Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1Моделирование как метод научного познания.
Методологическая основа моделирования. Все то, на что направ лена человеческая деятельность, называется объектом (лат. objection- предмет). Выработка методологии направлена на упо рядочение получения и обработки информации об объектах, кото рые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и внешней средой.
В научных исследованиях большую роль играют гипотезы, т. е. определенные предсказания, основывающиеся на небольшом коли честве опытных данных, наблюдений, догадок. Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез может быть проведена в ходе специ ально поставленного эксперимента. При формулировании и провер ке правильности гипотез большое значение в качестве метода сужде ния имеет аналогия.
Аналогией называют суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть существенным и несущественным. Необходимо отметить, что понятия существен ности и несущественности сходства или различия объектов условны и относительны. Существенность сходства (различия) зависит от уровня абстрагирования и в общем случае определяется конечной целью проводимого исследования. Современная научная гипотеза создается, как правило, по аналогии с проверенными на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипо тезу с экспериментом.
Гипотезы и аналогии, отражающие реальный, объективно суще ствующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам; такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явле ний, называются моделями. Другими словами, модель (лат. modulus— мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Компьютерная модель – это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например, рисующими и изменяющими графические образы во времени). Компьютерная модель имеет две составляющие – программную и аппаратную. Программная составляющая так же является абстрактной знаковой моделью. Это лишь другая форма абстрактной модели, которая, однако, может интерпретироваться не только математиками и программистами, но и техническим устройством – процессором компьютера.
Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о свойствах объекта-оригинала путем изучения объекта-модели.
Таким образом, моделирование может быть определено как пред ставление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения одних объектов (оригиналов) другими объектами (моде лями) и исследования свойств объектов на их моделях называется теорией моделирования.
2Понятие системы и элемента системы. Специалисты по проектированию и эксплуатации сложных систем имеют дело с системами управления различных уровней, обладающими общим свойством - стремлени ем достичь некоторой цели. Эту особенность учтем в следующих определениях системы.
Система S— целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы.
Внешняя среда Е— множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздей ствием.
Понятие модели. Модель – представление объекта, системы или понятия, в некоторой форме, отличного от их реального существования.
Моделирование – во-первых, построение модели, во-вторых, изучение модели, в-третьих, анализ системы на основе данной модели.
При системном подходе к моделированию систем необходимопрежде всего четко определить цель моделирования. Применительно к вопросам моделирования цель возникает из требуемых задач моделирования, что позволяет по дойти к выбору критерия и оценить, какие элементы войдут в со здаваемую модель М.Поэтому необходимо иметь критерий отбора отдельных элементов в создаваемую модель.
Цели моделирования:
1) оценка – оценить действительные характеристики проектируемой или существующей системы, определить насколько система предлагаемой структуры будут соответствовать предъявляемым требованиям.
2) сравнение – произвести сравнение конкурирующих систем одного функционального назначения или сопоставить несколько вариантов построения одной и той же системы.
3) прогноз –оценить поведение системы при некотором предполагаемом сочетании рабочих условий.
4) анализ чувствительности – выявить из большого числа факторов, действующих на систему тем, которое в большей степени влияют на ее поведение и определяют ее показатели эффективности.
5) оптимизация – найти или установить такое сочетание действующих факторов и их величин, которое обеспечивает наилучшие показатели эффективности системы в целом.
1-4 задачи анализа, 5 - задача синтеза.
Подходы к исследованию систем. Важным для системного под хода является определение структуры системы — совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодейст вие.
При структурном подходе выявляются состав выделенных эле ментов системы Sи связи между ними. Совокупность элементов и связей между ними позволяет судить о структуре системы. После дняя в зависимости от цели исследования может быть описана на разных уровнях рассмотрения. Наиболее общее описание струк туры — это топологическое описание, позволяющее определить в самых общих понятиях составные части системы и хорошо фор мализуемое на базе теории графов.
Менее общим является функциональное описание, когда рас сматриваются отдельные функции, т. е. алгоритмы поведения систе мы, и реализуется функциональный подход, оценивающий функции, которые выполняет система, причем под функцией понимается свойство, приводящее к достижению цели.
Простой подход к изучению взаимосвязей между отдельными частями модели предусматривает рассмотрение их как отражение связей между отдельными подсистемами объекта. Такой классичес кий подход может быть использован при создании достаточно простых моделей. Процесс синтеза модели М на основе классичес кого (индуктивного) подхода представлен на рис. 1.1, а. Реальный объект, подлежащий моделированию, разбивается на отдель ные подсистемы, т. е. выбираются исходные данные Д для моделирования и ставятся цели Ц, отображающие отдельные сто роны процесса моделирования. По отдельной совокупности исход ных данныхДставится цель моделирования отдельной стороны функционирования системы, на базе этой цели формируется некото рая компонента К будущей модели. Совокупность компонент объ единяется в модель М.
Рис. 1.1. Процесс синтеза модели на основе классического (а) и системного (б) подходов
Таким образом, разработка модели М на базе классического подхода означает суммирование отдельных компонент в единую модель, причем каждая из компонент решает свои собственные задачи и изолирована от других частей модели. Поэтому классичес кий подход может быть использован для реализации сравнительно простых моделей, в которых возможно разделение и взаимно неза висимое рассмотрение отдельных сторон функционирования реаль ного объекта. Для модели сложного объекта такая разобщенность решаемых задач недопустима, так как приводит к значительным затратам ресурсов при реализации модели на базе конкретных программно-технических средств. Можно отметить две отличитель ные стороны классического подхода: наблюдается движение от частного к общему, создаваемая модель (система) образуется путем суммирования отдельных ее компонент и не учитывается возник новение нового системного эффекта.
Процесс синтеза модели М на базе системного подхода условно представлен на рис. 1.1, б. На основе исходных данныхД, которые известны из анализа внешней системы, тех ограничений, которые накладываются на систему сверху либо исходя из возможностей ее реализации, и на основе цели функционирования формулируются исходные требования Т к модели системы S. На базе этих требова ний формируются ориентировочно некоторые подсистемы П, эле менты Э и осуществляется наиболее сложный этап синтеза — вы бор В составляющих системы, для чего используются специальные критерии выбора КВ.
Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки мо делей, когда выделяют две основные стадии проектирования: мак ропроектирование и микропроектирование.
На стадии макропроектирования на основе данных о ре альной системе Sи внешней средеЕстроится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения моде ли системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S.
Стадия микропроектирования в значительной степени зави сит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитацион ной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений системмоделирования.
Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного под хода:
1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;
2) согласование информаци онных, ресурсных, надежностных и других характеристик;
3) пра вильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моде лирования;
4) целостность отдельных обособленных стадий постро ения модели.
3Математические методы моделирования информационных процессов и систем.
Основные этапы построения математической модели:
Требования к математической модели:
Требования определяются прежде всего ее назначением, т.е. характером поставленной задачи:
"Хорошая" модель должна быть:
Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов
В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических систем всегда лежит эксперимент - реальный или логический. Суть реального эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с помощью его математической или содержательной (словесной) модели, изоморфной объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств.
Подавая на вход системы различные входные процессы и измеряя процесс на ее выходе, исследователь получает возможность установить и записать математически существующую между ними связь в виде уравнения, связывающего для каждого интервала времени значения входных и выходных воздействий и потому называемого уравнением «вход-выход». Кроме того, для адекватного отражения связи между входом и выходом системы в системотехнике вводится понятие «состояние». По своему смыслу состояние z(τ) представляет собой совокупность существенных свойств (характеристик) системы, знание которых в настоящем (в момент времени τ) позволяет определить ее поведение в будущем (в моменты времени t >τ). Благодаря этому понятию, уравнение “вход-выход”-состояние принимает вид:
YT = A(T, z(τ), XT), (2.1)
где XT, YT - входной и выходной процесс на интервале времени T;
A(*)- оператор выходов.
Согласно (2.1), выходной процесс полностью определяется входным процессом и начальным состоянием и не зависит от того, каким образом система была переведена в это состояние. Отсюда ясно, что уравнение (2.1) ограничивает класс рассматриваемых систем только такими системами, функционирование которых в настоящем не зависит от того, как они функционировали в прошлом.
Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения состояния:
z(t) = B(τt, z(τ), Xτt), (2.2)
где
B(*) - оператор, устанавливающий однозначную зависимость z(t) от пары (z(τ), Xτt), которая задана на интервале t, и называемый оператором перехода.
Уравнения (2.1) и (2.2) имеют достаточно логичное обобщение и на многомерный случай, когда каждая из компонент уравнений имеет векторный вид:
Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T(множество времени)по заданному вектору начального состояния записанном в векторном виде входному процессу(T). Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а также множество возможных состояний системы Z и операторы выхода Aи перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой кортеж
MF = <T, X, Y, Z, A, B>. (2.3)
Если все компоненты в (2.3) известны, модель функционирования полностью определена и может быть использована для описания и изучения свойственных системе процессов функционирования. Множества и операторы, составляющие общесистемную модель (2.3), могут обладать различными свойствами, совокупность которых позволяет конкретизировать характер функционирования системы:
N – непрерывность;
L – линейность;
C – стационарность;
P – стохастичность (вероятность).
Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модель конкретизируется до системной модели.
Системные свойства:
1). Если интервал функционирования системы Т = []представляет отрезок оси действительных чисел, заданный началом и концом , то система функционирует в непрерывном времени. Если, кроме того непрерывны операторыА и В, то система наз. непрерывной.
2). С т.зр. реакции на внешнее воздействие объекты подразделяют налинейные и нелинейные. Линейными наз. такой объект, реакция которого на совместное воздействие 2-х любых внешних возмущений равно сумме реакций на каждое из этих воздействий, приложенных к системе порознь.
- принцип суперпозиции,
(0)=0 (начальное состояние системы),
где - оператор объекта, устанавливает связь входа и выхода.
Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции.
3). Поскольку стационарная система при фиксированном начальном состоянииZ(t0) одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся только сдвигом по времени, входные воздействия, то наложение интервала t0, t на оси времени не оказывает влияния на процесс функционирования системы. Модель М для стационарных систем не содержит в явном виде интервал функционирования Т.
4) Если в модели М операторы Аи В каждой паре (X, V, Z(t0)) (вход, состояние) ставят в соответствие единственные значения Y и Z, описываемая этой моделью система называется детерминированной. Для стохастической (вероятностной) системы Y и Z, случайные величины, заданные законами распределения.
В повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели. Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных. Однако между системными и конструктивными моделями нет противоречия. По мере накопления знаний о системе, уточнения и конкретизации ее свойств и характеристик системная модель естественным образом преобразуется в конструктивную. Следовательно, конструктивная модель может и должна закономерно вырастать из более общей системной модели.
Таким образом, наиболее важные и принципиальные этапы построения модели функционирования системы определяются процессом реализации системотехнической цепочки преобразований «общесистемная модель системная модель конструктивная модель машинная модель».
Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели (2.3), определения их содержательного смысла и областей изменения. Согласно модели (2.3), необходимо определить: интервал времени, на котором нас интересует функционирование системы; множество входных и выходных воздействий и области их возможных изменений; множество характеристик состояния системы и область их возможных изменений.
4.Классификация системных моделей
Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов.
КМ – алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных.
КМ– может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств.
При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы:
Физические модели. В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно подразделить на 2 группы — физические и абстрактные (математические).
Ф.М. обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды Ф.М.:
натуральные;
квазинатуральные;
масштабные;
аналоговые;
Натуральные модели — это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригиналом, но дороги.
Квазинатуральные модели — совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, АСУ).
Масштабная модель — это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. При проектировании ВС масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.
Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства ВТ на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается, например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.
Математические модели. Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства — алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.
К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида. Математические модели можно классифицировать как детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.
Детерминирован ное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероят ностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характе ристики, т. е. набор однородных реализаций.
Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат.
Численная модель характеризуется зависимостью такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.
Имитационная модель — это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.
Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве ММдифференциальные уравнения.
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции, но их производные различных порядков.
Пусть имеем уравнение:
(1)
Уравнение (1) называется уравнением «вход-выход».
Решение уравнения (1) зависит от K(t), от начальных условий . Эти координаты определяют начальное состояние системы.
Левую часть приводят к уравнению 1-го порядка путем введения переменных состояния: , где - переменные состояния. Тогда
(2)
Уравнение (2) представлено в нормальной форме Коши, которое можно записать в матричной форме:
(3)
Уравнение (3) – уравнение в пространстве состояний, где
z – вектор-столбец переменных состояния:
, необходимое условие ;
- матрица коэффициентов координат состояния;
- матрица коэффициентов входных воздействий;
, - некоторые числовые матрицы.
Сопоставляя уравнения (2) и (3) получим числовые матрицы:
; ; (4)
; D = 0.
В общем случае, когда передаточная функция системы
имеет полиноминальные функции ,
, где , то матрицаАопределяется выражением (4), а матрица В имеет вид:
где
7.ДИСКРЕТНО-ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ (F-СХЕМЫ)
Основные соотношения. Автомат можно представить как некото рое устройство (черный ящик), на которое подаются входные сиг налы и снимаются выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (а следовательно, и множество выходных сигналов) являются конеч ными множествами.
Абстрактно конечный автомат (англ. finiteautomata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующу юся шестью элементами: конечным множеством Xвходных сиг налов (входным алфавитом); конечным множеством Y выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством Z внут ренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состоя ний); начальным состоянием z0,zoєZ; функцией переходов ;функцией выходов . Автомат, задаваемый F-схемой: ,— функционирует в дискретном автоматном време ни, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-му такту при t=0, 1, 2..., через z(t), x(t), y(t). При этом, по условию, z(0)=zo, a, ,.
Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t=0, 1, 2, ... дискретного времени F-автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t=0 он всегда находится в начальном состоянии z(0)=zo. В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние , , . Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Xна множество слов выходного алфавита Y. Другими словами, если на вход конечного автомата, установленного в начальное состояние z0, подавать в некоторой последовательности буквы входного алфавита x(0), х(1), х(2),..., т. е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита у(0), у(1), y(2),..., образуя выходное слово.
Таким образом, работа конечного автомата происходит по сле дующей схеме: в каждом t-м такте на вход автомата, находящегося состоянии z(t), подается некоторый сигнал x(t), на который он реагирует переходом в (t+1)-м такте в новое состояние z(t+l) выдачей некоторого выходного сигнала. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для F-автомата первого рода, называемого также автоматом Мили,
(2.13_8)
(2.14_9)
для F-автомата второго рода
(2.15_10)
(2.16_11)
Автомат второго рода, для которого
(2.17_12)
т.е. функция выходов не зависит от входной переменной х (t),
называется автоматом Мура.
По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состоя ния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схе мы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (2.14), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный вы ходной сигнал y(t), т. е. реализует логическую функцию вида
Эта функция называется булевой, если алфавиты Xи Y, кото рым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв.
По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-aвmoматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигна лами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «счи танного» и в соответствии с уравнениями (8) — (12) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сиг нала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение вход ного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из (8) — (12), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.
Возможные приложения. Чтобы задать конечный F-автомат. необходимо описать все элементы множества , т. е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов, причем среди множества состояний необ ходимо выделить состояние z0, в котором автомат находился в мо мент времени t=0. Существует несколько способов задания работы F-автоматов, но наиболее часто используются табличный, графи ческий и матричный.
Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы -его состояниям. При этом обычно первый слева столбец соответ ствует начальному состоянию z0. На пересечении i-й строки и к-гостолбца таблицы переходов помещается соответствующее значе ние функции переходов, а в таблице выходов -соответствующее значение функции выходов. Для F-автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив так называемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zkавтомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (2.17), выходной сигнал .
Описание работы F-автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется табл. 1, а описание F-автомата Мура - таблицей переходов (табл. 2).Таблица 1.
|
xl |
zk |
|||
|
z0 |
z1 |
… |
zk |
|
|
Переходы |
||||
|
x1 |
… |
|||
|
x2 |
… |
|||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
xl |
… |
|||
|
выходы |
||||
|
x1 |
… |
|||
|
x2 |
… |
|||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
xl |
… |
Таблица 2.
|
xl |
||||
|
… |
||||
|
… |
||||
|
x1 |
… |
|||
|
x2 |
… |
|||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
xl |
… |
Примеры табличного способа задания F-автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в табл. 3, а для F-автомата МураF2 — в табл.4
При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал хквызывает переход из состояния ziв состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj, обозначается хк. Для того чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили их разметка производится так: если входной сигнал хкдействует на состояние zi, то, согласно сказанному, получается дуга, исходящая из zi| и помеченная хk; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом . Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал хk действуя на некоторое состо яние автомата, вызывает переход в состояние zj, то дугу, направлен ную в zjи помеченную xk, дополнительно отмечают выходным сигналом .
На рис. 2.3, а, бприведены заданные ранее таблицами F-автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.
При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=||Сij||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы — состояниям перехода. Элемент си=xк/ys, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, в случае автомата Мили соответствует вход ному сигналу xк, вызывающему переход из состояния ziв состояние zj, и выходному сигналу ysвыдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1 рас смотренного выше, матрица соединений имеет вид
a)
б)
Если переход из состояния ziв состояние zjпроисходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы сijпредставляет cобой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенных знаком дизъюнкции.
F-автомата Мура элемент cijравен множеству входных сигналов на переходе ,а выход описывается вектором выходов
Ψ компонента которого — выходной сигнал, отмечающий состояние zi
Пример 2.2.Для рассмотренного выше F-автомата Мура F2 запишем матрицу соединений и вектор выходов:
;
Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания F-автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два ребра и более, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автоматаСв каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.
Таким образом, понятие F-автомата в дискретно-детерминиро ванном подходе, к исследованию на моделях свойств объектов явля ется математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автома тизированных системах обработки информации и управления. В ка честве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике об мена информацией и т. д. Для всех перечисленных объектов харак терно наличие дискретных состояний и дискретный характер рабо ты во времени, т. е. их описание с помощью F-схем является эффективным. Но широта их применения не означает универсаль ности этих математических схем. Например, этот подход неприго ден для описания процессов принятия решений, процессов в дина мических системах с наличием переходных процессов и стохастичес ких элементов.
8Вероятностный автомат [англ. probabilisticautomat)] (ВА) - это дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирова ние которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.
Схемы вероятностных автоматов (Р-схем) применяются:
Математическое понятие Р-автомата формируется на понятиях, введенныхдля F-автомата.
Пусть множество G, элемен тами которого являются всевозможные пары , где xiи zs — элементы входного подмножества Xи подмножества состояний Z соответственно . Если существуют две такие функции и , что с их помощью осуществляются отображения и , то говорят, что
(1)
определяет конечный автомат детерминиро ванного типа.
Введем общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида (zk, yj), где yj— элемент выходного подмножества Y, т.е.. Пусть любой элемент множества Gиндуцирует на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:
Таблица 1
|
Элементы из Ф |
••• |
(z1, y1) |
••• |
(z1, y2) |
••• |
(zK, yJ-1) |
(zK, yJ) |
|
(xi, zs) |
••• |
b11 |
b12 |
bK(J-1) |
bKJ |
При этом
, (2)
где bkj— вероятности перехода автомата в состояние zkи выдаче на выходе сигнала yj, если автомат был в состоянии zS и на его вход в этот момент времени поступил сигнал хi. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G.
Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов (3)
называ ется вероятностным автоматом (Р-автоматом).
Вероятностный автомат Мили
Пусть элементы множества Gиндуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Yи Z, которые можно представить соответственно в виде:
Таблица 2
|
Элементы из Y |
••• |
y1 |
y2 |
••• |
YJ-1 |
y J |
|
••• |
q1 |
q2 |
••• |
q J-1 |
q J |
|
|
Элементы из Z |
••• |
z1 |
z2 |
••• |
zK-1 |
zK |
|
••• |
1 |
2 |
••• |
K-1 |
K |
При этом и (4) вероятности перехода Р-автомата в состояние zk и выдачи выходного сигнала ykпри условии, что Р-автомат находился в состоянии zSи на его вход поступил входной сигнал xi.Если для всех kи j имеет место соотношение , (5) то такой автомат называется вероятностным автоматом Мили.
Представленное тре бование означает выполнение условия независимости распределе ний для нового состояния Р-автомата и его выходного сигнала.
Вероятностный автомат Мура
Пусть выходной сигнал Р-автомата зави сит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы, и каждый элемент выходного подмножества Yиндуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:
Таблица 3
|
Элементы из Y |
••• |
yl |
у2 |
••• |
yK-1 |
yK |
|
zk |
••• |
s1 |
S2 |
••• |
SI-1 |
SI |
Здесь, (6)где Si — вероятность появления сигнала на выходе yiпри условии, что Р-автомат находился в состоянии zk.Если для всех kи j имеет место соотношение , (7) то такой автомат называется вероятностным автоматом Мура.
Частным случаем Р-автомата являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал будет детерминированным. Если состояние Р-автомата является детерминированным, то такой автомат называется Y-детерминированным вероятност ным автоматом.
Аналогично, Z-детерминированным вероятност ным автоматом называется Р-автомат, у которого выбор нового состояния является детерминированным.
Рассмотрим примерY-детерминированного Р-автомата.
Пусть Y-детерминированный Р-автомат задан таблицей переходов:
где pij – вероятность перехода автомата из состояния zi в состояние zj. При этом . (8)
Таблица выходов представлена следующим образом:
Таблица 5
|
Z . . . z1 |
z2 . . . zK-1 |
zK |
|
Y . . . уi1 |
уi2 . . . yiK-1 |
yiK |
Первую из этих таблиц можно представить в виде квадратной матрицы размерности K× K, которая называется матрицей переходных вероятностей или просто матрицей переходов Р-автомата. В общем случае матрица переходов имеет вид
. (9)
Для полного описания Y-детерминированного Р-автоматанеобходимо задать началь ное распределение вероятностей вида
Таблица 6
|
Z. . . . z1 |
z2 . . . . zk-1 |
zk |
|
D . . . . d1 |
d2 . . . . dK-1 |
dK |
где dK— вероятность того, что в начале работы P-автомат находится в состоянии zk. При этом. (10)
Будем полагать, что до начала работы (до нулевого такта времени) Р-автоматвсегда находится в состоянии z0, в нулевом такте времени меняет свое состояние в соот ветствии с распределением D. Дальнейшая смена состояний Р-автоматаопределяет ся матрицей переходов РР. Информацию о начальном состоянии Р-автоматаудобно внести в матрицу РР,увеличив ее размерность до. При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоянию z0, будет иметь вид (0, d1, d2, ... ..., dK), а первый столбец будет нулевым:
(11)
ОписанныйY-детерминированный Р-автоматможно задать в виде ориентиро ванного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а дуги — возможным переходам из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответст вующие вероятностям перехода рij, а около вершин графа пишутся значения выход ных сигналов, индуцируемых этими состояниями.
Рассмотрим следующий пример.
Пусть Y-детерминированный Р-автомат задан матрицей:
(11)
Граф переходов имеет вид (рис.1):
Рис. 1
Требуется оценить суммар ные финальные вероятности пребывания этого Р-автомата в состояниях z2и z3.
При использовании аналитического подхода можно записать известные соот ношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для определения финальных вероятностей. Начальное состояние z0можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения финальных вероят ностей. Тогда имеем матрицу финальных состояний:
, (12)
, (13)
где ck -финальная вероятность пребывания Р-автоматав состоянии zk.
Получаем систему уравнений (14)
Добавим к этим уравнениям условие нормировки: с1+с2+с3+с4=1. (16)
Тогда, решая систему уравнений, получим с1 = 5/23, с2=8/23, c3 = 5/23, с4 = 5/23. (17)
Таким образом, с2+с3= 13/23 =0,5652. (18)
Другими словами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного Р-автоматана его выходе формируется двоичная последовательность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.
Подобные Р-автоматымогут испо льзоваться как генераторы марковских последовательностей, которые необхо димы при построении и реализации про цессов функционирования систем или воздействий внешней среды.
Для оценки различных характери стик исследуемых систем, представляе мых в виде Р-схем, кроме рассмотрен ного случая аналитических моделей мо жно применять и имитационные моде ли, реализуемые, например, методом статистического моделирования.
Бехтин, вопрос 9.Основы теории массового обслуживания. Марковский случайный процесс. Потоки событий.
Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:
Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.
Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.
Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условияхнеопределенности.
Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной», «доброкачественной».
Понятие случайного процесса
Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.
Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.
Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.
2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.
Марковский случайный процесс
Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t<t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t>t0? В точности – нет, но какие-то вероятностные
характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S1 или останется в состоянии S0 и т.д.
Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t0 количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.
На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).
В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S1, S2, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.
Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:
S0 - оба станка исправны;
S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;
S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;
S3 - оба станка ремонтируются.
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.1.
Рис.1. Граф состояний системы
Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.
Потоки событий
Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.
Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени Ot – рис. 2.
Рис.2. Изображение потока событий на оси времени
Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.
Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.
Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.
В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис.2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.
Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.
Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.
Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью
где - параметр показательного закона.
Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию
Бехтин, вопрос 10.Задачи теории массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО).
Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем и т.д.
Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого – то потока заявок (требований), поступающих в какие – то случайные моменты времени.
Обслуживание заявки продолжается какое – то, вообще говоря, случайное время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие – то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких - то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей. На практике не марковские процессы с приближением приводятся к марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает марковские процессы.
Классификация систем массового обслуживания
Первое деление (по наличию очередей):
СМО с отказами;
СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
Воткрытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.
Бехтин, вопрос 11.Понятие агрегативной системы (А-схемы). Требования, предъявляемые к А-схемам
1. Обобщенный подход базируется на понятии агрегативной системы (от англ, aggregatesystem), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой.Этот подход позволяет описывать пове дение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохасти ческих систем
Комплексное реше ние проблем, возникающих в процессе создания и машинной ре ализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математичес кую схему, т. е. А-схему. А-схема должна выпол нять несколько функций:
Представленные требования несколько противоречи вы, но в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними компромисс.
При агрегативном подходе первоначально дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы. При агрега тивном описании сложный объект (система) разбивается на конеч ное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечива ющие их взаимодействие. В случае сложной организации полученных подсистем, подсистемы декомпозируются до уровней в которых они могут быть удобно математически описаны. В ре зультате сложная система представляется в ви де многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.
Элементом А-схемы является агрегат. Связь между агрегатами (внутри системы Sи с внешней средой E) осуществляет ся с помощью оператора сопряжения R. Агрегат может рассматриваться как А-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.
Характеристиками агрегата являются множества мо ментов времениТ, входных Xи выходных Yсигналов, состояний Z в каждый момент времени t.
Пусть переход агрегата из состояния z(t1) в состо яние происходит за малый интервал времени z. Переходы из состояния z(t1)в z(t2)определяются внутренними параметрами агрегата входными сигналами .
В начальный момент времени t0 состояния zимеют значения, равные z°, т. е. z°=z(t0), которые задаются законом распределения L[z(t0)]. Пусть изменение состояния агрегата при вход ном сигнале хпописывается случайным оператором V. Тогда для момента времени при поступлениивходного сигнала хnсостояние определяется (1)
(1)
Если на интервале времени (tn, tn+i) нет поступления сигналов, то длясостояние агрегата определяется случайным оператором U, можно записать (2)
(2)
Так как наоператорU не накладываются ни какие ограничения, то допустимы скачки состояний z в моменты времени, не являющимися моментами поступления входных сигналов x.
Момен ты скачков z называются особыми моментами времени ts, состояния z(ts) — особыми состояниями А-схемы. Для описания скачков состояний zв особые моменты времени tsиспользуется случайный оператор W, которыйпредставляет собой частный слу чай оператора U (3).
(3)
На множестве состояний Z выделяется такое подмножество Z(Y), что если z (t) достигает Z(Y), то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала. Выходной сигнал можно описать оператором выходов (4)
(4)
Агрегатом будем понимать любой объект, который описывается следующим образом (5).
(5)
Структура агрегативной системы
Рассмотрим А-схему, структура которой приведена на рис.1.
Рис. 1
Функционирование А-схемы связано с переработкой информации, передача послед ней на схеме показана стрелками. Вся информация, циркулирующая в А-схеме, делится на внешнюю и внутреннюю. Внешняя информация поступает от внешних объектов, внутренняя инфор мация вырабатывается агрегатами самой А-схемы. Обмен информацией между А-схемой и внешней средойЕпроисходит через агрегаты, называющиеся полюсами А-схемы. Различают входные полюсы на которые поступают x-сообщения (агрегаты At А2, Аб), и выход ные полюсы А-схемы, выходная информация которых является у- сообщениями(агрегаты А1 А3, А4, А5, А6). Агрегаты, не являющиеся полюсами, называются внутренними.
Каждому агрегату А-схемы Апподводятся входные контакты (In) с элементарными входными сигналами xi(t), i = 1..In, и выходные контакты (Jn)с сигналами yj(t), j = 1...Jn.
Введем ряд предположений:
1) взаимодей ствие между А-схемой и вне шней средойЕ, а также меж ду отдельными агрегатами внутри системы Sосуществ ляется при передаче сигна лов;
2) для опи сания сигнала достаточно некоторого конечного набо ра характеристик;
3) элементарные сигналы мгновенно передаются в А-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам;
4) к входному контакту любого элемента А-схемы подключается не более чем один элементарный канал, к выходному контакту — любое конечное число элементар ных каналов при условии, что ко входу одного и того же элемента А-схемы направляется не более чем один из упомянутых элементар ных каналов.
Взаимодействие А-схемы с внешней средойЕрассматривается как обмен сигналами между внешней средой Е и элементами А-схемы, поэтомувнешняя среда является фиктивным элементом системы А0, вход которого содержит I0 входных контактов и выход — J0 выходных контактов. Можем записать контакты (6):
(6)
Каждый агрегат, в т.ч. Апможноохарактеризовать множеством входных кон тактов X1(n), Х2(n)..., XIn(n) = {Xi(n)}, и множеством выходных контактов Y1(n), Y2(n)..., УJ(n) = {Уj(n)},где n=0, NA.
Пара множеств {Xi(n)}, {Уj(n)} представляют математическую модель агрегата, которая описывает сопряжения его с прочими элементами А-схемы и внешней средой Е.
В силу предположения о независимости передачи сигналов каж дому входному контакту соответствует не более чем один выходной контакт .
Введем оператор сопряжения R: оператор Y*=R(Xi(n)) с областью определения в множестве {Xi(n)}и областью значений {Уj(n)}, сопоставляющий входному контакту Хinвыходной контакт Yjn\ связанный с ним элементарным каналом.
Совокупность множеств {Xi(n)}, {Уj(n)}и оператор Rпредставляют схему сопряжения элементов в А-схему. Это есть одноуровневая система сопряжения.
Оператор сопряжения Rможно задать в виде таблицы, в которой на пересечении строк с номерами элементов (агрегатов) пи столбцов с номерами контактов i рас полагаются пары чисел k, l, указывающие номер элемента kи номер контакта l, с которым соединен контакт Хi(n). (таб.1)
|
п |
i |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0 |
1.1 |
3.1 |
4.1 |
5.1 |
6.1 |
|
1 |
0.1 |
||||
|
2 |
1.3 |
0.2 |
0.3 |
||
|
3 |
1.2 |
2.1 |
|||
|
4 |
3.2 |
2.1 |
2.2 |
||
|
5 |
2.2 |
||||
|
6 |
5.2 |
0.4 |
Если столбцы и строки такой таблицы пронумеровать парамиn,iиk,lсоответственно и на пересечении поме щать 1 для контактов n,iиk,l, соединенных элементарным каналом и 0 в противном случае, то получим матрицу смежности ориен тированного графа, вершинами которого являются контакты аг регатов, а дугами — элементарные каналы А-схемы.
В более сложных случаях могут быть использованы многоуровневые иерархические схемы сопряже ния. Схема сопряжения агрегата, определяемая оператором R, мо жет быть использована для описания весьма широкого класса объектов.
Упорядоченную совокупность конечного числа агрегатов An, n = NA и оператора Rможно представить А-схемой при следующих условиях:
каждый элементарный канал, передающий сигналы во внешнюю среду должен начинается в одном из выходных каналов первого агрегата А-схемы; каждый элементарный канал, передающий сигналы из внешней среды должен заканчиваться на одном из выходных каналов А-схемы;
сигналы в А-схеме передаются непосредственно от одного агрегата к другому без устройств, которые способны отсеивать сигналы, по каким-либо признакам;
согласование функционирования агрегатов А-схемы во времени;
сигналы между агрегатами предаются мгновенно, без искажений и перекодирования, изменяющего структуру сигнала.
Бехтин, вопрос 12. Имитационное моделирование. Этапы процесса имитации.
1.Определение метода имитационного моделирования. Метод ИМ заключается в создании логико-аналитической (математической модели системы и внешних воздействий), имитации функционирования системы, т.е. в определении временных изменений состояния системы под влиянием внешних воздействий и в поучении выборок значений выходных параметров, по которым определяются их основные вероятностные характеристики. Данное определение справедливо для стохастических систем.
При исследовании детерминированных систем отпадает необходимость изучения выборок значений выходных параметров.
Модель системы со структурным принципом управления представляет собой совокупность моделей элементов и их функциональные взаимосвязи. Модель элемента (агрегата, обслуживающего прибора) - это, в первую очередь, набор правил (алгоритмов) поведения устройства по отношению к выходным воздействиям (заявкам) и правил изменений состояний элемента. Элемент отображает функциональное устройство на том или ином уровне детализации. В простейшем случае устройство может находиться в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. В работоспособном состоянии устройство может быть занято, например, выполнение операции по обслуживанию заявки или быть свободным. К правилам поведения устройства относятся правила выборки заявок из очереди; реакция устройства на поступление заявки, когда устройство занято или к нему имеется очередь заявок; реакция устройства на возникновение отказа в процессе обслуживания заявки и некоторые другие.
Имитационное моделирование (ИМ) —
-метод, позволяющий строить модели, которые описывают процессы таким образом, как они протекают в действительности. Результаты «проигрывания» такой модели во времени опр-ся случайным хар-ом процессов, по которым можно получить устойчивую статистику.
-это метод исследования, который основан на том, что анализируемая динамическая система заменяется имитатором(достаточно точной моделью) и с ним производятся эксперименты для получения об изучаемой системе. Роль имитатора зачастую выполняет программа ЭВМ. При этом экспериментирование с моделью называют имитацией.
-частный случай мат. моделирования и применяется тогда, когда по разным причинам не могут быть разработаны аналитические модели.
Имитационная модель – это логико-математисческое описание объекта, которая исп-ся для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.
Основная идея метода ИМ состоит в следующем. Пусть необходимо определить функцию распределения случайной величины y. Допустим, что искомая величина y может быть представлена в виде зависимости: y=f( где случайные величины с известными функциями распределения.
Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм:
по каждой из величин производится случайное испытание, в результате каждого определяется некоторое конкретное значение случайной величины iii;
используя найденные величины, определяется одно частное значение y i по выше приведённой зависимости;
предыдущие операции повторяются N раз, в результате чего определяется N значений случайной величины y;
на основании N значений величины находится её эмпирическая функция распределения.
Бехтин, вопрос 13. Статистические методы исследования объектов и систем управления.
1.Общая характеристика метода статистического моделирования
Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистически данных о процессах, происходящих в моделируемой системе.
Сущность метода статистического моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды E, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.
Метод применяется:
1) для изучения стохастических систем;
2) для решения детерминированных задач.
Особенностью применения метода заключается во втором методе. А именно замена детерминированной задачи эквива лентной схемой некоторой стохастической системы, выходные хара ктеристики последней совпадают с результатом решения детерми нированной задачи.
В результате статистического моделирования системы S получа ется серия частных значений искомых величин или функций, стати стическая обработка которых позволяет получить сведения о пове дении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализации N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают ста тистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функ ционирования системыS.
Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволя ющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценить некото рые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость.
Примеры статистического моделирования. Методом статистического моделирования найти оценки выходных характеристик стохастической системы SR., функционирование которой описывается следующими соотно шениями:
- входное воздействие;
- воздействие внешней среды;
и - случайные величины, для которых известны функции распределения.
Целью моделирования является оценка математического ожидания М[у] величины
В качестве оценки математического ожидания М[у], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, может выступать среднее арифметическое, вычисленное по формуле
где yi— случайное значение величины у; N — число реализации мат. ожиданий, которое достаточно для статистической устойчивости результатов.
Структурная схема системыSR показана на рис. 1.
Рис. 1. Структурная схема систе мы SR
Здесь элементы выполняют следующие функции:
вычисление
В1, В2 на выходе
K1 и K2:
суммирование С:
извлечение квадратного корня И
Схема алгоритма, реализующего метод статистического моделирования для оценки М[у] системы SR, приведена на рис. 2.
Здесь LA и FI — функции распределения случайных величин и ;
N — задан ное число реализации;
I=i — номер теку щей реализации;
LAT = I;
FII = I;
EXP = e;
MY = М[у] ;
SY =
ВИД [...], ГЕН [...], ВРМ[...]—процедуры ввода исходных данных, генерации псевдослучайных по следовательностей и выдачи результатов моделирования соответственно.
Таким образом, данная модель позво ляет получить методом статистического моделирования на ЭВМ статистическую оценку математического ожидания выход ной характеристики М[у] рассмотренной стохастической системыSR. Точность и достоверность результатов взаимодей ствия в основном будут определяться чис лом реализации N.
Рис. 2. Схема моделирующего ал горитма системы SR
14. Оценка результатов наблюдений. Оценка математического ожидания и генеральной дисперсии.
15.ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫ ИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИ
При статистическом моделировании систем одним из основных вопросов является учет стохастических воздействий. Количество случайных чисел, используемых для получения статистически устой чивой оценки характеристики процесса функционирования системы Sпри реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ. Количество случайных чисел колеблется в достаточно широких пределах в зависимости от:
1 класса объекта моделирования;
2 вида оцениваемых характеристик;
3 необходимой то чности и достоверности результатов моделирования.
Результаты статистического моделирования существенно за висят от качества исходных (базовых) последовательностей случай ных чисел.
На практике используются три основных способа генерации случайных чисел:
Аппаратный способ. Генерация случайных чис ел вырабатываются специальной электронной приставкой — гене ратором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одно го из внешних устройств ЭВМ. Реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных опе раций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В основе лежит физический эффект, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводнико вых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д.
Достоинства:
Запас чисел не ограничен;
Расходуется мало операций;
He занимается место в памяти.
Недостатки:
Требуется периодическая проверка;
Нельзя воспроизводить последовательности;
Используется специальное устройство;
Необходимы меры по обеспечению стабильности.
Табличный способ. Случайные числа, представленные в виде таблицы, помещаются в память ЭВМ.Этот способ получения случайных чисел обычно используют при сравнительно небольшомобъеме таблицы и файла чисел.
Достоинства:
Требуется однократная проверка;
Можно воспроизводить последовательности.
Недостатки:
Запас чисел ограничен;
Много места в ОЗУ;
Необходимо время для обращения к памяти.
Алгоритмический способ. Способ получения последовательностислучайных чисел основанный на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделирова нии системы на ЭВМ.
Достоинства:
Недостатки:
Программная имитация случайных воздействий сводится к генерированию некоторых стандартных процессов и их последующего функционального преоб разования. В качестве базового может быть принят любой удобный для моделирования конкретной системы S про цесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы).При дискретном моделирований базовым процессом явля ется последовательность чисел , которые представляют реализации независимых, равномерно распределенных на ин тервале (0, 1) случайных величин . В стати стических терминах - повторная выборка из равномерно распре деленной на интервале (0, 1) генеральной совокупности значений величины .
Непрерывная случайная величина имеет равномерное рас пределение в интервале (а, b), если ее функции плотности (а) и функция распределения (б) примет вид
Числовые характеристики случайной величины , принимающей значения x, — это математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение соответственно:
При моделировании систем используют случайные числа из интервала (0, 1), то есть границы интервала соответственно а=0 и b = 1. Соответствующие функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид:
Такое распределение имеет математическое ожидание М [] = 1/2
и дисперсию D[] = 1/12.
Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить егона цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n-разрядными числами. По этому на ЭВМ вместо непре рывной совокупности равно мерных случайных чисел интервала (0, 1) используютдискретную последователь ность 2n случайных чисел то го же интервала. Закон рас пределения такой дискрет ной последовательности на зывают квазиравномерным распределением.
Случайная величина , имеющая квазиравномерное распределе ние в интервале (0, 1), принимает значения с вероят ностями, .
Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной слу чайной величины соответственно имеют вид
На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины используются формулы (алгоритмы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.
16.Проверка качества квазиравномерной последовательности псевдослучайных чисел.
(математическое ожидание М [] = ½и дисперсию D[] = 1/12.)
Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить его на цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с n-разрядными числами. По этому на ЭВМ вместо непре рывной совокупности равно мерных случайных чисел интервала (0, 1) используют дискретную последователь ность 2n случайных чисел то го же интервала. Закон рас пределения такой дискрет ной последовательности на зывают квазиравномерным распределением.
Случайная величина , имеющая квазиравномерное распределе ние в интервале (0, 1), принимает значения с вероят ностями , .
На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательность случайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперировать только с конечным множеством чисел. Кроме того, для получения значений х случайной величины используются формулы (алгоритмы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сути детерминированными, называются псевдослучайными.
17.Моделирование случайных событий.
В моделировании систем методами имитационного моде лирования, существенное внимание уделяется учету случайных факторов и воздействий на систему. Для их формализации используются случайные события, дискретные и непрерывные величины, векторы, процессы. Формирование реализации случайных объектов любой природы сводится к генерации и преоб разованию последовательностей случайных чисел.
В практике имитационного моделирования систем на ЭВМ ключевым факторам является оптимизация алгоритмов работы со случайными числами.
Таким образом, наличие эффективных методов, алгоритмов и программ формирования, необходимых для моделирования конкретных систем последовательностей случайных чисел, во многом определяет возможности практического использования машинной имитации для исследования и проектирова ния систем.
Моделирование случайных событий.
Простейшими случайными объектами при статистическом моделировании систем являются случайные события..
1. Пусть имеются случайные числа xi т. е. возможные значения случайной величины , равномерно распределенной в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событиеА, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, как состоящее в том, что выбранное значение xi случайной величины удовлет воряет неравенству (1)
Тогда вероятность наступления событияА будет Противоположное событие состоит в том, что xi>p. Тогда Р() = 1—р.
Процедура моделирования состоит в выборе значений xi и сравнении их с р. Если условие (1) выполняется, то исходом испытания является событие А.
2. Пусть A1, А2, ..., А, — событий, наступающих с вероят ностями p1, p2, ..., р. Определим Аm как событие, состоящее в том, что выбранное значение xi, случайной величины удовлетворяет неравенству
|
Процедура моделирования испытаний в последовательном сравнении случайных чисел xi со значениями l. Исходом испытания называется событие Аm, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p1, p2, ..., р
Пусть, независимые событияА и В, поступающие с вероятностями pA и pB .Возможными исходами совместных испытаний будут события с вероятностями
В моделировании испытаний можно использовать два варианта расчетов:
1) последовательную проверку условия (2);
2) определение одного из исходов по жребию
с соответствующими вероятностями.
Для первого варианта необходима пара чисел xi, для выполнения условия (1). Во втором варианте необходимо одно число xi,но сравнений может потребоваться больше.
Пусть событияАи В являются
зависимыми. События наступают с вероятностями pA и pB.
Р(В/А) - условная вероятность наступления событияВпри
что событие А произошло. Считается, что условная вероятность Р(В/А) задана.
Из последовательности случайных чисел {xi}извлекается число хт, удовлетворяющеехт<рл. Если этой неравенство справедливо, то наступило событие А. Дальше из совокупности чисел {х,} берется очередное число хm+1 и проверяется условие xm+1≤P(B/A). Возможный исход испытания являются АВ илиА.
Если условие хт<рАне выполняется, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность
Выберем из совокупности {х,} число хт+1, проверим справедливость неравенства xm+1≤P(B/A). В зависимости от того, выполняется оно или нет, получим исходы испы танияА В или А В.
Схема моделирующего алгоритма для зависимых событий
Алгоритм включает следующие процедуры:
ВИД [...]-процедура ввода исходных данных;
ГЕН [...] — генератор равномерно распределенных случайных чисел;
ХМ=хт;
XMI=хm+1;
PA=pA РВ=рB;
РВА = Р(В/А);
PBNA = P(B/A);
КА, KNA, КАВ, KANB, KNAB, KNANB — числособытий;
ВРМ [...] — проце дура выдачи результатов моде лирования.
18.Моделирование Марковских цепей
Пусть простая однородная марковскаяцепь определяется матрицей переходов
где pij— вероятность перехода из состояния zi, в состояние zj.
Матрица переходов Р полностью описывает марковский про цесс. Так как сумма элементов каждой строки равна 1, то данная матрица является стохастической, т. е.
Пусть pi(n), - вероятность, что система будет находиться в состоянии zi после ппереходов. По определе нию .
Пусть возможными исходами испытаний являются события At, A2, .., Ak. pij— это условная вероятность наступления события ajв данном испытании при условии, что исходом предыдущего испытания было событие ai.
Моделирование такой цепи Маркова состоит в последо вательном выборе событий ajпо жребию с вероятностями рij. Последовательность действий следующая:
Каждый номер mi, определяет не только очередное событие Ami но и распределение вероятностей pmi1, pmi2, …. pmik для определения очередного номера mi+1. Для эргодических марковских цепей влияние начальных вероятностей быстро уменьшается с ростом номера испытаний.
Эргодический марковский процесс - это всякий марковский процесс, для которого предельное распределение вероятностей pi(n), , не зависит от начальных условий pi(0). Поэтому можно принимать, что
19. Моделирование непрерывных случайных величин
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
где — плотность вероятностей.
Для получения непрерывных случайных величин используется метод обратной функции. Взаимно однозначная монотонная функция преобразует случайную величину , равномерно распределена на интервале (0,1) в случайную величину с требуемой функцией плотности . Чтобы получить числа из последовательности {yi}, имеющие функцию плотности , необходимо разрешить относительно yi уравнение (3)
Пример 1. Получить случайные числа с показательным законом
распределения:
В силу соотношения (3) получим
где xi— случайное число, имеющее равномерное распределение в интервале (0, 1). Тогда
- случайная величина, распределенная на интервале (0, 1), поэтому можно записать
20.Приближенные способы преобразования
В практике моделирования систем приближенные способы преобразования случайных чисел классифицируются следующим образом:
а) универсаль ные способы, с помощью которых можно получать случайные числа с законом распределения любого вида;
б) неуниверсальные способы, пригодные для получения случайных чисел с конкретным законом распределения.
Универсальный способ
Универсальный способ получения случайных чисел базируется на кусочной аппроксимации функции плотности вероятности.
Пусть требуется получить последовательность случай ных чисел {уi} с функцией плотности fη(y), возможные значения которой лежат в интервале (а, b). Представим fη(y) в виде кусочно-постоянной функции, т. е. разобьем интервал (а, b) на m интервалов.
Будем считать, что функция плотности на каждом интервале постоянна. Тогда случайную величину можно пред ставить в виде
где ak— абсцисса левой границы k-го интервала;
— случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала.
На участке случайная величина распределена равномерно. Целесообразно разбить (а, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания случайной величины в любой ин тервал была постоянной и не зависела от номера интервала.
Для вычисления ak воспользуемся следующим соотношением:
Алгоритм машинной реа лизации этого способа полу чения случайных чисел сво дится к выполнению следующих дей ствий:
1) генерируется случай ное равномерно распределен ное число xi из интервала (0, 1);
2) с помощью этого числа случайным образом выбирается интервал ;
3) генерируется число xi+1и масштабируется с целью приведения его к интервалу , т. е. умножается на коэффициент
4) вычис ляется случайное число с требуемым законом распределения.
В п.2 целесообразно для этой цели построить таблицу (сформировать массив), в которую предварите льно поместить номера интервалов kи значения коэффициента масштабирования, которые получаются из соотношения (1) для приве дения числа к интервалу (а, b). Получив из генератора случайное число xi, спомощью таблицы сразу определяем абсциссу левой границы akи коэффициент масштабирования .
Достоинства способа: При реализации на ЭВМ требуется небольшое коли чество операций для получения каждого случайного числа, так как операция масштабирования выполняется только один раз перед моделированием.
Не универсальные способы преобразования
Рассмотрим способы преобразования последовательности рав номерно распределенных случайных чисел {xi} в последователь ность с заданным законом распределения {уj} на основе предельных теорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы на получение последовательностей чисел с конкретным законом рас пределения, т. е. не являются универсальными.
Пусть требуется получить последовательность случайных чисел имеющих распределение Пуассона:
Воспользуемся предельной теоремой Пуассона.
Если p- вероятность наступления события A в одном из испытаний, то вероятность наступления m событий в N независимых испытаниях при асимптотически равняется p(m). Выберем достаточно большое количество испытаний N, такое что .
Будем проводить серии из N независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p. Будем подсчитывать число случаев yj фактического наступления события A в серии с номером j. Число yjбудет приближенно следовать закону Пуассона. Практически номер выбирается таким образом, что .
Алгоритм:
— случайные числа последовательности, равномерно распределенные в интервале (0, 1);
:
NO — вспомогательная переменная;
ВИД [...] — процедура ввода исходных данных;
ВЫЧ [...] — процедура вычисления;
ГЕН [...] — процедура генерации случайных чисел;
ВРМ [...] — процедура выдачи результатов моделирования.
Алгоритм генерации последовательности случайных чисел ур , имеющих пуассоновское распределение.
Моделирование случайных векторов.
При решении задач исследования характеристик процессов функционирования систем методом статистического моделирования на ЭВМ возникает необходимость в формировании реализаций случайных векторов, которые обладают за данными вероятностными характеристиками. Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат, эти проекции являются случайными величинами, и описываются совместным за коном распределения.
Случайные вектора можно задать проекциями на оси координат. В двумерном случае, когда известна вероятность распределения на плоскости XOY, случайный вектор может быть задан совместным законом распределения его проекций и на оси Ох и Оу.
Моделирование дискретных векторов
Пусть имеется дискретный случайный процесс. Двухмерная случайная величина (,) является дискретной. Ее составляю щая принимает возможные значения . Составляющая принимает значения .
Каждой паре соответствует вероятность pi . Возможному значению xi случайной величины будет соответствовать
В соответствии распределением вероятностей мож но определить конкретное значение xiслучайной величины и из значений pijвыбрать последовательность
которая описывает условное распределение величины при усло вии . Тогда конкретное значение yi случайной величины будет определятьсяв соответствии с распределением вероятностей (2). Пара чисел будет первой ре ализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичным образом определяем возможные значения , выбираем последова тельность
и находим yi в соответствии с распределением (3). Это дает реализацию вектора и т. д.
Моделирование непрерывных случайных векторов
Пусть величины и являются составляющими случайного вектора. В этом случае двухмерная случайная величина (,)описывается совместной функцией плотности f(x, у).
С помощью функции плотности f(x) находится случайное числоxi. При условии определяется условное распределение случайной величины :
По функции плотности определяется случайное число yi. Пара чисел будет являться искомой реализацией вектора(,).
В условиях многомерных векторов объем вычислений существенно увеличивается, что создает препятствия к использованию этого способа в практике моделирования систем.
В пространстве с числом измерений больше двух доступным оказывается формирование случайных векторов в рамках корреляционной теории. Рассмотрим случайныйвектор с математическими ожиданиями и корреляцион ной матрицей
где .
Пример. Рассмотрим трехмерный случай реализации трехмерного случайного вектора с составляющими (,,) и имеющего нормальное распределение с математическими ожиданиями и корреляционной матрицейК, элементы которой являются дисперсиями случайных величин . Элементы представляют собой соответственно корреляционные моменты и , и , и .
Пусть имеется последовательность некоррелированных случайных чисел {i}, имеющих одномерное нормальное распределение с параметрами a и . Выберем три числа , преобразуем так, что они имеют характеристики и K. Искомые составляющие случайного вектора(,,) обозначим как х, у, z и пред ставим в виде линейного преобразования случайных величин i:
где cij — некоторые неизвестные коэффициенты. Для вычисления этих коэф фициентов воспользуемся элементами корреляционной матрицы К. Величины независимы между собой, то при.В итоге имеем:
Решая эту систему уравнений относительно cij , получим
После вычисления коэффициентов cij , три последовательных случайных числа i ,i=1, 2, 3, преобразуются в составляющие случайного вектора .
Требуется хранить в памяти ЭВМ п(п+1)/2 корреляционных моментов kijи п математических ожиданий аi. При больших п могут встречаться сложности, связанные с большим объемом вычислений.
Создание системы управления (СУ) различными объектами требует наличия большого объема информации как о самом объекте, так и о его входных и выходных переменных. Эта информациянеобходима для построения адекватной модели СУ, на основе которой может быть эффективно осуществлен процесс управления. При этом следует различать два вида информации, необходимой для построения и совершенствования модели и СУ: априорную и текущую. Априорная информация об объекте управления (ОУ), его входных и выходных переменных, внутренних состояниях необходима для построения модели, по которой будет создаваться СУ этим объектом: выбираться структура, алгоритмы и параметры СУ, критерий функционирования. Обычно для сложных вновь проектируемых ОУ отсутствует необходимая для создания СУ модель, и задача управления должна решаться в условиях недостаточной или вовсе отсутствующей априорной информации об объекте. Речь идет об отсутствии информационной («управленческой») модели
ОУ, устанавливающей взаимосвязь между выходными и входными переменными.
Особенности системы управления. Проблема создания СУ неизбежновозникает при разработке ОУ и при их модернизации. Напервый взгляд может показаться, что втех случаях, когда новая СУразрабатывается для уже давно функционирующейсистемы S длительное время находящейся в эксплуатации, положение с априорнойинформацией лучше и построение модели проще. Опыт показывает, что это не так, и получение информационной модели и в этом случаевесьма трудоемко. Таким образом, как для случая вновь проектируемойсистемы S, так и для ужефункционирующей возникает проблемаполучения дополнительной информации для создания СУ.
Единственным эффективным путем получения такой информациив настоящее время является машинное моделирование.
В том случае, когда СУ создана и функционирует вместе с системой5, управляя ею, существует необходимость в получении текущейинформации, вызванная восновном двумя причинами. Во-первых, это потребность в совершенствовании СУ, а во-вторых, необходимость уточнения поведения системы и возникающих в нейситуаций с целью компенсации изменений характеристик системыS как ОУ.
Процессы, с которыми связана текущая информацияпервого вида, являютсядостаточно медленными и для управленияими необходима подсистемаэволюционного управления, а процессывторого типа являются более быстрыми и для управления иминеобходима подсистема оперативного управления в реальном масштабевремени (РМВ).
Следует подчеркнуть, что по темпу принятия решений и местурешения задач подсистемы эволюционного и оперативного управлениясущественно отличаются друг от друга. Так, например, процессыоперативного управления могут быть на несколько порядковболее быстрыми по сравнению с процессами эволюционного управления.
Важнейшей задачей современной теории и практики управленияявляется построение модели ОУ, т. е. формализация закономерностейфункционирования объекта. На основе этой модели определяютсяструктура, алгоритмы и параметры СУ, выбираются аппаратно-программные средства реализации системы. Одним изэффективныхметодов построения модели сложного объекта являетсяидентификация.
Широкое развитие в настоящее время работ по формализациипроцессов и построению их моделей во многих областях исследований(технике, экономике, социологии и т. д.) преследуют две основныецели. Первая из них связана созначительным увеличениемвозможностей изучения на базе ЭВМ сложных процессов функционированияразличных объектов при помощи метода моделирования,для чего необходимо математическое описание исследуемогопроцесса. Не меньшее значение в технических системах имеют модели,используемые для достижения второй цели, т. е. применяемыенепосредственно в контуре управления объектами.
Для сложных динамических объектов перспективным является моделирование на базе ГВК, которые реализуют преимущества цифрового и аналогового моделирования и позволяют наиболее эффективно использовать ресурсы ЭВМ и АВМ в составе единого комплекса. При использовании ГВК существенно упрощаются вопросы взаимодействия с датчиками, установленными на реальных объектах, что позволяет, в свою очередь, проводить комбинированное моделирование с использованием аналого-цифровой части модели и натурной части объекта. Такие гибридные моделирующие комплексы могут входить в состав многомашинного информационно- вычислительного комплекса коллективного пользования, что еще больше расширяет его возможности с точки зрения моделируемых классов больших систем.
Состав и структура технического обеспечения АЦМК определяется множеством задач, на решение которых он ориентирован. В общем виде структура технических средств представлена на рис.2.1 [10]. Здесь приняты следующие обозначения: АВМ — аналоговая вычислительная машина; ЭВМ — цифровая электронная вычислительная машина; АЦП — аналого-цифровой преобразователь; ЦАП — цифро-аналоговый преобразователь; БУС — блок управляющих связей; РА — реальная аппаратура; ПОn — пульт оператора.
Возможны различные варианты построения многомашинных комплексов, в которых используется по несколько АВМ и ЭВМ. Такие варианты обычно выбираются в случаях, когда не хватает производительности одного вычислителя или есть необходимость разделить средства выполнения отдельных задач моделирования системы из-за ее функциональных или структурных особенностей.
Преобразователи АЦП и ЦАП являются средствами организации информационных связей между АВМ и ЭВМ, т.е. средствами для обмена информацией между цифровой и аналоговой частями модели системы.
Подготовка, запуск, останов и синхронизация элементов АЦМК в процессе решения задачи моделирования, как правило, осуществляются ЭВМ. Для реализации этих функций применяются специальные управляющие шины и аппаратура стыковки АВМ и ЭВМ по управлению, которые объединены на рассматриваемой схеме в БУС. Наряду с цифровой и аналоговой частями модели исследования на АЦМК могут использоваться реальные элементы исследуемой системы. Исследования такого типа называются полунатурным моделированием.
Рис. 2.1. Структура технических средств аналого-цифрового моделирующего комплекса
Оператор управляет процессом моделирования с помощью средств, номенклатура которых определяется задачами, решаемыми на АЦМК. В состав ПОnмогут входить печатающие устройства различного типа, дисплеи, графопостроители, самописцы и т.д., может иметь место специализированная клавиатура для передачи управляющих команд типа «Запуск», «Останов» и т.п. Таким образом, ПОn в АЦМК представляет собой набор технических средств для организации диалога «оператор — машинный эксперимент».
При распределении задачи моделирования системы по средствам, входящим в состав АЦМК, могут быть выделены три типа комплексов [10].
Аналого-ориентированные комплексы используются в тех случаях, когда не требуется высокая точность результатов и когда моделируемая система реализуема аналоговыми средствами. Системы такого класса исследуются на АЦМК, в которых цифровые средства необходимы на этапе подготовки модели для автоматизации набора задачи, накопления и обработки результатов моделирования. Сама же модель системы реализуется исключительно на аналоговом вычислителе (аналоговое моделирование). Наряду с указанными функциями ЭВМ может выполнять задачи управления АВМ в процессе реализации модели. АЦМК с цифровым управлением и цифровой логикой способны воспроизводить более сложные модели по сравнению со стандартными АВМ. К аналого-ориентированным АЦМК относятся также комплексы, в которых ПК применяются в качестве периферийного оборудования. В таких АЦМК малая ЭВМ используется с мощной АВМ для решения свыше сотни специальных задач моделирования, решение которых было бы трудно или невозможно с помощью аналоговой аппаратуры.
К цифро-ориентированным комплексам можно отнести универсальные ЭВМ, где для отображения и регистрации результатов используются аналоговые средства — осциллографы, самописцы и т.д. В таких АЦМК модель полностью реализуется цифровыми методами. Возможны варианты построения АЦМК для полунатурного моделирования, когда реальная аппаратура сопрягается с ЭВМ через аналоговый вычислитель. Вцифро-ориентированных АЦМК может иметь место распараллеливание отдельных вычислительных процедур в процессе работы с цифровой моделью за счет реализации их аналоговыми средствами.
Универсальные комплексы являются самым мощным средством для решения задач аналого-цифрового моделирования. В их состав входят средства, с помощью которых могут эффективно решаться не только аналого-цифровые задачи, но и задачи аналоговые с цифровым управлением, а также задачи цифрового моделирования. На комплексах такого типа широко используется диалог «оператор — машинный эксперимент», т.е. могут запоминаться, отображаться и регистрироваться результаты решений, оперативно вноситься изменения в модель и осуществляться ее запуск. Другими словами, имеется возможность реализовать итеративный процесс исследования, сходящийся к получению искомого результата, что особенно важно при автоматизации проектирования системы на базе машинного моделирования.
Большое значение при реализации модели на ЭВМ имеет вопрос правильного выбора языка программирования.
Язык программирования должен отражать внутреннюю структуру понятий при описании широкого круга понятий. Высокий уровень языка моделирования значительно упрощает программирование моделей. Основными моментами при выборе ЯМ является:
проблемная ориентация;
возможности сбора, обработки, вывода результатов;
быстродействие;
простота отладки;
доступность восприятия.
Этими свойствами обладают процедурные языки высокого уровня. Для моделирования могут быть использованы языки Имитационного моделирования (ЯИМ) и общего назначения (ЯОМ).
Более удобными являются ЯИМ. Они обеспечивают:
удобство программирования модели системы;
проблемная ориентация.
Недостатки ЯИМ:
неэффективность рабочих программ;
сложность отладки;
недостаток документации.
Основные функции языка программирования:
управление процессами (согласование системного и машинного времени);
управление ресурсами (выбор и распределение ограниченных средств описываемой системы).
Как специализированные языки, ЯИМ обладают некоторыми программными свойствами и понятиями, которые не встречаются в ЯОН. К ним относятся:
Совмещение. Параллельно протекающие в реальных системах S процессы представляются с помощью последовательно работающей ЭВМ. ЯИМ позволяют обойти эту трудность путём введения понятий системного времени.
Размер.ЯИМ используют динамическое распределение памяти (компоненты модели системы М появляются в ОЗУ и исчезают в зависимости от текущего состояния. Эффективность моделирования достигается так же использованием блочных конструкций: блоков, подблоков и т.д.
Изменения. ЯИМ предусматривают обработку списков, отражающих изменения состояний процесса функционирования моделируемой системы на системном уровне.
Взаимосвязь. Для отражения большого количества между компонентами модели в статике и динамике ЯИМ включаем системно организованные логические возможности и реализации теории множеств.
Стохастичность. ЯИМ используют специальные программные генерации последовательностей случайных чисел, программы преобразования в соответствующие законы распределения.
Анализ. ЯИМ предусматривают системные способы статистической обработки и анализа результатов моделирования.
Наиболее известными языками моделирования являются SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS, SOL, CSL.
Для языков, используемых в задачах моделирования, можно составить классификацию следующего вида. (см. рис. 9.1.)
Рис. 9.1. Классификация языков моделирования.
Язык DYNAMO используется для решения разностных уравнений.
Представление системы S в виде типовой схемы, в которой участвуют как дискретные, так и непрерывные величины, называются комбинированными. Предполагается, что в системе могут наступать события двух видов: 1) события, отсостоянииZi; 2) события, зависящие от времени t. При использовании языка GAPS на пользователь возлагается работа по составлению на яз.FORTRAN подпрограмм, в которых описываются условия наступления событий, законы изменения непрерывной величины, правил перехода из одного состояния в другое.SIMSCRIPT - язык событий, созданный на базе языка FORNRAN. Каждая модель Mj состоит из элементов, с которыми происходят события, представляющие собой последовательность формул, изменяющих состояние моделируемой системы с течением времени. Работа со списками, определяемые пользователем, последовательность событий в системном времени, работа с множествами. FORSIT - пакет ПП на языке FORNRAN позволяет оперировать только фиксированными массивами данных, описывающих объекты моделируемой системы.Удобен для описания систем с большим числом разнообразных ресурсов. Полное описание динамики модели можно получить с помощью ПП.
SIMULA - расширение языка ALGOL. Блочное представление моделируемой системы. Функционирование процесса разбивается на этапы, происходящие в системном времени. Главная роль в языке SIMULA отводится понятию параллельного оперирования с процессами в системном времени, универсальной обработки списков с процессами в роли компонент.
GPSS- интегрирующая языковая система, применяющаяся для описания пространственного движения объектов. Такие динамические объекты в языке GPSS называются транзактами и представляют собой элементы потока. Транзакты "создаются" и "уничтожаются". Функцию каждого из них можно представить как движение через модель М с поочерёдным воздействием на её блоки. Функциональный аппарат языка образуют блоки, описывающие логику модели, сообщая транзактам, куда двигаться и что делать дальше. Данные для ЭВМ подготавливаются в виде пакета управляющих и определяющих карт, которым составляется по схеме модели, набранной из стандартных символов. Созданная программа GPSS, работая в режиме интерпретации, генерирует и передаёт транзакты из блока в блок. Каждый переход транзакта приписывается к определенному моменту системного времени.
При моделировании предпочтение отдают языку, который более знаком, универсален. Вместе с увеличением числа команд возрастают трудности использования ЯИМ. Получены экспертные оценки ЯИМ по степени их эффективности.
|
Баллы |
Возможности |
Простота применения |
Предпочтение пользователя |
|
5 |
SIMULA |
GPSS |
SIMSCRIPT |
|
4 |
SIMSCRIPT |
SIMSCRIPT |
GPSS |
|
3 |
GPSS |
SIMULA |
SIMULA |
Суммарныйбал:
SIMULA -11
SIMSCRIPT -13
GPSS -12
Если предпочтение отдаётся блочной конструкции модели при наличии минимального опыта в моделировании, то следует выбрать язык GPSS, но при этом следует помнить, что он негибок, требует большого объёма памяти и затрат машинного времени для счёта.
Стадии разработки моделей. На базе системного подхода может быть предложена и некоторая последовательность разработки мо делей, когда выделяют две основные стадии проектирования: мак ропроектирование и микропроектирование.
На стадии макропроектирования на основе данных о ре альной системе Sи внешней средеЕстроится модель внешней среды, выявляются ресурсы и ограничения для построения моде ли системы, выбирается модель системы и критерии, позволяющие оценить адекватность модели М реальной системы S.
Стадия микропроектирования в значительной степени зави сит от конкретного типа выбранной модели. В случае имитацион ной модели необходимо обеспечить создание информационного, математического, технического и программного обеспечений системмоделирования.
Независимо от типа используемой модели М при ее построении необходимо руководствоваться рядом принципов системного под хода:
1) пропорционально-последовательное продвижение по этапам и направлениям создания модели;
2) согласование информаци онных, ресурсных, надежностных и других характеристик;
3) пра вильное соотношение отдельных уровней иерархии в системе моде лирования;
4) целостность отдельных обособленных стадий постро ения модели.
За последнее десятилетие сформировалось новое направление в программотехнике – CASE (Computer-AidedSoftware/SystemEngineering). В настоящее время не существует общепринятого определения CASE. Содержание этого понятия обычно определяется перечнем задач, решаемых с помощью CASE, а также совокупностью применяемых методов и средств. CASE-технология представляет собой совокупность методологий анализа, проектирования, разработки и сопровождения сложных систем программного обеспечения (ПО), поддержанную комплексом взаимоувязанных средств автоматизации. CASE – это инструментарий для системных аналитиков, разработчиков и программистов, заменяющий им бумагу и карандаш на компьютер для автоматизации процесса проектирования и разработки ПО.
CASE-средства позволяют получить описание работы создаваемой системы раньше, чем её построили. Потом с их помощью можно анализировать работу системы и оптимизировать подготавливаемые решения. Для этого специально предусмотрен инструментарий проектирования.
Использование CASE-средств еще не гарантирует качества проектирования. CASE-средства – это своеобразная и очень эффективная поддержка мышления, развития логики, на базе чего возможности аналитиков значительно расширяются и с помощью CASE-средств, возможно, разработать информационную модель и на ее основе концепцию автоматизации предприятия.
Реалистичные ожидания от использования CASE-средств:
Ø повышение внимания к планированию деятельности, связанной с информационной технологией;
Ø поддержка реижиниринга бизнес-процессов;
Ø долговременное повышение продуктивности и качества деятельности организации;
Ø ускорение и повышение согласованности разработки приложений;
Ø снижение доли ручного труда в процессе разработки и/или эксплуатации;
Ø более точное соответствие приложений требованиям пользователей;
Ø отсутствие необходимости большой переделки приложений для повышения их эффективности;
Ø улучшение реакции службы эксплуатации на требования внесения изменений и усовершенствований;
Ø повышение качества документирования;
Ø улучшение коммуникации между пользователями и разработчиками;
Ø последовательное и постоянное повышение качества проектирования;
Ø более высокие возможности повторного использования разработок;
Ø кратковременное возрастание затрат, связанное с деятельностью по внедрению CASE-средств;
Ø последовательное снижение общих затрат;
Ø улучшение прогнозируемости затрат.
Нереалистичные ожидания от использования CASE-средств:
Ø немедленное повышение продуктивности деятельности организации;
Ø достижение абсолютной полноты и непротиворечивости спецификаций;
Ø автоматическая генерация прикладных систем из проектных спецификаций;
Ø немедленное снижение затрат, связанных с информационной технологией;
Ø снижение затрат на обучение.
При использовании CASE-технологий изменяются все этапы жизненного цикла программной системы, при этом наибольшие изменения касаются этапов анализа и моделирования. В большинстве современных CASE-систем применяются методологии структурного анализа имоделирования, основанные на наглядных диаграммных техниках, при этом для описания модели проектируемой системы используются графы, диаграммы, таблицы и схемы. Такие методологии обеспечивают строгое и наглядное описание моделируемой системы, которое начинается с ее общего обзора и затем детализируется, приобретая иерархическую структуру со все большим числом уровней.
CASE-технологии успешно применяются для моделирования практически всех предметных областей, однако устойчивое положение они занимают в следующих областях:
Ø бизнес-анализ (фактически, модели деятельности предприятий “как есть” и ”как должно быть” строятся с применением методов структурного системного анализа и поддерживающих их CASE-средств);
Ø системный анализ и моделирование (практически любая современная крупная программная система разрабатывается с применением CASE-технологий по крайней мере на этапах анализа и моделирования, что связано с большой сложностью данной проблематики и со стремлением повысить эффективность работ).
Классификация инструментальных средств
Инструментальные средства, предназначенные для моделирования информационных систем, могут быть отнесены к одной из следующих категорий:
Ø локальные, поддерживающие один-два типа моделей и методов (Design/IDEF, ProCap, S-Designor, “CASE.Аналитик”);
Ø малые интегрированные средства моделирования, поддерживающие несколько типов моделей и методов (ERwin, BPwin) ;
Ø средние интегрированные средства моделирования, поддерживающие от 4 до 10—15 типов моделей и методов (RationalRose, ParadigmPlus, Designer/2000);
Ø крупные интегрированные средства моделирования, поддерживающие более 15 типов моделей и методов (ARIS Toolset).
При разработке ИС локальные средства моделирования могут быть использованы только на концептуальном уровне для предварительного анализа или как средство демонстрации заказчику общих предложений по будущему проекту. Задача комплексного анализа системы локальными средствами не может быть решена.
Малые интегрированные средства моделирования, как правило, “исторически выросли” из локальных. Так же, как и последние, они изначально не были ориентированы на комплексный анализ систем. Возможности по интеграции различных моделей в рамках общей модели появились в процессе совершенствования и развития этих программных средств. Характерными особенностями этой категории является наличие в инструментальном средстве независимых компонентов и интеграция моделей путем экспорта и импорта данных.
Типичный представитель малых интегрированных средств моделирования – комплект программных продуктов PlatinumTechnology (CA/ Platinum/LogicWorks), основанный на популярных пакетах BPwin и Erwin. [Лит-ра 4, 11]
BPwin. Поддерживает три методологии моделирования: IDEF0 [Лит-ра 7] (диаграммы функций), IDEF3 (только диаграммы процессов), DFD (диаграммы потоков данных) и обеспечивает интеграцию моделей трех типов без экспорта или импорта данных. Интеграция выполняется как путем слияния нескольких моделей, так и посредством переключения на различные методологии в процессе разработки отдельных диаграмм модели. Предусмотрено расширение возможностей анализа систем как в самом пакете BPwin (функционально-стоимостный анализ), так и с помощью экспорта данных в другие пакеты.
ERwin. Поддерживает несколько разновидностей методологии информационного моделирования, основанной на ER-диаграммах (сущность – связь). Интеграция моделей BPwin с моделями ERwin выполняется путем обмена данными через функции экспорта/импорта.
UML — язык графического описания для объектного моделирования в области разработки программного обеспечения. UML является языком широкого профиля, это открытый стандарт, использующий графические обозначения для создания абстрактной модели системы, называемой UML-моделью. UML был создан для определения, визуализации, проектирования и документирования в основном программных систем. UML не является языком программирования, но в средствах выполнения UML-моделей как интерпретируемого кода возможна кодогенерация.
Использование UML не ограничивается моделированием программного обеспечения. Его также используют для моделирования бизнес-процессов, системного проектирования и отображения организационных структур.
UML позволяет также разработчикам программного обеспечения достигнуть соглашения в графических обозначениях для представления общих понятий (таких как класс, компонент, обобщение (generalization), объединение (aggregation) и поведение), и больше сконцентрироваться на проектировании и архитектуре.