Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Дискретизация сигналов Стр.8(8)
Дискретизация сигналов
Сигнал преобразуется из аналоговой формы в цифровую в ходе оцифровки, предполагающей дискретизацию во времени, квантование по уровню и кодирование.
1. Теоретические основы дискретизации
Дискретизация – это регистрация значений амплитуды непрерывного сигнала через определенные интервалы времени (рис.1а).
а) б)
Рис.1 Дискретизация сигнала
Исходный сигнал является непрерывной функцией времени, т.е. аналоговым. Измеренные значения амплитуды образуют набор дискретных значений сигнала, называемых отсчетами. Такое представление сигнала называют дискретным (рис.1б). Результатом дискретизации является сигнал в амплитудно-импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation - PAM).
Количество замеров амплитуды в одну секунду называют частотой дискретизации или частотой выборки, частотой семплирования (англ. "sampling" – "выборка"). Частота дискретизации определяет разрешающую способность аналого-цифрового преобразования. Величина, обратная частоте дискретизации, называется периодом или шагом дискретизации (семплирования).
Для анализа дискретизации используется специальная теоретическая функция – "дельта-функция" (функция Дирака), которая представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенной при нулевом значении аргумента (рис.2).
|
Размерность дельта-функции обратна размерности ее аргумента, например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с. |
|
|
Рис.2 График дельта-функции |
Свойства дельта-функции:
а) Площадь импульса равна единице, т.е. .
б) Фильтрация – если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат интегрирования равен значению остального подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен дельта-импульс: .
в) Спектр дельта-функции равен единице: .
г) Согласно обратному преобразованию Фурье: .
При использовании дельта-функций непрерывному сигналу ставится в соответствие дискретизированный сигнал, который выглядит как последовательность дельта-функций, взвешенных значениями соответствующих амплитуд, т.е. отсчетов. Один из вариантов теоретического представления дискретизации поясняется на рис.3.
а) Непрерывный сигнал – функция от времени
б) Сигнал из дельта-функций
в) Дискретизированный сигнал – ряд импульсов:
При Ts=1: , что аналогично записи
г) Дискретные отсчеты – последовательность чисел
Рис.3 Форма сигналов при дискретизации
Например, запись
или соответствует дискретизации сигнала, показанного на рис.4 (при единичном шаге).
Рис.4 Пример дискретизации
2. Неопределенность дискретизации.
Дискретное представление сигнала связано с частичной потерей информации об исходном сигнале в интервалах между измеренными значениями. Качество дискретизации оценивается способностью сохранить в последовательности отсчетов информацию об исходном сигнале, и зависит, в первую очередь, от частоты дискретизации. Но, в любом случае, дискретизации свойственна неопределенность, заключающаяся в том, что никакая последовательность отсчетов не может однозначно представить один и только один непрерывный сигнал без дополнительной информации. Одна и та же дискретная последовательность отсчетов может быть сопоставлена бесконечному количеству разных непрерывных сигналов.
Например, в результате дискретизации непрерывного синусоидального сигнала с частотой (с шагом ) сформированы отсчеты в моменты времени , , …, которые имеют значения:
|
Момент времени |
Номер отсчета |
Значение сигнала |
Значение отсчета |
|
|
t0 |
0Ts |
0 |
||
|
t1 |
1Ts |
1 |
||
|
t2 |
2Ts |
2 |
||
|
t3 |
3Ts |
3 |
||
|
… |
… |
… |
||
|
tn-1 |
(n-1)Ts |
(n-1) |
||
|
tn |
nTs |
n |
||
|
tn+1 |
(n+1)Ts |
(n+1) |
||
|
… |
… |
… |
Согласно такому представлению первый период синусоидального сигнала начинается с отсчета с номером 0, второй – с номером n, третий – с номером 2n и т.д. Значения сигнала в эти моменты одинаковы, но разнесены на интервал, кратный радиан, т.к. в синусоиде , где m – любое целое число. Тогда
.
Значение m можно выбрать кратным значению n , т.е. , где k – любое положительное или отрицательное число:
.
Таким образом, .
Следовательно, множители и дают одинаковый результат. Дискретизация на частоте формирует последовательность цифровых отсчетов, представляющих не только синусоиду частотой , но и синусоиды с частотами, кратными , т.е. и т.д.
Например, отсчеты, полученные при дискретизации синусоиды на частоте , могут быть получены в случае , , , т.к. (рис.5). Такой сигнал называется алиас (alias), т.е. псевдоним, а эффект - алиасинг (aliasing), т.е. наложение частот.
Рис.5 Дискретизация сигналов 7Гц и 3Гц на частоте 4Гц
3. Спектр дискретизированного сигнала.
Спектр дискретизированного сигнала определяется согласно преобразованию Фурье:
.
Сигнал из дельта-функций объединяет бесконечное количество импульсов, которым сопоставлены отсчеты единичного значения, т.е. при x(n)=1.
Такой сигнал периодичен (период равен шагу дискретизации Ts) и может быть представлен в виде ряда Фурье, согласно которому:
.
Поскольку в интервал интегрирования всегда попадает только одна дельта функция, а спектр дельта-функции равен единице, то:
.
Следовательно, .
Выражение для дискретного сигнала принимает вид:
.
Умножение значений исходного сигнала на экспоненту соответствует сдвигу спектральной функции на , т.е. спектр дискретизированного сигнала:
Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых по шкале частоты копий спектра исходного непрерывного сигнала (рис.6). Расстояние между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации . Копии спектра называются зеркальными.
Рис.6 Спектр непрерывного (вверху) и дискретизированного сигнала
(внизу - зубчатая структура)
4. Дискретизация низкочастотных сигналов
Частоту называют частотой Найквиста, а условие - критерий Найквиста. Дискретизация, основанная на использовании критерия Найквиста, называется дискретизацией низкочастотных сигналов.
Если условие выполнено (рис.6), то соотношение копий спектра позволяет однозначно определить значения дискретных отсчетов x(n) и точно восстановить непрерывный сигнал. Для восстановления необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот с частотой среза, равной половине частоты семплирования (на рис.6 АЧХ такого ФНЧ показана штриховой линией).
Теорема Котельникова (теорема Найквиста, теорема о равномерном дискретном представлении) - любой сигнал, спектр которого не содержит составляющих с частотами выше некоторого значения , может без потерь информации представлен дискретными отсчетами, взятыми с интервалом Тs, удовлетворяющим следующему неравенству: , что тождественно: .
Например, при обработке сигнала звукового диапазона (с максимальной частотой 20кГц) необходимая частота дискретизации должна быть более 40кГц. В компьютерной технике за основную принята частота 44,1кГц. Кроме этой частоты на практике используются также частоты 48кГц, 96кГц.
Если условие не выполнено, то имеет место наложение частот, при котором копии спектра частично накладываются друг на друга (рис.7а). В результате этого неизбежны искажения при восстановлении сигнала, которые вызваны тем, что спектральные составляющие сигнала с частотами, попадающими в зону наложения, не могут быть восстановлены верно, т.к. вместе с ними захватываются частоты соседних копий спектра. Как следствие, в восстановленном сигнале появляются ложные частоты, т.е. имеет место алиасинг.
а)
б)
Рис.7 Спектр дискретизированного сигнала с наложением частот:
а) без фильтрации, б) после фильтрации
Если подлежащий дискретизации сигнал содержит частоты, превышающие частоту Найквиста, то его необходимо предварительно (перед оцифровкой) пропустить через фильтр с частотой среза, равной частоте Найквиста (рис.7б). Такой фильтр называется антиэлайзинговым. Высокочастотные составляющие при этом будут потеряны, но наложения не произойдет. Сохранить же высокочастотные составляющие, превышающие частоту Найквиста, можно повышением частоты дискретизации.
Использование фильтра перед дискретизацией позволяет избавиться от возможных высокочастотных помех. Например, при дискретизации звукового сигнала с максимальной частотой 13кГц и дополнительной помехой с частотой 34кГц, не попадающей в звуковой диапазон, по причине размножения спектра помеха попадает в звуковой диапазон в виде частоты 7кГц, искажающей полезный сигнал (рис.8). Применение фильтра устраняет этот недостаток (рис.9).
Рис.8 Пример размножения спектра
Рис.9 Фильтрация перед дискретизацией (низкочастотная дискретизация)
5. Восстановление непрерывного сигнала
При прохождении дискретизированного сигнала через восстанавливающий фильтр (рис.10) каждая дельта-функция породит на выходе соответствующим образом сдвинутую и масштабированную копию импульсной характеристики фильтра. Следовательно, выходной сигнал представляет собой сумму сдвинутых и умноженных на отсчеты сигнала копий импульсных характеристик фильтра.
Выражение для дискретизированного сигнала:
.
Импульсная характеристика идеального фильтра низких частот:
Рис.10 Амплитудно-частотная и импульсная характеристики
идеального восстанавливающего фильтра
Коэффициент передачи фильтра в полосе пропускания равен Ts (а не единице) с целью компенсации множителя 1/Ts в формуле расчета спектра дискретизированного сигнала. Импульсная характеристика фильтра рассчитывается согласно обратному преобразованию Фурье.
Следовательно, восстановленный сигнал:
Это выражение представляет собой разложение сигнала в ряд по системе функций , называемой базисом Котельникова, т.е. , что соответствует свертке: .
Пример восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам {0, 3, 5, 2, 3, 0, 1, 0, 0}, оцифрованных в моменты времени t-2 … t6 показан на рис.11. Сигнал бесконечен во времени, а его значения, за исключением исходных заданных, отличны от нуля. Колебания сигнала нигде не заканчиваются, несмотря на стремление амплитуды к нулю.
|
Рис.11 Пример восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам |
6. Дискретизация полосовых сигналов
При полосовой дискретизации существенным является не максимальная частота сигнала, а ширина его спектра. Полосовая дискретизация учитывает эффект размножения спектра и позволяет снизить частоту семплирования.
Спектр непрерывного полосового сигнала, содержащего частоты от до , показан на рис.12а. При дискретизации с частотой согласно критерию Найквиста формируется частотный периодический спектр, показанный на рис.12б. Сигнал восстанавливается после предварительной фильтрации через фильтр нижних частот.
Рис.12 Спектры: а) - непрерывного сигнала, б), в) - дискретизированного сигнала при различных частотах семплирования
Однако для точного восстановления достаточно не иметь перекрытия сдвинутых копий спектра. По причине частотной узкополосности исходного сигнала возможен выбор частоты дискретизации, не удовлетворяющей критерию Найквиста, но обеспечивающей, тем не менее, отсутствие перекрытия спектров (один из вариантов показан на рис.12в). В таком случае сигнал должен восстанавливаться с помощью полосового фильтра.
При отсутствии наложения спектр находится между зеркальными копиями (рис.13). Следовательно, и .
Рис.13. Расположение копий спектра
Из этих неравенств следует: и . Таким образом, , т.е. частота семплирования ограничена снизу удвоенной шириной спектра.
При уменьшении частоты семплирования будет увеличиваться количество зеркальных копий, максимально возможное число которых равно: . Для всех целых значений k, не превышающих допустимое значение, можно определить диапазон возможных значений частоты семплирования: .
Аналогично: , , .
Например, для сигнала со средней частотой 40Гц и шириной полосы 10Гц справедливо: .
Для целочисленных значений k допустимые частоты дискретизации:
k=1: ,
k=2: ,
k=3: (рис.14).
При k=0 диапазон допустимой частоты дискретизации – от 90Гц до бесконечности.
Рис.14 Спектр полосового сигнала
Допустимые частоты семплирования при полосовой дискретизации образуют ряд частотных диапазонов, разделенных неприемлемыми фрагментами. На рис.15 показан график допустимых частот дискретизации как функции переменной (параметр R определяет соотношение наибольшей частоты в сигнале к ширине спектра).
Рис.15 Графическое представление допустимых частот
семплирования при полосовой дискретизации
Для последнего примера R=4.5. Из графика следует, что наибольшее значение k=3, а минимально допустимая частота в 2,25 раза должна превышать ширину спектра, т.е. быть равной 22,5Гц.