Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
|
[0.1] Основные действия над матрицами. [0.2] Определители. [0.3] Матричный метод решения систем линейных уравнений. [0.4] Метод Крамера. [0.5] Элементарные преобразования систем. [0.6] Метод Гаусса. [1] Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [1.1] Элементы векторной алгебры. [1.2] Линейная зависимость векторов. [1.3] Скалярное произведение векторов. [1.4] Векторное произведение векторов. [1.5] Смешанное произведение векторов. [1.6] Общее уравнение плоскости. [1.7] Уравнение плоскости, проходящей через три точки. [1.8] Уравнение плоскости в отрезках. [1.9] Расстояние от точки до плоскости. [1.10] Уравнение прямой на плоскости. [1.11] Уравнение прямой, проходящей через две точки. [1.12] Уравнение прямой с угловым коэффициентом. [1.13] Уравнение прямой в отрезках. [1.14] Угол между прямыми на плоскости. [1.15] Расстояние от точки до прямой. [1.16] Кривые второго порядка. [1.17] Уравнение линии в пространстве. [1.18] Угол между плоскостями. [1.19] Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. [1.20] Полярная система координат. [1.21] Цилиндрическая и сферическая системы координат. [2] Комплексные числа. [2.1] Тригонометрическая форма числа. [2.2] Действия с комплексными числами. [2.3] Показательная форма комплексного числа. [3] Математический анализ. [3.1] Числовая последовательность. [3.2] Ограниченные и неограниченные последовательности. [3.3] Предел функции в точке. [3.4] Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. [3.5] Основные теоремы о пределах. [3.6] Бесконечно малые функции. [3.7] Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. [3.8] Вычисление пределов. [3.9] Некоторые замечательные пределы. [3.10] Непрерывность функции в точке. [3.11] Точки разрыва и их классификация. [3.12] Непрерывность функции на интервале и на отрезке. [4] Дифференциальное исчисление функции одной переменной [4.1] Производная функции, ее геометрический и физический смысл. [4.2] Основные правила дифференцирования.
[4.3] [4.4] Производная сложной функции. [4.5] Производная обратных функций. [4.6] Формула Тейлора. [4.7] Формула Маклорена. [4.8] Представление некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. [4.9] Правило Лопиталя. [4.10] Производные и дифференциалы высших порядков. [4.11] Исследование функций с помощью производной. [4.12] Возрастание и убывание функций. [4.13] Точки экстремума. [4.14] Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. [4.15] Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. [4.16] Асимптоты. [4.17] Схема исследования функций |
|
[0.1] Основные действия над матрицами. [0.2] Определители. [0.3] Матричный метод решения систем линейных уравнений. [0.4] Метод Крамера. [0.5] Элементарные преобразования систем. [0.6] Метод Гаусса. [1] Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [1.1] Элементы векторной алгебры. [1.2] Линейная зависимость векторов. [1.3] Скалярное произведение векторов. [1.4] Векторное произведение векторов. [1.5] Смешанное произведение векторов. [1.6] Общее уравнение плоскости. [1.7] Уравнение плоскости, проходящей через три точки. [1.8] Уравнение плоскости в отрезках. [1.9] Расстояние от точки до плоскости. [1.10] Уравнение прямой на плоскости. [1.11] Уравнение прямой, проходящей через две точки. [1.12] Уравнение прямой с угловым коэффициентом. [1.13] Уравнение прямой в отрезках. [1.14] Угол между прямыми на плоскости. [1.15] Расстояние от точки до прямой. [1.16] Кривые второго порядка. [1.17] Уравнение линии в пространстве. [1.18] Угол между плоскостями. [1.19] Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. [1.20] Полярная система координат. [1.21] Цилиндрическая и сферическая системы координат. [2] Комплексные числа. [2.1] Тригонометрическая форма числа. [2.2] Действия с комплексными числами. [2.3] Показательная форма комплексного числа. [3] Математический анализ. [3.1] Числовая последовательность. [3.2] Ограниченные и неограниченные последовательности. [3.3] Предел функции в точке. [3.4] Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности. [3.5] Основные теоремы о пределах. [3.6] Бесконечно малые функции. [3.7] Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми. [3.8] Вычисление пределов. [3.9] Некоторые замечательные пределы. [3.10] Непрерывность функции в точке. [3.11] Точки разрыва и их классификация. [3.12] Непрерывность функции на интервале и на отрезке. [4] Дифференциальное исчисление функции одной переменной [4.1] Производная функции, ее геометрический и физический смысл. [4.2] Основные правила дифференцирования.
[4.3] [4.4] Производная сложной функции. [4.5] Производная обратных функций. [4.6] Формула Тейлора. [4.7] Формула Маклорена. [4.8] Представление некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. [4.9] Правило Лопиталя. [4.10] Производные и дифференциалы высших порядков. [4.11] Исследование функций с помощью производной. [4.12] Возрастание и убывание функций. [4.13] Точки экстремума. [4.14] Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. [4.15] Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. [4.16] Асимптоты. [4.17] Схема исследования функций |
Линейная алгебра.
Матрица размера mn.
Если число столбцов матрицы равно числу строк (), то матрица называется квадратной.
Единичная матрица:
Диагональная матрица:
Если , то матрица называется симметрической.
Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц:
.
.
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
Пример. Даны матрицы А и B, найти 2А + В.
,
Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
,
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй:
Матрицу называют транспонированной матрицей , если элементы каждой строки матрицы записать в том же порядке в столбцы матрицы .
; ;
другими словами, .
Пример. Найти произведение матриц , .
.
Определителем квадратной матрицы называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
,
где – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и -го столбца.
Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:
,
Пример. Вычислить определитель матрицы .
.
Или если вычислять по второй строке:
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: ; ; .
Систему уравнений можно записать:
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу.
Пример. Решить систему уравнений:
, ,
Найдем обратную матрицу.
.
Миноры:
; ; ;
; ; ;
; ; ;
Находим матрицу Х.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
,
где = det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Пример. Найти решение системы уравнений:
.
.
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
,
где , , где i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения, потом для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек).
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Суммой векторов является вектор
Произведение , при этом коллинеарен .
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором (), если < 0.
Определение:
Если - базис в пространстве и , то числа , и - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.
Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).
Векторы называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно , т.е. .
Если же только при = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.
Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.
Пример. Даны векторы(1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:
линейно независимы.
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.
Тогда .
Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.
1 =
;
2 =
3 =
Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.
Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то
.
Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении /, то координаты этой точки определяются как:
В частном случае координаты середины отрезка находятся как:
x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= cos
= 0, если или = 0 или = 0.
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то
угол между векторами:
;
Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если
т.к. .
Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
Обозначается: или.
Свойства векторного произведения векторов:
=
Пример. Найти векторное произведение векторов и .
= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3), С(0, 1, 0).
(ед2).
Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .
Обозначается или (, ,).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен
Если , , то
Пример. Найти объем пирамиды, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Плоскостью называется поверхность, вес точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax + By + Cz + D = 0,
где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.
Для того, чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на -D
,
заменив , получим уравнение плоскости в отрезках:
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
,
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
, а = -1, b = 1.
Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между этими прямыми будет определяться как
.
Две прямые параллельны, если k1 = k2.
Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.
Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
K1 = -3; k2 = 2 tg = ; = /4.
Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как
.
- уравнение эллипса.
- уравнение гиперболы.
y2 = 2px – уравнение параболы.
– уравнение окружности радиуса с центром в точке .
Пусть F(x, y, z)=0 и Ф(x, y, z)=0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.
Тогда пара уравнений
называется уравнением линии в пространстве.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
плоскости перпендикулярны, если: .
Плоскости параллельны, если: .
Точка О называется полюсом, а луч l – полярной осью.
угол называется полярным углом.
Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах координат связываются соотношениями:
x = rcos; y = rsin;
ОМ1 = r; MM1 = h;
Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).
Цилиндрическими координатами точки М называются числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.
Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где - угол между и нормалью.
Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной системами координат:
h = z; x = rcos; y = rsin;
cos = ; sin = .
Связь сферической системы координат с декартовой прямоугольной:
Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).
Числа и называются комплексно-сопряженными.
Два комплексных числа и называются равными, если
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная мнимой осью.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде:
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
В тригонометрической форме:
,
,
где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Рассмотрим показательную функцию
Данное равенство называется уравнением Эйлера.
Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного >0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
Это записывается: lim xn = a.
В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к при n.
Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.
Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn} = n – возрастающая и неограниченная.
Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a < верно неравенство
f(x) - A< .
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + .
Запись предела функции в точке:
Определение:
Если f(x) A1 при х а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева,
а если f(x) A2 при х а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=а.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство
При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.
Записывают:
Графически можно представить:
Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, если .
Свойства бесконечно малых функций:
Функция называется бесконечно большой при ха, если , где А – число или одна из величин , + или -.
Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то
Если то функции и называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают ~ .
Пример. Найти предел
Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:
, где , - многочлены.
Итого:
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел
Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.
x2 – 6x + 8 = 0; x2 – 8x + 12 = 0;
D = 36 – 32 = 4; D = 64 – 48 = 16;
x1 = (6 + 2)/2 = 4; x1 = (8 + 4)/2 = 6;
x2 = (6 – 2)/2 = 2 ; x2 = (8 – 4)/2 = 2;
Пример. Найти предел.
домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =
=.
Пример. Найти предел.
Пример. Найти предел .
Разложим числитель и знаменатель на множители.
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
x3 – 6x2 + 11x – 6 = (x – 1)(x – 2)(x – 3), т.к.
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)
Тогда
Пример. Найти предел.
Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
Пример разрывной функции:
Если односторонний предел , то функция называется непрерывной справа.
Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева.
Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.
Точка х0 называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
В некоторых частных случаях точку разрыва 1-го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва.
Точка х0 называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Пример. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.
Пример. f(x) =
Функция не определена в точке х = 0, но имеет в ней конечный предел , т.е. в точке х = 0 функция имеет точку разрыва 1-го рода. Это – устранимая точка разрыва:
Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).
Пример. Исследовать на непрерывность.
в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1-го
Пример. Исследовать на непрерывность функцию.
в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1-го рода
Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Уравнение касательной к кривой:
Уравнение нормали к кривой: .
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1)С = 0; 9)
2) 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Пример. Найти производную функции .
По формуле получаем:
Производные этих функций:
Окончательно:
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Пример. Найти формулу для производной функции arctg.
Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
Известно, что
По приведенной выше формуле получаем:
Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:
Пример. Найти производную функции.
Сначала преобразуем данную функцию:
Пример. Найти производную функции .
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Пример. Найти производную функции
Теорема Тейлора.
Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:
это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:
Функция f(x) = .
Находим: f(x) =, f(0) = 1
f(x) =, f(0) = 1
……………………
f(n)(x) =, f(n)(0) = 1
Пример: Найдем значение числа е.
В полученной выше формуле положим х = 1.
Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003
Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451
Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553
Функция f(x) = sinx.
Функция f(x) = cosx.
Функция f(x) = , ( - действительное число)
Если в полученной формуле принять = n, где n- натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда
Получилась формула, известная как бином Ньютона.
Функция f(x) = ln(1 + x).
К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
Пример: Найти предел .
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f(x) = 2x + ; g(x) = ;
;
Пример: Найти предел .
; ;
.
Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат.
Пример: Найти предел .
; ;
; ;
; ;
Пример: Найти предел .
; ;
- опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.
; ;
- применяем правило Лопиталя еще раз.
; ;
;
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).
т.е. y = (y) или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
.
Теорема.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Следствие. Обратное утверждение неверно.
Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0.
Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Вертикальные асимптоты:
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты:
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту
y = kx + b.
.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х=0 вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1) (-1; 1) (1; ).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-; ).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки.
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
.
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
|
y |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
|
↑ |
↓ |
↓ |
↓ |
↓ |
↑ |
|
|
y |
- |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
|
∩ |
∩ |
U |
∩ |
U |
U |
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции: