Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА.
В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость υ0 системы ко ординат К' относительно системы К нап равлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).
• Релятивистское (лоренцево) сок ращение длины стержня
Рис. 5.1
где l0 — длина стержня в системе коор динат К' , относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х'; l—
длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью υ; с — скорость распространения электромагнитного излучения.
• Релятивистское замедление хода часов
где Δt0 — интервал времени между двумя событиями, происходя щими в одной точке системы K', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Δt — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы K.
• Релятивистское сложение скоростей
,
где υ' — относительная скорость (скорость тела относительно си стемы K'); υ0 — переносная скорость (скорость системы K' относи тельно К), υ0 — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К).
В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод вижную.
• Релятивистская масса
, ИЛИ ,
где т0 — масса покоя; β — скорость частицы, выраженная в долях скорости света
• Релятивистский импульс
, или
• Полная энергия релятивистской частицы
где Т — кинетическая энергия частицы; — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если υ<<с.
• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы
• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы
Примеры решения задач
Пример 1. Космический корабль движется со скоростью υ=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние l прой дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), за интервал времени Δt0=1 с, отсчитанный по часам, находя щимся в космическом корабле (K'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.
Решение. Расстояние l, которое пройдет космический ко рабль в системе отсчета, связанной с Землей (K-система), определим по формуле
(1)
где —интервал времени, отсчитанный в K-системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан
ным в K'-системе, соотношением Подставив
выражение в формулу (1), получим
После вычислений найдем
l=619 Мм.
Пример 2. В лабораторной системе отсчета (K-система) движется стержень со скоростью υ=0,8 с . По измерениям, произведенным в K-системе, его длина l оказалась равной 10 м, а угол φ, который он составляет с осью х, оказался равным 30° . Определить собственную длину l0 стержня в K'-системе, связанной со стержнем, и угол φ0, который он составляет с осью х' (рис. 5.2).
Рис. 5.2
Решение. Пусть в K'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина l0 стержня и угол φ0, который он составляет с осью х', выразятся равенствами
(1)
В K-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б)
(2)
Заметим, что при переходе от системы К.' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е.
(3)
С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством
или
Заменив в этом выражении на (рис. 5.2, б), получим
Подставив значения величин в это выражение и произведя
вычисления, найдем
l0=15(3 м.
Для определения угла воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3):
, или
откуда
Подставив значения φ и β в это выражение и произведя вычисле ния, получим
Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона.
Решение. Релятивистская формула кинетической энергии
Выполнив относительно β преобразования, найдем скорость час тицы, выраженную в долях скорости света (β=υ/c):
(1)
где E0 — энергия покоя электрона (см. табл. 22).
Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.
Подставив числовые значения Е0 и Т в мега электрон-вольтах, получим
β=0,941.
Так как , то
υ = 2,82-108 м/с.
Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети ческую энергию частицы с ее энергией покоя.
Если , частицу можно считать классической. В этом
случае релятивистская формула (1) переходит в классическую:
, или
Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью υ =0,9 с (где с — скорость света в вакууме).
Решение. Релятивистский импульс
(1)
После вычисления по формуле (1) получим
В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией E и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е.
Так как и , то, учитывая зависимость массы от
скорости, получим
или окончательно
(2)
Сделав вычисления, найдем
T=106 фДж.
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона m0с2=0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим
Т=0,66 МэВ.
Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией T=т0c2 (m0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столк новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т' и массу покоя m0' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'.
Решение. 1. Релятивистскую массу m движущейся частицы
до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии
релятивистской частицы . Так как , то m=
=2т0.
2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: m+m0=m', где т+т0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса состав ной частицы. Так как т—2т0 , то
Массу покоя m0' составной частицы найдем из соотношения
(1)
Скорость υ' составной частицы (она совпадает со скоростью Vc центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=р', где р— импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т:
Так как , то
Релятивистский импульс . Учитывая, что ,
закон сохранения импульса можно записать в виде ,
откуда
Подставив выражения υ' и т' в формулу (I), найдем массу покоя составной частицы:
, или
3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с2 и энергии покоя т0'с2 составной частицы:
Подставив выражения т' и m0', получим
М., 1977. Т. I, §70.
Задачи
и интервалов времени
5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точ ностью Δl=0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить реляти вистское сокращение длины стержня, собственная длина l0 которого равна 1 м?
5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнару жить релятивистское замедление хода часов, если собственная дли тельность τ0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Δτ=10 пс.
5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхро низированные до полета с земными. Скорость υ0 спутника составля ет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время τ0=0,5 года?
5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро стью υ=0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?
5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина l0 кото рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол φ0=45° с осью x'. Определить длину l стержня и угол φ в системе K, если скорость υ о системы K' относительно К равна 0,8 с.
5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллель на оси х'. Определить угол φ между его диагоналями в системе К, если система К' движется относительно К со скоростью υ=0,95 с.
5.7. В лабораторной системе отсчета (K-система) пи-мезон с мо мента рождения до момента распада пролетел расстояние l=75 м. Скорость υ пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни τ0 мезона.
5.8. Собственное время жизни τ0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние l=6 км. С какой скоростью υ (в долях ско рости света) двигался мезон?
5.9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских частиц переходит в соответствующую формулу классической меха ники при υ <<c.
5.10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной си стеме отсчета со скоростями υ1=0,6 с и υ2=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость u21 в двух случаях: 1) ча стицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в проти воположных направлениях.
5.11. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относитель ная скорость u в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц.
5.12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно уско рителя, если скорость υ иона относительно ускорителя равна 0,8 с.
5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость υ1= =0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направ лении своего движения β-частицу со скоростью υ2=0,75 с относи тельно ускорителя. Найти скорость u21 частицы относительно ядра.
5.14. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу части цы со скоростями |υ|=0,9 с. Определить относительную скорость и21 сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц.
Релятивистская масса и релятивистский импульс
5.15. Частица движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя?
5.16. С какой скоростью υ движется частица, если ее релятивист ская масса в три раза больше массы покоя?
5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,881011 Кл/кг. Определить реляти вистскую массу т электрона и его скорость υ.
5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы боль ше массы покоя при скорости υ=30 Мм/с?
5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса пере ходит в соответствующее выражение импульса в классической ме ханике при υ<<c.
5.20. Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить реля тивистский импульс р электрона.
5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя). Определить скорость υ частицы (в долях скорости света).
5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью υ=0,8 с по направ лению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.
5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость Vc центра масс системы частиц.
Взаимосвязь массы и энергии *
5.24. Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела?
5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энер гия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г?
5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.
5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109 км3. Оп ределить, на сколько возрастет масса воды в океане, если темпера тура воды повысится на Δt=1 °С. Плотность р воды в океане при нять равной 1,03·103 кг/м3.
5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии элект ромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излу чения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·108 км2.
Кинетическая энергия релятивистской частицы
5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.
5.30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше реля тивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ?
5.31. Электрон летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).
5.32. При какой скорости υ кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?
5.33. Определить скорость VE электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ.
5.34. Найти скорость V протона, если его кинетическая энергия равна: 1) T=1 МэВ; 2) T=1 ГэВ.
* Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превра щениях, помещены в § 43.
5.35. Показать, что релятивистское выражение кинетической
энергии при υ<<c переходит в соответствующее выра-
жение классической механики.
5.36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычисле-
нии кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо
релятивистского выражения воспользоваться класси-
ческим ? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) υ=
=0,2 с; 2) υ=0,8 с.
5.37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетичес кими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) ско рости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную ско рость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энергию (в единицах т0с2) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей.
Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом
5.38. Показать, что выражение релятивистского импульса через
кинетическую энергию при переходит
в соответствующее выражение классической механики.
5.39. Определить импульс р частицы (в единицах m0с), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя.
5.40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской час тицы (в единицах ), если ее импульс
5.41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в n=4 раза?
5.42. Импульс р релятивистской частицы равен . Под дейст вием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная?
5.43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импуль-
сом , и такой же покоящейся частицы образуется составная
частица. Определить: 1) скорость υ частицы (в единицах с) до столк-
новения; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах т0); 3) скорость составной частицы; 4) массу покоя составной частицы (в единицах m0);
5) кинетическую энергию частицы до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т0с2).
5.44. Частица с кинетической энергией налетает на дру-
гую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета по-
коится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в си-
стеме отсчета, связанной с центром инерции системы частиц.
87