Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Методическая разработка для практических занятий
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая методическая разработка написана в соответствии с программой курса “Числовые системы”, который читается на математическом факультете в 6-ом семестре. В пособие включены задачи по основным разделам курса “Числовые системы”; перед каждым параграфом приведены необходимые определения и свойства.
Курс “Числовые системы” состоит из нескольких разделов, причем числовые системы рассматриваются почти в том же порядке, как они возникали хронологически: сначала система натуральных чисел, затем система целых и рациональных чисел, вслед за ними система действительных и, наконец, система комплексных чисел.
Предполагается, что теорию по первой теме (вводной) студенты изучают самостоятельно. Здесь они знакомятся с современными взглядами на аксиоматические теории. Кроме того, студенты должны повторить общие понятия алгебры, алгебраической системы, изоморфизма, изучавшиеся в курсе “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры”. По данной теме проводится лишь практическое занятие. На этом занятии при повторении свойств бинарных отношений и алгебраических операций рассматриваются такие отношения и операции, которые пригодятся на следующих лекциях, например, при изучении упорядоченности натуральных чисел, при построении системы целых чисел. Это позволит подготовить студентов к пониманию соответствующих лекций.
Во второй теме дается представление о формальной теории натуральных чисел, при изучении других числовых систем предполагается ограничиться рассмотрением содержательно-аксиоматических теорий.
В теме “Аксиоматическая теория действительных чисел” сначала предполагается рассмотреть понятие нормированного поля (относительно некоторого упорядоченного поля), фундаментальные и сходящиеся последовательности в нормированных полях, в частности, в упорядоченных полях с естественной нормой. Система действительных чисел определяется как полное архимедовски упорядоченное поле. Поскольку в школьном курсе математики действительные числа определяются как числа, представимые в виде бесконечных десятичных дробей, при построении системы действительных чисел рассматривается именно этот подход.
В теме “Линейные алгебры над полями” предполагается знакомство с алгеброй кватернионов и понятием линейной алгебры с делением конечного ранга.
Спецификой курса ‘Числовые системы” является то обстоятельство, что этот курс содержит в основном материал теоретического характера. В связи с этим основными функциями практических занятий являются
- отработка теоретического материала;
- организация самостоятельного приобретения и углубления теоретических знаний студентами;
- подготовка студентов к восприятию следующих лекций.
Чтобы избавить изложение теоретического материала в рамках лекций от рассуждений рутинного или алгоритмического характера, часть теоретического материала (например, ряд свойств, а также некоторые фрагменты доказательства теорем) выделена для проработки на семинарских занятиях. Этому способствуют вопросы, сопутствующие каждому параграфу.
Чтобы занятия проходили эффективно, для подготовки студентов к некоторым занятиям сформулированы конкретные вопросы по той или иной теме.
Итоговый контроль, проводимый в форме экзамена, только фиксирует уровень знаний по данному предмету. Последний раздел пособия содержит материал для промежуточного контроля качества усвоения учебной информации студентами и для подготовки к выполнению контрольных работ. Приведены примеры оформления некоторых задач индивидуального задания.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Аксиоматическая теория натуральных чисел. Аксиомы Пеано. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции и ее роль в построении арифметики натуральных чисел. Упорядоченные множества и системы. Неравенства на множестве натуральных чисел. натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе.
Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, теорема о порядке. Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории целых чисел.
Аксиоматическая теория рациональных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел. Непротиворечивость и категоричность аксиоматической теории рациональных чисел.
Аксиоматическая теория действительных чисел. Последовательности в нормированных полях. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел. Существование корня натуральной степени из положительного действительного числа.
Аксиоматическая теория комплексных чисел. Линейные алгебры над полями. Теорема Фробениуса.
1. Алгебраические системы
Декартовым произведением n множеств А1, А2,…, Аn называется множество всех упорядоченных n-ок вида (а1, а2,…, аn), где а1А1, а2А2,…, аnАn, т.е. А1×А2×…×Аn={(а1, а2,…, аn)| а1А1, а2А2,…, аnАn,};
Аn = А×А×…×А.
n-арной алгебраической операцией на множестве А называется любое отображение τ: Аn→А, которое каждой упорядоченной n-ке (а1, а2,…, аn) элементов множества A ставит в соответствие элемент из множества A.
Алгеброй называется упорядоченная пара А=(A;Ω), где А - любое непустое множество, Ω - множество операций на множестве А. Множество А называется основным множеством алгебры А; элементы множества Ω называются главными операциями алгебры А. Если Ω={τ1, τ2,…,τs} – конечное множество, то алгебру А записывают в виде А=(A; τ1, τ2,…,τ s).
Последовательность неотрицательных целых чисел (r1, r2,…,rs), где ri – арность операции τi, называется типом алгебры А. Две алгебры одного типа называются однотипными.
Пусть А и В –однотипные алгебры, τ – одна из главных операций алгебры А, ω –соответствующая операция алгебры В, m - арность этих операций. Говорят, что отображение f:А→В сохраняет операцию τ алгебры А, если
f(τ(a1, a2 , … am))= ω(f(a1), f(a2)… f(am)).
Гомоморфизмом однотипных алгебр А и В называется отображение f:А→В, которое сохраняет все главные операции алгебры А. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом.
n-арным отношением на множестве А называется любое подмножество декартова произведения Аn.
Алгебраической системой называется упорядоченная тройка А=(A;Ω, Ω0), где А - любое непустое множество, Ω - множество операций на множестве А, Ω0 – множество отношений на множестве А. Множество А называется основным множеством алгебраической системы А, а его элементы – элементами этой системы; элементы множества Ω называются главными операциями, а элементы множества Ω0 – главными отношениями системы А. Если Ω={τ1, τ2,…,τ s}, Ω0={T1,Т2,…,Тk} – конечные множества, то алгебраическую систему А записывают в виде А=(A; τ1, τ2,…,τs, T1,Т2,…,Тk).
Последовательность неотрицательных целых чисел (r1, r2,…,rs, t1,t2,…,tk), где ri – арность операции τi, tj – арность отношения Tj, называется типом алгебраической системы А. Две алгебраические системы одного типа называются однотипными.
Пусть А и В –однотипные алгебраические системы, Т – одно из главных отношений системы А, S –соответствующее отношение системы В, m - арность этих отношений. Говорят, что отображение f:А→В сохраняет отношение Т системы А, если для любых элементов a1,a2,…,am из множества A
(a1, a2,…, am) T ( f(a1), f(a2),…, f(am)) S ,
т.е. если элементы a1, a2,…, am находятся в отношении Т, то их образы находятся в отношении S.
Гомоморфизмом однотипных алгебраических систем А и В называется отображение f:А→В, которое сохраняет все главные операции и главные отношения системы А .
Изоморфизмом однотипных алгебраических систем А и В называется биективное отображение f:А→В, которое сохраняет все главные операции, и для любых элементов a1,a2,…,am из множества A
(a1, a2,…, am) T ( f(a1), f(a2),…, f(am)) S ,
где T главное отношение системы А , S - главное отношение системы В.
К практическому занятию:
2) повторить из вводного курса математики:
определение алгебраической бинарной операции,
свойства бинарных операций,
определения декартова произведения и бинарного отношения,
свойства бинарных отношений,
определения отношения эквивалентности и порядка, отображения.
повторить из курса “Элементы абстрактной и компьютерной алгебры”:
понятия алгебры и алгебраической системы, их типа;
определения гомоморфизма и изоморфизма.
Уметь выяснять, какими свойствами обладают конкретные алгебраические системы, в частности, является ли отношение эквивалентностью, изоморфизмом, является ли алгебра группой, кольцом, полем.
Литература:
1.Редьков М.И. Числовые системы, ч. I, с. 4 – 17.
2. Нечаев В.Н. Числовые системы.
3. Феферман С. Числовые системы.
4. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел.
5. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.
Занятие №1. Алгебраические системы.
Z; +, Z; , Z; +, , Z; +,0.
Какие из них однотипны?
f: NN, f(x) = 2x - гомоморфизм алгебры N; + в алгебру N;.
N; +, , , M; ,, , Z; , ,
где M - совокупность всех множеств, - отношение
делимости.
8. Что означают слова “ отображение сохраняет отношение“? Что означает это для унарного отношения?
Пусть M = {(a)| a Z} – множество главных идеалов кольца Z; M; - алгебраическая система, f: ZM, f(a) = (a). Является ли f гомоморфизмом?
10. Дать определение изоморфизма алгебраических систем. Будет ли отображение f из предыдущей задачи изоморфизмом?
11. На множестве NN определено бинарное отношение:
тогда и только тогда, когда a + b1 = b + a1.
Доказать, что оно является отношением эквивалентности и охарактеризовать классы эквивалентности. Описать классы , , .
12. Пусть - множество классов эквивалентности из предыдущей задачи. На этом множестве определим бинарную алгебраическую операцию
= .
Доказать, что это определение корректно, т.е. результат не зависит от выбора пар из классов и. Доказать, что алгебра ; - коммутативная группа. Найти симметричный элемент для класса .
Задачи для самостоятельного решения
13. Сколькими способами можно определить линейный порядок на множестве из трех элементов? Линейный строгий? Линейный нестрогий?
14. На множестве пар рациональных чисел определены операции сложения и умножения следующим образом:
;
.
Доказать, что - поле.
10
PAGE 11