Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Определение кратных интегралов, основные понятия.
z=f(x,y) Ωi – элементарно мал. обл-ть
Ω=ΣΩi – вся область; mΩi - мера Ωi (площадь); d=max|P-P|; P,P_Ωi
Σf(xi,yi)mΩi
V=
Пов-ть наз-ся гладкой, если в любой ее точке можно провести к ней кас. пл-ть непр-но измен-ся вместе с точкой. Пов-ть наз-ся кусочно-гладкой, если ее можно разделить на конечное число глад. кусков, по линиям разрезов кас. пл-и могут и не сущ-ть.
Если область можно разрезать при помощи кусочно-гладкой части ω=ω1+ω2, в этом случае mω=mω1+mω2.
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy.
ω ω1 ω2
Пусть в n-мерном пространстве Rn задана огран. обл-ть Ω с кус.гл. границей Г (Ω=Ω+Г), на Ω или Ω задана функция f(x)=f(x1,x2,…,xn). Разрежем Ω на части Ωj, пересекающиеся разве что по своим границам, кот. счит-ся кусочно-глад-и. Это разбиение наз-ся ρ-разбиение мн-ва Ω. В каждой части разбиения выберем произвольную точку_ _ Ωj, _(_,_,…,_) и составим соот-ю сумму: Sρ=Σf(_)mΩj, которая наз-ся интегральной суммой Римона для функции f, отвечающей разбиению ρ. Придел этой суммы, наз-ся кратным интегралом от функции f на обл-ти Ω:
lim Sρ=∫∫…∫f(x1,…,xn)dx1…dxn
maxd→0 Ω
Если предел сущ-ет, то функция f(x) ограничена на Ω. |f(x)|=<M
2. Простейшие свойства кратных интегралов.
1. ∫dx=mΩ
Ω
2. ∫[Af(x)+Bφ(x)]dx=A∫f(x)dx+B∫φ(x)dx
Ω Ω Ω
3. ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
Ω Ω1 Ω2
в случае, если Ω=Ω1+Ω2
4. f(x)=<φ(x), то
∫f(x)dx=<∫φ(x)dx
Ω Ω
5. |∫f(x)dx|=<∫|f(x)dx|
Ω Ω
Теорема существования
если функция f(x) непрерывна на замыкании Ω области Ω с кусочно-гладкой границей, то она интегрируема на Ω также как и на Ω, и ∫f(x)dx=∫f(x)dx
Ω Ω
Рассмотрим: ∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
Ω Ω Г =0
ч.т.д.
Теорема 2
Если функция f(x) ограничена и непрерывна всюду на Ω с кусочно-гладкой границей, за исключением отдельных точек и гладких кривых в конечном числе, где она может иметь разрыв, то f интегрируема на Ω также как и на Ω и выполняется равенство: ∫f(x)dx=∫f(x)dx
Ω Ω
Мн-во наз-ся связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству.
3. Интеграл как функция от параметра. Сведение кратного интеграла к повторному.
Рассмотрим ∫f(x,y)dxdy
f(x,y) задана на прямоугольнике c
Δ=[a,b]*[c,d]; x_[a,b], y_[c,d] F(x)=∫f(x,y)dxdy
d
Теорема 1
если f(x,y) непрерывна на прямоугольнике, то тогда функция F(x) непрерывна на отрезке [a,b].
Док-во:F(x+h)=F(x)=∫f(x+h,y)dy-∫f(x,y)dy=∫(f(x+h,y)-f(x,y))dy
x,x+h _[a,b], т.к. f- непрерывна, то она равномерно непрерывна на нем.
Для любого ε>0, существует δ>0, |f(x+h,y)-f(x,y)|<ε/(d-c)
|F(x+h)-F(x)|<=∫ε/(d-c)dy
|F(x+h)-F(x)|<= ε/(d-c)∫dy=ε ч.т.д.
Теорема 2
При условии теоремы один существует повторный интеграл
b b d
∫F(x)dx=∫dx∫f(x,y)dy
a a c
Справедливы равенства:
b d d b
∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy=∫dy∫f(x,y)dx
Δ a c c a
Рассмотрим обл-ть огран. 2 кривыми. Кривые гладкие φ(x)<f(x)
Чтобы вычислить кр. интеграл ψ(x,y) по области Ω или Ω, сначала интегрируем ψ(x,y) по у от переменной φ(x) до f(x), считая их с постоянной, а затем результат интегрируют по х от а до b.
4 Замена переменной (общий случай).
f(x,y)
x=φ(x1,x2)
y=ψ(y1,y2)
| |
J=| |
| |
Формула для замены
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(φ(x1,x2), ψ(y1,y2))J(x)dx1dx2
Ω Ω1
5. Полярная система координат.
ρ
=f(θ)
|
θ |
0 |
π/6 |
…….. |
π/2 |
|
ρ |
x=ρ*cos θ
y=ρ*sin θ
|
dx/dρ |
dx/dθ dy/dθ |
|
dy/dρ |
J(x)=
cos θ -ρsin θ
sin θ ρcos θ
J= ρ
6. Сферическая система координат
Сферические координ. т. М наз-ся числа
где r – радиус-вектор т. М
(тета)- угол, который образует радиус-вектор и Oz
- угол между прекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и положит. направлением оси Ox.
Фор-лы перехода:
7. Цилиндрическая система координат
Цилиндр. координ. т. М наз-ся числа и Z, где и - это полярные координаты т. М1, которая явл-ся проекцией т. М на плоскость Oxy, а Z – аппликата т. М
Формулы перехода к цилиндрическим координатам:
Z=Z
К цилиндр. координатам в тройном интеграле переходим тогда, когда проекция пространственной области V на Oxy (D) явл-ся кругом или частью круга.
8. Площадь поверхности.
z=f(x,y) p=df/dx q=df/dy
G=ΣGj
P(xj,yj)_Gj
P(xj,yj,f(xj,yj)) L- касс-ая пл-ть в т.Р
|S|=Σ|lj|, где |lj|-площадь разбиения
cos(n z)=1/(кв.корень 1+p2+q2)
Ур-е кас.плоскости z-zj=p(x-xj)+q(y-yj)
n{-p;-q;1} |lj|=|Gj|*cos(n z)=> |Gj|=|lj|*(кв.корень 1+p2+q2)
S=lim Σ|lj|*(кв.корень1+p2+q2)=∫∫(кв.корень 1+p2+q2)dxdy
maxd→0 G
9. площадь плоской фигуры
Приложения двойного интеграла.
1. Площадь плоской фигуры.
10. вычислений объема
Объем тела. Объем цилиндр. Тела, огранич. Сверху поверхностью z=f(x;y), а снизу областью Д на плос-ти Oxy вычисляется по ф-ле:
Если цилидр. Тело сверху и снизу ограничено графиками ф-ий z2(x;y) и z1(x;y), то объем нах-м по ф-ле: Д – проекция данного тела на Oxy
11. Ряд. Сумма ряда. Простейшие свойства.
а1+a2+…+an+… ряд ; ai – член ряда
S=Σ ai – сумма ряда
Sn=Σ ai – частичная сумма ряда
Если сумма ряда равна некоторому числу меньшему бесконечности, то говорят, что ряд сходится, если бесконечному – расходится.
Теорема 1: если сх-ся ряд, получившийся из данного ряда путем отбрас. неск. его членов, то сх-ся и данный ряд. И наоборот.
Теорема 2: если ряд а1+…+аn+… сх-ся и его сумма равна S, то ряд са1+…+сan+…, где с- фиксир. число, также сх-ся как ряд (1) и сумма равна cs.
Теорема 3: Если ряды а1+…+аn+… и b1+..+bn+… сх-ся и суммы соотв-но равны S1 и S2, то ряды (а1+b1)+…+(an+bn)+… и (a1-b1)+…(an-bn)+… тоже сх-ся, а суммы S1+S2 и S1-S2.
12. Необходимый признак сходимости.
Теорема: Если ряд сх-ся, то его n-й член стр. к 0
lim Un=0
n→беск.
13. Сравнение рядов с положительными членами.
Пусть даны два ряда:
ΣUi ΣVi
для любого i Ui=<Vi
а) если 2-й сх-ся, то сх-ся и 1-й
если сх-ся 1-й, то сх-ся и 2-й
б) lim Ui/Vi=A не = 0 или беск., то 1-й и 2-й ведут себя одинаково.
Док-во:
| Ui/Vi - A|<ε
- ε< Ui/Vi - A < ε
- ε+A< Ui/Vi< ε+A
(A- ε) Vi< Ui <( ε+A) Vi ч.т.д.
14. Признак Далампера
lim Un+1/Un=A
a) A<1, сходится
b) A>1, расходится
c) A=1, ничего сказать нельзя
15.Радикальный признак Коши
lim кв.корень n-степени из Un=A
a) A<1, сходится
b) A>1, расходится
c) A=1, ничего сказать нельзя
Радикальный признак Коши применяется
один раз. Тогда применяется формула Стирлинга:
n!=кв.корень из 2πn*(n/e)n*e θ/12n
16 Интегральный признак Коши
Пусть ф-я f(x) пол-на и монотонна на при x>=1 и пусть для всех n имеет место равенство f(n)=Un. Тогда числовой ряд из Un членов сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом ∫f(x)dx a>=1
17. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакопеременный ряд – встречаются как положительные, так и отрицательные члены. ½+1/5-1/7-1/9+1/11… Частный случай – знакочередующиеся ряды – идет чередование плюса и минуса.
ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА: (достаточный признак сходимости значередующегося ряда): U1, U2..Un – абсолютные величины знакочередующегося ряда, n1>0, U1-U2+U3-U4+…+(-1)(c.n-1)Un+…(1). Сформулируем теорему: если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) убывают и общий член ряд lim(n∞)Un=0,
тогда знакочередующийся ряд (1) сходится, его сумма положительна и не привосходит модуля 1-го члена ряда 0<S≤ |U1|, Дано: U1-U2+U3…(1)
1) U1>…>Un>… 2) lim(n∞)Un=0, Д-ть: lim(n∞)Sn=S, 0<S≤U1 - ?.
Д-во: рассмотрим частичную сумму четного количества членов: 1) S2m=
=U1-U2+U3…+(-1)(c.n-1)U2m, сгруппируем: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)…+
+(U2m-1 – U2m). Разности в скобках >0, =>Sm>0, S2m=U1-[(U2-U3)+
+(U4-U5)+…+(U2m-2 – U2m-1)+U2m]. Все разности положительны, значит вся эта скоба положительна. 0<S2m<U1. 2) рассмотрим S2m+1 = S2m +
+ U2m+1. Рассмотрим lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m + lim(n∞)Um+1,
lim(n∞)Um+1=0, lim(n∞)S2m+1= lim(n∞)S2m=S, 0<S≤U1.
Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся рядом, если он сходится по Лейбницу и сходится ряд, составленный из модулей его членов. Знакочередующийся ряд (1) называется условно-сходящимся, если он сходится по Лейбницу, а знакоположительный ряд, составленный из модулей членов ряда расходится.
18. Знакопеременные ряды
ΣUn=U1-U2-U3+U4-…
Ряд наз-ся абсолютно сходящимся, если сх-ся ряд, составленный из модулей его членов. Из абсолютной сходимости всегда следует сходимость ряда.
19. Степенные ряды. Интервал сходимости.
C0 + C1(x-a)+c2(x-a)(c.2)+…+Cn(x-a)(c.n)+…=Σ[0 - ∞]Cn(x-a)(c.n).
ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА: lim(n∞)Un+1/Un =ρ, >1 – сходится, <1 – расходится, Ck>0, |Un+1|=Cn+1|x|(c.n+1), |Un|=Cn|x|(c.n),
lim(n∞)Cn+1|x|(c.n+1)/Cn|x|(c.n)= lim(n∞)|x|Cn+1/Cn=
=|x| lim(n∞)Cn+1/Cn. Пусть lim≠0 существует. LIM=1/R, R>0,
|x|*1/R<1, |x|<R, xЄ(-R; R) – интервал сходимости. R – радиус сходимости степенного ряда x=-R и x=R – исследуется дополнительно
Свойства степенных рядов. Еинственность разложения функции в степенной ряд.
Пусть задан степенной ряд C0+C1x+C2x(c.2)+…+Cn x(c.n)+… (1), интервал сходимости (-R;R).
ТЕОРЕМА1: ряды, полученные дифференцированием или интегрированием степенного ряда (1) имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд.
ТЕОРЕМА2: сумма степенного ряда (1) S(x)=Σ[0 - ∞]Cn x(c.n) – есть непрерывная функция в каждой точке интервала сходимости.
ТЕОРЕМА3: если 0<r <R, r – произвольное положительное число, то степенной ряд (1) сходится равномерно на сигменте [-r,r], лежащего внутри интервала сходимости [-R,R].
ТЕОРЕМА4: сумма ряда, полученного дифференцированием ряда (1) в каждой точке интервала сходимости равна производной от суммы данного ряда (1). S(x)=C0+C1x+C2x(c.2)+…+Cn x(c.n)+… (1), φ(x)=C1+2C2x+…+
+nCn x(c.n-1)+… (2). φ(x)=S’(x).
ТЕОРЕМА5: степенной ряд (1) можно интегрировать внутри интервала сходимости и если числа x1,x2Є(-R,R), то ∫[x1-x2](C0+C1x+C2 x(c.2)+…+
+Cn x(c.n)+…)dx=∫[x1-x2]C0dx+∫[x1-x2]C1 x(c.2)dx+
20. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
23. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Общий вид:
F(x,y,y`,y``,…,y(n))=0. Решение – функция, кот. задает кривую.
y=y(x)+C – общее решение диф.ур-я.
y(x0)=y0
y=y(x)+C0- частное решение.
Разрешенные относительно производной:
y=f(x,y)
dy/dx=f(x,y)
dy/dx=f(x)
dy=f(x)dx
y=∫f(x)dx+C – общее решение.
Теорема о существовании единственности
Уравнение dy/dx=f(x,y) имеет единственное решение, принимающее при х=х0 заданное значение у0, если f(x,y) в рассматриваемой области непрерывна, ограниченна и имеет ограниченную частную производную__
Обыкновенным ДУ называется уравнения, содержащее независимую величину х, искомую функцию от этой независимой величины и производные искомой функции до некоторого порядка включительно. При этом может быть, что независимая величина х или функция у(х) не входят явно в уравнение, иначе уравнение не будет дифференциальным.
F(x,y(x), y′,y″…yn)=0
Порядок ДУ совпадает с порядком наивысшей производной входящей в него
у′′′=3х-8
Решить ДУ – значит найти функцию у(х), которое будет удовлетворять ему. Т.к. решение ДУ сводится к интегрированию, то искомую функцию у(х) будем находить с точностью до пост. величины.
Пример: y′=2x; y=x2; y=x2+3; y=x2+√5; y=x2+C
ДУ 1 порядка:
ДУ 1 порядка наз-ся уравнения вида F=(xy;y′)=0, т.к. y′=dy/dx → F(x;y;dx;dy)=0
Общим решением наз-ся функция y=φ(x;C), где С – пост. величина, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде F(φ(x;dy)=0 наз-ся общим интегралом.
Геометр. смысл решения ДУ – это семейство интегр. кривых (параллельных др. др.)
Если к уравнению заданы начальные условия: y|x=0=y0 или y(xo)=y0, то из семейства кривых выбираем одну кривую, проходящую через эту точку, она будет соответствовать частному решению.
Теорема о существовании иединственности решения ДУ (теорема Коши).
Если функция f(x;y) и ее частная производная f ′y(x;y) определены и непрерывны в некоторой области Д, содержащей точку (х0;у0), то существует единст. решение у(х0)=у0, удовлетворяющая заданным условиям.
у|x=x0=y0 или y(x0)=y0
Отыскание частного решения по заданным начальным условиям наз-ся решением задачи Коши.
у′=2х у(1)=3; у=х2+С – общ. реш. ДУ; 3=12+С; С=2; у=х2+2 – частное решение
24. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
- это уравнения, в которых переменные можно разделить, т.е. это уравнение вида:
1) f1(x)φ1(y)dx+f2(x)φ2(y)dy=0|:φ1(y)*f2(x)
Метод решения разделение переменных:
f1(x)dx/f2(x)=-φ2(y)dy/φ1(y) – уравнение с разделенными переменными, интегрируем
∫f1(x)dx/f2(x)=∫φ2(y)dy/φ1(y) произвольные С1 и С2 будем объединять в одну и писать в конце полученного выражения.
2) y′+φ(x)*ψ(y)=0
dy/dx=-φ(x)*ψ(y)|*dx
dy=-φ(x)*ψ(y)dx|:ψ(y)
∫dy/ψ(y)=∫-φ(x)dx
Пример:
(x2+x2y)dy=(y+xy)dx
x2(1+y)dy=y(1+y)dx|:x2y
∫(1+y)dy/y=∫(1+x)dx/x2
ln|y|+y=-1/x+ln|x|+C – общий интеграл
Пример:
y′=y/x; y(1)=2 ln|y|=ln|x|+lnC
dy/dx=y/x|*dx ln|y|=ln|x|+C
dy=y/xdx|:y y=x*C - общ. решение
∫dy/y=∫dx/x 2=1*С, C=2, y=2x - частное реш
21.Разложение функции в ряд Тейлора.
функц f(x) в окрестности точки называется степенной ряд относительно разности , коэффициенты которого выражаются через функцию f(x) и её производные в точке по формулам , , , …, ,… Разложение функции в ряд Тейлора: Теор.: Если в некотором интервале, окружающем точку , абсолютные величины всех производных функции f(x) ограниченны одним и тем же числом, то функция f(x) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Разложить функцию в ряд Тейлора – это значит представить ее в виде степенного ряда.
Формула Тейлора имеет вид: ΣCn(z-z0)n
f(x)=f(a)+(x-a)f`(a)/1!+(x-a)2f``(a)/2!+…+(x-a)nf(n)/n!+(x-a)(n+1)f(n+1)(a+θ(x-a))/(n+1)!
Находят последовательные производные от f(x). Подставляют полученные выражения в формулу Тейлора при а=0.
ez=1+z+z2/2!+…+zn/n!=Σzn/n!
sinz=z-z3/3!+z5/5!-…= Σ(-1)n*z2n+1/(2n+1)!
cosz=1-z2/2!+z4/4!-…= Σ(-1)n*z2n/(2n)!
ln(1+z)=z-z2/2!+z3/3!-…= Σ(-1)n+1*zn/n!
arctgz=z-z3/3!+z5/5!-…= Σ(-1)n*z2n+1/(2n+1)!
22 Приложения рядов
25. Однородные уравнения первого порядка.
y=f(x,y), однородное, если f(x,y)=f(λx,λy)
Если при замене х→λх, у→λу уравнение вида не меняет, то уравнение однородное.
y=f(x,y) λ=1/x
y=f(λx,λy)=f(1,y/x)
Замена y=Ux y=yU+U
Ux+U=f(1,U)
dU/dx*x=f(1,U)-U
∫dU/(f(1,U)-U)=∫dx/x
ln|x|=∫dU/(f(1,U)-U)+C – общий вид решения.
Если ур-е однородное, то подстановка y=Ux приводит ур-е к ур-ю с разделяющимися переменными.
Функция f(x;y) наз-ся однородной, если выполняется след. равенство: f(x;y)=f(ax;ay), где а - число
Пример
y=2xy/x2+y2, y1=(2ax+ay)/a2x2+a2x2=a22xy/a2(x2+y2)=2xy/(x2+y2)
Уравнения вида y′=f(x;y), где f(x;y) - однородная функция наз-ся однородными. Это уравнение сводится к уравнению с разд-ся переменными с помощью след. подстановки: вводим вспомогат. функцию t(x)=y/x, y=t*x, y′=t′x+t
Пример:
y′=(x2+y2)/2xy|:x2, y′=f(x/y) ∫2t*dt/(1-t2)= ∫dx/x обратная замена
y′=(1+y/x2)/(2y/x), -ln|1-t2|=ln|x|+lnC y/x=±√(1- x*1/C))
t(x)=y/x, y=tx, y′=t′x+t
t′x+t=(1+t2)/2t; ln|(1-t2)*x|*C=0 y=±√(x2-x/C)=±√(x2-C*x)
t′x=((1+t2)/2t)-t, (1-t2)*x*C=1
t′x=(1+t2-2t2)/2t, 1-t2= x*1/C
t′x=(-t2+1)/2t, t2=1- x*1/C
dt*x/dx=(1-t2)/2t|*dx, t=±√(1- x*1/C)
dt*x=(1-t2)dx/2t|:x*(1-t2)/2t
26. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнения вида y′+y*p(x)=f(x)*, где р(х) и f(х)- непрерывные функции наз-ся линейными уравнениями 1 порядка. Название уравнения объясняется тем, что у и у′ входят в уравнение 1й степени.
решаем лин. уравнение способoм введения 2-х вспомогательных функций U(х) и V(х)
y=U*V, y′=U′V+UV′ U′* e-∫p(x)dx=f(x)
U′V+UV′+UV*p(x)=f(x) U ′=e∫p(x)dx*f(x)
U′V+U(V′+V*p(x))=f(x)** U= ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx+C
dV/dx+V*p(x)=0|*dx
dV=-Vp(x)dx|:V
∫dV/V=-∫p(x)dx
ln|v|=-∫p(x)dx (C=0)
V=e-∫p(x)dx
y= e-∫p(x)dx*( ∫ e∫p(x)dx*f(x)dx)+C – общ.
формула для решения лин. уравнений 1 порядка
Замечание: При решении уравнений можно вместо непосредств. использовании этой громоздкой формулы можно использовать подстановку y(x)=U(x)*V(x)
Пример
xy′+(x+1)y=3x2*e-x|:x U′*e-x*1/x=3x*e-x
y′+(x+1)y/x=3x*e-x – лин. уравн. 1 порядка U′=3x2
p(x)=(x+1)/x; f(x)=3x*e-x U=3∫x2dx=x3+C
y=U*V; y′=U′V+UV′ y=(x3+C)*e-x*1/x
U′V+UV′+((1+x)/x)*UV=3x*e-x y=(x3+C)*e-x*1/x
U′V+U(V′+((x+1)/x)*V)=3x*e-x
V′+((x+1)/x)*V=0
dV/dx=-((x-1)/x)*V|*dx
dV=-((x+1)/x)*V*dx|:V
∫dV/V=∫(1-x)dx/x
ln|V|=-(x+ln|x|)
V=e-x-ln|x|=e-x*x-1
27. Уравнение Бернулли
y+P(x)y=Q(x)y(n)
если n=1 – ур-е с раздел-ся переменными
если n=0 – ур-е линейное
если nне=0не=1:
умн-ем обе части на y(-n)
y(-n)y`+P(x)y(1-n)=Q(x)
y(1-n)=z
(1-n)y(-n)*y`=z`
(1-n)*y(-n)*y`+(1-n)P(x)y(1-n)=Q(x)(1-n)
z`+P1(x)z=Q1(x)-линейное уравнение
Можно сделать подстановку y=UV
Уравнение Бернулли:
y′+y*p(x)=f(x)*yn – оно сводится к решению лин. уравнения относительно х из вспомогательной функции z=y1-n
y′+xy=xy3|:y3 U′ex2=-2x
z=y1-3=y-2 U′= e-x2*(-2x)
(-1/2)*(-2)y-3*y′+xy-2=x; ((y-2)′=-2y-3) U=∫ e-x2*(-2x)dx
z′+xz=x e-x2+C=U
-1/2z′+xz=x|*(-2) – лин. уравн. z=(e-x2+C)*ex2
z′-2xz=-2x z=1+ex2*C
z=UV; z′=U′V+UV′
U′V+UV′-2xUV=-2x y-2=1+ex2*C
U′V+U(V′-2xV)=-2x y2=1/(1+ex2*C)
v′-2xV=0 y=±√1/(1+ex2*C)
dV/dx=2xV|*dx
dV=2xVdx|:V
dV/V=2xdx
ln|V|=x2
V=ex2
28. Уравнения в полных дифференциалах.
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, если его левая часть
представляет полный дифференциал некоторой
функции.
dU= M(x,y)dx+N(x,y)dy=dU/dx*dx+dU/dy*dy
Теорема для того, чтобы ур-е явл-сь ур-ем
в пол-х диф-ов необходимо и достаточно
чтобы в некот. обл-и изменения х и у выпол-
нялось усл-е dM/dy=dN/dx. Общий интеграл
этого ур-я имеет вид:
x y
∫M(x,y)+∫N(x,y)=C
x0 y0
1)проверим ур-е пол.диф. или нет.
2) U(x,y)=∫M(x.y)dx+φ(y)
3) N=dU/dy=d(∫M(x.y)dx+φ(y))/dy Найдем φ(y)`,
а затем φ(y) и подставим в U(x,y).
29. Уравнения, допускающие понижения порядка.
Общий вид ур-ий второго и высших порядков
F(x,y,y``,y```,…,y(n) ) или y(n) =f(x,y,y`,y``,…, y(n-1) )
1) y(n)=f(x) интегралом
2) F(x,y``,y```,…,y(n) ) отсутствует у
Делаем подстановку у`=t y``=t`
3) F(y,y``,y```,…,y(n) ) отсутствует х
Делаем подстановку y`=t y``=t*dt/dy
30. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
Имеет вид: y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+an-1y=0
ai(x) может зависеть от х
Рассмотрим когда ai=const
y=ekx – решение
y`=kekx; y``=k2ekx; y(n)=knekx
knekx+a1k(n-1)ekx+a2k(n-2)ekx+…+an-1kekx+anekx=0 сократим на ekx
kn+a1k(n-1)+a2k(n-2)+…+an-1k+an=0 хар-ческое уравнение
1) k1не=k2 y=C1ek1x+C2ek2x
2) k1=k2 y=(C1+C2x)ekx
3) k 1,2=α+-βi y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
31. Метод вариации постоянных.
y0=C1(x)y+C2(x)y2+…+Cn(x)yn – общий вид
yч=C1(x)y+C2(x)y2+…+Cn(x)yn – частное решение
n-1
Σyi(k)dCi/dx=0
k=1
при k=0 y1*dC1/dx+…+yn*Cn/dx=0
при k=1 y`1*dC1/dx+…+y`n*Cn/dx=0
…
при k=n-1 y1(n-1)*dC1/dx+…+y(n-1)n*Cn/dx=0
Замечание: Если правая часть лин. неод. ур-я есть сумма неск. фун-й и уч есть решение ур-я
y(n)+C1(x)y(n-1)+…+Cny=f(x), то в этом случае уч=уч1(ч)+…+учn(ч) – ‘это принцип суперпозиции решений
1) Находим корни хар-го ур-я
2) И находим производные у этого общ-го решения.
32. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеющих в качестве правой части функцию специального вида.
y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+an-1y=f(x)
y=y0+yч – решение неод. лин. ур-я
если f(x): Aeαx
Pn(x)
Acosβx+Bsinβx
Метод решения по виду правой части.
Исключения, если:
1) k=0 => yч=xPn(x); yч=Axeαx; yч=x(C1cosβx+C2sinβx)
2) k=0 крат. S =>
yч=xSPn(x); yч=AxSeαx; yч=xS(C1cosβx+C2sinβx)
3) f(x)= eαx k=α-кратность S
yч=xSeαx
4) k 1,2=α+-βi f(x)= eαx(C1cosβx+C2sinβx), то
yч= eαx xS(Аcosβx+Вsinβx)
33. Основные понятия функции многих переменных.
Символически функция многих переменных имеет вид
U=f(x,y1,y2,…,yn) Может быть задана таблицей или аналитически (формула). Определение1: Если каждой паре (х,у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенной значение величины z, то мы говорим, что z есть функция двух переменных. Определение2: Совокупность пар (х,у) значений х и у, при которых определяется функция z=f(x,y), называется областью определения.
Пример: z=arcsin y/z
-1=<y/x=<1 => -x=<y=<z, x не=0
34. Частные производные первого и более высоких порядков.
Определение: Частной производной по х от функции z=f(x,y), называется предел отношения частного приращения по х к приращению Δх при стремлении Δх к нулю. lim(f(x1,x2,…,xi+ Δхi,…,xn)-f(x1,x2,…,xi,…,xn))/Δхi=___
Аналогично частная производная по у от функции z=f(x,y), определяется как предел отношения частного приращения по у к приращению Δу при стремлении Δу к нулю.
Заметив, что частное приращение по х вычисляется при неизменном у, а частное приращение по у при неизменном х, мы можем определения частных производных сф-ть так: частной производной по х от функции z=f(x,y) наз-ся производная по х, вычесленная в предположении, что у – постоянная. Тоже и про у.
Производные второго порядка обозначаются
35. Дифференциал функции многих переменных, его применение в вычислениях.
Полное приращение функции: Δf(x1,x2,x3,..,xn)=f(x1+Δx1,…,xi+Δxi,…,xn+Δxn)-f(x1,x2,…,xn)
Функция f наз-ся дифферен-ой в точке, если полное приращение функции м.б. представлено в виде: Δf=A1Δx1+…+AnΔxn+O(ρ), где O(ρ)=кв.корень(Δx12+Δx22+…Δxn2), а Аi не зависят от х
Дифференциалом функции наз-ся главная часть полного приращения. Δf=A1Δx1+…+AnΔxn
df=f `dx+0 dxi≈Δxi
Ai - частные производные
df=∂f/∂x1*dx1+…+∂f/∂xn*dxn - полный дифференциал функции.
Применяется для приближенных вычислений.
Пример кв.корень((4,05)2+(3,07)2)
f(x,y)= кв.корень(x2+y2); x0=4, y0=3
Находим частные производные в этих точках и подставляем в формулу.
36. Дифференцирование сложной функции многих переменных.
f(x1,x2,…,xn)
x1=φ1(t), x2=φ2(t),…,xn=φn(t)
df=∂f/∂x1*dx1+∂f/∂x2*dx2+…+∂f/∂xn*dxn
df/dt=∂f/∂x1*dx1/dt+∂f/∂x2*dx2dt+…+∂f/∂xn*dxn/dt
37. Дифференцирование неявных функций.
Неявные функции. Производные неявных функций.
Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением , является графиком некоторой функции , определяемой уравнением . В этом случае говорят, что функция задана неявно уравнением . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция и ее частная производная по непрерывны в , . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция , задаваемая уравнением , так, что в этой окрестности .Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение задает неявно функцию . Это же уравнение может задавать неявно функцию или . Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение : . Отсюда получим формулу для производной функции , заданной неявно: . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением : , .
38 Дифференцирование параметрический заданной функции
39. Градиент и производная по направлению.
Рассмотрим в обл-и D функцию u=u(x,y,z) и точку М(x,y,z). Проведем из т.М вектор S, направляющие косинусы которого cosα,cosβ,cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала рассмотрим точку М1(х+Δх,у+Δу,z+Δz). Т.о.
Δs=кв.корень из (Δх2, Δу2, Δz2). Полное приращение фун-ии представим так: Δu=_Δx+_Δy+_Δz+ε1Δx+ε2Δy+ε3Δz, где ε1, ε2, ε3 – стремятся к нулю при Δs→0. Разделим все члены равенства на Δs. Δu/Δs=__Δx/Δs+__Δy/Δs+__Δz/Δs+ε1Δx/Δs+ε2Δy/Δs+ε3Δz/Δs
Очевидно, что Δx/Δs= cosα, Δy/Δs= cosβ, Δz/Δs= cosγ. Перепишем равенство. Предел отношения Δu/Δs при Δs→0 наз-ся производной от функции u=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается __, т.е.
lim Δu/Δs=___
Δs→0
Перейдя к пределу ε1Δx/Δs+ε2Δy/Δs+ε3Δz/Δs=0.Т.о. зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.
Градиент – вектор, кот. имеет своими координатами частные производные.
grad f={__,__,…}; a={x,y}
Градиент – это вектор, указывающий направление наибольшего изменения функции.
Т.: если функция дифференцируема в т(х,у,z) то для нее имеет смысл производная по направлениюлюбогот единичного вектора п с координатами п={cosa, cos b,cos y} и эта производная находится по формуле f ∂f/∂n=_∂f/∂x_cosα+__∂f/∂y_cosβ + ∂f/∂z
40.Экстремум функции многих
переменных.
Необходимое усл-е экстремума:
Пусть функция имеет локальный экстремум в т.х0, тогада если сущ частные производные первого порядка в т. х0, то они обязательно =0
∂f/∂xi=0
Следствие:если финкция имеет экстремум в т х0 и дифференциал функции =0 в этой точке, и градиент тоже =0
Правило Стирлинга
А=∂f2/∂x2
В=∂f2/∂x∂у
С=∂f2/∂у2
Составляем определитель Δ=АС-В2
Если Δ>0 max A<0
min A>0
Δ<0 экстремума нет.
Δ=0 ничего сказать нельзя.
1) Находим частные, приравниваем
их к нулю, находим точки.
2) Находим А,В,С.
3) Подставляем х1 и у1 в А,В,С.
Находим определитель.
4) Тоже с х2 и у2.
Для того, чтобы установить вид ста-
ционарной точки не обязательно вы-
полнять это правило. Дост. иссл. знак
втор. диф-а используя метод выд-я
полного квадрата.
41. Задача на наибольшее и наименьшее значение функции многих переменных.
z=x2+y2-xy-x-y; x>=0, y>=0, x+y<=3
1) Найдем частные производные, приравняем 0, найдем т.А А(1,1)
2)Исследуем границы области
а) х=0 подставляем в z, находим z` приравниваем его к нулю. Получим у = ½
В(0,1/2) принадлежит обл-и
б) у=0. С(1/2,0) также принадлежит.
в) у=3-х. D(3/2,3/2).
3) Считаем знач. функции в точках. Находим минимум и максимум.
42 условный экстремум функции многих переменных
Пусть функция определена в некоторой области и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной .