Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕСИИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Т.Г.Иксанова
Р.Б.Салихов
Р.А.Сулейманова
Лабораторные работы по механике
Методическое пособие по физпрактикуму
Уфа 2006
УДК 53
ББК 22.2я73
И42
Печатается по решению по решению редакционно-издательского совета
Башкирского государственного педагогического университета
Иксанова Т.Г., Салихов Р.Б., Сулейманова Р.А. Лабораторные работы по механике: методическое пособие по физпрактикуму для студентов. Издание дополненное и исправленное.– Уфа: Изд-во БГПУ, 2006. – 137 с.
Данное пособие позволяет студентам освоить начальные методы проведения физических экспериментов и способы обработки и оформления полученных результатов. Приводятся основные сведения о классификации физических измерений и погрешностей физических измерений. Даются элементы теории погрешностей и простейших физических измерений.
Методическое пособие содержит также теоретические основы, практические указания, задания и описания установок лабораторных работ по механике. Пособие может быть использовано как студентами физических специальностей педвузов и университетов, так и студентами технических вузов при изучении курса физики.
Рецензенты: Ч.Х.Сагитова, канд.ф.-м.н., доц.(БГУ)
В.М. Агишев, канд.ф.-м.н., доцент (БГПУ)
Ответственный редактор: И.А.Фахретдинов д.ф.-м.н., проф.
Издательство БГПУ, 2006
Предисловие
Методическое пособие «Лабораторные работы по механике» является частью учебно-методического комплекса «Механика» для студентов физико-математического факультета. Курс механики является первым разделом, с которого начинается изучение физики. В связи с этим в данном пособие подробно описан порядок проведения работ в учебных лабораториях.
В представленном пособии достаточно полно и подробно описана теория погрешностей, которая является важным элементом обработки результатов физического эксперимента. В пособии приведено описание 19 лабораторных работ, которые входят в перечень изучаемых тем согласно государственному образовательному стандарту высшего профессионального образования по разделу «Механика» курса общей физики.
Место физики среди естественных наук и роль измерений в физике
Физика – не единственная наука, занимающаяся изучением законов природы. К естественным наукам относятся также химия, биология, геология, астрономия и еще целый ряд связанных с ними наук. С момента своего зарождения физика изучает природу, начиная с наиболее простых ее закономерностей, которые затем уже ложатся в основу более сложных.
Развитие физики, как показывает ее история, началось с изучения наиболее очевидных – механических явлений и постепенно переходило к более сложным. Одновременно создавались новые, все более совершенные методы измерения, дававшие и дающие возможность устанавливать новые закономерности. То обстоятельство, что физика начала изучение природы с простых систем с “малофакторными“ связями, дало возможность устанавливать количественные соотношения между величинами.
Рассмотрим примеры:
1. Закон свободного падения тел был установлен на сравнительно ранней стадии развития физики благодаря тому, что на падение тел влияет преимущественно два фактора - сила тяготения и сила сопротивления воздуха. Причем второй фактор был далеко не сразу очевиден и лишь его учет в дальнейшем позволил правильно сформулировать закон свободного падения.
2. Допустим, что при определенном заболевании резко возрастает концентрация магния в крови. Как установить, в зависимости от чего это происходит, какие именно факторы определяют содержание этого элемента в крови? Если это связано с нарушением функции какого - либо органа, то какого именно, в чем это нарушение заключается и можно ли его количественно измерить? Даже в такой постановке подобные задачи, как правило, неразрешимы, а если учесть, что живой организм - единое целое и нарушение функции одного органа ведет автоматически к нарушению функции других, то задача становится чрезвычайно сложной.
3. Аналогична ситуация и в геологии, где, например, умеют измерять силу землетрясения, но не могут его прогнозировать, так как не ясны все причины, вызывающие его, и условия их возникновения.
Рассматривая приведенные примеры, мы видим, что если в первом случае все основные величины, характеризующие процесс, могут быть измерены и представлены числом, то в двух последних случаях мы можем измерить лишь концентрацию Mg и силу землетрясения; что же касается причин, влияющих на них, то их нельзя не только измерять, но даже и просто перечислить.
Можно выделить три этапа в процессе познания на каждой его фазе.
1. Сбор фактического материала.
2. Анализ полученной информации, выделение основных компонентов изучаемой системы, поиски взаимосвязи между ними, исключение второстепенных факторов, формулировка гипотезы.
3. Экспериментальная проверка гипотезы, создание теории, формулировка законов.
Установленная последовательность в процессе познания присуща любой науке, но физику как точную науку отличает то, что материал, собираемый на первом этапе, и результат экспериментальной проверки на заключительном этапе представляют собой совокупность количественных, численных характеристик всех рассматриваемых величин, т. е. все эти величины должны быть сравнены с эталоном и охарактеризованы числом.
Если мы вернемся к рассмотренным примерам, то станет ясно, что физика стала точной наукой лишь потому, что предметом ее изучения служит круг явлений и объектов, параметры которых могут быть измерены количественно.
Однако постепенное развитие физики приводило к созданию новых методов исследования, позволяющих измерять те величины, которые ранее не измерялись. Бессмысленно было говорить о законе Ома, если бы не могли измерить и представить в виде чисел силу тока, напряжение и сопротивление, а такая возможность тоже появилась не сразу.
Развитие физики и создание новых методов позволили использовать их для измерения и количественного исследования закономерностей, присущих другим естественным наукам. Так зародились биофизика, геофизика, астрофизика, физическая химия и т. п.
Все выше изложенное позволяет понять роль измерений в процессе познания.
Основные цели лабораторного практикума:
уяснение роли измерений в процессе познания явлений природы;
умение выбрать инструмент, необходимый для измерения в каждом отдельном случае, определить цену деления его шкалы или нониуса;
приобретение умения определять границы точности производимых измерений и величину допускаемых ошибок, а также умения заранее устанавливать разумные пределы необходимой для каждого измерения точности;
умение находить и исключать возможные источники систематических ошибок;
получение знания о классе точности приборов и соответствующем этому классу пределу точности измерения;
умение производить предварительную оценку порядка ожидаемого результата с целью дополнительного контроля за его правильностью;
знакомство с некоторыми конкретными приборами и методами, служащими для измерения различных физических величин.
Порядок работы в лаборатории
Лаборатория физического практикума по механике первая, с которой знакомятся студенты изучающие физику.
На первом занятии преподаватель знакомит студентов с основным значением лабораторных работ, объемом работ, которые должны быть выполнены, и последовательностью их выполнения. Список группы заносится в журнал учета выполнения лабораторных работ и журнал по технике безопасности.
Приступать к лабораторным работам можно после того, как все студенты будут ознакомлены с правилами техники безопасности в данной лаборатории и распишутся в получении инструктажа в соответствующем журнале.
Группа лабораторных работ, объединенная во «вводный цикл», нацелена на выработку навыка простейших физических измерений и оформления письменного отчета, усвоение элементов теории погрешностей.
Последовательность проведения лабораторных работ определяется специальным графиком. Студент получает возможность готовиться к каждой работе заблаговременно и приступать к ее выполнению, ознакомившись как с теорией вопроса, так и с необходимыми приборами и оборудованием.
Список вопросов, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы, приводится в описании каждой работы вместе с краткими сведениями из теории и перечнем литературы. Знакомство с приборами и оборудованием осуществляется в лаборатории в отведенные для этого часы самоподготовки в присутствии лаборанта.
Каждым студентом должна быть заведена специальная тетрадь (общая) для выполнения лабораторных работ, в которую при подготовке заносятся краткие сведения из теории, схема опыта и полученные в дальнейшем результаты измерений, их обработка и конечный результат. Для записи результатов измерения должны быть заранее вычерчены таблицы, включающие как сами измеренные величины, так и рассчитанные величины и их погрешности.
Во время занятий в лаборатории студенту разрешается пользоваться только своим конспектом.
Каждое занятие начинается с проверки подготовленности студента к выполнению работы. Если студент не способен ответить на вопросы, знание которых необходимо для допуска, то он к работе не допускается и удаляется из лаборатории, что равносильно пропуску занятия по неуважительной причине. После допуска к работе студент должен получить у лаборанта под студенческий или читательский билет все необходимое для проведения работы.
Запрещается производить какие-либо включения электрических схем и приборов до их проверки лаборантом или преподавателем!
Все результаты измерения заносятся в вычерченные заранее таблицы. Не рекомендуется делать записи результатов в черновиках, т.к. всякое переписывание служит дополнительным источником ошибок.
После окончания работы студент должен сдать лаборанту полученные принадлежности, привести в порядок рабочее место, получить отметку в журнале о выполнении работы, предъявив для этого полученные результаты преподавателю.
Оценки по выполнению отдельных этапов заносятся в таблицу на первой странице рабочей тетради:
|
№ занятия |
№ работы |
Допуск |
Выполнение |
Письменный отчет |
Теоретичес-кий отчет |
Максимальный балл |
Фактический балл |
Общая оценка |
Примечания |
||||
|
оценка |
дата |
оценка |
дата |
оценка |
дата |
оценка |
дата |
||||||
|
1 |
Ниже таблицы делается следующая запись:
Студент(ка)……………………………….ФИО)…………группы…………курса ………………………………………………………факультета выполнил(а) в лаборатории механики………..лабораторных работ с общей оценкой ……...
Суммарный максимальный балл …………………...
Суммарный фактический балл ………………….
Процентное соотношение фактического и максимального суммарных баллов
Дата …………………..Подпись преподавателя ……………………………….
К следующему занятию студент не только готовит очередную работу, но и предъявляет отчет о выполненной на предыдущем занятии лабораторной работе. Работа считается окончательно сданной лишь после защиты отчета. Допускаемая задолженность по отчетам составляет не более 1 - 2 работ. Студент, не отчитавшийся за 3 работы, к выполнению последующих работ не допускается. О задолженности преподаватель сообщает на кафедру и в деканат.
В случае пропуска занятий студент должен готовить к следующему занятию, не пропущенную работу, а ту, которая должна быть на этом занятии по графику. Если работа пропущена по уважительной причине, то студент после сдачи допуска преподавателю может выполнить пропущенную работу в часы подготовки в присутствии лаборанта. Если причина пропуска неуважительна, то работа откладывается на конец семестра.
Во время работы в лаборатории у студента должна находиться лишь рабочая тетрадь, калькулятор, линейка, карандаш, миллиметровая бумага, авторучка. Портфели, сумки и т. п. оставляются при входе в лабораторию на специальном стеллаже.
Схема письменного отчета по выполненной лабораторной работе
Письменный отчет по лабораторной работе оформляется на отдельных листах. Это может быть двойной (и более) тетрадный лист или альбомные листы размера А4. Далее перечислены пункты, которые должен включать письменный отчет.
|
№ опыта |
Измеренные величины: наименование, обозначение, единицы измерения, множитель |
Вычисленные величины: наименование, обозначение, единицы измерения, множитель |
Погрешности |
|
|
Абсолютная, единицы измерения |
относительная |
|||
|
1 |
||||
|
… |
||||
|
Средние значения |
Ясно, что как измеренных, так и вычисленных величин может быть несколько. Погрешности также могут определяться как для одной величины, так и для нескольких. Если вводимое в таблицу число очень большое (или, наоборот, очень малое), то обычно вводится общий для всех значений экспоненциальный множитель (10n), выносимый к наименованию величины (см. образец таблицы).
Графики вычерчиваются на отдельных листах бумаги (желательно, миллиметровой).
7. Формулы расчета ошибок определяемой величины и их значение. В случае косвенных измерений определяемой величины должен быть приведен вывод формул для расчета погрешностей.
8. Окончательный результат, полученный после округления, с указанием округленной ошибки.
9. Заключение о достижении цели, поставленной в данной работе, анализ результата и величины погрешности.
Виды физических измерений
Измерение – это нахождение значения физической опытным путем с помощью специальных технических средств измерений (приборов). Измерения основаны на совокупности физических явлений и физических закономерностей, описывающих эти явления, представляющих собой принцип измерений. В основе измерения лежит сравнение исследуемой величины с общепринятым эталоном.
Различают два вида физических измерений: прямые и косвенные. В случае прямых измерений результат получается непосредственно по прибору. Если прибор – цифровой, то записывается соответствующая цифра. Если прибор шкальный, то снимается показание по шкале прибора. Таким образом, прямым называется измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных (например, измерение времени секундомером).
В некоторых ситуациях нет возможности определить величину по прибору: либо отсутствует соответствующий прибор (например, нет спидометра для определения скорости, но есть рулетка и часы); либо измерение величины влечет за собой кардинальное изменение процесса (энергия может быть определена только при совершении работы). В этом случае проводят косвенные измерения, при которых искомое значение величины находят на основании прямых измерений физических величин, связанных между собой определенной зависимостью y=f(x1,x2,…,xn), где у – значение измеряемой величины, x1,x2, …,xn – значения величин, получающихся при прямых измерениях. Например, к косвенным измерениям можно отнести нахождение плотности тела: = m/V.
Единицы измерения
Как уже было указано, в основе любого вида измерения лежит сравнение определяемой величины с другой, принятой за эталон. Для обеспечения однозначности различных измерений, произведенных как одним и тем же, так и разными экспериментаторами были введены единицы измерения. Единица измерения является величиной того же рода, что и сама измеряемая величина. Следовательно, должно существовать, по меньшей мере, столько же единиц измерения, сколько существует самих величин.
Выбор величины единицы измерения может быть совершенно произвольным. Но если единицы измерения всех физических величин установить независимо друг от друга, то в формулах, связывающих разные физические величины, появится много переводных коэффициентов. Это приведет не только к необходимости вводить эти коэффициенты в теорию науки, их запоминанию, но и к усложнению вычислений и, как следствие, усложнению дальнейшего пути познания и развития науки. Поэтому произвольно установили единицы измерения для минимального числа величин, по которым, благодаря зависимостям между физическими величинами, определили все остальные единицы измерения.
Физические величины, единицы измерения которых выбраны произвольно, называются основными. Их единицы измерения называют также основными. Физические величины, единицы которых установлены с помощью функциональной зависимости от основных величин, называются производными величинами. Их единицы измерения называют также производными.
Совокупность основных и производных единиц измерения называют системой единиц измерения. В настоящее время в России в качестве предпочитаемой принята Международная система единиц измерения – СИ.
В этой системе основными являются:
|
Длина |
метр |
м |
|
Масса |
килограмм |
кг |
|
Время |
секунда |
с |
|
Сила электрического тока |
ампер |
А |
|
Термодинамическая температура |
кельвин |
К |
|
Сила света |
кандела |
кд |
|
Количество вещества |
моль |
моль |
В системе СИ имеются две дополнительные величины и соответствующие единицы:
|
Плоский угол |
радиан |
рад |
|
Телесный угол |
стерадиан |
стер |
Ошибки измерения (погрешности) и причины их возникновения
Физические величины связаны между собой определенными закономерностями. Установление количественных законов, показывающих, как меняются одни из измеряемых величин при изменении других, является одной из важнейших задач экспериментальной физики. Поэтому увеличение точности измерений необходимо для более глубокого познания закономерностей материального мира.
Методы измерения физических величин непрерывно совершенствуются. Например, в 1675 году датский ученый Олаф Рёмер впервые нашел значение скорости света: 215000 км/с. Фуко в 1862 году в лабораторных условиях измерил скорость света. У него она получилась равной 296000 км/с. В 1927 году Майкельсон получил для скорости света значение, равное 299796 км/с. Сегодня в физике принято значение скорости света, полученное в 1957 году: (2997930,3) км/с. В случае приближенных расчетов принимают скорость света равной 3.108 м/с.
Повышения точности измерений позволяет обнаружить, казалось бы, незначительные отступления от физических законов, которые ранее упускались из виду. Такого рода поправки позволяют совершенствовать существующую теорию и учитывать их при выводе новых законов. Например, уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона:
не могло дать хорошего согласия с экспериментом, так как не учитывались собственные размеры молекул и сложный характер их взаимодействия между собой. Более детальное рассмотрение этого вопроса привело к уравнению Ван-дер-Ваальса:
Иногда установленные новые эмпирические соотношения позволяют создавать совершенно новые теории. Например, закономерности, обнаруженные в спектре водорода (работы Бальмера, Ридберга, Ритца), послужили толчком к созданию теории атома водорода и далее квантовой механики (работы Бора, Гейзенберга и др.).
Таким образом, между практикой и теорией существует тесная связь, которая приводит к непрерывному развитию физики, все глубже и точнее отражающей объективные закономерности окружающего нас мира.
Между тем, вследствие неточности измерительных приборов, неполноты наших знаний, трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают ошибки (погрешности). Погрешностью измерений называют разность между истинным значением измеряемой величины и результатом измерений. Теория погрешностей указывает на то, как следует вести измерения и их обработку, чтобы при достоверности результатов допущенные ошибки были минимальными.
В процессе выполнения экспериментальных работ, как в учебных, так и в научно-исследовательских лабораториях студенту приходится постоянно измерять и вычислять различные величины; при этом важно иметь представление о том, как правильно оценивать полученный результат, добиться разумной точности, уметь найти и оценить ошибку измерения.
Бессмысленно говорить об абсолютной точности произведенного измерения. Невозможно указать точно, например, размер атома или элементарной частицы, число молекул в комнате или единице ее объема и т. п. Можно говорить лишь о той или иной степени приближенности к искомой величине, о большей или меньшей ошибке или погрешности в произведенном измерении.
В перечисленных примерах нельзя назвать точное число, соответствующее размеру или количеству, потому что эти величины находятся в состоянии непрерывного изменения. Отсюда становится ясным, почему, например, нельзя измерить деталь с точностью до диаметра атома или число молекул в комнате до единиц. Однако диктуемой, как правило, техническими потребностями этой точности и не требуется.
Чем же ограничивается точность измерения, от чего зависит величина допускаемой ошибки и каковы ее источники? Сначала определим понятие ошибки (погрешности) измерения. Под погрешностью измерения х понимают отклонение результата измерения х от истинного значения хист измеряемой величины: х = х - хист. Эта погрешность выражена в единицах измеряемой величины и называется абсолютной погрешностью измерения.
Первой и, к сожалению, достаточно распространенной причиной ошибок служат так называемые промахи. Промахи (грубые погрешности) – это погрешности, значения которых существенно превышают ожидаемые при данных условиях. К ним относятся, например, неверно поставленные часы или неточно установленный нуль прибора, неправильная установка самого прибора (допустим, вертикальная вместо горизонтальной), неправильно записанная цифра или неразборчивая запись в черновике, как следствие, неверно переписанные данные и т. п.. В этом случае результат отдельного измерения резко отличается от результатов других измерений, выполненных при тех же условиях. Избежать этого вида ошибок позволяет серьезная предварительная подготовка и внимательное продуманное проведение эксперимента.
Второй источник трудно контролируемых ошибок связан с методом измерения, конструкцией прибора и влиянием незаметных, на первый взгляд, факторов. Так, изменение длины деревянной линейки в зависимости от влажности воздуха или размера металлических приборов - от температуры, а также спешащий или отстающий секундомер, ослабленная пружина весов, растворение вещества, предназначенного для спектрального анализа, растворителем, содержащим искомое вещество и т. п. Во всех перечисленных случаях допускаемая ошибка характеризуется отклонением в какую–либо одну сторону и называется систематической. Таким образом, систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерений, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.
Для избежания подобного рода ошибок (сведения их к минимуму) необходимо тщательно готовить экспериментальные установки, приборы и оборудование, исключая возможные факторы, влияющие на результат; выбирать методы, позволяющие более точно определять значения величин. Приборы и оборудование должны храниться должным образом и периодически проверяться (сравниваться с эталоном). Минимальная относительная систематическая погрешность определяется классом точности прибора. Классом точности называется максимальная абсолютная погрешность прибора, выраженная в процентах от всей действующей шкалы прибора. По классу точности прибора и пределу измерения определяется абсолютная погрешность. Если измеряемая величина меньше предела измерения прибора, то ее относительная ошибка будет больше класса точности. Абсолютная систематическая погрешность в некоторых случаях определяется как половина цены наименьшего деления шкалы прибора или как половина цены последней значащей цифры (в случае цифрового прибора). В случае равномерной шкалы эта погрешность одинакова для всех измерений.
Третий вид ошибок - случайные ошибки. Они имеют место всегда при любом измерении, вызываются различными причинами и приводят к отклонению результатов, как в большую, так и в меньшую сторону. Другими словами, случайная погрешность измерения – составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Она возникает от многих причин, каждая из которых в отдельности мало влияет на результат измерения. К такого рода ошибкам относятся, например, ошибки, обусловленные различным прижатием микрометрического винта или ножек штангенциркуля, различное положение глаза при отсчете по шкале и т. п. Вся статистическая теория погрешностей связана с изучением и учетом ошибок именно такого рода.
В общем случае при измерении любой величины могут присутствовать все три вида ошибок, но последний вид будет представлен всегда.
Определение величины ошибки при прямых измерениях
Пусть, измеряя некоторую величину х, мы получим серию результатов х1, х2, х3,..... хn. Которое из этих значений является наиболее близким к истинному?
Теория ошибок указывает, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины будет среднее арифметическое значение ряда отдельных измерений, т. е.
.
Причем, при n, xсрхист.
При вычислении среднего арифметического измеряемого значения ошибки в сторону увеличения и уменьшения величины наилучшим образом компенсируют друг друга. Величина
называется отклонением данного i-того измерения от среднего.
Абсолютная величина наибольшего из этих отклонений определяет границы интервала значений искомой величины.
Предположим, при измерении величины x мы получим ряд значений 1,790; 1,795; 1,800; 1,805; 1,810; а пользуясь другим прибором, получим 1,76; 1,78; 1,80; 1,82; 1,84. В обоих случаях среднее значение x = 1,80, но интервалы допустимых значений в первом и во втором случаях не одинаковы и равны соответственно (1,79 1,81) и (1,76 1,84), таким образом, во втором случае он шире.
Если повторять измерение большое число раз, то внутри интервала, ограниченного наибольшими отклонениями, будет располагаться все большее число полученных значений. Если весь интервал разброса разбить на равные участки dх, то большее количество результатов в них будет помещаться на центральных участках, а по мере удаления от центра число результатов, приходящихся на участок dх, будет убывать. Обозначим относительное число всех измерений, приходящихся на участок dх, через , где n - общее число всех измерений. Тогда на единичный отрезок интервала придется относительное число значений .
Если мы вычертим график зависимости от х, то получим кривую, показанную на рис. 1.
Из рисунка 1 видно, что чем больше участок dх удален от хср, тем меньше результатов измерения на него приходится. Не вникая в детали статистической теории погрешности, скажем лишь, что при вид кривой, приведенной на рис. I, хорошо описывается функцией Гаусса
,
где - так называемое среднеквадратичное отклонение, определяющее ширину интервала разброса результатов измерения. Величина определяет вид кривой Гаусса: чем меньше величина , тем быстрее функция стремится к нулю по обе стороны от хср. Приближенно можно считать, что полуширина кривой Гаусса на ее полувысоте равняется . Наилучшим приближением к является величина S, которую называют среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения:
при .
Если мы провели не одну, а несколько серий (m – серий) измерений и в каждой получили среднеарифметическое значение хср.к (где к – номер серии ), то эти значения также распределились вокруг искомого хист, но уже с меньшим разбросом, который характеризовался бы среднеквадратичной ошибкой среднего . связано с простым соотношением
.
Отсюда, считая S хорошим приближением для , получим
или .
Истинное значение измеряемой величины принципиально недостижимо, за исключением редких случаев Величина определяет максимальные границы разброса полученных значений; внутри интервала хср m лежит лишь около 68% всех измеренных значений, т. е. вероятность попадания искомой величины в данный интервал составляет 68% или 0,68. Эта величина носит название доверительной вероятности (коэффициента надежности), а сам интервал хср m – называется доверительным интервалом. Величина возрастает от 95 % или 0,95 внутри интервала хср 2m и до 99,7 % или 0,997 внутри интервала хср 3m.
хср-σm хср хср+σm
2σm
Однако все эти рассуждения справедливы лишь в случае точно заданной величины . Так как мы используем вместо лишь его приближенное значение S и ограничиваемся сравнительно небольшим числом измерений, то определение ширины доверительного интервала, внутри которого с определенной вероятностью находится искомое значение:
х = tn m,
будет определяться коэффициентом tn, зависящим как от числа проведенных измерений (n), так и заданной доверительной вероятностью (). Эти коэффициенты – коэффициенты Стьюдента (такой псевдоним принял английский химик Госсет) рассчитаны для различных n и и приводятся в таблицах.
Так, для n = 5 и = 0,95 = 2,8, а ширина доверительного интервала . Эта величина и должна приводиться в качестве ошибки.
Значение коэффициентов Стьюдента приводится в Таблице 1.
Таблица №1
Коэффициенты Стьюдента
|
№ |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,96 |
0,99 |
0,999 |
|
2 |
0,16 |
0,33 |
0,51 |
0,73 |
1,00 |
1,88 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
63,7 |
636,3 |
|
3 |
14 |
29 |
45 |
62 |
0,82 |
1,06 |
1,8 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
7,0 |
9,9 |
81,6 |
|
4 |
14 |
28 |
42 |
58 |
77 |
0,98 |
1,2 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
5,8 |
12,9 |
|
5 |
13 |
27 |
41 |
57 |
74 |
94 |
1,2 |
1,5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
4,6 |
8,6 |
|
6 |
13 |
27 |
41 |
56 |
73 |
92 |
1,1 |
1,5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
4,0 |
6,9 |
|
7 |
13 |
27 |
40 |
55 |
72 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,1 |
3,7 |
6,0 |
|
8 |
13 |
26 |
40 |
54 |
71 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
3,0 |
3,5 |
5,4 |
|
9 |
13 |
26 |
40 |
54 |
71 |
90 |
1,1 |
1,4 |
1,9 |
2,3 |
2,9 |
3,4 |
5,0 |
|
10 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,3 |
2,8 |
3,3 |
4,8 |
|
11 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
88 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,8 |
3,2 |
4,6 |
|
12 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,5 |
|
13 |
13 |
26 |
40 |
54 |
70 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,1 |
4,3 |
|
14 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
87 |
1,1 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
2,7 |
3,0 |
4,2 |
|
15 |
13 |
26 |
39 |
54 |
69 |
87 |
1,1 |
1,3 |
1,8 |
2,1 |
2,6 |
3,0 |
4,1 |
|
16 |
13 |
26 |
39 |
2,9 |
4,0 |
Относительная ошибка
Абсолютная погрешность измерения не характеризует полностью точности проведенных измерений.
Действительно, если мы измерили массу с точностью , то точность измерений в значительной мере будет зависеть от того, какую величину мы измерили: 2 кг или 2 г. Поэтому для того, чтобы иметь возможность сравнивать точность различных измерений величин разной размерности, принято находить среднюю относительную погрешность результата, которая определяется отношением абсолютной ошибки к среднему арифметическому значению измеряемой величины:
.
Абсолютная погрешность измерения – это безразмерная величина, определяемая в процентах.
Пример записи результатов прямых измерений
В лаборатории при измерении любой величины результаты должны заноситься в таблицу, которую необходимо составить заранее.
Например: необходимо измерить диаметр цилиндра. Для записи результатов измерений составим таблицу:
|
№№ опыта |
di, мм |
мм |
|
1 |
13,65 |
0,03 |
|
2 |
13,65 |
0,03 |
|
3 |
13,60 |
0,02 |
|
4 |
13,55 |
0,07 |
|
5 |
13,65 |
0,03 |
|
Средние значения |
13,62 |
0,036 |
Далее определим среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического
Выберем доверительную вероятность результата = 0,95. Тогда из таблицы №1 коэффициент Стьюдента будет равен: = 2,8, и абсолютная погрешность результата составит х = tn m
Запишем результат:
Обычно результат округляют до сомнительной цифры. Сомнительной является цифра, разряд которой совпадает с разрядом старшей, отличной от 0, цифры ошибки. В данном результате – это «2». Причем, при округлении последняя цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая цифра меньше 5; увеличивается на 1, если эта цифра больше 5. Если отбрасываемая цифра 5, то последняя сохраняется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
Исключение: при округлении ошибок (погрешностей) последняя сохраняемая цифра всегда увеличивается на единицу, если только старшая отбрасываемая цифра не нуль.
Ошибки обычно округляются до одной значащей цифры. В некоторых случаях, когда первая значащая цифра меньше или равна 3, оставляются две значащие цифры. Это связано с тем, что сами погрешности определяются с погрешностью, например, при 10 измерениях эта погрешность составляет величину 30%.
Таким образом, результат измерения диаметра после округления запишется:
d = .
Если проведенная серия измерений дала одинаковые результаты, то это означает, что величина случайных отклонений меньше точности прибора. В этом случае за ошибку принимают величину, обусловленную классом точности прибора или половиной цены его наименьшего деления, а в случае, если случайная ошибка и погрешность измерительного прибора сравнимы, то общая ошибка складывается из них. Правила сложения даны ниже.
Суммарная погрешность определяется согласно формуле:
,
где хсл – случайная ошибка, - погрешность измерительного прибора.
Функция случайной величины и ошибка в ее определении
В большинстве случаев искомая величина не может быть измерена непосредственно, а определяется через другие, которые можно измерить. Например, для определения объема шара мы измеряем его диаметр d и потом вычисляем объем . Таким образом, объем в данном случае есть функция диаметра, а сам диаметр измерен с некоторой ошибкой и представляет собой целый ряд значений внутри интервала, ширина которого этой ошибкой обусловлена.
Во всех подобных случаях мы имеем дело с функцией случайной величины, т. к. истинного значения аргумента (в данном случае диаметра) мы не знаем.
Но если значение аргумента находится с определенной степенью точности, то и зависящая от него функция также определяется с ошибкой. На рис.2 представлен график зависимости V от d, из которого видно, что интервалу d значений аргумента соответствует интервал ∆V значений функции. Среднему же значению диаметра dср будет соответствовать среднее значение объема Vср.
Обозначим в общем случае функцию случайной величины буквой Z, а аргумент – буквой А, тогда . Вид этой функции может быть различным. Наиболее распространенные варианты подобных функций и указания, как найти ошибку в ее определении ∆Z, если задана ошибка в определении аргумента ∆А, даны в Приложении 4. В общем случае Z = Z(A): абсолютная погрешность измерения будет равна , где определяет степень зависимости Z от А в интересующей нас точке.
Функция нескольких переменных (ошибки косвенных измерений)
Часто встречаются случаи, когда искомая функция зависит от нескольких величин, каждая из которых определяется с ошибкой. Например, объем цилиндра зависит как от радиуса r (или диаметра d), так и от высоты h:
.
Общую функциональную зависимость в этом случае можно представить в виде Если А и В являются отклонениями измеренных значений от истинных параметров, то степень зависимости Z от них будет также обусловлена частными производными
В этом случае для каждой серии измерений
или .
При этом мы можем указать знак отклонения в большую или меньшую сторону) для А и В. Для данной серии может получиться, что знаки ошибок противоположны и скомпенсируют друг друга, однако это не говорит о большой точности измерения.
Чтобы избежать зависимости от знака ошибки при усреднении по всем сериям, пользуются следующим способом. Возведем в квадрат выражение для Z:
.
Затем, усреднив по сериям и учитывая, что в связи со случайным, но равновероятным появлением знаков (+) и (–) у А и В , получим
.
Пример. Найдем ошибку в определении объема цилиндра. Сначала определим частные производные:
.
Абсолютная погрешность в определении объема будет:
.
Если Z - функция произвольного числа аргументов, т. е. Z= Z(A,B,D,E....), то среднеквадратичная ошибка среднего , которую мы здесь обозначим как Z, будет равна:
.
Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, погрешность величины у, представляющей собой функцию от переменных х1, х2, …, хn: у=f(х1, х2, …, хn ), можно записать в виде
,
где х1, х2, …, хn - абсолютные погрешности х1, х2, …, хn соответственно, f/x1, f/x2, …, f/xn – частные производные у по переменным х1, х2, …, хn соответственно. Частная производная функции многих переменных f(х1, х2,…, хn) по одной переменной, допустим х1, является обычной производной функции f по х1, причем, другие переменные х2, …, хn считаются постоянными величинами. Все производные вычисляются при значениях х1 = х1ср, х2 = х2ср, …, хn = хnср.
Относительную погрешность величины у можно вычислить согласно формуле:
.
Поскольку , то для относительной погрешности получаем
.
Рассмотрим в качестве примера функцию трех переменных u = xy/z, где , , – любые рациональные числа, тогда относительную погрешность измерения величины u можно рассчитать по формуле:
u = ( 2x 2 + 2y 2 + 2z 2)1/2,
где x, y, z - относительные ошибки измерений величин x, y, z.
При невысокой точности измерительных приборов случайными ошибками обычно можно пренебречь по сравнению с погрешностью измерительного прибора. Для получения результата достаточно одного отсчета.
Пусть Z = f(A, B, D, …), где A, B, D, …– непосредственно измеряемые величины, а A, B, D, … – их абсолютные систематические ошибки, тогда можно предложить следующий алгоритм нахождения абсолютной ошибки косвенных измерений:
.
В некоторых случаях сначала удобнее находить относительную ошибку и уже затем абсолютную.
Пусть функциональная зависимость имеет вид: .
.
.
.
Способы уменьшения ошибки измерения
Эти способы основаны на соображениях, вытекающих из следующих отношений. Если , то .
Например, необходимо измерить период колебания. Для этого целесообразно измерить продолжительность не одного колебания T, а продолжительность n колебаний: t = nT. Тогда период определится как . Измерив t с ошибкой t, получим . Определив период, найдем , откуда видно, что ошибка, допущенная при измерении, уменьшается в n раз. Чем большее число периодов мы отсчитаем, тем точнее определится продолжительность одного.
Аналогично, если необходимо измерить массу маленького шарика, а мы располагаем некоторым числом таких одинаковых шариков, то целесообразнее будет определить их общую массу, а затем поделить ее на число шариков. Также можно измерить диаметр проволоки, намотав несколько витков и измеряя общую длину намотанной части и т. п.
Некоторые правила приближенных вычислений
Все вычисления, производимые в лаборатории, являются приближенными, т. к. они проводятся с величинами, найденными с некоторой ошибкой. Для этого полезно знать некоторые правила операций с приближенными числами.
1. Бессмысленно вычислять какую-либо величину с точностью, большей, чем исходные данные.
2. Входящие в выражение константы могут быть вычислены с любой степенью точностью, поэтому за их исходное значение берется значение, соответствующее точности исходных данных и не увеличивающее суммарную ошибку.
3. При сложении и вычитании нескольких чисел в окончательном результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в наименее точном числе. (Значащими называются все цифры от 1 до 9, а также 0, если он стоит справа).
Пример: 2, 90 + 1, 457 - 1, 202 = 3, 15
4. При умножении и делении приближенных чисел в результате также сохраняется число значащих цифр, соответствующее числу с наименьшей точностью.
5. При возведении в степень приближенного числа в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень число.
6. При извлечении корня результат вычисляется до стольких значащих цифр, сколько их у подкоренного выражения.
7. Если все указанные операции промежуточные, то в результате берут на одну значащую цифру больше. В конечном результате последняя цифра отбрасывается по правилам округления.
Графическое представление результатов
Если мы измеряем некоторую величину А и производим вычисления величины Z, которая зависит от А, то полученный результат может быть представлен не только таблицей, но и в наглядной графической форме. Обычно для этого используют декартову (прямоугольную) систему координат. Все графики должны вычерчиваться на миллиметровке.
При вычерчивании графиков нужно придерживаться следующих правил:
1) Осуществить выбор осей. В математике принято по оси абсцисс откладывать аргумент, по оси ординат – функцию. Аргумент и функция в математике определяются однозначно. В физике же часто график не является самоцелью, а служит промежуточным этапом в расчетах. Наиболее удобной для этого является линейная зависимость. Чтобы получить именно такую зависимость, аргумент часто заменяется какой-то его функцией (например, для перехода от гиперболической зависимости к прямой берется обратная величина). В некоторых случаях для лучшей интерпретации полученного результата или дальнейшего использования графика аргумент и функция могут поменяться местами.
2) Выбрать нуль. В физике при построении графиков точка пересечения осей не является абсолютом. Вблизи этой точки (или непосредственно в ней) по каждой оси откладывается возможный минимум величины. Вблизи края оси выбирается максимум.
3) Полученный промежуток разбивается на пропорциональные отрезки в соответствии с выбранным масштабом, причем положение максимума не обязательно должно точно совпадать с последним делением масштаба, а лишь находиться вблизи него. Масштаб по различным осям может быть различным: графическая зависимость должна максимально занимать отведенную для нее площадь.
4) Точка при построении физического графика является пересечением доверительных интервалов величин (см. Элементы теории погрешностей), то есть не является точкой в геометрическом смысле, а представляет собой крест, той или иной величины в зависимости от выбранного масштаба.
5) Вначале наносятся экспериментальные данные (точки – отрезки доверительных интервалов) и уже затем кривая, которая не обязательно должна проходить через каждую точку - отрезок доверительного интервала. Здесь возможны два случая: а) проверяется известная зависимость (прямая, синусоида, парабола и др.); б) необходимо определить имеющуюся между величинами зависимость. В случае а) можно дать положительный ответ о выполнении известной закономерности, если соответствующая кривая пересекает основную часть экспериментальных данных. В случае б) результирующая кривая должна лежать в полосе, образуемой доверительными интервалами величин.
6) Если Z функция не одного, а двух аргументов, то можно построить семейство графиков зависимости Z от одного аргумента, соответствующих постоянным значениям второго аргумента.
На Рис.3 представлен вид зависимости амплитуды затухающего колебания от времени. Здесь А=t (с), Z=a (см). Точками показаны полученные результаты, вертикальными отрезками – разброс в значении функции, горизонтальными – аргумента.
Если график представляет собой монотонную кривую, то частота расположения экспериментальных точек на ней может быть постоянной, если же график имеет экстремумы или точки пересечения, то вблизи них экспериментальные точки должны ложиться гуще, чтобы исследуемая зависимость могла быть представлена как можно точнее.
Имея в распоряжении график исследуемой функции, можно использовать его для определения некоторых параметров.
В процессе выполнения учебных, а в последствии и исследовательских работ необходимо научиться применять все рекомендации, разумно отбирая в каждом случае наиболее подходящий способ обработки результатов, правильно оценивая допускаемые ошибки и по возможности устраняя их источники.
Линейный нониус и штангенциркуль
К числу простейших физических измерений относятся определения линейных и угловых размеров тел, их объема, а также массы. Для увеличения точности многих измерительных приборов служит устройство, называемое нониусом.
Линейный нониус штангенциркуля (Рис.4)представляет собой неболь
Рис.4
шую линейку А, скользящую вдоль основного масштаба В, на этой линейке А нанесена шкала, состоящая из m делений (Рис.5). Каждое из делений нониуса имеет длину X.
Длина наименьшего деления основного масштаба Y. Длина нониуса подбирается равной длине целого числа наименьших делений основной шкалы. При этом каждое деление нониуса будет меньше соответствующего деления шкалы z на определенную часть наименьшего деления масштаба y: z=cy, где c –произвольное число. Величина
x=z–x=cy–x (I.1)
называется точностью нониуса. Обычно в теории рассматривается случай, когда Z=Y, т.е. каждое деление нониуса на величину x меньше наименьшего деления шкалы Y. Однако на практике для удобства измерений "растягивают" нониус так, что каждое его деление становится на величину x меньше определенного, но не наименьшего деления основной шкалы Z. Мы рассматриваем этот, более общий случай. По конструкции нониуса длина всех его m делений меньше длины такого же числа m делений z основной шкалы на длину наименьшего деления основной шкалы y:
mx=cmy–y=(cm–1)y.
Отсюда
mcy–mx=y,
и точность нониуса
x=cy–x=y/m (I.2)
Рис.5
|
Процесс измерения длины заключается в следующем: начало измеряемого отрезка l (Рис.6) совмещается с нулевым делением основного масштаба. Пусть при этом конец отрезка окажется между делениями номеров k и (k+1). Из рис.6 видно, что измеряемая длина l=ky+ l, где l – неизвестная пока доля (k+1)-го деления масштаба. К концу отрезка l прикладывается нуль нониуса. |
|
|
Рис. 6 |
|
|
Так как деления нониуса не равны делениям масштаба, то обязательно найдется на нем такое деление n, которое будет ближе всего подходить к соответствующему делению масштаба. В технических нониусах линейку нониуса делают обычно короткой, так что совпадать с делением масштаба может лишь одно из делений этой линейки. Как видно из рис.6, l=nz–nx=n(z–x)=n x=n(y/m). |
|
|
На рис.6а приведен реальный снимок штангенциркуля. Деления на основной шкале A до 0 нониуса дают значение: 19 мм. Далее видно, что точно совпадает с делением основной шкалы седьмое деление нониуса B. Это значит, нониус показывает 0,7 мм. Окончательное значение величины будет 19,7 мм. |
|
|
Рис. 6а |
Микрометрический винт и микрометр
При точных измерениях расстояний нередко применяются микрометры (Рис.7). Основной деталью микрометра является микрометрический винт, которым приводится в движение подвижный стержень А (вращают винт, только за "трещетку" Б, что бы не нарушить нулевую точку микрометра). Если микрометр правильно отрегулировать, то величина зазора между стержнями (равна измеряемому размеру) определяется по шкале на колонке В (целое определяется по нижней части шкалы, а половина микрометров - по верхней) и на круговом нониусе Г, окружность которого разделена на 50 равных частей. Шаг винта микрометра равен 0.5 мм, т.е. за полный поворот винта подвижная скоба перемещается на 0.5 мм. Этому перемещению соответствует 50 делений барабана Г. Следовательно, поворот на одно деление барабана соответствует смещению подвижной скобы на 0.01 мм. С этой точностью и производится измерение с помощью микрометра.
Угловой нониус и оптический угломер
Аналогично линейному нониусу штангенциркуля строится и угловой нониус, применяемый в угломерах, теодолитах, астролябиях и других угломерных приборах. Достаточно простым и удобным в работе является оптический угломер.
Подготовка оптического угломера к работе и измерение угла проводится в следующем порядке: вставить сменную линейку в вырез корпуса и поворотом рукоятки 1 по часовой стрелки закрепить ее по длине в удобном для измерения положении;
– поворотом рукоятки 2 против часовой стрелки освободить угловой зажим линеек;
– рабочие плоскости линеек плотно приложить к плоскостям или ребрам, образующим измеряемый угол. Плотность прилегания рекомендуется проверять на свет. При измерении углов, когда одной из сторон будет цилиндрическая или коническая поверхность, следует пользоваться подставкой. При этом погрешность показаний не должна превышать 5;
– поворотом рукоятки по часовой стрелке зафиксировать линейки в положении измеряемого угла, при этом, чтобы не сбить линейки, не следует делать резких движений. Угломер следует держать левой рукой за сдвоенную линейку, зажимать линейки правой рукой, прикасаясь только к рукоятке 2, не задевая другой детали угломера, направив окно для подсветки в сторону источника света, снять отчет по шкалам. Градусы отсчитывают по ближайшему штриху лимба; минуты – по минутной шкале с ценой деления 5’. Ошибка отсчета не должна превышать +2,5`. Заметим, когда измеряемый угол меньше 900, угломер показывает действительную величину этого угла, когда измеряемый угол больше 900, угломер показывает величину дополнительного угла. Величина измеряемого угла при этом определяется формулой: =1800 – 1, где 1 – отсчет по шкале, – измеряемый тупой угол.
Технические весы
Масса тела определяется с помощью весов. Весы различаются по конструкции и точности измерения.
Наиболее простыми являются технические весы. Они состоят из равноплечного рычага, называемого коромыслом. Опорой коромысла служит ребро стальной призмы, вставленной в середину коромысла, перпендикулярно его плоскости. Ребро призмы опирается на пластину, укрепленную наверху колонки. Центр тяжести коромысла с чашками и стрелкой лежит ниже ребра призмы так, что коромысло находится в устойчивом равновесии. На равных расстояниях от опорного ребра призмы имеется призмы, на которых подвешены чашечки весов. Для определения положения равновесия служит длинная стрелка, прикрепленная к коромыслу. Конец стрелки двигается перед шкалой. При горизонтальном положении коромысла стрелка должна стоять на середине шкалы. На все время, пока весы не находятся в работе, их необходимо арретировать; при этом их призмы освобождаются от давления и от напрасного изнашивания. Арретир - специальное устройство, закрепляющее измерительные элементы весов неподвижно. Арретирование производится поворотом рукоятки. К весам прилагается набор гирь (разновесов). При взвешивании на технических весах для корректирования возможной неравновесности чашек весов рекомендуется повторить взвешивание, переложив взвешиваемое тело на другую чашку.
Аналитические весы
Более точными являются аналитические весы, которые имеют конструкцию менее грубую и менее массивную, чем технические весы.
Аналитические весы заключены в защитный стеклянный ящик и имеют подвижный рейтер, перемещаемый рукояткой, который позволяет повысить точность измерений до 0.0001г. (разновески позволяют проводить измерения с точностью до 0.01г). На коромысле аналитических весов имеется шкала, проградуированная от 0 до 10, с выемками для рейтера. В зависимости от положения рейтера на коромысле в момент равновесия весов к массе разновесок прибавляется число тысячных долей грамма - в результате получается масса взвешиваемого тела. Нулевая точка весов устанавливается с помощью гаек. Для быстрого успокоения весов служат демпферы, представляющие собой легкие цилиндры большого объема.
Электрические весы
В исследовательских лабораториях в настоящее время применяются электрические весы, которые позволяют еще более повысить точность измерения массы.
Электрические весы имеют справа систему рейтеров, которые управляются рукоятками, выведенными наружу предохранительного корпуса. При такой конструкции весов взвешиваемое тело можно класть только на левую чашку весов, разновески (от 1г и более) кладутся на правую чашку. Наружная рукоятка позволяет проводить измерения с точностью до 0.1г, внутренняя - до 0.01г. Электрические весы имеют подвижную шкалу, которая позволяет определить массу тела с точностью до 0.001г (большие деления шкалы) и 0.0001г (малые деления шкалы). Рукоятка арретира электрических весов совмещена с выключателем. Поэтому выключенные весы всегда арретированы.
Торсионные весы
Торсионные весы серийных типов ВТ-50, ВТ-100, ВТ-500 предназначены для измерения малых масс до 50, 100 и 500 мг соответственно.
Чувствительным элементом торсионных весов является спиральная пружина. Она закручивается под действием взвешиваемого предмета, помещенного на чашечку, которая подвешена к рычагу, жестко скрепленному с одним из концов пружины. При этом указатель (правая стрелка) смещается в сторону от положения равновесия (красной черты). Для определения массы весы необходимо вновь уравновесить. Для этого нужно рычаг, с которым соединен второй конец пружины, поворачивать с помощью левого барабана до тех пор, пока указатель не вернется в положение равновесия. Левая стрелка в этот момент укажет определяемую массу.
В передней части подставки весов имеются регулировочные винты, позволяющие установить весы горизонтально. Горизонтальность весов контролируется уровнем, находящимся в верхней части перед шкалами (пузырек воздуха должен находиться в центральной окружности).
В нерабочем состоянии, а также в моменты нагружения чаши весов и снятия с нее груза весы должны быть арретированы. Арретирование весов осуществляется рукояткой расположенной справа внизу. Если красная точка обращена к букве Z, то весы арретированы, если к букве О – весы освобождены. Если определяемая масса примерно известна, то ее нужно выставить левой рукояткой до освобождения весов. Прежде, чем приступить к взвешиванию, необходимо установить нуль весов. Для этого нужно:
1) повернуть рукоятку арретира так, чтобы красная точка была обращена к букве О;
2) с помощью левого барабана установить правую стрелку точно напротив красной черты;
3) с помощью правого барабана установить левую стрелку на нуль шкалы.
Внимание! При определении искомой массы правым рычагом не пользоваться!
Общие правила работы с весами
При работе с весами следует руководствоваться следующими правилами:
1. Проверить горизонтальность положения весов по отвесу на колонке или с помощью уровня.
2. Освободить весы от арретира и проверить положение нулевой точки весов.
3. Взвешиваемое тело и разновески кладутся только тогда, когда весы арретированы.
4. Разновески следует ставить так, чтобы общий центр тяжести грузов приходился на середину чаши.
5. Разновески брать пинцетом.
6. При точном взвешивании предварительно оценить массу тела на более грубых весах.
7. Когда взвешивание окончено, весы арретировать и убрать разновески в специальную коробку.
Следует помнить, что работа с весами требует осторожности. Не следует двигать весы, наклонять их и переносить с места на место. Врагом точного взвешивания является грязь. Весы должны содержаться в чистоте: нельзя взвешивать грязные предметы.
Проверка градуировки шкалы весов
и определение их чувствительности
Оборудование: торсионные весы, набор разновесов.
Цель работы: изучить устройство и принцип действия торсионных весов; определить их систематическую погрешность.
Краткая теория работы
Как было указано выше, приборы и оборудование должны храниться должным образом и периодически проверяться (сравниваться с эталоном). Минимальная относительная систематическая погрешность определяется классом точности прибора. Классом точности называется максимальная абсолютная погрешность прибора, выраженная в процентах от всей действующей шкалы прибора. По классу точности прибора и пределу измерения определяется абсолютная погрешность. Если измеряемая величина меньше предела измерения прибора, то ее относительная ошибка будет больше класса точности.
Эталоном служат стандартные разновесы с номиналом которых сравниваются показания весов.
Чувствительным элементом торсионных весов является спиральная пружина. Она закручивается под действием взвешиваемого предмета, помещенного на чашечку, которая подвешена к рычагу, жестко скрепленному с одним из концов пружины. В зависимости от состояния пружины («усталость», повышенная жесткость) результат измерения может быть либо завышенным, либо заниженным. Степень отклонения от номинала характеризуется чувствительностью весов:
(1.1)
Отклонение показания весов от эталона
(1.2)
связано с абсолютной погрешностью (см. абсолютная погрешность измерения). Отклонение минимальной ширины полосы значений модуля этой величины от половины минимальной ширины полосы, в которой укладываютя все измеренные значения, также характеризует состояние чувствительного элемента весов.
Величина
(1.3)
связана с относительной погрешностью. По её значению, соответствующему пределу измерений весов, можно определить класс точности прибора.
Ход работы
1. Установить весы горизонтально.
2. Установить нуль весов.
3. Определить цену деления весов, для этого разность двух соседних цифр разделить на число делений между ними.
4. Произвести взвешивание эталонных грузов (для весов ВТ-50: 10, 20, 30, 40 и 50 мг; для весов ВТ-100: 20, 40, 60, 80 и 100 (или 90) мг; для весов ВТ-500: 100, 200, 300, 400 и 500 (или 450) мг). Занести массы эталонов mo и результаты взвешивания m в таблицу 1.
Примечание: Серия измерений (измерение от минимальной массы до
максимальной) повторяется пять раз. Результаты заносятся в таблицу 1,
в таблицу 2 заносятся средние значения измерений mср = m. Усреднение
по mo и m не имеет смысла.
Таблица 1
|
масса mo эталона, 10-6 кг |
показания весов m, 10-6 кг |
||||||
|
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
mср |
||
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
5 |
5. Подсчитать чувствительность весов и занести результаты в таблицу 2;
6. Определить отклонение показаний весов от массы эталона, занести их в таблицу 2;
7. Определить относительное отклонение показаний весов и занести в таблицу 2.
Таблица 2
|
масса mo эталона, 10-6 кг |
показания весов m, 10-6 кг |
чувстви-тельность весов |
отклонение , 10-6 кг |
относительное отклонение |
|
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
ср. зн. |
X |
X |
8. Построить графики зависимостей от m0. (По оси ох откладывается m0, а по оси ОY соответственно величины .)
9. Определить, которые из определяемых величин и как связаны с систематическими погрешностями весов. Рассчитать систематические погрешности весов.
10. Сделать выводы из графиков.
Контрольные вопросы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ КАПЛИ ВОДЫ
Оборудование: торсионные весы, пипетка, сосуд с водой, маленькие легкие сосуды для взвешивания капель – бюксы (от немецкого Büchse – банка).
Цель работы: освоение методов статистической обработки результатов измерений (построение и анализ гистограммы, сравнение ее с кривой Гаусса); определение случайных погрешностей измерений.
Краткая теория работы
Масса капли воды в каждом опыте вследствие влияния многочисленных факторов, большинство из которых невозможно заранее учесть, является случайной величиной. Поэтому заключение о массе капли может быть сделано лишь на основании статистической обработки результатов большого числа измерений. Причем, чем грубее используемый прибор, тем большее число измерений следует выполнить.
Если получаемые в результате измерений значения масс капель отложить на числовой оси, они образуют некий интервал, ограниченный минимальным и максимальным результатами. При этом не исключена вероятность того, что следующее измерение выйдет за пределы этого интервала. Поэтому при обработке результатов измерений задается вероятность попадания измеряемой величины в указанный интервал , выражаемая либо в процентах, либо в частях (при выполнении лабораторных работ вероятность обычно принимается равной 0,95). Интервал, соответствующий выбранной вероятности, называется доверительным интервалом. Ширина доверительного интервала равна двойной относительной погрешности m, которая подсчитывается по формуле Питерса с учетом соответствующего коэффициента Стьюдента tn(см. Элементы теории погрешностей):
,
где – вероятность, n – число измерений, – среднестатистическое отклонение массы капли mi от среднего ее значения :
.
Значения измеряемых величин распределяются по доверительному интервалу не равномерно, а подчиняясь статистическому закону распределения, описанному в свое время Гауссом. Для малых статистик, когда число измерений сравнительно невелико (порядка 102), применяется метод гистограмм.
Гистограмма (от греческого histos - столб и...грамма), столбчатая диаграмма, один из видов графического изображения статистических распределений измеряемых величин по их численному значению. Она представляет собой совокупность смежных прямоугольников, одна из сторон которых, пропорциональная выбранному интервалу значений, лежит на общей прямой. Высота каждого прямоугольника соответствует числу попаданий измерений в соответствующий интервал.
В нашем случае по горизонтальной оси откладываются значения масс капель от минимального до максимального. Полученный отрезок разбивается на 5-6 равных интервалов (закрытых слева и открытых справа, поэтому последний интервал может иметь границу, превышающую максимальное значение на 1-2 единицы, определяемые ценой деления прибора). При этом ширина интервала включает только целое число единиц цены деления. По вертикальной оси откладывается относительное число капель Ni/N0 (здесь Ni – число капель, приходящихся на данный интервал, N0 – общее число капель), массы которых соответствуют данному интервалу. На рис. 2.1 показан примерный вид гистограммы.
Рис. 2.1
Если центры верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то при правильном подборе количества интервалов для данного числа измерений полученная кривая приблизительно соответствует кривой Гаусса. Самой высшей точке этой кривой соответствует наиболее вероятное значение величины (его можно получить, опустив перпендикуляр на горизонтальную ось), оно обычно располагается левее среднего значения величины, хотя отклонение может быть и незначительным. Ширина кривой Гаусса на ее полувысоте обычно принимается за ширину доверительного интервала при вероятности 0,95, т.е. по кривой Гаусса можно определить абсолютную погрешность величины.
Ход работы
1. Подготовить весы к работе:
а) установить весы горизонтально;
б) установить нуль весов;
в) определить цену деления весов.
2. Взвесить пустую бюксу. Результат занести в таблицу 1 в графу Показания весов.
3. Капнуть одну каплю воды в бюксу. Капля при этом должна свободно падать из пипетки, а не под нажимом. Определить общую массу бюксы с одной каплей воды. Результат занести в таблицу 2.1 в графу Показания весов.
4. Определить массу первой капли, вычтя из значения в строке 2 значение строки 1 графы Показания весов. Занести результат в таблицу 1 в графу Масса капли.
Таблица 1
|
№ опыта |
Показания весов М i, 10-6 кг |
№ капли |
Масса капли mi, 10-6 кг |
Отклонение массы капли от среднего mi, 10-6кг |
|
1 |
---- |
---- |
---- |
|
|
2 |
1 |
|||
|
3 |
2 |
|||
|
... |
... |
|||
|
Средние Значения |
---- |
---- |
5. Капнуть вторую каплю воды в бюксу. Определить общую массу бюксы с двумя каплями воды. Результат занести в таблицу 2.1 в графу Показания весов в строку 3.
6. Определить массу второй капли, вычтя из значения в строке 3 значение строки 2 графы Показания весов. Занести результат в таблицу 2.1 в графу Масса капли.
Продолжить измерения, аналогичные пунктам 3-4 или 5-6, до тех пор, пока не заполнится бюкса или не будет достигнут предел измерений прибора; в этих случаях взять новую бюксу и начать измерения с пункта 2. Рекомендуется дальнейшие расчеты по пунктам 4,6 проводить после завершения всех измерений.
Для весов ВТ-500 нужно получить массы 150 капель, для ВТ-100 - 120 капель; для ВТ-50 - 75 капель.
7. Определить минимальное и максимальное значение масс капель из таблицы 1 и отложить их на числовой оси, выбрав масштаб так, чтобы полученный отрезок составлял 8-10 см.
8. Разделить полученный отрезок на 5-6 интервалов с учетом цены деления прибора, границы интервалов занести в Таблицу 2.2.
Таблица 2.2
|
№ интервала |
границы интервала,10-6 кг |
число капель в интервале Ni |
относительное число капель Ni/N0 |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
... |
9. Определить число капель, приходящихся на определенный интервал, учитывая, что он закрыт слева и открыт справа.
Результаты занести в Таблицу 2.2.
10. Подсчитать относительное число капель в каждом интервале и занести полученные значения в таблицу 2.2.
11. По значениям, приведенным в таблице 2.2, построить гистограмму. На полученной гистограмме провести приближенную кривую Гаусса.
12. По приближенной кривой Гаусса определить абсолютную погрешность массы капли.
13. Рассчитать среднее значение массы капли, сравнить его с наиболее вероятным; определить отклонения масс отдельных капель и среднее отклонение от среднего значения.
14. Рассчитать абсолютную погрешность, используя формулу Питерса и приняв .
15. Сравнить абсолютные погрешности, полученные в пунктах 12 и 13, объяснить их различие.
16. Записать окончательное значение массы капли и определить точность опыта.
17. Сравнить результаты лабораторной работы № 2 с результатами лабораторной работы № 1.
Контрольные вопросы
Измерение линейных и угловых размеров
твердого тела
Оборудование: штангенциркуль, микрометр, оптический угломер, набор измеряемых тел.
Цель: освоить методы измерения линейных и угловых величин.
(Краткая теория работы дается в разделе Простейшие физические измерения. См. II.1, II.2, II.3)
Задание:
1. Изучить теорию нониуса и микрометрического винта.
2. Ознакомиться с устройством и принципом действия штангенциркуля.
4. Ознакомиться с устройством и принципом действия микрометра.
5. Определить линейные и угловые размеры тела (по заданию преподавателя), производя каждое измерение не менее пяти раз.
6. Определить средние значения величин и погрешности измерений.
7. Составить письменный отчет по работе (образец отчета дан в Приложении 1).
Приложение 1
Форма отчета по лабораторной работе № 3
(В реальной работе для каждого прибора может быть свой образец. При использовании нескольких приборов делаются отдельные рисунки, обозначения, записи результатов.)
Тема: измерение линейных и угловых размеров твердого тела.
Приборы и принадлежности: штангенциркуль, микрометр, оптический угломер, образец для измерения.
Цель: научиться пользоваться измерительными приборами, закрепить навыки расчета погрешностей.
I. Измерения штангенциркулем
Обозначения:
а, b, с – длины сторон параллелепипеда
|
№№ п/п |
а, мм |
b, мм |
с, мм |
a, мм |
a, |
b, мм |
b, |
с, мм |
c, |
|
1 |
40.0 |
30.1 |
7.9 |
0 |
0 |
0.1 |
|||
|
2 |
40.1 |
30.2 |
7.8 |
0.1 |
0.1 |
0 |
|||
|
3 |
39.9 |
30.0 |
8.1 |
0.1 |
0.1 |
0.3 |
|||
|
4 |
40.2 |
29.9 |
7.7 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
|||
|
5 |
39.8 |
30.3 |
7.5 |
0.2 |
0.2 |
0.3 |
|||
|
Ср. знач. |
40.0 |
30.1 |
7.8 |
0.12 |
1.05 |
0.12 |
1.4 |
0.14 |
3.9 |
Расчетные формулы:
Среднее значение величины вычисляется по формуле
. (3.1)
Затем рассчитываются отклонения каждого конкретного значения от среднего
. (3.2)
Среднее значение абсолютной погрешности вычисляется по формуле
. (3.3)
Далее определяем среднеквадратичную ошибку среднего арифметического, пользуясь, например, формулой Питерса
. (3.4)
Получается m=0.15 мм
Выберем доверительную вероятность результата α=0,95, из таблицы (коэффициентов Стьюдента) при n=5 измерениях, тогда коэффициент Стьюдента будет .
Найдем абсолютную погрешность результата
(3.5)
Получается a=0.42 мм.
Вычислим относительную погрешность
. (3.6)
Запишем окончательный результат в виде
(3.7)
Вывод: Окончательное значение величины мм. Точность определения величины а составляет 1.05%.
Аналогично проводятся измерения и расчеты для остальных размеров.
Примечание: В таблицу записываются величины, определяемые по формулам (3.1), (3.2), (3.3) и (3.6). Подробные расчеты должны быть проведены в рабочей тетради. Окончательный результат включает величины определяемые по формулам (3.1) и (3.5).
Если проведенная серия измерений дала одинаковые результаты, то это означает, что величина случайных отклонений меньше точности прибора. В этом случае за ошибку принимают величину, обусловленную классом точности прибора или половиной цены его наименьшего деления, а в случае, если случайная ошибка и погрешность измерительного прибора сравнимы, то общая ошибка складывается из них. Правила сложения даны ниже.
Суммарная погрешность определяется согласно формуле:
,
где хсл – случайная ошибка, – погрешность измерительного прибора. В случае ее большой малости (доли процента) по сравнению со случайной ошибкой погрешностью измерительного прибора можно пренебречь при окончательных расчетах.
Контрольные вопросы
Определение объема и плотности твердого тела
Оборудование: штангенциркуль, микрометр, мензурка, технические весы, набор исследуемых тел.
Цель: освоить методы определения объемов тел правильной и неправильной формы; закрепить навыки работы с простейшими измерительными приборами.
Краткая теория работы
В ряде случаев перед экспериментатором ставится задача определить плотность вещества.
Плотностью называется масса, заключенная в единице объема, поэтому определение плотности ρ сводиться к определению массы и объема V, т.е.
. (4.1)
Наиболее просто определить плотность твердого тела правильной формы: масса тела определяется путем его взвешивания; объем тела определяется по соответствующей формуле, исходя из линейных размеров тела, измеренных в зависимости от заданной точности штангенциркулем, микрометром или другим прибором. В данной работе – это цилиндр.
Объем цилиндра вычисляется по формуле
(4.2)
где d – диаметр, а h – высота цилиндра.
Если тело ограничено сложной поверхностью, объем его можно определить с помощью мерного стакана (мензурки). Обычно у стандартных мерных стаканов дана довольно грубая градуировка объема в миллилитрах. Для повышения точности измерения можно нанести на стакан дополнительную шкалу, например, миллиметровую линейку. Соответствующий этим малым делениям объем можно определить, используя тело известного объема.
Для определения цены деления мензурки с помощью измеренного тела правильной формы нужно проделать следующие операции. Заметить положение уровня воды N1 до погружения тела правильной формы. Полностью погрузив тело в воду, отметить положение уровня воды N2. Определить разность уровней . Цена деления шкалы мерного стакана определяется по формуле
. (4.3)
Заметить положение уровня воды n1 до погружения тела неправильной формы. Погрузить в воду тело неправильной формы и отметить положение уровня воды n2. Определить разность уровней . Рассчитать объем тела неправильной формы
. (4.4)
Недостатком этого метода является большая погрешность, возникающая в результате применения нескольких измерительных приборов. Кроме того, данный метод применим не для всех случаев. Достаточно широко распространены методы, в которых для определения плотности используется только один прибор: весы. Это – метод пикнометра и метод гидростатического взвешивания. Часто для определения плотностей жидкостей используются ареометры.
Ход работы
1. Заранее приготовить форму письменного отчета (см. Приложение 2).
2. Определить линейные размеры тела правильной формы с помощью штангенциркуля. Все измерения повторить 5 раз. Результаты занести в таблицу.
3. Рассчитать объем тела правильной формы по формуле (4.2).
4. Взвесить оба тела на технических весах дважды, меняя положения гирь и взвешиваемого тела. Результаты занести в таблицы.
5. С помощью измеренного тела правильной формы определить цену деления мензурки, используя формулу (4.3). Результат занести в таблицу.
6. Определить мензуркой объем тела неправильной формы по формуле (4.4). Результат занести в таблицу.
7. Рассчитать плотности тел по формуле (4.1). Результаты занести в таблицу.
8. Вывести формулы расчета погрешностей объемов и плотностей тел правильной и неправильной формы.
9. Рассчитать погрешности. Результаты занести в таблицу.
10. Сравнить точности определения плотностей различных тел.
Приложение 2
Форма отчета по лабораторной работе № 4
Тема: определение плотности твердых тел.
Приборы и принадлежности: штангенциркуль, мензурка с дополнительной шкалой, вода, весы, разновесы, твердое тело в форме цилиндра, твердое тело неправильной формы.
Цель работы: научиться пользоваться весами, закрепить навыки работы со штангенциркулем.
I. Определение плотности цилиндра
Обозначения:
h – высота цилиндра
d – диаметр цилиндра
Расчетные формулы
Плотность вычисляется по формуле:
,
где – объем цилиндра.
Вывод формул погрешностей объема
Прологарифмируем формулу расчета объема цилиндра
.
Полученную логарифмированием формулу продифференцируем
.
Проделаем замену «d» на «∆», а «–» на «+». Тогда относительная и абсолютная погрешности соответственно будут равны:
,
.
Вывод формулы погрешностей плотности
Прологарифмируем выражение для определения плотности цилиндра, получаем:
.
Дифференцированием получаем:
.
Меняя «d» на «» и знак «–» на «+», получаем формулы погрешностей:
.
Примечания: Величины погрешностей диаметра, высоты и массы вычисляются как погрешности прямых измерений. В формулы расчета погрешностей входят величины, которые определяются так:
Ход работы
1. Измеряем линейные размеры цилиндра.
2. Измеряем массу цилиндра.
3. Рассчитываем средние значения и абсолютные погрешности высоты, диаметра, массы.
4. Рассчитываем значения величин и абсолютных и относительных погрешностей объема и плотности цилиндра.
Для объема и плотности находятся сразу средние значения погрешностей.
|
№ опыта |
h, см |
dц, см |
m, г |
Vц, см3 |
r, г/см3 |
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
3 |
|||||
|
4 |
|||||
|
5 |
|||||
|
Среднее Знач. |
|
№ опыта |
h, см |
dц, см |
m, г |
V, см3 |
v,% |
ρ, г/см3 |
ρ, |
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
|||||||
|
4 |
|||||||
|
5 |
|||||||
|
Ср. знач. |
II. Определение плотности твердого
тела неправильной формы
Ход работы
1. В мензурку наливаем воду до определенного уровня. Опускаем цилиндр в мензурку, при этом уровень воды поднимается на N делений. Цена деления мензурки . Вынимаем цилиндр из мензурки.
2. Опускаем в мензурку твердое тело неправильной формы. Обьем , где n – число делений, на которое поднялась вытесненная телом вода. За абсолютную погрешность можно принять . Тогда относительная погрешность:
3. Взвешиваем тело и определяем массу: ;
4. Абсолютная погрешность массы:
5. Плотность определяется по формуле: ρ=m/Vт
Абсолютная и относительная погрешности, как и в случае цилиндра будут:
;
|
№ |
m,г |
m,г |
|
1 |
100.0010 |
0.0010 |
|
2 |
100.0005 |
0.0005 |
|
3 |
100.0000 |
0.0000 |
|
4 |
99.9990 |
0.0010 |
|
5 |
99.9995 |
0.0005 |
|
Средние значения |
100.0000 |
0.0006 |
|
N |
a см3/дел |
n дел |
V см3 |
V см3 |
v,% |
ρ г/см3 |
ρ г/см3 |
ρ % |
|
140 |
0.505 |
50 |
25.25 |
0.2525 |
1 |
3.96 |
0.04 |
1 |
Вывод: окончательные значения объема и плотности цилиндра:
Vц=(70.690.62)см3
ρц=(1.560.01)см3
Значения объема и плотности тела неправильной формы:
V=(25.250.25)см3
ρ=(3.960.04)г/см3
Значения V и ρ записаны с точностью до 2-го знака, т.к. в расчет входят величины (высота и диаметр), которые могут быть определены лишь с такой точностью.
Погрешность объема тела неправильной формы косвенным образом связана с погрешностью объема цилиндра, следовательно, первая не может быть меньше второй. Таким образом, запись обьема тела неправильной формы нельзя считать верной.
В этом случае необходим следующий расчет:
.
Считая N и n постоянными, имеем Vт= Vц=0.62см3, = Vц/Vт=2.56%, т.е. Vт=(25.250.62)см3.
Контрольные вопросы
EMBED PBrush
EMBED PBrush
EMBED Word.Picture.8
EMBED Word.Picture.8
A
EMBED Word.Picture.8
B
C
2
1
В