Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
246
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ К ГЛАВЕ 3
Лабораторная работа 3.1.
Решение системы линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса
Задание.
Решить СЛАУ методом Гаусса.
Варианты задания.
где – номер факультета; – номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Дана система уравнений
Ручной счет.
Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Выполним прямой ход метода Гаусса.
На первом шаге прямого хода из второй строки вычитаем первую, умноженную на коэффициент , а из третьей строки вычитаем первую, умноженную на . В результате после первого шага будем иметь:
.
На втором шаге прямого хода из третьей строки вычитаем вторую, умноженную на . В результате после второго шага будем иметь:
.
Выполним теперь обратный ход метода Гаусса.
Эквивалентная система с треугольной матрицей может быть записана следующим образом:
Из третьего уравнения находим:
.
Из второго уравнения находим:
.
Из первого уравнения находим:
.
Итак, решение рассматриваемой СЛАУ следующее:
.
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_1 ! Требуется подключить файл integer(4), parameter :: n=3 ! simq.for, содержащий real(4), dimension(n,n) :: A,b(n) ! подпрограмму SIMQ из integer(4) :: i,j,ier ! математической библиотеки SSP print *,’ Vvedite matritsu A i vector b’ read *,((A(i,j),j=1,n),b(i),i=1,n) print *,’ Iskhodnaya systema’ do i=1,n print 1,(A(i,j),j=1,n),b(i) end do 1 format(10f8.2) call SIMQ(A,b,n,ier) print *,’ Kod oshibki ier=’,ier print 2,b 2 format(8x,’Reshenie’/10f8.2) end |
К программе необходимо подключить стандартную подпрограмму SIMQ.
Результаты расчета:
Iskhodnaya systema
2.00 -3.00 1.00 -1.00
1.00 2.00 -6.00 -10.00
5.00 1.00 1.00 3.00
Kod oshibki ier= 0
Reshenie
0.00 1.00 2.00
Коэффициенты системы вводятся строками расширенной матрицы.
Лабораторная работа 3.2.
Вычисление обратной матрицы и определителя методом Гаусса
Задание.
Для заданной матрицы вычислить обратную матрицу и определитель.
Варианты задания.
,
где – номер факультета; – номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Пусть задана матрица
Ручной счет.
Соответствующая расширенная матрица:
.
Выполним прямой ход метода Гаусса по всей расширенной матрице.
После первого шага получим:
.
После второго шага получим:
.
Вычисляем определитель матрицы:
.
Для вычисления элементов обратной матрицы выполним теперь обратный ход по каждой правой части расширенной матрицы.
Вычисляем элементы первого столбца обратной матрицы:
– из третьего уравнения
;
– из второго уравнения
;
– из первого уравнения
.
Вычисляем элементы второго столбца обратной матрицы:
– из третьего уравнения
;
– из второго уравнения
;
– из первого уравнения
.
Вычисляем элементы третьего столбца обратной матрицы:
– из третьего уравнения
;
– из второго уравнения
;
– из первого уравнения
.
Итак, искомая обратная матрица имеет вид:
.
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_2 ! Требуется подключить файл integer(4), parameter :: n=3 ! minv.for, содержащий real(4), dimension(n,n) :: A ! подпрограмму MINV из integer(4), dimension(n) :: l,m ! математической библиотеки SSP real(4) :: d integer(4) :: i,j print*,’ Vvedite matritsu A’ read *,((A(i,j),j=1,n),i=1,n) print *,’ Iskhodnaya matritsa’ do i=1,n print 1,(A(i,j),j=1,n) end do 1 format(10f8.4) call MINV(A,n,D,L,M) print *,’ Obratnaya matritsa’ do i=1,n print 1,(A(i,j),j=1,n) end do print 2,D 2 format(8x,’Opredelitel matritsi D=’,f8.2) end |
К программе необходимо подключить стандартную подпрограмму MINV.
Результаты расчета:
Iskhodnaya matritsa
2.00 -3.00 1.00
1.00 2.00 -6.00
5.00 1.00 1.00
Obratnaya matritsa
0.08 0.04 0.16
-0.31 -0.03 0.13
-0.09 -0.17 0.07
Opredelitel matritsi D= 100.00
Лабораторная работа 3.3.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
итерационными методами
Задание.
1. Для заданной СЛАУ сделать 3 шага по итерационным схемам ме-
тодов простой итерации и Зейделя.
2. Решить СЛАУ на ЭВМ методом простой итерации и/или методом Зейделя (по указанию преподавателя).
Варианты задания.
где – номер факультета; – номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Дана система уравнений
Выполним проверку выполнения достаточного условия сходимости.
Проверяем условие диагонального преобладания.
первое уравнение: 4>1+1=2 – выполняется;
второе уравнение: 2<1+5=6 – не выполняется;
третье уравнение: |–1|<1+6=7 – не выполняется.
Таким образом, условие диагонального преобладания для исходной системы уравнений не выполняется и поэтому не может быть гарантирована сходимость итерационных методов к решению. Для данной системы можно добиться выполнения этого условия перестановкой второго и третьего уравнений:
Проверяем условие диагонального преобладания для преобразованной системы:
первое уравнение: 4>1+1=2 – выполняется;
второе уравнение: 6>1+|–1|=2 – выполняется;
третье уравнение: 5>1+2=3 – выполняется.
Ручной счет.
Часть 1. Решение СЛАУ методом простой итерации.
Схема пересчета в данном случае имеет вид:
Начальное приближение: .
После первого шага () имеем:
.
После второго шага () имеем:
.
После третьего шага () имеем:
.
Итак, полученное решение СЛАУ: .
Часть 2. Решение СЛАУ методом Зейделя.
Схема пересчета в данном случае имеет вид:
Начальное приближение: .
После первого шага () имеем:
.
После второго шага () имеем:
.
После третьего шага () имеем:
.
Итак, полученное решение СЛАУ: .
Выполнение работы на ЭВМ.
Часть 1. Решение СЛАУ методом простой итерации.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_3_1 integer(4), parameter :: n=3 real(4), dimension(n) :: a(n,n),b,x,x1 real(4) :: z,s integer(4) :: i,j,k print *,’ Vvedite matritsu A i vector b’ read *,((a(i,j),j=1,n),b(i),i=1,n) print *,’ Iskhodnaya systema’ do i=1,n print 1,(A(i,j),j=1,n),b(i) end do 1 format(10f8.2) k=0 x=0. 2 z=0. k=k+1 do i=1,n s=b(i) do j=1,n if(i/=j) s=s-a(i,j)*x(j) end do s=s/a(i,i) z=z+abs(x(i)-s) x1(i)=s end do if(z>0.0001.and.k<100) then x=x1 goto 2 end if print*,’ Kolichestvo iteratsiy k=’,k print 3,x1 3 format(10x,’Reshenie’/2x,10f8.2) End |
Результаты расчета:
Iskhodnaya systema
4.00 1.00 1.00 9.00
1.00 6.00 -1.00 10.00
1.00 2.00 5.00 20.00
Kolichestvo iteratsiy k= 9
Reshenie
1.00 2.00 3.00
Часть 2. Решение СЛАУ методом Зейделя.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_3_2 integer(4), parameter :: n=3 real(4), dimension(n) :: a(n,n),b,x real(4) :: z,s integer(4) :: i,j,k print *,’ Vvedite matritsu A i vector b’ read *,((a(i,j),j=1,n),b(i),i=1,n) print *,’ Iskhodnaya systema’ do i=1,n print 1,(A(i,j),j=1,n),b(i) end do 1 format(10f8.2) k=0 x=0. 2 z=0. k=k+1 do i=1,n s=b(i) do j=1,n if(i/=j) s=s-a(i,j)*x(j) end do s=s/a(i,i) z=z+abs(x(i)-s) x(i)=s end do if(z>0.0001.and.k<100) goto 2 print*,’ Kolichestvo iteratsiy k=’,k print 3,x 3 format(10x,’Reshenie’/2x,10f8.2) end |
Результаты расчета:
Iskhodnaya systema
4.00 1.00 1.00 9.00
1.00 6.00 -1.00 10.00
1.00 2.00 5.00 20.00
Kolichestvo iteratsiy k= 8
Reshenie
1.00 2.00 3.00
Еще раз подчеркнем, что для обеих представленных выше программ при задании исходных данных следует вводить преобразованную СЛАУ.
Лабораторная работа 3.4.
Вычисление собственных значений и собственных векторов
симметричной матрицы
Задание.
Вычислить собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы на ЭВМ по стандартной подпрограмме NROOT и определить максимальное по модулю собственное число и соответствующий ему собственный вектор степенным методом (ручной счет).
Варианты задания.
,
где ; – номер факультета; – номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Пусть задана матрица
.
Ручной счет.
Задаем начальное приближение.
.
Выполняем нулевой шаг:
Выполняем первый шаг:
.
Выполняем второй шаг:
.
Выполняем третий шаг:
.
Оцениваем погрешность:
() .
Таким образом, можем записать ответ в виде
.
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_4 ! Требуется подключить файлы integer(4), parameter :: n=3 ! nroot.for и eigen.for, real(4), dimension(n,n) :: a,e,x,xl(n) ! содержащие подпрограммы integer(4) :: i,j ! NROOT и EIGEN из print *,’ Vvedite matritsu A’ ! математической библиотеки read*, ((a(i,j),j=1,n),i=1,n) ! SSP print*,’ Matritsa A’ a=a/6.; e=0. do i=1,n e(i,i)=1. end do print 1,(a(i,j),j=1,n) 1 format(10f8.2) print *,’ Matritsa E’ do i=1,n print 2,(e(i,j),j=1,n) 2 format(10f3.0) end do call nroot(n,a,e,xl,x) print 3,xl 3 format(3x,’Sobstvennie chisla matritsi A’/10f8.2) print*,’ Sobstvennie vektori matritsi A’ do i=1,n print 4,(x(i,j),j=1,n) 4 format(10f8.3) end do end |
К программе необходимо подключить стандартные подпрограммы NROOT и EIGEN.
Заметим, что при задании значений элементов матрицы множитель 1/6 учитывать не надо – деление на 6 предусмотрено в тексте программы. Это сделано для упрощения ввода исходных данных и исключения соответствующих погрешностей, которые иначе могли бы возникнуть.
Результаты расчета:
Matritsa A
5.00 -3.00 4.00
-3.00 12.00 -3.00
4.00 -3.00 5.00
Matritsa E
1. 0. 0.
0. 1. 0.
0. 0. 1.
Sobstvennie chisla matritsi A
15.00 6.00 1.00
Sobstvennie vektori matritsi A
-0.408 0.577 -0.707
0.816 0.577 0.000
-0.408 0.577 0.707
Лабораторная работа 3.5.
Численное интегрирование
Задание.
Задан интеграл
; – полином третьей степени.
1. Требуется вычислить заданный интеграл вручную по формулам методов прямоугольников, трапеций, Симпсона, приняв .
2. Требуется вычислить заданный интеграл на ЭВМ по стандартной подпрограмме QATR, а также одним (или всеми) из численных методов (прямоугольников, трапеций, Симпсона) по указанию преподавателя.
Варианты задания.
,
где ;
– номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Вычислить
, где .
Ручной счет.
; .
Метод прямоугольников.
Имеем: , , .
Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.1).
Таблица Л3.5.1. Вычисление интеграла методом прямоугольников.
|
1 |
0.375 |
0.713 |
|
2 |
1.125 |
–0.283 |
|
3 |
1.875 |
–3.951 |
|
4 |
2.625 |
–12.822 |
На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:
,
откуда .
Метод трапеций.
Имеем: , , .
Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.2).
Таблица Л3.5.2. Вычисление интеграла методом трапеций.
|
0 |
0.0 |
1.0 |
|
1 |
0.75 |
0.391 |
|
2 |
1.5 |
–1.625 |
|
3 |
2.25 |
–7.578 |
|
4 |
3.0 |
–20.0 |
На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:
,
откуда .
Метод Симпсона.
Имеем: , , .
Дальнейший расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.5.3).
Таблица Л3.5.3. Вычисление интеграла методом Симпсона.
|
0 |
0.0 |
1.0 |
|
1 |
0.75 |
0.391 |
|
2 |
1.5 |
–1.625 |
|
3 |
2.25 |
–7.578 |
|
4 |
3.0 |
–20.0 |
На основании данных, приведенных в таблице Л3.4.1, вычисляем:
,
откуда .
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_5 ! Требуется подключить файл real(4), external :: p,pr,tr,simps ! qatr.for содержащий real(4), dimension(20) :: r ! подпрограмму QATR из real(4) :: a,b,eps,sq ! математической библиотеки integer(4) :: n,nmax,ier ! SSP print *,’ Vvedite a,b,eps,nmax’ read *, a,b,eps,nmax print 1, aintegr(a,b,eps,nmax,n,pr,p),n print 2, aintegr(a,b,eps,nmax,n,tr,p),n print 3, aintegr(a,b,eps,nmax,n,simps,p),n call qatr(a,b,eps,20,p,sq,ier,r) print 4, sq 1 format(1x,’Metod pryamougolnikov: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 2 format(1x,’Metod trapetsiy: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 3 format(1x,’Metod Simpsona: integral=’,f10.3,3x,’n=’,i6) 4 format(1x,’S/p QATR: integral=’,f10.3) end ! Подпрограмма вычисления интеграла одним из трех методов function aintegr(a,b,eps,nmax,n,sint,f) external f real(4) :: a,b,s1,s2,f,eps,aintegr integer(4) :: n,nmax n=4 s1=sint(a,b,f,n) 1 n=2*n s2=sint(a,b,f,n) if(abs(s2-s1)<eps.or.n>nmax) goto2 s1=s2 goto 1 2 aintegr=s2 end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле прямоугольников function pr(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,pr,f integer(4) :: n h=(b-a)/n; x=a+h/2; s=0. do i=1,n s=s+f(x); x=x+h end do pr=h*s end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле трапеций function tr(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,tr,f integer(4) :: n h=(b-a)/n; x=a; s=(f(a)+f(b))/2 do i=2,n x=x+h; s=s+f(x) end do tr=h*s end ! Подпрограмма вычисления интеграла по формуле Симпсона function simps(a,b,f,n) real(4) :: a,b,h,x,s,simps,f integer(4) :: n,z h=(b-a)/n; x=a+h; s=f(a)+f(b); z=1 do i=2,n s=s+(3+z)*f(x); z=-z; x=x+h end do simps=h/3*s end ! Подпрограмма вычисления подынтегральной функции function p(x) real(4) :: x,p p=1-x+x**2-x**3 end |
Результаты расчета:
Metod pryamougolnikov: integral= -12.750 n= 256
Metod trapetsiy: integral= -12.750 n= 256
Metod Simpsona: integral= -12.750 n= 8
S/p QATR: integral= -12.750
По тексту программы необходимо сделать ряд пояснений и замечаний.
1. В приведенной программе реализованы все три рассматриваемые в настоящем курсе формулы численного интегрирования:
2. При выполнении задания необходимо составить программу лишь для одного (или всех) из этих методов, указанного преподавателем.
3. Переменная (в программе – nmax) определяет количество отрезков, на которые делится интервал интегрирования для вычисления интеграла с заданной точностью. При этом значение n последовательно удваивается до тех пор, пока изменение приближенного значения интеграла не станет меньше заданного малого числа (в программе – eps), значение которого вводится. При расчете было принято: nmax=1000, eps=0.001.
4. К данной программе необходимо подключить стандартную подпрограмму QATR.
Лабораторная работа 3.6.
Вычисление корня нелинейного уравнения
Задание.
Задан полином третьей степени .
1. Требуется вычислить корень полинома на отрезке методом половинного деления и методом Ньютона вручную. В критериях окончания счета для обоих методов принять .
2. Требуется вычислить корень полинома на отрезке на ЭВМ методом половинного деления или методом Ньютона (по указанию преподавателя). В критериях окончания счета на ЭВМ для обоих методов принять .
Варианты задания.
,
где ;
– номер группы; – номер студента по журналу.
Пример выполнения лабораторной работы.
Найти на отрезке корни полинома
.
Ручной счет.
Метод половинного деления.
Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.6.1).
Таблица Л3.6.1. Вычисление корня методом половинного деления.
|
0 |
0 |
3.0 |
1.5 |
–2.92 |
9.79 |
0.5 |
3.0 |
|
1 |
0 |
1.5 |
0.75 |
–2.92 |
0.51 |
–0.67 |
1.5 |
|
2 |
0.75 |
1.5 |
1.125 |
–0.67 |
0.51 |
–0.11 |
0.75 |
|
3 |
1.125 |
1.5 |
1.3125 |
–0.11 |
0.51 |
0.173 |
0.375 |
|
4 |
1.125 |
1.3125 |
1.218 |
–0.11 |
0.173 |
0.0267, что меньше =0.1 |
0.187 0.06(b-a) |
На основании результатов таблицы Л3.5.1 имеем: .
Метод Ньютона.
Имеем:
; .
Начальное приближение: .
Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.6.2).
На основании результатов таблицы Л3.6.2 имеем: .
Таблица Л3.6.2. Вычисление корня методом половинного деления.
|
0 |
3.0 |
9.79 |
12.64 |
2.22 |
0.78 |
|
1 |
2.22 |
3.01 |
5.45 |
1.67 |
0.55 |
|
2 |
1.67 |
0.89 |
2.52 |
1.32 |
0.35 |
|
3 |
1.32 |
0.18 |
1.62 |
1.20 |
0.12 |
|
4 |
1.20 |
0 |
критерий окончания расчета |
Выполнение работы на ЭВМ.
Метод половинного деления.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_6_1 real(4) :: x,f,a,b,eps,c,y integer(4) :: k f(x)=x**3-3.2*x**2+4.84*x-2.928 print *,’ Vvedite a,b,eps’ read *,a,b,eps k=0 1 k=k+1 c=(a+b)/2; y=f(c) if(f(a)*y>0) then a=c else b=c end if if(b-a>eps.and.y/=0.and.k<100) goto 1 print 2,c,y,k 2 format(//2x,’Koren uravneniya x=’,f8.4,/2x,’f(x)=’,e11.4,& /2x,’Kolichestvo iteratsiy k=’,i3) end |
Результаты расчета:
Koren uravneniya x= 1.2000
f(x)= 0.6504E-03
Kolichestvo iteratsiy k= 12
Заметим, что при расчете было принято a=0, b=3, eps=0.001.
Метод Ньютона.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_6_2 real(4) :: x,f,f1,xk,eps,xk1,y integer(4) :: k f(x)=x**3-3.2*x**2+4.84*x-2.928 f1(x)=3*x**2-6.4*x+4.84 print *,’ Vvedite xk,eps’ read *, xk,eps k=0 1 k=k+1 xk1=xk-f(xk)/f1(xk) if(abs(xk1-xk)<eps.or.k>100) goto 2 xk=xk1 goto 1 2 y=f(xk1) print 3,xk1,y,k 3 format(//2x,’Koren uravneniya x=’,f8.4,/2x,’f(x)=’,e11.4,& /2x,’ Kolichestvo iteratsiy k=’,i3) end |
Результаты расчета:
Koren uravneniya x= 1.2000
f(x)= 0.4768E-06
Kolichestvo iteratsiy k= 3
Заметим, что при расчете было принято xk=1.5, eps=0.001.
Лабораторная работа 3.7.
Построение прямой по методу наименьших квадратов
Задание.
Построить оптимальную прямую для заданных точек на плоскости с координатами ().
Варианты задания.
Для расчета на ЭВМ следует взять точек. Для ручного счета
точки. Точки берутся из таблиц Л3.7.1 – Л3.7.2 подряд, начиная с номера студента по журналу.
Таблица Л3.7.1. Варианты заданий.
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
|
|
2 3 3 5 6 7 13 13 11 10 9 8 2 2 4 5 6 7 8 8 3 9 11 |
|
|
1 2 3 4 7 7 15 17 11.5 10 8 6.5 1 3 4 5.5 6 6.5 7 9 3 8 10 |
Таблица Л3.7.2. Варианты заданий (продолжение).
|
24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 |
|
|
13 14 14 8 5 7 12 2 1 8 15 12 12 7 5 9 6 7 7 5 |
|
|
12 13 14 9 6 7 11 1 1 7 15 13 12 6.5 5 8 6 6.5 8 4 |
Пример выполнения лабораторной работы.
Пусть заданы координаты точек, представленные в таблице Л3.7.3.
Таблица Л3.7.3. Координаты заданных точек.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
5 |
3 |
6 |
10 |
8 |
9 |
7 |
|
|
2 |
2,5 |
2 |
4 |
4,5 |
5 |
4 |
5 |
9 |
7 |
8 |
7 |
Ручной счет.
Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу Л3.7.4).
Подставляем полученные значения в систему уравнений относительно коэффициентов искомой прямой и :
Таблица Л3.7.4. Ручной счет.
|
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
2,5 |
4 |
5 |
|
3 |
3 |
2 |
9 |
6 |
|
4 |
4 |
4 |
16 |
16 |
|
S |
10 |
10,5 |
30 |
29 |
Решая эту систему, например, по методу Крамера, получим:
; ,
где ;
; .
Следовательно, ; .
Итак, уравнение искомой прямой имеет вид: .
Выполнение работы на ЭВМ.
Пример программы на Фортране:
|
program lab_3_7 integer(4), parameter :: n=12 real(4), dimension(n) :: x,y real(4) :: s,sx,sy,sxy,sxx,a,b integer(4) :: i open(1,file=’inpdata.dat’) ! Исходные данные вводятся из файла read(1,*)x read(1,*)y print 1,x 1 format(2x,’Dannie eksperimenta’,/2x,’X:’,(12f6.1)) print 2,y 2 format(2x,’Y:’,(12f6.1)) s=0.; sx=0.; sy=0.; sxy=0.; sxx=0. do i=1,n sx=sx+x(i); sy=sy+y(i); sxy=sxy+x(i)*y(i); sxx=sxx+x(i)*x(i) end do a=(n*sxy-sx*sy)/(n*sxx-sx*sx); b=(sy-a*sx)/n do i=1,n s=s+(a*x(i)+b-y(i))**2 ! Вычисление суммы квадратов отклонений end do print 3,a,b,s 3 format(10x,’MNK-pryamaya’/10x,’y=’,f8.4,’x+’,f8.4,5x,’s=’,f8.4) pause end |
Результаты расчета:
Dannie eksperimenta
Y: 2.0 2.5 2.0 4.0 4.5 5.0 4.0 5.0 9.0 7.0 8.0 7.0
y= 0.7918x+ 0.9089 s= 3.2807
PAGE 248