложение материала целесообразно начать с анализа случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Два случая этого расположения уже известны:
1). Прямая лежит в плоскости. Две различные точки этой прямой принадлежат плоскости(А3);
2). Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единственную общую точку. Выясняется, что возможен и третий случай: (а∩α=не пустое множество).
Схема рассмотрения этого случая такова же ,как и в предыдущем случае.
Было бы полезно доказать, что кроме трех перечисленных случаев взаимного расположения прямой и плоскости, никаких других не может быть. Действительно, множество общих точек прямой и плоскости может быть только или пустым или одноэлементным, или содержащим не менее двух элементов. Но так как при любом числе общих точек, не меньшем двух, а принадлежит α, то утверждение доказано.
При доказательстве признака параллельности прямой и плоскости применяется признак скрещивающихся прямых. В целях подготовки учащихся к доказательству теоремы, обратной к теореме, выражающей признак параллельности прямой и плоскости(Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой), уместно использовать задачу №48: «Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, расположенной в этой плоскости?».
В) Параллельность плоскостей. Изучение параллельности плоскостей также надо начать с анализа различивших случаев взаимного расположения. Два случая уже известны:
1). Если 2 плоскости имеют 3 общие точки, не принадлежащие прямой, то они совпадают(А 4);
2). Если 2 плоскости различны и имеют общую точку , то они пересекаются(А5).
Ставится задача выяснить, возможен ли 3-й случай, когда плоскости не имеют ни одной общей точки. Рассмотрим параллельность прямых содержащихся в данных плоскостях α и β. Выясним верно ли утверждение ,что α II β, если α II β (а принадлежит α, б принадлежит β). С помощью моделей выяснится, что такое утверждение не верно. Выясним, если 2 параллельные прямые, лежащие в плоскости α, параллельны соответственно 2 параллельным прямым , лежащим в плоскости β, будут ли параллельными плоскости α и β. Здесь имеем по существу тот же случай, что был уже рассмотрен и ученики приходят к окончательному выводу.
Наконец, рассматривая модель 2 плоскостей, одна из которых содержит 2 прямые, соответственно параллельным 2 пересекающимся прямым другой плоскости, ученики приходят к формулировке признака параллельности плоскостей. Дальнейшее изложение осуществляется по уже известной схеме.
В качестве дополнительной задачи можно предложить учащимся дать обоснование, почему не может быть других случаев взаимного расположения 2 плоскостей, кроме случаев пересечения и параллельности. При обосновании надо сослаться на А4 и А5 и на рассмотренный материал. Если же 2 плоскости имеют более 3 общих точек, не принадлежащих одной прямой, то получится случай совпадения. Для развития пространственных представлений учащимися важным является усвоение теоремы о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости (Теор. 8)
Следствие из этой теоремы (Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные 2 плоскости параллельны между собой). Доказательство этого следствия рекомендуется ученикам дать самостоятельно. Возможны два варианта доказательства(в руков. для учителя).
Г) На первых уроках стереометрии учащиеся знакомятся с решением основных задач на построение в пространстве(приводится в объяснительном тексте):
1). Через данную точку пространства провести прямую, параллельную данной прямой.
2). Через каждую из 2 скрещивающихся прямых провести плоскость так, чтобы эта плоскость была параллельна.
3). Построение сечений многогранников.
При решении задачи 2 не предлагается обосновать единственность проведенных плоскостей. Однако учитель должен это доказательство знать.
5. К методике изучения перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.
Изложение определения и темы начинается рассмотрения признака перпендикулярности прямой и плоскости. Понятие перпендикулярности прямых применимо не только к пересекающимся , но и к скрещивающимся прямым.
В определении перпендикулярности прямой к плоскости не включено требование, что бы прямая пересекала плоскость. Это требование лишнее, в чем можно убедиться, рассуждая от противного. Изложение признака перпендикулярности прямой и плоскости целесообразно вести методом беседы. Рассматривая модель, ученики замечают, что при условии а перпендикулярно б(б прямая лежащая в плоскости α) утверждение а перпендикулярно б неверно. Это утверждение неверно и при условии, что а перпендикулярно двум параллельным прямым б и с, лежащим в плоскости. И лишь при демонстрации случая, когда прямая а перпендикулярна к пересекающимся прямым б и с, лежащим в плоскости, учащиеся приходят к нужной гипотезе. Решение задачи на проведение плоскости через данную точку, перпендикулярно данной прямой, рассматриваем для случаев, когда точка не принадлежит прямой и принадлежит ей. Задача о проведении прямой, перпендикулярной данной плоскости, решается традиционно.
При рассмотрении двух теорем о двух перпендикулярах к плоскости уместно использовать аналогию с планиметрией. Расстояние от точки до плоскости определяется как расстояние от этой точки до ее ортогональной проекции на данную плоскость. Если среди расстояний между двумя точками, одна из которых принадлежит фигуре Ф1, а другая расстоянием между фигурами Ф1 и Ф2. Следует иметь в виду, что в этом определении исключен случай, когда не существует наименьшего расстояния между точками фигур Ф1 и Ф2. Задача о построении общего перпендикуляра скрещивающихся прямых решается традиционно. Формулировка и доказательство теоремы о трех перпендикулярах не традиционное. В учебном пособии эта теорема формулируется с использованием необходимых и достаточных условий. Кроме того, прямая лежащая в плоскости не связывается с основанием наклонной. «Векторное» доказательство теоремы предлагается выполнить в виде упражнения. Хотя оно несколько сложнее доказательства, приведется в тексте, но позволяет установить истинность теоремы без ссылки на признак перпендикулярности прямой и плоскости. Определение угла между наклонной и плоскостью уместно ввести после рассмотрения задачи на сравнение угла между наклонной и ее проекцией на плоскость с углом между этой наклонной и произвольной прямой, лежащей в плоскости.
Пусть т. М-точка пересечения наклонной а и плоскости α. Спроектируем отрезок МN, наклонной на эту плоскость, получили отрезок МN. Проведем (МС)IIb. Обозначим:
Эта формула позволяет сравнить величины φ и γ. Так как 0<cosβ<1, то cosγ<cosφ, откуда φ<γ. Таким образом, угол между наклонной и М проекцией на плоскость есть наименьший из углов, образованных наклонной со всеми прямыми, лежащими в этой плоскости. Понятие угла между наклонной и плоскостью часто применяется при выполнении измерительных работ на местности. Двугранный угол определяется как пересечение двух полупространств, границами которых служат параллельные плоскости. Пересечение двугранного угла и плоскости перпендикулярной к его ребру, называется величина его линейного угла. Не надо допускать смешения учащимися понятий «двугранный угол» и угол между пересекающимися плоскостями в последнем случае речь не о фигуре, а о величине. Надо так же отметить различие между понятиями, величина двугранного угла, определенного пересекающимися плоскостями и угол между пересекающимися плоскостями: во втором случае имеется в виду величин из [00;900], во втором – из [00;1800].Рассмотрению признака перпендикулярности плоскостей надо предварить определение перпендикулярности плоскостей.. Признак рассматривается в виде двух теорем, выражающих достаточное и необходимое условия перпендикулярности 2 плоскостей.