Теория и практика эксперимента Возникновение и назначение теории планирования эксперимента
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Вопросы по дисциплине «Теория и практика эксперимента»
- Возникновение и назначение теории планирования эксперимента.
- Какие задачи решает теория планирования эксперимента.
- В чем сущность планирования эксперимента? Поясните разницу между активным и пассивным экспериментом.
- Дисперсионный анализ – определение.
- Регрессионный анализ - определение.
- Достоинства и недостатки пассивного эксперимента.
- Достоинства и недостатки активного эксперимента.
- Что такое факторы оптимизации, и какие требования к ним предъявляются?
- Как выбрать уровни варьирования факторов?
- В чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?
- Как перейти к исходным физическим переменным от стандартизованных переменных?
- Дайте характеристику типов планов (ПФЭ и ДФЭ)
- В чем сущность ПФЭ и какие математические модели он позволяет исследовать?
- Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью ПФЭ и в каких границах его можно использовать?
- Что такое взаимодействие факторов и сколько их в ПФЭ?
- Как составляется и какими свойствами обладает МП ПФЭ?
- ПФЭ: этапы планирования эксперимента: Центр плана, интервалы варьирования по переменным, преобразование независимых переменных, составление матрицы планирования.
- ПФЭ: проведение эксперимента. Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?
- Как проверить воспроизводимость опытов в ПФЭ?
- Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?
- Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?
- ПФЭ: Получение математической модели объекта(процесса).
- ПФЭ: Проверка статистической значимости коэффициентов полинома.
- Как проверить адекватность полученной Математической Модели в ПФЭ?
- Выявление наиболее существенных технологических факторов в ДФЭ.
- В чем сущность ДФЭ и какие Математические Модели он позволяет исследовать?
- Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью ДФЭ, и в каких границах его можно использовать?
- Что такое взаимодействие факторов и сколько их может быть в ДФЭ?
- Как составляется и какими свойствами обладает МП ДФЭ?
- Что такое генератор плана и из каких соображений он выбирается?
- Что такое контраст плана и что такое обобщающий контраст?
- Что такое смешанность оценок коэффициентов регрессии и как ее найти?
- Каков порядок постановки опытов при ДФЭ?
- Назовите критерии оптимальности планов ДФЭ?
- ДФЭ: Насыщенные планы.
- ДФЭ: Сверхнасыщенные планы.
- Что такое градиент?
- Дайте постановку задачи оптимизации.
- Какие требования предъявляются к параметрам оптимизации?
- Дайте определение и характеристику полного факторного эксперимента типа 2к
- Дайте определение и характеристику дробного факторного эксперимента
- Что такое однофакторный дисперсионный анализ?
- Для чего служит Критерий Пирсона?
- Для чего служит Критерий Фишера?
- Для чего служит Критерий Кохрена?
- Для чего служит Критерий Стьюдента?
Вопрос 1 Возникновение и назначение теории планирования эксперимента
Мысль о том, что эксперимент можно планировать восходит к глубокой древности. Пожалуй, как только человек взял в руки палку, он уже начал заниматься проблемами планирования с целью выработки наиболее оптимального способа добычи пропитания. Результатами подобных изысканий, проводившимся в течение столетий, стали современные блага цивилизации. Однако, первобытному человеку, да и средневековому рыцарю в том числе, абсолютно не были знакомы понятия статистики.
Подобная теория появилась (имеется в виду статистика) в начале - середине XX века. Вслед за развитием аппарата статистического анализа, его положения стали применяться и в планировании эксперимента. Автором идеи привлечения статистики в планирование являлся один из основоположников английской школы статистики - Рональд Фишер. Именно он доказал целесообразность использования статистических методов в проблеме поиска оптимальных условий проведения эксперимента. Так появилась совершенно новая наука, имеющая важное практическое значение - «Планирование и организация эксперимента».
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
Вопрос 2 Какие задачи решает теория планирования эксперимента
Задачей «Планирования эксперимента» является разработка рекомендаций или производственного процесса на основе исследования предварительных опытных данных для дальнейшей их реализации и построения математической модели исследуемого процесса с целью дальнейшего прогнозирования производства. Как правило, результатами таких исследований являются разработки наиболее оптимальных рекомендаций, технологического процесса, имеющих важные экономические, технические, технологические последствия и влекущих за собой как модернизацию отдельного технологического процесса, так и целого производства/
Вопрос 3 В чем сущность планирования эксперимента
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом, как учит нас теория, необходимо придерживаться следующих ограничений:
общее число опытов должно быть по возможности минимальным;
необходимо одновременно изменять все переменные, определяющие
(влияющие) процесс. Причем это изменение должно происходить по оп
ределенным правилам-алгоритмам;
при описании исследований необходимо использовать математический
аппарат, формализующий действия экспериментатора;
в процессе проведения и планирования эксперимента необходимо придерживаться четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Вопрос 4 Дисперсионный анализ
Дисперсионный анализ — метод в математической статистике, направленный на поиск зависимостей в экспериментальных данных путём исследования значимости различий всредних значениях. В отличие от t-критерия, позволяет сравнивать средние значения трех и более групп. Разработан Р. Фишером для анализа результатов экспериментальных исследований.
Вопрос 5 Регрессио́нный анализ
Регрессио́нный анализ — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную . Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные — критериальными.
Вопрос 6 Достоинства и недостатки пассивного эксперимента
Идея пассивного эксперимента заключается в использовании данных об отклонении параметров в процессе нормальной эксплуатации для построения его математической модели (получения уравнения регрессии). В качестве наблюдаемых значений берутся значения измеряемых параметров процесса в течение достаточно большого промежутка времени. Обработка наблюдаемых значений (результатов пассивного эксперимента) соответствующим образом позволяет получить уравнения регрессии (модели процесса).
Метод позволяющий получить уравнение регрессии с наибольшей достоверностью и учитывающий влияние неконтролируемых параметров, называется методом наименьших квадратов. Предполагается, что при экспериментальном исследовании был получен ряд значений у и х с некоторым разбросом, связанным с погрешностью измерений и неучетом ряда неконтролируемых параметров. Метод наименьших квадратов позволяет выбрать такие числовые параметры при заданном типе зависимости y=f(x), что эта зависимость в известном смысле наилучшим образом отображает экспериментальные данные.
Пассивный эксперимент имеет ряд недостатков.
К ним относятся:
1) малые отклонения технологических параметров от их средних значений;
2) большое влияние неконтролируемых параметров.
Преимуществом является то, что нет вмешательства в работу объекта, наблюдения ведутся, как говорится, в режиме нормальной эксплуатации. Проведение такого эксперимента не требует больших затрат, что позволяет собрать довольно большое число экспериментальных данных.
Вопрос 7 Активный эксперимент
Активный эксперимент – эксперимент, в котором
Уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем.
Активные эксперименты обладают следующими достоинствами:
1) результаты наблюдений y1, y2, …, yn представляют собой независимые,
нормально распределенные случайные величины;
2) дисперсии равны друг другу (выборочные оценки однородны);
3) независимые переменные x1, x2, …, xp измеряются с пренебрежимо малой
погрешностью по сравнению с погрешностью в определении y;
4) активный эксперимент лучше организован: оптимальное использование
факторного пространства позволяет при минимальных затратах получить
максимум информации об изучаемых явлениях.
5) четкая последовательная структура проведения опытов, можем учесть все важные факторы.
Недостатки: 1) Стоймость 2)Затрачивается много времени.
Вопрос 8. Что такое факторы оптимизации и какие требования к ним предъявляются
Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.
Факторы разделяются на количественные и качественные. Качественные факторы – это разные вещества, разные технологические способы, аппараты, исполнители и т. д.
При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего опыта, т. е. может управлять фактором. В этом состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.
Чтобы точно определить фактор, нужно указать последовательность действий (операций), с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора будем называть операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора.
Точность замера факторов должна быть возможно более высокой. Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать, быть может, доли секунды.
Факторы должны быть непосредственными воздействиями на объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т. п.
Вопрос 9 как выбрать уровни варьирования факторов?
Наилучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.
В разных случаях мы располагаем различными сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.
Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.
Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, вкоторой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.
Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные (технологического, экономического характера и т.д.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспериментов вокруг нескольких точек.
Вопрос 10 в чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?
Для удобства расчетов масштаб факторов выбирают так, чтобы значение
верхнего уровня было равно +1, а нижнего –1. С этой целью делают преобразование начала координат факторов и переходят к нормированному (стандартно-му) масштабу.
11) как перейти к исходным физическим переменным от стандартизированных переменных?
Вопрос 11. Как перейти к исходным физическим переменным от стандартизованных переменных
Вопрос 12. Дайте характеристику типов планов ПФЭ ДФЭ
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:
Количество измерений составляет 2n, где n – количество факторов;
Каждый фактор принимает только два значения – верхнее и нижнее;
В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.
Второе определение - Эксперимент , в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов , называется полным факторным экспериментом ( ПФЭ ). Если число уровней факторов равно двум , то имеем ПФЭ типа 2 k .
Преимуществами полного факторного эксперимента являются
простота решения системы уравнений оценивания параметров;
статистическая избыточность количества измерений, которая уменьшает влияние погрешностей отдельных измерений на оценку параметров.
Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превосходит число определяемых коэффициентов линейной модели. Другими словами, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов.
Дробно факторный эксперимент – эксперимент поставлен не на всем диапазоне исследуемых факторов, а на ограниченном их наборе. Это сильно сокращает время получения результатов, по сравнению с полнофакторным экспериментом, но одновременно снижает их точность.
ДФЭ - Если мы имеем большое число факторов, то это нереально большое количество серий экспериментов. Эти факторы либо они либо разные или одинаковые и тогда чтобы было возможно решить – перебирают часть факторов, т.е считают по частям и еще часть и так далее и за счет этого понижается ранг матрицы, в то же время падает точность, так как мы отбрасываем некоторые факторы.
Оценка будет грубая , но для предварительной оценки достаточно. И в итоге мы получаем некую правильную трактовку.
Вопрос 13 - 14
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:
Количество измерений составляет 2n, где n – количество факторов;
Каждый фактор принимает только два значения – верхнее и нижнее;
В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.
Преимуществами полного факторного эксперимента являются
простота решения системы уравнений оценивания параметров;
статистическая избыточность количества измерений, которая уменьшает влияние погрешностей отдельных измерений на оценку параметров.
Целью планирования эксперимента, как правило, является получение математической модели (ММ) исследуемого объекта или процесса. Если на объект
действует много факторов, механизм которых неизвестен, то обычно используют полиномиальные ММ (алгебраические полиномы), называемые уравнениями
регрессии. Так, для двух факторов x1 и x2:
полином 0-й степени: y = b0;
полином 1-й степени: y = b0 + b1x1 + b2x2 – линейная модель;
полином 2-й степени: y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x12+ b22x22 – полная квадратичная модель.
При планировании эксперимента исследуемый объект представляется
«черным ящиком» (рис. 1.1), на который воздействуют факторы xi.
Каждый фактор xi может принимать определенное количество значений,
называемых уровнями факторов. Множество возможных уровней фактора xi
называется областью его определения. Эти области могут быть непрерывными
и дискретными, ограниченными и неограниченными. Как уже отмечалось,
должна быть возможность управления факторами: либо поддерживать их на за-
данном уровне, либо изменять по программе.
Факторы должны быть совместимыми и независимыми. Совместимость
предполагает допустимость любой комбинации факторов, а независимость –
отсутствие между факторами корреляционной связи.
К исследуемым параметрам также предъявляют ряд требований.
Они должны быть:
- эффективными, то есть способствовать скорейшему достижению цели;
- универсальными – быть характерными не только для исследуемого объекта;
- статистически однородными, то есть определенному набору значений
факторов xi с точностью до погрешности эксперимента должно соответствовать определенное значение фактора yi;
- выражаться количественно одним числом;
- легко вычисляться и иметь физический смысл;
- существовать при любом состоянии объекта.
Геометрический аналог параметра (функции отклика) называется поверх-
ностю отклика, а пространство, в котором строят эту поверхность, – фактор-
ным пространством. Размерность факторного пространства равна числу фак-
торов. Так, например, при двух факторах факторное пространство представляет
собой факторную плоскость.
При планировании эксперимента требуемых свойств ММ добиваются вы-
бирая условия проведения опытов. Множество точек факторного пространства,
в которых проводится эксперимент, представляется с помощью плана экспери-
мента
где n – число факторов; N – число точек факторного пространства. Точка
, называется центром плана. Если центр плана совпадает с на-
чалом координат, то план называется центральным.
Условия проведения опытов могут свободно выбираться в пределах задан-
ных границ. Выбор соответствующего плана эксперимента позволяет обеспе-
чить ММ разные свойства. Наиболее распространенными являются следующие
критерии.
Критерий ортогональности – когда полученные оценки коэффициентов
регрессии некоррелированы (не смешаны). Замена нулем любого коэффициента
в ММ в этом случае не изменяет значений остальных коэффициентов.
Критерий рототабельности – когда дисперсия выходной переменной зави-
сит только от расстояния от центра плана.
Критерий A-оптимальности требует выбора такого плана, при котором
дисперсионная матрица имеет минимальный след (минимальную сумму диаго-
нальных элементов).
Критерий D-оптимальности требует минимизации определителя дисперси-
онной матрицы.
Критерий G-оптимальности требует достижение наименьшей величины
максимальной дисперсии зависимой переменной.
Вопрос 15
Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь вид
Столбцы x1 и x2 задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы x0 и x1x2 служат только для расчета.
Обращаем ваше внимание на то, что при оптимизации мы стремимся сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими. В задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно и интересно.
С ростом числа факторов число возможных взаимодействий быстро растет. Мы рассмотрели самый простой случай, когда имелось одно взаимодействие. Обратимся теперь к полному факторному эксперименту 23.
Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний
Вопрос 16
Составление матрицы планирования ПФЭ
План ПФЭ изображают в виде таблицы, столбцы которой отражают уров-
ни факторов, а строки – номера опытов. Эти таблицы называют матрицами
планирования (МП) эксперимента. Поскольку значения уровней факторов по
модулю всегда равны единице, то обычно в МП записывают только знак уровня
(т. е. «+» вместо «1» и «–» вместо «–1»). В табл. 2.2 для примера приведена МП
для ПФЭ типа 22, которую называют базовой, так как с ее помощью легко построить матрицы любого порядка.
Так, для построения матрицы 23 сочетаем базовую матрицу с нижним и
верхним уровнями x3 (табл. 2.3). Легко заметить, что в первом столбце знаки
меняются поочередно, во втором через 2, в третьем через 4 и так далее.
Геометрической интерпретацией ПФЭ 22 является квадрат в факторной плоскости (рис. 2.1, а), ПФЭ 23 – куб (рис. 2.1, б).
Здесь нормированные координаты x1 и x2 проходят через точку пересече-
ния основных уровней факторов, и масштаб их осей выбран так, чтобы интер-
вал варьирования равнялся 1. Тогда условия проведения опытов в МП экспери-
мента будут соответствовать вершинами квадрата, центром которого является
основной уровень. Если n>3, то фигуру, задающую в многомерном пространст-
ве область эксперимента, называют гиперкубом.
Влияние факторов на выходной параметр может зависеть от уровня, на ко-
тором находится другой фактор, или от сочетания уровней нескольких факто-
ров. Если априорно не известно, что такой зависимости между факторами нет,
то строят развернутую МП, учитывающую не только факторы, но и их взаимо-
действия. При этом знаки в столбцах для взаимодействий получают перемно-
жением знаков взаимодействующих факторов. Пример развернутой МП для
ПФЭ дан в табл. 2.4.
Фиктивный фактор x0 вводят для удобства машинного расчета свободного
члена b0 (для идентичности формул).
Основные свойства МП эксперимента:
а) симметричность относительно центра эксперимента
Свойство ортогональности позволяет упростить вычисления и получить
независимые оценки коэффициентов регрессии. Это означает, в частности, что
замена нулем любого коэффициента в уравнении ММ не изменит оценок ос-
тальных коэффициентов. Это свойство может быть полезным, когда точный вид
модели не известен и требуется по экспериментальным данным отобрать фак-
торы, существенно влияющие на исследуемый параметр. Если условие ортого-
нальности не выполняется, после исключения каждого незначимого коэффици-
ента необходимо пересчитывать оценки оставшихся коэффициентов и их дис-
персии. При этом могут измениться как доверительные интервалы, так и выво-
ды относительно коэффициентов значимости;
г) рототабельность – свойство равноточного предсказания исследуемого
параметра на равных расстояниях от центра эксперимента вне зависимости от
направления. Матрица, удовлетворяющая условиям симметричности, нормировки и ортогональности, называется оптимальной. МП ПФЭ является оптимальной для линейных ММ. Если же ММ содержит взаимодействия, то свойство рототабельности не выполняется.
Вопрос 17 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
(активный эксперимент) в химии, раздел мат. статистики, изучающий методы организации совокупности опытов с разл. условиями для получения наиб. достоверной информации о св-вах исследуемого объекта при наличии неконтролируемых случайных возмущений. Величины, определяющие условия данного опыта, обычно наз. факторами (напр., т-ра, концентрация), их совокупность - факторным пространством. Набор значений факторов характеризует нек-рую точку факторного пространства, а совокупность всех опытов составляет т. наз. факторный эксперимент. Расположение точек в факторном пространстве определяет план эксперимента, к-рый задает число и условия проведения опытов с регистрацией их результатов.
Начало П. э. положили труды P. Фишера (1935). Он показал, что рациональное П. э. дает не менее существ. выигрыш в точности оценок, чем оптим. обработка результатов измерений.
П. э. используют для изучения и мат. описания процессов и явлений путем построения мат. моделей (в форме т. наз. ур-ний регрессии)-соотношений, связывающих с помощью ряда параметров значения факторов и результаты эксперимента, наз. откликами. Осн. требование, предъявляемое к планам факторного эксперимента, в отличие от пассивного эксперимента (см. Обработка результатов эксперимента),-минимизация числа опытов, при к-рой получают достоверные оценки вычисляемых параметров при соблюдении приемлемой точности мат. моделей в заданной области факторного пространства. В этом случае задача обработки результатов факторного эксперимента заключается в определении числ. значений указанных параметров.
Одним из способов повышения точности обработки результатов П. э. служит замена переменных, при к-рой от исходных (физических, или натуральных) значений переменных, выраженных в соответствующих единицах измерений, переходят к безразмерным значениям, определяемым ф-лой:
где m-число факторов; <xj-></x безразмерное значение переменной; <zj -></z значение физ. переменной; - среднее значение физ. переменной, D<zj</z =- интервал ее варьирования; и -макс. и миним. значения физ. переменной, к-рые м. б. заданы в опытах. При таком преобразовании значения всех х j или уровни факторов, изменяются в одинаковых пределах: от -1 до +1. Точка факторного пространства, отвечающая нулевым значениям факторов, наз. центром плана.
Область применения П. э. распространяется на процессы и явления, зависящие от т. наз. управляемых факторов, т. е. факторов, к-рые можно изменять и поддерживать на заданных уровнях. Осн. направления использования П. э. в хим. технологии: 1) выделение т. наз. значимых факторов, существенно влияющих на изучаемый процесс; 2) получение мат. моделей объектов исследования (аппроксимационные задачи); 3) поиск оптим. условий протекания процессов, т. е. совокупности значений факторов, при к-рой заданный критерий оценки эффективности процесса имеет наилучшее значение (экстремальные задачи); 4) построение диаграмм состав-свойство; 5) изучение кинетики и механизма процессов.
Выделение значимых факторов осуществляется в ходе т. наз. отсеивающего эксперимента. Число опытов в нем м. б. больше, равно или меньше числа проверяемых факторов. Планы, отвечающие таким экспериментам, наз. соотв. ненасыщенными, насыщенными или сверхнасыщенными.
Ненасыщ. планы используют, если предварит. исследованию подлежат сравнительно небольшое число факторов ( т < 6 -7) и их возможные взаимодействия. Эффект взаимод. двух или неск. факторов проявляется при одно-врем. их варьировании, когда влияние каждого фактора на отклик зависит от уровней, на к-рых находятся др. факторы. Ненасыщ. планы обычно включают значит. число опытов и поэтому достаточно трудоемки. В качестве таких планов часто применяют планы т. наз. полного факторного эксперимента (ПФЭ), в к-ром каждый фактор изменяется одинаковое число раз q(где q2-число выбранных уровней); при этом реализуются все возможные опыты, различающиеся значением хотя бы одного фактора. Число опытов в ПФЭ n= <qm: ></q напр., для m = 2 и q = 2 число n= 22 = 4 опыта.
Условия проведения опытов м. б. представлены в графич. (рис. 1) или табличной (см. табл.) форме. В последнем случае первый столбец (i-номер опыта) и совокупность значений факторов (второй и третий столбцы) образуют т. наз. матрицу плана ПФЭ, к к-рой предъявляют след. требования: 1) сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю:
( и- текущий номер опыта);
2) сумма квадратов элементов столбца каждого фактора равна числу опытов:
3)сумма почленных произведений любых столбцов двух любых факторов равна нулю:
значения физ. переменных, соответствующие матрице, выбранной для реализации опытов, рассчитывают по ф-ле:
При числе опытов в ПФЭ, значительно превышающем число определяемых параметров модели, применяют т. наз. дробные реплики (или дробный факторный эксперимент -ДФЭ), к-рые представляют собой часть плана ПФЭ. ДФЭ может содержать половину, четверть и т. д. опытов от ПФЭ. Соотв. различают полуреплики (<qm-></q1), четвертьреп-лики (<qm-></q2) и т. п. В общем случае ДФЭ м. б. обозначен как <qm-l, ></q где l-дробность реплики. К матрице ДФЭ предъявляют те же требования, что и к матрице ПФЭ. Планы, полученные с использованием ПФЭ или его дробных реплик, в к-рых переменные варьируются на двух уровнях, наз. линейными либо планами 1-го порядка, т. к. при их применении можно построить ур-ние модели, включающее исследуемые факторы лишь в 1-й степени.
Вопрос 18
Порядок постановки ПФЭ
Для оценки точности эксперимента для каждой i-й точки факторного про-
странства (для каждого сочетания уровней факторов МП) проводят K опытов. В
результате получают значения yi1, yi2, …, yiK исследуемого параметра, для кото-
рых находят среднее значение
При этом опыты в одной точке проводят не подряд, а обходят все точки в
первой серии опытов, затем во второй, и так далее до K-й. Для уменьшения
влияния внешней среды и неконтролируемых факторов внутри каждой серии
точки факторного пространства обходят случайным образом – рандомизируют
последовательность опытов. Рандомизацию опытов можно провести с помо-
щью генератора случайных чисел или таблицы случайных чисел (см. приложе-
ние А).
Например, в случае постановки двух серий опытов для экспериментов 2
получим с учетом данных таблицы такие последовательности:
Это означает, что в первой серии опытов первым выполняется опыт в точ-
ке факторного пространства № 4, вторым – в точке № 2 и т. д. Во второй серии
первым выполняется опыт в точке № 2, вторым – в точке № 4 и т. д.
(см. табл. 2.5).
Планирование начинают с четкой формулировки задач и выбора объекта исследования. Если они неконкретны, невозможно поставить опыт. Так, задача установить влияние обработок почвы на урожайность льна-долгунца неконкретна и поэтому неосуществима для любого полевого опыта. Наоборот, можно поставить полевой опыт, в задачу которого входит установить влияние числа боронований в предпосевной обработке почвы на урожайность и качество льнопродукции в колхозе имени Ленина Молоковского района Калининской области.
В качестве объекта исследования в этом опыте целесообразно взять районированный сорт льна-долгунца. Далее разрабатывают схему опыта.
Разработка схемы полевого опыта — ответственное дело. Надо выдержать принцип единственного различия, а для многофакторного опыта факториальность, то есть возможность иметь все комбинации факторов; правильно выбрать фон опыта (необходимые агротехнические условия); правильно подобрать контрольный вариант; правильно установить основной уровень (центр эксперимента) и единицы варьирования изучаемого фактора. Варианты подбирают так, чтобы получить разную урожайность с достоверными различиями. Максимальную урожайность запланировать в варианте при средней дозе изучаемого фактора, а более низкие — при минимальной и максимальной дозах фактора. Только в этом случае будет уверенность, что в опыте достигли максимальной урожайности.
Планирование схемы опыта многофакторных опытов сложнее, так как стремятся иметь схему со всеми возможными комбинациями факторов (полный факториальный эксперимент). Многофакторные опыты сложны для производства, особенно при изучении более двух факторов. Двухфакторные же опыты с небольшой градацией каждого фактора следует планировать и для опытов в производстве. Например, в опыте, в задачу которого входит установление оптимальной нормы посева семян какой-то культуры, испытание целесообразно осуществить на разных агрофонах, рассчитанных на получение разной урожайности. В таком опыте первый фактор — норма посева семян, второй — агрофон. Допустим, изучают три нормы посева семян на двух агрофонах. Тогда в опыте будет шесть вариантов (3X2=6). Опыт с шестью вариантами выполним в условиях производства, а по ценности он выше, чем однофакторный.
План полного факториального эксперимента представляют в виде таблицы, называемой матрицей планирования. Такая таблица представляет интерес для сложных многофакторных опытов.
После установления схемы опыта приступают к разработке элементов методики полевого опыта, но сначала подбирают участок под опыт. Надо знать его площадь, конфигурацию, размеры и конечно пестроту плодородия почвы.
Элементы методики полевого опыта разрабатывают, исходя из задач, схемы опыта, площади опытного участка, пестроты плодородия почвы, ожидаемого различия между вариантами по урожайности, от наличия технических возможностей, применяемых сельскохозяйственных машин и других показателей. В каждом конкретном случае выбирают оптимальный вариант по каждому элементу методики полевого опыта. Вычерчивают схематический план будущего опыта со всеми размерами. Вначале наносят общий контур опыта со всеми делянками, указывают дороги и защитные полосы. Проставляют размеры, обозначают номера повторений, делянок, а на делянках — номера вариантов (номер варианта — порядковый номер варианта в схеме опыта).
Параметры делянки устанавливают после того как определится ширина учетной части делянки. Ширину учетной и всей делянки согласовывают с шириной захвата почвообрабатывающих, посевных, уборочных и других машин, которые будут работать на опытном участке. После этого, выбрав наиболее приемлемую площадь учетной делянки (желательно, чтобы она была кратной площади гектара, что упростит подсчет урожайности), подсчитывают длину учетной части делянки, поделив площадь на ширину учетной делянки. Если к длине учетной делянки прибавить длину торцевых защиток, то определится длина делянки. Ширина делянки складывается из ширины учетной делянки и двух ее боковых защиток.
При планировании полевого опыта определяются также необходимые сопутствующие наблюдения и исследования. Представляют интерес только такие, которые своими результатами могут объяснить особенности роста и развития культурных растений, а также различия в урожайности. Объектами исследований могут быть, кроме культурных растений, почва, почвенная микрофлора, сорняки, факторы жизни, условия среды и др. Для каждого наблюдения и исследования подбирают или разрабатывают методику взятия среднего образца почвы, растений или других объектов и подбирают методы исследования.
Берем нижний уровень – частота смены каждого знака больше чем у предыдущего.
Проведение опытов – важно проведение серии опытов .
2) рандомизация – случайном порядке. Для того чтобы факторы которые мы не учитывам не влияли.
Вопрос 19
Проверка воспроизводимости опытов (однородности дисперсий)
Опыт считается воспроизводимым, если дисперсия Dyi выходного парамет-
ра yi однородна в каждой точке факторного пространства. Оценка Syi дисперсии
Dyi определяется для каждой точки факторного пространства по формуле:
а его критическое значение Gкр находят из таблицы распределения Кохрена по
числу степеней свободы числителя f=K-1, знаменателя f=N и уровню значимо-
сти q (см. приложение Б). Если Gр<Gкр, гипотеза об однородности дисперсий
принимается, в противном случае – отвергается, и тогда эксперимент необхо-
димо повторить, изменив условия его проведения (набор факторов, интервал их
варьирования, точность измерительных приборов и пр.). Например, если при
варьировании какого-то фактора изменение исследуемого параметра сравнимо
с погрешностью эксперимента, то интервал варьирования необходимо увеличи-
вать примерно на порядок.
Вопрос 20
Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения
Расчет оценок коэффициентов уравнения регрессии производится по мето-
ду наименьших квадратов, при этом минимизируется сумма квадратов отклоне-
ний между экспериментальными значениями исследуемого параметра и значе-
ниями, вычисленными для тех же точек факторного пространства по уравнению
регрессии. Благодаря предварительной стандартизации масштаба факторов и
ортогональности МП, расчет оценок коэффициентов регрессии в ПФЭ превра-
щается в простую арифметическую процедуру
Берем– сумма средних значений выходного параметра , с учетом знаков (- +)
Как проверить насколько он значим – Критерий Сьюдента
Мы отношение значения коэф к дисперсии ошибки дисперсии
И признаем значимым если величина превышает некоторое критическое значение.
Число степеней своб
Вопрос 21
Проверка значимости коэффициентов регрессии
Гипотезу о статистической значимости (отличии от нуля) коэффициентов
регрессии проверяют по критерию Стьюдента. Расчетное значение tp этого кри-
терия определяют как частное от деления модуля коэффициента bi на оценку
его среднеквадратического отклонения Sb:
В ПФЭ, благодаря одинаковой удаленности всех экспериментальных точек
факторного пространства от центра эксперимента, оценки всех коэффициентов
уравнения регрессии независимо от их величины вычисляются с одинаковой
погрешностью (при выполнении условия воспроизводимости опытов):
Критическое значение критерия tкр находят из таблицы распределения
Стьюдента по числу степеней свободы f=N(K–1) и уровню значимости q (см.
приложение В). Если tp>tкр, гипотеза о значимости коэффициента bi принимает
ся, в противном случае коэффициент считается незначимым и приравнивается
нулю.
Необходимо помнить, что незначимость коэффициента может быть обу-
словлена и неверным выбором интервала варьирования фактора. Поэтому ино-
гда бывает полезным расширить интервал варьирования и провести новый экс-
перимент.
Вопрос 22
Набор коэф – мы определили значимость выбросили не значимые- уравнении регрессии это и есть коэф значимости
При ПФЭ получаются независимые оценки b0, bi, bil соответствующих коэффициентов модели 0, i, il, т.е. b0 0, bi i, bil il. Эти оценки легко найти по формулам
, , , (9)
, . (10)
Рассчитанные значения коэффициентов приведены в таблице 1.3.
После определения оценок b коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезы об их значимости, т.е. проверить соответствующие нуль-гипотезы = 0. Проверку таких гипотез производят с помощью критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого
, (11)
где – (12)
дисперсия оценки b коэффициента уравнения регрессии. Если найденная величина параметра ti превышает значение tкр, определенное из таблицы для числа степеней свободы зн = N(m – 1), при заданном уровне значимости qзн = 0,05, то проверяемую нуль-гипотезу Н0: = 0 отвергают и соответствующую оценку bi коэффициента признают значимой. В противном случае, нуль-гипотезу не отвергают и оценку b считают статистически незначимой, т.е. = 0.
Рассчитанные значения критерия и значимость коэффициентов указаны в таблице 1.4.
Таблица 1.4
В данном варианте статистически незначимыми являются коэффициенты b12, b123, т.к. t12,t123<tтабл.
Математическую модель объекта составляют в виде уравнения связи отклика у и факторов xi, включающего только значимые оценки коэффициентов.
(13)
1.5 Проверка адекватности математического описания
Чтобы проверить гипотезу об адекватности математического описания опытным данным, достаточно оценить отклонение предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика от результатов наблюдений в одних и тех же g-х точках факторного пространства.
Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности
, (14)
где d – число членов аппроксимирующего полинома (значимых оценок коэффициентов модели объекта). Дисперсия адекватности определяется с числом степеней свободы
ад = N – d. (15)
Для данного варианта в соответствии с формулой (14) получим
.
Проверка гипотезы об адекватности состоит, по сути дела, в выяснении соотношения между дисперсией адекватности и оценкой дисперсии воспроизводимости отклика . Проверку гипотезы об адекватности производят с использованием F-критерия Фишера. Критерий Фишера позволяет проверить гипотезу об однородности двух выборочных дисперсий и . В том случае, если ,F-критерий характеризуется отношением
. (16)
Если вычисленное по результатам наблюдений эмпирическое значение критерия F меньше критического Fкр, найденного из таблице для соответствующих степеней свободы:
1ад = N – d , 2ад = зн = N(m – 1) , (17)
при заданном уровне значимости qад (обычно qад = 0,05), то гипотезу об адекватности не отвергают. В противном случае гипотезу отвергают и математическое описание признается неадекватным.
В данном случае 1ад =2, 2ад =32, табличное значение критерия Fкр=3,302. Таким образом, модель признается адекватной.
2 Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта
При оптимизации многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом естественно стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия, особенно при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный или частный экстремум. Однако решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных , в той или иной степени влияющих на объект.
Методика регрессионного анализа основана на предположении, что учтены все или, по крайней мере, все существенные факторы, иначе полученная математическая модель окажется неадекватной в изучаемом диапазоне изменения переменных. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания может потребовать непомерного объема экспериментальной и вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических, экономических и прочих ограничений. Возникает необходимость предварительного отсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий , которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию.
Если число всех возможных факторов, влияющих на объект, не превышает 6 – 7, то для предварительного изучения объекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента. Однако при большом числе рассматриваемых факторов методы ПФЭ и даже ДФЭ, предназначенные для тщательного изучения поверхности отклика, оказываются слишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов. В случае изучения более 8 – 10 факторов, если эксперименты недороги и если заведомо известно, что лишь немногие переменные являются существенными, следует применять метод случайного баланса (МСБ).
Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых переменных только небольшое их число (например, 10 ... 15 %) являются действительно существенными, остальные же могут быть отнесены к "шумовому полю" .
Под "шумовым полем" обычно понимают случайные помехи
Вопрос 23
Проверка значимости оценок коэффициентов полинома производится на основе проверки статистической гипотезы о равенстве математического ожидания случайной величины нулю, т.е. проверки условия bi = 0 для всех коэффициентов. Проверка осуществляется с помощью критерия Стьюдента
ti = (|bi| – 0)/ s(bi) = |bi| / s(bi).
Критическое значение tкр=t(a; j(y)) находится стандартным образом: критическая область является двусторонней, так как коэффициент может быть положительным или отрицательным; количество степеней свободы соответствует количеству степеней свободы для оценки дисперсии воспроизводимости j(y). Если вычисленное значение критерия больше tкр, то данный коэффициент отличается от нуля и оставляется в уравнении функции отклика, иначе коэффициент незначим. Отсутствие значимости коэффициента в моделях описания поверхности отклика говорит о целесообразности исключения соответствующего слагаемого из уравнения (частный градиент равен нулю).
После проверки значимости коэффициентов может оказаться, что все коэффициенты незначимы. Эти выводы являются следствием одной их следующих причин:
достигнута область оптимума функции отклика. Следует перейти к построению функции на основе полных полиномов второго порядка;
интервал варьирования факторов слишком мал. Необходимо увеличить интервал варьирования факторов;
отклик системы не зависит от выбранных факторов. В выбранной области значений факторы не оказывают влияние на функцию отклика или для анализа выбраны несущественные факторы.
Формальных правил выявления соответствующих ситуаций не существует.
Рассмотренные этапы обработки результатов экспериментов должны выполняться не только в случае полного или дробного факторного эксперимента, но и при реализации других планов оптимизации и описания поверхности отклика.
В условиях относительно небольшого влияния случайности на значение функции отклика (например, случайные ошибки измерительных приборов) в каждой точке плана проводится только по одному опыту. Очевидно, что в такой ситуации оценка дисперсии воспроизводимости невозможна. Следовательно, проверки однородности дисперсии воспроизводимости и адекватности модели не проводятся. И только в условиях ненасыщенного планирования возможна проверка значимости коэффициентов полинома, если в качестве дисперсии оценки коэффициента взять величину s2(bi) = sa2/N с количеством степеней свободы ja = N–m..
Вопрос 24
Проверка адекватности модели
Проверка адекватности математической модели данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего значения функции отклика s2(y) и дисперсии адекватности. Оценка дисперсии адекватности при N > m характеризует отклонения между результатами наблюдений и значениями, формируемыми по функции отклика
,
где m – количество оцениваемых коэффициентов модели;
– среднее значение результатов наблюдения в u-й точке плана;
y'u – значение отклика в этой же точке, предсказанное на модели.
Количество степеней свободы дисперсии адекватности ja = N – m.
При насыщенном планировании нет степеней свободы и сумма отклонений равна нулю.
Проверка адекватности сводится к проверке гипотезы об однородности оценки дисперсии воспроизводимости s2 (y) с количеством степеней свободы j(y) и оценки дисперсии адекватности. Проверка осуществляется по критерию Фишера аналогично рассмотренной выше проверке однородности дисперсий воспроизводимости. Оценки дисперсий в формуле расчета критерия расставляются так, чтобы его величина была больше единицы, критическая область является двусторонней.
Если вычисленное значение критерия меньше критического, то нет оснований для сомнений в адекватности модели. Однако положительный исход статистической проверки не гарантирует достоверной адекватности, а тем более истинности модели (хотя и не противоречит такому предположению). Когда гипотеза отклоняется, следует вывод о неадекватности модели, следовательно, она заведомо не является истинной. Дальнейшее применение неадекватной модели обычно нецелесообразно, и надо принять меры по ее совершенствованию.
Причиной неадекватности могут являться: ошибки в организации и проведении опытов, например неконтролируемое изменение неучтенных в модели факторов; погрешности в задании исходных данных и в измерении результатов; большой размах варьирования факторов и другие причины. Иначе говоря, анализ причин неадекватности требует серьезного изучения сущности исследуемого процесса и методов его исследования.
Вопрос 25
Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента, чрезвычайно разнообразны.
Поиск оптимальных условий, построение интерполя ционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических моделей (например, кинетических), выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений, исследование диаграмм состав-свойство – вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимен та. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука об его проведении – планирование экспе римента.
Задачи поиска оптимальных условий являются одними из наиболее распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возмож ность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле) условия его реализации.
Задачи, сформулированные таким образом, на зываются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптими зацией. Выбор оптимального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повышение производительности действующих установок, повышение качества продукции, снижение затрат на ее получение – вот примеры задач оптимизации.
Эксперимент, который ставится для решения задач оп тимизации, называется экстремальным. Это название свя зано с глубокой аналогией между решением задачи опти мизации и поиском экстремума некоторой функции.
Вопрос 27
При значительном числе факторов и опытов определение смешанности по МП является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводят понятие контраста плана. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора xj на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (табл. 3.1) генератор плана x3=x1x2, то для контраста получим x32=x1x2x3, т.к. xi2=1, окончательно имеем 1=x1x2x3. Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка фактора хi, необходимо умножить обе части контраста на это фактор. Например, для х1 имеем: х1=х12х2х3=х2х3, т. е. воценивает одновременно 1 и b23. Записывают это так b1 1+b23.
Для x2: x2=x1x2x3x2=x1x3, тогда b2 2+b13; для x3: x3=x1x2x3x3=x1x2, тогда b3 3+b13, где i – действительные значения коэффициентов bi.
В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ типа 24-1 в качестве генератора плана выбрано х4=x1x2x3 (контраст соответственно будет 1=x1x2x3x4), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор x1x2=x4 и контраст 1=x1x2x4, то разрешающая способность равна 3; генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают им предпочтение.
Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то получаем несколько генераторов плана (для каждого дополнительного фактора свой).
В этом случае для определения смешанности оценок используют обобщающий контраст, который строится из отдельных контрастов, а также их произведений во всевозможных сочетаниях. Пусть, например, для ДФЭ 25-2 в качестве генераторов выбраны соотношения x4 = x1x2 и x5 = x1x2x3, контрасты будут соответственно 1 = x1x2x4 и 1 = x1x2x3x5, а обобщающий контраст:
1 = x1x2x4 = x1x2x3x5 = x3x4x5.
Для определения смешанности перемножаем все составляющие обобщающего контраста на соответствующие факторы:
для x1: x1= x2x4 = x2x3x5 = x1x3x4x5;
для x4 : x4 = x1x2 = x1x2x3x4 = x3x5.
Тогда для смешанности оценок получим:
b1 1+24+234+1345;
b4 4+12+1234+35.
Необходимо отметить, что следствием уменьшения числа опытов по сравнению с ПФЭ является и уменьшение точности оценок, вызванное их смешанностью.
Вопрос 28. Что такое взаимодействие факторов и сколько их может быть в ДФЭ?
Дробным факторным экспериментом называется система опытов, представляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных.
Для нахождения, при каких факторах и взаимодейст-
виях оценки коэффициентов будут смешанными, вводят понятие контраста
плана. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводи-
мого дополнительного фактора xj на этот фактор.
В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разре-
шающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ типа 24-1
в качестве генератора
плана выбрано х4=x1x2x3 (контраст соответственно будет 1=x1x2x3x4), то говорят,
что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор
x1x2=x4 и контраст 1=x1x2x4, то разрешающая способность равна 3; генераторы
плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают
им предпочтение.
Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то получа-
ем несколько генераторов плана (для каждого дополнительного фактора свой).
В этом случае для определения смешанности оценок используют обобщающий
контраст, который строится из отдельных контрастов, а также их произведений
во всевозможных сочетаниях
Необходимо отметить, что следствием уменьшения числа опытов по срав-
нению с ПФЭ является и уменьшение точности оценок, вызванное их смешан-
ностью
Вопрос 29-30. Как составляется и какими свойствами обладает МП ДФЭ?
Для построения МП ДФЭ из имеющихся n факторов отбирают (n–p) ос-
новных факторов, для которых строят МП ПФЭ. Эту матрицу дополняют затем
p столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Уровни дополнитель-
ных факторов определяют как поэлементное умножение уровней не менее двух
и не более (n–p) основных факторов. Говорят, что ДФЭ – это эксперимент типа
2n-p. Выбранное для дополнительного фактора произведение называется гене-
ратором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило
чередования уровней варьирования в МП). Очевидно, что ДФЭ типа 2n-p
будет иметь p генераторов. Например, для ДФЭ типа 23-1
число опытов равно четырем опытам по сравнению с 16 опытами в случае ПФЭ (см. табл. 3.1). При трех основных факторах ДФЭ содержит 8 опытов, а генераторами для дробных планов могут слу-
жить произведения x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3.
При введении одного дополнительного фактора (ДФЭ типа 24-1) может использоваться любой из четырех возможных генераторов:
Смешанность – влияние одного на другой
Вопрос 31. Что такое контраст плана и что такое обобщающий контраст?
Вопрос 32. Что такое смешанность оценок коэффициентов регрессии и как её найти?
Вопрос 33.Каков порядок постановки опыта при ДФЭ?
Вопрос 34.Критерий оптимальности ДФЭ
для того чтобы планировать таким образом чтобы коэф влияния либо был бы мелким либо нулевым.
При таком подходе мы достигаем оптимального резальтата
Вопрос 35, 36. ДФЭ: насыщенные и сверхнасыщенные планы
Насыщенные планы – на выходной параметр влияет только линейные эффекты , взаимодействия не влияют.
Этот метод позволяет отсеивать как линэффекты.
Сверхнасыщенные планы- мы берем случайным образом . это метод случайного баланса .
Вопрос 37. приращение в определенном отношении
Вопрос 38. Постановка задачи оптимизации
оптимизация – при сообтв условиях добится наиболее точного приближения к праильногму знач параметров
Поиск оптимальных значений параметров является одной из важных задач, решаемых при создании новых технических систем, управлении производством или технологическими процессами.
Задача оптимизации заключается в нахождение экстремума функции отклика в области допустимых значений параметров. Чтобы найти экстремум, необходимо иметь описание поверхности отклика в интервалах варьирования параметров, что далеко не всегда удается получить исходя из теоретических соображений, так как функция отклика в аналитическом виде может быть априори неизвестна.
Реализация задачи оптимизации, основанная на применении ТПЭ, как и любой задачи экспериментального исследования, начинается с определения объекта анализа, цели исследования, изучении сущности исследуемого процесса, анализе имеющихся ресурсов, возможности проведения экспериментов с изучаемым объектом в необходимом диапазоне изменения факторов.
Объектом анализа выступает заданный критерий эффективности исследуемой системы, рассматриваемый как функция от существенных параметров системы и внешней среды. Система может представлять собой реальный физический объект или его модель – физическую или математическую (имитационную, сложную аналитическую).
Вопрос 39.Какие требования предъявляются к параметрам оптимизации
Вопрос 40. Дайте определение и характеристику полного факторного эксперимента типа 2k.
При полном факторном эксперименте (ПФЭ) число опытов равно числу всех возможных комбинаций уровней факторов и при одинаковом числе уровней для каждого фактора определяется формулой
Где n — число уровней, k — число факторов ( j = 1, 2, …, k). ПФЭ 2k называется такое проведение опытов, при котором каждый из k факторов рассматривается только на двух уровнях. При этом уровни факторов представляют собой границы варьирования данного параметра.
Вопрос 41. Дробный факторный эксперимент
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – совокупность нескольких измерений, удовлетворяющих следующим условиям:Количество измерений составляет 2n, где n – количество факторов; Каждый фактор принимает только два значения – верхнее и нижнее; В процессе измерения верхние и нижние значения факторов комбинируются во всех возможных сочетаниях.Преимуществами полного факторного эксперимента являютсяпростота решения системы уравнений оценивания параметров; статистическая избыточность количества измерений, которая уменьшает влияние погрешностей отдельных измерений на оценку параметров.
Вопрос 42. Что такое однофакторный дисперсионный анализ:
дисперсионный анализ для одного фактора
Простейшим случаем дисперсионного анализа является одномерный однофакторный анализ для двух или нескольких независимых групп, когда все группы объединены по одному признаку. В ходе анализа проверяется нулевая гипотеза о равенстве средних. При анализе двух групп дисперсионный анализ тождественен двухвыборочномуt-критерию Стьюдента для независимых выборок, и величина F-статистики равна квадрату соответствующейt-статистики.
Для подтверждения положения о равенстве дисперсий обычно применяется критерий Ливена (F-тест). В случае отвержения гипотезы о равенстве дисперсий основной анализ неприменим. Если дисперсии равны, то для оценки соотношения межгрупповой и внутригрупповой изменчивости применятесяF-критерий Фишера:
Если F-статистка превышает критическое значение, то нулевая гипотеза отвергается и делается вывод о неравенстве средних. При анализе средних двух групп результаты могут быть быть интерпретированы непосредственно после применения критерия Фишера.
При наличии трёх и более групп требуется попарное сравнение средних для выявления статистически значимых отличий между ними. Априорный анализ включает метод контрастов, при котором межгрупповая сумма квадратов дробится на суммы квадратов отдельных контрастов:
где есть контраст между средними двух групп, и затем при помощи критерия Фишера проверяется соотношение среднего квадрата для каждого контраста к внутригрупповому среднему квадрату:
Апостериорный анализ включает post-hoc t-критерии по методам Бонферрони или Шеффе, а также сравнение разностей средних по методу Тьюки. Особенностью post-hoc тестов является использование внутригруппового среднего квадрата для оценки любых пар средних. Тесты по методам Бонферрони и Шеффе являются наиболее консервативными, так как они используют наименьшую критическую область при заданном уровне значимости.
Помимо оценки средних, дисперсионный анализ включает определение коэффициента детерминации , показывающего, какую долю общей изменчивости объясняет данный фактор:
Вопрос 43. Для чего служит критерий пирсона?
Критерий согласия Пирсона позволяет осуществлять проверку эмпирического и теоретического (либо другого эмпирического) распределений одного признака. Данный критерий применяется, в основном, в двух случаях: Для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим распределением (нормальным, показательным, равномерным либо каким-то иным законом); Для сопоставления двух эмпирических распределений одного и того же признака.Идея метода – определение степени расхождения соответствующих частот ni и ; чем больше это расхождение, тем больше значение
Объемы выборок должны быть не меньше 50 и необходимо равенство сумм частот
Вопрос 44. Для чего служит критерий Фишера
Критерием Фишера (F-критерием, φ*-критерием) — называют любой статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).
Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на «степени свободы»). Чтобы статистика имела распределение Фишера необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.
Вопрос 45. Для чего служит критерий Кохрена
Критерий Кохрена — используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма.Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости , если:
где — квантиль случайной величины при числе суммируемых дисперсий и числе степеней свободы .
проверка гипотезы о равентсве выборочной дисперсии при одинаковых обьемах выборки
Вопрос 46. Для чего служит критерий стьюдента
t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.
t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии.
Служит для проверка гипотезы о равенстве двух выборочных
имеющих нормальный закон распределения.
2. Стоимость всякого товара а следо вательно и товара из которого сост
3. Істина або Хибно
4. тематическое изучение педагогических дисциплин составляющих основу вашей профессиональной компетентност
5. 2086415 0950286355 0681877957@ukr
6. Определение услуги
7. ПРИЧИНЫ ПРИНЯТИЯ ХРИСТИАНСТВА Знаменитое крещение Руси положившее начало становлению русской цивилизац
8. Пояснительная записка А1 АК412
9. Экономика организации предприятия для студентов дневной заочной заочной формы обучения на базе средн
10. Античні стоїцизм, епікуреїзм, скептицизм
11. Вирусные и хакерские аткаи, защита от спама
12. тематики Модуль ’ 1 Семестр- V Кількість годин- 2 ЛЕКЦІЯ ’ 4 2526 Те
13. Step занятие с использованием степ платформы.html
14. доклад который составляется по принципу наиболее важных тезисов диплома и выводов дипломной работы
15. тема Файлы
16. Аналіз варіантів і підготовка управлінських рішень
17. Геополитическое положение стран Африки
18. Контрольная работа- Использование рабочего времени
19. Дания Флораурок анатомии
20. Контрольная работа БМП 1101 Абанькина Мария