Явление электромагнитной индукции

Работа добавлена на сайт samzan.net:

1. Явление электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции. Правило Ленца.

Связь магнитного поля с током привела к многочисленным попыткам возбудить ток в контуре с помощью магнитного поля. Эта фундаментальная задача была блестяще решена в 1831г. англ физиком М. Фарадеем, открывшим явление электромагнитной индукции. Оно заключается в том, что в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, получивший название индукционного. Фарадей провел 2 опыта, с помощью к-ых было обнаружено явление эм индукции. Опыт1: если в замкнутый на гальванометр соленоид вдвигать или выдвигать постоянный магнит, то в моменты его вдвигания или выдвигания наблюдается отклонение стрелки гальванометра (возникает индукционный ток); направление отклонений стрелки при вдвигания или выдвигания противоположны. При изменении полюсов магнита направление отклонения стрелки изменится. Опыт2: концы одной из катушек, вставленных одна в другую, присоединяются к гальванометру, а через другую катушку пропускают ток. Отклонение стрелки гальванометра наблюдается в моменты включения или выключения тока, в моменту его увеличения или уменьшения или при перемещении катушек друг относительно друга. Направления отклонения стрелки гальванометра также противоположны при включении или выключении тока, его увеличения или уменьшения, сближения или удаления. Обобщая результаты своих опытов Фарадей пришел к выводу, что индукционный ток возникает всегда, когда происходит изменение сцепленного с контуром магнитной индукции. Открытие явления электромагнитной индукции имело большое значение, так как была доказана возможность получения электрического тока с помощью магнитного поля. Этим была установлена взаимосвязь между электрическим и магнитным явлениями, что послужило в дальнейшем толчком для разработки теории эм поля. Обобщая результаты своих опытов фарадей пришел к количественному закону эм индукции. Он показал, что всякий раз, когда происходит изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции, в контуре возникает индукционный ток; возникновение индук тока указывает на наличие в цепи электродвижущей силы, наз-ой эдс эм индукции. . Закон эм индукции Фарадея: какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре эдс . Знак минус показывает, что увеличение потока вызывает эдс. , т.е. поле индукционного тока направлено навстречу потоку; уменьшение потока вызывает , т.е. направление потока и поля индук-о тока совпадают. Знак минус в формуле определяется правилом ленца – общим правилом для нахождения направления индук-о тока, выведенного в 1833г. Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему индук-й ток.

2. Явление самоиндукции. Индуктивность.

Это частный случай электромагнитной индукции. По контуру течёт ток, возникает переменное магнитное поле, Ф=, э.д.с., которая наводится в контуре равна: , . Это явление называется самоиндукцией. , L – коэффициент самоиндукции (самоиндуктивность), зависящий от геометрии контура и от окружающей среды. Тогда мы получили такой закон: .

Электр ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция к-го, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току. Ф=LI, где коэф пропорциональности L наз-ся индуктивность контура. При изменении силы тока в контуре будет изменятся также и сцепленный с ним магнитный поток; след-но, в контуре будет индуцироваться эдс. Вознкновение эдс индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока наз-ся самоиндукцией. Индуктивность бесконечно длинного соленоида , т.е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины, площади и магнитной проницаемости вещ-ва, из к-го изготовлен сердечник соленоида. Применяя к явлению самоиндукции з-н Фарадея . , где знак минус, обусловленный правилом Ленца, пок-ет, что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток со временем возрастает, то 0, т.е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток убывает, т.е. индук ток имеет такое направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Т.о, контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электр инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

3. Экстратоки замыкания и размыкания.

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает эдс самоиндукции, в результате чего в контуре появляются доп-е токи, наз-е экстратоками самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т.е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. След-но, наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи. Рас-м процесс включения и выключения тока в цепи, содер-й источник эдс, резистор сопротивления и катушку индуктивности.      - время релаксации; есть время, в течении к-го сила тока уменьшается в е раз. Т.о, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному з-ну и опред-ся кривой 1. При замыкании цепи помимо внешней эдс возникает эдс самоиндукции, препятствующая возрастанию тока.      . Т.о, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается ф-ей и опред-ся кривой 2.

4. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность.

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184). Если в контуре 1 течет ток I1, то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорционален I1. Обозначим через Ф21 ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда

где L12 — коэффициент пропорциональности.

Если ток I1 изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. , которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I2 магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Ф12 — часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

Если ток I2 изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. , которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L21 и L12 называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L21 и L12 равны друг другу, т. е.(128.2)

Коэффициенты L12 и L21 зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, — генри (Гн).

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185). Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N1, током I1 и магнитной проницаемостью  сердечника, согласно (119.2), где l — длина сердечника по средней линии. Магнитный поток сквозь один виток второй катушки

Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N2 витков,

Поток  создается током I1, поэтому, согласно (128.1), получаем

(128.3)

Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L12 получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,

5. Магнитная энергия тока. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Магнитная энергия тока. Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R, на источник тока с э. д. с. E0. В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Это приводит к появлению э. д. с. самоиндукции Es. Согласно закону Ома RI = E0 + Es, откуда

Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы (т. е. источник E0) за время dt. Для этого

умножим предыдущее равенство на I dt:

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение Es = dФ/dt, запишем

Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ>0 (если I > 0), работа, которую совершает источник E0, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается против э. д. с. самоиндукции. Заметим, что после того как ток установится, dФ = 0 и вся работа источника E0 будет идти только на выделение

джоулевой теплоты.

Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э. д. с. самоиндукции в процессе установления тока:

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды.

Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют- Тогда dФ= LdI и

(9.28)

Проинтегрировав это уравнение, получим Aдоп = LI2/2. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил (E0) идет на увеличение внутренней энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть — в процессе установления тока — на что-то еще. Это «что-то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток /, обладает энергией

(9.29)

Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник E0 так, как

показано на рис. 9.7: быстро повернуть ключ К из положения б в положение а.

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Рассмотрим частный случай – однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.  Так как - объем соленоида. Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью  выражение справедливо только для сред, для к-ых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.

6. Фарадеевская и максвелловская трактовки явления электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле. 1-ое уравнение Максвелла.

Согласно закону Фарадея, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в случае неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле. Однако сила Лоренца на неподвижные заряды не действует, поэтому в данном случае ею нельзя объяснить возникновение э.д.с. индукции. Максвелл для объяснения э.д.с. индукции в неподвижных проводниках предположил, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике.

Из закона Фарадея (см. (123.2)) =–dФ/dt следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение э.д.с. электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре,находящемся в переменном магнитном поле. Однако э.д.с. в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения (см. § 97). Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕB, циркуляция которого, по (123.3),

(137.1)

где ЕBl — проекция вектора ЕB на направление dl.

Подставив в формулу (137.1) выражение (см. (120.2)), получим

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

(137.2)

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл BdS является функцией только от времени.

Согласно (83.3), циркуляция вектора напряженности электростатического поля (обозначим его EQ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

(137.3)

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматриваемыми полями (EB и ЕQ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора EB в отличие от циркуляции вектора EQ не равна нулю. Следовательно, электрическое поле EB, возбуждаемое магнитным полем, как и само магнитное поле (см. § 118), является вихревым.

1е Уре Максвелла: Закон индукции Фарадея   Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле

7. Ток смещения. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля). Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Относительность электрических и магнитных полей. Физика колебаний и волн

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

Выражение и было названо Максвеллом плотностью тока смещения

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора Н (см. (133.10)), введя в ее правую часть полный ток Iполн = jполнdS сквозь поверхность S, натянутую на замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

Выражение справедливо всегда, свидетельством чего является полное соответствие теории и опыта.

2е Уре Макс Закон Ампера (с добавкой от Максвелла)   Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле

В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения.

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (EQ), так и вихревым (EB), поэтому напряженность суммарного поля E = EQ + EB.

Так как циркуляция вектора EQ равна нулю

а циркуляция вектора EB определяется выражением

то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

 [1]

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора H

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью ρ, то формула [3] запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля B

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянная, ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость, γ – удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных. Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид:

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного – только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

8. Колебательные процессы. Гармонические колебания и их характеристики: амплитуда, фаза, период и частота. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.

Гармонические колебания - это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса: , или

гдеA - амплитуда;

ω - круговая частота;

α - начальная фаза;

( ωt + α ) - фаза.

Фаза колебания - это аргумент гармонической функции: ( ωt + α ). Начальная фаза α - это значение фазы в начальный момент времени, т.е. при t = 0.

Амплитуда колебанияA - это наибольшее значение колеблющейся величины.

При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π .

ω(t + T) +α = ωt + α + 2π,

или ωT = 2π. .

Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой называют величину, обратную периоду

Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.

Так как  то

Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно: .

, где Кси – колеблющаяся ведичина

Решением дифференциального уравнения называется функция, обращающая это уравнение в тождество. Нетрудно проверить прямой подстановкой, что в нашем случае решение имеет вид: , т.е. является гармонической функцией. Значит уравнение , это дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

9. Пружинный маятник как пример гармонического осциллятора. Собственная частота пружинного маятника.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению: F(t) = ma(t) = –mω2x(t).

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука: Fупр = –kx.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.

:1) Пружинный маятник

Мех-е

2) Колебательный контур.

При гармонич. колеб. полная энергия колебаний не изменяется со временем. Происходит превращение энергии из одного вида в другой.

А~

10. Свободные гармонические колебания в колебательном контуре.

11. Метод векторных диаграмм как способ представления гармонических колебаний. Сложение однонаправленных колебаний одинаковой частоты

Метод векторных диаграмм.

Гармонические колебания допускают наглядную графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому гармоническому колебанию с частотой можно поставить в соответствие вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитуде а его начальное (стартовое) положение задается углом совпадающим с начальной фазой

Вертикальная проекция вектора изменяется со временем: Мгновенное положение вектора определяется углом который называется фазой и равен:

При угловой скорости (круговой частоте)  вектор совершает оборотов (циклов) в секунду, а продолжительность одного оборота (период) равна отношению угла к угловой скорости

Под сложением колебаний понимают нахождение результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты. Для сложения колебаний удобно применять метод векторных диаграмм. Суть этого метода в том, что гармоническое колебание представляется при помощи вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью OX угол, равный фазе колебания. Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются при помощи векторного сложения. Допустим, что требуется сложить два гармонических колебания:

и . (6.4.1)

Сложим соответствующие им векторы  и  для момента времени t. Проекция результирующего вектора  на ось Оx равна сумме проекций складываемых векторов . Вектор  представляет собой векторное изображение результирующего

колебания (см. рис.6.4.1).

Этот вектор в плоскости диаграммы вращается с той же частотой , с которой колеблются складываемые осциллирующие функции x1(t) и x2(t). Результирующая амплитуда  и начальная фаза  находятся геометрическим построением для момента времени t=0:

(6.4.2)

. (6.4.3)

Выделим три характерных случая.

·       Если разность начальных фаз  обоих колебаний равна 0 или 2pn, где n=1,2,…. то колебания находятся в фазе и амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний, .

·       Если разность фаз , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то  (при  наблюдается полное гашение колебаний).

·       Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. В этом случае результирующее колебание не будет гармоническим и описывается другими более сложными зависимостями.

Бие́ния — явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов постоянно отстаёт от другого по фазе и в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается усилен, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того как нарастает отставание.

Биения, колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несколько различными, но близкими частотами. Биения возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время - в противофазе, затем снова в фазе и т.д. Если А1 и А2 - амплитуды двух накладывающихся колебаний, то при одинаковых фазах колебаний амплитуда результирующего колебания достигает наибольшего значения A1 + A2, а когда фазы колебаний противоположны, амплитуда результирующего колебания падает до наименьшего значения A1 - A2. В простейшем случае, когда амплитуды обоих колебаний равны, их сумма достигает значения 2А при одинаковых фазах колебаний и падает до нуля, когда они противоположны по фазе (рис.). Результат наложения колебания можно записать в виде:

где w1 и w2 - соответственно угловые частоты двух накладывающихся гармонических колебаний (начальные фазы обоих колебаний полагаются равными нулю, т.к. они не играют роли в образовании Биения; играет роль только разность фаз между обоими колебаниями, которая всё время меняется от 0 до 2p).

 Если w1 и w2 мало различаются, то в выражении (1) величину

можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебания

Угловая частота W = w1 - w2; называется угловой частотой Биения Именно, поскольку частота w1 + w2 много больше частоты Биения, мы вправе рассматривать переменную величину (2) как амплитуду колебаний (3), т.к. величина (2), хотя и не постоянная (какой должна быть амплитуда), но меняющаяся лишь медленно. По мере сближения частот w1 и w2 частота Биения уменьшается, исчезая при w1 ® w2 («нулевые» Биения), этим пользуются при настройке музыкальных инструментов. В радиотехнике гетеродинный приём (см. Гетеродин) называется «приёмом на Биения». Суть его заключается в том, что если 2 гармонических колебания подать на нелинейный элемент - детектор, то получается гармоническое колебание с разностной частотой W. Т. к. разностная частота много ниже частоты принимаемых колебаний, то при некоторых соотношениях частот она может восприниматься на слух.

 Определение частоты тона Биения между измеряемым и эталонным колебанием - один из наиболее точных методов сравнения измеряемой величины с эталлонной, широко применяемый на практике. С помощью Биения можно обнаружить чрезвычайно малые разности частот; поэтому «метод Биения» применяют в разнообразных приборах для измерения частот, ёмкости, индуктивности и т.д.

12. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лисса-жу.Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то                     Где ex и eу — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.В случае колеблющейся частицы величины,               

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t. Из первого уравнения следует, что (3) Соответственно       (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы:Подставим вместо cos щt и sinщt их значения (3) и (4):

Преобразуем это уравнение           (5) Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б.Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:Отсюда получается уравнение прямой: 

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной   (рис. 1 а).2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение   (5)  имеет вид

Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой

   (рис. 1 б)

                                                                       Рис.1

3. При  уравнение (5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность.Случаи и  отличаются направлением движения по эллипсу или окружности. Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:,    (знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. 

Фигура Лиссажу для отношения   частот 1:2 и разности фаз р/2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2

13. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Затухающие колебания и их характеристики. Амплитуда и частота затухающих колебаний. Коэффициет затухания, логарифмический декремент затухания, добротность.

Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.

где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ 

Или 

Перепишем это уравнение в следующем виде:и обозначим:где  представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда 

Будем искать решение уравнения (7.19) в виде где U - некоторая функция от t.Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение  тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция 

Таким образом, в случае малого сопротивления среды  , решением уравнения (7.19) будет функция 

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину  называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину  обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. ТогдаоткудаСледовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.

Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз

14.  Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .
Вынужденные колебания
Колебания, возникающие в какой-либо системе под действием переменной внешней силы (например, колебания мембраны телефона под действием переменного магнитного поля, колебания механической конструкции под действием переменной нагрузки и т.д.). Характер В. к. определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой системы. В начале действия периодической внешней силы характер В. к. изменяется со временем (в частности, В. к. не являются периодическими), и лишь по прошествии некоторого времени в системе устанавливаются периодические В. к. с периодом, равным периоду внешней силы (установившиеся В. к.). Установление В. к. в колебательной системе происходит тембыстрее, чем больше Затухание колебаний в этой системе.
В частности, в линейных колебательных системах (См. Колебательные системы) при включении внешней силы в системе одновременно возникают свободные (или собственные) колебания и В. к., причём амплитуды этих колебаний в начальный момент равны, а фазы противоположны (рис.). После постепенного затухания свободных колебаний в системе остаются только установившиеся В. к.
Амплитуда В. к. определяется амплитудой действующей силы и затуханием в системе. Если затухание мало, то амплитуда В. к. существенно зависит от соотношения между частотой действующей силы и частотой собственных колебаний системы. При приближении частоты внешней силы к собственной частоте системы амплитуда В. к. резко возрастает — наступает Резонанс. В нелинейных системах (См. Нелинейные системы) разделение на свободные и В. к. возможно не всегда.
Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебания являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити. Амплитуда собственных колебаний в отличие от вынужденных колебаний определяется только этой энергией, а их частота - свойствами самой системы. Вследствие рассеяния энергии собственные колебания всегда являются затухающими колебаниями. Пример собственные колебания - звучание колокола, гонга, струны рояля.

Будем рассматривать зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты ω. Будем рассматривать механические и электромагнитные колебания одновременно, при этом называя колеблющуюся величину либо смещением (х) тела, испытавающего колебания, из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы (8) предыдущего раздела следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту ωrez , — частоту, при которой амплитуда А смещения (заряда) будет максимальна, — нужно найти максимум функции (8) предыдущего раздела, или, что равносильно, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав выражение под корнем по ω и приравняв его нулю, получим условие, из которого найдем ωrez :



Это равенство верно при, у которых только выражение со знаком плюс имеет физический смысл. Значит, резонансная частота

(1)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При ω02 >> δ2 значение ωrez практически равно собственной частотой ω0 колебательной системы. Подставляя (1) в формулу (8) предыдущего раздела, найдем

(2)

На рис. 1 приведены зависимости амплитуды вынужденных колебаний от часто¬ты при различных значениях δ. Из (1) и (2) следует, что чем меньше δ, тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Если ω→0, то все кривые достигают одного в того же, не равного нулю, предельного значения x0/ω02 , которое называется статическим отклонением. В случае механических колебаний x0/ω02 = F0/(mω02) , в случае электромагнитных – Um/(Lω02). Если ω&rarr∞, то все кривые асимптотически стремятся к нулю. Приведенное множество кривых называется резонансными кривыми.

Рис.1

Из формулы (2) следует, что при малом затухании (ω02 >> δ2) резонансная амплитуда смещения (заряда)



где Q — добротность колебательной системы, x0/ω02 - рассмотренное выше статическое отклонение. Значит, добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше Аrez.

15. Переменный электрический ток как вынужденные колебания. Условие
квазистационарности. Закон Ома для переменного тока.

Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие от собственных колебаний в электрических цепях, являются незатухающими. Внешний источник периодического воздействия обеспечивает приток энергии к системе и не дает колебаниям затухать, несмотря на наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай, когда внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω, включен в электрическую цепь, способную совершать собственные свободные колебания на некоторой частоте ω0.

Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

Для установления вынужденных стационарных колебаний после включения в цепь внешнего источника необходимо некоторое время Δt. Это время по порядку величины равно времени τ затухания свободных колебаний в цепи.

Электрические цепи, в которых происходят установившиеся вынужденные колебания под действием периодического источника тока, называются цепями переменного тока.

Рассмотрим последовательный колебательный контур, то есть RLC-цепь, в которую включен источник тока, напряжение которого изменяется по периодическому закону (рис. 2.3.1): 

e (t) = 0 cos ωt,

где 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Рисунок 2.3.1. Вынужденные колебания в контуре

Предполагается, что для электрической цепи, изображенной на рис. 2.3.1, выполнено условие Ошибка! Недопустимый объект гиперссылки.. Поэтому для мгновенных значений токов и напряжений можно записать закон Ома: 

Величина  – это ЭДС самоиндукции катушки, перенесенная с изменением знака из правой части уравнения в левую. Эту величину принято называть напряжением на катушке индуктивности.

16. Мгновенная и средняя мощность, выделяемая в цепи переменного тока.
Коэффициент мощности.

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где U(t)=Umcoswt, I(t)=Imcos(wt – j) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos(wt – j), получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что ácos2 w tñ= 1/2, ásin w t cos w tñ = 0, получим

 (152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что Um сos j = RIm. Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток.

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно запасать в виде

 (152.2)

где множитель соs j называется коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cosj =1 и P=IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R=0), то cosj=0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cosj имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соsj, наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

Коэффициентом мощности или cos φ электрической сети называется отношение активной мощности к полной мощности нагрузки расчетного участка.

cos φ = P/S, где:

•  cos φ – коэффициент мощности;
•  Р - активная мощность Вт;
•  S - полная мощность ВА;

Коэффициент мощности можно определить как расчетным путем, так и измерить специальными приборами. Только в том случае, когда нагрузка имеет исключительно активный характер, cos φ равен единице. В основном же, активная мощность меньше полной и поэтому коэффициент мощности меньше единицы.

Следует учитывать, что низкий коэффициент мощности потребителя приводит:

•  к необходимости увеличения полной мощности трансформаторов и электрических станций, а также к увеличению сечения питающих линий электропередач;
•  к понижению коэффициента полезного действия вырабатывающих и трансформирующих элементов цепи;
•  к увеличению потерь мощности и напряжения в проводах. При одних и тех же значениях мощности и напряжения уменьшение коэффициента мощности сопровождается увеличением тока в проводах, вследствие чего возрастают потери на нагрев, что, в свою очередь, приводит к падению напряжения в сети;

Чем меньше коэффициент мощности сети, тем менее загружена сеть активной мощностью и тем меньше коэффициент полезного действия использования сети. В связи с этим необходимо, чтобы как можно большую часть в полной мощности составляла именно активная мощность, а не реактивная, в этом случае коэффициент мощности будет ближе к единице.

17. Волны в упругой среде. Основные характеристики волн (частота, длина
волны, фазовая скорость, волновое число). Уравнения плоской и
сферической синусоидальных волн.

 Под  волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без переноса вещества.

Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

1.     Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы.

2.     Конечная скорость всех волновых процессов.

3.     Независимость волновых процессов друг от друга. (В этой комнате существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.)

4.     Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и тем же математическим аппаратом.

Длина волны – расстояние между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна .

Волновое число – число, которое показывает какое количество длин волн укладывается в отрезок .

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обозначается греческой буквой λ. Это одна из основных характеристик колебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.). Величина , обратная длине волны, называется волновым числом и имеет смысл пространственной частоты.

Получить соотношение, связывающее длину волны с фазовой скоростью (c) и частотой(f) можно из определения. Длина волны соответствует пространственному периоду волны, то есть расстоянию, которое точка с постоянной фазой проходит за время, равное периоду колебаний T, поэтому

Волнам де Бройля также соответствует определенная длина волны. Частице с энергией Е и импульсом p, соответствуют:

частота: 

длина волны: ,

где h — постоянная Планка.

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:

= (х, у, z, t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что  описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние λ, колеблются одинаковым образом.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу. В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины s, характеризующие колебательные движение среды, зависят только от времени и координаты х точки М среды. Колебания происходят по закону s=f(t), но сдвинуты во времени на x\v. Поэтому ур-ие плоской волны имеет вид: s=f(t-x\v). Синусоидальная волна:

s=Asin(t-x\v+0). A=const – амплитуда колебаний (амплит. волны). =2\T.

Расстояние =vT – длина волны. k – волновое число =2\=2\(vT)=\v.

Волна наз. сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрическмх сфер. Центр этих сфер наз. центром волны. Ур-ие расходящейся сф. волны: s=(r)f(t-r\v), где r- расстояние от центра волны до точки М среды. В случае синусоидальной сферической волны: s=A(r)sin(t-kr+0), где A(r) – амплитуда волны, 0 – начальная фаза колебаний в центре волны, t-kr+0 – фаза сферической волны.

Стоячая волна – волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются на встречу друг другу и имеют одинаковые частоты и и амплитуды, а в случае поперечных волн еще и одинаковую поляризацию. Плоская синусоид. стоячая волна имеет вид: s=s1+s2=2Acos(kx+\2)sin(t+\2). Амплитуда стоячей волны

Aст=2A|cos(kx+\2)|. При Аст=0 точки наз. узлами стоячей волны, а точки в которых Аст максимальна (2А) – пучности стоячей волны. ст=\2 – длина ст. волны.

18.  Волновое уравнение. Фазовая скорость распространения упругих волн в различных средах.

Рассмотрим волновые уравнения, описывающие различные физические среды. Например, распространение звука в среде описывается уравнениемгде функция ¦ - описывающая поведение среды (воздуха) - скорость звукаДалее, если плоская световая волна распространяется вдоль оси x и поляризована так, что электрическое поле E направлено по оси y, то имеемгде c - скорость света.Уравнение (4.2) является следствием уравнения Максвелла. Уравнения (4.1.), (4.2.) согласно современному представлению теоретической физики, являются уравнением одномерных волн. Для их вывода используется векторная интерпретация точечного вихря. Уравнения содержат временную координату. Эти два условия говорят о том, что в пространстве можно получить решение непосредственно из его физической сущности.Так, решением одномерного волнового уравненияв действительных координатах является функция

,где представляют жесткое перемещение вдоль оси x В пространстве векторная операция точечного вихря определяет функцию от комплекса , где ,как функцию двух действительных функций от двух действительных переменныхВ соответствии с определением производной от этой функции по формуле (1.26.) будем иметь Откуда, приравняв комплексные части получим пространственный ротор. В пространстве имеем два вектора, имеющих начало в окрестности e -туннеля. Вектора лежатв двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что образуется крутящий момент (рис. 43).Из формулы (4.3) имеем систему уравнений, дающих волновое уравнение..Таким образом, решением волнового уравнения является функция и решение принадлежит четырехмерному пространству, а не плоскости, как считалось до настоящего времени.Комплексные части аналитических функций, определенных в пространстве , являются решением волнового уравнения.

уравнение вида , где  – функция координат и времени,  и  константы, называется волновым уравнением.колебания частиц среды, длиной волны, фазовой и групповой скоростями, а также законом распределения смещений и напряжений по фронту волны. Особенность У. в. состоит в том, что их фазовая и групповая скорости не зависят от амплитуды и геометрии волны (плоская, сферическая, цилиндрическая волны). Упругие волны, упругие возмущения, распространяющиеся в твёрдой, жидкой и газообразной средах. Например, волны, возникающие в земной коре при землетрясениях, звуковые и ультразвуковые волны в жидкостях и газах и др. При распространении У. в. происходит перенос энергии упругой деформации в отсутствии потока вещества, который имеет место только в особых случаях, например при акустическом ветре. Всякая гармоническая У. в. характеризуется амплитудой и частотой колебания частиц среды, длиной волны, фазовой и групповой скоростями, а также законом распределения смещений и напряжений по фронту волны. Особенность У. в. состоит в том, что их фазовая и групповая скорости не зависят от амплитуды и геометрии волны (плоская, сферическая, цилиндрическая волны). В жидкостях и газах, которые обладают упругостью объёма, но не обладают упругостью формы, могут распространяться лишь продольные волны разрежения — сжатия, где колебания частиц среды происходят в направлении её распространения. Фазовая скорость равна  , где К — модуль всестороннего сжатия, r — плотность среды. Пример таких У. в. — звуковые волны (см. Звук).В однородной изотропной бесконечно протяжённой твёрдой среде могут распространяться У. в, только двух типов — продольные и сдвиговые. В продольных движение частиц параллельно направлению распространения волны, а деформация представляет собой комбинацию всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига. В сдвиговых волнах движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, а деформация является чистым сдвигом. Фазовая скорость продольных волн  , сдвиговых —  (G — модуль сдвига). На границе твёрдого полупространства с вакуумом, жидкостью или газом могут распространяться поверхностные Рэлея волны, являющиеся комбинацией неоднородных продольных и сдвиговых волн, амплитуды которых экспоненциально убывают при удалении от границы.

19.Энергия упругих волн. Вектор Умова.Пусть в некой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна ( = a cos ( (t - kx + ( )Выделим в среде элементарный размер ?V, так малый, чтоб скорость движения и деформацию во всех точках этого размера можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и . Выделенный нами размер владеет кинетической энергией(??V – масса размера, – его скорость).Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый размер владеет также возможной энергией упругой деформации(? = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды).Заменим в согласовании с (5.7) модуль Юнга через ?v2 (? – плотность среды, v – фазовая скорость волны). Тогда выражение для возможной энергии размера ?V воспримет вид Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию Разделив эту энергию на размер ?V, в котором она содержится, получим плотность энергии Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2v2 =?2, получим  
В случае поперечной волны для плотности энергии выходит такое же выражение.Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в различных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии меняется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно Плотность энергии (6.5) и её среднее значение (6.6) пропорциональны плотности среды ?, квадрату частоты ? и квадрату амплитуды волны а. схожая зависимость имеет место не лишь для незатухающей плоскости волны, но и для остальных видов волн (плоской затухающей, сферической и т. Д.). Итак, среда, в которой распространяется волна, владеет дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в разные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, именуется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то сгусток энергии ? равен сгусток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. Е. Совпадает с размерностью мощности. В согласовании с этим ? измеряется в ваттах, эрг/с и т. П.сгусток энергии в различных точках среды может быть различной интенсивности. Для свойства течения энергии в различных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна сгустку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время ?t энергия ?W. Тогда плотность потока энергии равна(см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) Будет перенесена за время ?t энергия ?W, заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой v?t (v
– фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра довольно малы (за счет малости и ?t) для того, чтоб плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ?W можно отыскать как произведение плотности энергии w на размер цилиндра, равный v?t:Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плотности потока энергии:Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать j = wv Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор был в первый раз введен в рассмотрение выдающимся российским физиком Н. А.
Умовым и именуется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в различных точках про-странства, а в данной точке меняется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно (см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны хоть какого вида (сферической, затухающей и т. Д.).Отметим, что, когда молвят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.Зная j во всех точках случайной поверхности S, можно вычислить сгусток энергии через эту поверхность. С данной целью разобьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 Косом цилиндре. Размер этого цилиндра равен dV = v dt dS cos? . В нем содержится энергия dW = w dV = w v dtdS cos ? (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где расположена площадка dS). Приняв во внимание, что w v dS cos ? = j dS cos ? = j dS
(dS = n dS; см. Рис. 6.2), Можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока энергии d? Через площадку dS выходит формула
(ср. С формулой (11.5)). Полный сгусток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12):В согласовании с (11.7) можно сказать, что сгусток энергии равен сгустку вектора j через поверхность S.Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение ?:Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каждой точке данной поверхности векторы j и dS совпадают по направлению. Не считая того, модуль вектора j для всех точек поверхности одинаков. Следовательно, (r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11). таковым образом,
(ar – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний сгусток энергии через сферу хоть какого радиуса обязан иметь однообразное значение, т. Е. Обязано выполняться условие 
Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. Формулу (5.10)).
Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с расстоянием по закону a = = a0 e-?x (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока энергии (т. Е. Интенсивность волны) убывает по тут ( = 2? – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Просто сообразить, что величина, обратная (, равна расстоянию, на котором интенсивность волны миниатюризируется в е раз. УМОВА ВЕКТОР, вектор плотности потока энергии физ. поля; численно равен энергии, переносимой в ед. времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии в данной точке. 

Вектор плотности потока энергии:    называется Вектором Умова, так как впервые был введен Н.А. Умовым(1874). Вектор направлен в сторону переноса Энергии волной, а по модулю равен отношению потока энергии    сквозь малую площадку dS  к площади    проекции этой площадки на плоскость,  перпендикулярную  направлению переноса энергии:

20. Суперпозиция волн. Стоячие волны. Узлы и пучности стоячей волны.

Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.

        При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.

        Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

        Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течении периода) её изменения малы (что имеет место при малых dk и dw), волна ещё похожа на синусоиду; её иногда называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что мы в теории колебаний назвали биениями; однако здесь, в отличие от маятника, биения происходят не только во времени, но и в пространстве.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении от преград.

      Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях (начальная фаза ):

Сложим уравнения и преобразуем по формуле суммы косинусов (5.4.3):

      Т.к., то можно записать:

   

   Учитывая, что , получим  уравнение стоячей волны:

      В выражении для фазы не входит координата, поэтому можно записать:

      где суммарная амплитуда .

      В точках, где координаты удовлетворяют условию      (n = 1, 2, 3, …), , суммарная амплитуда равна максимальному значению: – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

      В точках, координаты которых удовлетворяют условию   ,  и суммарная амплитуда колебаний равна нулю , – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

      Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают.

      Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (рис. 5.5, а), и узел – если более плотная (рис. 5.5, б).

      Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

21. Суперпозиция волн. Волновой пакет. Групповая скорость и ее связь с
фазовой скоростью. Дисперсия волн.

Суперпозиция волн

        Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде.

        При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной.

        Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

       

Волновой пакет — определённая совокупность волн, обладающих разными частотами, которые описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае ограниченную во времени и пространстве. Так, в квантовой механике описание частицы в виде волновых пакетов способствовало принятию статистической интерпретации квадрата модуля волновой функции.[1]

Произвольная отдельная волна  как функция радиус-вектора  и времени  описывается выражением

где  — мнимая единица,  — энергия, переносимая волной,  — редуцированная постоянная Планка,  — импульс, переносимый волной,  — её «круговая» частота (обычная частота, умноженная на ),  — волновое число (определяемое как ; здесь  скорость света).

Связь между групповой и фазовой скоростями волны имеет вид:

                                                        .                      

         Для всех прозрачных бесцветных сред с увеличением длины λ волны в видимой части спектра показатель преломления n= уменьшается, а скорость v увеличивается. В этом случае дисперсия называется нормальной.

Диспе́рсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. Дисперсия волн приводит к тому, что волновое возмущение произвольной негармонической формы претерпевает изменения (диспергирует) по мере его распространения.

Иногда под дисперсией волны понимают процесс разложения широкополосного сигнала в спектр, например, при помощи дифракционных решёток.

22.  Волновое уравнение для электромагнитного поля. Электромагнитные волны и их свойства.Количество энергии излученной волны за некоторый промежуток времени зависит от скорости изменения тока в контуре. При постоянном токе и постоянных зарядах излучение отсутствует. Любой контур, в котором протекает переменный ток, излучает волны. Однако при промышленной частоте f = 50 гц количество энергии излученной волны ничтожно и при расчетах его не принимают во внимание. Излучение незначительно и в диапазоне звуковых частот. Поэтому в радиотехнике используются частоты выше 0,1 Мгц.Не останавливаясь на решении основных уравнений электромагнитного поля в диэлектрике, приведем лишь уравнение Даламбера для векторного потенциала А:где δ пр = γЕ - плотность тока проводимости; δ пер = ρM - плотность тока переноса.После преобразования (3-4) получим скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Даламбера:

При ∂A/∂t = 0 и ∂U/∂t = 0 это уравнение переходит в известное уравнение Пуассона. При ρ = 0, δ пер = 0 и δ пр = 0 уравнения (3-4) и (3-5) будут иметь следующий вид:

В таком виде (3-6) и (3-7) носят название волновых уравнений. Электромагнитные возмущения распространяются от центра возмущения с конечной скоростью v, и чем дальше от центра возмущения, тем больше запаздывает их действие:

и аналогично для А у и А z .Скалярный U и векторный A потенциалы, выражаемые формулами (3-8) и (3-9), называют электродинамическими запаздывающими потенциалами.Электромагнитные волны в изоляции распространяются без затухания, а в металлах они затухают настолько быстро, что даже тонкие слои металла оказываются непроходимыми для волн. Объясняется это тем, что энергия волны переходит по мере ее распространения в металле в тепло.Электромагни́тное излуче́ние (электромагнитные волны) — распространяющееся в пространстве возмущение электромагнитного поля (т.е. иначе говоря - взаимодействующих друг с другом электрического и магнитного полей).Среди электромагнитных полей вообще, порожденных электрическими зарядами и их движением, принято относить собственно к излучению ту часть переменных электромагнитных полей, которая способна распространяться наиболее далеко от своих источников - движущихся зарядов, затухая наиболее медленно с расстоянием.К электромагнитному излучению относятся радиоволны (начиная со сверхдлинных), инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое, рентгеновское и жесткое (гамма-)излучение (см. ниже, см. также рисунок).Электромагнитное излучение способно распространяться в вакууме (пространстве, свободном от вещества), но в в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя при этом свое поведение).Отражение волн. Расположим рупоры генератора и приемника под некоторым углом друг к другу. Приемник отметит отсутствие сигнала. Поместим под рупорами металлическую пластину. Приемник отметит наличие сигнала.Объяснение результатов опыта. Электромагнитная волна, распространяясь в диэлектрической среде (воздухе), отразилась от поверхности проводящей среды (металлической пластины).Преломление волн. Рупоры генератора и приемника расположим напротив друг друга, немного приподняв один из них. При включении генератора приемник отметит отсутствие сигнала. Поместим между рупорами куб из парафина или специальной пластмассы. Приемник отметит наличие сигнала.Объяснение результатов опыта. На границах раздела двух диэлектрических сред (воздуха и парафина) наблюдается преломление электромагнитных волн.Дифракция волн. Расположим рупоры напротив друг друга. При включении генератора приемник отметит наличие сигнала. Поместим вблизи приемного рупора металлический диск. Приемник отметит отсутствие сигнала. Передвинем диск на середину расстояния между рупорами. Приемник отметит наличие сигнала.Объяснение результатов опыта. Если расстояние между диском и приемным рупором мало, волна, хотя и огибает диск, но не попадает в рупор. При отодвигании диска волна, огибая его, смыкается и попадает в приемный рупор. Интерференция волн. Направим излучающий рупор на два металлических листа, расположенные рядом друг с другом под углом, чуть меньшим 180°. Передвигая приемный рупор вокруг листов, мы обнаружим последовательное усиление и ослабление мощности принимаемой волны.

23. Энергия электромагнитных волн. Плотность потока электромагнитной энергии - вектор Пойнтинга.

Плотность энергии электромагнитного поля равна сумме плотностей для электрического и магнитного полей (при отсутствии сегнетоэлектриков и ферромагнетиков):

.

Учитывая (2), получим, что для каждого момента времени, тогда

.

Пойнтинг ввел понятие вектора плотности потока энергии:

Поток Ф электромагнитной энергии равен

.

Давление и импульс

Давление электромагнитной волны на тело, на которое она падает возникает в результате воздействия магнитного поля волны на электрические токи, возбуждаемые электрическим полей той же волны.

Пусть электромагнитная волна падает на поглощающее тело (среду), т.е. в нем возникает джоулево тепло с объемной плотностью σЕ2, т.е.  и поглощающая среда обладает проводимостью. В такой среде электрическое поле волны возбуждает электрический ток с плотностью . Тогда на единицу объема среды действует амперова сила  в направлении волны. Эта сила и вызывает давление электромагнитной волны. Если нет поглощения, σ = 0 и давления нет. При полном отражении волны давление возрастает вдвое.

Давление равно:

Плотность импульса равна , что аналогично выражению  для импульса фотона.

24. Излучение диполя. Волновая зона. Полярная диаграмма направленности

Испускание электромагнитных волн происходит при ускоренном движении электрических зарядов. Простейшей моделью источника электромагнитных волн является электрический диполь, дипольный момент которого  гармонически изменяется со временем. Такой элементарный диполь называют диполем Герца. В радиотехнике диполь Герца эквивалентен небольшой антенне, размер которой много меньше длины волны. Примером такого диполя может служить система, образованная неподвижным точечным зарядом  и колеблющимся около него точечным зарядом . Такой «колеблющийся» диполь называют осциллятором, или элементарным вибратором. Осцилляторами широко пользуются в физике моделирования и расчета полей излучения реальных систем. Дипольный момент этой системы изменяется со временем по закону

,

где модуль вектора  – амплитуда колебаний заряда .

Изучение такой излучающей системы имеет большое значение в связи с тем, что многие вопросы взаимодействия излучения с веществом могут быть объяснены классически, исходя из представления об атомах как о системах зарядов, в которых содержатся электроны, способные совершать гармонические колебания около положения равновесия. Кроме того, всякую реальную излучательную систему – антенну, по которой течет переменный ток, – можно мысленно разложить на элементы тока, каждый из которых излучает как диполь. Используя принцип суперпозиции для вектора напряженности электрического поля и вектора индукции магнитного поля, можно получить электромагнитное поле всей излучающей системы.

Рассмотрим излучение диполя, размеры которого малы по сравнению с длиной волны . Будем считать, что диполь неподвижен. Начало координат поместим в точку нахождения диполя. Если бы дипольный момент был постоянным, то вектор напряженности электрического поля определялся бы формулой, полученной в электростатике:

.

На малых расстояниях от диполя эта формула верна и в тех случаях, когда дипольный момент  меняется со временем. Но на больших расстояниях эта формула не может быть верной, так как на прохождение таких расстояний электромагнитному возмущению, распространяющемуся со скоростью , требуется конечное время , в течение которого дипольный момент  может значительно измениться.

Область электромагнитного поля излучающего вибратора, в которой амплитуды электрического Е и магнитного Н векторов убывают обратно пропорционально расстоянию от вибратора. Это наступает на расстояниях г, больших по сравнению с длиной излучаемой волны А (практически уже при г > ЗА). Электромагнитная волна, распространяющаяся от вибратора (см. Волны электромагнитные), принимает в В. з. сферич. форму.

На поверхности сферич. волны, в центре которой перпендикулярно к экваториальной плоскости находится вибратор, электрическ. вектор Е всюду направлен по меридианам, а магнитный Н совпадает с параллелями. Е, Н и направление распространения г образуют правую систему прямоугольных координат. По абсолютной величине для пустоты (практически и для воздуха):

где #—полюсное расстояние (угол широты), 1--радиус сферы, с —скорость волны

в вакууме, a f—произвольная функция, имеющая первую и вторую производные. Эта формула при синусоидальном распределении тока по вибратору (диполь длиной I) дает в практических единицах следующее

выражение для амплитуды электрического поля i?(в V/м) в экваториальной плоскости:

25-26. Свет как электромагнитная волна.Принцип суперпозиции волн. Интерференция волн. Условия наблюдения интерференционных максимумов и минимумов. Временная и пространственная когерентность

Световая волна обладает КВД (корпускулярно-волновой дуализм): свет как э/м волна и как поток частиц. Первое рассматривается в волновой оптике.

Из Е и Н ( и ) основное воздействие (фотохимическое, фотоэлектрическое, физиологическое) оказывает световой вектор.

.

и с А/r – амплитудой для сферической волны.

Введем абсолютный показатель преломления среды ; () (2)

Откуда . (3) Для прозрачных веществ, как правило, , тогда

(2) и (3) дают связь оптических свойств с электрическими и магнитными. n характеризует оптическую плотность вещества.

Относительный показатель преломления . Диапазон видимого света в вакууме: (3,8-7,6)*10-7 м = 0,38-0,76 мкм

В среде  Частота определяется как и имеет порядок около 1015 Гц.

Интенсивность света:

Еще одна полезная формула I ~A2 .

Интерференция световых волн

Пусть в одном направлении распространяются 2 световые волны:

и

Тогда ,

где .

Если , то волны являются когерентными. Когерентными называются волны, у которых  и постоянна во времени разность фаз.

Для некогерентных волн δ непрерывно изменяется и ее среднее по времени значение = 0, поэтому

или .

Для когерентных волн (1)

Явление перераспределения светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы интенсивности, а в других - минимумы, называется интерференцией.

Пример: Пусть . Из (1) следует: .Все естественные источники света некогерентны. Объяснение: Излучение тел состоит из волн, испускаемых многими атомами. Каждый атом излучает цуг волн продолжительностью  с и протяженностью  = 3 (м). Через τ излучение одной группы атомов сменяется излучением другой группы. Фазы разных цугов даже от одних атомов между собой не связаны, т.е. меняются случайным образом, так что при усреднении .

Как же в таком случае можно вообще наблюдать интерференцию? Проблема решается просто! Нужно путем отражений или преломлений разделить одну волны на 2 или более волн, которые после прохождения разных оптических длин путей следует вновь наложить друг на друга. Тогда наблюдается интерференция.

Разделим в т.О (рис.2) волну на две когерентные. В т.О фаза равна ,

в т. Р фаза 1-й волны: , a

2-й волны: . Тогда разность фаз двух колебаний в точке наблюдения Р будет равна:

.

Заменим на , тогда получим:

, (2)

где  (3) - оптическая разность хода.

Если  (4)

где , то δ является кратной 2π и колебания, возбуждаемые в т.Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой и усиливают друг друга , т.е. (4) выражает условие максимума..

Условие минимума:  (5)

при , т.е. на разности хода укладывается нечетное число полуволн в вакууме и колебания в т.Р обеих волн находятся в противофазе.

Под когерентностью подразумевается согласованное протекание колебательных или волновых процессов. При этом степень согласованности может быть различной.

Различают временную и пространственную когерентность.

Временная когерентность определяется разбросом частот Δω или разбросом значений модуля волнового вектора k, так как .

Пространственная же связана с разбросом направлений вектора .

При рассмотрении временной когерентности большую роль играет время срабатывания прибора tприб. Если за tприб cosδ принимает все значения от -1 до +1, то ; если за tприб , то прибор фиксирует интерференцию и волны когерентны. Вывод: Когерентность – понятие относительное. Волны, когерентные при наблюдении прибором с малым tприб , могут быть некогерентными при приборе с большим tприб.

Для характеристики когерентных свойств волн вводится понятие времени когерентности . Это – время, за которое изменение фазы волны достигает значения ~π. Теперь можно ввести

критерий когерентности: tприб «. (6)

Длина когерентности(длина цуга) - . (7)

Это – расстояние, на котором изменение фазы волны достигает значения ~π.

Для получения интерференционной картины путем деления световой волны на две необходимо, чтобы . Это требование ограничивает наблюдаемое число интерференционных полос. Расчеты дают следующие соотношения:

~  ~ . (8) ~ . (9)

При рассмотрении пространственной когерентности критерий записывается в виде: , (10)

где φ - угловой размер источника, d – его линейный размер.

При смещении вдоль волновой поверхности, излучаемой источником, расстояние, на котором фаза меняется не более чем на π, называется длиной пространственной когерентности или радиусом когерентности:

~. (11)

Для солнечных лучей (φ ~ 0,01 рад, λ ~ 0,5 мкм. Тогда = 0,05 мм.

27 (А).  Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, интерференция в тонких пленках, кольца Ньютона.

Рассмотрим подробнее интерференцию в тонких пленках.

На рис. разность хода лучей 1 и 2 в точке С равна:

. (12)

Видно, что S1 = ВС; S2 = AO + OC;

КС = b* tgβ ; Тогда

и .

Подставим их в (12): .

Сделаем замену.

Получим .

Подставив последнее выражение в Δ, получим .

При отражении луча 1 в точке С от оптически более плотной среды фаза изменяется на π. Окончательное выражение для разности хода:

. (13)

Условия когерентности: Δ ‹ ℓ КОГ, т.е. , Или .

Тогда. (14)

Таким образом, отраженные волны будут когерентными только при выполнении условия (14), т.е. когда удвоенная толщина пластины меньше длины когерентности.

Опыт Юнга является первым интерференционным опытом, получившим объяснение на основе волновой теории. В опыте Юнга свет от источника проходит через две близко расположенные щели. Световые пучки, расширяясь из-за дифракции, падают на удаленный экран. В области перекрытия световых пучков возникают интерференционные полосы.

Если расстояние между щелями равно d, а расстояние от плоскости щелей до экрана равно L, то угол схождения лучей на экране ψ = d / L (при d << L). Угол ψ определяет ширину Δl интерференционных полос: Δl = λ / ψ = λL / d.

Измеряя ширину полос Δl, Юнг впервые определил длины волн световых лучей разного цвета.

Кольца Ньютона

Интерференционная картина, возникающая при отражении света от двух поверхностей воздушного зазора между плоской стеклянной пластинкой и наложенной на нее плоско-выпуклой линзой большого радиуса кривизны, называется кольцами Ньютона. Радиусы колец Ньютона зависят от длины волны λ падающего света и радиуса кривизны R выпуклой поверхности линзы. В центре картины всегда наблюдается темное пятно. Радиус rm m-го темного кольца равен

где r1 – радиус первого темного кольца. Измеряя на опыте радиусы темных колец можно определить радиус кривизны R поверхности линзы по известному значению длины волны λ.

27.Дифракция волн. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля.

Под дифракцией понимают явления, наблюдаемые при распространении света в среде с резкими неоднородностями. В частности, наблюдается огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.

Условие дифракции: d ~ λ.

Дифракция, как и интерференция, проявляется в перераспределении светового потока при наложении когерентных волн. Различие: при интерференции рассматривается конечное число источников света, при дифракции – непрерывно расположенные.

Схема наблюдения дифракции: источник - непрозрачная преграда - экран.

Два вида дифракции: Френеля для сферических волн, Фраунгофера – для плоских.

Принцип Гюйгенса-Френеля

Принцип Гюйгенса объясняет проникновение света в область тени, но не дает сведений об амплитуде волн. Согласно принципу Г-Ф учет амплитуд и фаз вторичных волн при их интерференции позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке.

От каждого участка dS волновой поверхности S в точку Р приходит колебание

(1)

и для всей поверхности S

(2)

К(φ) = 1 при φ = 0; К(φ) = 0 при φ = π/2.

Расчет по (2) –очень сложная задача, но при определенной симметрии по методу зон Френеля определение амплитуды сильно упрощается.

Суть метода: От точечного источника S распространяется сферическая волна. Волновые поверхности симметричны относительно SP. Волновую поверхность разобъем на равные по площади кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до т. Р отличались на λ/2. Тогда колебания в т. Р от 2-х соседних зон приходят в противофазе и, поскольку амплитуды от равных площадей волновой поверхности считаются одинаковыми (по Френелю), то при четном числе зон в т. Р будет максимум интенсивности (амплитуды), а при нечетном – максимум.

Метод зон Френеля позволил на основе волновой теории объяснить закон прямолинейного распространения света.

28. Дифракция на узкой щели и дифракционной решетке

 2. Дифракция Фраунгофера на щели

Если на оптической разности хода укладывается четное число зон Френеля, получим минимум:

, (9)

откуда  и . (10)

Интенсивность . (11)

Дифракционная решетка

Это – совокупность одинаковых щелей, отстоящих на одинаковом расстоянии друг от друга. Период(постоянная) решетки – расстояние между серединами соседних щелей.

Условие min для щели и решетки одинаковы: , k = 1,2,3…

Условие главных мах: (12)

Условие дополнительных min: (13)

где

Их число равно (N-1) в промежутках между соседними главными максимумами. принимает все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N…

Число главных мах равно. (14)

29. Свет естественный и поляризованный. Способы получения

поляризованного света. Законы Малюса и Брюстера.

Естественный свет (т.е. свет, испускаемый обычными световыми источниками) есть совокупность световых волн со всевозможными направлениями колебания вектора , перпендикулярными к лучу света, быстро и беспорядочно сменяющими друг друга.

Свет, направление колебаний в котором упорядочены каким-либо образом, называют поляризованным. Свет, в котором имеется единственное направление колебаний вектора (а, следовательно, и ) называют плоско поляризованным. Если конец вектора описывает эллипс - эллиптически поляризованным. В случае, если конец вектора описывает окружность, свет называется поляризованным по кругу.

Свет, в котором имеется преимущественное направление колебаний вектора , но при этом имеются и другие направления колебаний, называют частично поляризованным.

Одним из способов получения поляризованного света является его отражение и преломление на границе раздела двух изотропных диэлектриков. Пусть на границу раздела диэлектриков 1 и 2 падает естественный свет. Отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения, в преломленном луче - колебания, параллельные плоскости падения. Степень поляризации зависит от угла падения. При некотором угле падения, называемом углом Брюстера ( ), отраженный луч становится полностью поляризованным (плоско поляризованным).

Закон Малюса: Интенсивность света Iа, пропущенного анализатором, меняется в зависимости от угла , между плоскостью поляризации падающего на него линейно поляризованного света и плоскостью анализатора как

Iа = k Ip cos2,

где k – коэффициент прозрачности; Ip – интенсивность линейного поляризованного света, падающего на анализатор.

Закон Брюстера — закон оптики, выражающий связь показателя преломления с таким углом, при котором свет, отражённый от границы раздела, будет полностью поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, а преломлённый луч частично поляризуется в плоскости падения, причем поляризация преломленного луча достигает наибольшего значения. Соответствующий угол называется углом Брюстера.

30. Тепловое излучение, его свойства и основные характеристики: энергетическая светимость, спектральная плотность энергетической светимости.

Тепловое излучение — электромагнитное излучение со сплошным спектром, испускаемое веществом и возникающее за счёт его внутренней энергии (в отличие, например, от люминесценции, возникающей за счёт внешних источников энергии). В физике для корректного расчёта теплового излучения принята модель абсолютно чёрного тела, тепловое излучение которого описывается законом Стефана - Больцмана.

Тепловое излучение — один из трех элементарных видов переноса тепла (теплопроводность, конвекция), которое осуществляется при помощи электромагнитных волн.

Г. Кирхгоф доказал, что отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела и является для всех тел одной и той же функцией частоты(длины волны) и температуры:

Интенсивность ТИ характеризуется потоком энергии (Вт).

Поток энергии, испускаемый единицей поверхности в пределах телесного угла 2π, - энергетическая светимость R (излучательность или интегральная излучательная способность).

R=f(T,ω). Для малых dω поток dRω ~ dω, поэтому , где

rω – испускательная (излучательная) способность тела.

Энергетическая светимость тела R и испускательная способность тела r в интегральной форме связаны между собой соотношением

Энергия зависит от спектрального состава света. Если разложить поле на монохроматические составляющие (каждая с определенной длиной волны), то вся энергия некоторым образом распределится между ними

.

Спектральная плотность потока излучения - это функция, показывающая распределение энергии по спектру излучения:

Тогда общий суммарный поток для всех длин волн в диапазоне от до будет вычисляться как интеграл:

31. Законы теплового излучения. Понятие абсолютно черного тела.

Тепловое (температурное) излучение-Свечение тел, обусловленное нагреванием. Тепловое излучение равновесно. Если нагретые (излучающие) тела поместить в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой, то через некоторое время (в результате непрерывного обмена энергией между телами и излучением, заполняющим полость) наступит равновесие, т. е. каждое тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать.

Основные характеристики теплового излучения

Спектральная плотность энергетической светимости

rv,Т =  (Дж/м2) Энергия, излучаемая с единицы площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот единичной ширины в единицу времени.

Спектральная поглощательная способность . Показывает, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами от v до v + dv, поглощается телом.

Связь между RV,T R,T ,=,  (знак минус указывает, что  уменьшается с возрастанием v).

Энергетическая светимость тела

Суммирование производится по всем частотам (длинам волн).

Черное тело

Тело, способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты

Спектральная поглощательная способность

Черное тело AV,Т =1

Закон Кирхгофа

Формулировка закона Кирхгофа

 Отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно

является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры.

[rv т — универсальная функция Кирхгофа (спектральная плотность энергетической светимости черного тела)]

Энергетическая светимость тел

Энергетическая светимость тела

 Использовали закон Кирхгофа

Энергетическая светимость черного тела

 Re зависит только от температуры.

32. Проблема излучения абсолютно черного тела. Квантовая гипотеза

Квантовая гипотеза. Квантовая гипотеза Планка

Излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно т. е. определенными порциями (квантами), энергия которые определяется частотой v: е = hv.

Формула Планка для универсальной функции Кирхгофа В переменных v, T Формула блестяще согласуется с опытом по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во  всем интервале частот (длин волн) и температур. В переменных Т [h — постоянная Планка; V — частота излучения;— длина волны излучения в вакууме; k — постоянная Больцмана; с — скорость света в вакууме; Т—термодинамическая температура

33. Фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна.

Внешний фотоэффект. Испускание электронов веществом (металлом, полупроводником, диэлектриком) под действием электромагнитного излучения.

Внутренний фотоэффект. Вызываемые электромагнитным изучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или к возникновению ЭДС.

Вентильный фотоэффект. Возникновение ЭДС (фото-ЭДС) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект — разновидность внутреннего фотоэффекта.

Законы внешнего фотоэффекта

Первый закон (Столетова)

При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности Ее катода).

Второй закон

Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой v.

Третий закон

Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота v0 света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

Уравнение Эйнштейна

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии

 Уравнение Эйнштейна — закон сохранения энергии при фотоэффекте.

Объяснение законов фотоэффекта на основе квантовой теории (на основе волновой теории не объясняется)

Первый закон фотоэффекта

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интенсивности света.

Второй закон фотоэффекта

Из уравнения Эйнштейна (hv = А + Ттах) следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона линейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни А, ни v от интенсивности света не зависят.

Третий закон фотоэффекта

С уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного металла А = const), поэтому при некоторой достаточно малой частоте v = v0 кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится.

Безынерционность фотоэффекта

Испускание фотоэлектронов происходит сразу, как только на фотокатод падает излучение с v > v0.

«Красная граница» фотоэффекта

Зависит лишь от работы выхода электрона, т. е. от химической природы v0 = т вещества и состояния его поверхности.[А — работа выхода электрона; h — постоянная Планка]

34-35. Фотоны. Энергия и импульс световых квантов. Эффект Комптона и его элементарная теория.

ФОТОНЫ.Кванты электромагнитного излучения. Фотоны движутся со скоростью света, они не существуют в состоянии покоя, их масса покоя равна нулю

Основные характеристики фотонов

Энергия Эти формулы связывают корпускулярные характеристики фотона- энергию,

E=hv=hc/ импульс — с волновой характеристикой - излучения- частотой (длиной волны).

p = hv/с = h/ Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения корпускулярного (квантового) и волнового (электромагнитного) т.е. необходимо говорить о двойственной корпускулярно-волновой природе света (о корпускулярно-волновом дуализме)

[h = 6,63 1034 Дж /с — постоянная Планка; с =3 108 м/с — скорость распространения света в вакууме; v — частота излучения; — длина волны в вакууме]

ЭФФЕКТ КОМПТОНА

Упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и -излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны.

Комптоновский сдвиг  Разность не зависит от длины волны  падающего излучения и от природы рассеивающего вещества, а зависит только от угла  между направлениями рассеянного и первичного излучений

[-длина волны рассеянного излучения;- длина волны падающего излучения;

комптоновская длина волны электрона;

Интерпретация эффекта Комптона.

Волновая теория. Эффект Комптона необъясним на основе волновых представлений. Согласно волновой теории, механизм рассеяния объясняется «раскачиванием» электронов электромагнитным полем падающей волны. В таком случае частота рассеянного излучения должна совпадать с частотой излучения падающего.

Квантовая теория. Эффект Комптона рассматривается как упругое рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне. Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть своей энергии и импульса и изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины волны рассеянного излучения. [р — импульс налетающего фотона; р' — импульс фотона, рассеянного под углом и; ре — импульс электрона отдачи]

Определение при эффекте Комптона

Из законов сохранения энергии и импульса (ре =р2 + р'-2pp'cos)(использовали теорему косинусов (см. рисунок) с учетом формул  ; ; ;  ;  получаем формулу для комптоновского сдвига.

36. Линейчатые спектры атомов. Теория атома водорода по Бору. Опыты

Франка и Герца.

Линейчатый спектр атома представляет собой совокупность большого числа линий, разбросанных по всему спектру без всякого видимого порядка. Однако внимательное изучение спектров показало, что расположение линий следует определенным закономерностям. Поскольку водород — наиболее простой атом, его спектральные серии наиболее изучены. Они хорошо подчиняются формуле Ридберга:

 где R = 109 677 см−1 — постоянная Ридберга

для водорода, n′ — основной уровень серии.

Постулаты Бора — основные допущения, сформулированные Нильсом Бором в 1913 году для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода и водородоподобных ионов (формула Бальмера-Ридберга) и квантового характера испускания и поглощения света. Бор исходил из планетарной модели атома Резерфорда.

1.Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определенная энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.

2.Излучение света происходит при переходе атома из стационарного состояния с большей энергией в стационарное состояние с меньшей энергией. Энергия излученного фотона равна разности энергий стационарных состояний.

Опыт Франка — Герца — опыт, явившийся экспериментальным доказательством дискретности внутренней энергии атома. Поставлен в 1913 Дж. Франком и Г. Герцем. Опыт показал,  что возбуждённые электронным ударом атомы Hg испускают фотон с энергией 4,9 эВ и возвращаются в основное состояние.

В 1925 г. Густав Герц и Джеймс Франк были награждены Нобелевской премией за открытие законов соударения электрона с атомом.

37. Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение. Универсальный характер корпускулярно-волнового дуализма.

Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц вещества. Гипотеза де Бройля и ее опытное обоснование.

Движение электрона или какой-либо другой частицы, обладающей массой покоя, связано с волновым процессом. Длина волны: =h/mv Стационарным являются лишь те орбиты, на которых укладывается целове число де Бройля. 2rn =n. Электроны подобно фотонам, имеют двойственную корпускулярно-волновую природу. Корпускулярно и волновые характеристики между собой постоянной Планка: =hv , =h/mv. Квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности обнаружить частицы в этой точке пространства. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Согласно Де Бойлю, с каждым микрообъектом связываются с одной стороны корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс р, а с другой – волновые характеристики – частота v длина волны . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие как и для фотонов: E=hv, p=h/ Любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля: =h/p. Представление о двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества углубляется еще тем, что на частицы вещества переносится связь между полной энергией частицы и частотой v волн де Бройля: =hv

38. Волновые свойства микрочастиц и соотношение неопределенностей Гейзенберга. Принцип неопределенности - фундаментальный принцип квантовой механики.

Квантовая механика раскрывает два основных свойства вещества: квантованность внутриатомных процессов и волновую природу частиц. Скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, так как она является максимальной скоростью передачи сигналов. Так как движущаяся частица обладает корпускулярно-волновым дуализмом, то одновременное точное определение координаты х и импульса рх невозможно. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Чем точнее определена координата, тем менее точно определен импульс, и наоборот.

39. Состояние микрочастицы в квантовой механике. Волновая функция и ее статистический смысл.

Законы квантовой механики определяют вероятность появления того или иного события. Физический смысл волновой функции: 2 =dW/dV.Условие нормировки -функции:  2 dV=1 Принцип классического детерминизма – по известному состоянию системы в начальный момент времени, полностью определяемому значениями координат и импульсов всех частиц системы, а также силами, приложенными к ней, можно абсолютно точно определить ее состояние. В любой последующий момент Состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть причина, а ее состояние в последующий момент – следствие.

40. Временное и стационарное уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера в квантовой механике не выводится, а постулируется:

Уравнение Шредингера связывает -функцию с массой микрочастицы, ее полной энергией и потенциальной энергией. Потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени. Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, то уравнение Шредингера упрощается и имеет вид:

-функция должна быть равна нулю на границах ямы: (0)=(l)=0.Целое число, которое определяет энергию частицы, называется главным квантовым числом. Принцип соответствия Бора: законы квантовой механики при большших значениях квантовых чисел переходят в законы классической механики

общее уравнение Шредингера имеет вид где ћ=h/(2), т—масса частицы, —оператор Лапласа  i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, (х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

уравнение Шредингера для стационарных состояний

41, 43. уравнения Шредингера. Решение уравнения Шредингера для случая частицы в бесконечно глубокой «потенциальной яме», энергетический спектр частицы в «потенциальной яме» Принцип соответствия Бора.

Уравнение Шредингера в квантовой механике не выводится, а постулируется:

Уравнение Шредингера связывает -функцию с массой микрочастицы, ее полной энергией и потенциальной энергией. Потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени. Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, то уравнение Шредингера упрощается и имеет вид:

-функция должна быть равна нулю на границах ямы: (0)=(l)=0.Целое число, которое определяет энергию частицы, называется главным квантовым числом. Принцип соответствия Бора: законы квантовой механики при большших значениях квантовых чисел переходят в законы классической механики

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. линейный гармонический осциллятор, «нулевая энергия».

На квантование энергии частицы влияет форма потенциальной ямы. Пусть частица массой m удерживается в определенной области пространства под действием силы F=-kx, т.е. совершает колебания. Потенциальная энергия этой частицы:U=kx2 /2=mw20 x2 /2. Уравнение Шредингера для этой частицы, являющейся линейным гармоническим осциллятором:

Наименьшая энергия E0=1/2hv0 которую может иметь гармонический осциллятор, называется нулевой энергией. Квантовая частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

44. Решение уравнения Шредингера для атома водорода. Квантовые числа. Принцип Паули. Боровская теория атома водорода. Постулаты Бора.

орбитальное квантовое число , характеризует абсолютную величину орбитального момента количества движения электрона ( = 0; 1; ...; ). магнитное квантовое число M1 характеризует величину проекции орбитального момента электрона на выбранное направление. спиновое квантовое число характеризует проекцию спинового момента электрона на ось и принимает значения Ms =1/2,-1/2. Квантовое число L характеризует общий орбитальный момент атома, который может быть определен по правилу векторного сложения моментов импульса отдельных электронов L=L.Квантовое число S - суммарный спиновый момент оболочки получается также по правилу суммирования спиновых моментов электрона. S=Si. Постулаты Бора: Электроны могут двигаться в атоме только по определенным орбитам, находясь на которых они, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают: Атом излучает или поглощает квант электромагнитной энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Спином электрона называют собственный момент импульса. Спиновое квантовое число: S=+- ½. В системе в одном и том же квантовом состоянии может находиться более одного фермиона. Частицы, имеющий спин, равный h=4=h/2 называют фермионами. Принцип Паули: в атоме каждый электрон обладает своим набором квантовых чисел, отличным от набора этих чисел для любого другого электрона.

Стационарное УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. Волновая ф-ия и ее стат.смысл. Квантование энергии

Наличие волновых свойств у микрочастиц не позволяет представить их как механические частицы, т.е. дробинки, уменьшенные до соответствующего размера. Возникла необходимость создания механики микрочастиц – механики, которая учитывала бы все свойства микрочастиц, в том числе и волновые. m d(c.2)x/dt(c.2)=Fx; Состояние микрочастицы в квантовой механике описывается волновой функцией, которая является функцией координаты времени и которая может быть найдена при решении основного уравнения квантовой механики. В общем случае для микрочастицы, движущейся в силовом поле, уравнение Шредингера имеет вид: (-T(c.2)/2m)*▼ψ+uψ=i h (в) ∂ψ/∂t (1), u – потенциальная энергия микрочастицы. ▼ψ=(∂(с.2)ψ/dx(c.2))+(∂(c.2)ψ/∂y(c.2))+(∂(c.2)ψ/∂z(c.2)) – оператор Лапласа. (1) – временное уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера, как и уравнение Ньютона, не выводится, оно постулируется и его следует рассматривать как основное исходное положение квантовой механики, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия согласуются с опытными данными. Чтобы уравнение учитывало все свойства микрочастиц, в том числе волновые, необходимо, чтобы оно было волновым, подобно уравнениям, описываемым, например электромагнитные или звуковые волны. Согласно гипотезе Д-Бройля, для свободного движения микрочастицы волновая функция совпадает с уравнением плоской волны Де-Бройля.

▼ψ+(2m/h(в)(с.2))*(E – U)ψ=0 – амплитудное уравнение Шредингера, описывающее стационарное состояние, не зависящее от времени. Решением уравнения (9) является волновая функция, которая имеет определенный физический смысл |ψ|(c.2)=|ψ*ψ ’|=dW. Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства (элементе объема). |ψ|(c.2)dV=W.

ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

ДВИЖЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Рассматриваем микрочастицу, которая совершает

одномерные движения в потенциальном поле,

удовлетворяющим следующим условиям:

U(x)={0, 0<x<a; ∞, x≤0, x≥a. Такое потенциальное

поле называется потенциальной ямой. Уравнение

Шредингера для такой микрочастицы запишем

d(c.2)ψ/dx(c.2) + (2m/h(в)(с.2))*E ψ = 0 (1) одномерное движение. Решение этого уравнения будем искать в виде ψ(x)=A e(c.ikx)+B e(c.-ikx) (2),

A, B – некоторые констаты, k=√2mE/h(в)(с.2)`. Перепишем (2) в виде: ψ(x)=(A+B)coskx+i(A-B)sinkx (3). На стенках потенциальной ямы и за ее пределами потенциальная энергия равна бесконечности, поэтому вероятность того, что микрочастица покинет яму и выйдет за ее пределы равна нулю. |ψ(x)|(c.2)=0, при x≤0 и x≥a. Из условия непрерывности волновой функции следует, что это условие выполняется, если сама волновая функция при этих значениях координат равна нулю. ψ(0)=ψ(a)=0 (4). Выражение (4) определяет те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (1), имеющие физический смысл. Воспользуемся (4), ψ(x)=0, x≤0. Чтобы (3) обратилось в ноль, необходимо, чтобы (A+B)coskx=0, A= - B, и (3) перепишем в виде ψ(x)=i2Asinkx (5). Воспользуемся вторым граничным условиям ψ(х)=0 при x≥a. Выполняется при k, удовлетворяющем k(индекс n)*a=πn; k(инд.n)=πn/a, n=1,2,3…,

Исследования показали, что Р спектр состоит из

сплошного спектра, характеризуемого в области коротких длин волн, λ0 – коротковолновая граница.сплошного спектра, имонохроматический максимум интенсивности c λ1, λ2, λ3 и т.д. Исследования показали, что коротковолновая граница сплошного спектра не зависит от

природы вещества, материала А, но определяется

кинетической энергией электронов, бомбардирующих А, точнее U.

При этом λ0=const/U (экспериментально).

Объяснение существования λ0 сплошного спектра возможно на основе

квантовых представлений. Если электроны, вылетающие из раскаленного К,

преобретают в поле с разностью потенциалов U не очень высокую энергию, то при бомбардировании А, они могут оказаться пролетающими вблизи ядра атома. Электростатическое поле ядра тормозит эти электроны, в результате часть кинетической энергии электронов переходит в энергию излучения. mv(c.2)/2=eU. Какая часть энергиии электрона перейдет в энергию излучения зависит от того, как близок электрон пролетает вблизи ядра. В пределе вся энергия электрона переходит в энергию излучения.

eU=hν0, ν0=eU/h, λ0=hc/eU=const/U. По этой причине сплошной Р спектр называется тормозным Р спектром. Положением монохроматических максимумов в Р спектре не зависит от уинетической энергии электронов, но определяется природой атомов вещества А.

Поэтому эта часть РИ – характеристическое РИ.

Атом А – мнооэлектронный атом, у которого внутренние слои полностью заполнены электронами. Внешний электрон, обладающий большой энергией может выбить один из электронов с К или Л-слоя (нарисовать рисунок – атом +Ze, и вокруг него слои K, L, M, N). Выбитый электрон не может перейти на соседний слоя, т.к. у тяжелых атомов они полностью застроены электронами. Чаще всего выбитый электрон выходит за пределы, атома иногда – на внешний электронный слой, если там есть вакансии. Образовавшаяся вакансия в слое К является энергетически более выгодна для электрона из L-слоя. Происходит переход электрона с L-слоя в К-слой, сопровождающийся излучением Р-кванта. Харак-кие Р спектра содержат небольшое число спектральных линий, которые объединяются в группы, которые называются сериями (K-,L-,M-,N-серия и т.д.). К-серия возникает, если дырка-вакансия образуется в К-слое. У одних атомов эта вакансия заполняется электронами с L, M или N-слоя. Т.е.

К-серия возникает сразу вся. По мере увеличения

частоты Kα, Kp, Kγ. Если электрон перешол с

L-слоя, то в L-слое-дырка=>испускается L-серия.

Р спекрты отличаются простотой; практически сходны

для различных атомов, т.к. структура внешних

электронных слоев у различных атомов почти

одинакова. С увеличением заряда ядра z, Р спектр

смещается в торону кототких длин волн. Физик Мозли установил экспериментально в 1913 году закон √ν=c(z - δ) – закон Мозли. c,δ – некоторые констаты. В соответствии с этим законом частота Kα линии определяется, ν (индекс kα)=R’ (z – 1)(c.2) (1/(1(c.2)) – 1/(2 (c.2))), R’=R*c,

ν (индекс kβ)=R’ (z – 1)(c.2) (1/1(c.2) – 1/3(c.2)),

ν (индекс Lα)=R’ (z – 7,5)(c.2) (1/2(c.2) – 1/3(c.2)), ν =R’(z – δ)(c.2) (1/m(c.2) – 1/n(c.2)). Постоянная δ носит название констаты экранирования. Появление δ в этих соотношениях связано с тем, что переход электронов между внутренними электронными слоями в тяжелых атомах

42. Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы (рис. 298, а) для одномерного (по оси х) движения частицы. Для потенциального барьера прямоугольной формы высоты U и ширины l можем записать

При данных условиях задачи классическая частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону, т. е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при Е>U, имеется отличная от нуля вероятность, что частица отразится от барьера и будет двигаться в обратную сторону. При E<U имеется также отличная от нуля вероятность, что частица окажется в области х>1, т. е. проникает сквозь барьер. Подобные, казалось бы, парадоксальные выводы следуют непосредственно из решения уравнения Шредингера, описывающего движение микрочастицы при условиях данной задачи.

Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний для каждой из выделенных на рис. 298, а области имеет вид

(221.1)

Общие решения этих дифференциальных уравнений:

(221.2)

(221.3)

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид

(221.4)

В этом выражении первый член представляет собой плоскую волну типа (219.3), распространяющуюся в положительном направлении оси х (соответствует частице, движущейся в сторону барьера), а второй — волну, распространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барьера (соответствует частице, движущейся от барьера налево).

Решение (221.3) содержит также волны (после умножения на временной множитель), распространяющиеся в обе стороны. Однако в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент B3 в формуле (221.3) следует принять равным нулю.

В области 2 решение зависит от соотношений Е>U или Е<U. Физический интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, поскольку при Е<U законы классической физика однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. В данном случае, согласно (221.1), q=i — мнимое число, где

Учитывая значение q и B3=0, получим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(221.5)

В области 2 функция (221.5) уже не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны, поскольку показатели степени экспонент не мнимые, а действительные. Можно показать, что для частного случая высокого и широкого барьера, когда l >>1, B20.

Качественный характер функций 1(х), 2(х) и 3(x) иллюстрируется на рис. 298, б, откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, получили, что частица имеет отличную от нудя вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины.

Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих. Можно показать, что

Для того чтобы найти отношение |А3/А1|2, необходимо воспользоваться условиями непрерывности  и ' на границах барьера х=0 и х=l (рис. 298):

(221.6)

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A2, A3, В1 и В2 через А1. Совместное решение уравнений (221.6) для прямоугольного потенциального барьера дает (в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей)

(221.7)

где U — высота потенциального барьера, Е — энергия частицы, l — ширина барьера, D0 — постоянный множитель, который можно приравнять единице. Из выражения (221.7) следует, что D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U—E); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 299), удовлетворяющей условиям так называемого квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой), имеем

где U=U(x).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при Е<U невозможно, так как частица, находясь в области барьера, должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределенностей. Неопределенность импульса р на отрезке х=l составляет p>h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (р)2/(2m) может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича (1903—1981). Туннельное прохождение сквозь потенциальный барьер лежит в основе многих явлений физики твердого тела (например, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атомной и ядерной физики (например, -распад, протекание термоядерных реакций).

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Электрон в атоме водорода находится в центральном симметричном поле ядра. Поэтому его потенциальная функция (см. рисунок). E0 при r∞, E - ∞ при r0.U= - ze(c.2)/r, ▼ψ+ 2m(E+ ze(c.2)/r)ψ=0. Основные заключения, которые приводят к решению уравнения Шреддингера применительно к атому водорода: 1) электрон в атоме водорода обладает дискретным энергетическим спектром, при этом собственно е значение энергии электрона En= - mz(c.2)e(c.4)/2n(c.2)π(c.2). Соотношения для энергии стационарного состояния электрона в атоме водорода совпадает с формулой теории Бора. Однако Бору для получения этого результата пришлось вводить априоли квантования. В квантовой механике этот результат получается логически при решении основного уравнения квантовой механики. 2) Собственные значения волновых функций, соответствующих этим энергиям, содержат 3 целочисленных параметра, которые носят название квантовых чисел, n – главное квантовое число, L – орбитальное (азимутальное) квантовое число, m – магнитное квантовое число.

n=1,2,3…, L0,…., (n-1), т.е. n значений, m= - L, …,0,…, + L т.е. (2L+1) значение. n=1,L=0,m=0; n=2,L=0,1,m= -1,0,1; n=3,L=0,1,2,m=-2,-1,0,1,2 …

Квантовые числа имеют определенный физический смысл, n определяет энергию стационарного состояния электрона в атоме или атома. L определяет величину орбитального механического момента на стационарной орбите, m определяет его проекцию на внешнее направление. В качестве внешнего направления z выбирается, как правило, направление внешнего электрического и магнитного полей. L(в) = h (в)√L(L+1)` - орбитальный момент импульса электрона в атоме, Lz=h(в)m – проекция L(в) на внешнее направление. Т.о. орбитальный момент импульса электрона в атоме, его проекция на внешнее направление, энергия состояния квантованы. 3) энергия состояния определяется только главным квантовым числом. Данному значению энергии En соответствуют волновые функции, определяющие состояние электрона, отличающиеся квантовыми числами L и m. Т.о. атом может обладать одинаковой энергией, находясь в различных состояниях. Число состояний с одинаковой энергией носит название кратности вырождения уровней или состояний, а сами уровни называются вырожденными. Кратность вырождения определяется Σ[L=0, n=1] (2L+1)==n(c.2); n=1 E1, n=2 E2 – 4 состояний, n=3 E3 – 9 состояний. Состояние электрона в атоме, определенное квантовым числом L=1, называется S-состоянием. L=1 S-состояние, L=2 P-состояние, L=3 d-состояние, L=4 f-состояние. Обычно перед символом состояния ставится значение главного квантового числа. Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности обнаружения электрона в различных элементах объема. a0= r (индекс I)/2. Рассмотрим распределение электрической плотности на различных расстояниях от ядра для различных состояний..Пространственное распределение электронной плотности получим

вращая вокруг оси z.

ψ=Aψ(инд.s)(a)+Bψ(инд.S)(b). Для нахождения волновой функции необходимо решить уравнение Шредденгера: ▼ψ + [2m(E-U)ψ/π(c.2)]=0.

Уравнение Шреддингера имеет конечные, непрерывные и однозначные решения при значениях полной энергии системы, удовлетворяющих условию: E(инд.±)=(C(r) ± A(r))/(1±S(r)); “+” – ψ(инд.s)(a), “-“ – ψ(инд.as)(a).

Согласно принципу Паули полная волновая функция должна быть антисимметрична. Для того, чтобы определить, будем ли мы иметь дело с притяжением между атомами с образованием устойчивой системы 2-атомной молекулы или атомы будут отталкиваться между собой, необходимо установить знак полной энергии системы.

1) S(r) – интеграл перекрывания, характеризует степень перекрывания электронных облаков при сближении атомов. S(r)0 при r∞, S(r)1 при r0, 0<S(r)<1, 1±S(r)>0; 2) C(r) – кулоновский интеграл, характеризует кулоновское взаимодействие между всеми электронами и всеми ядрами.

3)A(r) – обменный интеграл, имеет размерность энергии и обусловлен налиием тождественных частиц в системе и возможностью обмена их местами. Т.е. в молекуле H2 электрон1 может находится около ядра атома B, и т.д. Если r∞, C(r)=0 и A(r)=0. При средних r, C(r)<0 и A(r)<0, |A(r)|>|C(r)|.

[1] Если ψ(инд.s)(a), то E+=(C(r)+A(r))/(1+S(r))<0. В этом случае, т.к. полная волновая функция должна быть антисимметрична, то и спиновая волновая функция должна быть антисимметрична, т.е. спины сближающихся атомов должны быть противоположны.

Образуется устойчивая система с min

энергии. 2) Если ψ(инд.as)(a), то

E- = (C(r)-A(r))/(1-S(r))>0. Спиновая функция должна быть симметрична =>спины электронов сближающихся атомов должны быть параллельны, не образуется устойчивой системы.

Обменное взаимодействие приводит к изменению

формы электронных облаков сближающихся атомов, к сгущению электронного облака между ядрами сближающихся атомов, которое цементирует оба атома в единую молекулу. Итак, при образовании молекулы с ковалентной связью наибольшее значение имеет обменное взаимодействие, аналогов которому нет в классической физике. Поэтому обменное взаимодействие носит квантово-механический характер.

Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до построения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, l, ml и тs т. е.

где Z(п, l, ml, тs) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п, l, ml, тs. Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному n соответствует n2 различных состояний, отличающихся значениями l и ml. Квантовое число тs может принимать лишь два значения (± ½). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному l. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n–1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l+1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 6.

Таблица 6

45. Общие сведения о квантовых статистиках. Функции Принцип неразличимости тождественных частиц. распределения Ферми-Дирака, Бозе- Эйнштейна. Бозоны и Фермионы.

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующей системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Одним из важнейших объектов излучения квантовой статистики является идеальный газ. Состояние системы создается числами заполнения Ni – чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i квантовых чисел) частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для частиц образованных бозонами – частицами с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать только целые значения: 0,1,2,3,4…. Для частиц образованных Фермионами – частиц с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать два значения: 0 - для свободных и 1 - для занятых состояний. Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, определить средние числа заполнения <Ni>. Идеальный газ бозонов - описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. <Ni>=1/exp((Ei-μ)/kT)-1<N<Ni>=i>= среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Еi, μ-химический потенциал не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. μ-определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем) фиксированы.

Идеальный газ Фермионов- газ Ферми описывается квантовой стетистикой Ферми-Дирака: <Ni>=1/exp((Ei-μ)/kT)+1; Если exp((Ei-μ)/kT) >>1 то распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвела - Больцмана <Ni>=A*exp(Ei/kT) A=exp(μ/kT). При высоких T два газа ведут себя одинаково.

46. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули (см. § 227), согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Согласно принципу Паули, электроны вынуждены взбираться вверх «по энергетической лестнице».

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми — Дирака (235.2). Если 0 — химический потенциал электронного газа при Т=0 К, то, согласно (235.2), среднее число N(E) электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно

(236.1)

Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов N(E) =f(E), где f(E) — функция распределения электронов по состояниям.

Из (236.1) следует, что при T=0 К функция распределения N(E) = 1, если E<0, и N(E) = 0, если Е>0. График этой функции приведен на рис. 312, а. В области энергий от 0 до 0 функция N(E) равна единице. При E=0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т=0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E=0, заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей 0, свободны. Следовательно, 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается ЕF (ЕF=0). Поэтому распределение Ферми — Дирака обычно записывается в виде

(236.2)

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми ЕF, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT<<EF. Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т0 вырождения (см. § 235) находится из условия kT0=EF. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле T0104 К, т. с. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.

При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми — Дирака (236.2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT) в окрестности ЕF (рис. 312, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при T=0 К.) Это объясняется тем, что при T>0 небольшое число электронов с энергией, близкой к ЕF, возбуждается вследствие теплового движения и их энергия становится больше ЕF. Вблизи границы Ферми при Е< ЕF заполнение электронами меньше единицы, а при Е> ЕF — больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т300 К и температуре вырождения T0=3104 К, — это 10–5 от общего числа электронов.

Если (Е–ЕF)>>kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (236.2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана. Таким образом, при (Е–ЕF)>>kT, т.е. при больших значениях энергии, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда (Е–ЕF)<<kT, к ним применима только квантовая статистика Ферми — Дирака.

47. Элементы квантовой теории электропроводности металлов.

Сверхпроводимость.

Квантовая теория электропроводности металлов - теория электропроводности, основывающаяся на квантовой механике и квантовой статистике Ферми - Дирака, - пересмотрела вопрос об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике. Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к выражению для удельной электрической проводимости металлаЗдесь n- концентрация электронов проводимости в металле, álFñ - средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, áuFñ - средняя скорость теплового движения такого электрона. Квантовая теория электропроводности металлов, в частности, объясняет зависимость удельной проводимости от температуры: g ~ 1/T (классическая теория дает, что g ~ 1/ÖT), а также аномально большие величины (порядка сотен периодов решетки) средней длины свободного пробега электронов в металле.

Квантовая теория рассматривает движение электронов с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде - она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току - упорядоченному движению электронов - никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

Различные опыты, поставленные с целью изучения свойств сверхпроводников, приводят к выводу, что при переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменяется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оптические (в видимой и инфракрасной областях) свойства. Однако при таком переходе наряду со скачкообразным изменением электрических свойств качественно меняются его магнитные и тепловые свойства.

Качественно явление сверхпроводимости можно объяснить так. Между электронами металла помимо кулоновского отталкивания, в результате электрон-фононного взаимодействия (взаимодействия электронов с колебаниями решетки) возникает слабое взаимное притяжение. В результате электроны проводимости, притягиваясь, образуют своеобразное связанное состояние, называемое куперовской парой. Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин такой пары равен нулю и она представляет собой бозон. Система бозе-частиц - куперовских пар, обладая устойчивостью относительно возможности отрыва электрона, может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.

48. Зонная теория твердых тел: металлы, диэлектрики, полупроводники. Собственная и примесные проводимости полупроводников. Фотопроводимость.

Используя уравнение Шредингера- основное уравнение динамики в квантовой механике- можно рассмотреть задачу о кристалле, найти возможные значения его энергии, а так же соответствующие энергетические состояния. Но в классической и квантовой механике отсутствуют методы точного решения динамической задачи для системы многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенным сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела. В основе данной теории лежит так называемое адиабатическое приближение. Квантово механическая система делится на тяжелые и легкие частицы – ядра и электроны. Массы и скорости их отличаются, поэтому считается что движение электронов происходит в поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся в усредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах криталлической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается в постоянном периодическом поле ядер. Зонная теория твердых тел позволила истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя их различие в их электрических свойствах, во- вторых, шириной запрещенных зон. В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая.1. Самая верхняя зона содержащая электроны заполнена частично, т.е. в имеются вакантные уровни. В данном случае электрон может стать свободным при маленькой добавке энергии 1-4эВ. Это тело всегда будет проводником электрического тока. Это свойственно металлам. Твердое тело является проводником и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что приводит к неполностью запрещенной зоне, в щелочено- земельных металлах II- группы Таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn, …etc) Когда ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких Эв, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, остается им при всех реальных температурах. Если переброс может быть осуществлен, посредством, сравнительно легкого теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию ΔE<=1эВ, и кристалл является полупроводником.

49. Собственная и примесные проводимости полупроводников.

Собственные полупроводники – это химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью.

При 0К и отсутствии внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики. При повышении температуры электроны с верхних уровней валентной зоны I могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости II. При наложении на кристалл электрпического поля они перемещаются против поля и создают электрический ток. Таким образом, зона II из-за её частичного ‘укомплектования’ электронами становится зоной проводимости. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронов проводимостью или проводимостью n- типа. В результате перебросов электонов из 1 в 2, появляются вакантные места- Дырки. Они движутся противоположно направлению электронов их проводимость называется дырочной или p- типа. В собственных полупроводниках ne=np. В собственных полупроводниках повышается проводимость при нагревании γ = γ0exp(-ΔE/2kT). В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, носителями тока являются электроны; возникает электронная проводимость (n- типа). В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов, носителями тока являются дырки; возникает дырочная проводимость (p- типа).

50. Контакт электронного и дырочного полупроводников. Полупроводниковый диод.

Граница соприкосновения двух полупроводников,один из которых имеет электронную,а другой-дырочную проводимость,наз-ся электронно-дырочным переходом.При опред.толщине p-n перехода наступает равновесное сост,характериз. выравниванием уровней Ферми для обоих полупроводников. В области перехода энерг.зоны искривляются.в результате чего возн.потенц.барьеры как для электронов,так и для дырок.Высота потенц.барьераопред.превоначал.разностью положений уровня Ферми.Толщина слоя перехода примерно равна 10-6-10-7м. Носители тока способны преодолеть такую разность потенциалов(десятые доли вольт) лишь при Т в несколько тысяч градусов,при обыч.Т равновес. контактн. слой явл. запирающим.Если приложенное к p-n переходу внеш.электр.поле направлено от п-полупр. к р-полупр.,то оно вызывает движение электронов в п-полупров. И дырок в р-полупр. от границы p-n перехода в противопол.стороны. В резул.запир.слой расширится и его сопр.возрастет. Направление внеш.поля наз-ся запирающим. Если приложенное к p-n переходу внеш.эл.поле направлено противопол.полю контакт.слоя,то оно вызывает движ-е электронов в п-полупр. и дырок в р-полупр. к границе p-n перехода навстречу друг другу. Толщина и сопр.контакт.слоя умен. Направл-пропускное. p-n переход обладает односторон.пров-тью. Одностор.пров-ть испол. для выпрямл. И преобраз. перемен. токов.Полупров.устройство,содер.один p-n переход наз-ся полупр.диодом. p-n переходы обладают не только выпрям.св-ми,но и могут быть испол. для усиления,для генерирования эл.колебаний. Преборы,предназнач.для этих целей наз-ся транзисторами.Для изгот.испол.германий и кремний. Делятся на точеч. и плоскостные.

51.Фотопроводимость полупроводников

Фотопроводимость (см. § 202) полупроводников — увеличение электропроводности полупроводников под действием электромагнитного излучения — может быть связана со свойствами как основного вещества, так и содержащихся в нем примесей. В первом случае при поглощении фотонов, соответствующих собственной полосе поглощения полупроводника, т. е. когда энергия фотонов равна или больше ширины запрещенной зоны (h  E), могут совершаться перебросы электронов из валентной зоны в зону проводимости (рис. 324, а), что приведет к появлению добавочных (неравновесных) электронов (в зоне проводимости) и дырок (в валентной зоне). В результате возникает собственная фотопроводимость, обусловленная как электронами, так и дырками.

Если полупроводник содержит примеси, то фотопроводимость может возникать и при h < E: для полупроводников с донорной примесью фотон должен обладать энергией h  ЕD, а для полупроводников с акцепторной примесью — h  ЕA. При поглощении света примесными центрами происходит переход электронов с донорных уровней в зону проводимости в случае полупроводника n-типа (рис. 324, б) или из валентной зоны на акцепторные уровни в случае полупроводника p-типа (рис. 324, в). В результате возникает примесная фотопроводимость, являющаяся чисто электронной для полупроводников п-типа и чисто дырочной для полупроводников p-типа.

Таким образом, если

(244.1)

(Eп — в общем случае энергия активации примесных атомов), то в полупроводнике возбуждается фотопроводимость. Из (244.1) можно определить красную границу фотопроводимости — максимальную длину волны, при которой еще фотопроводимость возбуждается:

Учитывая значения E и Eп для конкретных полупроводников, можно показать, что красная граница фотопроводимости для собственных полупроводников приходится на видимую область спектра, для примесных же полупроводников — на инфракрасную.

На рис. 325 представлена типичная зависимость фотопроводимости j и коэффициента поглощения  от длины волны  падающего на полупроводник света. Из рисунка следует, что при >0 фотопроводимость действительно не возбуждается. Спад фотопроводимости в коротковолновой части полосы поглощения объясняется большой скоростью рекомбинации в условиях сильного поглощения в тонком поверхностном слое толщиной х1 мкм (коэффициент поглощения 106 м–1).

Наряду с поглощением, приводящим к появлению фотопроводимости, может иметь место экситонный механизм поглощения. Экситоны представляют собой квазичастицы — электрически нейтральные связанные состояния электрона и дырки, образующиеся в случае возбуждения с энергией, меньшей ширины запрещенной зоны. Уровни энергии экситонов располагаются у дна зоны проводимости. Так как экситоны электрически нейтральны, то их возникновение в полупроводнике не приводит к появлению дополнительных носителей тока, вследствие чего экситонное поглощение света не сопровождается увеличением фотопроводимости.

Работа выхода электрона из металла. Контактная разность потенциалов.

Валентные электроны в металле (М) находятся в потенциальной яме, т.е. Еp= Евне – U0, где U0 = - еφ. Обычно принимают Евне = 0, Еp = - U0 < 0, потенциал внутри металла φ > 0.

Сообщение металлу избыточного q > 0 увеличивает φ на поверхности и внутри М, Wp электрона уменьшается.

Рис. 1

Ее = Ек + Ер. При Т = 0 Ек имеет значения от 0 до ЕF. Для удаления е– с нижнего уровня требуется энергия U0, с уровня Ферми – энергия (U0 – EF).

Работа выхода: . (1)

52. Атомное ядро и его хар-ки. Состав и строение атомного ядра.Изотопы. Резерфорд ,исследуя прохождение α-частиц через тонкие пленки золота,пришел к выводу,что атом сост.из положит.заряж.ядра и окружающих его электронов. Он показал,что атом.ядра имеют размеры примерно 10-14-10-15 м.

Атом.ядро сост.из элементар.частиц-протонов и нейтронов.Протон имеет полож.заряд,равный заряду электрона,и массу покоя m=1,6726*10-27 кг=1836me. Нейтрон-нейтрал.частица с массой покоя m=1,6749*10-27 кг=1839me. Протоны и нейтроны наз-ся нуклонами.Общее число нуклонов-массовое число А. Атомное ядро хар-ся зарядом Z,Z-зарядовое число ядра,равное числу протонов в ядре и совпадающее с пор.номером хим. элемента. Ядра с одинак.Z,но разными А наз-ся изотопами,а ядра с одинак. А,но разн.Z-изобарами.Радиус ядра R=R0A1/3 , R0=(1,3-1,7)10-15

53. Ядерные силы и их основные свойства.

Между составляющими ядро нуклонами действуют ,значительно превышающие кулоновские силы отталкивания между протонами,ядерные силы. Они относяся к классу сильных взаимодействий. Свойства:1)явл.силами притяжения, 2)явл.короткодейств., 3)свойственно зарядовая независимость: ядер.силы, действующие между двумя протонами или двумя нейтронами одинаковы по величине. Имеют неэлектр.природу, 4)свойственно насыщение:каждый нуклон в ядре взаимод.только с огран.числом ближайших к нему нуклонов, 5) зависят от взаимной ориентации спинов.Н-р,протон и нейтрон образ. дейтрон только при парал.ориентации спинов, 6)не явл.центральными,т.е. действ.по линии,соед.центры взаимод.нуклонов.

54. Дефект массы и энергия связи ядра

Энергия,которую необходимо затратить,чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны,наз-ся энергией связи ядра. Энергия связи нуклонов в ядре Ecв=[Zmp+(A-Z) mn-mя]c2

∆m=[Zmp+(A-Z) mn] -mя-дефект масс ядра

Зав-ть удельной энергии связи атомных ядер от массового числа.Два способа выделения внутриядерной энергии. Удельная энергия связи-энергия связи,отнесенная к одному нуклону. Характериует усторйчивость атомных ядер. Зачисит от массового числа А.Уменьшение удел.энергии связи при переходе к тяжелым элементам объясняется тем,что с возрастанием числа протонов в ядре увеличивается и энергия их кулоновского отталкивания. Наиболее устойчивы-магические ядра,у которых число протонов или число нейтронов равно 2,8,20,28,50,82,126. Энергетически выгодны:1)деление тяжелых ядер на более легкие, 2)слияние легких ядер в более тяжелые. При обоих процесса выдел.большоее кол-во энергии.

55. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Активность.

Радиоактивность-способность некоторых атомных ядер самопроизвольно превращать в другие ядра с испусканием разл.втдов радиоактивных излучении и элементарных частиц.

Закон радиоактив.распада(число нераспав.ядер убывает со временем по экспоненц.закону) N=N0e-λt, N0-начал.число нерапавш.ядер,N-число нераспав.ядер. Период полураспада-время,за которое исход.число радиоакт.ядер в среднем умен.вдвое. T½=ln2/λ. Среднее время жизни τ=1/λ. Активность нуклида А=λN.

Α-частицы,испускаемые конкрет.ядром,обладают опред.энергией.Энергет.спектр обнаруживает тонкую структуру,т.е. испускается несколько групп α-частиц.Характерна сильная зав-ть между периодом полураспада и энергией вылет.частиц.Эта взаимосвязь опред.эмпирич.законом Гейгера-Нэттола lnλ=A+BlnRα, А и В-эмпир.константы.

Паули предположил,что при β-распаде вместе с элетроном испускается нейтрино(имеет нулевой заряд и нулевую массу покоя). Затем оказалось.что испускается антинейтрино.β-электрон рождается в результате процессов,происх. внути ядра.γ-илучение не явл.самост.видом радиоактивности,сопровождает α и β-распады. γ-спектр-распределение числа γ-квантов по энергиям. Дискретность γ-спектра имеет принцип.значение,т.к. явл. док-вом дискрет-ти энерг. состояний атомных ядер. γ-излучение испускается дочерним ядром.

56. Виды радиоактивного распада и их закономерности.

Подразделяется на естественную(у неуст.изотопов) и искусственную(у изотопов, получ.посредством ядер.р-й). 3х типов:α-,β-,γ-излучение. α-излучение отклон.электр.и магн.полями,обладает высокой иониз.способностью и малой проникающей. Это поток ядер гелия. β-излучение отклон.электр.и магн.полями,иониз.способ-ть значительно меньше,а проникающая больше,чем у α-частиц. Это поток быстрых электронов. Поглощение потока электронов подчиняется экспоненц.закону N=N0e-μx , N0 и N –число электронов на входе и выходе слоя в-ва толщиной х,μ-коэф.поглощения.γ-излучение не отклоняется Эл.и магн.полями,обладает слабой иониз.спос-тью и большой проникающей.Это коротковолновое Эл-маг.излучение. Явл.потоком частиц- γ-квантов.

57. Элементарные частицы. Фундаментальные взаимодействия. Классификация элементарных частиц. Лептоны, адроны, кварки.

Согласно современным представлениям, в природе осуществляется четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное.

Сильное, или ядерное, взаимодействие обусловливает связь протонов и нейтронов в ядрах атомов и обеспечивает исключительную прочность этих образований, лежащую в основе стабильности вещества в земных условиях.

Электромагнитное взаимодействие характеризуется как взаимодействие, в основе которого лежит связь с электромагнитным полем. Оно характерно для всех элементарных частиц, за исключением нейтрино, антинейтрино и фотона. Электромагнитное взаимодействие, в частности, ответственно за существование атомов и молекул, обусловливая взаимодействие в них положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов.

Слабое взаимодействие — наиболее медленное из всех взаимодействий, протекающих в микромире. Оно ответственно за взаимодействие частиц, происходящих с участием нейтрино или антинейтрино (например, -распад, -распад), а также за безнейтринные процессы распада, характеризующиеся довольно большим временем жизни распадающейся частицы (10–10 с).

Гравитационное взаимодействие присуще всем без исключения частицам, однако из-за малости масс элементарных частиц оно пренебрежимо мало и, по-видимому, в процессах микромира несущественно.

лептоны (от греч. «лептос» — легкий), участвующие только в электромагнитном и слабом взаимодействиях. К лептонам относятся электронное и мюонное нейтрино, электрон, мюон и открытый в 1975 г. тяжелый лептон — -лептон, или таон, с массой примерно 3487me, а также соответствующие им античастицы. Название лептонов связано с тем, что массы первых известных лептонов были меньше масс всех других частиц. К лептонам относится также таонное нейтрино, существование которого в последнее время также установлено;

адроны (от греч. «адрос» — крупный, сильный). Адроны обладают сильным взаимодействием наряду с электромагнитным и слабым. Из рассмотренных выше частиц к ним относятся протон, нейтрон, пионы и каоны.

1.  К группе фотонов относится единственная частица — фотон, который переносит электромагнитное взаимодействие. В электромагнитном взаимодействии участвуют в той или иной степени все частицы, как заряженные, так и нейтральные (кроме нейтрино).
2.  К группе лептонов относятся электрон, мюон, таон, соответствующие им нейтрино, а также их античастицы. Все лептоны имеют спин, равный ½, и, следовательно, являются фермионами
3.  Основную часть элементарных частиц составляют адроны. К группе адронов относятся пионы, каоны, -мезон, нуклоны, гипероны, а также их античастицы

1. ТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ldquo;МИРОВАЯ ДИНАМИКАrdquo; Введение Первой попыткой комплексного моделирования и и
2. Учёт альтернативных издержек малым бизнесом
3. ки ~ предприятию так именно на предприятии создается продукция выполняются работы
4.  Поставьте глаголы в скобках в Present Perfect переведите полученные предложения- Didn~t you see my bll I lose it
5. 5 кредитный рынок и его роль в экономике
6. і. Рельєф місцевості рівний відвід поверхневих вод здійснюється через зливову каналізацію.
7. Экономико-правовое понятие собственности
8. Тестовый контроль квалификационных требований по анатомии и физиологии
9. Хо Ши Мин
10. Преобразование произвго ассорта в потребий ~ позволяет эффекно создавать заказы
11. доклад Центра по контролю заболеваемости с описанием 5 случаев пневмоцистной пневмонии и 26 случаев саркомы
12. тема самостоятельной работы студентов
13. Реферат- Использование судебной практики в отношении нарушителей законодательства по обращению с отходами
14. Совершенствование навыка чтения учащихся с задержкой психического развития
15. ТЕМА 2 ПОЛІТИКА І СТРАТЕГІЯ МЕНЕДЖМЕНТУ ПЕРСОНАЛУ ОРГАНІЗАЦІЙ 1
16. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине- Социология ВАРИАНТ ’ 5
17. жизни проводит именно на хранении
18. ПОАД 3 Проектирование туристического маршрута Специальность 5В0421
19. Центр оздоровления и отдыха Молодежный Воспяковой Л
20. ВОСухомлинського Факультет розвитку дитини Кафедра дошкільної освіти та соціального розвитку дитини

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе