Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.1
Опр.: Пусть ф-ция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке содержащемся в этом промежутке. Величина называется несобственным интегралом Римана от ф-ции по промежутку (НИ-1)
Опр.: Пусть ф-ция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке. Величина называется несобственным интегралом от ф-ции по промежутку (НИ-2)
Теорема: Пусть и функции определенные на промежутке , интегрируемы на любом отрезке , и для них определены несобственные интегралы .
Тогда 1) Если и , то значения интеграла понимаемого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают.
2)При любых функция интегрируема в несобственном смысле на и справедливо равенство
3) Если , то
4) Если - гладкое, строго монотонное отображение, причем и при , то несобств. интеграл от функции существет и справедливо равенство
1.2
Аддитивность несоб инт. Это св-во выр –тся фор-ой:
2. Линейность несоб интег . Если несоб инт сход. и ,- люб дейст.числато Док-во используя опр(1) и св-ва линейности опр инт получим, что
3 Формула Ньютона-Лйбница для нес инт. Если несоб инт (*) сходится и F какая-либо обобщенная первообразная ф-ии f на [a,b) ,то : (*)=F(b-0)-F(a);(9); F(b-0)=lim x->b-0F(x)Док-во :
Согластно формуле Ньютона-Лейбница для несоб инт для люб w[a,b]
Переходя в (10) к пределу w->b-0, получим (9)
4. Интегрирование непрерывных неравенств.
Если нес.инт. 5. Замена переменной в нес.интегр.
Пусть ф-я f(x) непрерывна на [a,b). Ф-я (t)непрерывна-дифференцируема на [,).<a<b<+,причем a=(a)<()<(t)=lim(t),t->b-0;Тогда:
6. Интегрирование по частям.
Пусть ф-я U(x),V(x)-непрерывно-диференц.на [a,b).и существует lim(U(x)*V(x))=B, x->b-0;Тогда из сходимости одного из несобств.интегр. следует сходимость другого!И СПРАВЕДЛИВО: Согласно опр.нес.инт. limw->b-0F(w),где
Критерий Коши:Пусть ф-я f определена на [a,b) и интегрирована по Риману.[a,w][a,b). Для сходимости(*) необходимо и достаточно , чтобы
>0 B [a,b), такое, что для любого 1,2 таких чтоВ<1<b; B<2<b выполн нер-во:
где F опр фор-ой (1), то утверждение теоремы является критерием Коши сущ предела ф-и F при w->b-0, что и доказывает рассм теорему
Опр.: Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
Функции для которых интеграл абсолютно сходится, называются абсолютно интегрируемыми на промежутке с концами
Теорема: Абсолютно сходящийся несобственный интеграл является сходящимся.
Доказательство. Ввиду того, что задан несобственный интеграл , сужение функции интегрируемо по Риману на любом отрезке . Отсюда по св-ву модуля определенного интеграла устанавливаем, что . Несобственный интеграл сходится. Тогда по критерию Коши сходимости несобственного интеграла
Из приведенных выше соотношений по критерию Коши следует, что несобственный интеграл сходится.
Пусть 1) функция f:[a,b)->R, g:[a,b)->R инт по Риману [a,w] [a,b)
2)Функция ограничена на [a,b)
3) Функция g монотонна на [a,b) и стремится к нулю при xb-0. Тогда сходится.
Док-во
Согластно второй теореме о среднем для опр инт 1[a,b),2[a,b) [a,b)
Согластно условия (2) А>0, что 1[a,b),2[a,b) [a,b) выполняется: поскольку тогда имеем
Теорема(Признак Абеля)
Пусть 1) функция f:[a,b)->R, g:[a,b)->R инт по Риману [a,w] [a,b)
2)Несоб инт сходится
3) Функция g монотонна и ограниченна на [a,bТогда
сходится.
Док-во. Док-вво теоремы аналогично теореме(Признак Дирихле), при этом используется не-во (2) и критерий Коши сходимости несоб инт
Опр. Если несоб инт сходится, а расходится, то несоб инт называется условно сходящимся.
Через Rn обозн.мн-во всех упорядоченных наборов (х1,…,хn); xiR; i=1,n;Каждый из таких наборов обозн. Одной буквой х=(х0…хn) и наз.точкой мно-ва Rn, xi – i-тая координата т. х(i=1,n)
Опр.1 Говорят, что мно-во Х есть метр. Прост-во,если указана f:X->R, указанная ф-я удовл.условиям:
1)(x,y)0,причем =0 <=> x=y;
2)(x,y) = (y,x);
3) (x,x) (x,y)+(y,x);(Нер-во треугольника)
Это выявляется элементов x,y,zX,при этом ф-ю наз-ют метрической этого пространства, или расстоянием от х до у.
Приведем нр-во, которое след из (1), и в дальнейшем будем исп.: xi-yi=(x,y) sqrt(n);max|xk-yk|;i=1,n;1kn.
!Отметим, что (x,y) max|xk-yk|;1kn;
Топология.
1)Пусть аRn,t>0 множ-во B(a,r)={xRn|(x,a)r}-открытый шар с центром в т.а, радиусом r. Мн-во B(a,r)={xRn|(x,a) r} замкнутый шар с центром в т.а, радиусом r. Мн-во S(a,r)={xRn|(x,a)=r}–сфера с центром в т.а, радиусом r.
открытый шар B(a,)=V(a,)- -окрестностью точки а.
2)Пусть хRn, т.аХ –внутренняя т. Х.Если сущ-ет такая окр-сть V(a,) в т.а,что V(a,)Х.
3)т.аRn наз.внешней точкой по отношению ко мн-ву, ХRn, если окр-сть V(a,) т.а не сод-жит не одной т.Х
4)т.аRn- наз.граничной т. Мн-ва Х из Rn,если в любой окр-ст. V(a,) т.а содержится, как т.мн-ва Х,так и т. не принадлежащая ему.
5)Мн-во ХRn наз. открытым, если любая его т.называется внутренней.
Утв.1 а)объединение любого числа мн-в открытых в Rn, явл. мн-вом открытым в Rn . б) пересечение конечного числа мн-в, открытых в Rn, явл. Мн-вом , окрытым в Rn
6) ХRn- замкнутое мн-во из Rn,если его дополн. Rn\Х в Rn, явл. мн-вом открытым в Rn.
7) т.а Rn- предельная т. мн-ва Х из Rn, а)если каждая окрестность сод-ит хотя бы 1 т. Мн-ва Х , отличную от т.а или б)если каждая окр.V(a) т.а сод-ит бесконечно много точек Х. (Опр. а~б);
8) т.а наз.изоморфной т.мн-ва Х,если она не явл. предельной т. этого мн-ва.(в отрезке АВ, пред.точка будет каждая внутренняя).
9)Объединения мн-ва ХRn и всех его пред.точек наз.замыканием мн-ва Х в Rn и обозн. ẍ
Утв.2 мн-воХRn явл.замкнутым в Rn т.и т.д,когда х=ẍ
10)Диаметро мн-ва ХRn наз.величина d(x)- супремум.
11)мн-во ХRn наз. огр-ным, если его диаметр d(x)- конечен.
12)мн-во КRn наз.компактом в Rn,если для любого покрытия мн-ва К открытым в Rn мн-вами можно выделить его конечное покрытие.
Т.Для того,чтобы мн-во К из Rn было компактным, необх. и дост,чтобы К было огран.и замкн.в Rnмн-ом.
Если в Rn ввести операции сложения 2-х элементов х=(х1,…,хn); у=(у1,…,уn) и умножение элем-та х на действ. число по формуле: х+у= (х1+ у1,..., хn+ уn); х=х1,…,хn . при этом эл-ты Rn наз.векторами, векторы lk = (0,…,0,1,0);k=1,n; (1 стоит на k-том месте),образуют макс.лин.независ.сист.векторов. Любой вектор х=(х1,…,хn)Rn и можно разложить по базисным векторам lk, k=1,n;тоесть разложить ввиде: х=х1*l1+…+ хn*ln
Опр.1 Нормой в действ. векторном прост-ве Х назыв. ф-я, отображ.мн-во Х в Rn,удовлетв.условиям:
х,уХ, R; ||x||- норма вектора х.
Векторное прос-во Х, с введенной в нем нормой, наз.нормированным.В векторном прос-ве Rn введнм норму по фор-ле :
Ф-я (*) удовлетворяет условиям 1,2 опр.1.Справедливость усл. 3 следует из :
Векторным нормированным прос-вом из : и (*) следует что ||x||=(x,0); ||x-y||=(x,y);(**), где (x,y)- расстояние между х и у в Rn,рассматриваемое, как метрическое простр-во.
Опр.1:Функция ƒ:N→ Rn,которая каждому натуральному числу к ставит в соответствие единственную точку xk є Rn,называется последовательностью точек пространства Rn и обозначается { xk },где к=1,2…
Последовательность { } составленная из элементов последовательности { xk } с сохранением порядка их исследования называется подпоследовательностью послед-сти {xk }.
Опр.2:Точка а є Rn называется пределом последовательности xk є Rn,к=1,2….,если
lim (x(k);a)=0,k->∞ при этом пишут lim x(k)=а;k->∞; (1);
Если имеет место (1), то говорят, что последовательность{x(k)} сходится, в противном случае расходится
(x(k);a),к=1,2…
(Опр 2) можно записать в другой форме, например, на языке Эпселон окрестностей
lim xk=а,k->∞ ;(*)( NεN : k>N =>(x(k);a)< ε);(*);( NεN:k>N =>xk є V(a; ε))
Как и для числовых последовательностей можно сказать, что lim x(k)=а,k->∞ если ε-окрестности точки а содержит все члены (элементы) последовательности {xk} кроме быть может конечного их числа.
Теорема1: Последовательность x(k) = (x1(k) …. xk(k))є Rn, к=1,2…. Сходится к точке а= (a1…an) тогда и только тогда, когда lim xi=ai;k->∞, i=1;n (2).
Док-во: , 1≤j≤n, i=1;n (3)
Пусть имеет место (1) т.е NεN : k>N выполн. неравенство (x(k);a)<ε.Тогда согласно (3) получим, что |x(k)j- a(k)j |< ε,а значит имеет место (2).
Достаточность: Пусть имеет место (2) тогда по определению предела числовой последовательности NεN : k>N выполн. неравенство |x(k)j- a(k)j| <\sqrt(n),i=1;n => max|xj(k)-aj|<\sqrt(n).Тогда в силу (3) имеем, что (x(k);a)<ε а это означает,что lim{x(k)}=a.
Послед-сть {xk} называется огран., если r>0, что ρ(x(k);0)≤r, k=1,2….., 0=(0,0….0)
Теорема2:Из любой ограниченной последовательности xk є Rn, k=1,2……,можно выделить сходящуюся послед-сть.
Док-во: Поскольку {x(k) }-ограничена, то r>0, что ρ(x(k);0) =sqrt((x1(k))2+…+(xn(k))2)≤r,л=1,2…… откуда |xi(k)|≤r, k=1,2…. i=1;n т.е. числовая послед-сть { xi(k) } i=1;n ограничены. Отметим, что если числовая послед-сть ограничена (сходится), то любая её подпослед-сть также ограничена (сходится).
По теореме Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности {xk} можно выделить сходящуюся послед-сть {x1(ks1)}.Рассмотрим послед-сть{x1(ks1)}. из которой выделяется сходящееся послед-сть x2(ks2).Таким образом имеем сходящуюся послед-сть.
Поступая аналогичным образом через n-шагов получим n-сходящихся числовых послед-стей {xi(ksn)},i=1;n, следовательно по теореме послед-сть x(ks1) являющаяся подпослед-стью послед-сти {x(k)} -сходится.
Рассматривают неограниченные послед-сти для которых lim ρ(x(k);0)=+,x->.При этом пишут lim ρ(x(k))=,x->.в этом случае используя неравенство легко убедиться, что
lim ρ(x(k);0)=+,x->.,а є Rn.
Зам. 1: Числовую ось на которой имеются два направления мы дополняем двумя символами +∞ и -∞.В Rn,n>1 вводится один символ ∞ без знака;∞-бесконечноудалённая т. пространства Rn
Опр.3:Последовательность x(k) є Rn к=1,2… называется фундаментальной,если NεN : l>N, m>N выполняется неравенство ρ(x(l);x(m))<ε;
|xi(l)-xi(m)| ≤ ρ(x(l);x(m)) ≤(sqrt(n)) *max|xj(l)- xj(m)|;1≤j≤n;
,i=1;n ;(4);
Из (4) заключаем, что последовательность x(k)= (xi(k)... xn(k)); k=1,2… является фундаментальной тогда и только тогда,когда числовые последовательности { xi(k)} i=1;n фундаментальны.
Следовательно по (Теореме1) и критерию Каши сходимости числовых последовательностей имеем, что последовательность x(k) є Rn, к=1,2… сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. Таким образом критерий Каши справедлив в Rn.
Опр.4:Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его точек сходится к точке, котороя принадлежит этому пространству.Таким образом нами выше установлено, что Rn при любом n єN является полным
Множество X=R\{0}-является неполным метрическим пространством, поскольку последовательность {1\n}-его точек, является фундаментальной lim 1\n=0 ;n->∞,а 0 не X.
Определение 1. Точка b €Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любого > 0 существует > 0 такое, что для любого x € X и 0 < pn(x,a) < следует, что pm (f (x), b| < . При этом пишут lim f (x) = b.(x→a).
Определение 2. Точка b € Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой окрестности U(b) существует V(a) такая, что если x €V(a) ∩X, то f (x) €U(b).
Определение 3. Точка b G Rm называется пределом отображения f в точке a, если для любой последовательности x(k) € X\{a}, k = 1, 2,... сходящейся к точке a, последовательность {f (x(k))} сходится к точке b.
Эквивалентность определений 1 и 2 доказывается аналогично случаю функции одной переменной.
Теорема 3. Точка b = (b1, .. ., bm) является пределом отображения f : X — Rm, X € Rn при x → a тогда и только тогда, когда lim fi(x) = bi, i = 1,m.(x—>a)
Теорема 4. Отображение f : X →Rm, X С Rn имеет предел в точке a тогда и только тогда, когда
> 0 V(a) : х', x" € V(a)→ pm (f(x1), f (x")) < .
Теорема 5. Если отображение f : X — Rm, где X € Rn имеет предел в точке a, то:
Теорема 6. Пусть f : X → Rm, g : X → Rm, где X € Rn, и существуют пределы lim f (x) = b(x→a), lim g(x) = c(x→a). Тогда существуют пределы:
1) lim (f (x) ± g(x))= b ± c; (x→a)
2) lim f(x) . g(x) = b . c, (x→a)
где f ± g, b ± c — есть сумма и разность векторов; f • g, b • c — скалярное произведение векторов.
Теорема 7. Пусть f : X — R, g : X — R, X € Rn, и существуют пределы lim f(x) = A(x→a), lim g(x) = B. (x→a) Тогда существуют пределы:
1) lim( f (x) ± g(x)) = A ± B,
x— a
2) lim f(x)g(x) = A • B,
x— a
3) если g(x) ≠ 0, x € V(a) и B ≠ 0, то .
Замечание 1 . Заметим, что вначале мы говорим, что существуют пределы отображений f и g, а только после этого можем говорить о существовании предела f ± g и f • g.
Замечание 2. Для пределов функций многих переменных справедливы и другие свойства аналогичные свойствам функций одной переменной, при этом формулировки теорем и их доказательства по существу остаются теме же самыми.
Пусть а – предельная точка множества X Rn
Опр.5:отображение ƒ:X→ Rn, X Rn называется непрерывной в точке аєX, если lim f(x)=f(a) при xa (*)
Опр. 6: отображение ƒ:X→ Rn, X Rn называется непрерывной в точке аєX, если , что xєX таких, что n(x,a)< выполняется неравенство m(f(x),f(a))<
Пусть а - непредельная точка множества E X Rn
Опр. 7: Отображение ƒ:X→ Rm, x є Rn называется непрерывным в точке a єE по множеству E X, если (*)
Пусть E={Xє Rn /x1єR, xi=ai, i=1;2n}∩V(a;δ)
Если функция ƒ: V(a;δ) →R имеет lim f(x)=f(a) при xa ,x E, то говорят, что она непрерывна в точке а по переменной x1.
Иными словами функция ƒ определена в V(a;δ) Rn точки а по переменной x1, если функция одной переменной φ(x1)=ƒ(x1,a2….an) непрерывна в точке a1.Аналогично определяется непрерывность функции ƒ в точке а по переменным x1,i=1;2n.
Т. 8:Если отображение ƒ:X→ Rm, X Rn непрерывно в точке аєX,то она ограничена в некоторой окрестности V(a) точки а в множестве X.
Т. 9:Если отображение ƒ:X→Y , X Rn,Y Rn непрерывно в точке аєX, а отображение g:Y→R непрерывно в точке bєY, b= ƒ(a), то композиция g* ƒ:X→R отображения ƒ и g непрерывно в точке а.
Т. 10:Если функции ƒ:X→R,g:X→R, X Rn непрерывны в точке аєX, то их сумма ƒ+ g,произведение ƒg, а если g≠0, то и частное ƒ/g определены на множестве X и непрерывны в точке а.
Док-во:
Т.11: Если функция ƒ:X→R X Rn непрерывна в точке а и ƒ(a)>0 (ƒ(a)<0), то существует V(a) точки а такая, что ƒ(x)>0 (ƒ(x)<0) x є V(a).
Определение 1. Отображение f : Rn — Rm называется линейным, если для любых двух векторов х', х'' € Rn и любых двух чисел λ, μ € R выполняется равенство
f (λ х' + μ х") = λ f (х') + μ,f (x").
Пусть {e1,..., en} и {1,..., m} — фиксированные базисы пространств Rn и Rm соответственно. При отображении f образ вектора ej, j = 1,п является вектором в пространстве Rm и раскладывается по координатным векторам i, i = 1,m:
В силу линейности отображения f можно найти разложение по фиксированному базису {ei, . . . , em} образ f(x) любого вектора x = xiei + - - - + xnen € Rn. А именно
или в координатной записи f(x) = (fi(x), . . . , fm(x)) , где
fi(x) = a11x1+ + a1nXn
Таким образом, отображение f : Rn — Rm можно рассматривать как набор f = (f1, . . . , fm) из m координатных функций f1: Rn — R, i = 1,m. И заключаем, что отображение f линейно тогда и только тогда, когда каждая координатная функция fi : Rn — R, i = 1,m линейна.
Опр. Матрица А=) называется матрицей линейного отображения f. Теорема 17. Если f : Rn — Rm, g : Rn — Rm линейные отображения с матрицами A и B соответственно, то λf + μg, где λ, μ — произвольные числа, является линейным отображение с матрицей C = λA + μB.
Теорема 18. Если f : Rn — Rm, g : Rm — Rs линейные отображения с матрицами A и B соответственно, то их композиция = g о f является линейным отображением : Rn — Rs с матрицей C = B • A.
Опр. 1: Отображение ƒ: Rn → Rm называется линейным, если для любых векторов x’и x’’є Rn и любых действительных чисел λ и μ выполняется неравенство
ƒ(λ x’+ μ x’’)= ƒ(λ x’)+ ƒ(μ x’’) ;(1); Пусть { e1….. en} и { 1…m} фиксированные базисы пространств Rn и Rm соответственно.
Образом вектора ei, i=1;n при отображении ƒ является вектор ƒ(ei) пространства Rm. Поэтому его можно разложить по базисным векторам j, j=1;m. .
Тогда, учитывая линейность отображения ƒ, разложения образа произведения вектора xє Rn отображения ƒ по базисным векторам j,j=1;m имеет вид ƒ(x)= ƒ (3)=> координатные функции имеют вид
f1(x)= a11x1+…+a1nxn…fm(x)= a1m x1+……+amnxn (4) Нетрудно убедиться, что если координатные функции отображения ƒ: Rn → Rm имеют вид (4), то отображение ƒ –является линейным.
Матрица А=( aij), i=1;m j=1;n – матрица линейного отображения ƒ.
Тогда с учётом (4)
(fi(x))=A(xi),i=1;n (6)
Линейные отображения ƒ: Rn → Rm называют также линейным оператором, который действует из Rn в Rm.Если m=1, то ƒ-линейный функционал. При этом вместо матрицы (5) имеем вектор а= (a1….. an) и ƒ(x)=(a;x),где (a;x)-скалярное произведение.
Т.1:Если ƒ: Rn → Rm и g: Rn → Rm линейные операторы с матрицами А и В соответственно, то φ= λ ƒ+ μ g, где λ и μ-произвольные действительные числа, также линейный оператор, действующий из Rn в Rm с матрицей С= λА+ μВ.
Т.2:Если ƒ: Rn → Rm и g: Rm → Rs линейные операторы с матрицами А и В соответственно, то их композиция φ-является линейным оператором Rn → Rs с матрицей С=В*А.
Док-во: Если координатные функции лин. отображения ƒ ,j=1;m, а координатные отобр. g ,k=1;s, то координатные функции отображения (7)
Из (7) заключаем, что все координатные функции φ-линейны, а значит отображение φ: Rn → Rs-является линейным и его матрица С=(cki), где
Следовательно: Матрица С=В*А, что и требовалось доказать.
Определение 2. Отображение f : X → Rm, X С Rn, определенное на множестве X, называется дифференцируемым в точке x € X, предельной для множества X, если
f (x + h) — f (x) = L(x) h + α(x; h), (1)
где L(x) : Rn → Rm — линейное относительно h отображение, а α(x; h) = o(h) при h — 0, x + h € X.
Теорема 1. Отображение f : X — Rm, X € Rn дифференцируемо в точке x € X, предельной для множества X, тогда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции fi : X → R, i = 1,m, задающие координатное представление данного отображения.
ai(x) = (1.6)
Определение 3. Предел (1.6) называется частной производной функции f (x) в точке x = (x1,..., Xn) по переменной xi. Его обозначают одним из следующих символов
Утверждение 1. Если функция f : X → R, X С Rn дифференцируема во внутренней точке x €X этого множества, то в этой точке функция имеет частные производные по каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется этими частными производными в виде
Т. 3.Если отображение f:XY,XRn,Y Rm
диф.в т. xX
и отображение g:Y Rs диф.в т.y=f(x)Y,то композиция =gf:X Rs
этих отобр.диф.в т.x, причём дифференциал d(x)=dg(y)df(x)_(13) ’(x)-g’(y)*f’(x)_(14).
Док-во: Поскольку отображения f и g диф.в точках x и y=f(x) соответственно,то .С учётом равенства k=f(x+h)-f(x)(x-приращение h) имеем:(x+h)-(x)=g(f(x+h))-g(f(x))=g(y+k)-g(y)=dg(y) (k)+o(k)=dg(y)(f(x+h)-f(x))+o(f(x+h)-f(x))=dg(y)df(x)(h)+(x,h), где dg(y)df(x)-линейное отображение как композиция линейных отображений, .С учётом и
имеем . f(x+h)-f(x)=df(x)(h)+o(h)=O(h)+o(h)=O(h),h0
o(f(x+h)-f(x))=o(O(h))=o(h),h→0. Следовательно ,а значит отображение φ диф.в т.x и имеет место (13).Поскольку при композиции линейных отображений их матрицы перемножаются,то из (13)→(14).
Следствие 1.Если отобр. диф.в т. и диф.в т. y=f(x),то (14) в координатном виде запишется так
Из (15) имеем,что
В (15),(16) частные производные по переменным xi,i=1,n; рассм.в т.x,а частные произв.по переменным yj,j=1,m; в т. y=f(x).Равенство (16) явл.формулой нахождения частных производных от сложной ф-ии нескольких переменных.
Следствие 2.(инвариантность формы первого дифференц.).Форма первого диф.ф. g:Y->R; Y Rm;не изменяется если независимые переменные оказываются зависимыми функциями.Док-во следует из (10) и (16).
Следствие 3.(правило дифференцирования)
Имеют место формулы:d(c*u)=c*du,cR(17);
d(u+v)=du+dv;(18); d(u*v)=vdu+udv;(19);
Докажем(19): Пусть z=z(u,v)=u*v; .Отметим,что если u,v-функции от независимых переменных,то при док-ве используется инвариантность первого дифференциала.
Т.4.Если ф. имеет в δ-окр-ти т.x все частные производные \xi, i=1,n
и они непрерывны в т.x,то в этой точке ф.f дифференцируема.
Док-во: Пусть x+hV(x,)
.Используя Т.Лагранжа для ф.одной переменной получим: f(x+h)-f(x)=f(x1+h1,…,xn+hn)-f(x1,…,xn)=f(x1+h1,…,xn+hn)-f(x1,x2+h2,…,xn+hn)+ f(x1,x2+h2,…,xn+hn)-f(x1,x2,x3+h3,…,xn+hn)+…+f(x1,…,xn-1,xn-hn)-f(x1,…,xn)=f’x1(x1+1h1,x2+h2,…,xn+hn)h1+f’x2(x1,x2+2h2,x3+h3,…,xn+hn)h2+…+f’xn(x1,…,xn-1,xn+nhn)hn=f’x1(x1,…,xn)h1+…+f’xn(x1,…,xn)hn+(x,h),где , 1=f’x1(x1+1h1,x2+hn,…,xn+hn)-f’x1(x1,…,xn),…,,
Поскольку частные производные \xi, i=1,n непрерывны в т.x,топри,а значит.Таким образом ,где -линейная ф-ия,а это и означает,что ф.f-диф.в т.x.
Пусть направление в Rn задаётся вектором;,i=1,n;-базисные векторы в прямоуг.системах координат.Тогда ,где i-угол между векторами ω и ei.Поэтому wi,i=1,n; наз.направляющими косинусами направления ω.Если ф. f:X->R,XRn
диф.в области X,то сложная ф.h(t)=f(a+ωt) диф. в т.t=0 и по правилу дифференцирования сложной ф.
Опр.1.Величина h’(0)в соотношении (1) наз.производной ф.f по направлению ω в точке a и обозначается .Используя понятие предела это определение запишется так .
Опр.2.Вектор наз.градиентом ф.f в т.a и обозначается gradf(a).,где -оператор “набла”.
В силу (1), ,где α-угол между векторами gradf(a) и ω.
Св-ва:
1)Наибольшее(наименьшее) значение производной по направлению ω ф.f равно |gradf|(-|gradf|)и достигается при .
2)Производная ф.а по направлению ω равна нулю,если вектор gradf =(0,…,0) или ортогонален вектору направления ω.
Из 1) следует,что скорость возрастания ф.f наибольшая в направлении gradf.
Пусть ф.f имеет в δ-окр-ти т.а частную произв.по переменной .
Если сущ.частная производная ф.φ по переменной в т.a.,то она наз.частной производной второго порядка ф.f по переменным в т.a и обозначается .
Частная производная по некоторой переменной от частной производной (m-1)порядка ф.f наз.частной производной порядка m ф.f.
Частная производная по различным переменным наз.смешанной частной производной.
Частная произв.высшего порядка по одной и той же переменной наз.чистой частной производной.
Теорема 1.Если ф.имеет в δ-окр-ти V(a,δ) т. a смешанные частные производные непрерывные в т.a,то имеет место рав-во Док-во: Рассм.вспомогательное выражение
.Смещение ,если такое,что .Выражение (2) можно рассмотреть как приращение ф.по переменной в т.a.Применяя теорему Лагранжа получим
.Применяя сейчас т.Лагранжа к разности содержащейся в скобке последнего выражения ,
.Если рассм.выражение (2),как приращение ф-ий по переменной в т.a,то аналогично получим,что
.Из (3)и(4) имеем
.Поскольку частные производные непрерывны в т.a,то переходя в(5) к пределу при
получим (1).
Из Т.1 по индукции следует
Утверждение 1.Если ф. имеет в δ-окр-ти т.a все непрерывные частные производные до порядка m включительно,то значение смешанных частных производных до порядка m включительно ф.f не зависит от порядка дифференцирования.
Пусть ф.f от n-переменных имеет в δ-окр-ти т.a непрерывные частные производные первого и второго порядка.Считая постоянными,а значит найдём дифференциал от первого дифференциала ф.f.
,где .Квадратичная форма от
наз.дифференциалом второго порядка ф.f и обозн..Используя оператор имеем .В частности при n=2,
.По индукции определяется диф. m-того порядка и находится по формуле .При этом предполагается,что ф.f от n-переменных имеет в непрерывные частные производные до порядка m включительно.
Теорема1: Пусть ф-ия от n-переменных определена и непрерывна вместе со всеми частными производными до порядка m+1 включительно в -окресности V(a,)Rn т.a x=a+h V(a,). Тогда сп-ва формула , (1) где
ф-ла (1) наз. Формулой Тейлора ф-ии f с остаточным членом (2) в форме Лагранжа. , где dsf, , dxi=hi,
Д-во :Рассмотрим вспомогательнуюф-ию (t)=f(a+th), t0,1. В силу условия теоремы ф-ия имеет на отрезке 0,1 непрерывные производные до порядка m+1 включительно, причем
По Фор-ле Тейлора для ф-ий одной переменной , 01 (5)
Пологая в (5) t=1,получим :
Учитывая, что (1)=f(a+h)=f(x),(0)=f(a) и имеет место (4) из(6) следует (1)
Необходимые условия локального экстренума
Пусть::xR,xRn, a-внутренняя точка мн-ва X.
Опр: Точка а наз. Точкой строгого локального минимума(максимума), если сущ. Проколатая окр-ть т. А такая, что (x)≥(a) ((x)≤(a)) xV(a). Значение (a) ф-ии в т.а назлокальный минимум(максимум)
Опред: Точки лок. мин и лок. макс. наз. точками лок. экстренума, а значения ф-ии в этих точках – лок. экст.
Теорема1: Пусть ф-ия :М(ф)ℝ ,М(ф)ℝ т диффю в т. а .Если а – точка локального экстр. ф-ии , то
Д-во: рассм. ф-ию одной переменной , если а – т. локал. экст ф-ии , то точка а1 явл. точкой лок экстр. ф-ии . Тогда по теореме Ферма Поэтому Аналогично док-ся остальные рав-ва из (1) .Таким образом чтобы ф-ия в т. а имела экстренум необходимо выполнение одного из условий
-ф-ия дифф в т. а и имеет место (1)
- фи-я недифре. в т.а
Точки в которых имеет место (1) наз стационарными точками ф-ии (где произв =0)
Достаточное условие локального экстренума
РАссм квадратичную формулугде
Опр: Квадратич форма (2) наз положительно определённой(отрицательно) , если стационарная точка ф-ии .
Опр: Положительно опред и отриц опред квадрати-я форма наз-ся определен квадратичн. формой.
Опр:Если квадр. форма (2) принимает , как положительные так и отрицательные значения, то она наз-ся неопределенной .
Опр: Квадр форма (2) наз квадратичной , если или при всех причем сущ x0 , такой что
Матрица наз-ся матрицей квадратичной формы (2).
Определители главные миноры матрицы (3).
Имеет место критерий сильвестра знакоопределённости квадратичной формы:
Теорема 2: Пусть :V(a)ℝ Имеет все непреры-е частные производные до второго порядка включительно в окрестности V(a)ℝ n т.a b пусть а стационарная точка ф-ии .
Если кВ. форма
Рассмотрим систему Выясним при каких условиях из (1) можно найти m – функций если обозначить то эту задачу можно сформулировать так: при каких условиях из ур-ния F(x,y)=0 можно найти y=(x)
Опред: Отобр :xℝ m, xℝ n наз непрерывно дифф-мой на м-ве Ч если на этом мн-ве непрерывно дифф все его корд ф-ии , то есть все их частные производные первого порядка непревны на X.
Обозначим ,
Теорема 1: Пусть
Тогда сущ ок-ти V(a)ℝ n, V(b)ℝ m, такие, чтоxV(a) Т . yV(b) такая, что F(x,y)=0. Если y=f(x) указанное решение , то f(a)=b и отобр непрерывно в дифф V(a) и Д-во : пусть m=1 Тогда yR, F(x,y) – ф-ия n=1 переменн , условия 3. Примет вид F’x(a,b)0. Поскольку F’y непрерыв в т. W и F’y(a,b)0, то F’y(x,y )
В некоторой окрестности т .(a,b). Чтобы не вводить новых обозначений не нарушая общности рассуждений можно считать F’y(x,y) 0 в любой точке исходной окрестности для определенности предположим , что F’y(x,y)>0 в W(аналогично для F’y(x,y)<0). Тогда ф-ия F(a,y) строго возрастает .
Т1:Пусть :xRn, x Rn, x- область
1) Отображение непрерывно дифф., на x
2) b=(a), ax
3) det (a)0
Тогда V(a) x, т. a и V(b) x, т. b и единств. обратное отображ. -1: V(b) V(a) непрер. дифф. на мн-ве V(b), причём ( -1)(y)=( (x))-1 (1), при xV(a), y=(x) V(b).
Док-во:Если положить F(x,y)=(x)-y, то (?) y=(x) замен, в виде F(x,y)=0, F непрер. дифф. на XRn, F(a,b)=(a)-b=0, detF(a,b)=(a)0. Таким же образ. выполн все условия Т. о неявной функции, откуда справедл. утверждение данной теоремы. ф-ла (1) следствие из (???)(2): ( -1) (y)=-(Fx(x,y))-1*Fy(x,y), где (Fx(x,y))-1=((x)) -1, Fy(x,y)=-, един. матр, сл-но имеет место(1).
Пусть на открытом мн-ве G Rn, заданно мн-во непрер. дифф. функций: yi=i(x), i=1..m (1), Если откр. мн-во D Rm-1 и непрерывно дифф. на D- ф-ции F:DR, что F(1(x)…m-1(x))=m(x),xG (2), то говорят, что ф-ия m зависит от ф-ии 1...m-1.., на м-ве G. Если среди ф-ий (1) сущ. ф-ия зависящая от остальных на мн-ве G, то сист. ф-ий (1) наз зависимой на G
Если ни одна из ф-ий (1) не зависит от остальных на мн-ве G, то си-ма ф-ий (1) наз. Независимой на G.
Условия зависимости ф-ий :
При рассм вопрос о зависимости ф-ий (1), важную роль играет матрица. (3) T1:Если mn и система ф-ий(1) зависима на открытом мн-ве G, то ранг матр. Якоби (3) в каждой точке мн-ва G меньшеет.
Д-во: предположим, что ф-ия m зависит от остальных ф-ий системы (1) на мн-ве G, т.е. имеет место (2).
Тогда = ,k= (4), где части произв. По перем xk, k= . Рассм. В т. xG, по перемен yi, и т. (f1(x),…,fm-1(x)). А зна. Ранг матр (3) произв т. xGm.
Следствие:
Если m=n и симтема ф-ий (1) зависима на открытом мн-ве G, то в каждой точке xG.
.
(достаточное условие независимости ф-ий).Если mn ранг матр (3) в некоторой точке мн-ва G равен m, то система ф-ий (1) независима на мн-ве G,
Док-во от противного : Пусть сист. Ф-ий (1) зависима на мн-ве G, тогда по теореме (1) ранг матрицы (3) в кажд. Точке мн-ва Gm. Получили противоречие, которое док-ет справедливость следствия. Поскольку элем. Кажд строки матр (3) явл. Коорд. Градиента соотв. ф-ий , то теорему (10 можно сформулировать так:
Т2:Если все миноры S+1парядка матр. Якоби (3) системы ф-й (1) равны нулю в каждой точке открытого мн-ва G и хотя бы один минор порядка S не равен нулю в некоторой токе aG, то все ф-и входящие в этот минор независимы на мн-ве G и существует окружность т. a , в которой остальные m-s ф-ий зависимы от указанных S-ф-ий.
Пусть Уравнения
(1)
называются урвнениями связи
Рассмотрим множество
Опр.: Точка называется точкой условного экстремума функции f относительно уравнений связи, если она является точкой локального экстремума функции
Пусть функции непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G . Ранг матрицы
равен m . Это означает, что функции независимы на множестве G . Для определенности положим, что в точке а . Тогда найдем
(2) , где непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окрестности . Подставим в , получим
непрерывно дифференцируемые функции в некоторой окр-ти точки . Т.к. условия (1) и (2) равносильны, то имеет место след. утверждение:
Точка является точкой условного экстремума функции f отн-но уравнений связи (1) тогда и только тогда, когда является точкой локального экстремума функции g
Этот метод наз. методм исключения части переменных.
Пусть ф. имеют все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в открытом мн-ве GRn матрица Якоби имеет ранг равный m и для определённости считается, что в т.a Если XG удовлетворяет уравнениям связи Fi(x)=0;i=1,m; то Δf(a)=f(x)-f(a)=Ф(x)-Ф(a)= ΔФ(a).Следовательно, если a-точка локального экстремума ф.f относит.ур-ния связи.Это дост.усл.предполагает наличие в точке a локального экстремума ф.Ф,что значительно сужает область применения, поэтому целесообразно получить более общий дост.признак условн.экстр. Предположим, что a-стацион. точка ф.Ф,т.е.все частные произв.=0,тогда α является стацион. Точкой ф. . Убедимся в том, что ,где dF=0;(13)означает, что в т.a dFi=0, i=1,m; (14)
Равенство(13) следует понимать как равенство ф.от переменных определяется из системы (14).Имеем.
Дифф.ур-е связи получим .Далее дифф.(16) в точке a будем иметьi=1,m;(16;).Умножим i-тое рав-во(17) на число и выпишем полученное соотношение из(15) .Получим (18),где dx1,…,dxn удовлетворяют системе(14).Поскольку a-стационарная точка ф.Ф,то второе слагаемое правой части(18)обращаются в 0,следовательно справедливо(13).Теорема 1.Пусть a-стационарная точка ф.Лагранжа Ф,,если квадратичная форма относительно переменных dx1,…,dxn ,кот.удовлетворяют системе(14) положительно(отрицательно)определена,то в т.a ф.f имеет строгий условный минимум(максимум)относит.ур-я связи; если не определено,то в т.a ф.f не имеет условного экстремума.
Теорема1: Есои ряды и -сходятся, то ряд называемый суммой данных рядов, также сходится, причём сумма = +(1)
Доказательство: Пусть =;=;=-последовательность частичных сумм рядов для n=1,2…
=+;
Поскольку данные ряды сходятся, то и , а значит существует , причём =+, откуда следует, что ряд сходится и имеет место.
Теорема2: Если ряд сходится и C-произвольное число, то ряд , называется произведением данного ряда на число С, также =(2)
Доказательство: Справедливость теоремы следует из равенства
=
Определение3: Ряд вида называют n-ым остатком ряда .
Теорема: Если ряд -сходится, то сходится и любой его остаток. Если какой-нибудь остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд, при этом если S=
то S=+(3)
Доказательство: Пусть =+…+,n=1,2…-последовательность частичных сумм ряда ,=+…+,k=1,2…-последовательность частичных сумм m-ого порядка ряда. Тогда
=+, при n=m+k (4), m-произвольное.
Из (4) следует, что существут тогда и только тогда, когда существует .А это означает, что для ряда сходится его остаток. Следовательно с учётом 1-ая часть теоремы доказана.
Поскольку n→при k→=S; =, то переходя в (4) к пределу при k→и фиксировав m, получим (3).
Следствие:
1)Отбрасывание конечного числа ряда или добавления к ряду конечного числа новых слагаемых m влияет на сходимость ряда (при этом сумма ряда может изменяться)
2)Если ряд -сходится, то =0 (5)
Доказано: =(S-)=S-S=0;
Теорема: Ряд -сходится тогда и только тогда, когда ε>0 N Є N, такое что n>N, P Є N выполняется неравенство < ε (6)
Доказательство: Поскольку = - = - , то справедливость теоремы следует из критерия Коши для числовой последовательности { } и определяет сходимость следствия (необходимое условие сходимости ряда)
,=,=,
Если ряд -сходится, то =0 (7)
Доказательство: Полагаясь в теореме, что p=1 имеем ε>0 N Є N, n>N выполняется неравенство <ε. Если =N+1, то n> будет <ε.
Теорема: Для того, чтобы ряд (1), гдеUn ≥0 n=1,2….сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.Доказательство: Поскольку Un≥0, то последовательность {Sn} – частичных сумм ряда (1) является возрастающей. Тогда по теореме о пределе моннотонной последовательности, имеем, что последовательность { Sn } – сходится, тогда и только тогда, когда она ограничена сверху.Теорема: (Признак сравнения)Пусть имеем ряды и с(2) неотрицательными членами и NЄN,что n>N выполняется неравенствоUn≤c Vn (3).Тогда:1)Если ряд (2) – сходится, то сходится и ряд (1)2)Если ряд (1) – расходится, то расходится и ряд (2).Доказательство: 1), не нарушая общности рассуждения можем считать, что условие 3 имеет место nЄПусть { Sn } – последовательность частичных сумм ряда (1), {n} – последовательность частичных сумм ряда (2) и n =δ, т.е ряд (2) – сходится и его сумма равна δ. Тогда согласно (3) имеем, что Sn ≤cn ≤ cδ, n=1,2….(4). Из (4) следует, что {Sn } – ограничена сверху, а значит по теореме1 сходится.2)(Доказывается от противного)Предположим, что ряд (1) – расходится, а (2) – сходится, тогда согласно утверждению1 (1) – будет сходится, получим противоречие.Следствие: (Предельный признак сравнения) ПустьUn≥0,Vn >0, n=1,2…и =l(5) Тогда если:1)0<l<+∞, то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.2)l=0, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).3)l=+∞, то из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).Доказательство: Из (5), где 0<l<+∞ имеем, что ε>0 NЄN,что n>N будет – ε<Un/Vn< ε. Откуда Un <c Vn, c=l+ ε;Un <c1 Vn;c1 =, при 0<ε<l (7) n>N. Из (6) по признаку сравнения имеем, что если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).Из (7) по теореме2 заключаем, что из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2) => (1) и (2) – сходятся одновременно, тогда если один из этих рядов расходится, то расходится и другой ряд. Утверждение 2)3) – доказывается аналогично.
Теорема: (Признак Даламбера) пусть имеет ряд (1), гдUn >0, n=1,2…Тогда 1)если Un+1\Un=q<1, n=1,2…., то ряд (1) – сходится. 2)если Un+1\Un ≥1, n=1,2…, то ряд (1) – расходится.
Доказательство:
Замечание1: Из следствия3 §1 следует, что Теорема остаётся справедливой, если есть Un+1\Un =q<1, Un+1\Un ≥1, выполняется только для n=m,m+1…..,m>1.
Следствие: (Признак Даламбера в предельной форме) Пусть Un >0 n=1,2…и существует Un+1\Un =l.Тогда если l<1, то ряд (1) – сходится, а если l>1, то ряд (1) – расходится.Доказательство: Имеем, что l-ε< Un+1\Un <l+ε (9). Пусть l<1, тогда имеем Un+1\Un <q<1, где q=(1+l)/2 n>N, следовательно по признаку Даламбера ряд (1) – сходится.Пусть l>1 и ε=l-1. Тогда имеем, что Un+1 >1, n>N.Следовательно по признаку Даламбера следует:
Теорема: (признак Каши)пусть имеем ряд (1) Un ≥0, n=1,2…, тогда если: 1) ≤q<1(10), n=1,2…. то ряд (1) сходится.2) ≥1(11), n=1,2…., то ряд (1) – сходится.Доказательство: 1)Если имеет место (10), то Un ≤,qn n=1,2….Ряд при 0≤q<1 – сходится.
Следовательно по признаку сравнения ряд (1) – сходится.2)если выполнено (11), то Un ≥1, n=1,2….,значит не выполняется необходимое условие сходимости ряда.Замечание: Из теоремы 3 §1 следует, что теорема остаётся справедливой если условие (10) и (11) выполняется только при n=1,2….,n=m,m+1….,m>1.
Следствие (Признак Коши в предельной форме) пусть Un ≥0, при n=1,2… и существует =l(12), тогда если l<1,то ряд (1) – сходится,а если l>1, то ряд (1) – расходится.
Доказательство: Аналогично признаку Даламбера в предельной форме.Отметим, что признак Коши в предельной форме имеет место, если l= .
Теорема: (интегральный признак Маклорена)пусть функция f:[1;+∞)→R неотрицательна и убывает на промежутке [1;+∞).Тогда числовой ряд (13) –сходится тогда и только тога, когда сходится несобственный интеграл (14).Заметим, что поскольку функция f – монотонна от [1;+∞),то она интегрируема по Риману [1;ω]c[1;+∞), т.к. f-убывает на [1;+∞), то xЄ[k;k+1),k=1,2… имеем, что f(k+1)≤f(x)≤f(k), k=1,2…По свойству монотонности интеграла интегрируем по [k;k+1], получимf(k)≤≤f(x),k=1,2…(1).Сформулируем (1) от k=1до k=n будем иметь ≤≤ или -f(1)≤ ≤(2), - последовательность частичных сумм ряда (13).
Пусть ряд (13) – сходится и его сумма равна S, тогда ≤S, n=1,2…для ξ>1 выберем n≥ξ, тгда имеем ≤≤, ≤S, ξ≥1. несобственный интеграл(14) сходится.Пусть несобственный интеграл (14) – сходится тогда из (2) имеем, что ≤f(1)+ следовательно вывод: последовательность частичных сумм ряда (13) ограничена сверху, а значит по теореме1 ряд (13) – сходится.Следствие: Если функция f:[n0;+∞)→R, n0ЄR – неотрицательна и убывает на [n0;+∞), то числовой ряд - сходится тогда и только тогда,когда сходится несобственный интеграл.
Будем рассматривать ряды, содержащие бесконечное мн-во как положительных так и отрицательных членов, такие ряды наз знакопеременными.
Среди них выделяют ряды вида
Где Un>0, n=1,2,3… среди них выделяют рыды вида (1), которые наз зкакочередующимися.
Признак Лейбница. Пусть:UnUn+10 n=1,2,... (2) и
выполнены, тогда знакочередующийся ряд (1) сходится и имеет сумму S при этом : |S-Sn| Un+1, n=1,2.. (4), где Sn-п-ая частичная сумма ряда (1)
Доказательство
Рассмотрим последовательность {S2k}- частичная сумма ряда (1) четного порядка.U1-U2+…+U2k-1-U2k, k=1,2.. , откуда с учетом (2) имеем, что последовательность S2k является возрастающей.
Если S2k представлена в виде
.U1-(U2-U3)-…-(U2k-U2k-1)-U2k, k=1,2..,то с учетом (2) разность не отрицательная и U2k>0 , а значит S2k> U1, k=1,2.., т е последовательность S2k ограничена сверху. Вывод: следовательно существует lim S2k=S (5). Поскольку S2k-1=S2k+U2k+1, k=1,2.. (6)
И имеет место (3) и (5), то переходя в (6) к пределу, где к, получим , что lim S2k+1=S (7), Из (5) и (7) следует , что сущ предел lim Sn=S (8). А это означает, что ряд (1) сходится и его сумма равна S.Сейчас докажем (4). Поскольку последовательность S2kвозрастает, S2k+1 убывает и имеет место (5)и (7), то
S2k<S< S2k+1 (9) с учетом (9) имеем S -S2k S2k+1 - S2k S2k+1 (10)
S2k-1 -S S2k+1 + S2k= U2k (11). Из (10) и (11) следует справедливость (4).
{bn} ограничена , т е сущ М>0, что | bn|M. Поскольку lim an=0,
n, то >0 N, что n>N будет выполняться нер-во
|an|</6M, тогда
Полученное нер-во в силу монотонности последовательности аn.
Рассмотрим ряды (4) (5)
Теорема: (признак Абеля)Если ряд (5) – сходится и последовательность {} – монотонна и ограничена, то ряд (4) – сходится.
Теорема: (признак Дирихле) если последовательность {} частичных сумм ряда (5) и последовательность {}ограничена и монотонна сходится к нулю, то ряд (4) – сходится.
Доказательство: для сходимости ряда (4) нужно показать ε>0 NЄN, n>N, pЄN будет <ε, имеем =+…+=+…+, где =,=,i=1;p. Пусть
=+…+.
Применим преобразование Абеля получим:
==-
=(-)-(-)(6)
1Т.к. {} – ограничена, то M>0, что ≤M, n=1,2…
Из сходимости ряда (5), по критерию Коши имеем, что ε>0 NЄN, n>N, pЄN будет/+…+/<
//<M+≤+2M=ε
Поскольку в силу монотонности
и ограниченности последовательности. Согласно условий признака Дирихле {} ограничена, т.е. M>0, что ≤M, n=1,2…
Поскольку ε>0 NЄN, n>N, будет выполнятся неравенство <, тогда имеем ≤2M, т.е
//<ε (последнее неравенство имеет место в силу монотонности => ряд (4) - сходится)
Отмети, что признак Лейбница яыляется часным случаем признака Дирихле.
Будем рассматривать ряды:
Т2
. если ряд (13)сходиться, то сходится и ряд (12)
Док-во: если (13) сходится, то по критерию Каши для
будет
Из (14) согласно критерия Каши ряд (12) сходится
Опр. 1. Если ряд (13) сходится, то ряд (12) называется абсолютно сходящимся.
Опр. 2. Если ряд (12) сходится, а ряд (13) расходится, то ряд (12) называется условно сходящимся.
Т3. Если ряд (12) абсолютно сходится, то при любой перестановке её членов получается новый ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Док-во: обозначим
поскольку
и ряд (13 сходится), то по признакам сравнения сходятся следующие ряды:
Это ряды с неотрицательными членами (в силу (15))
Пусть после некоторой произвольной перестановки членов ряда (12) получается ряд.
а из рядов (16), (17) получается соответственно
Поскольку ряд (12) абсолютно сходится, а значит сходится ряд (13),то ряд - сходится,а этоозначает (18) – абсолютно сходится т.к. ряды (16)(17) с неотрицательными членами сходятся, будут сходится ряды
Тогда имеем, что
Теорема: (Римана)Если ряд (12) сходится условно, то каково бы ни было число А можно переставить член ряда (12),что получится
Т1.Если ряды (1) и (2) абсолютно сходятся и имеют сумму соответственно U и V то ряд составленный из всех произведений UnVl, n=1,2…l=1,2… расположенных в любом порядке, так же абсолютно сх.и по сумме = UV;
Д1 рассмотрим ряд
Всевозможные произведенияUk Vl, k=1,2…l=1,2. Пусть
Обозначенная через m-наибольшая из индексов k,l членов ряда (3), входящих в n wn. n≤(|U1|+…+|Um|)*(|V1|+…+|Vm|)≤Ũ*Ṽ;n=1,2…где
Огр. сверху,а знач. По признаку сходимости ряд (3) сходится т.е.
Поскольку сумма абсол.сход.ряда не зависит от порядка членов,то можно переставить члены ряда так,что его частич.сумма Sn=(U1+…+Un)*(V1+…+Vn);(4);Переходя в (4) к пределу при n-> Получим что S=V*n где S – сумма ряда|Wn|.
Опр1.Пара числовых последовательностей {an}и {pn}, , n=1,2… наз-ся бесконечным произв и обозначается (5) члены посл-ти {аn}наз-ся сомножителями бесконечного произв (1),члены посл-ти {pn} его частичными произведениями.
Опр2.Если посл-ть {pn}частичного произведения имеет конечный предел р, р≠0,то беск.произв.наз-ся сходимым и число р наз-ся значением беск.произв. При этом пишут (2)
В противном случае беск.произв.наз-ся расход.Если р=0,то говорят,что беск.произв.расход. к 0.Если хотя бы один из сомножителей =0,то беск.произв. поэтому в дальнейшем будем считать,что an≠0,n=1,2…
Т1.Беск.произв.,где an=0,n=1,2… сход.W и только W,Wсход ряд (5) причем если р-значение беск.произ. S-сумма ряда (5),то р=е3(6)
Д1.Если Рn,n=1,2…-част.произв. для беск.произв.,Sn,n=1,2…-част.сумма ряда (5),то Sn=ln*Pn,откуда Pn=eSn,n=1,2…(7).Переходя в (7) к пределу при n->∞ имеем,что беск.произ. и (5) сход или расход. Одновременно и имеет место формула (6)
Опр3.Беск.произ. наз-ся абсолютно сходящимся,если ряд (5) сход абсолютно.Сход беск.произв. не явл-ся абсолютно сход.наз-ся условно сход.
Т2.Беск.произв (8),где все an одного знака сход W и только W,W сход ряд (9)
Д2.Условие необход. Как и для сход беск.произв.,поэтому будем считать,что это условие выполнено.Не нарушая общности рассуждения положим,что 1+an=0,при n=1,2…Поскольку члены рядов (9) и (10) и сохраним один и тот же знак и ,то ряды (9)и(10)сход.или расход.одновременно согласно теореме1 беск.произв.(8)и ряд(10)сход или расход одновременно.Откуда заключаем,что одновременно сход или расход беск.произв.(8)и ряд (9)
Опр. Функц.посл. fn(x);n=1,2… xE(1) cход.и ф-я fна мн-ве Е равномерно, если 0 NN, что nN и хЕ, выполняется нер-во |fn(x)-f(x)|;Пишут fn(равномерно сходится), при n, при этом последовательность ф-ии(1)наз.равномерно сх.на мн-ве Е.
Т.Критерий равномерной сход-ти на мн-ве Е ф-ии f,т и т т,когда
Д-во:необх.Пусть посл.(1) равном сход и f на Е те 0 NN,что n>N и хЕ выполняется нер-во |fn(x)-f(x)|</2upxE|fn(x)-f(x)|/2;nN,значит имеет место (4),согласно опр.числовой послед-ти.
Достат-ное: Пусть имеет место (4),тогда NN, что n>N и xE.
Выполняется нер-во: upxE|fn(x)-f(x)|, а значит |fn(x)-f(x)|, n>N xEпослед.ф-ий(1) равномерно сход-ся на Е.
Т2 Критерий коши. Функц.посл-ть (1) равномерно сходящ на Е,т и т т,когда 0 NN,что n>N, pN,xE,тоесть выполняется нер-во(5).
Док-во: Необх.
Пусть функц.послед(1)равномерно сход.на Ех ф-ии f, тоесть NN, n>N и xE выполняется нер-во, |fn(x)-f(x)|≤|fn+p(x)-f(x)|+|f(x)-fn(x)|</2+/2=, n>N, pN, xE вып-ся нер-во (5).
Достат.: Пусть выполн.(5),тогда при любом фиксированном xE,имеет числовую послед-ть {fn(x)},для которой выполняется условия критерия Коши сходимости числовых послед-тей.Пусть fnf, при n,переходя (5) пределу при p получим, что |f(x)-fn(x)|≤<; n>N и xE. Следовательно (1) – равномерно сходится на E.
1)Если fn→f,gn→g; λμ-произвольные числа, то λ fn+μgn→λf+μg.
2) Если fn→f и M>0, что |g(x)|≤M xE, то gfn→gf
. Опр 4. Говорят, что функциональный ряд ∑fn(x)(1,∞)(1)равномерно сходится на E, если последовательность частичных сумм {Sn(x)} этого ряда равномерно сходится на E.Таким образом, равномерная сходимость ряда предполагает существование функции S(x), xeE такой, что Sn ⇒ S на E, где S(x) - сумма ряда∑fn(x)(1,∞). Теорема 2 (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Функциональный ряд (1) равномерно сходится на множестве E тогда и только тогда, когда Vε > 0 3N £ N : Vn > N, Уp е N, Уx £ E=> Справедливость утверждения теоремы следует из равенства(2).Равномерно СХОД.функц.РЯДЫ Достаточные признаки равномерной сходимости. Теорема 3 (Признак Вейерштрасса) где un > 0, n = 1, 2,. .. сходится и для Уx е E имеет место неравенство|fn(x)|^un,n=1,2, то функц/ ряд (1.2) равномерносходится на E. Доказательство. Согласно (1.5) и критерию Коши сходимости числовых рядов, имеем Следовательно, по критерию Коши равномерной сходимости функциональных рядов, ряд (1.2) сходится равномерно на E. Теорема 4 (Признак Абеля). Если функциональный ряд равномерно сходится на E, а последовательность {bn ( x)} монотонна при каждом x е E и ограничена на E, то функциональный ряд ∑an(x)bn(x)(1;∞)сходится на E.
Теорема 5 (Признак Дирихле). Если последовательность частичных сумм {An ( x)} ряда ∑bn(x)(1;∞) ограничена на E, а последовательность {bn(x)} монотонна при каждом xеEи равномерно стремится к нулю на E, то функциональный ряд ∑an(x)bn(x)(1;∞) равномерно сходится на E.
Теорема. Если ф. ряд равном. сх. к сумме S(x) на мн-ве Е, и сущ. пределы , то ф-ция S(x) имеет предел в точке , причем
(1)
Док-во. Согласно крит. Коши для ряда , имеем
(2)
Переходя к пределу при , получим . След. ряд удовл. критерию Коши, а значит сх.
Рассм. разность S(x)- . Т.к. S(x)= , то
.
Из равном. сходим. ряда на Е и сходим. ряда , заключаем, что ∃ℕ, что , и . Так как предел суммы равен сумме пределов, то для указанных и n сущ. , что для , таких, что , выполн. нерав-во
Из сказанного имеем, что для , а это значит S(x) имеет предел в точке и справедливо (1).
Непрерывность суммы ряда.
Теорема . Если функции fn(x), n = 1, 2, . . . непрерывны в точке xo € E и функциональный ряд (1.2) равномерно сходится к S(x) на E, то его сумма S(x) непрерывна в точке xo.Утверждение теоремы следует из теоремы 6, если положить, что un = fn(xo), n = 1, 2,...
Заметим, что каждой функциональной последовательности соответствует некоторый функциональный ряд, для которого она является последовательностью частичных сумм, поэтому в терминах функциональных последовательностей теоремы 6 и 7 формулируются:
Теорема 6'. Если функциональная последовательность {fn(x)} равномерно стремится к f на E и для любого n €N существует lim fn(x) = un,(x→x0) то предельная функция f имеет предел в точке xo, причем
Теорема 7'. Если функции fn(x), n = 1, 2,... непрерывны в точке xo €E и fn 4 f на E, то предельная функция f непрерывна в точке xo.
35.Интегрирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
Т3. Если ф-ции fn:E->R,n=1,2…непрерывны на мн-ве E и ряд fn(x),n=1,2…,xE(1) равномерно сходится на Е к своей сумме S,то этот ряд можно почленно интегрировать по любому отрезку [a;b]E. (6)
Д3.Имеем S(x)=Sn(x)+rn(x)(7),где
k=1,2…Из условия теоремы согласно Критерию Коши сумма S ряда (1)непрерывна на Е. Т.к. все ф-ции fn,n=1,2… непрерывны на Е,то на этом множ-ве и непрерывны Sn,n=1,2…Тогда из (7)заключаем,что следует непрерывность rn(x),n=1,2…на Е.Следовательно (8)
где ,n=1,2…Поскольку при n->,то при n->. Значит >0,NN,чтоn>N,xE выполняем неравенство . Тогда
n>N,т.е. .Переходя сейчас в (8) к пределу при n->получим(6).
36.Дифференцирование равномерно сходящихся рядов и последовательностей
Т4.Пусть ф-ции fn:[a;b]->R,n=1,2…непрерывно дифф.на [a;b] и ряд,составленный из их производных (9)равномерно сходится на отрезке [a;b].Тогда если ряд fn(x),n=1,2…, xE(1) сход. На отрезке [a;b],то его сумма S непрерывно дифф-ма на [a;b],причем n[a;b](10)
Д4.Пусть условия теоремы выполнены,тогда по критерию Коши сумма ряда (9) (11) непрерывна на отрезке [a;b] и по теореме 3 ряд (9)можно почленно интегрировать [a;x][a;b]
,т.е. (12),где S(x)-сумма ряда (1),x[a;b].Дифференцируя (12) имеем,что (x)=S’(x),x[a;b] (13),где (x) непрерывна на [a;b].Из (11),(13) имеем (10)
Т4’.Пусть ф-ции fn:[a;b]->R,n=1,2…непрерывно дифф.на [a;b]. при n->,fn сход-ся на [a;b] к сумме f,n->.Тогда предельная точка ф-ции f непрерывно дифф-ма на [a;b],причем ,x[a;b]
37. Степенной ряд. Радиус сходимости.
Опр 1. Функ ряд вида , где х0 и аn, n=0,1,2,… действительные числа xR-переменная наз степенным рядом аn, n=0,1,2,…- коэф степенного ряда.(х-х0)=t , то имеем
Исслед сходимость (1)(2), поэтому часто рассм ряд (1) при х0=0.
Теорема 1(Первая теорема Абеля).
Если степенной ряд (3) сходится при х=х00, то он сходится и при любом х для которого |x|<|x0|.
Док. Поскольку ряд (3) сходится при х=х0 , то lim an x0n=0, при n(в силу необходимого условия сходимости ряда)тогда М>0, что | an x0n| M, n=0,1,2,… имеем , что n=0,1,2…
Поскольку ряд
при |x|<|x0|. Следовательно ряд (3) сходится абсолютно при |x|<|x0|.
Следствие Если ряд (3) расходится при х=х0, то он расходится и при х для которого |x|>|x0|.
Док-во от противного.
Опр 2. Если ряд (3) сходится при любом х , для которого |x|<R и расходится при любом х , для которого |x|>M, то R называют радиусом сходимости рыда (3).
Теорема 2
У всекого степенного ряда (3) существует радиус сходимости R. При любом х для которого |x<R ряд(3) сходится абсолютно.
Док.
Через А обозначим мн-во всех неотрицательных чисел в которых ряд (3) сходится. Это мн-во не пустое, т к ряд (3) сходится при х=0, тогда мн-во А имеет конечную или бесконечную точную верхнию грань. Пусть sup A=R, покажем, что R является радиусом сходимости ряда (3).
Возьмем произвольное фиксированное х, для которого |x|<R . Согласно опр точкой верхней грани сущ число х0 такое, что что|x|<x0 . Тогда согласно теореме (1) ряд (3) сходится при |x|<R.
38.Формула Коши-Адамара
Т4.Пусть (4), тогда радиус сходимости ряда (3)
1)R=1/,если 0<<+
2)R=+,если =0
3)R=0,если =+
Формула (4) наз-ся формулой Коши-Адамара
Д. 1)Пусть 0<<+.Возьмем х0,что |x|<1/ и >0, такое что .Из (4) имеем,что N/N,что n>N выполняется нер-во .Откуда или |an||x|n<((+)|x|)n=qn, q=(+)|x|<1.Следовательно, из сход-ти ряда ,по признаку сравнения получаем сходимость ряда
, а значит ряд (3) абсолютно сходится при
Возьмём x такое, что и ε>0, такое что ρ-ε>0 из (4) имеем, что {nk} такое, что , а значит .Следовательно не выполняется необходимое условие сходимости ряда, поэтому ряд (3) расходится, если из сказанного выше заключаем, что R=1/,если 0<<+ - радиус сходимости ряда
2)3)-аналогично
39 Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Теорема: Радиусы сходимости степенных рядов
(1), (2), (3) равны.
Доказательство: Пусть R1, R2, R3 – радиусы сходимости рядов 1-3 соответственно. Поскольку то формуле Коши-Адамара найдем . Откуда R1=R2=R3. В дальнейшем будем рассматривать степенной ряд ,(4) где числа an, n=1,2,…, x0. И переменная x принадлежат R.Пусть R – радиус сходимости степенного ряда (4), тогда (x0-R;x0+R) – его интервал сходимости.
Теорема 15. Если R > 0 радиус сходимости степенного ряда (4), то внутри интервала сходимости ( xo - R; xo +R) этот ряд можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать. При этом полученные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и сам ряд (4), и:
, где х€( xo - R; xo +R).
40.Аналитические функции.Ряд Тейлора
Опр.Ф-ция f наз-ся аналитической в точке х0,если R>0,что в нтервале (x0-R;x0+R)она представлена степенным рядом,т.е. (9)
где x(x0-R;x0+R)
Опр. Если ф-ция f определена и имеет производные любого порядка в интервале (x0-R;x0+R),то ряд вида (10)
наз-ся рядом Тейлора ф-ции в т. х0. Не трудно увидеть,что если f аналит.ф-ция т. х0 ,то она раскладывается в свой ряд Тейлора,причем однозначно.Действительно из (9)имеем f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…
f(n)(x)=n!an+(n+1)!an+1(x-x0)+… n=1,2… (11)
Полагая в (11) х=х0,найдем что an=f(х0), , n=1,2… и они определяются единственным образом. Выясним,при каких условиях ряд Тейлора (10) сходится к ф-ции f. По формуле Тейлора имеем,что ,где rn(x)-остаточный член формулы Тейлора ф-ции f(а не остаточный ряда Тейлора,т.к. не установлена совокупность ряда).Откуда f(x)=Sn(x)+rn(x) (12),где Sn(x)-n-ная частичная сумма ряда Тейлора ф-ции f. Следовательно,ф-ция f равна сумме своего ряда Тейлора (10),тогда и только тогда,когда ,где х(x0-R;x0+R) n->
Т7.Если при (х-x0)<R выполняются неравенства (13),то (14)
х(x0-R;x0+R)
Д-во.Запишем остаточ.член формулы Тейлора ф-ции с с ост.членом в форме Лагранджа ,
с= х0+( х-x0), 0<<1. В силу (13) имеем
т.к. ,Rn+1-> сходится по признаку Даламбера. Поскольку ,где х(x0-R;x0+R),то из выше док-го => равенству (14)
41)Ряды Тейлора основных элементарных функций. Формулы Эйлера. Формула Стирлинга.
Разложение в ряд функций f(x)=ex, f(x)=sin(x), f(x)=cos(x), f(x)=ln(1+x), f(x)=(1+x)α
. Разложим в ряд функцию f (x)= ex:
Поскольку f(x)= ex, nN, то для любого фиксированого a>0, x(-a;a) выполним неравенство 0<f(x)<e.
Функция e раскл. В ряд Тейлора на любом конечном интервале, т.е. на числовой оси, а т.к.f(0)=1, то получим разложение: e= (1)
Т.к. R=, то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
2. Разложим в ряд функции f(x)=sinx и f(x)=cosx:
f(x)=sinx: , поэтому : следовательно функция sinx раскладывается в степенной ряд на всей числовой оси
Тогда , .
Аналогично получаем, что , .
3. Разложим в ряд:
На основании теоремы о поименном интеграле степенного ряда с учётом выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:
Указанный ряд сходится по признаке Лейбница и при x=1. Следовательно разложение справедливо при x(-1;1]
4. Разложим в степенной ряд в степени бинома .
Поскольку формула Тейлора для функции имеем вид:
42.Ряды Фурье по ортонормированной системе функций. Неравенство Бесселя.
Опр.Через R([a;b]) обозначим множество всех ф-ций, определенных и интегрируемых Риману на отрезке [a;b]. Отметим, что сумма и произведение функций из R([a;b]) также принадлежит R([a;b])
Опр.1Пусть множество {f,g} R([a;b])
Скалярным произведением ф-ции f и g называется число (f,g)
Из (1) имеем следующие свойства:
1) (f,f)≥0
2) (f,g)=(g,f)
3) (f,g)=(f,g)
4) (f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)
5) неравенство Каши (f,g)2≤(f,f)*(g;g)
{f,f1,f2,g} R([a;b]), R
Опр.2Нормой функции fR([a;b]) называется число
Из (2) и свойств скалярного произведения 3 и 5 имеем:
||f||=||*||f||
||f+g||=||f||+||g||
{f,g} |R([a;b]), |R
Опр.3 Пусть {f,g}|R([a;b]) функции f и g называются ортагональными функциями, если
Опр.4 Ф-ция f|R([a;b]) называется нормированной, если норма ||f|| = 1
Опр.5 Пусть {f,g} R([a;b]) среднеквадратическим расстоянием между функциями f и g называется ||f-g||
Пусть nR([a;b]), n=1,2…
Опр.6 Набор функций 1,2…n называется ортонормированным, если эти функции попарно ортогональны и нормированы, т.е.:
Опр. 7 Функциональная последовательность {n} наз.ортогональной системой ф-ции, если {k,}=
Т.е. {n} является ортогон.системой функ-ий и каждой из ф-ий последовател.нормирована.
Равенство ||f- P*||=min||f-P||;(1) где fR([a,b]), P*HnИмеет место т и тт,когда
Следствие 1.
Следствие 2 Ряд вида наз. Рядом Фурье ф-и f относит. ортонормиров. системы ф-й {n}. Если {n} явл. ортонормир. сист. ф-й, ТО ||n||=1;n=1,2 тогда ряд (5),где сn=(f,n),n=1,2 наз. рядом Фурье по ортонормир. сист.ф-й{n}. Число Сn , n=1,2; наз. коэффиц. Ряда Фурье
Неравен-во Бесселя. 1)Пусть fR[(a,b)] имеет место нер-во Бесселя
Из (6) имеем, что сумма сх-ся,и переходя к пределу при к,получим Нерав-во Беккеля. 2) Пусть fR[(a,b)], сn=(f,n),n=1,2… Тогда сn0,при n (7); имеет место в силу необх.сх-ти ряда суммы от n=1 до сn2
43.Замкнутость и полнота ортонормированных систем.
Опр.Система ф-ций {n} из R([a;b]) наз-ся замкнутой в R([a;b]),если fR([a;b]),>0 существует линейная комбинация конечного числа ф-ций послед.{k},такая что ||(f-p)||< . Следующее свойство ряда Ф запишем виде теоремы:
Т1.Если {fn}-замкнутая ортонормированная система ф-ций в R([a;b]),то ряд Ф любой ф-ции R([a;b])сход-ся в среднем квадратическом к самой ф-ции f,т.е. (15)при этом (р-во Парсеваля)(16)
Д-во:Пусть >0-производная фиксиров. Поскольку {n}-замкнутая ортогональная система ф-и в R([a;b]) то ,что ||(f-p)||<.Когда,учитывая и получим,чтоnm (17)
(17)=>(15),(16)
Отметим,что из сходимости ряда Ф в среднеквадр. не следует равномерная или поточная сходимость этого ряда
Опр.Система ф-ций {n}из R([a;b]) наз-ся полной если fR([a;b]) с условием (f,n)=0,n=1,2… выполняется рввенство ||f||=0
Т.Всякая замкнутая ортонормированная система ф-ций {n} в R([a;b]) явл-ся полной в R([a;b])
Д.Пусть fR([a;b]), (f,n)=0,n=1,2…тогда коэффициент Ф ф-ции f cn(f,n)=0,n=1,2…Следовательно из равенства Парсеваля ||f||<0 => система полная
44)Сходимость в среднем квадратичном. Равенство Парсеваля.
45 Тригонометрический ряд Фурье. Интегральное представление его сумм.
Последовательность функций 1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx -π≤x≤π (1).Называется тригонометрической системой и она является ортогональной.
Опр:Ряд вида (2), где a0,an,bnЄR, n=1,2….. называются тригонометрическим рядом Фурье.коэфициенты Фурье функции fЄR[-π; π] относительно тригонометрической системы функций (1) определяется формулами , n=1,2…(3)
Определение:Тригонометрический ряд (2) коэффициенты которого определяются формулами (3) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f ,а числа a0,an,bnЄR, n=1,2….. называются тригонометрическими коэфициентами ряда Фурье функции f.f=.
Все члены ряда Фурье функции f являются 2 π-периодическими и удовлетворяют условию
, через Rb обозначим множество всех функций f:R→R являющимися 2 π-периодическими
Тригонометрическая система (1) не является ортонормированной, при её нормировании получим следующую ортонормированную систему функций
-π≤x≤π (4). Коэфициенты функции fЄR[-π;π] по системе функций (4) имеют вид:
46) Сходимость тригонометрического ряда Фурье в точке.
Опр.: Функция непрерывна в точке x справа(слева), если
Опр.: Непрерывная справа(слева) функция имеет в точке х правую(левую) производную, если существует конечный предел
Если ф-ция непрерывна как справа, так и слева и в точке х, то функция имеет в точке х конечную производную , причем
Опр.: Точка называется регулярной точкой функции , если
Составим вспомогательную ф-цию . Если ф-ция регулярна в точке х, то
Лемма: Пусть - периодическая, абсолютно интегрируемая ф-ция на отрезке длины . Тогда интегралы
, где сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство: В силу аддитивности
Интеграл является сходящимся, т.к. ф-ция явл. абсолютно интегрируемой ф-цией как сумма абсолютно интегрируемых функций, а функция 1/(sin(t/2)) является непрерывной на отрезке [].
47) Теорема Фейера
Теорема 5 (Фейера). Если функция f непрерывна на отрезке [—п,п] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ - п, п] и f(-п) = f( п) . Продолжим ее 2п-периодически на всю числовую ось R. Оценим разность f (x) — (x)
Зафиксируем точку x € [ — п, п] и зададим произвольное > 0. Имеем
(4.16)
где δ> 0 выбрано так, что значение модуля непрерывности w(; f) функции f удовлетворяет неравенству w(; f) < . Это возможно, так как функция f равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Поэтому для любого x € R имеем
. (4.17)
Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция f ограничена на всей числовой прямой, т.е. существует такая постоянная M > 0, что для всех x € R имеет место неравенство |f(x)|<= M. Согласно следствию 2 из леммы 1, правая часть полученного неравенства стремится к нулю при n →, поэтому существует такое n0, что при всех n > n0 выполняется неравенство (4.18)
Аналогично, для любого x €R и всех n > n0 имеем (4.19)
Из (4.16), (4.17), (4.18) и (4.19) для произвольного x € R и всех n > n0 имеем |f (x) — (x)| <и, так как выбор номера n0 не зависит от выбора точки x, то последовательность {n(x)} сходится равномерно на всей
числовой оси R к функции f.
48. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
Лемма 1. Пусть функция f имеет на отрезке [-,]непрерывные производные до порядка к-1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка к. к1, причем f(j)(-)= f(j)(), j=0,1,2…k-1. Тогда коэф Фурье функ удовлет нер-во
ходится
Доказательство. Применим теорему (1) и получим:
Аналог оценки получаем, если если имеет место (2) и Ряд n2 сходится.
Теорема 2. Пусть f имеет на отрезке [-,]непрерывные производные до порядка к-1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка к. к1, причем f(j)(-)= f(j)(), j=0,1,2…k-1. Тогда коэф Фурье функ равномерно сходитсяна отр [-,] к самой функции f причем
49. Дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 1. Пусть ф-я f непрерывна дифференцируема на отр [-,]f(-)= f(),и этой функ соответствует
Тригоном ряд Фурье произв f’(x) получаем из ряда Фурье функции f почленно дифференц.
Доказательство:
Поскольку 0=0, n , n опред формулами(3) и (4),то из (2) получаем (1).
50. Интегрирование тригонометрического1 ряда Фурье.
Теорема.Пусть ф.f непрерывна на [-П,П]и f(x)~ тогда ,где ряд стоящий справа равномерно сх-ся на [-П,П].
Д-во:Рассм. Ф.(2)непрерывна на [-П,П]и на этом отрезке имеет непрерывную производную. F’(t)=f(t)-a0/2, кроме того F(П)-F(-П)=
,зн.F(П)=F(-П).Согласно Теореме 2 тригоном.ряд Фурье ф.F равномерно сх-ся на [-П,П].
Имеем An=1/П*
Аналогично получаем,что Bn=An/n,n=1,2,…Полагая в (3)t=0 с учётом F(0)=0 получим
Откуда,в силу(2)имеем(1),а из равномерности(3)следует равномерная сх-ть на [-П,П]ряда,стоящего в правой части(1)
Таблица основных производных
основные разложения степенных рядов
таблица основных интегралов