Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.
Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.
Термін «комбінаторика» ввів Лейбніц, який у 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво».
Іноді під комбінаторикою розуміють більш широкий розділ дискретної математики, що включає теорію графів.
Як і належить алгебрі множин, алгебра подій містить неможливу подію (порожня множина), замкнену відносно теоретико-множинних операцій, виконаних у скінченному числі. Достатньо щоб алгебра подій була замкнута відносно двох операцій, наприклад, перетину і доповнення, з чого відразу випливає її замкнутість відносно будь-яких інших теоретико-множинних операцій. Алгебра подій, замкнута щодо скінченного числа теоретико-множинних операцій, називається сигма-алгеброю подій.
У теорії ймовірностей зустрічаються такі алгебри та сигма-алгебри подій:
Алгебри та сигма-алгебри подій - це області визначення ймовірності . Якщо , то подія називається неможливою подією; якщо , то подія називается достовірною подією;
Подія або , полягає в тому, що з двох подій і відбувається принаймні одна, називається сумою подій і .
Будь–яка сигма-адитивна ймовірність на алгебрі подій однозначно продовжується до сигма-адитивної ймовірності, визначеної на сигма-алгебрі подій, породженій даною алгеброю подій.
Сумою подій А і В називається подія С, яка полягає у здійсненні під час одиничного випробовування або події А, або події В, або обох разом.
Враховуючи означення суми двох подій і поняття несумісних подій, зауважимо, що сумою С двох несумісних подій А і В є подія, яка полягає в здійсненні або події А, або події В. Одночасна поява подій А і В виключена.
Теорема. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностейцих подій, тобто
Доведення. Нехай у результаті деякого випробування відбувається n елементарних подій. Зобразимо ці події n точками. Нехай з усіх n подій події А сприяють m подій, а події В - kподій. Тоді ймовірність події А є
а події В є
Оскільки події А і В несумісні, то немає подій, які б одночасно сприяли обом подіям А і В. Очевидно, що події А+В сприяють m+k подій, тому
Підставляючи значення Р(А), Р(В), Р(А+В) у рівність, дістанемо тотожність, що і доводить теорему.
Наслідок 1. Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1
Оскільки за умовою дані події несумісні, то до них можна застосувати теорему додавання
Дві події називаються протилежними, якщо одна і лише одна з них обов'язково здійсниться в даному випадку.
Якщо А - деяка подія, то протилежна їй подія позначається . Події А і утворюють повну групу несумісних подій.
Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Теорема множення ймовірностей незалежних подій.Імовірність одночасного настання двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
Імовірність появи деяких подій, незалежних у сукупності, обчислюється за формулою:
Теорема множення ймовірностей залежних подій. Імовірність одночасного настання двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності настання однієї з них на умовну ймовірність другої:
Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події Аподається формулою:
де — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.
Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.
Формула Беєеса. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія ^ А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:
(http://yukhym.com/uk/vipadkovi-podiji/129-formuli-povnoji-imovirnosti-ta-bajesa.html приклади)
Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:
Формула застосовується, якщо
Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з’явиться від mi до mj раз, обчислюється так:
Якщо k0 - Найімовірніше число, то воно знаходиться в межах:
np-q £ k0 £ np + q
ЯКЩО ЧИСЛО (NP + Q) НЕЦІЛЕ, ТО K0 - ЄДИНЕ
ЯКЩО ЧИСЛО (NP + Q) ЦІЛЕ, ТО ІСНУЄ 2 ЧИСЛА K0.
Граничні теореми в схемі Бернуллі.
1. Гранична теорема Пуассона. При р »0, n-велике, np = l £ 10.
Формула дає розподіл Пуасона, описує рідкісні події.
2. Гранична теорема Муавра-Лапласа.
0 £ p £ 1, n-велике, np> 10
- стандартний нормальний розподіл
3. Гранична інтегральна теорема Муавра-Лапласа.
В умовах попередньої теореми ймовірність того, що подія А в серії з n випробувань настане не менш k1 разів і не більше k2 разів:
- функція Лапласа
13. У математиці функцією Гауса (названа за іменем Карла Фрідріха Гауса) є функція, що виражається залежністю
для дійсних чисел константа a > 0, b, c > 0, і e ≈ 2.718281828 (Число Ейлера).
Графік функції Гауса є характерною симетричною кривою у формі дзвону, що швидко спадає на нескінченності. Параметр a є висотою піку кривої, b є позицією центру, і c контролює ширину «дзвону».
Локальна теорема Лапласа
Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:
Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності , якщо n > 10
i p > 0,1.
Інтегральна теорема Лапласа
Імовірність того, що подія А відбудеться від до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:
—функція Лапласа;
Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.
17. Останній інтеграл не розв’язується в елементарних функціях. Тому для визначеного інтеграла вводиться функція
,
яка називається інтегралом імовірності (probability integrals). Для цієї функції складено таблиці її значень (додаток А). Після перетворень одержимо:
.
+
. (3.2)
На рис. 3.5 зображено інтегральну функцію розподілу F(x).
Інтеграл ймовірностей має властивості:
1) ;
2); .
3) , інтеграл ймовірностей непарна функція.
Нехай . Знайдемо імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина відхиляється від параметра а за абсолютною величиною не більше, ніж на , тобто Нерівність рівносильна нерівностям . Беремо в рівності (3. 2) , і одержимо:
,
Внаслідок того, що інтеграл ймовірностей непарна функція:
.
Тому (3.3)
Приклад 1. Нехай в. в. підпорядковується нормальному закону розподілу ймовірностей з параметрами, . Визначити:
1) ,
2) .
Розв’язання.
Використовуючи формулу (3.2), одержимо:
;
З таблиці (додаток А) знаходимо: , .
Отже, .
, .
За формулою (3.3)
.
20-21
Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений.
Пусть есть Пусть также дана последовательность такая, что
Тогда
22. Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна , "значення" якої утворюють множину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини . [2]
Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини , називається областю значень цієї величини
Випадкова величина X — це вимірна функція, визначена на даному вимірному просторі , тобто, вона визначається шляхом зіставлення кожної елементарної події з деякимдійсним числом. Більш формально:
називається випадковою величиною, якщо , де -- -алгебра Борелевих множин на .
Нехай x1, x2, … — значення випадкової величини X. Одне і те саме значення xj може відповідати, взагалі кажучи, різним елементарним подіям. Множина усіх цих елементарних подій утворює складену випадкову подію, що полягає в тому, що X = xj. Ймовірність цієї події позначається .
Система рівнянь:
визначає розподіл ймовірностей (слід відрізняти від функції розподілу ймовірностей) випадкової величини X.
Очевидно, що:
та .
Якщо дві або більше випадкових величини X1, X2, …, Xn визначено на одному просторі елементарних подій, то їх спільний розподіл задається системою рівнянь, в яких всім комбінаціям , і т. д. призначаються визначені ймовірності.
Випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільної комбінації значень , , …, виконується рівність:
Тобто, якщо Xk залежить лише від k-го випробування, то випадкові величини X1, X2, …, Xn взаємно незалежні.
Ймовірність випадкової величини дорівнює інтегралу ймовірностей взятому по її області значень: [4]
де
; — граничні значення нормованої величини ;
— це середнє значення величини ;
Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описує розподіл ймовірностей випадкової величини.
Нехай — ймовірнісний простір, в якому — множина елементарних подій, — сукупність підмножин , що утворюють -алгебру, множини з називаються випадковими подіями, — міра на , що задовольняє умову . Функція , визначена рівністю
,
називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина набуває значень менших або рівних .
Нормальний розподіл (розподіл Ґауса) — розподіл ймовірностей випадкової величини, що характеризується густиною ймовірності
де — математичне сподівання, — дисперсія випадкової величини. Параметр також відомий, як стандартний відхил. Розподіл із μ = 0 та σ 2 = 1 називають стандартним нормальним розподілом.
Центральна гранична теорема стверджує, що нормальний розподіл виникає тоді, коли дана випадкова величина являє собою суму великого числа незалежних випадкових величин, кожна з яких грає в утворенні всієї суми незначну роль. Наприклад, відстань від влучення снаряду гармати до цілі при великій кількості пострілів характеризується саме нормальним розподілом.
Нормально розподілена випадкова величина позначається так: .
Середньоквадратичне відхилення:
Стандартне відхилення (оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини x щодо її математичного очікування на основі незміщеної оцінки її дисперсії):
де - дисперсія; - i -Й елемент вибірки; - Обсяг вибірки; - середнє арифметичне вибірки:
Слід зазначити, що обидві оцінки є зміщеними. У загальному випадку незміщене оцінку побудувати неможливо. Однак оцінка на основі оцінки незміщеною дисперсії є заможної.
Елементи статистики
Задача математичної статистики полягає в систематизації, обробці й використанні статистичних даних.
Статистичні дані представляють у вигляді таблиці або полігона частот.
На осі X відкладають значення признаку (варіанти) Xj , на осі n – відповідні значення частот nj.
|
Модою Mo називають варіанту, яка має найбільшу частоту. Медіаною Me називають варіанту, яка ділить варіаційний ряд пополам. Розмахом варіювання називають різницю між найбільшою і найменшою варіантами. Середнім значенням називають величину: Вся сукупність одиниць, які підлягають обстеженню називається генеральною сукупністю і її чисельність позначається N. Частина сукупності одиниць, що підлягає вибірковому обстеженню, називається вибірковою сукупністю і її чисельність позначається n. Завдання вибіркового спостереження - отримати правильну уяву про показники генеральної сукупності на основі вивчення вибіркової сукупності. Графічне зображення рядів розподілу (як і статистичних даних взагалі), крім досягнення наочності, переслідує й аналітичну мету. Графік дозволяє в найбільш простій і доступній формі піддати аналізу (візуально) статистичний ряд розподілу. Варіаційні ряди залежно від виду і поставленої задачі їх аналізу графічно можуть бути зображені у виді полігону, гістограми, кумуляти, огіви. Полігон розподілу будується в прямокутній системі координат, при цьому на осі абсцис відкладається варіанта, а на осі ординат -частота або частість. За допомогою полігону розподілу, як правило, графічно зображуються дискретні варіаційні ряди (рис. 3, табл. 20). При побудові полігону для інтервальних рядів розподілу ордината, яка відповідає частоті (частості) встановлюється перпендикулярно осі абсцис у точці, що відповідає центру інтервалу. Емпірична функція розподілу - це функція розподілу реалізації випадкової величини, яку будують за результатами вимірювань (спостережень). Нехай маємо випадкову величину , де n - загальна кількість спостережень. Через позначимо випадкову величину, яка дорівнює кількості елементів вибірки значення яких менше x. Тоді емпірична функція розподілу буде задаватись як . Для побудови таблиці значень емпіричної функції розподілу використовують такий метод. Спочатку всі результати спостережень впорядковують за зростанням й визначають їх ранги (порядкові номера в отриманої послідовності). Потім кожному спостереженню приводять у відповідність число . Розрахунок середніх величин рядів розподілуСередні величини розраховуються, як правило, для отримання узагальнених кількісних характеристик рівня певної варіаційної ознаки за сукупністю однорідних основних властивостей одиниць конкретного явища або процесу. У статистиці всі середні величини позначаються як . Існує кілька видів середніх величин. Основною середньою величиною є середня степенева. Вона має такий вигляд: — змінна величина ознаки варіанти, — показник степеня середньої, — кількість ознак чи варіант. В залежності від значення показника степеня середньої, вона приймає наступний вид:
;
. Розрахунок моди й медіаниОсобливим видом середніх величин, що стосуються рядів розподілу, є структурні середні. Вони застосовуються для вивчення внутрішньої будови й структури рядів розподілу значень ознаки. До структурних середніх величин зокрема належать мода й медіана. — величина модального інтервалу (визначається за найбільшою з частот модальних інтервалів), , , — частоти поточного, попереднього й наступного модальних інтервалів. Медіана — варіанта, що перебуває в середині ряду розподілу. Вона ділить ряд на дві рівні (за числом одиниць) частини: зі значеннями ознаки, меншими за медіану, та зі значеннями ознаки, більшими за медіану. — величина медіанного інтервалу, — півсума частот ряду, — сума накопичених позаду медіанного інтералу частот, — частота власне медіанного інтервалу. Мода й медіана мають досить велике значення в статистиці й широке застосування. Мода є саме тим числом, яке в дійсності зустрічається найчастіше. Медіана має важливі властивості для аналізу явищ: вона виявляє типові риси індивідуальних ознак явища, враховує вплив крайніх значень сукупності. Медіана знаходить практичне застосування в маркетинговій діяльності внаслідок особливої властивості — сума абсолютних відхилень чисел ряду від медіани є найменшою величиною: Як правило, мода й медіана відрізняються від значення середньої. Але у випадку симетричного розташування частот варіаційного ряду значення цих трьох величин можуть збігатися. Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання Для дискретної випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою для неперервної знаходять інтегруванням Якщо неперервна величина задана на інтервалі то дисперсія рівна інтегралу зі сталими межами інтегрування Дисперсія та середнє квадратичне відхиленняМатематичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню математичного сподівання може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень. Наприклад. Закони розподілу двох випадкових величин і задані таблицями: Обчислити математичне сподівання і Розв'язання. Знаходимо математичне сподівання за формулами Отримали, що для двох різних законів розподілу математичні сподівання приймають однакові значення (0), при цьому можливі значення для випадкових величин і різняться. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань випадкові величини і мають тенденцію до коливань відносно та причому має більший розмах розсіювання відносно порівняно з випадковою величиною відносно . Тому математичне сподівання ще називаютьцентром розсіювання. Для визначення розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією. Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини завжди дорівнює нулю. В цьому легко переконатися із наступного співвідношення Таки чином, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини. Точкові оцінки для математичного сподівання, дисперсії, асиметрії та ексцесуДля вибірки обсягом N маємо незміщені оцінки математичного сподівання (арифметичного середнього), дисперсії, асиметрії, та ексцесу, відповідно: ; (5.4) ; (5.5) ; . (5.6) Оцінка дисперсії є незміщеною; на відміну від формули, що визначає дисперсію, як середньоквадратичне відхиленнявід середнього, тут суму ділимо на (N – 1) замість N. Кореляційно регресійний аналіз http://pidruchniki.ws/11570718/statistika/korelyatsiyno-regresiyniy_analiz Станда́ртне відхи́лення (англ. standard deviation) або середнє квадратичне відхилення, позначається як S або σ. — у теорії ймовірності і статистиці найпоширеніший показник розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання. Вимірюється в одиницях виміру самої випадкової величини. По суті, якщо взяти прикладні задачі, то стандартне відхилення — це найбільш використовуваний індикатор мінливості об'єкта, що показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середньої величини ОбчисленняСередньоквадратичне відхилення — дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини: Відповідно до формул з обчислення дисперсії:
при невеликій вибірці (n<=40—-50)[1] вводиться поправка Бесселя: де:
Інтервальною оцінкою називають оцінку, що визначається двома числами – кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють визначити точність і надійність точкових оцінок. |