Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения
Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является матери альная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче мож но пренебречь. Понятие материальной точ ки — абстрактное, но его введение облег чает решение практических задач. Напри мер, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за мате риальные точки.
Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между со бой части, каждая из которых рассматри вается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы матери альных точек. В механике сначала изуча ют движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.
Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изме нять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твер дым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформиро ваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между
двумя частицами) этого тела остается по стоянным.
Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступатель ного и вращательного движений. Поступа тельное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллель ной своему первоначальному положению. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.
Движение тел происходит в простран стве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение.
Положение материальной точки опре деляется по отношению к какому-либо другому, произвольно выбранному телу, называемому телом отсчета. С ним связы вается система отсчета — совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А в данный момент вре мени по отношению к этой системе ха рактеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором r, проведен ным из начала системы координат в дан ную точку (рис. 1).
При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяют ся. В общем случае ее движение определя ется скалярными уравнениями
эквивалентными векторному уравнению
r = r(t). (1.2)
Уравнения (1.1) (соответственно (1.2)) называются кинематическими уравнения ми движения материальной точки.
Число независимых координат, полно стью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степе ней свободы. Если материальная точка свободно движется в пространстве, то, как уже было сказано, она обладает тремя степенями свободы (координаты х, у и z); если она движется по некоторой поверхно сти, то — двумя степенями свободы, ес ли — вдоль некоторой линии, то — одной степенью свободы.
Исключая t в уравнениях (1.1) и (1.2), получим уравнение траектории движения материальной точки. Траекто рия движения материальной точки — ли ния, описываемая этой точкой в простран стве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным.
Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис.2). Отсчет времени начнем с момен та, когда точка находилась в положении А. Длина участка траектории АВ, прой денного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется дли ной пути As и является скалярной фун кцией времени: s = s(t). Вектор r=r-r0, проведенный из начального положе ния движущейся точки в положение ее в. данный момент времени (приращение радиуса-вектора точки за рассматривае мый промежуток времени), называется пе ремещением.
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствую щим участком траектории и модуль пе ремещения |r| равен пройденному пу ти s.
Скорость
Для характеристики движения материаль ной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстрота движения, так и его направление в данный момент времени.
Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени t ей соответ ствует радиус-вектор r0 (рис. 3). В течение малого промежутка времени t точка прой дет путь As и получит элементарное (бес конечно малое) перемещение r.
Вектором средней скорости <v> назы вается отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t:
Направление вектора средней скоро сти совпадает с направлением r. При неограниченном уменьшении t средняя скорость стремится к предельному значе нию, которое называется мгновенной ско ростью v:
Мгновенная скорость v, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей ся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касатель ной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости
10
Таким образом, модуль мгновенной скоро сти равен первой производной пути по времени:
При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней ско ростью неравномерного движения:
Если выражение ds = vdt (см. форму лу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+t, то найдем длину пути, пройденного точкой за время t:
В случае равномерного движения число вое значение мгновенной скорости посто янно; тогда выражение (2.3) примет вид
Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом
Ускорение и его составляющие
В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величи ной, характеризующей быстроту измене ния скорости по модулю и направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки тра ектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор v задает скорость точки
А в момент времени t. За время t движу щаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равную v1=v + v. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем v (рис.4).
Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t+t на зывается векторная величина, равная от ношению изменения скорости v к интер валу времени t:
Мгновенным ускорением а (ускорени ем) материальной точки в момент време ни t будет предел среднего ускорения:
Таким образом, ускорение а есть вектор ная величина, равная первой производной скорости по времени.
Разложим вектор v на две составля ющие. Для этого из точки А (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор
AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный v, определяет изме нение скорости по модулю за время t: v=v1- v. Вторая же составляющая вектора v-vn характеризует изменение скорости за время t по направлению.
Тангенциальная составляющая уско рения
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускоре ния. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому As можно счи тать дугой окружности некоторого радиу са r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует vn/AB = v1/r, но так как AB = vt, то
В пределе при t0 получим v1v.
Поскольку v1v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник EAD равно бедренный, то угол ADE между v и vn стремится к прямому. Следовательно, при t0 векторы vn и v оказываются взаим но перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к тра ектории, то вектор vn, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускоре ния, равная
называется нормальной составляющей ус корения и направлена по нормали к тра ектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение тела есть геометри ческая сумма тангенциальной и нормаль ной составляющих (рис.5):
Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту из менения скорости по направлению (на правлена к центру кривизны траекто рии).
В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения дви жение можно классифицировать следую щим образом:
1) а=0, аn = 0 — прямолинейное рав номерное движение;
2) a=a=const, an=0 — прямолиней ное равнопеременное движение. При та ком виде движения
Если начальный момент времени t1=0, а начальная скорость v1=v0, то, обозна чив t2 = t и v2 = v, получим a = (v-v0)/t, откуда
v =v0+at.
Проинтегрировав эту формулу в пре делах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, прой денного точкой, в случае равнопеременно го движения
3) а=f(t), аn=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;
4) а=0, аn=const. При а=0 ско рость по модулю не изменяется, а изменя ется по направлению. Из формулы аn= v2/r следует, что радиус кривизны до лжен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равно мерным;
5) а=0, аn0 — равномерное кри волинейное движение;
6) a=const, an0—криволинейное равнопеременное движение;
7) a= f(t), an0 — криволинейное движение с переменным ускорением.
Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое враща ется вокруг неподвижной оси. Тогда от дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко торых лежат на оси вращения. Пусть не которая точка движется по окружности радиуса R (рис.6). Ее положение через промежуток времени t зададим углом . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Мо дуль вектора d равен углу поворота, а его направление совпадает с направле нием поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого, винта (рис.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо гут откладываться из любой точки оси вращения.
Угловой скоростью называется вектор ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:
Вектор «в направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор d (рис. 7). Размерность угловой скорости dim=T-1, a . ее единица — радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
В векторном виде формулу для линейной скорости можно написать как вектор ное произведение:
При этом модуль векторного произведе ния, по определению, равен
, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к R.
Если =const, то вращение равномер ное и его можно характеризовать перио дом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени t=T соответствует =2, то = 2/Т, откуда
Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет ся частотой вращения:
Угловым ускорением называется век торная величина, равная первой производ ной угловой скорости по времени:
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско рости. При ускоренном движении вектор
сонаправлен вектору (рис.8), при замедленном.— противонаправлен ему (рис. 9).
Тангенциальная составляющая ускорения
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линейны ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско рость v, тангенциальное ускорение а, нор мальное ускорение аn) и угловыми величи нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле дующими формулами:
В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)
где 0 — начальная угловая скорость.
Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
§ 5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила
Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исклю чительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщени ем результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной про верке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.
Первый закон Ньютона: всякая мате риальная точка (тело) сохраняет состоя ние покоя или равномерного прямолиней ного движения до тех пор, пока воздейст вие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. По этому первый закон Ньютона называют также законом инерции.
Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсче та. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами от счета. Инерциальной системой отсчета яв ляется такая система, которая либо по коится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.
Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцен трическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловлен ные ее неинерциальностью (Земля враща ется вокруг собственной оси и вокруг Со лнца), при решении многих задач прене брежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.
Из опыта известно, что при одинако вых воздействиях различные тела неоди наково изменяют скорость своего движе ния, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его мас сы).
Масса тела — физическая величина, являющаяся одной из основных характе ристик материи, определяющая ее инерци онные (инертная масса) и гравитацион ные (гравитационная масса) свойства. В настоящее время можно считать дока занным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10-12 их значения).
Чтобы описывать воздействия, упоми наемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамиче ское проявление сил), либо деформируют ся, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется чис ловым значением, направлением в про странстве и точкой приложения. Итак, сила — это векторная величина, являюща яся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и раз меры.
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона — основной за кон динамики поступательного движе ния — отвечает на вопрос, как изменяет ся механическое движение материальной точки (тела) под действием приложен ных к ней сил.
Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всег да прямо пропорционально равнодейст вующей приложенных сил:
a~F (m=const). (6.1)
При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно:
а~1/т (F=const). (6.2)
Используя выражения (6.1) и (6.2) и учи тывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать
a = kF/m. (6.3)
Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точ ки (тела).
В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда
a = F/m,
или
F = ma = mdv/dt (6.4)
Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:
F=(d/dt)(mv). (6.5)
Векторная величина
p = mv, (6.6)
численно равная произведению массы ма териальной точки на ее скорость и име ющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.
Подставляя (6.6) в (6.5), получим
F=dp/dt (6.7)
Это выражение — более общая формули ровка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выраже ние (6.7) называется уравнением движе ния материальной точки.
Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе в 1 кг сообща ет ускорение 1 м/с2 в направлении дейст вия силы:
1 Н=1 кг•м/с2.
Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае ра венства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньюто на рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго зако на), так как именно он утверждает су ществование инерциальных систем отсче та, в которых только и выполняется урав нение (6.7).
о механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одно временно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускоре ния можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к су щественному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу F (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу Fn (направлена по нормали к центру кривизны).
Используя выражения
а=dv/dt и аn=v2/R, а также v=R, можно записать:
Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу
Третий закон Ньютона
Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие мате риальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которы ми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противо положно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:
F12=-F2I, (7.1)
где F12 — сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; F21 — сила, действующая на вторую мате риальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.
При использовании законов динамики иногда допускают следующую ошибку: так как действующая сила всегда вызыва ет равную по модулю и противоположную по направлению силу противодействия, то, следовательно, их равнодействующая до лжна быть равна нулю и тела вообще не могут приобрести ускорения. Однако надо помнить, что во втором законе Ньютона речь идет об ускорении, приобретаемом телом под действием приложенных к нему сил. Равенство нулю ускорения означает равенство нулю равнодействующей сил, приложенных к одному и тому же телу. Третий же закон Ньютона говорит о равен стве сил, приложенных к различным телам. На каждое из двух взаимодействующих тел действует только одна сила, которая и сообщает данному телу ускорение.
Третий закон Ньютона позволяет осу ществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.
Силы трения
Обсуждая до сих пор силы, мы не интере совались их происхождением. Однако в механике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготе ния.
Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхно сти другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения, которая
препятствует скольжению соприкасаю щихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоро стей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия ме ханическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающих ся тел.
Различают внешнее (сухое) и внутрен нее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающих ся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.
Внутренним трением называется тре ние между частями одного и того же тела, например между различными слоями жид кости или газа, скорости которых меняют ся от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг дру га и разделены прослойкой вязкой жидко сти (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидроди намическом трении (слой смазки доста точно толстый) и граничном трении (тол щина смазочной прослойки ~0,1 мкм и меньше).
Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся повер хностей; в случае же очень гладких по верхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.
Рассмотрим лежащее на плоскости те ло (рис. 11), к которому приложена горизонтальная сила F.
Тело придет в движе ние лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения Fтр. Француз ские физики Г. Амонтон (1663—1705) и Щ. Кулон (1736—1806) опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжения Fтр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:
Fтр =fN,
где f — коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.
Найдем значение коэффициента тре ния. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 12), то оно приходит в движение только когда тангенциальная составляющая F силы тя жести Р больше силы трения Fтр. Следова тельно, в предельном случае (начало скольжения тела)
F=Fтр
или
Таким образом, коэффициент трения ра вен тангенсу угла 0, при котором на чинается скольжение тела по наклонной плоскости.
Для гладких поверхностей определен ную роль начинает играть межмолекуляр ное притяжение. Поэтому Б. В. Дерягиным (р. 1902) предложен закон трения скольжения
Fтр = fист(N + SP0),
где p0 — добавочное давление, обус ловленное силами межмолекулярного при тяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частица ми; S — площадь контакта между телами; fист — истинный коэффициент трения скольжения.
Трение играет большую роль в при роде и технике. Благодаря трению движет ся транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.
В некоторых случаях силы трения ока зывают вредное действие, и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими повер хностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно мень шим внутренним трением жидкости.
Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т.д.). Сила трения качения определяется по закону Кулона:
Fтр = fkN/r, (8.1)
где r — радиус катящегося тела; fk — коэффициент трения качения, имеющий размерность dimfk=L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорцио нальна радиусу катящегося тела.
Закон сохранения импульса. Центр масс
Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп ность материальных точек (тел), рассмат риваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодей ствия между материальными точками ме ханической системы называются внутрен ними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют
внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механиче скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направле ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны т1, m2, . .., тn и v1, v2, .. ., vn. Пусть F'1, F'2, ..., F'n — равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a f1, f2, ..., Fn — равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:
d/dt(m1v1)=F'1+F1,
d/dt(m2v2)=F'2+F2,
d/dt)mnvn)= F'n+Fn.
Складывая почленно эти уравнения, получим
d/dt (m1v1+m2v2+... + mnvn) = F'1+F'2+...+ F'n+F1+F2+...+ Fn.
Но так как геометрическая сумма внутрен них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то
d/dt(m1v1+m2v2 + ... + mnvn)= F1 + F2+...+ Fn, или
dp/dt=F1+ F2+...+ Fn, (9.1)
где
импульс системы. Таким образом, производная по времени от им пульса механической системы равна гео метрической сумме внешних сил, действующих на систему.
В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)
Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения импульса справед лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со хранения импульса — фундаментальный закон природы.
Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства сим метрии пространства — его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.
Отметим, что согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.
В механике Галилея — Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ско рость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен
где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число материальных точек в системе;
— масса системы.
Скорость центра масс
Учитывая, что pi =mivi, а
есть импульс р системы, можно написать
p = mvc, (9.2)
т. е. импульс системы равен произведе нию массы системы на скорость ее цент ра масс.
Подставив выражение (9.2) в уравне ние (9.1), получим
mdvc/dt=F1+ F2+...+ Fn, (9.3)
т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.
В соответствии с (9.2) из закона со хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает ся неподвижным.
Уравнение движения тела переменной массы
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ра кеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела пе ременной массы на примере движения ра кеты. Если в момент времени t масса раке ты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm
и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса систе мы за отрезок времени dt
dp = [(m-dm) (v+dv)+dm (v + u)]- mv,
где и — скорость истечения газов относи тельно ракеты. Тогда
dp = mdv + udm
(учли, что dm dv — малый высшего порядка малости по сравнению с осталь ными).
Если на систему действуют внешние силы, то dp = Fdt, поэтому
Fdt = mdv + udm,
mdv/dt=F-udm/dt. (10.1)
Член -udm/dt называют реактивной силой
at
Fp. Если u противоположен v, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормо зится.
Таким образом, мы получили уравне ние движения тела переменной массы
ma=F + Fp, (10.2)
которое впервые было выведено И. В.Ме щерским (1859—1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854—1881). К.Э.Циолковский (1857— 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где
предложил теорию движения ракеты и ос новы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основате лем отечественной космонавтики.
Применим уравнение (10.1) к движе нию ракеты, на которую не действуют ни какие внешние силы. Полагая F = 0 и счи тая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ра кеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m0. Следовательно,
v = uln(m0/m). (10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истече ния и газов, тем больше может быть ко нечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.
§11. Энергия, работа, мощность
Энергия — универсальная мера различ ных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения мате рии связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнит ную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холод ное), в других — переходит в иную фор му (например, в результате трения меха ническое движение превращается в тепло вое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы
количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействую щими телами, в механике вводится по нятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с на правлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения (Fs =Fcos), умноженной на перемещение точки приложения силы:
A = Fss = Fscos. (11.1)
В общем случае сила может изменять ся как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться не льзя. Если, однако, рассмотреть элемен тарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее
приложения — прямолинейным. Элемен тарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина
dА =Fdr = Fcos•ds=Fsds,
где а — угол между векторами F и dr; ds = |dr| — элементарный путь; Fs — про екция вектора F на вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сум ма приводится к интегралу
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы Fs от пути s вдоль траектории 1—2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графи ке площадью закрашенной фигуры. Если, например, тело движется прямолинейно, сила F=const и =const, то получим
где s — пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).
Из формулы (11.1) следует, что при </2 работа силы положительна, в этом случае составляющая Fs совпадает
по направлению с вектором скорости дви жения v (см. рис. 13). Если >/2, то работа силы отрицательна. При =/2 (сила направлена перпендикулярно пере мещению) работа силы равна нулю.
Единица работы — джоуль (Дж): 1 Дж — работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н•м).
Чтобы охарактеризовать скорость со вершения работы, вводят понятие мощ ности:
N=da/dt. (11.3)
За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
N=Fdr/dt=Fv
т. е. равна скалярному произведению век тора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N — величина скалярная.
Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).
Кинетическая и потенциальная энергии
Кинетическая энергия механической системы — это энергия механического движения этой системы.
Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает рабо ту, а энергия движущегося тела возраста ет на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, кото рый тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.
dA= dT.
Используя второй закон Ньютона F=mdv/dt
и умножая обе части равен ства на перемещение dr, получим
Fdr =m(dv/dt)dr=dA
Таким образом, тело массой т, движущее ся со скоростью v, обладает кинетической энергией
Т = тv2/2. (12.1)
Из формулы (12.1) видно, что кинети ческая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее дви жения.
При выводе формулы (12.1) предпола галось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать за коны Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг отно сительно друга, скорость тела, а следова тельно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетиче ская энергия зависит от выбора системы отсчета.
Потенциальная энергия — механиче ская энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характе ром сил взаимодействия между ними.
Пусть взаимодействие тел осуществля ется посредством силовых полей (напри мер, поля упругих сил, поля гравитацион ных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими сила ми при перемещении тела из одного поло жения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение прои зошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля на зываются потенциальными, а силы, дей ствующие в них,— консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной; ее примером является си ла трения.
Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией II. Работа консервативных сил при элемен тарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
dA=-dП. (12.2)
Работа dА выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение (12.2) можно записать в виде
Fdr=-dП. (12.3)
Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы (12.3) можно найти силу F по модулю и направлению.
Потенциальная энергия может быть определена исходя из (12.3) как
где С — постоянная интегрирования, т. е. потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной по стоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциаль ную энергию тела в каком-то определен ном положении считают равной нулю (вы бирают нулевой уровень отсчета), а энер гию тела в других положениях отсчитыва ют относительно нулевого уровня. Для консервативных сил
или в векторном виде
F=-gradП, (12.4) где
(i, j, k — единичные векторы координат ных осей). Вектор, определяемый выраже нием (12.5), называется градиентом ска ляра П.
Для него наряду с обозначением grad П применяется также обозначение П. («набла») означает символический вектор, называе мый оператором Гамильтона или набла-оператором:
Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, по тенциальная энергия тела массой т, под нятого на высоту h над поверхностью Зем ли, равна
П = mgh, (12.7)
где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.
Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (ки нетическая энергия всегда положитель на!}. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'), П=-mgh'.
Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна дефор мации:
Fх упр= -kx,
где Fxупр — проекция силы упругости на ось х; k — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак минус ука зывает, что Fx упр направлена в сторону, противоположную деформации х.
По третьему закону Ньютона, дефор мирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направле на, т. е.
Fx=-Fx упр=kx Элементарная работа dA, совершаемая силой Fx при бесконечно малой деформации dx, равна
dA = Fx dx = kxdx,
а полная работа
идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела
П=kx2/2.
Потенциальная энергия системы, подо бно кинетической энергии, является функ цией состояния системы. Она зависит толь ко от конфигурации системы и ее положе ния по отношению к внешним телам.
Полная механическая энергия систе мы — энергия механического движения и взаимодействия:
Е = Е+П,
т. е. равна сумме кинетической и потен циальной энергий.
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 —1765), изложив шему закон сохранения материи и движе ния, а количественная формулировка за кона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и не мецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).
Рассмотрим систему материальных то чек массами m1, m2, ..., mn, движущихся со скоростями v1, v2, ..., vn. Пусть F'1, F'2, ..., F'n — равнодействующие внутренних кон сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a f1, F2, ..., Fn— равнодей ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма териальных точек, обозначим f1, f2, ..., fn. При v<<с массы материальных точек
постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:
Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt соверша ют перемещения, соответственно равные dr1, dr2, ..., drn. Умножим каждое из урав нений скалярно на соответствующее перемещение и, учитывая, что dri = vidt, получим:
Сложив эти уравнения, получим
Первый член левой части равенства (13.1)
где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член
равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).
Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил,
действующих на систему. Таким образом, имеем
d(T+П)=dA. (13.2)
При переходе системы из состояния 1 в ка кое-либо состояние 2
т. е. изменение полной механической энер гии системы при переходе из одного со стояния в другое равно работе, совершен ной при этом внешними неконсервативны ми силами. Если внешние неконсерватив ные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что
d(Т+П) = 0,
откуда
Т+П = E=const, (13.3)
т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохране ния механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только кон сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.
Механические системы, на тела кото рых действуют только консервативные си лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохра нения механической энергии можно сфор мулировать так: в консервативных систе мах полная механическая энергия сохра няется.
Закон сохранения механической энер гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.
Существует еще один вид систем — диссипативные системы, в которых меха ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеха-нические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации (или рассе яния) энергии. Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.
В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян ной. Могут происходить лишь превраще ния кинетической энергии в потенциаль ную и обратно в эквивалентных количе ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф. Энгельс, этот закон не есть просто за кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер гии, выражающий и качественную сторо ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со хранения и превращения энергии — фун даментальный закон природы, он справед лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.
В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает ся физическая сущность закона сохране ния и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.
Удар абсолютно упругих и неупругих тел
Примером применения законов сохране ния импульса и энергии при решении ре альной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение) — это столкно вение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова(столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах воз никают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующи ми на них, можно пренебречь. Это по зволяет рассматривать соударяющиеся те ла как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.
Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключает ся в том, что кинетическая энергия относи тельного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара име ет место перераспределение энергии меж ду соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего пре жнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально глад ких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффици ентом восстановления :
= v'n/vn.
Если для сталкивающихся тел =0, то такие тела называются абсолютно неупру гими, если =1—абсолютно упругими.
На практике для всех тел 0<<1 (например, для стальных шаров 0,56, для шаров из слоновой кости 0,89, для свинца 0). Однако в не которых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсо лютно упругие, либо как абсолютно не упругие.
Прямая, проходящая через точку со прикосновения тел и нормальная к повер хности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется централь ным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсо лютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкнове ние двух тел, в результате которого в обо их взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинети ческую энергию
.
Для абсолютно упругого удара вы полняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами m1 и m2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). При пря мом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припи шем движению вправо, отрицательное — движению влево.
При указанных допущениях законы сохранения имеют вид
Произведя соответствующие преобра зования в выражениях (15.1) и (15.2), по лучим
Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим
Разберем несколько примеров.
Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:
а) m1 =m2. Если второй шар до удара висел неподвижно (v2=0) (рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'1=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v'2 = v1);
б) m1>m2.
Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'1<v1). Скорость второго шара после удара боль ше, чем скорость первого после удара (v'2>v'1) (рис.20);
в) m1<m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v'2<v1 (рис. 21);
г) m2>>m1 (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v'1=-v1, v'22m1v1/m20.
2) При m1=m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид
v'1=v2, v'2=v1,
т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.
Абсолютно неупругий удар — столкно вение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.
Продемонстрировать абсолют но неупругий удар можно с помощью ша ров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).
Если массы шаров m1 и m2, их скоро сти до удара v1 и v2, то, используя закон сохранения импульса, можно записать
Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигал ся шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m1=m2), то
v = (v1+v2)/2.
Выясним, как изменяется кинетиче ская энергия шаров при центральном аб солютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними дей-ствуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механи ческой энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «по теря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по раз ности кинетической энергии тел до и после удара:
Если ударяемое тело было первона чально неподвижно (v2=0), то
Когда m2>>m1 (масса неподвижного тела очень большая), то v<<v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе пере ходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной де формации наковальня должна быть мас сивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей (m1>>m2), тогда vv1 и практически вся энергия затрачи вается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.
Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механиче ской энергии под действием диссипативных сил.
Механика твердого тела
§ 16. Момент инерции
При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) отно сительно оси вращения называется физи ческая величина, равная сумме произведе ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри ваемой оси:
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди натами х, у, z.
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем
цилиндр на отдельные полые концентриче ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек ци линдра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2rhdr. Если — плотность материала, то dm=•2rhdr и dJ = 2r3dr. Тогда мо мент инерции сплошного цилиндра
но так как R'2h — объем цилиндра, то его масса m = R2h, а момент инерции
J = 1/2R2.
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, про ходящей через центр масс С тела, сло женному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: J = Jc + ma2. (16.1)
Таблица 1
В заключение приведем значения мо ментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).
Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж ной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными мас сами m1, m2, ..., mn, находящиеся на рас стоянии r1, r2, ..., rn от оси вращения. При вращении твердого тела относительно не подвижной оси отдельные его элементар ные объемы массами mi, опишут окружно сти различных радиусов ri и имеют раз личные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те ло, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:
= v1/r1 = v2/r2 = ... = vn/rn. (17.1)
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер гий его элементарных объемов:
или
Используя выражение (17.1), получим
где Jz — момент инерции тела относитель но оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела
Tвр = Jz2/2. (17.2)
Из сравнения формулы (17.2) с вы ражением (12.1) для кинетической энер гии тела, движущегося поступательно (T= mv2/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инер тности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг непод вижной оси.
В случае плоского движения тела, на пример цилиндра, скатывающегося с на клонной плоскости без скольжения, энер гия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вра щения:
где m — масса катящегося тела; vc — ско рость центра масс тела; J с — момент инерции тела относительно оси, проходя щей через его центр масс; — угловая скорость тела.
Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Моментом силы F относительно неподвиж ной точки О называется физическая вели чина, определяемая векторным произведе нием радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):
M = [rF].
Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательно го движения правого винта при его враще нии от г к F.
Модуль момента силы
M = Frsin= Fl, (18.1)
где — угол между г и F; rsin =l — кратчайшее расстояние между линией дей ствия силы и точкой О — плечо силы.
Моментом силы относительно непод вижной оси z называется скалярная вели чина Мz, равная проекции на эту ось век тор а М момента силы, определенного от носительно произвольной точки О данной оси 2 (рис.26). Значение момента Мz не зависит от выбора положения точки О на оси z.
Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представля-
ется в виде вектора, совпадающего с осью:
Мz = [rF]z.
Найдем выражение для работы при вращении тела (рис.27). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси вращения на расстоянии r, — угол между направлением силы и радиусом-вектором r. Так как тело абсолютно твер дое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол d точка приложения В проходит путь ds= rd, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
dA=Fsinrd. (18.2) Учитывая (18.1), можем записать dA=Mzd,
где Frsin = Fl =Mz — момент силы от носительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол пово рота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
dA = dT, но
Учитывая, что =d/dt, получим
Уравнение (18.3) представляет собой уравнение динамики вращательного дви жения твердого тела относительно непод вижной оси.
Можно показать, что если ось враще ния совпадает с главной осью инерции (см. §20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство
где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).
Момент импульса и закон его сохранения
При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива ется аналогия между ними, только во вра щательном движении вместо силы «вы ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.
Моментом импульса (количества дви жения) материальной точки А относитель но неподвижной точки О называется физи ческая величина, определяемая векторным произведением:
L = [rp| = [rmv],
где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = mv — импульс ма териальной точки (рис.28); L—псевдо вектор, его направление совпадает с на правлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса
L = rpsinalfa=mvrsinalfa=pl,
где a — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О.
Моментом импульса относительно не подвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан ной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого те ла вокруг неподвижной оси z каждая от дельная точка тела движется по окружно сти постоянного радиуса ri с некоторой
скоростью vi. скорость vi; и импульс mivi
перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра диус является плечом вектора mivi. Поэто му можем записать, что момент импульса отдельной частицы
Liz = тiviri (19.1)
и направлен по оси в сторону, определяе мую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела отно сительно оси есть сумма моментов импуль са отдельных частиц:
Используя формулу (17.1) vi = ri, получим
т. е.
Lz = Jz. (19.2)
Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:
т. е.
dLz/dt= Mz
Это выражение — еще одна форма урав нения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
Можно показать, что имеет место век торное равенство
dL/dt= М. (19.3)
В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и dL/dt=0, откуда
L = const. (19.4)
Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: мо мент импульса замкнутой системы сохра няется, т. е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения момента импуль са — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии про странства — его изотропностью, т. е. с ин-
вариантностью физических законов отно сительно выбора направления осей коор динат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в простран стве на любой угол).
Продемонстрировать закон сохране ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя щий на скамье, которая без трения враща ется вокруг вертикальной оси, и держа щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро стью 1. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со храняется и угловая скорость вращения 2 возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение те ла вокруг неподвижной оси и его поступа тельное движение (табл.2).
Свободные оси. Гироскоп
Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением време ни неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, кото рые не изменяют своей ориентации в про странстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными ося ми (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле су ществуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллеле пипеда проходят через центры противопо ложных граней (рис. 30). Для однородно го цилиндра одной из главных осей инер ции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоско сти, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара
являются любые три взаимно перпендику лярные оси, проходящие через центр масс.
Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свобод ных осей служит осью вращения.
Можно показать, что вращение во круг главных осей с наибольшим и наи меньшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновре менно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис. 30).
Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закреп ленный к шпинделю центробежной маши ны, привести в быстрое вращение, то па лочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, пер пендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис.31). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении палочки максималь ный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внеш них связей (аккуратно снять верхний ко нец нити с крючка шпинделя), то положе ние оси вращения в пространстве в тече ние некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко при меняется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные од нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим метрии, являющейся свободной осью.
Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе (рис.32). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, кото рая может вращаться вокруг перпендику лярной ей горизонтальной оси ВВ, кото рая, в свою очередь, может поворачивать ся вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являю щейся центром масс гироскопа и остаю щейся неподвижной, а ось гироскопа мо жет принять любое направление в про странстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.
Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (напри мер, с помощью намотанной на ось вере вочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила при ложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L =
= const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в про странстве и ось гироскопа.
Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явле ние, получившее название гироскопичес кого эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги роскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О3О3, а не вокруг прямой О2О2, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O1O1 и О2О2 лежат в плоскости чертежа, а О3О3 и силы F перпендикуляр ны ей).
Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О2О2. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL = Mdt (направление dL совпадает с направлением М) и станет рав ным L'=L+dL. Направление вектора L' совпадает с новым направлением оси вра щения гироскопа. Таким образом, ось вра щения гироскопа повернется вокруг пря мой О3О3. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не при водит к изменению ориентации оси враще ния гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.
Если ось гироскопа закреплена под шипниками, то вследствие гироскопиче ского эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироско па. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержа щих быстровращающиеся массивные со ставные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся си стеме отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. §27).
Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси ги роскопа в пространстве сохраняется. Сле довательно, ось гироскопа вместе с рама ми карданова подвеса поворачивается от носительно движущегося устройства. По ворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.
Впервые гироскоп применен француз ским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.
Деформации твердого тела
Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердо го тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.
Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраня-
ются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными). Деформации реально го тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать уп ругие деформации, что мы и будем де лать.
В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходя щим деформациям растяжения или сжа тия и сдвига.
Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы f1 и F2 (F1=F2=F), в результате чего длина стер жня меняется на величину l. Естествен но, что при растяжении l положительно, а при сжатии — отрицательно.
Сила, действующая на единицу пло щади поперечного сечения, называется на пряжением:
=F/S. (21.1)
Если сила направлена по нормали к по верхности, напряжение называется нор мальным, если же по касательной к по верхности — тангенциальным.
Количественной мерой, характеризую щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор мация. Так, относительное изменение дли ны стержня (продольная деформация)
=l/l, (21.2) относительное поперечное растяжение
(сжатие)
' = d/d, где d -— диаметр стержня.
Деформации и ' всегда имеют раз ные знаки (при растяжении l положи тельно, a Ad отрицательно, при сжатии l отрицательно, a Ad положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь и ':
'=-,
где — положительный коэффициент, за висящий от свойств материала, называе мый коэффициентом Пуассона.
Английский физик Р. Гук (1635— 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд линение и напряжение прямо про порциональны друг другу:
= E, (21.3)
где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Из вы ражения (21.3) видно, что модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице. Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вы текает, что
где k — коэффициент упругости. Выраже ние (21.4) также задает закон Гука, со гласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.
Деформации твердых тел подчиняются закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением пред ставляется в виде диаграммы напряже ний, которую мы качественно рассмотрим для металлического образца (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость (), установленная Гуком, выполняется
лишь в очень узких пределах до так на зываемого предела пропорциональности (п). При дальнейшем увеличении напря жения деформация еще упругая (хотя за висимость () уже не линейна) и до пре дела упругости (у) остаточные деформа ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра щения действия силы, изобразится не кри вой ВО, а параллельной ей — CF. Напря жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы вается пределом текучести (т) — точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об ластью пластических деформаций). Мате риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для ко торых же она практически отсутствует — хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде лом прочности (p).
Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факто ров. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.
Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, кото рая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:
где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до l. Согласно закону Гука (21.4), F=kx=ESx/l. Поэтому
т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадра ту деформации (l)2.
Деформацию сдвига проще всего осу ществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу Ftau (рис.36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига опре деляется из формулы
tg = s/h,
где s — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых уг лов tg).
Тяготение. Элементы теории поля
§ 22. Законы Кеплера.
Закон всемирного тяготения
Еще в глубокой древности было замечено, что в отличие от звезд, которые неизменно сохраняют свое взаимное расположение в пространстве в течение столетий, плане ты описывают среди звезд сложнейшие траектории. Для объяснения петлеобраз ного движения планет древнегреческий ученый К. Птоломей (II в. н.э.), считая Землю расположенной в центре Вселен ной, предположил, что каждая из планет движется по малому кругу (эпициклу), центр которого равномерно движется по большому кругу, в центре которого на ходится Земля. Эта концепция получила название птоломеевой геоцентрической системы мира и при поддержке католиче ской церкви господствовала почти полто ры тысячи лет.
В начале XVI в. польским астрономом Н. Коперником (1473—1543) обоснована гелиоцентрическая система (см. § 5), сог ласно которой движения небесных тел объясняются движением Земли (а также других планет) вокруг Солнца и суточным вращением Земли. Теория и наблюдения Коперника воспринимались как занима тельная фантазия.
К началу XVII столетия большинство ученых убедилось, однако, в справедливо сти гелиоцентрической системы мира. И. Кеплер (1571 — 1630), обработав и уточнив результаты многочисленных на блюдений датского астронома Т. Браге (1546—1601), изложил законы движения планет:
1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинако вые площади.
3. Квадраты периодов обращения пла нет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Впоследствии И. Ньютон, изучая дви жение небесных тел, на основании законов
Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тя готения: между любыми двумя материаль ными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и m2) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r2):
F=Gm1m2/r2. (22.1)
Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяго тения всегда являются силами притяже ния и направлены вдоль прямой, проходя щей через взаимодействующие тела. Ко эффициент пропорциональности G на зывается гравитационной постоянной.
Закон всемирного тяготения установ лен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры кото рых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодей ствующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать по форму ле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем гео метрически их сложить (проинтегриро вать), что является довольно сложной ма тематической задачей.
Впервые экспериментальное доказа тельство закона всемирного тяготения для земных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем (1731 —1810). Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутиль ные весы, представлена на рис. 37. Легкое коромысло А с двумя одинаковыми шари-
ками массой m = 729 г подвешено на уп ругой нити В. На коромысле С укреплены на той же высоте массивные шары массой М=158 кг. Поворачивая коромысло С во круг вертикальной оси, можно изменять расстояние между шарами с массами m и M. Под действием пары сил, при ложенных к шарам m со стороны шаров M, коромысло А поворачивается в гори зонтальной плоскости, закручивая нить В до тех пор, пока момент сил упру гости не уравновесит момента сил тяготе ния. Зная упругие свойства нити, по изме ренному углу поворота можно найти воз никающие силы притяжения, а так как массы шаров известны, то и вычислить значение G.
Значение G, приводимое в табли цах фундаментальных физических пос тоянных, принимается равным 6,6720•10-11Н•м2/кг2, т.е. два точечных тела массой по 1 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, при тягиваются с силой 6,6720-10-11Н. Очень малая величина G показывает, что сила гравитационного взаимодействия может быть значительной только в случае боль ших масс.
§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость
На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой, согласно второму за кону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Та ким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m дей ствует сила
P = mg,
называемая силой тяжести.
Согласно фундаментальному физиче скому закону — обобщенному закону Га лилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорени ем. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи по верхности Земли с широтой в пределах от
9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вра щением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный ра диусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значе ний g невелико, ускорение свободного па дения, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.
Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:
P = mg=F=GmM/R2,
где M — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта форму ла дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли.
Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, r0 — радиус Зем ли, тогда
P=GmM/(R0 + h)2,
т. е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.
В физике применяется также понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного паде ния. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Со стояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, на зывается состоянием невесомости.
Таким образом, сила тяжести действу ет всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением а, отлич ным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением ag, то к этому телу приложена дополнительная сила N, удовлетворяющая условию
N + P = ma.
Тогда вес тела
Р'=-N =P-ma=mg-ma = m(g-a),
т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то а=0 и P' = mg. Если тело свободно дви жется в поле тяготения по любой траекто рии и в любом направлении, то а=g и Р' = 0, т. е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, на ходящиеся в космических кораблях, сво бодно движущихся в космосе.
Поле тяготения и его напряженность
Закон тяготения Ньютона определяет за висимость силы тяготения от масс взаимо действующих тел и расстояния между ни ми, но не показывает, как осуществляется это взаимодействие. Тяготение принадле жит к особой группе взаимодействий. Си лы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.
Гравитационное взаимодействие меж ду телами осуществляется с помощью по ля тяготения, или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, вне сенное в это поле, действует сила тяготе ния, т. е.
F = mg. (24.1)
Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения. Напря женность поля тяготения определяется си лой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действую щей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.
Поле тяготения называется однород ным, если его напряженность во всех точ ках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пере секаются в одной точке (А), неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис.38).
Для графического изображения сило вого поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженно сти поля действует по касательной к сило вой линии.
Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения
Рассмотрим, чему равна работа, соверша емая силами поля тяготения при переме щении в нем материальной точки мас сой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела мас сой т от Земли. На расстоя нии R (рис. 39) на данное тело действует сила
F=GmM/R2.
При перемещении этого тела на расстоя ние dR затрачивается работа
Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противо положны по направлению (рис.39).
Если тело перемещать с расстояния R1
до R2, то затрачивается работа
Из формулы (25.2) вытекает, что за траченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а оп ределяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тя готения является потенциальным (см. § 12).
Согласно формуле (12.2), работа, со вершаемая консервативными силами, рав на изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.
А = -П = -(П2-П1)= П1-П2.
Из формулы (25.2) получаем
П1-П2= - m(GM/R1 - GM/R2).
(25.3)
Так как в формулы входит только раз ность потенциальных энергий в двух со стояниях, то для удобства принимают по тенциальную энергию при R2 равной нулю ( lim П2=0 при R2). Тогда (25.3) запишется в виде П1= - GmM/R1. Так как пер вая точка была выбрана произвольно, то
П=-GmM/R.
Величину
= П/m,
являющуюся энергетической характери стикой поля тяготения, называют потенци алом. Потенциал поля тяготения — ска лярная величина, определяемая потенци альной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по пере мещению единичной массы, из данной точ ки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой M, равен
=-GM/R, (25.4)
где R — расстояние от этого тела до рас сматриваемой точки.
Из формулы (25.4) вытекает, что гео метрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую повер хность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, назы ваются эквипотенциальными.
Рассмотрим взаимосвязь между потен циалом поля тяготения () и его напря женностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна
dA=-тd.
С другой стороны, dA=Fdl (dl—эле ментарное перемещение). Учитывая (24.1), получим, что
dA=mgdl,
т. е.
mgdl=-md,
или
g=-d/dl.
Величина d/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направле нии перемещения в поле тяготения. Можно показать, что
g=-.grad, (25.5)
где grad=(d/дx)i+(д/dy)j+(д/dz)k—
градиент скаляра (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности g направлен в сто рону убывания потенциала.
В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рас смотрим потенциальную энергию тела, на ходящегося на высоте h относительно Земли:
где R0 — радиус Земли.
Так как
P=GmM/R20 и g=P/m=GM/R20,
(25.6) то, учитывая условие h<<R0, получим
П=mGMh/R20= mgh.
Таким образом, мы вывели формулу, со впадающую с (12.7), которая постулиро валась раньше.
Космические скорости
Для запуска ракет в космическое про странство надо в зависимости от постав ленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космиче скими.
Первой космической (или круговой) скоростью v1 называют такую минималь ную скорость, которую надо сообщить те лу, чтобы оно могло двигаться вокруг Зем ли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли. На спут ник, движущийся по круговой орбите ра диусом r, действует сила тяготения Зем ли, сообщающая ему нормальное ускоре ние v21/r. По второму закону Ньютона,
GmM/r2=mv21/r.
Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, тогда rR0 (радиус Земли) и g=GM/R20(cм. (25.6)), поэтому у поверхности Земли
Первой космической скорости недоста точно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй кос мической. Второй космической (или пара болической) скоростью v2 называют ту наименьшую скорость, которую надо со общить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спут ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической. Для того чтобы тело (при отсутствии со противления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кине тическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:
Третьей космической скоростью v3 на зывают скорость, которую необходимо со общить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость v3=16,7 км/с. Сообщение телам таких больших начальных скоростей явля ется сложной технической задачей. Ее первое теоретическое осуществление на чато К. Э. Циолковским, им была выведе на уже рассмотренная нами формула (10.3), позволяющая рассчитывать ско рость ракет.
Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при за пуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ра кеты в 1959 г. После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бур ное развитие как советской, так и зару бежной космонавтики.
Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Как уже отмечалось (см. § 5,6), законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсче та, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы дина мики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые си лы инерции.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для лю бой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции Fин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неи нерциальных системах отсчета, т. е.
mа' = F+Fин. (27.1)
Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то
ma' = ma+Fин.
Силы инерции обусловлены ускорен ным движением системы отсчета относи тельно измеряемой системы, поэтому в об щем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инер ции при ускоренном поступательном дви жении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра щающейся системе отсчета; 3) силы инер ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Рассмотрим эти случаи.
1. Силы инерции при ускоренном поступа тельном движении системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Т.
Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а0, то нить начнет откло няться от вертикали назад до такого угла а, пока результирующая сила F=P+T не обеспе чит ускорение шарика, равное а0. Таким обра зом, результирующая сила F направлена в сто рону ускорения тележки а0 и для установивше гося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а0) равна
F = mgtg=ma0,
откуда угол отклонения нити от вертикали tg=a0/g,
т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик по коится, что возможно, если сила F уравновеши вается равной и противоположно направленной ей силой Fи, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие дру гие силы не действуют. Таким образом,
Fи=-ma0. (27.2)
Проявление сил инерции при поступатель ном движении наблюдается в повседневных яв лениях. Например, когда поезд набирает ско рость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторо ну и пассажир отделяется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном тор можении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.
2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью (=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ лены маятники (на нитях подвешены шарики массой m). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.41).
В инерциальной системе отсчета, связан ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж ности радиусом R (расстояние от точки крепле ния маятника к диску до оси вращения). Следо вательно, на него действует сила, равная F = m2R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействую щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: F=P+T, Когда движение шарика установит-
48
ся, то F=mgtgalfa=m2R, откуда tgalfa=2R/g,
т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние К от шари ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .
Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав ной и противоположно направленной ей силой Fи, которая является ничем иным, как силой инерции, гак как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила Fц, называемая центробеж ной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна
Fц=-m2R. (27.3)
Действию центробежных сил инерции под вергаются, например, пассажиры в движущем ся транспорте на поворотах, летчики при выпол нении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробеж ных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) при нимаются специальные меры для уравновеши вания центробежных сил инерции.
Из формулы (27.3) вытекает, что центро бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу са R, но не зависит от скорости тел относитель но вращающихся систем отсчета. Следователь но, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное рассто яние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.
3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью v' вдоль радиуса равномерно враща ющегося диска (v’ = const, =const, v'┴). Если диск не вращается, то шарик, направлен ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан ном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скорость v' относитель но диска изменяет свое направление. Это воз можно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v'.
Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре ния равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относи тельно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове шивается приложенной к шарику силой инер ции FK, перпендикулярной скорости v'. Эта си ла называется кориолисовой силой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса
Вектор fk перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.
Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе мы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд на блюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Корио лиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к на правлению движения, т. е. тело несколько от клонится на восток. Если тело движется на юг. то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в север ном полушарии наблюдается более сильное под мывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнаши-
ваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к на правлению движения.
Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно состав лять 1 см при падении с высоты 100 м). С си лой Кориолиса связано поведение маятника Фу ко, явившееся в свое время одним из доказа тельств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального на правления.
Раскрывая содержание Fин в формуле
(27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
mа'=F+Fи+Fц+FK, где силы инерции задаются формулами
(27.2) — (27.4).
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодей ствием тел, а ускоренным движением системы отсчета. Поэтому они не подчиня ются третьему закону Ньютона, так как если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодей ствующей силы, приложенной к данному телу. Два основных положения механики, согласно которым ускорение всегда вы зывается силой, а сила всегда обусловле на взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускоре нием, одновременно не выполняются.
Для любого из тел, находящихся в не инерциальной системе отсчета, силы инер ции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает,
что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импуль са, энергии и момента импульса. Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах. В инерциаль ных системах отсчета таких сил не су ществует.
Возникает вопрос о «реальности» или «фик тивности» сил инерции. В ньютоновской механи ке, согласно которой сила есть результат взаи модействия тел, на силы инерции можно смот реть как на «фиктивные», «исчезающие» в инерциальных системах отсчета. Однако воз можна и другая их интерпретация. Так как взаимодействия тел осуществляются посредст вом силовых полей, то силы инерции рассматри ваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными». Независимо от того, рассматриваются ли силы инерции в качестве «фиктивных» или «реаль ных», многие явления, о которых упоминалось в настоящем параграфе, объясняются с по мощью сил инерции.
Силы инерции, действующие на тела в неи нерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях со общают этим телам одинаковые ускорения. По этому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством облада ют тела, находящиеся под действием сил поля тяготения.
При некоторых условиях силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Напри мер, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тя готения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в по ле тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.
Элементы механики жидкостей
§ 28. Давление в жидкости и газе
Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодей ствия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся раз лететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.
Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жид кость обладает практически неизменным объемом.
Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одина ковыми параметрами и идентичными урав нениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимо действие между собой и обтекаемыми ими твердыми телами,— использует единый подход к изучению жидкостей и газов.
В механике с большой степенью точно сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи маемостью жидкости и газа во многих за дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.
Если в покоящуюся жидкость по местить тонкую пластинку, то части жид кости, находящиеся по разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее эле мент S с силами F, которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке S, так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 44).
Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо ны жидкости на единицу площади, назы вается давлением р жидкости:
p=F/S.
Единица давления—паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2 (1 Па=1 Н/м2).
Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жид кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид костью.
Рассмотрим, как влияет вес жидкости на распределение давления внутри покоя щейся несжимаемой жидкости. При рав новесии жидкости давление по горизонта ли всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная повер хность покоящейся жидкости всегда гори зонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то ее плотность не зависит от давления. Тогда при попере чном сечении S столба жидкости, его вы соте h и плотности вес P = gSh, а дав ление на нижнее основание
p =P/S=gSh/S=gh, (28.1)
т. е. давление изменяется линейно с высо той. Давление gh называется гидростати ческим давлением.
Согласно формуле (28.1), сила давле ния на нижние слои жидкости будет боль ше, чем на верхние, поэтому на тело, по груженное в жидкость, действует выталки вающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жид кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива ющая сила, равная весу вытесненной те лом жидкости (газа):
FА =gV,
где — плотность жидкости, V — объем погруженного в жидкость тела.
§ 29. Уравнение неразрывности
Движение жидкостей называется течени ем, а совокупность частиц движущейся жидкости — потоком. Графически движе ние жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ лению с вектором скорости жидкости в со ответствующих точках пространства (рис. 45). Линии тока проводятся так, чтобы густота их, характеризуемая отно шением числа линий к площади перпенди кулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким об разом, по картине линий тока можно су дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проя вить», например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы.
Часть жидкости, ограниченную линия ми тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и распо ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.
Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпенди кулярные направлению скорости (рис. 46).
За время t через сечение S проходит объем жидкости Svt; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости S1v1, где v1 — скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S2 за 1 с пройдет объем жидкости S2v2, где v2 — скорость течения жидкости в месте сечения S2. Здесь предполагается, что ско рость жидкости в сечении постоянна. Ес ли жидкость несжимаема (=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е.
S1v1 = S2v2=const (29.1)
Следовательно, произведение скоро сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве личина постоянная для данной трубки то ка. Соотношение (29.1) называется урав нением неразрывности для несжимаемой жидкости
Уравнение Бернулли и следствия из него
Выделим в стационарно текущей идеаль ной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от сутствуют силы внутреннего трения) труб ку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S1 ско рость течения v1, давление р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Ана логично, в месте сечения S2 скорость тече-
ния v2, давление р2 и высота сечения h2. За малый промежуток времени t жид кость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S'1 и S'2.
Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E2-Е1 идеаль ной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемеще нию массы от жидкости:
E2-E1=A, (30.1)
где E1 и Е2 — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответ ственно.
С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жид кости, заключенной между сечениями S1 и S2, за рассматриваемый малый проме жуток времени t. Для перенесения массы т от S1 до S'1 жидкость должна переме ститься на расстояние l1= v1t и от S2 до S'2 — на расстояние l2= v2t. Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, припи сывают постоянные значения скоро сти v, давления р и высоты h. Следова тельно,
A = F1l1+F2l2, (30.2)
где F1=p1S1 и f2=-р2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противопо ложную течению жидкости; рис.47).
Полные энергии Е1 и e2 будут склады ваться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:
Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим
Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается посто янным, т. е.
Разделив выражение (30.5) на V, по лучим
где — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то мо жем записать
Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб ликовано в 1738 г.) и называется уравне нием Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к уста новившемуся течению идеальной жидко сти. Оно хорошо выполняется и для реаль ных жидкостей, внутреннее трение кото рых не очень велико.
Величина р в формуле (30.6) называ ется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина v2/2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величина gh представляет со бой гидростатическое давление.
Для горизонтальной трубки тока (h1=h2) выражение (30.6) принимает вид
где р+v2/2 называется полным давле нием.
Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при те-
чении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а ста тическое давление больше в более широ ких местах, т. е. там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, устано вив вдоль трубы ряд манометров (рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в мано метрической трубке В, прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.
Так как динамическое давление связа но со скоростью движения жидкости (га за), то уравнение Бернулли позволяет из мерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, про тивоположные концы которых присоедине ны к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Ма нометром измеряется разность давлений:
p0-p = 0gh, (30.8)
где — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статическо го давлений равна динамическому давле нию:
p0-p=pv2/2. (30.9)
Из формул (30.8) и (30.9) получаем иско мую скорость потока жидкости:
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно ат мосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоро стью. В этом месте давление меньше ат мосферного. Это давление устанавливает ся и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекаю щей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).
Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жид костью, в боковой стенке которого на не которой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51).
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:
Так как давления р1 и р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны
атмосферному, т. е. p1=p2, то уравнение будет иметь вид
Из уравнения неразрывности (29.1) следу ет, что v2/v1=S1/S2, где S1 и S2 — площа ди поперечных сечений сосуда и отвер стия. Если S1>>S2, то членом v21/2 можно пренебречь и
Это выражение получило название форму лы Торричелли.
Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
Вязкость (внутреннее трение) — это свой ство реальных жидкостей оказывать со противление перемещению одной части жидкости относительно другой. При пере мещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по ка сательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со сторо ны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоря ющая сила. Со стороны же слоя, движу щегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.
Сила внутреннего трения F тем боль ше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S (рис. 52), и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою.
На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоя нии х и движущиеся со скоростями v1 и v2 При этом v1-v2 = v. Направление, в котором отсчитывается расстояние между слоями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина v/x показывает, как быстро меняется скорость при перехо де от слоя к слою в направлении х, пер пендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости.
Таким образом, модуль силы внутреннего трения
где коэффициент пропорциональности , зависящий от природы жидкости, называ ется динамической вязкостью (или просто вязкостью).
Единица вязкости — паскаль•секунда (Па•с):1 Па•с равен динамической вязко сти среды, в которой при ламинарном те чении и градиенте скорости с модулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает сила внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверх ности касания слоев (1 Па•с=1 Н•с/м2).
Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпера туры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей т] с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличи вается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Например, вязкость касторового масла в интервале 18—40 °С падает в че тыре раза. Советский физик П. Л. Капица (1894—1984; Нобелевская премия 1978г.) открыл, что при температуре 2,17 К жид кий гелий переходит в сверхтекучее со стояние, в котором его вязкость равна нулю.
Существует два режима течения жид костей. Течение называется ламинарным (слоистым), если вдоль потока каждый выделенный тонкий слой скользит относи тельно соседних, не перемешиваясь с ни ми, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока происходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).
Ламинарное течение жидкости наблю дается при небольших скоростях ее дви жения. Внешний слой жидкости, примыка ющий к поверхности трубы, в которой она течет, из-за сил молекулярного сцепления прилипает к ней и остается неподвижным. Скорости последующих слоев тем больше, чем больше их расстояние до поверхности трубы, и наибольшей скоростью обладает слой, движущийся вдоль оси трубы.
При турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие ско ростей, перпендикулярные течению, поэто му они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидкости быст ро возрастает по мере удаления от по верхности трубы, затем изменяется дово льно незначительно. Так как частицы жид кости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных слоях мало отличаются. Из-за большого градиента
скоростей у поверхности трубы обычно происходит образование вихрей.
Профиль усредненной скорости при турбулентном течении в трубах ;(рис. 53) отличается от параболического профиля при ламинарном течении более быстрым возрастанием скорости у стенок трубы и меньшей кривизной в центральной части течения.
Английский ученый О. Рейнольдс (1842—1912) в 1883 г. установил, что ха рактер течения зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса:
где v = / — кинематическая вязкость;
— плотность жидкости; (v)—средняя по сечению трубы скорость жидкости; d — характерный линейный размер, например диаметр трубы.
При малых значениях числа Рейнольдса (Re1000) наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области 1000:Re2000, а при Re = 2300 (для гладких труб) течение — турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково, то ре жим течения различных жидкостей (га зов) в трубах разных сечений одинаков.
Методы определения вязкости
1. Метод Стокса. Этот метод определе ния вязкости основан на измерении скоро сти медленно движущихся в жидкости не больших тел сферической формы.
На шарик, падающий в жидкости вер тикально вниз, действуют три силы: сила тяжести P = 4/3r3g ( — плотность ша рика), сила Архимеда FA = 4/3r3'g (' — плотность жидкости) и сила сопротивле ния, эмпирически установленная Дж. Стоксом: F=6rv, где r — радиус шарика, v — его скорость. При равномер ном движении шарика
p = fa + f,
или
4/3r3g = 4/3г3'g + бrv, откуда
Измерив скорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид кости (газа).
2. Метод Пуазейля. Этот метод осно ван на ламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l. В жидкости мыс ленно выделим цилиндрический слой ради усом r и толщиной dr (рис. 54). Сила внут реннего трения (см. (31.1)), действующая на боковую поверхность этого слоя,
где dS — боковая поверхность цилиндри ческого слоя; знак минус означает, что при возрастании радиуса скорость уменьша ется.
Для установившегося течения жидко сти сила внутреннего трения, действую щая на боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, дей ствующей на его основание:
После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получим
Отсюда видно, что скорости частиц жид кости распределяются по параболиче скому закону, причем вершина параболы лежит на оси трубы (см. также рис.53). За время t из трубы вытечет жидкость, объем которой
откуда вязкость
Движение тел в жидкостях и газах
Одной из важнейших задач аэро- и гидро динамики является исследование движе ния твердых тел в газе и жидкости, в частности изучение тех сил, с которыми среда действует на движущееся тело. Эта проблема приобрела особенно большое значение в связи с бурным развитием авиации и увеличением скорости движе ния морских судов.
На тело, движущееся в жидкости или газе, действуют две силы (равнодействую-
щую их обозначим R), одна из которых (Rx) направлена в сторону, противопо ложную движению тела (в сторону по тока),— лобовое сопротивление, а вторая (Ry) перпендикулярна этому направле нию— подъемная сила (рис.55).
Если тело симметрично и его ось сим метрии совпадает с направлением скоро сти, то на него действует только лобовое сопротивление, подъемная же сила в этом случае равна нулю. Можно доказать,
что в идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопро тивления. Если рассмотреть движение ци линдра в такой жидкости (рис. 56), то картина линий тока симметрична как от носительно прямой, проходящей через точ ки A и В, так и относительно прямой, проходящей через точки С и D, т. е. ре зультирующая сила давления на повер хность цилиндра будет равна нулю.
Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости (особенно при увеличе нии скорости обтекания). Вследствие вяз кости среды в области, прилегающей к по верхности тела, образуется пограничный слой частиц, движущихся с меньшими ско ростями. В результате тормозящего дейст вия этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обтекаемой формы (нет плавно утончаю щейся хвостовой части), то пограничный слой жидкости отрывается от поверхности тела. За телом возникает течение жидко сти (газа), направленное противоположно набегающему потоку. Оторвавшийся пограничный слой, следуя за этим течением, образует вихри, вращающиеся в противо положные стороны (рис. 57).
Лобовое сопротивление зависит от формы тела и его положения относительно потока, что учитывается безразмерным ко эффициентом сопротивления Сх, определя емым экспериментально:
где — плотность среды; v — скорость движения тела; S — наибольшее попере чное сечение тела.
Составляющую Rx можно значитель но уменьшить, подобрав тело такой фор мы, которая не способствует образованию завихрения.
Подъемная сила может быть определе на формулой, аналогичной (33.1):
где Су — безразмерный коэффициент подъемной силы.
Для крыла самолета требуется боль шая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении (это условие выполняется при малых углах атаки а (угол к потоку); см. рис. 55). Крыло тем лучше удовлетво ряет этому условию, чем больше величина К=Су/Сх, называемая качеством крыла. Большие заслуги в конструировании тре буемого профиля крыла и изучении влия ния геометрической формы тела на ко эффициент подъемной силы принадлежат «отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921).
Элементы специальной (частной) теории относительности
§ 34. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
Если системы отсчета движутся относи тельно друг друга равномерно и прямоли нейно и в одной из них справедливы за коны динамики Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Установлено также, что во всех инерциальных си стемах отсчета законы классической дина мики имеют одинаковую форму; в этом суть механического принципа относитель ности (принципа относительности Гали лея).
Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систе му К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью u (u=const). Отсчет времени начнем с момен та, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем друг относительно друга имеет вид, изображен ный на рис. 58. Скорость и направлена вдоль ОО', радиус-вектор, проведенный из О в О', r0=ut.
Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 58 видно, что
r = r' + r0=r' + ut. (34.1)
Уравнение (34.1) можно записать в про екциях на оси координат:
Уравнения (34.1) и (34.2) носят название преобразований координат Галилея.
В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положи тельного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси коорди нат совпадают), преобразования коорди нат Галилея имеют вид
В классической механике предполага ется, что ход времени не зависит от отно сительного движения систем отсчета, т. е. к преобразованиям (34.2) можно до бавить еще одно уравнение:
t=t'. (34.3)
Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (u<<с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразовани ями Лоренца (§36).
Продифференцировав выражение (34.1) по времени (с учетом (34.3)), получим уравнение
v = v' + u, (34.4)
которое представляет собой правило сло жения скоростей в классической механике.
Ускорение в системе отсчета К
Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К', движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково:
а = а'. (34.5)
Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а = 0), то, согласно (34.5), и а' = 0, т.е. система K' является инерциальной (точка движется относи тельно нее равномерно и прямолинейно или покоится).
Таким образом, из соотношения (34.5) вытекает доказательство механического принципа относительности: уравнения ди намики при переходе от одной инерциаль ной системы отсчета к другой не изменя ются, т. е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат. Галилей обратил внимание, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, дви жущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.
Постулаты специальной (частной) теории относительности
Классическая механика Ньютона прекрас но описывает движение макротел, движу щихся с малыми скоростями (v<<с). Од нако в конце XIX в. выяснилось, что выво ды классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заря женных частиц оказалось, что их движе ние не подчиняется законам механики. Да лее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Если источник и приемник света движутся друг относи тельно друга равномерно и прямолинейно, то, согласно классической механике, изме ренная скорость должна зависеть от отно сительной скорости их движения. Амери канский физик А. Майкельсон (1852— 1913) в своем знаменитом опыте в 1881 г., а затем в 1887 г. совместно с Е. Морли (американский физик, 1838—1923) — опыт Майкельсона — Морли — пытался обнаружить движение Земли относительно эфира (эфирный ветер), применяя интер ферометр Майкельсона (см. § 175). Обна ружить эфирный ветер Майкельсону не удалось, как, впрочем, не удалось его об наружить и в других многочисленных опы тах. Опыты «упрямо» показывали, что ско рости света в двух движущихся друг отно сительно друга системах равны. Это противоречило правилу сложения скоро стей классической механики.
Одновременно было показано противо речие между классической теорией и урав нениями (см. § 139) Дж. К. Максвелла (английский физик, 1831 —1879), лежащи ми в основе понимания света как электро магнитной волны.
Для объяснения этих и некоторых дру гих опытных данных необходимо было со здать новую механику, которая, объясняя эти факты, содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для ма лых скоростей (v<<с). Это и удалось сде лать А. Эйнштейну, одному из основателей современной физики, который, по словам В. И. Ленина, является одним «из великих преобразователей естествознания». А. Эйн штейн пришел к выводу о том, что миро вого эфира — особой среды, которая мог ла бы быть принята в качестве абсолют ной системы,— не существует. Существо вание постоянной скорости распростране ния света в вакууме находилось в со гласии с уравнениями Максвелла.
Таким образом, А. Эйнштейн заложил основы специальной теории относительно сти. Эта теория представляет собой совре менную физическую теорию пространства и времени, в которой, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно (см. §13), а про-странство однородно (см. § 9) и изотропно (см. §19). Специальная теория относи тельности часто называется также реляти вистской теорией, а специфические явле ния, описываемые этой теорией,— реляти вистскими эффектами.
В основе специальной теории относи тельности лежат постулаты Эйнштей на, сформулированные им в 1905 г.
I. Принцип относительности: никакие опыты (механические, электрические, оп тические), проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможности обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы ин вариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.
II. Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерци альных системах отсчета.
Первый постулат Эйнштейна, являясь обобщением механического принципа от носительности Галилея на любые физиче ские процессы, утверждает, таким обра зом, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, а уравнения, описываю щие эти законы, одинаковы по форме во всех инерциальных системах отсчета. Со гласно этому постулату, все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны, т. е. явления (механические, электродина мические, оптические и др.) во всех инер циальных системах отсчета протекают одинаково.
Согласно второму постулату Эйнштей на, постоянство скорости света — фунда ментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.
Специальная теория относительности потребовала отказа от привычных пред ставлений о пространстве и времени, при нятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолют ное время.
Постулаты Эйнштейна и теория, по-
строенная на их основе, установили новый взгляд на мир и новые пространственно-временные представления, такие, напри мер, как относительность длин и проме жутков времени, относительность одновре менности событий. Эти и другие следствия из теории Эйнштейна находят надежное экспериментальное подтверждение, явля ясь тем самым обоснованием постулатов Эйнштейна — обоснованием специальной теории относительности.
Преобразования Лоренца
Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следова тельно, должны быть заменены преобразо ваниями, удовлетворяющими постулатам теории относительности.
Для иллюстрации этого вывода рас смотрим две инерциальные системы отсче та: К (с координатами х, у, z) и К' (с ко ординатами х', у', z'), движущуюся отно сительно К (вдоль оси х) со скоростью v = const (рис.59). Пусть в начальный момент времени t=t'=0, когда начала координат О и О' совпадают, излучается световой импульс. Согласно второму по стулату Эйнштейна, скорость света в обе их системах одна и та же и равна с. По этому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А (рис. 59), пройдя расстояние
x = ct, (36.1) то в системе К' координата светового им пульса в момент достижения точки А
x'=ct', (36.2)
где t' — время прохождения светового им пульса от начала координат до точки А в системе К'. Вычитая (36.1) из (36.2),
получим
x'—x = c(t'-t).
Так как х'х (система К' перемещается по отношению к системе К), то
t't,
т. е. отсчет времени в системах К и К' различен — отсчет времени имеет относи тельный характер (в классической физике считается, что время во всех инерциаль ных системах отсчета течет одинаково, т.е. t=t').
Эйнштейн показал, что в теории отно сительности классические преобразования Галилея, описывающие переход от одной инерциальной системы отсчета к другой (см.§34):
— заменяются преобразованиями Лорен ца, удовлетворяющими постулатам Эй нштейна (формулы представлены для слу чая, когда К' движется относительно К со скоростью v вдоль оси х).
Эти преобразования предложены Лоренцом в 1904 г., еще до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых уравнения Макс велла (см. § 139) инвариантны.
Преобразования Лоренца имеют вид
Из сравнения приведенных уравнений вы текает, что они симметричны и отличают ся лишь знаком при v. Это очевидно, так как если скорость движения системы К' относительно системы К равна v, то ско рость движения К относительно К! рав на -v.
Из преобразований Лоренца вытекает также, что при малых скоростях (по срав нению со скоростью света), т.е. когда <<1, они переходят в классические пре образования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые яв ляются, следовательно, предельным случа ем преобразований Лоренца. При v>c выражения (36.3) для х, t, x', t' теря ют физический смысл (становятся мнимы ми). Это находится, в свою очередь, в со ответствии с тем, что движение со скоро стью, большей скорости света в вакууме, невозможно.
Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как рассто яние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, в то время как в рамках пре образований Галилея эти величины счита лись абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и времен ные преобразования (см. (36.3)) не явля ются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени — про странственные координаты, т. е. устанав ливается взаимосвязь пространства и вре мени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным простран ством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно свя занные пространственные и временные ко ординаты, образующие четырехмерное пространство-время.
Следствия из преобразований Лоренца
1. Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе K в точ ках с координатами х1 и x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события.
В системе К' им соответствуют координа ты х'1 и x'2 и моменты времени t'1 и t'2. Если события в системе К происходят в одной точке (х1=х2) и являются одновременны ми (t1=t2), то, согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
x'1=x'2,t'1=t'2
т. е. эти события являются одновременны ми и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.
Если события в системе К простран ственно разобщены (х1х2), но одновре менны (t1=t2), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенны ми, оказываются и неодновременными. Знак разности t'2- t'1 определяется знаком выражения v(x1-x2), поэтому в различ ных точках системы отсчета К' (при раз ных v) разность t'2-t'1 будет различной по величине и может отличаться по знаку. Следовательно, в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие пред шествует первому. Сказанное, однако, не относится к причинно-следственным собы тиям, так как можно показать, что по рядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.
2. Длительность событий в разных системах отсчета. Пусть в некоторой точке (с координатой х), покоящейся относи тельно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показа ний часов в конце и начале события) =t2-t1, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность
этого же события в системе К
'=t'2-t'1, (37.1)
причем началу и концу события, согласно (36.3), соответствуют
Подставляя (37.2) в (37.1), получим
Из соотношения (37.3) вытекает, что <', т. е. длительность события, проис ходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, отно сительно которой эта точка неподвижна. Этот результат может быть еще истолко ван следующим образом: интервал време ни ', отсчитанный по часам в системе К', с точки зрения наблюдателя в системе К, продолжительнее интервала т, отсчитан ного по его часам. Следовательно, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоя щихся часов, т. е. ход часов замедляется в системе отсчета, относительно которой часы движутся. На основании относитель ности понятий «неподвижная» и «движу щаяся» системы соотношения для и ' обратимы. Из (37.3) следует, что замедле ние хода часов становится заметным лишь при скоростях, близких к скорости света в вакууме.
В связи с обнаружением релятивист ского эффекта замедления хода часов в свое время возникла проблема «парадок са часов» (иногда рассматривается как «парадокс близнецов»), вызвавшая много численные дискуссии. Представим себе, что осуществляется фантастический кос мический полет к звезде, находящейся на расстоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли до ходит за 500 лет), со скоростью, близкой к скорости света ((1-2) = 0,001). По зем ным часам полет до звезды и обратно продлится 1000 лет, в то время как для системы корабля и космонавта в нем такое же путешествие займет всего 1 год. Таким образом, космонавт возвратится на Землю
в 1/(1-2) раз более молодым, чем его брат-близнец, оставшийся на Земле. Это явление, получившее название парадокса близнецов, в действительности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности утверждает равноправ ность не всяких систем отсчета, а только инерциальных. Неправильность рассужде ния состоит в том, что системы отсчета, связанные с близнецами,— не эквивалент ны: земная система инерциальна, а кора бельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.
Релятивистский эффект замедления хода часов является совершенно реаль ным и получил экспериментальное под тверждение при изучении нестабильных, самопроизвольно распадающихся элемен тарных частиц в опытах с -мезонами. Среднее время жизни покоящихся -мезо нов (по часам, движущимся вместе с ни ми) 2,2•10-8с. Следовательно, -ме зоны, образующиеся в верхних слоях ат мосферы (на высоте «30 км) и движущи еся со скоростью, близкой к скорости света, должны были бы проходить рассто яния с6,6 м, т. е. не могли бы достигать земной поверхности, что противоречит действительности. Объясняется это реля тивистским эффектом замедления хода времени: для земного наблюдателя срок
жизни -мезона ' =/(1-2), а путь этих
частиц в атмосфере v'= (c'= c/(1-2). Так как 1, то v'>>с.
3. Длина тел в разных системах отсче та. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и покоящийся относительно системы К'. Длина стержня в системе К' будет l'0=x'2 -х'1, где х'1 и х'2 — не изменя ющиеся со временем t' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К' стержень покоит ся. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью v. Для этого необхо димо измерить координаты его концов х1 и x2 в системе K в один и тот же момент времени t. Их разность l= х2-х1 и даст длину стержня в системе К. Используя преобразования Лоренца (36.3), полу чим
Таким образом, длина стержня, измерен ная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, из меренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоит ся в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выраже нию (37.4).
Из выражения (37.4) следует, что ли нейный размер тела, движущегося относи тельно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения
в (1-2) раз, т. е. так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Ло ренца (36.3) следует, что
y'2-y'1=y2-y1 и z'2 - z'1=z2 - z1 ,
т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Та ким образом, линейные размеры тела наи большие в той инерциальной системе от счета, относительно которой тело покоит ся.
4. Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение матери альной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоростью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К дви жение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К,' в момент времени t' —координатами х' , у' , z' , то
представляют собой соответственно проек ции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скоро сти рассматриваемой точки относительно систем K и K'.
Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Произведя соответствующие преобразова ния, получаем релятивистский закон сло жения скоростей специальной теории от носительности:
Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость u относи тельно системы К. совпадает с uх, а скоро сть u' относительно К' — с u'х. Тогда закон сложения скоростей примет вид
Легко убедиться в том, что если скоро сти v, u' и u малы по сравнению со скоро стью света с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей
в классической механике (см. (34.4)). Та ким образом, законы релятивистской ме ханики в предельном случае для малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической физики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштейна для малых скоростей.
Релятивистский закон сложения ско ростей подчиняется второму постулату Эй нштейна (см. §35). Действительно, если u' = с, то формула (37.6) примет вид u= (c+v)/(1+cv/c)=с (аналогично можно показать, что при u =с скорость u' также рав на с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивистский закон сложения скоростей находится в согласии с постула тами Эйнштейна.
Докажем также, что если складывае мые скорости сколь угодно близки к скоро сти света с, то их результирующая ско рость будет всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предель ный случай u' = v = c. После подстановки в формулу (37.6) получим u=с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакуу ме есть предельная скорость, которую не возможно превысить. Скорость света в ка кой-либо среде, равная с/n (n — абсолют ный показатель преломления среды), предельной величиной не является (под робнее см. § 189).
. Интервал между событиями
Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время относительный ха рактер длин и промежутков времени в тео рии Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвари антной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами
(х, у, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событи ями:
ного трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Введя обозначе ние t12=t2-t1, получим
Покажем, что интервал между двумя событиями одинаков во всех инерциаль ных системах отсчета. Обозначив t = t2-t1, x=x2-x1, y =y2 -y1 и z=z2-z1, выражение (38.1) можно записать в виде
Интервал между теми же событиями в системе К' равен
Согласно преобразованиям Лоренца (36.3),
Подставив эти значения в (38.2), по сле элементарных преобразований полу чим, что (s'12)2 = c2(t)2-(x)2-(y)2-(z)2, т. е.
(s'12)2 = s212.
Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, опре деляя пространственно-временные соотно шения между событиями, является инва риантом при переходе от одной инерциаль ной системы отсчета к другой. Инвари антность интервала означает, что, не смотря на относительность длин и про межутков времени, течение событий носит
объективный характер и не зависит от системы отсчета.
Теория относительности, таким обра зом, сформулировала новое представление о пространстве и времени, обобщенное далее в диалектическом материализме. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея — Ньютона, а относительными. Следователь но, представления об абсолютном про странстве и времени являются несостоя тельными. Кроме того, инвариантность интервала между двумя событиями свиде тельствует о том, что пространство и вре мя органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Про странство и время не существуют вне ма терии и независимо от нее. Ф. Энгельс подчеркивал, что «обе эти формы су ществования материи без материи суть ничто, простые представления, абстрак ции, существующие только в нашей голо ве» (Маркс К. и Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20. С. 550).
Дальнейшее развитие теории относи тельности (общая теория относительно сти, или теория тяготения) показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия про странства-времени не является евклидо вой (т. е. не зависящей от размеров об ласти пространства-времени), а изменяет ся от одной области к другой в за висимости от концентрации масс в этих областях и их движения.
Основной закон релятивистской динамики материальной точки
Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина по стоянная. Однако в конце XIX столетия на опытах с быстро движущимися электрона ми было установлено, что масса тела за висит от скорости его движения, а имен но возрастает с увеличением скорости по закону
где m0 — масса покоя материальной точ ки, т. е. масса, измеренная в той инерци альной системе отсчета, относительно ко торой материальная точка находится в по кое; с —скорость света в вакууме; m — масса точки в системе отсчета, относи тельно которой она движется со скоростью v. Из принципа относительности Эйн штейна (см. §35), утверждающего инва риантность всех законов природы при пе реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвари антности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона
оказывается также инвариантным по от ношению к преобразованиям Лоренца, ес ли в нем справа стоит производная по времени от релятивистского импульса.
Основной закон релятивистской дина мики материальной точки имеет вид
— релятивистский импульс материальной точки.
Отметим, что уравнение (39.3) внешне совпадает с основным уравнением ньюто новской механики (6.7). Однако физиче ский смысл его другой: справа стоит про изводная по времени от релятивистского импульса, определяемого форму лой (39.4). Таким образом, уравне ние (39.2) инвариантно по отношению
к преобразованиям Лоренца и, следова тельно, удовлетворяет принципу относи тельности Эйнштейна. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инва риантными величинами. Более того, в об щем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.
В силу однородности пространства (см. § 9) в релятивистской механике вы полняется закон сохранения релятивист ского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто во обще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к с, то можно использовать только релятивист ское выражение для импульса.
Анализ формул (39.1), (39.4) и (39.2) показывает, что при скоростях, значитель но меньших скорости света, уравне ние (39.2) переходит в основной закон (см. (6.5)) классической механики. Следо вательно, условием применимости законов классической (ньютоновской) механики является условие v<<с. Законы классиче ской механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<<с (формально переход осуще ствляется при с). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, движущихся с малыми скоро стями (по сравнению со скоростью света в вакууме).
Экспериментальное доказательство за висимости массы от скорости (39.1) явля ется подтверждением справедливости спе циальной теории относительности. В даль нейшем (см. §116) будет показано, что на основании этой зависимости про изводятся расчеты ускорителей
Закон взаимосвязи массы и энергии
Найдем кинетическую энергию релятиви стской частицы (материальной точки). Раньше (§ 12) было показано, что при ращение кинетической энергии материаль ной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:
dT = dA или dT=Fdr. (40.1)
Учитывая, что dr = vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получим
Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv=vdv, и формулы (39.1), придем к выражению
т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.
Так как кинетическая энергия покоя щейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, то, проинтегриро вав (40.2), получим
Т=(m-m0)с2, (40.3)
или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид
Выражение (40.4) при скоростях v<<с пе реходит в классическое:
T = m0v2/2
(разлагая в ряд (1-v2/с2)-1/2= 1 +1/2Xv2/c2+3/8v4/c4+... при v<<с, правомерно
пренебречь членами второго порядка ма лости).
А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедли во не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энер гии, а именно: любое изменение массы m сопровождается изменением полной энер гии материальной точки,
E=с2m. (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энер гией тела Е и его массой m:
Уравнение (40.6), равно как и (40.5), вы ражает фундаментальный закон приро ды— закон взаимосвязи (пропорциональ ности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отме тим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.
Закон (40.6) можно, учитывая выра жение (40.3), записать в виде
Е = m0с2 + Т,
откуда следует, что покоящееся тело (Т = = 0) также обладает энергией
Е0=m0с2,
называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя Е0 не учитывает, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю.
В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон со хранения энергии: полная энергия замкну той системы сохраняется, т. е: не изменя ется с течением времени.
Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между пол ной энергией и импульсом частицы:
Возвращаясь к уравнению (40.6), от метим еще раз, что оно имеет универсаль ный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса
m=Е/с2 (40.8)
связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рас сматривают энергию связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходи мо затратить, чтобы разложить эту систе му на составные части (например, атомное ядро—на протоны и нейтроны). Энергия связи системы
где m0i — масса покоя i-й частицы в сво бодном состоянии; m0 — масса покоя системы, состоящей из n частиц.
Закон взаимосвязи (пропорционально сти) массы и энергии блестяще подтвер жден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетиче ских эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.
Рассматривая выводы специальной те ории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, по требовала пересмотра многих установив шихся и ставших привычными представле ний. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не яв ляются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.
Эту ломку укоренившихся представле ний некоторые буржуазные философы пы тались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энерге тизма и философского релятивизма. Пер вая из этих теорий рассматривала воз можность преобразования массы в энер гию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, одна ко при этом масса не «переходит в энер гию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения — одного из основ ных положений диалектического материа лизма.
Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Одна ко из постулатов и следствий теории Эйн штейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерци альных системах отсчета различны, не да ет оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невоз можно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человече ские представления о пространстве и вре мени относительны, но из этих относитель ных представлений складывается абсо лютная истина, эти относительные пред ставления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представле ний о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных зна ний о строении и формах движения мате рии не опровергает объективной реально сти внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).
Основной вывод теории относительно сти сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и об разуют единую форму существования ма терии — пространство-время. Только по этому пространственно-временной интер вал между двумя событиями является абсолютным, в то время как простран ственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следова тельно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространствен но-временных соотношений движущейся материи.
Основы молекулярной физики и термодинамики
Статистический и термодинамический методы исследования. Молекулярная фи зика и термодинамика — разделы физики, в которых изучаются макроскопические
процессы в телах, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих про цессов применяют два качественно раз личных и взаимно дополняющих друг дру га метода: статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Пер вый лежит в основе молекулярной физики, второй — термодинамики.
Молекулярная физика — раздел физи ки, изучающий строение и свойства ве щества исходя из молекулярно-кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.
Идея об атомном строении вещества высказана древнегреческим философом Демокритом (460—370 до н. э.). Атомисти ка возрождается вновь лишь в XVII в. и развивается в работах М. В. Ломоно сова, взгляды которого на строение ве щества и тепловые явления были близки к современным. Строгое развитие молеку лярной теории относится к середине XIX в. и связано с работами немецкого физика Р.Клаузиуса (1822—1888), ан глийского физика Дж. Максвелла (1831 — 1879) и австрийского физика Л. Больцма на (1844—1906).
Процессы, изучаемые молекулярной физикой, являются результатом совокуп ного действия огромного числа молекул. Законы поведения огромного числа моле кул, являясь статистическими закономер ностями, изучаются с помощью статисти ческого метода. Этот метод основан на
том, что свойства макроскопической систе мы в конечном счете определяются свой ствами частиц системы, особенностями их движения и усредненными значениями ди намических характеристик этих частиц (скорости, энергии и т.д.). Например, температура тела определяется скоростью беспорядочного движения его молекул, но так как в любой момент времени разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена только через среднее значение скорости движения мо лекул. Нельзя говорить о температуре од ной молекулы. Таким образом, макроско пические характеристики тел имеют физи ческий смысл лишь в случае большого числа молекул.
Термодинамика — раздел физики, изу чающий общие свойства макроскопиче ских систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, и про цессы перехода между этими состояниями. Термодинамика не рассматривает микро процессы, которые лежат в основе этих превращений. Этим термодинамический метод отличается от статистического. Термодинамика базируется на двух на чалах — фундаментальных законах, уста новленных в результате обобщения опыт ных данных.
Область применения термодинамики значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим мето дом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод несколько огра ничен: термодинамика ничего не говорит о микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь устанавли вает связи между макроскопическими
свойствами вещества. Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь различными методами исследования.
Термодинамика имеет дело с термоди намической системой — совокупностью макроскопических тел, которые взаимо действуют и обмениваются энергией как между собой, так и с другими телами (внешней средой). Основа термодинами ческого метода — определение состояния термодинамической системы. Состояние системы задается термодинамическими параметрами (параметрами состояния) — совокупностью физических величин, ха рактеризующих свойства термодинамиче ской системы. Обычно в качестве парамет ров состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.
Температура — одно из основных по нятий, играющих важную роль не только в термодинамике, но и в физике в целом. Температура — физическая величина, ха рактеризующая состояние термодинами ческого равновесия макроскопической системы. В соответствии с решением XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) в настоящее время можно применять только две температурные шка лы — термодинамическую и Международ ную практическую, градуированные соот ветственно в Кельвинах (К) и в градусах Цельсия (°С).
В Международной практической шка ле температура замерзания и кипения во ды при давлении 1,013•105 Па соответ ственно 0 и 100 °С (так называемые реперные точки).
Термодинамическая температурная шкала определяется по одной реперной точке, в качестве которой взята тройная точка воды (температура, при которой лед, вода и насыщенный пар при давле нии 609 Па находятся в термодинамиче ском равновесии). Температура этой точки по термодинамической шкале равна 273,16 К, (точно). Градус Цельсия равен Кельвину. В термодинамической шкале температура замерзания воды равна 273,15 К (при том же давлении, что и в Международной практической шкале), поэтому, по определению, термодинамиче ская температура и температура по Меж дународной практической шкале связаны соотношением T=273,15+t. Температура T=0 называется нулем кельвин. Анализ различных процессов показывает, что 0 К недостижим, хотя приближение к нему сколь угодно близко возможно.
Удельный объем v — это объем едини цы массы. Когда тело однородно, т. е. его плотность =const, то v= V/m= 1/. Так как при постоянной массе удельный объем пропорционален общему объему, то мак роскопические свойства однородного тела можно характеризовать объемом тела.
Параметры состояния системы могут изменяться. Любое изменение в термоди намической системе, связанное с измене нием хотя бы одного из ее термодинамиче ских параметров, называется термодина мическим процессом. Макроскопическая система находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что внешние условия рассматриваемой систе мы при этом не изменяются).
Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
§ 41. Опытные законы идеального газа
В молекулярно-кинетической теории поль зуются идеализированной моделью идеаль ного газа, согласно которой:
1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;
2) между молекулами газа отсутству ют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.
Модель идеального газа можно ис пользовать при изучении реальных газов, так как они в условиях, близких к нор-
мальным (например, кислород и гелий), а также при низких давлениях и высоких температурах близки по своим свойствам к идеальному газу. Кроме того, внеся по правки, учитывающие собственный объем молекул газа и действующие молекуляр ные силы, можно перейти к теории реаль ных газов.
Опытным путем, еще до появления молекулярно-кинетической теории, был уста новлен целый ряд законов, описывающих поведение идеальных газов, которые мы и рассмотрим.
Закон Бойля — Мариотта: для дан ной массы газа при постоянной температу ре произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:
pV = const (41.1) при Т=const, m=const.
Кривая, изображающая зависимость меж ду величинами р и V, характеризующими свойства вещества при постоянной темпе ратуре, называется изотермой. Изотермы представляют собой гиперболы, располо женные на графике тем выше, чем выше температура, при которой происходит про цесс (рис. 60).
Закон Гей-Люссака: 1) объем дан ной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:
V=V0(1+t) (41.2) при p = const, m = const;
2) давление данной массы газа при по стоянном объеме изменяется линейно с температурой:
p = p0(1+t) (41.3) при V=const, m=const.
В этих уравнениях t — температура по шкале Цельсия, р0 и V0 — давление и объем при 0°С, коэффициент =1/273,15 К-1.
Процесс, протекающий при постоян ном давлении, называется изобарным. На диаграмме в координатах V, t (рис.61) этот процесс изображается прямой, на зываемой изобарой. Процесс, протекаю щий при постоянном объеме, называется изохорным. На диаграмме в координатах р, t (рис. 62) он изображается прямой, называемой изохорой.
Из (41.2) и (41.3) следует, что изо бары и изохоры пересекают ось темпера тур в точке t =-1/=-273,15 °С, опре деляемой из условия 1+t=0. Если сместить начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (рис. 62), откуда
T=t+1/.
Вводя в формулы (41.2) и (41.3) термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более удоб ный вид:
V=V0(1+t)=V0[1+(T-1/)]=v0t,
p=p0(1+t)=p0 [1+(Т-1/)]=р0Т, или
V1/V2 = T1/T2 (41.4)
при p = const, m = const,
р1/р2 = T1/T2 (41.5) при V=const, m=const,
где индексы 1 и 2 относятся к произволь ным состояниям, лежащим на одной изо баре или изохоре.
Закон Авогадро: моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы. При нор мальных условиях этот объем равен 22,41•10-3м3/моль.
По определению, в одном моле различ ных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро:
nа = 6,022•1023 моль-1.
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциаль ных давлений входящих в нее газов, т. е.
p=p1+p2+... + pn,
где p1,p2, ..., pn—парциальные давле ния — давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре.
Уравнение Клапейрона — Менделеева
Как уже указывалось, состояние некото рой массы газа определяется тремя тер модинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т.
Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравне нием состояния, которое в общем виде дается выражением
f(р, V, Т)=0,
где каждая из переменных является фун кцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Кла пейрон (1799—1864) вывел уравнение со стояния идеального газа, объединив за коны Бойля — Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V1, имеет давление р1 и находится при температуре Т1. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии харак теризуется параметрами р2, V2, Т2 (рис.63). Переход из состояния 1 в со стояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1—1'), 2) изохорного (изохора 1'—2).
В соответствии с законами Бойля — Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
p1V1=p'1V2, (42.1)
p'1/p'2=T1/T2 . (42.2)
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) р'1, получим
p1V1/T1=p2V2/Т2 .
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа
величина pV/T остается постоянной,
т. е.
pV/T =B=const. (42.3)
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В — газовая по стоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Кла пейрона с законом Авогадро, отнеся урав нение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем Vт. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем Vm, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой посто янной. Уравнению
pVm = RT (42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеально го газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р0=1,013•105 Па, T0=273,15 K:, Vm= 22,41•10-3м3/моль): R = 8,31 Дж/(моль•К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейро на — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давле ний и температуре один моль газа занимает молярный объем l/m, то при тех же условиях масса т газа займет объем V = (m/M) Vm, где М — молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной мас сы — килограмм на моль (кг/моль). Урав нение Клапейрона — Менделеева для мас сы т газа
где v = m/M — количество вещества.
Часто пользуются несколько иной фор мой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
k=R/NА=1,38•10-23 Дж/К.
Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде
p = RT/Vm = kNAT/Vm = nkT,
где NA/Vm = n—концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
p = nkT (42.6)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорцио нально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых темпе ратуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число моле кул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта:
NL = P0/(kT0) = 2,68•1025 м-3.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов
Для вывода основного уравнения молеку лярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предполо жим, что молекулы газа движутся хаоти чески, число взаимных столкновений меж ду молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку S (рис. 64) и вычислим давле ние, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущая ся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m0v-(-m0v)=2m0v, где т0 — масса молекулы, v — ее скорость.
За время t площадки S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием S и высотой vt (рис.64). Число этих молекул равно nSvt (n—концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке
S под разными углами и имеют различ ные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движе ние молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направ лений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 моле кул, причем половина молекул (1/6) дви жется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку S будет 1/6nSvt. При столкновении с пло щадкой эти молекулы передадут ей им пульс
Р = 2m0v•1/6nSvt=1/3nm0v2St.
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
p=P/(tS)=1/3nm0v2. (43.1)
Если газ в объеме V содержит N молекул,
движущихся со скоростями v1, v2, ..., vN, то
целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
характеризующую всю совокупность моле кул газа.
Уравнение (43.1) с учетом (43.2) при мет вид
р = 1/3пт0 <vкв>2. (43.3)
Выражение (43.3) называется основ ным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный рас чет с учетом движения молекул по все-
возможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n = N/V, получим
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m =Nm0, то урав нение (43.4) можно переписать в виде
pV=1/3m<vкв>2.
Для одного моля газа т = М (М — моляр ная масса), поэтому
pVm=1/3M<vкв>2,
где Vm — молярный объем. С другой сто роны, по уравнению Клапейрона — Мен делеева, pVm=RT. Таким образом,
RT=1/3М <vкв>2, откуда
Так как М = m0NA, где m0—масса од ной молекулы, а NА — постоянная Авогад ро, то из уравнения (43.6) следует, что
где k = R/NA—постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной темпе ратуре молекулы кислорода имеют сред нюю квадратичную скорость 480 м/с, во дорода — 1900 м/с. При температуре жид кого гелия те же скорости будут соответ ственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия посту пательного движения одной молекулы иде ального газа
<0) =E/N = m0 <vкв>)2/2 = 3/2kT(43.8)
(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической тем пературе и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при T=0 <0> =0,,т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии по ступательного движения молекул идеаль ного газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.
Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам за давали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и на правлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления дви жения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем дви жется одинаковое число молекул.
По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m0 в газе, на ходящемся в состоянии равновесия при Т = const, остается постоянной и равной <vкв> =3kT/m0. Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, ко торое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон теоре тически выведен Дж. Максвеллом.
При выводе закона распределения мо лекул по скоростям Максвелл предпола гал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находя щихся в состоянии беспорядочного тепло вого движения при одинаковой температу ре. Предполагалось также, что силовые поля на газ не действуют.
Закон Максвелла описывается некото рой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Ес ли разбить диапазон скоростей молекул на
малые интервалы, равные dv, то на каж дый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN (v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т. е.
откуда
f(v)=dN(v)/Ndv
Применяя методы теории вероятно стей, Максвелл нашел функцию f(v) — закон для распределения молекул идеаль ного газа по скоростям:
Из (44.1) видно, что конкретный вид фун кции зависит от рода газа (от массы моле кулы) и от параметра состояния (от тем пературы Т).График функции (44.1) приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель уменьшается быстрее, чем растет множитель v2, то функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при vв и затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относи тельно vв.
Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, находится как площадь бо лее светлой полоски на рис. 65. Площадь, ограниченная кривой распределения
и осью абсцисс, равна единице. Это озна чает, что функция f(v) удовлетворяет усло вию нормировки
Скорость, при которой функция рас пределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наи более вероятной скоростью. Значение наи более вероятной скорости можно найти продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множители опускаем) по ар гументу v, приравняв результат нулю и ис пользуя условие для максимума выраже ния f(v):
Значения v=0 и v= соответствуют минимумам выражения (44.1), а значе ние v, при котором выражение в скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная скорость vв:
Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум функ ции распределения молекул по скоростям (рис. 66) сместится вправо (значение наи более вероятной скорости становится больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распреде ления молекул по скоростям будет растя гиваться и понижаться.
Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость)
Барометрическая формула. Распределение Больцмана
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и макcсвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молеку лы газа внешние силы не действуют, по этому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготе ния Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному со стоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.
Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготе ния однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте А равно р (рис. 67), то на высоте h + dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давле ние с высотой убывает). Разность давле ний р и p + dp равна весу газа, заклю ченного в объеме цилиндра высотой Ah с основанием площадью, равной единице площади:
р-(p+dp)=gh,
где — плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа можно счи тать постоянной).
Следовательно,
dр=-gdh. (45.1)
Воспользовавшись уравнением состоя ния идеального газа pV = (m/M)RT (т — масса газа, М—молярная масса газа),
находим, что
Подставив это выражение в (45.1), получим
С изменением высоты от h1 до h2. дав ление изменяется от р1 до p2 (рис. 67), т. е.
Выражение (45.2) называется барометри ческой формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти вы соту. Так как высоты обозначаются отно сительно уровня моря, где давление счита ется нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде
где р — давление на высоте h.
Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высото мером (или альтиметром). Его работа ос нована на использовании формулы (45.3). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяже лее газ.
Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользо ваться выражением (42.6) p=nkT:
где n — концентрация молекул на высо те h, n0 — то же на высоте h=0. Так как M = m0NA (NA— постоянная Авогадро, m0 —масса одной молекулы), а R=kNA, то
где m0gh=П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.
Выражение (45.5) называется распре делением Больцмана во внешнем потенци альном поле. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
Если частицы имеют одинаковую мас су и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.
определяется по формуле
Подставляя сюда f(v) и интегрируя, по лучим
Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная vв=2RT/М; 2) средняя <v>=8RT/(М)=1,13vв; 3) средняя квадратичная <vкв> =3RT/М =1,22vв (рис.65).
Исходя из распределения молекул по скоростям
можно найти распределение молекул га за по значениям кинетической энергии . Для этого перейдем от переменной v к переменной =m0v2/2. Подставив в (44.4) v = (2//m0 и
dv=(2m0)-1/2d, получим
где (dN() — число молекул, имеющих ки нетическую энергию поступательного дви жения, заключенную в интервале от до +d.
Таким образом, функция распределе ния молекул по энергиями теплового дви жения
Средняя кинетическая энергия <> молекулы идеального газа
т. е. получили результат, совпадающий с формулой (43.8).
Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
Молекулы газа, находясь в состоянии хао тического движения, непрерывно сталки ваются друг с другом. Между двумя по следовательными столкновениями молеку лы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между по следовательными столкновениями различ на, но так как мы имеем дело с огромным числом молекул и они находятся в бес порядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега моле кул <l>.
Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис.68). Он за висит от скорости сталкивающихся моле кул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).
Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости <v>, и если (z) —сред нее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега
<l>=<v>/<z>.
Для определения <z> представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется среди других «застыв ших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами, центры кото рых находятся на расстояниях, рав ных или меньших d, т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).
Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломано го» цилиндра:
<z>=nV,
где n — концентрация молекул, V = = d2<v> (<v> —средняя скорость мо лекулы или путь, пройденный ею за 1с). Таким образом, среднее число столкновений
<z>=nd2<v>.
Расчеты показывают, что при учете дви жения других молекул
Тогда средняя длина свободного про бега
т.е. (l) обратно пропорциональна кон центрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует, что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р.
Следовательно,
Опытное обоснование молекулярно-кинетической теории
Рассмотрим некоторые явления, экспери ментально подтверждающие основные по ложения и выводы молекулярно-кинетиче ской теории.
1. Броуновское движение. Шотландский ботаник Р. Броун (1773—1858), на блюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно двига лись, то вращаясь, то перемещаясь с места на место, подобно пылинкам в сол нечном луче. Впоследствии оказалось, что подобное сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц малых размеров (1мкм), взвешенных в газе или жидкости. Интенсивность этого движения, называемого броуновским, по вышается с ростом температуры среды, с уменьшением вязкости и размеров частиц (независимо от их химической при роды). Причина броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение: броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами молекул среды, в которой части цы взвешены. Так как молекулы движутся хаотически, то броуновские частицы полу чают толчки с разных сторон, поэтому и совершают движение столь причудливой формы. Таким образом, броуновское дви жение является подтверждением выводов молекулярно-кинетической теории о хао тическом тепловом движении атомов и мо лекул.
2. Опыт Штерна. Первое эксперимен тальное определение скоростей молекул выполнено немецким физиком О. Штерном (1888—1970). Его опыты позволили также оценить распределение молекул по скоро стям. Схема установки Штерна представ лена на рис. 70. Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, кото рая нагревается током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаря ется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели О.
Если прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместят ся от точки О на некоторое расстояние s. Изображение щели получается размы тым. Исследуя толщину осажденного слоя, можно оценить распределение моле кул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.
Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а также измеряя s, можно вычислить скорость движения ато мов серебра при данной температуре про волоки. Результаты опыта показали, что средняя скорость атомов серебра близка к той, которая следует из максвелловского распределения молекул по скоростям.
3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позволя ет более точно определить закон распреде ления молекул по скоростям. Схема ваку умной установки приведена на рис. 71. Молекулярный пучок, сформированный источником, проходя через щель, попадает в приемник. Между источником и прием ником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси. При непод вижных дисках молекулы достигают при емника, проходя через прорези в обоих дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени оборо та диска. Другие же молекулы задержива ются вторым диском. Меняя угловую ско рость вращения дисков и измеряя число молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон распределения скоростей молекул. Этот опыт также подтвердил справедливость максвелловского распре деления молекул по скоростям.
4. Опытное определение постоянной Авогадро. Воспользовавшись идеей рас пределения молекул по высоте (см. форму лу (45.4)), французский ученый Ж Перрен (1870—1942) экспериментально опре делил постоянную Авогадро. Исследуя под микроскопом броуновское движение, он убедился, что броуновские частицы рас пределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения. Применив к ним больцмановское распределение, можно за писать
где m—масса частицы, m1 — масса вы тесненной ею жидкости: m=4/3r3, m1 = 4/3r31 (r — радиус частицы, — плотность частицы, 1 — плотность жидко сти).
Если n1 и n2 — концентрации частиц на уровнях h1 и h2, a k=R/NA, то
Значение Na, получаемое из работ Ж. Перрена, соответствовало значениям, полученным в других опытах, что под тверждает применимость к броуновским частицам распределения (45.4).
Явления переноса в термодинамически неравновесных системах
В термодинамически неравновесных систе мах возникают особые необратимые про цессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обусловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена перено сом массы) и внутреннее трение (обуслов лено переносом импульса). Для простоты ограничимся одномерными явлениями пе реноса. Систему отсчета будем выбирать так, чтобы ось х была ориентирована в на правлении переноса.
1. Теплопроводность. Если в одной об ласти газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течени ем времени вследствие постоянных стол кновений молекул происходит процесс вы равнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., иными словами, выравнива ние температур.
Перенос энергии в форме теплоты под чиняется закону Фурье:
где jE — плотность теплового потока — величина, определяемая энергией, перено симой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, — теплопроводность, dT/dx — градиент температуры, равный скоро сти изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносит ся в направлении убывания температуры
(поэтому знаки jЕ и dT/dx противополож ны). Теплопроводность , численно равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что
где Сv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), — плот ность газа, (v) —средняя скорость теп лового движения молекул, <l> — средняя длина свободного пробега.
2. Диффузия. Явление диффузии за ключается в том, что происходит самопро извольное проникновение и перемешива ние частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия сводится к обмену масс частиц этих тел, возникает и продолжается, пока су ществует градиент плотности. Во время становления молекулярно-кинетической теории по вопросу диффузии возникли противоречия. Так как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия до лжна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим ве ществом, то запах распространяется дово льно медленно. Однако противоречия здесь нет. Молекулы при атмосферном давлении обладают малой длиной свобод ного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном «стоят» на месте.
Явление диффузии для химически од нородного газа подчиняется закону Фика:
jm=-Ddp/dx (48.3)
где jт — плотность потока массы — ве личина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени че рез единичную площадку, перпендикуляр ную оси х, D — диффузия (коэффициент диффузии), d/dx—градиент плотности,
равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направле нии убывания плотности (поэтому знаки jт
иd/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов,
D=1/3 <v> <l>. (48.4)
3. Внутреннее трение (вязкость). Ме ханизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жид кости), движущимися с различными ско ростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения проис ходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.
Согласно формуле (31.1), сила внут реннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:
где — динамическая вязкость (вязкость), dv/dx — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном на правлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассмат ривать как процесс, при котором от од ного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (48.5) можно представить в виде
где jp — плотность потока импульса — ве личина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в поло жительном направлении оси х через еди ничную площадку, перпендикулярную оси
х, dv/dx— градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в на правлении убывания скорости (поэтому
dv знаки jp и dv/dx противоположны), Динамическая вязкость численно равна плотности потока импульса при гра диенте скорости, равном единице; она вы числяется по формуле
Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между со бой. Эти законы были установлены задол го до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математических вы ражений обусловлено общностью лежаще го в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молеку лярного механизма перемешивания моле кул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов , D и . Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической тео рии. Они записаны без вывода, так как строгое рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты перено са и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают про стые зависимости между , D и :
Используя эти формулы, можно по най денным из опыта одним величинам опреде лить другие.
Вакуум и методы его получения. Свойства ультраразреженных газов
Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свобод ного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молеку лами относительно редки, поэтому основ ную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя дли на свободного пробега <l> сравнима или больше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В за висимости от соотношения <l> и d разли чают низкий (<l><<d), средний (<l>d), высокий ( <l>>d) и сверхвысокий (<l>>> d) вакуум. Газ в состоянии высокого вакуума называется ультраразреженным.
Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, на пример, во многих современных электрон ных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях вакуума. Для получения различных степеней разрежения применя ются вакуумные насосы. В настоящее вре мя применяются вакуумные насосы, по зволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) до 0,13 Па, а также вакуумные насосы и лаборатор ные приспособления, позволяющие полу чить давление до 13,3 мкПа—1,ЗЗпПа (10-7 — 10-14мм рт. ст.).
Принцип работы форвакуумного на соса представлен на рис. 72. Внутри ци линдрической полости корпуса враща ется эксцентрично насаженный цилиндр. Две лопасти 1 и 1', вставленные в разрез цилиндра и раздвигаемые пружиной 2, разделяют пространство между цилинд ром и стенкой полости на две части. Газ из откачиваемого сосуда поступает в область
3. по мере поворачивания цилиндра ло пасть 1 отходит, пространство 3 увеличи вается и газ засасывается через трубку
4. При дальнейшем вращении лопасть 1' отключает пространство 3 от трубки
4 и начинает вытеснять газ через клапан
5 наружу. Весь процесс непрерывно по вторяется.
Для получения высокого вакуума при меняются диффузионные насосы (рабочее вещество— ртуть или масло), которые не способны откачивать газ из сосудов на чиная с атмосферного давления, но спо собны создавать добавочную разность давлений, поэтому их употребляют вместе с форвакуумными насосами. Рассмотрим схему действия диффузионного насоса (рис. 73). В колбе ртуть нагревается, пары ртути, поднимаясь по трубке 1, вырываются из сопла 2 с большой скоростью, увле кая за собой молекулы газа из откачивае мого сосуда (в нем создан предваритель ный вакуум).
Эти пары, попадая затем в «водяную рубашку», конденсируются и стекают обратно в резервуар, а захва ченный газ выходит в пространство (через трубку 3), в котором уже создан форваку ум. Если применять многоступенчатые на сосы (несколько сопл расположены по следовательно), то реально при хороших уплотнениях можно с помощью них полу чить разрежение до 10-7 мм рт. ст.
Для дальнейшего понижения давления применяются так называемые «ловушки». Между диффузионным насосом и откачи ваемым объектом располагают специально изогнутое колено (1 или 2) соединитель ной трубки (ловушку), которую охлажда ют жидким азотом (рис.74). При такой температуре пары ртути (масла) вымора живаются и давление в откачиваемом со суде понижается приблизительно на 1 — 2 порядка. Описанные ловушки называют охлаждаемыми; можно применять также неохлаждаемые ловушки. Специальное рабочее вещество (например, алюмогель) помещают в один из отростков соедини тельной трубки вблизи откачиваемого объекта, которое поддерживается при тем пературе 300 °С.
При достижении высо кого вакуума алюмогель охлаждается до комнатной температуры, при которой он начинает поглощать имеющиеся в системе пары. Преимущество этих ловушек состо ит в том, что с их помощью в откачивае мых объектах можно поддерживать высо кий вакуум уже после непосредственной откачки в течение даже нескольких суток.
Остановимся на некоторых свойствах ультраразреженных газов. Так как в со стоянии ультраразрежения молекулы практически друг с другом не сталкивают ся, то газ в этом состоянии не обладает внутренним трением. Отсутствие соударе ний между молекулами разреженного газа отражается также на механизме теплопро водности. Если при обычных давлениях перенос энергии молекулами производится «эстафетой», то при ультраразрежении каждая молекула сама должна перенести энергию от одной стенки сосуда к другой. Явление уменьшения теплопроводности вакуума при понижении давления исполь зуется на практике для создания тепловой изоляции. Например, для уменьшения теп лообмена между телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дьюара, имеющий двойные стенки, между которы ми находится разреженный воздух, тепло проводность которого очень мала.
Рассмотрим два сосуда 1 и 2, под держиваемых соответственно при температурах Т1 и T2 (рис. 75) и соединенных между собой трубкой.
Если длина сво бодного пробега молекул гораздо меньше диаметра соединительной трубки (<l><<d), то стационарное состояние газа ха рактеризуется равенством давлений в обо их сосудах (р1=р2). Стационарное же состояние ультраразреженного газа (<l>>>d), находящегося в двух сосудах, соединенных трубкой, возможно лишь в том случае, когда встречные потоки частиц, перемещающихся из одного со суда в другой, одинаковы, т. е.
n1<v1>=n2<v2>, (49.1) где n1 и n2 — концентрации молекул в обо их сосудах, <v1> и <v2> —средние скорости молекул. Учитывая, что n= p/(kT) и <v>=(8RT/(M)), из условия (49.1) получаем
т. е. в условиях высокого вакуума вырав нивания давлений не происходит. Если в откачанный стеклянный баллон (рис. 76) на пружину 1 насадить слюдяной листо чек 2, одна сторона которого зачернена, и освещать его, то возникнет разность температур между светлой и зачерненной поверхностями листочка.
Основы термодинамики
§ 50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул
Важной характеристикой термодинамиче ской системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (тепло вого) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внутрен ней энергии не относятся кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.
Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное состояние). Это
означает, что при переходе системы из одного состояния в другое изменение внут ренней энергии определяется только раз ностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит от пути перехода. В § 1 было введено понятие числа степеней свободы — числа независимых переменных (координат), полностью опре деляющих положение системы в простран стве. В ряде задач молекулу одноатомного газа (рис. 77, а) рассматривают как мате риальную точку, которой приписывают три
степени свободы поступательного движе ния. При этом энергию вращательного движения можно не учитывать (r—>0, J= mr20, Tвр =J2/20).
В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77,б). Эта система кроме трех степеней свободы по ступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движе ния. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) лишено смысла. Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы (i=5). Трехатомная (рис. 77,0) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степе ней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. По этому для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колеба тельного движения.
Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из по ступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем оди наковая энергия, равная 1/3 значения <0)в (43.8):
В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномер ном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в состоянии термо динамического равновесия, на каждую по ступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетиче ская энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы — в сред нем энергия, равная kT. Колебательная степень «обладает» вдвое большей энер гией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в слу чае поступательного и вращательного дви жений), но и потенциальная, причем сред ние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы
где i — сумма числа поступатель ных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:
i =iпост+iвращ+2iколеб.
В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атома ми; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы.
Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна ну лю (молекулы между собой не взаимодей ствуют), то внутренняя энергия, отнесен ная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий NA молекул:
Внутренняя энергия для произвольной массы т газа
где М — молярная масса, v — количе ство вещества.
Первое начало термодинамики
Рассмотрим термодинамическую систему, для которой механическая энергия не из меняется, а изменяется лишь ее внутрен няя энергия. Внутренняя энергия системы может изменяться в результате различных процессов, например совершения над системой работы и сообщения ей теплоты. Так, вдвигая поршень в цилиндр, в кото ром находится газ, мы сжимаем этот газ, в результате чего его температура повы шается, т. е. тем самым изменяется (уве личивается) внутренняя энергия газа. С другой стороны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно повысить за счет сообщения ему некоторого количест ва теплоты — энергии, переданной систе ме внешними телами путем теплообмена (процесс обмена внутренними энергиями при контакте тел с разными температу рами) .Таким образом, можно говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: работе и теплоте. Энергия меха нического движения может превращаться в энергию теплового движения и наоборот. При этих превращениях соблюдается за кон сохранения и превращения энергии; применительно к термодинамическим про цессам этим законом и является первое начало термодинамики, установленное в результате обобщения многовековых опытных данных.
Допустим, что некоторая система (газ, заключенный в цилиндр под поршнем), обладая внутренней энергией U1, получи ла некоторое количество теплоты Q и, перейдя в новое состояние, характеризую щееся внутренней энергией U2, совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Количество теплоты считает ся положительным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда система совершает ее против внеш них сил. Опыт показывает, что в соответ ствии с законом сохранения энергии при любом способе перехода системы из перво го состояния во второе изменение внутрен ней энергии U=U2-U1 будет одинако вым и равным разности между количест вом теплоты Q, полученным системой, и работой А, совершенной системой про тив внешних сил:
U=Q-A,
или
Q=U+A. (51.1)
Уравнение (51.1) выражает первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение ею работы против внешних сил.
Выражение (51.1) в дифференциаль ной форме будет иметь вид
dQ=dU+dA, или в более корректной форме
Q=dU+A, (51.2)
где dU — бесконечно малое изменение внутренней энергии системы, А — эле ментарная работа, Q — бесконечно малое количество теплоты. В этом выраже нии dU является полным дифференциа лом, а A и Q таковыми не являются. В дальнейшем будем использовать запись первого начала термодинамики в форме (51.2).
Из формулы (51.1) следует, что в СИ количество теплоты выражается в тех же единицах, что работа и энергия, т. е. в джоулях (Дж).
Если система периодически возвраща ется в первоначальное состояние, то изме нение ее внутренней энергии U=0. Тогда, согласно первому началу термодинамики,
A=Q,
т. е. вечный двигатель первого рода —
периодически действующий двигатель, ко торый совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия,— невоз можен (одна из формулировок первого начала термодинамики).
Из выражения (49.2) следует, что в данном случае раз ным будет и давление, т. е. молекулы от зачерненной поверхности будут оттал киваться с большей силой, чем от свет лой, в результате чего листочек отклонит ся. Это явление называется радиометри ческим эффектом. На радиометрическом эффекте основано действие радиометриче ского манометра.
Работа газа при изменении его объема
Для рассмотрения конкретных процессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изменении его объема. Рассмотрим, например, газ, на ходящийся под поршнем в цилиндриче ском сосуде (рис. 78). Если газ, расширя ясь, передвигает поршень на бесконечно малое расстояние dl, то производит над ним работу
A=Fdl=pSdl=pdV,
где S — площадь поршня, Sdl=dV— из менение объема системы. Таким образом,
A=pdV. (52.1)
Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объема от V1 до V2, найдем
интегрированием формулы (52.1):
Результат интегрирования определяется характером зависимости между давлением и объемом газа. Найденное для работы выражение (52.2) справедливо при любых изменениях объема твердых, жидких и га зообразных тел.
Произведенную при том или ином про цессе работу можно изобразить графиче ски с помощью кривой в координатах р, V. Например, изменение давления газа при его расширении изобразится кривой на рис. 79. При увеличении объема на dV совершаемая газом работа равна pdV, т. е. определяется площадью полоски с основанием dV на рисунке. Поэтому полная работа, совершаемая газом при расширении от объема V1 до объема V2, определяется площадью, ограниченной осью абсцисс, кривой p = f(V) и прямыми V1 и V2.
Графически можно изображать только равновесные процессы — процессы, состо ящие из последовательности равновесных состояний. Они протекают так, что измене ние термодинамических параметров за ко нечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные процессы неравновес ны (они протекают с конечной скоростью), но в ряде случаев неравновесностью реальных процессов можно пренебречь (чем медленнее процесс протекает, тем он ближе к равновесному). В дальнейшем рассматриваемые процессы будем считать равновесными.
§ 53. Теплоемкость
Удельная теплоемкость вещества ве личина, равная количеству теплоты, не обходимому для нагревания 1 кг вещест ва на 1 К:
Единица удельной теплоемкости — джоуль на килограмм-кельвин (Дж/(кг•К)).
Молярная теплоемкость— величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 моля вещества на 1 К:
где v = m/M — количество вещества, вы ражающее число молей.
Единица молярной теплоемкости — джоуль на моль-кельвин (Дж/(моль•К)).
Удельная теплоемкость с связана с мо лярной Сm соотношением
Ст = сМ, (53.2)
где М — молярная масса вещества.
Различают теплоемкости при постоян ном объеме и постоянном давлении, если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается по стоянным.
Запишем выражение первого начала термодинамики (51.2) для 1 моля газа с учетом формул (52.1) и (53.1):
CmdT = dUm + pdVm. (53.3)
Если газ нагревается при постоянном объеме, то работа внешних сил равна ну лю (см. (52.1)) и сообщаемая газу извне теплота идет только на увеличение его внутренней энергии:
т. е. молярная теплоемкость газа при по стоянном объеме Сv равна изменению внутренней энергии 1 моля газа при повы шении его температуры на 1 К. Согласно формуле (50.1),
тогда
Cv = iR/2. (53.5)
Если газ нагревается при постоянном давлении, то выражение (53.3) можно за писать в виде
Учитывая, что dUm/dT не зависит от вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а опреде ляется лишь температурой Т) и всегда равна Сv (см. (53.4)); продифферен цировав уравнение Клапейрона — Мен делеева pVm=RT (42.4) по T(p=const), получим
Cp = Cv + R. (53.6)
Выражение (53.6) называется уравнением Майера; оно показывает, что Ср всегда больше Сv на величину молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы расшире ния газа, так как постоянство давле ния обеспечивается увеличением объема газа.
Использовав (53.5), выражение (53.6) можно записать в виде
При рассмотрении термодинамических процессов важно знать характерное для каждого газа отношение Ср к Cv:
=Cp/Cv=(i+2)/i. (53.8)
Из формул (53.5) и (53.7) следует, что молярные теплоемкости определяются лишь числом степеней свободы и не за висят от температуры. Это утверждение молекулярно-кинетической теории спра ведливо в довольно широком интервале температур лишь для одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двух атомного газа обладает тремя поступательными, двумя вращательными и одной колебательной степенями свободы.
По закону равномерного распределе ния энергии по степеням свободы (см. § 50), для комнатных температур Cv = 7/2R. Из качественной эксперименталь ной зависимости молярной теплоемкости Сv водорода (рис. 80) следует, что Cv за висит от температуры: при низкой темпера туре (50 К) Cv=3/2R, при комнатной — Cv=5/2R (вместо расчетных 7/2R!) и очень высокой — Сv=7/2/R. Это можно объяснить, предположив, что при низких температурах наблюдается только посту пательное движение молекул, при ком натных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам дви жения добавляются еще колебания моле кул.
Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колеба ний молекул (возможны не любые враща тельные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движе ния недостаточна, например, для возбуж дения колебаний, то эти колебания не вно сят своего вклада в теплоемкость (соот ветствующая степень свободы «заморажи вается» — к ней неприменим закон равно распределения энергии). Этим объясняет ся, что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при комнатной темпе ратуре равна 5/2 R вместо 7/2 R. Аналогич но можно объяснить уменьшение тепло емкости при низкой температуре («замо раживаются» вращательные степени сво-
Применение первого начала термодинамики к изопроцессам
Среди равновесных процессов, происходя щих с термодинамическими системами, выделяются изопроцессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.
Изохорный процесс (V = const). Диаг рамма этого процесса (изохора) в коорди натах р, V изображается прямой, парал лельной оси ординат (рис. 81), где процесс 1—2 есть изохорное нагревание, а 1—3 — изохорное охлаждение. При изохорном процессе газ не совершает работы над внешними телами, т. е.
A=pdV = 0.
Как уже указывалось в § 53, из первого начала термодинамики (Q=dU+A) для изохорного процесса следует, что вся теп лота, сообщаемая газу, идет на увеличе ние его внутренней энергии:
Q =dU
Согласно формуле (53.4), dUm = CvdT.
Тогда для произвольной массы газа по лучим
Изобарный процесс (р=const). Диаграмма этого процесса (изобара) в координатах р, V изображается прямой, парал лельной оси V
. При изобарном процессе работа газа (см. (52.2)) при расширении объема от V1 до V2 равна
и определяется площадью прямоугольни ка, выполненного в цвете на рис. 82. Если использовать уравнение (42.5) Клапейро на — Менделеева для выбранных нами двух состояний, то
откуда
Тогда выражение (54.2) для работы изо барного расширения примет вид
Из этого выражения вытекает физический смысл молярной газовой постоянной R: если T2-T1=1К, то для 1 моля газа R=А, т. е. R численно равна работе изо барного расширения 1 моля идеального газа при нагревании его на 1 К.
В изобарном процессе при сообщении газу массой от количества теплоты
его внутренняя энергия возрастает на ве личину (согласно формуле (53.4))
При этом газ совершит работу, определяе мую выражением (54.3).
Изотермический процесс (T=const). Как уже указывалось в § 41, изотермиче ский процесс описывается законом Бой ля — Мариотта:
pV=const.
Диаграмма этого процесса (изотерма) в координатах р, V представляет собой гиперболу (см. рис.60), расположенную на диаграмме тем выше, чем выше темпе ратура, при которой происходил процесс. Исходя из выражений (52.2) и (42.5) найдем работу изотермического расшире ния газа:
Так как при T=const внутренняя энергия идеального газа не изменяется:
то из первого начала термодинамики (Q =dU+A) следует, что для изотермиче ского процесса
Q=A,
т. е. все количество теплоты, сообщаемое газу, расходуется на совершение им рабо ты против внешних сил:
Следовательно, для того чтобы при рабо те расширения температура не уменьша лась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количест во теплоты, эквивалентное внешней работе расширения.
Адиабатический процесс. Политропный процесс
Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен (Q=0) между системой и окружающей средой. К адиабатическим процессам можно от-
нести все быстропротекающие процессы. Например, адиабатическим процессом можно считать процесс распространения звука в среде, так как скорость распро странения звуковой волны настолько вели ка, что обмен энергией между волной и средой произойти не успевает. Адиаба тические процессы применяются в двига телях внутреннего сгорания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных установках и т. д.
Из первого начала термодинамики (Q=dU+A) для адиабатического про цесса следует, что
A=-dU, (55.1)
т. е. внешняя работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы.
Используя выражения (52.1) и (53.4), для произвольной массы газа перепишем уравнение (55.1) в виде
Продифференцировав уравнение состоя ния для идеального газа pV=(m/M)RT, получим
Исключим из (55.2) и (55.3) температу ру Т:
Разделив переменные и учитывая, что Ср/Сv = (см. (53.8)), найдем
dp/p=-dV/V.
Интегрируя это уравнение в пределах от р1 до р2 и соответственно от V1 до V2, а затем потенцируя, придем к выражению
p2/pl=(V1/V2).
или
p1v1 = p2v2.
Так как состояния 1 и 2 выбраны про извольно, то можно записать
рV=const. (55.4)
Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, называемое также уравнением Пуассона.
Для перехода к переменным Т, V или р, Т исключим из (55.4) с помощью урав нения Клапейрона — Менделеева
соответственно давление или объем:
Выражения (55.4) — (55.6) представ ляют собой уравнения адиабатического процесса. В этих уравнениях безразмер ная величина (см. (53.8) и (53.2))
называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона). Для одно атомных газов (Ne, He и др.), достаточно хорошо удовлетворяющих условию иде альности, i = 3, =1,67. Для двухатомных газов (Н2, N2, O2 и др.) i= 5, =1,4. Зна чения , вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждаются экспериментом.
Диаграмма адиабатического процесса (адиабата) в координатах р, V изобража ется гиперболой (рис.83). На рисунке видно, что адиабата (pV=const) более крута, чем изотерма (pV=const). Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии 1—3 увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением его объема, как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры.
Вычислим работу, совершаемую газом в адиабатическом процессе. Запишем уравнение (55.2) в виде
Если газ адиабатически расширяется от объема V1 до V2, то его температура уменьшается от T1 до T2 и работа расши рения идеального газа
Применяя те же приемы, что и при выводе формулы (55.5), выражение (55.8) для работы при адиабатическом расшире нии можно преобразовать к виду
Работа, совершаемая газом при адиа батическом расширении 1—2 (определяется площадью, выполненной в цвете на рис. 83), меньше, чем при изотермическом. Это объясняется тем, что при адиабатическом расширении происходит охлаждение газа, тогда как при изотермическом — темпера тура поддерживается постоянной за счет притока извне эквивалентного количества теплоты.
Рассмотренные изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процес сы имеют общую особенность — они про исходят при постоянной теплоемкости. В первых двух процессах теплоемкости соответственно равны Cv и Ср, в изотерми ческом процессе (dT=0) теплоемкость равна ±, в адиабатическом (Q=0) теплоемкость равна нулю. Процесс, в ко тором теплоемкость остается постоянной, называется политропным.
Исходя из первого начала термодина мики при условии постоянства теплоемко сти (C = const) можно вывести уравнение политропы:
pVn = const, (55.9) где n=(C-Ср)/(С-Cv) — показатель политропы. Очевидно, что при С = 0, n= из (55.9) получается уравнение адиабаты; при С=, n =1 —уравнение изотермы; при С=СР, n = 0 — уравнение изобары, при С = Сv, n=± —уравнение изохоры. Таким образом, все рассмотренные процессы являются частными случаями политропного процесса.
§56. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы
Круговым процессом (или циклом) назы вается процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращает ся в исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой кривой (рис.84). Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить на процессы расши рения (1—2) и сжатия (2—1) газа. Рабо та расширения (определяется площадью фигуры 1a2V2V11) положительна (dV>0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2b1V1V22) отрицательна (dV<0), Следовательно, работа, совершаемая газом за цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная ра бота (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется пря мым (рис. 84, а), если за цикл совершает ся отрицательная работа (цикл протекает против часовой стрел ки), то он называется обратным (рис. 84,б).
Прямой цикл используется в тепловых двигателях — периодически действующих двигателях, совершающих работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл
используется в холодильных машинах — периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переносится к телу с более высо кой температурой.
В результате кругового процесса система возвращается в исходное состоя ние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю. По этому первое начало термодинамики (51.1) для кругового процесса
Q=U+A=A, (56.1)
т. е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне теплоты. Од нако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому
Q=Q1-Q2,
где Q1— количество теплоты, полученное системой, q2 — количество теплоты, от данное системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кру гового процесса
Термодинамический процесс называет ся обратимым, если он может происходить как в прямом, так и в обратном направле нии, причем если такой процесс происхо дит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в ис ходное состояние, то в окружающей среде и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетво ряющий этим условиям, является необра тимым.
Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимость равновесного процесса, происходящего в системе, следу ет из того, что ее любое промежуточное состояние есть состояние термодинамиче ского равновесия; для него «безразлично», идет процесс в прямом или обратном на правлении. Реальные процессы сопровож даются диссипацией энергии (из-за тре ния, теплопроводности и т.д.), которая нами не обсуждается. Обратимые процес сы — это идеализация реальных процес сов. Их рассмотрение важно по двум при-чинам: 1) многие процессы в природе и технике практически обратимы; 2) обра тимые процессы являются наиболее эконо мичными; имеют максимальный термиче ский коэффициент полезного действия, что позволяет указать пути повышения к. п. д. реальных тепловых двигателей.
§ 57. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
Понятие энтропии введено в 1865г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физическо го содержания этого понятия рассматри вают отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе, к темпе ратуре Т теплоотдающего тела, называе мое приведенным количеством теплоты.
Приведенное количество теплоты, со общаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно Q/T. Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное количество теплоты, сообща емое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю:
Из равенства нулю интеграла (57.1), взя того по замкнутому контуру, следует, что подынтегральное выражение Q/T есть полный дифференциал некоторой фун кции, которая определяется только состоя нием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние. Таким образом,
Функция состояния, дифференциалом ко торой является Q/T, называется энтро пией и обозначается S.
Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтропии
S=0. (57.3)
В термодинамике доказывается, что эн тропия системы, совершающей необрати мый цикл, возрастает:
S>0. (57.4)
Выражения (57.3) и (57.4) относятся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может вести себя любым образом. Соотношения (57.3) и (57.4) можно представить в виде не равенства Клаузиуса
S0, (57.5)
т. е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).
Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то, согласно (57.2), изменение энтропии
где подынтегральное выражение и преде лы интегрирования надо выразить через величины, характеризующие исследуемый процесс. Формула (57.6) определяет эн тропию лишь с точностью до аддитивной постоянной. Физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропии.
Исходя из выражения (57.6), найдем изменение энтропии в процессах иде ального газа. Так как dU=(m/M)Cv dT,
т. е. изменение энтропии S12 идеального газа при переходе его из состояния 1 в со стояние 2 не зависит от вида процесса перехода 12.
Так как для адиабатического процесса Q = 0, то S=0 и, следовательно, S=const, т. е. адиабатический обратимый
процесс протекает при постоянной энтро пии. Поэтому его часто называют изоэнтропийным процессом. Из формулы (57.7) следует, что при изотермическом процессе (T1=T2)
при изохорном процессе (V1=V2)
Энтропия обладает свойством аддитивности: энтропия системы равна сумме энтропии тел, входящих в систему. Свойством аддитивности обладают также внутренняя энергия, масса, объем (темпе ратура и давление таким свойством не обладают).
Более глубокий смысл энтропии вскры вается в статистической физике, энтропия связывается с термодинамической веро ятностью состояния системы. Термодина мическая вероятность W состояния систе мы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние мак роскопической системы, или 'число микро состояний, осуществляющих данное мак росостояние (по определению, W1, т. е. термодинамическая вероятность не есть вероятность в математическом смыс ле (последняя 1!)).
Согласно Больцману (1872), энтропия S системы и термодинамическая вероят ность связаны между собой следующим образом:
S = klnW, (57.8)
где k — постоянная Больцмана. Таким об разом, энтропия определяется логариф мом числа микросостояний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамиче ской системы. Формула Больцмана (57.8) позволяет дать энтропии следующее ста тистическое толкование: энтропия являет ся мерой неупорядоченности системы. В самом деле, чем больше число микросо стояний, реализующих данное макрососто яние, тем больше энтропия. В состоянии
равновесия — наиболее вероятного состо яния системы — число микросостояний максимально, при этом максимальна и эн тропия.
Так как реальные процессы необрати мы, то можно утверждать, что все про цессы в замкнутой системе ведут к увели чению ее энтропии — принцип возраста ния энтропии. При статистическом толко вании энтропии это означает, что про цессы в замкнутой системе идут в на правлении увеличения числа микросостоя ний, иными словами, от менее вероятных состояний к более вероятным, до тех пор пока вероятность состояния не станет мак симальной.
Сопоставляя выражения (57.5) и (57.8), видим, что энтропия и термоди намическая вероятность состояний за мкнутой системы могут либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянными (в случае обрати мых процессов).
Отметим, однако, что эти утверждения имеют место для систем, состоящих из очень большого числа частиц, но могут нарушаться в системах с малым числом частиц. Для «малых» систем могут на блюдаться флуктуации, т. е. энтропия и термодинамическая вероятность состоя ний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут убывать, а не воз растать, или оставаться постоянными.
Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не позволяет установить направление про текания термодинамических процессов. Кроме того, можно представить множе ство процессов, не противоречащих перво му началу, в которых энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. По явление второго начала термодинамики — необходимость дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет — определяет направление развития процессов.
Используя понятие энтропии и нера венство Клаузиуса (см. §57), второе начало термодинамики можно сформулиро вать как закон возрастания энтропии зам кнутой системы при необратимых процес сах: любой необратимый процесс в замкну той системе происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.
Можно дать более краткую формули ровку второго начала термодинамики: в процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь су щественно, что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя любым обра зом (убывать, возрастать, оставаться по стоянной). Кроме того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в за мкнутой системе только при обратимых процессах. При необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда воз растает.
Формула Больцмана (57.8) позволяет объяснить постулируемое вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в бо лее вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать стати стическое толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистиче ским законом, описывает закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систе му.
Укажем еще две формулировки второ го начала термодинамики:
1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом кото рого является превращение теплоты, полу ченной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;
2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом кото рого является передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.
Можно довольно просто доказать (предоставим это читателю) эквивален тность формулировок Кельвина и Клаузи уса.
Кроме того, показано, что если в за мкнутой системе провести воображаемый процесс, противоречащий второму началу термодинамики в формулировке Клаузиуса, то он сопровождается уменьшением энтропии. Это же доказывает эквивален тность формулировки Клаузиуса (а следо вательно, и Кельвина) и статистичес кой формулировки, согласно которой энт ропия замкнутой системы не может убы вать.
В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смерти Вселенной. Рас сматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна достигнуть сво его максимума. Это означает, что со временем все формы движения должны перейти в тепло вую. Переход же теплоты от горячих тел к хо лодным приведет к тому, что температура всех тел во Вселенной сравняется, т. е. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о теп ловой смерти заключается в том, что бессмыс ленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым системам, например к такой без граничной и бесконечно развивающейся систе ме, как Вселенная. На несостоятельность выво да о тепловой смерти указывал также Ф. Эн гельс в работе «Диалектика природы».
Первые два начала термодинамики да ют недостаточно сведений о поведении термодинамических систем при нуле Кель вина. Они дополняются третьим началом термодинамики, или теоремой Нернста — Планка: энтропия всех тел в со стоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения температуры к нулю Кельвина:
Так как энтропия определяется с точно стью до аддитивной постоянной, то эту постоянную удобно взять равной нулю (отметим, однако, что это произвольное допущение, поскольку энтропия по своей сущности всегда определяется с точно стью до аддитивной постоянной). Из тео ремы Нернста—Планка следует, что теп лоемкости Ср и Cv при 0 К равны нулю.
Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его к. п. д. для идеального газа
Из формулировки второго начала термо динамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода — периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источ ника теплоты,— невозможен. Для ил люстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигате лей) .
Принцип действия теплового двигате ля приведен на рис. 85. От термостата с более высокой температурой Т1, называ емого нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q1, а термостату с бо лее низкой температурой T2, называемому холодильником, за цикл передается коли чество теплоты Q2, при этом совершается работа A = Q1-Q2.
Чтобы термический коэффициент по лезного действия теплового двигателя (56.2) был =1, должно быть выполнено условие Q2=0, т. е. тепловой двигатель должен иметь один источник теплоты, а это невозможно. Так, французский физик и ин женер Н. Л. С. Карно (1796—1832) пока зал, что для работы теплового двигателя необходимо не менее двух источников теп лоты с различными температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики.
Двигатель второго рода, будь он возможен, был бы практически вечным. Охлаждение, на пример, воды океанов на 1° дало бы огромную энергию. Масса воды в мировом океане состав ляет примерно 1018 т, при охлаждении которой на 1° выделилось бы примерно 1024 Дж теплоты, что эквивалентно полному сжиганию 1014 т угля. Железнодорожный состав, нагруженный этим количеством угля, растянулся бы на расстояние 1010 км, что приблизительно совпадает с разме рами Солнечной системы!
Процесс, обратный происходящему в тепловом двигателе, используется в хо лодильной машине, принцип действия ко торой представлен на рис. 86. Системой за цикл от термостата с более низкой темпе ратурой T2 отнимается количество теплоты Q2 и отдается термостату с более высокой температурой Т1 количество теплоты Q1. Для кругового процесса, согласно (56.1), Q=A, но, по условию, Q=Q2-Q1<0, поэтому A<0 и Q2-Q1=-A, или Q1=Q2+A, т. е. количество теплоты Q1, от данное системой источнику теплоты при более высокой температуре Т1, больше количества теплоты Q2, полученного от источника теплоты при более низкой тем пературе Т2, на величину работы, совер шенной над системой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теп лоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть не что иное, как второе начало термодинами ки в формулировке Клаузиуса.
Однако второе начало термодинамики не следует представлять так, что оно со всем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Ведь именно такой переход осуществляется в холодильной машине. Но при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единственным результатом про цесса.
Основываясь на втором начале термо динамики, Карно вывел теорему, носящую теперь его имя: из всех периодически дей ствующих тепловых машин, имеющих оди наковые температуры нагревателей (T1) и холодильников (Т2), наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом
к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревате лей (T1) и холодильников (T2), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, совершающего круговой процесс и обменивающегося энергией с другими телами).
Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, и называемый циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, заключенный в сосуд с подвижным порш нем.
Цикл Карно изображен на рис. 87, где изотермические расширение и сжатие за даны соответственно кривыми 1—2 и 3—4, а адиабатические расширение и сжатие — кривыми 2—3 и 4—1. При изотермическом процессе U=const, поэтому, согласно (54.4), количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя, равно работе рас ширения A12, совершаемой газом при пере ходе из состояния 1 в состояние 2:
При адиабатическом расширении 2—3 теплообмен с окружающей средой отсут ствует и работа расширения А23 соверша ется за счет изменения внутренней энергии (см. (55.1) и (55.8)):
Количество теплоты Q2, отданное газом холодильнику при изотермическом сжа тии, равно работе сжатия А34.
Работа адиабатического сжатия
Работа, совершаемая в результате кругового процесса,
А=А12 + А23 + A34 + A41= Q1+A23 -Q2 -A23=Q1-Q2
и, как можно показать, определяется пло щадью, выполненной в цвете на рис. 87.
Термический к. п. д. цикла Карно, со гласно (56.2),
=A/Q1=(Q1-Q2)/Q1.
Применив уравнение (55.5) для адиабат 2—3 и 4—1, получим
откуда
V2/V1 = V3/V4. (59.3)
Подставляя (59.1) и (59.2) в формулу (56.2) и учитывая (59.3), получим
т. е. для цикла Карно к. п. д. действитель но определяется только температурами на гревателя и холодильника. Для его повы шения необходимо увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T1=400 К и T2 = 300К =0,25, Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холо дильника понизить на 50 К, то =0,5. К. п. д. всякого реального теплового двигателя из-за трения и неизбежных теп ловых потерь гораздо меньше вычисленно го для цикла Карно.
Обратный цикл Карно лежит в основе действия тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой тем пературой, а часть — получается за счет механической работы, производимой, на пример, компрессором.
Теорема Карно послужила основанием для установления термодинамической шкалы температур.
Сравнив левую и пра вую части формулы (59.4), получим
T2/T1=Q2/Q1. (59.5)
т. е. для сравнения температур T1 и T2 двух тел необходимо осуществить обрати мый цикл Карно, в котором одно тело
используется в качестве нагревателя, дру гое — холодильника. Из равенства (59.5) видно, что отношение температур тел рав но отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному. Со гласно теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то определенного термометрического тела. Отметим, что практически таким образом сравнивать температуры трудно, так как реальные термодинамические процессы, как уже указывалось, являются необратимыми.
Реальные газы, жидкости и твердые тела
§ 60. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия
Модель идеального газа, используемая в молекулярно-кинетической теории газов, позволяет описывать поведение разрежен ных реальных газов при достаточно высо ких температурах и низких давлениях. При выводе уравнения состояния идеаль ного газа размерами молекул и их взаимо действием друг с другом пренебрегают. Повышение давления приводит к умень шению среднего расстояния между молекулами, поэтому необходимо учитывать объем молекул и взаимодействие между ними. Так, в 1 м3 газа при нормальных условиях содержится 2,68•1025 молекул, занимающих объем примерно 10-4 м3 (ра диус молекулы примерно 10-10 м), кото рым по сравнению с объемом газа (1 м3) можно пренебречь. При давлении 500 МПа (1 атм=101,3 кПа) объем моле кул составит уже половину всего объема газа. Таким образом, при высоких дав лениях и низких температурах ука занная модель идеального газа непри годна.
При рассмотрении реальных газов —
газов, свойства которых зависят от взаи модействия молекул, надо учитывать силы межмолекулярного взаимодействия. Они
проявляются на расстояниях 10-9 м и быстро убывают при увеличении рассто яния между молекулами. Такие силы на зываются короткодействующими.
В XX в., по мере развития представле ний о строении атома и квантовой механи ки, было выяснено, что между молекулами вещества одновременно действуют силы притяжения и силы отталкивания. На рис. 88, а приведена качественная зависи мость сил межмолекулярного взаимодей ствия от расстояния r между молекулами, где Fo и Fп — соответственно силы оттал кивания и притяжения, a F — их результи рующая. Силы отталкивания считаются положительными, а силы взаимного при тяжения — отрицательными.
На расстоянии r = r0 результирующая сила F=0, т. е. силы притяжения и оттал кивания уравновешивают друг друга. Та ким образом, расстояние r0 соответствует равновесному расстоянию между молеку лами, на котором бы они находились в от сутствие теплового движения. При r<r0
преобладают силы отталкивания (F>0), при r>r0 — силы притяжения (F<0). На расстояниях r>10-9 м межмолекулярные силы взаимодействия практически отсут ствуют (F0).
Элементарная работа A силы F при увеличении расстояния между молекула ми на dr совершается за счет уменьше ния взаимной потенциальной энергии мо лекул, т. е.
A=Fdr=-dП. (60.1)
Из анализа качественной зависимости по тенциальной энергии взаимодействия мо лекул от расстояния между ними (рис. 88, б) следует, что если молекулы находятся друг от друга на расстоянии, на котором межмолекулярные силы взаимо действия не действуют (г), то П=0. При постепенном сближении молекул между ними появляются силы притяжения (F<0), которые совершают положитель ную работу (A=Fdr>0). Тогда, со гласно (60.1), потенциальная энергия вза имодействия уменьшается, достигая мини мума при r=r0. При r<r0 с уменьшением r силы отталкивания (F>0) резко воз растают и совершаемая против них работа отрицательна (A=Fdr<0). Потенци альная энергия начинает тоже резко воз растать и становится положительной. Из данной потенциальной кривой следует, что система из двух взаимодействующих мо лекул в состоянии устойчивого равновесия (r=r0) обладает минимальной потенци альной энергией.
Критерием различных агрегатных со стояний вещества является соотношение величин Пmin и kT. Пmin — наименьшая потенциальная энергия взаимодействия молекул — определяет работу, которую нужно совершить против сил притяже ния для того, чтобы разъединить моле кулы, находящиеся в равновесии (r=r0); kT определяет удвоенную среднюю энер гию, приходящуюся на одну степень сво боды хаотического теплового движения молекул.
Если Пmin<<kT, то вещество находится в газообразном состоянии, так как интен сивное тепловое движение молекул пре пятствует соединению молекул, сблизившихся до расстояния r0, т. е. вероятность образования агрегатов из молекул доста точно мала. Если IImin>>kT, то вещество находится в твердом состоянии, так как молекулы, притягиваясь друг к другу, не могут удалиться на значительные расстоя ния и колеблются около положений равно весия, определяемого r0. Если ПminkT, то вещество находится в жидком состоя нии, так как в результате теплового дви жения молекулы перемещаются в про странстве, обмениваясь местами, но не расходясь на расстояние, превышающее r0. Таким образом, любое вещество в за висимости от температуры может нахо диться в газообразном, жидком или твер дом агрегатном состоянии, причем темпе ратура перехода из одного агрегатного состояния в другое зависит от значения Пmin для данного вещества. Например, у инертных газов Пmin мало, а у метал лов — велико, поэтому при обычных (ком натных) температурах они находятся со ответственно в газообразном и твердом со стояниях.
§61. Уравнение Ван-дер-Ваальса
Как уже указывалось в § 60, для реальных газов необходимо учитывать размеры мо лекул и их взаимодействие друг с другом, поэтому модель идеального газа и уравнение Клапейрона—Менделеева (42.4) pVm=RT (для моля газа), описывающее иде альный газ, для реальных газов непри годны.
Учитывая собственный объем молекул и сил межмолекулярного взаимодействия, голландский физик И. Ван-дер-Ваальса (1837—1923) вывел уравнения состояния реального газа. Ван-дер-Ваальсом в урав нение Клапейрона—Менделеева введены две поправки.
1. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания, которые про тиводействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул, сводит ся к тому, что фактический свободный объем, в котором могут двигаться молеку лы реального газа, будет не Vm, a Vm -b, где b — объем, занимаемый самими молекулами. Объем b равен учетверенному соб ственному объему молекул. Если, напри мер, в сосуде находятся две молекулы, то центр любой из них не может при близиться к центру другой молекулы на расстояние, меньшее диаметра d молеку лы. Это означает, что для центров обеих молекул оказывается недоступным сфери ческий объем радиуса d, т. е. объем, рав ный восьми объемам молекулы, а в расче те на одну молекулу — учетверенный объем молекулы.
2. Учет притяжения молекул. Действие сил притяжения газа приводит к появле нию дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением. По вычислениям Ван-дер-Ваальса, внутрен нее давление обратно пропорционально квадрату молярного объема, т. е.
p' = a/V2m, (61.1)
где а— постоянная Ван-дер-Ваальса, ха рактеризующая силы межмолекулярного притяжения, Vm — молярный объем.
Вводя эти поправки, получим уравне ние Ван-дер-Ваальса для моля газа (урав нение состояния реальных газов):
(p+a/V2m)(Vm-b)=RT. (61.2)
Для произвольного количества вещества v газа (v=т/М) с учетом того, что V = vVm, уравнение Ван-дер-Ваальса примет вид
где поправки а и b — постоянные для каж дого газа величины, определяемые опыт ным путем (записываются уравнения Ван-дер-Ваальса для двух известных из опыта состояний газа и решаются относительно а и b).
При выводе уравнения Ван-дер-Вааль са сделан целый ряд упрощений, поэтому оно также весьма приближенное, хотя и лучше (особенно для несильно сжатых газов) согласуется с опытом, чем уравне ние состояния идеального газа.
Уравнение Ван-дер-Ваальса не единствен ное уравнение, описывающее реальные газы. Существуют и другие уравнения, некоторые из них даже точнее описывают реальные газы, но не рассматриваются из-за их сложности.
§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ
Для исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ва альса — кривые зависимости р от Vm при заданных Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса (61.2) для моля газа. Эти кривые (рассматриваются для четы рех различных температур; рис. 89) имеют довольно своеобразный характер. При вы соких температурах (T>Tк) изотерма ре ального газа отличается от изотермы иде ального газа только некоторым искажени ем ее формы, оставаясь монотонно спада ющей кривой. При некоторой температуре Тк на изотерме имеется лишь одна точка перегиба К. Эта изотерма называется кри тической, соответствующая ей температу ра Tк — критической температурой. Кри тическая изотерма имеет лишь одну точку перегиба К, называемую критической точ кой; в этой точке касательная к ней па раллельна оси абсцисс. Соответствующие этой точке объем Vк и давление рк на зываются также критическими. Состояние с критическими параметрами (рк, Vк, Тк) называется критическим состоянием. При низких температурах (Т<Тк) изотермы имеют волнообразный участок, сначала монотонно опускаясь вниз, затем монотонно поднимаясь вверх и снова монотонно опускаясь.
Для пояснения характера изотерм пре образуем уравнение Ван-дер-Ваальса (61.2) к виду
pV3m-(RT+pb) V2m+aVm-ab=0.
(62.1)
Уравнение (62.1) при заданных р и Т является уравнением третьей степени относительно Vm; следовательно, оно мо жет иметь либо три вещественных корня, либо один вещественный и два мнимых, причем физический смысл имеют лишь ве щественные положительные корни. Поэто му первому случаю соответствуют изотер мы при низких температурах (три значения объема газа V1, V2 и V3 отвечают (символ «т» для простоты опускаем) одному зна чению давления р1), второму случаю— изотермы при высоких температурах.
Рассматривая различные участки изо термы при Т<Тк (рис.90), видим, что на участках 1—3 и 5—7 при уменьшении объема Vm давление р возрастает, что естественно. На участке 3—5 сжатие ве щества приводит к уменьшению давления; практика же показывает, что такие со стояния в природе не осуществляются. Наличие участка 3—5 означает, что при постепенном изменении объема вещество не может оставаться все время в виде однородной среды; в некоторый момент должно наступить скачкообразное измене ние состояния и распад вещества на две фазы. Таким образом, истинная изотерма будет иметь вид ломаной линии 7—6—2—1. Часть 7—6 отвечает газообразному со стоянию, а часть 2—1 — жидкому. В со стояниях, соответствующих горизонталь-ному участку изотермы 6—2, наблюдается равновесие жидкой и газообразной фаз вещества. Вещество в газообразном со стоянии при температуре ниже критиче ской называется паром, а пар, находящий ся в равновесии со своей жидкостью, на зывается насыщенным.
Данные выводы, следующие из анали за уравнения Ван-дер-Ваальса, были под тверждены опытами ирландского ученого Т. Эндрюса (1813—1885), изучавшего изо термическое сжатие углекислого газа. От личие экспериментальных (Эндрюс) и тео ретических (Ван-дер-Ваальс) изотерм за ключается в том, что превращению газа в жидкость в первом случае соответствуют горизонтальные участки, а во втором — волнообразные.
Для нахождения критических пара метров подставим их значения в уравне ние (62.1) и запишем
pкV3-(RTк+pкb)V2+aV-ab=0
(62.2)
(символ «т» для простоты опускаем). По скольку в критической точке все три корня совпадают и равны Vк, уравнение приво дится к виду
pк(V-Vк)3=0,
или
pкV3-3pкVкV2+3pкV2кV-pкVк=0.
(62.3)
Так как уравнения (62.2) и (62.3) тожде ственны, то в них должны быть равны и коэффициенты при неизвестных соответ ствующих степеней. Поэтому можно за писать
ркV3к=ab, 3ркV2к=а, 3pкVк=RTк+pкb. Решая полученные уравнения, найдем: Vк = 3b, рк = а/(27b2), Tк=8a/(27Rb}.
(62.4)
Если через крайние точки горизонталь ных участков семейства изотерм провести линию, то получится колоколообразная кривая (рис. 91), ограничивающая об ласть двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая изотерма делят
диаграмму р, Vm под изотермой на три области: под колоколообразной кривой располагается область двухфазных состо яний (жидкость и насыщенный пар), сле ва от нее находится область жидкого со стояния, а справа — область пара. Пар отличается от остальных газообразных со стояний тем, что при изотермическом сжа тии претерпевает процесс сжижения. Газ же при температуре выше критической не может быть превращен в жидкость ни при каком давлении.
Сравнивая изотерму Ван-дер-Ваальса с изотермой Эндрюса (верхняя кривая на рис. 92), видим, что последняя имеет пря молинейный участок 2—6, соответствую щий двухфазным состояниям вещества. Правда, при некоторых условиях могут быть реализованы состояния, изображае мые участками ван-дер-ваальсовой изо термы 5—6 и 2—3. Эти неустойчивые со стояния называются метастабильными. Участок 2—3 изображает перегретую жидкость, 5—6 — пересыщенный пар. Обе фазы ограниченно устойчивы
При достаточно низких температурах изотерма пересекает ось Vm, переходя в область отрицательных давлений (ниж няя кривая на рис. 92). Вещество под отрицательным давлением находится в со стоянии растяжения. При некоторых усло виях такие состояния также реализуются. Участок 8—9 на нижней изотерме соответ ствует перегретой жидкости, участок 9— 10 — растянутой жидкости.
§ 63. Внутренняя энергия реального газа
Внутренняя энергия реального газа скла дывается из кинетической энергии тепло вого движения его молекул (определяет внутреннюю энергию идеального газа, равную CVT; см. § 53) и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодей ствия. Потенциальная энергия реального газа обусловлена только силами притяже ния между молекулами. Наличие сил при тяжения приводит к возникновению внут реннего давления на газ (см. (61.1)):
p'=a/V2m
Работа, которая затрачивается для прео доления сил притяжения, действующих между молекулами газа, как известно из механики, идет на увеличение потенциаль ной энергии системы, т. е. A=p'dVm=П, или П=(a/V2m)dVm, откуда
П=-a/Vm
(постоянная интегрирования принята рав ной нулю). Знак минус означает, что моле кулярные силы, создающие внутреннее давление р', являются силами притяжения (см. § 60).
Учитывая оба слагаемых, получим, что внутренняя энергия моля реального газа
Um = CVT-a/Vm (63.1)
растет с повышением температуры и уве личением объема.
Если газ расширяется без теплообмена с окружающей средой (адиабатический процесс, т. е. Q = 0) и не совершает внешней работы (расширение газа в вакуум, т. е. A=0), то на основании первого начала термодинамики (Q=(U2-U1)+A) получим, что
U1=U2. (63.2)
Следовательно, при адиабатическом рас ширении без совершения внешней работы внутренняя энергия газа не изменяется.
Равенство (63.2) формально справед ливо как для идеального, так и для реаль ного газов, но физически для обоих случа ев совершенно различно. Для идеального газа равенство U1=U2 означает равенст во температур (Т1=Т2), т. е. при адиаба тическом расширении идеального газа в вакуум его температура не изменяется. Для реального газа из равенства (63.2), учитывая, что для моля газа
U1=CVT1-a/V1, U2=CVT2-a/V2,
(63.3) получаем
Так как V2>V1, то Т1>Т2, т. е. реальный газ при адиабатическом расширении в ва куум охлаждается. При адиабатическом сжатии реальный газ нагревается.
§ 64. Эффект Джоуля — Томсона
Если идеальный газ адиабатически рас ширяется и совершает при этом работу, то он охлаждается, так как работа в данном случае совершается за счет его внутрен ней энергии (см. § 55). Подобный процесс, но с реальным газом — адиабатическое расширение реального газа с совершением внешними силами положительной рабо ты — осуществили английские физики Дж. Джоуль (1818—1889) и У. Томсон (лорд Кельвин, 1824—1907).
Рассмотрим эффект Джоуля — Томсо на. На рис. 93 представлена схема их опыта. В теплоизолированной трубке с по ристой перегородкой находится два пор шня, которые могут перемещаться без трения.
Пусть сначала слева от перего родки газ под поршнем 1 находится под давлением р1, занимает объем V1 при тем пературе Т1, а справа газ отсутствует (по-
ршень 2 придвинут к перегородке). После прохождения газа через пористую перего родку в правой части газ характеризуется параметрами р2, V2, Т2. Давления р1 и р2 поддерживаются постоянными (р1>р2).
Так как расширение газа происходит без теплообмена с окружающей средой (адиабатически), то на основании первого начала термодинамики
Q=(U2-U1)+A=0. (64.1)
Внешняя работа, совершаемая газом, со стоит из положительной работы при дви жении поршня 2 (A2=p2V2) и отрицатель ной при движении поршня 1 (A1=p1V1), т.е. A=A2-А1. Подставляя выраже ния для работ в формулу (64.1), полу чим
U1+p1V1=U2+p2V2. (64.2)
Таким образом, в опыте Джоуля — Томсона сохраняется (остается неизменной) ве личина U+pV. Она является функцией состояния и называется энтальпией.
Ради простоты рассмотрим 1 моль га за. Подставив в формулу (64.2) выраже ние (63.3) и рассчитанные из уравнения Ван-дер-Ваальса (61.2) значения p1V1 и p2V2 (символ «m» опять опускаем) и производя элементарные преобразова ния, получим
Из выражения (64.3) следует, что знак разности (T2-T1) зависит от того, какая из поправок Ван-дер-Ваальса играет боль шую роль. Проанализируем данное выражение, сделав допущение, что p2<<p1
и V2>>V1:
1) a0— не учитываем силы притя жения между молекулами, а учитываем лишь размеры самих молекул. Тогда
т. е. газ в данном случае нагревается;
2) b0 - не учитываем размеров мо лекул, а учитываем лишь силы притяже ния между молекулами. Тогда
т. е. газ в данном случае охлаждается;
3) учитываем обе поправки. Подставив в выражение (64.3) вычисленное из урав нения Ван-дер-Ваальса (61.2) значение p1, имеем
т. е. знак разности температур зависит от значений начального объема V1 и началь ной температуры Т1.
Изменение температуры реального га за в результате его адиабатического рас ширения, или, как говорят, адиабатиче ского дросселирования — медленного про хождения газа под действием перепада давления сквозь дроссель (например, по ристую перегородку), называется эффек том Джоуля — Томсона. Эффект Джоу ля — Томсона принято называть положи тельным, если газ в процессе дросселиро вания охлаждается (T<0), и отрица тельным, если газ нагревается (T>0).
В зависимости от условий дросселиро вания для одного и того же газа эффект Джоуля — Томсона может быть как поло жительным, так и отрицательным. Темпе ратура, при которой (для данного давле ния) происходит изменение знака эффек та Джоуля — Томсона, называется температурой инверсии.
Ее зависимость от объема получим, приравняв выражение (64.4) нулю:
Кривая, определяемая уравнением (64.5),— кривая инверсии — приведена на рис. 94. Область выше этой кривой со ответствует отрицательному эффекту Джоуля — Томсона, ниже — положитель ному. Отметим, что при больших перепа дах давления на дросселе температура газа изменяется значительно. Так, при дросселировании от 20 до 0,1 МПа и на чальной температуре 17 °С воздух охлаж дается на 35 °С.
Эффект Джоуля — Томсона обуслов лен отклонением газа от идеальности. В самом деле, для моля идеального газа pVm = RT, поэтому выражение (64.2) при мет вид
CVT1+RT1=CVT2 + RT2, откуда следует, что T1=T2
§ 65. Сжижение газов
Превращение любого газа в жидкость — сжижение газа — возможно лишь при температуре ниже критической (см. §62). При ранних попытках сжижения газов оказалось, что некоторые газы (Сl2, СО2, NН3) легко сжижались изотермическим сжатием, а целый ряд газов (О2, n2, Н2, Не) сжижению не поддавался. Подобные неудачные попытки объяснил Д. И. Мен делеев, показавший, что сжижение этих газов производилось при температуре, большей критической, и поэтому заранее было обречено на неудачу. Впоследствии удалось получить жидкий кислород, азот и водород (их критические температуры равны соответственно 154,4, 126,1 и 33 К), а в 1908 г. нидерландский физик Г. Камерлинг-Оннес (1853—1926) добился сжижения гелия, имеющего самую низкую критическую температуру (5,3 К).
Для сжижения газов чаще применяют ся два промышленных метода, в основе которых используется либо эффект Джоу ля — Томсона, либо охлаждение газа при совершении им работы.
Схема одной из установок, в которой используется эффект Джоуля Томсона,— машины Линде — представлена на рис. 95. Воздух в компрессоре (К) сжима ется до давления в десятки мегапаскаль и охлаждается в холодильнике (X) до температуры ниже температуры инверсии, в результате чего при дальнейшем расши рении газа наблюдается положительный эффект Джоуля — Томсона (охлаждение газа при его расширении). Затем сжатый воздух проходит по внутренней трубе теп лообменника (ТО) и пропускается через дроссель (Др), при этом он сильно расши ряется и охлаждается. Расширившийся воздух вновь засасывается по внешней трубе теплообменника, охлаждая вторую порцию сжатого воздуха, текущего по внутренней трубе. Так как каждая следую щая порция воздуха предварительно ох лаждается, а затем пропускается через дроссель, то температура понижается все больше. В результате 6—8-часового цикла часть воздуха (5%), охлаждаясь до температуры ниже критической, сжижает ся и поступает в дьюаровский сосуд (ДС) (см. §49), а остальная его часть возвра щается в теплообменник.
Второй метод сжижения газов основан на охлаждении газа при совершении им работы. Сжатый газ, поступая в поршне вую машину (детандер), расширяется и совершает при этом работу по передви жению поршня. Так как работа соверша ется за счет внутренней энергии газа, то его температура при этом понижается.
Академик П. Л. Капица предложил вместо детандера применять турбодетандер, в котором газ, сжатый всего лишь до 500—600 кПа, охлаждается, совершая ра боту по вращению турбины. Этот метод успешно применен Капицей для сжижения гелия, предварительное охлаждение кото рого производилось жидким азотом. Со временные мощные холодильные установ ки работают по принципу турбодетандера.
§ 66. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение
Жидкость является агрегатным состояни ем вещества, промежуточным между газо образным и твердым, поэтому она облада ет свойствами как газообразных, так и твердых веществ. Жидкости, подобно твердым телам, обладают определенным объемом, а подобно газам, принимают форму сосуда, в котором они находятся (см. § 28). Молекулы газа практически не связаны между собой силами межмолеку лярного взаимодействия, и в данном слу чае средняя энергия теплового движения молекул газа гораздо больше средней по тенциальной энергии, обусловленной сила ми притяжения между ними (см. § 60), поэтому молекулы газа разлетаются в разные стороны и газ занимает предо ставленный ему объем. В твердых и жид ких телах силы притяжения между моле кулами уже существенны и удерживают молекулы на определенном расстоянии друг от друга. В этом случае средняя энергия хаотического теплового движения молекул меньше средней потенциальной энергии, обусловленной силами межмоле кулярного взаимодействия, и ее недоста точно для преодоления сил притяжения между молекулами, поэтому твердые тела и жидкости имеют определенный объем.
Рентгеноструктурный анализ жидко стей показал, что характер расположения частиц жидкости промежуточен между га зом и твердым телом. В газах молекулы движутся хаотично, поэтому нет никакой закономерности в их взаимном расположе нии. Для твердых тел наблюдается так называемый дальний порядок в располо жении частиц, т. е. их упорядоченное рас положение, повторяющееся на больших расстояниях.
В жидкостях имеет место так называемый ближний порядок в располо жении частиц, т. е. их упорядоченное рас положение, повторяющееся на расстояни ях, сравнимых с межатомными.
Теория жидкости до настоящего вре мени полностью не развита. Разработка ряда проблем в исследовании сложных свойств жидкости принадлежит Я. И. Френкелю (1894—-1952). Тепловое движение в жидкости он объяснял тем, что каждая молекула в течение некоторого времени колеблется около определенного положения равновесия, после чего скач ком переходит в новое положение, отстоя щее от исходного на расстоянии порядка межатомного. Таким образом, молекулы жидкости довольно медленно перемеща ются по всей массе жидкости и диффузия происходит гораздо медленнее, чем в га зах. С повышением температуры жидкости частота колебательного движения резко увеличивается, возрастает подвижность молекул, что, в свою очередь, является причиной уменьшения вязкости жидкости.
На каждую молекулу жидкости со сто роны окружающих молекул действуют си лы притяжения, быстро убывающие с рас стоянием (см. рис. 88); следовательно, начиная с некоторого минимального рас стояния силами притяжения между моле кулами можно пренебречь. Это расстояние (порядка 10-9 м) называется радиусом молекулярного действия г, а сфера радиу са r — сферой молекулярного действия.
Выделим внутри жидкости какую-либо молекулу А (рис. 96) и проведем вокруг нее сферу радиуса г. Достаточно, согласно определению, учесть действие на данную молекулу только тех молекул, которые на ходятся внутри сферы молекулярного дей ствия. Силы, с которыми эти молекулы действуют на молекулу B направлены в разные стороны и в среднем скомпенси-
рованы, поэтому результирующая сила, действующая на молекулу внутри жидко сти со стороны других молекул, равна нулю. Иначе обстоит дело, если молекула, например молекула В, расположена от поверхности на расстоянии, меньшем r. В данном случае сфера молекулярного действия лишь частично расположена внутри жидкости. Так как концентрация молекул в расположенном над жидкостью газе мала по сравнению с их концентра цией в жидкости, то равнодействующая сил F, приложенных к каждой молекуле поверхностного слоя, не равна нулю и на правлена внутрь жидкости. Таким обра зом, результирующие силы всех молекул поверхностного слоя оказывают на жид кость давление, называемое молекуляр ным (или внутренним). Молекулярное давление не действует на тело, помещен ное в жидкость, так как оно обусловлено силами, действующими только между мо лекулами самой жидкости.
Суммарная энергия частиц жидкости складывается из энергии их хаотическо го теплового движения и потенциальной энергии, обусловленной силами межмоле кулярного взаимодействия. Для переме щения молекулы из глубины жидкости в поверхностный слой надо затратить работу. Эта работа совершается за счет кинетиче ской энергии молекул и идет на увеличе ние их потенциальной энергии. Поэтому молекулы поверхностного слоя жидкости обладают большей потенциальной энер гией, чем молекулы внутри жидкости. Эта дополнительная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое жидкости, называемая поверхностной энергией, пропорциональна площади слоя S:
E=S, (66.1) где а — поверхностное натяжение, определяемое как плотность поверхностной энергии.
Так как равновесное состояние харак теризуется минимумом потенциальной энергии, то жидкость при отсутствии внешних сил будет принимать такую фор му, чтобы при заданном объеме она имела минимальную поверхность, т. е. форму ша ра. Наблюдая мельчайшие капельки, взве шенные в воздухе, можем видеть, что они действительно имеют форму шариков, но несколько искаженную из-за действия сил земного тяготения. В условиях невесомо сти капля любой жидкости (независимо от ее размеров) имеет сферическую форму, что доказано экспериментально на косми ческих кораблях.
Итак, условием устойчивого равнове сия жидкости является минимум повер хностной энергии. Это означает, что жид кость при заданном объеме должна иметь наименьшую площадь поверхности, т. е. жидкость стремится сократить пло щадь свободной поверхности. В этом слу чае поверхностный слой жидкости можно уподобить растянутой упругой пленке, в которой действуют силы натяжения.
Рассмотрим поверхность жидкости (рис. 97), ограниченную замкнутым кон туром. Под действием сил поверхностного натяжения (направлены по касательной к поверхности жидкости и перпендикуляр но участку контура, на который они дей ствуют) поверхность жидкости сократи лась и рассматриваемый контур переме стился в положение, отмеченное светло-се рым цветом. Силы, действующие со сторо ны выделенного участка на граничащие с ним участки, совершают работу
A =flx,
где f=F/l — сила поверхностного натя жения, действующая на единицу длины контура поверхности жидкости.
Из рис. 97 видно, что lx=S, т. е
А=fS. (66.2)
Эта работа совершается за счет уменьше ния поверхностной энергии, т. е.
A=E. (66.3)
Из сравнения выражений (66.1) — (66.3) видно, что
=f, (66.4)
т. е. поверхностное натяжение а равно силе поверхностного натяжения, приходя щейся на единицу длины контура, ограни чивающего поверхность. Единица повер хностного натяжения — ньютон на метр (Н/м) или джоуль на квадратный метр (Дж/м2) (см. (66.4) и (66.1)). Большин ство жидкостей при температуре 300 К имеет поверхностное натяжение по рядка 10-2—10-1 Н/м. Поверхностное на тяжение с повышением температуры уменьшается, так как увеличиваются средние расстояния между молекулами жидкости.
Поверхностное натяжение существен ным образом зависит от примесей, имею щихся в жидкостях. Вещества, ослабляю щие поверхностное натяжение жидкости, называются поверхностно-активными. На иболее известным поверхностно-активным веществом по отношению к воде является мыло. Оно сильно уменьшает ее поверхно стное натяжение (примерно с 7,5•10-2 до 4,5•10-2 Н/м). Поверхностно-активными веществами, понижающими поверхност ное натяжение воды, являются также спирты, эфиры, нефть и др.
Существуют вещества (сахар, соль), которые увеличивают поверхностное на тяжение жидкости благодаря тому, что их молекулы взаимодействуют с молекулами жидкости сильнее, чем молекулы жидко сти между собой. Например, если посолить мыльный раствор, то в поверхностный слой жидкости выталкивается молекул мыла больше, чем в пресной воде. В мыло варенной технике мыло «высаливается» этим способом из раствора.
§ 73. Теплоемкость твердых тел
В качестве модели твердого тела рассмот рим правильно построенную кристалличе скую решетку, в узлах которой частицы (атомы, ионы, молекулы), принимаемые за материальные точки, колеблются около своих положений равновесия — узлов ре шетки — в трех взаимно перпендикуляр ных направлениях. Таким образом, каж дой составляющей кристаллическую ре шетку частице приписывается три колеба тельных степени свободы, каждая из которых, согласно закону равнораспреде ления энергии по степеням свободы (см. § 50), обладает энергией kT.
Внутренняя энергия моля твердого тела
Um = 3NАkT = 3RT,
где NА — постоянная Авогадро; NAk=R (R — молярная газовая постоянная).
Молярная теплоемкость твердого тела
т. е. молярная (атомная) теплоемкость химически простых тел в кристалличе ском состоянии одинакова (равна 3R) и не зависит от температуры. Этот закон был эмпирически получен французскими уче ными П. Дюлонгом (1785—1838) и Л. Пти (1791 —1820) и носит название закона Дюлонга и Пти.
Если твердое тело является химиче ским соединением (например, NaCl), то число частиц в моле не равно постоянной Авогадро, а равно nNA, где n — число атомов в молекуле (для NaCl число частиц в моле равно 2Nа, так, в одном моле NaCl содержится NA атомов Na и NA ато мов Cl). Таким образом, молярная теп лоемкость твердых химических соедине ний
CV = 3R25n Дж/(моль•К),
т. е. равна сумме атомных теплоемкостей элементов, составляющих это соединение.
Как показывают опытные данные (табл. 4), для многих веществ закон Дю лонга и Пти выполняется с довольно хорошим приближением, хотя некоторые вещества (С, Be, В) имеют значительные отклонения от вычисленных теплоемкостей. Кроме того, так же как и в случае газов (см. § 53), опыты по измерению теплоемкости твердых тел при низких температурах показали, что она зависит от температуры (рис. 113). Вблизи нуля Кельвина теплоемкость тел пропорцио нальна T3, и только при достаточно высо ких температурах, характерных для каж дого вещества, выполняется условие (73.1). Алмаз, например, имеет теплоем кость, равную 3R при 1800 К! Однако для большинства твердых тел комнатная температура является уже достаточно высокой.
Расхождение опытных и теоретических значений теплоемкостей, вычисленных на
основе классической теории, объяснили, исходя из квантовой теории теплоемкостей, А. Эйнштейн и П. Дебай (1884— 1966).
§ 74. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела
Как в жидкостях, так и в твердых телах всегда имеется некоторое число молекул, энергия которых достаточна для преодоле ния притяжения к другим молекулам и ко торые способны оторваться от поверхности жидкости или твердого тела и перейти в окружающее их пространство. Этот про цесс для жидкости называется испарением (или парообразованием), для твердых тел — сублимацией (или возгонкой).
Испарение жидкостей идет при любой температуре, но его интенсивность с повы шением температуры возрастает. Наряду с процессом испарения происходит ком пенсирующий его процесс конденсации па ра в жидкость. Если число молекул, по кидающих жидкость за единицу времени через единицу поверхности, равно числу молекул, переходящих из пара в жид кость, то наступает динамическое равнове сие между процессами испарения и кон денсации. Пар, находящийся в равновесии со своей жидкостью, называется насыщен ным (см. также § 62).
Для большинства твердых тел процесс сублимации при обычных температурах незначителен и давление пара над повер хностью твердого тела мало; оно повы шается с повышением температуры. Ин тенсивно сублимируют такие вещества, как нафталин, камфора, что обнаружива ется по резкому, свойственному им запаху. Особенно интенсивно сублимация проис ходит в вакууме — этим пользуются для изготовления зеркал. Известный пример сублимации — превращение льда в пар — мокрое белье высыхает на морозе.
Если твердое тело нагревать, то его внутренняя энергия (складывается из энергии колебаний частиц в узлах ре шетки и энергии взаимодействия этих частиц) возрастает. При повышении тем пературы амплитуда колебаний частиц
увеличивается до тех пор, пока кристал лическая решетка не разрушится,— твер дое тело плавится. На рис. 114, а изо бражена примерная зависимость T(Q), где Q — количество теплоты, получен ное телом при плавлении. По мере со общения твердому телу теплоты его темпе ратура повышается, а при температуре плавления Тпл начинается переход тела из твердого состояния в жидкое. Температу ра Тпл остается постоянной до тех пор, пока весь кристалл не расплавится, и только тогда температура жидкости вновь начнет повышаться.
Нагревание твердого тела до Тпл еще не переводит его в жидкое состояние, поскольку энергия частиц вещества до лжна быть достаточной для разрушения кристаллической решетки. В процессе плавления теплота, сообщаемая веществу, идет на совершение работы по разруше нию кристаллической решетки, а поэтому Tпл=const до расплавления всего кристалла. Затем подводимая теплота пойдет опять-таки на увеличение энергии частиц жидкости и ее температура начнет повышаться. Количество теплоты, необхо димое для расплавления 1 кг вещест ва, называется удельной теплотой плав ления.
Если жидкость охлаждать, то процесс протекает в обратном направлении (рис. 114, б; Q' — количество теплоты, отданное телом при кристаллизации): сна чала температура жидкости понижается, затем при постоянной температуре, равной Tпл, начинается кристаллизация, после ее завершения температура кристалла начи нает понижаться. Для кристаллизации ве щества необходимо наличие так называемых центров кристаллизации — кристал лических зародышей, которыми могут быть не только кристаллики образующего ся вещества, но и примеси, а также пыль, сажа и т. д. Отсутствие центров кристал лизации в чистой жидкости затрудняет образование микроскопических кристал ликов, и вещество, оставаясь в жидком состоянии, охлаждается до температуры, меньшей температуры кристаллизации, при этом образуется переохлажденная жидкость (на 114, б ей соответствует штриховая кривая). При сильном пере охлаждении начинается спонтанное обра зование центров кристаллизации и ве щество кристаллизуется довольно быстро.
Обычно переохлаждение расплава происходит от долей до десятков градусов, но для ряда веществ может достигать сотен градусов. Из-за большой вязкости сильно переохлажденные жидкости теря ют текучесть, сохраняя, как и твердые тела, свою форму. Эти тела получили на звание аморфных твердых тел; к ним отно сятся смолы, воск, сургуч, стекло. Аморф ные тела, являясь, таким образом, пере охлажденными жидкостями, изотропны, т. е. их свойства во всех направлениях одинаковы; для них, как и для жидкостей, характерен ближний порядок в располо жении частиц; в них в отличие от жидко стей подвижность частиц довольно мала. Особенностью аморфных тел является от сутствие у них определенной точки плавле ния, т. е. невозможно указать определен ную температуру, выше которой можно было бы констатировать жидкое состоя ние, а ниже — твердое. Из опыта извест но, что в аморфных телах со временем может наблюдаться процесс кристаллиза ции, например в стекле появляются кристаллики; оно, теряя прозрачность, на чинает мутнеть и превращаться в поликри сталлическое тело.
В последнее время широкое распро странение в народном хозяйстве получили полимеры — органические аморфные тела, молекулы которых состоят из большого числа одинаковых длинных молекулярных цепочек, соединенных химическими (ва лентными) связями. К полимерам относят ся как естественные (крахмал, белок, каучук, клетчатка и др.), так и искусственные (пластмасса, резина, полистирол, лавсан, капрон и др.) органические вещества. Полимерам присущи прочность и эластич ность; некоторые полимеры выдерживают растяжение, в 5—10 раз превышающее их первоначальную длину. Это объясняется тем, что длинные молекулярные цепочки могут при деформации либо сворачивать ся в плотные клубки, либо вытягиваться в прямые линии. Эластичность полимеров проявляется только в определенном интер вале температур, ниже которого они ста новятся твердыми и хрупкими, а выше — пластичными. Хотя синтетических поли мерных материалов создано очень много (искусственные волокна, заменители ко жи, строительные материалы, заменители металлов и др.), но теория полимеров до настоящего времени полностью не разра ботана. Ее развитие определяется запро сами современной техники, требующей синтеза полимеров с заранее заданными свойствами.
§75. Фазовые переходы I и II рода
Фазой называется термодинамически рав новесное состояние вещества, отличающе еся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества. Если, например, в закрытом сосуде находится вода, то эта система является двухфазной: жидкая фаза — во да; газообразная фаза — смесь воздуха с водяными парами. Если в воду бросить кусочки льда, то эта система станет трех фазной, в которой лед является твердой фазой. Часто понятие «фаза» употребля ется в смысле агрегатного состояния, од нако надо учитывать, что оно шире, чем понятие «агрегатное состояние». В преде лах одного агрегатного состояния вещест во может находиться в нескольких фазах, отличающихся по своим свойствам, соста ву и строению (лед, например, встречается в пяти различных модификациях — фа зах). Переход вещества из одной фазы в другую — фазовый переход — всегда связан с качественными изменениями свойств вещества. Примером фазового пе рехода могут служить изменения агрегатного состояния вещества или переходы, связанные с изменениями в составе, строе нии и свойствах вещества (например, пе реход кристаллического вещества из од ной модификации в другую).
Различают фазовые переходы двух ро дов. Фазовый перед I рода (например, плавление, кристаллизация и т. д.) сопро вождается поглощением или выделением теплоты, называемой теплотой фазового перехода. Фазовые переходы 1 рода ха рактеризуются постоянством температу ры, изменениями энтропии и объема. Объяснение этому можно дать следующим образом. Например, при плавлении телу нужно сообщить некоторое количество теплоты, чтобы вызвать разрушение кристаллической решетки. Подводимая при плавлении теплота идет не на нагрев тела, а на разрыв межатомных связей, поэтому плавление протекает при постоян ной температуре. В подобных переходах — из более упорядоченного кристаллическо го состояния в менее упорядоченное жид кое состояние — степень беспорядка уве личивается, т. е., согласно второму началу термодинамики, этот процесс связан с воз растанием энтропии системы. Если пере ход происходит в обратном направлении (кристаллизация), то система теплоту вы деляет.
Фазовые переходы, не связанные с по глощением или выделением теплоты и из менением объема, называются фазовыми переходами II рода. Эти переходы характеризуются постоянством объема и энтропии, но скачкообразным изменени ем теплоемкости. Общая трактовка фазо вых переходов II рода предложена совет ским ученым Л. Д. Ландау (1908—1968). Согласно этой трактовке, фазовые перехо ды II рода связаны с изменением симмет рии: выше точки перехода система, как правило, обладает более высокой симмет рией, чем ниже точки перехода. Примера ми фазовых переходов II рода являются: переход ферромагнитных веществ (желе за, никеля) при определенных давлении и температуре в парамагнитное состояние; переход металлов и некоторых сплавов при температуре, близкой к 0 К, в сверхпроводящее состояние, характеризуемое
скачкообразным уменьшением электриче ского сопротивления до нуля; превраще ние обыкновенного жидкого гелия (гелия I) при Т — 2,9 К в другую жидкую модифи кацию (гелий II), обладающую свойства ми сверхтекучести.
§ 76. Диаграмма состояния. Тройная точка
Если система является однокомпонентной, т. е. состоящей из химически однородного вещества или его соединения, то понятие фазы совпадает с понятием агрегатного состояния. Согласно § 60, одно и то же вещество в зависимости от соотношения между удвоенной средней энергией, при ходящейся на одну степень свободы ха отического теплового движения молекул, и наименьшей потенциальной энер гией взаимодействия молекул может на ходиться в одном из трех агрегатных состояний: твердом, жидком или газооб разном. Это соотношение, в свою очередь, определяется внешними условиями - тем пературой и давлением.
Следовательно, фазовые превращения также определяют ся изменениями температуры и давления. Для наглядного изображения фазовых превращений используется диаграмма со стояния (рис. 115), на которой в коорди натах р, Т задается зависимость между температурой фазового перехода и давле нием в виде кривых испарения (КИ), плавления (КП) и сублимации (КС), раз деляющих поле диаграммы на три об ласти, соответствующие условиям су ществования твердой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной (Г) фаз. Кривые на ди аграмме называются кривыми фазового равновесия, каждая точка на них соответ-
ствует условиям равновесия двух сосуще ствующих фаз: КП — твердого тела и жидкости, КИ — жидкости и газа, КС — твердого тела и газа.
Точка, в которой пересекаются эти кривые и которая, следовательно, опреде ляет условия (температуру Tтр и соответ ствующее ей равновесное давление ртр) одновременного равновесного сосущество вания трех фаз вещества, называется тройной точкой. Каждое вещество имеет только одну тройную точку. Тройная точка воды характеризуется температурой 273,16 К (по шкале Цельсия ей соответ ствует температура 0,01 °С) и является ос новной реперной точкой для построения термодинамической температурной шкалы.
Термодинамика дает метод расчета кривой равновесия двух фаз одного и того же вещества. Согласно уравнению Кла пейрона — Клаузиуса, производная от равновесного давления по температуре
где L — теплота фазового перехода, (V2-V1) —изменение объема вещества при переходе его из первой фазы во вто рую, Т — температура перехода (процесс изотермический).
Уравнение Клапейрона — Клаузиуса позволяет определить наклоны кривых равновесия. Поскольку L и Т положитель ны, наклон задается знаком V2-V1. При испарении жидкостей и сублимации твер дых тел объем вещества всегда возраста ет, поэтому, согласно (76.1), dp/dT>0; следовательно, в этих процессах повыше ние температуры приводит к увеличению давления, и наоборот. При плавлении большинства веществ объем, как правило, возрастает, т. е. dp/dT>0; следовательно, увеличение давления приводит к повыше нию температуры плавления (сплошная КП на рис. 115). Для некоторых же ве ществ (H2O, Ge, чугун и др.) объем жид кой фазы меньше объема твердой фазы, т. е. dp/dT<0; следовательно, увеличение давления сопровождается понижением температуры плавления (штриховая ли ния на рис. 115).
Диаграмма состояния, строящаяся на
основе экспериментальных данных, позво ляет судить, в каком состоянии находится данное вещество при определенных р и Т, а также какие фазовые переходы будут происходить при том или ином процессе. Например, при условиях, соответствую щих точке 1 (рис. 116), вещество находит ся в твердом состоянии, точке 2 — в газо образном, а точке 3 — одновременно в жидком и газообразном состояниях. До пустим, что вещество в твердом состоянии, соответствующем точке 4, подвергается изобарному нагреванию, изображенному на диаграмме состояния горизонтальной штриховой прямой 4—5—6. Из рисунка видно, что при температуре, соответствую щей точке 5, вещество плавится, при более высокой температуре, соответствующей точке 6,— начинает превращаться в газ. Если же вещество находится в твердом состоянии, соответствующем точке 7, то при изобарном нагревании (штриховая прямая 7—8) кристалл превращается в газ минуя жидкую фазу. Если вещество находится в состоянии, соответствующем точке 9, то при изотермическом сжатии (штриховая прямая 9—10) оно пройдет следующие три состояния: газ — жид кость — кристаллическое состояние.
На диаграмме состояний (см. рис. 115 и 116) видно, что кривая испарения заканчивается в критической точке К. По этому возможен непрерывный переход ве щества из жидкого состояния в газообраз ное и обратно в обход критической точки, без пересечения кривой испарения (пере ход 11—12 на рис. 116), т. е. такой пере ход, который не сопровождается фазовы ми превращениями. Это возможно благо даря тому, что различие между газом и жидкостью является чисто количественным (оба эти состояния, например, явля ются изотропными). Переход же кристал лического состояния (характеризуется анизотропией) в жидкое или газообразное может быть только скачкообразным (в ре зультате фазового перехода), поэтому
кривые плавления и сублимации не могут обрываться, как это имеет место для кри вой испарения в критической точке. Кри вая плавления уходит в бесконечность, а кривая сублимации идет в точку, где р=0 и Т=0.