Релятивистское лоренцево сокращение длины стержня Рис

Работа добавлена на сайт samzan.net:

§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.

Основные формулы

В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ0 системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

Рис. 5.1

где l0 — длина стержня в системе координат К' , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l—               

                                             

 длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов

где Δt0 — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.

• Релятивистское сложение скоростей

 ,

где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно системы K'); υ0 — переносная скорость (скорость системы K' относительно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

• Релятивистская масса

,   ИЛИ    ,

где т0 — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света

• Релятивистский импульс

, или

• Полная энергия релятивистской частицы

где Т — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

Примеры решения задач

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt0=1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (K'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние l, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле

 (1)
где —интервал времени, отсчитанный в K-системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан
ным в K'-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим

После вычислений найдем

l=619 Мм.

Пример 2. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в K-системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l0 стержня в K'-системе, связанной со стержнем, и угол φ0, который он составляет с осью х' (рис. 5.2).

Рис. 5.2

 

Решение. Пусть в K'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина l0 стержня и угол φ0, который он составляет с осью х', выразятся равенствами

(1)

В K-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)

(2)

Заметим, что при переходе от системы К.' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

(3)

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством

или

Заменив в этом выражении на (рис. 5.2, б), получим

Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем

l0=15(3 м.

Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):

, или  

откуда

Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисления, получим

Пример 3.  Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.

Решение.   Релятивистская формула кинетической энергии

Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (β=υ/c):

                                                                                (1)

где E0 — энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Е0 и Т в мега электрон-вольтах, получим

β=0,941.
Так как , то

υ = 2,82-108 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если , частицу можно считать классической. В этом
случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:

, или

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).

Решение.   Релятивистский импульс

                                                                                  (1)

После вычисления по формуле (1) получим

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е.

Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим

или окончательно

                                                                        (2)

Сделав вычисления, найдем

T=106 фДж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m0с2=0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим

Т=0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т0c2 (m0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m0' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.

Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m=
=2т0.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m0=m', где т+т0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса составной частицы. Так как т—2т0 , то

Массу покоя m0' составной частицы найдем из соотношения

 (1)
Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью Vc центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:

Так как , то

Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда

Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:

, или

3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с2 и энергии покоя т0'с2 составной частицы:

Подставив выражения т' и m0', получим

•  Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Куре общей физики.

М., 1977. Т. I, §70.

Задачи

Релятивистское  изменение  длин

и интервалов  времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью Δl=0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина l0 которого равна 1 м?

5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.

5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость υ0 спутника составляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ0=0,5 года?

5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина l0 которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ0=45° с осью x'. Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K' относительно К равна 0,8 с.

5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна оси х'. Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К' движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.

5.7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние l=75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ0 мезона.

5.8. Собственное время жизни τ0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l=6 км. С какой скоростью υ (в долях скорости света) двигался мезон?

Релятивистское сложение скоростей

5.9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских частиц переходит в соответствующую формулу классической механики при υ <<c.

5.10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями υ1=0,6 с и υ2=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u21 в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

5.11. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость u в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.

5.12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя, если скорость υ иона относительно ускорителя равна 0,8 с.

5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость υ1= =0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения β-частицу со скоростью υ2=0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость u21 частицы относительно ядра.

5.14. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со скоростями |υ|=0,9 с. Определить относительную скорость и21 сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц.

Релятивистская масса и релятивистский импульс

5.15. Частица движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы  покоя?

5.16. С какой скоростью υ движется частица, если ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя?

5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,881011 Кл/кг. Определить релятивистскую массу т электрона и его скорость υ.

5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при скорости υ=30 Мм/с?

5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса переходит в соответствующее выражение импульса в классической механике при υ<<c.

5.20. Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить релятивистский импульс р электрона.

5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя). Определить скорость υ частицы (в долях скорости света).

5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью υ=0,8 с по направлению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.

5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость Vc центра масс системы частиц.

Взаимосвязь массы и энергии *

5.24. Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела?

5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г?

5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.

5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109 км3. Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на Δt=1 °С. Плотность р воды в океане принять равной 1,03·103 кг/м3.

5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии электромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излучения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·108 км2.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

5.30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ?

5.31. Электрон летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).

5.32. При какой скорости υ кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

5.33. Определить скорость VE электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ.

5.34. Найти скорость V протона, если его кинетическая энергия равна: 1) T=1 МэВ; 2) T=1 ГэВ.

* Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превращениях,    помещены   в   § 43.

5.35. Показать, что релятивистское выражение кинетической
энергии при υ<<c переходит в соответствующее выра-
жение классической механики.

5.36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычисле-
нии кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо
релятивистского выражения воспользоваться класси-
ческим ? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) υ=
=0,2 с; 2) υ=0,8 с.

5.37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) скорости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную скорость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энергию (в единицах т0с2) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей.

Связь  энергии  релятивистской  частицы  с  ее  импульсом

5.38. Показать, что выражение релятивистского импульса через
кинетическую энергию при переходит
в соответствующее выражение классической механики.

5.39. Определить импульс р частицы (в единицах m0с), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя.

5.40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частицы (в единицах ), если ее импульс

5.41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n=4 раза?

5.42. Импульс р релятивистской частицы равен . Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная?

      5.43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импуль-
сом , и такой же покоящейся частицы образуется составная
частица. Определить: 1) скорость υ частицы (в единицах с) до столк-
новения; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах т0); 3) скорость составной частицы; 4) массу покоя составной частицы (в единицах m0); 

5) кинетическую энергию частицы до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т0с2).

5.44. Частица с кинетической энергией налетает на дру-
гую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета по-
коится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в си-
стеме отсчета, связанной с центром инерции системы частиц.

87

1. Тема- Основы теории стоимости денег во времени Вся методология оценки недвижимости построена на теории сто
2. Реферат- Основные психологические теории личности
3. Диагностика и лечение диареи при синдроме раздраженного кишечника
4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по учебной дисциплине Тактикоспециальная подготовка Раздел 3
5. Білет30 Дайте характеристику машинам і механізмам для нарізанняварениховочів
6.  Призначення і загальна класифікація базових машин
7. ЮРГУЭС УТВЕРЖД
8. Курсовая работа- Реализация идеи конвергенции СМИ на примере российских изданий
9. Фо~рмула лі~нзи співвідношення між відстанню предмета до оптичної лінзи f відстанню зображення від не
10. Аудит учета материально-производственных запасов
11. Могилянської Академії КиєвоМогилянська академія була першим вищим навчальним закладом що відповідав з
12. Реферат на тему- Криминологическая характеристика личности преступника
13. Модуль 3 Змістовий модуль 1 Тема заняття
14. тематических и технических наук
15. гудвилл понимается 3
16. ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ ПО КУРСУ АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО на 2006~ 2007 учебный год Государственное упр
17. тема окон. Студентки группы- 2ДД39 Уткиной Любови
18. Курсова робота з дисциплін
19. Методические рекомендации и планы семинарских занятий по истории России IX ~ XXI вв
20. тематике 2001 г декабрь 1й семестр

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе