Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
3. Методы упрощения, задачи и цели исследования математических моделей
3.1. Методы декомпозиции и редукции
Исходные математические модели (ММ), как правило, являются избыточными в смысле их приближения. Они содержат множество «лишних» элементов, что усложняет процесс моделирования и ведет к росту затрат времени на его проведение. Поэтому на первом этапе моделирования проводится разумное упрощение исходного математического описания системы.
К основным методам упрощения моделей , позволяющим преобразовать исходную математическую модель М в упрощенную , (эквивалентную исходной модели М с точки зрения цели исследования), относятся две группы методов:
В первой группе методов предусматривается возможность разделения исходной ММ на ряд частных моделей меньшей сложности, то есть
При этом разделение модели М может производится на частные модели по ее структуре, этапам времени работы, режимам работы.
Причем для каждой i-ой модели ставится своя цель исследования. Тем самым исследование исходной ММ заменяется исследованием n более простых частных моделей , и по этим результатам исследования частных моделей судят о свойствах системы в целом.
Во второй группе методов предполагается, что исходная математическая модель М последовательно редуцируется к упрощенным моделям меньшей сложности , то есть:
Причем цель исследования для каждой i-ой модели совпадает с целью исследования для исходной ММ.
Заметим, что при редукции математической модели М отдельные элементы исходного математического описания, не влияющие или мало влияющие на выбранный ПЭ могут просто исключаться из модели. А другие могут заменяться упрощенными эквивалентами. И в частности, например, характеристики возмущающих воздействий в общем случае зависят от многочисленных факторов, в том числе и от результата взаимодействия с самой исследуемой системой. Поэтому при моделировании для имитации таких воздействий достаточно часто используется случайный эквивалент. Или может выбираться наихудший по отношению к системе вариант воздействия.
Известен также метод возмущений, который основан на том, что некоторые динамические связи в ММ могут игнорироваться и поэтому она может быть аппроксимирована упрощенной моделью. В частности, математическое описание сингулярно возмущенной системы можно представить в виде
где: – малый параметр.
Полагая , получим:
Таким образом, при второе уравнение системы (3.3) вырождается в алгебраическое, а порядок и сложность ММ снижаются.
Наиболее распространенными методами упрощения нелинейных ММ являются гармоническая и статическая линеаризации. Во многих случаях линеаризованная ММ достаточно хорошо отражает физику работы исследуемой системы. Благодаря этому линеаризация позволяет применить при моделировании мощный аппарат исследования линейных систем.
Иногда моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями:
где: – вектор фазовых координат;
– вектор, составленный из параметров подсистемы, включая входные сигналы и начальные условия.
Упростить ММ исследуемой системы в этом случае можно с помощью машинно-аналитического метода. Этот метод предусматривает аппроксимацию аналитическими функциями предварительно полученных на ЭВМ решений уравнений (3.4):
где: – вектор параметров аппроксимирующих функций, например, это параметры и в аппроксимирующей функции .
Если подставить (3.5) в исходные уравнения (3.4), то можно получить аналитическую зависимость;
между параметрами подсистемы и параметрами протекающих в ней процессов .
Уравнения (3.6) являются алгебраическими. Они проще, чем исходные дифференциальные (3.4). Именно этим и достигается упрощение исходной ММ.
3.2. Задачи и цели исследования ММ
Общая цель исследования ММ – это, во-первых, определение значений показателя эффективности (ПЭ) системы для различных вариантов ее структуры, параметров и возмущающих воздействий, а во-вторых, выбор варианта с экстремальным или допустимым значением ПЭ.
ПЭ в общем случае является функцией трех факторов:
то есть:
В частном (конкретном) случае список аргументов в выражении (3.7) может видоизменяться. Например, если эффективность процесса управления не зависит от его длительности, то фактор времени может быть опущен. И наоборот, факторы наиболее существенные, могут быть детализированы, то есть преобразованы в векторные.
Алгоритм реализации общей цели моделирования, то есть алгоритм решения задачи исследования ММ представлен на рис. 3.1.
Задачи исследования ММ систем управления можно разделить на следующие группы:
а) заданы структура, параметры системы и возмущающие воздействия. Требуется определить реакцию системы на заданные воздействия и характеристики этой реакции (ПЭ);
б) заданы возмущающие воздействия и варианты структуры системы. Требуется выбрать вариант с наилучшим значением.
Известны структура, параметры и реакция системы. Необходимо найти возмущающее воздействие, вызвавшее данную реакцию.
Заданы возмущающие воздействия, структура и варьируемые параметры САУ. Необходимо найти функциональную зависимость (уравнение регрессии) между ПЭ и варьируемыми параметрами.
Известны возмущающие воздействия и структура системы. Требуется найти такие параметры модели САУ, при которых ПЭ имеет экстремальное значение.
Постановка задачи исследования ММ
риведение ММ к виду, удобному для моделирования
Задание вариантов структуры, параметров, возмущений и ПЭ
Вычисление ПЭ
да
нет
варианты
исследованы
?
нет
да
Реализация решения
Рис. 3.1