Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению
плоскости и уравнениям прямой
1038. Доказать, что прямая
х=3t — 2, у = — 4t+1, z = 4t —5
параллельна плоскости 4х — 3у — 6z — 5 = 0.
1039. Доказать, что прямая
лежит в плоскости 4х — Зу + 7z — 7 = 0.
1040. Найти точку пересечения прямой и плоскости:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
1041. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
М0 (2; -4; -1) и середину отрезка прямой
заключённого между плоскостями
, ,
1042. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М0 (2; — 3; — 5) перпендикулярно к плоскости 6х — Зу — 5z + 2 = 0.
1043. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1; —1; —1) перпендикулярно к прямой
,
1044. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (1; —2; 1) перпендикулярно к прямой
1045. При каком значении т прямая
,
параллельна плоскости
х — Зу + 6z + 7 = 0?
1046. При каком значении С прямая
параллельна плоскости
2x—у + Сz —2 = 0?
1047. При каких значениях А и D прямая
х=3 + 4t, у=1— 4t, z = —3 +t
лежит в плоскости
Ах + 2у— 4z + D = 0?
1048. При каких значениях А и В плоскость
Ах + Ву + Зz — 5 = 0
перпендикулярна к прямой
х = 3 + 2t, у = 5 —3t, z = — 2 — 2t?
1049. При каких значениях t и С прямая
перпендикулярна к плоскости
Зх — 2у + Сz+1=0?
1050. Найти проекцию точки Р(2; — 1; 3) на прямую
х=3t, , у=5t— 7, z = 2t + 2.
1051. Найти точку Q, симметричную точке Р(4; 1; 6) отно сительно прямой
1052. Найти точку Q, симметричную точке Р(2; —5; 7) отно сительно прямой, проходящей через точки M1 (5; 4; 6) и М2 (— 2; —17; —8).
1053. Найти проекцию точки Р(5; 2; —1) на плоскость
2x-y+3z+23=0.
1054. Найти точку Q, симметричную точке Р(1; 3; —4) отно сительно плоскости
Зх+у — 2z = 0.
1055. На плоскости Оху найти такую точку Р, сумма расстоя ний которой до точек А(—1; 2; 5) и В (11; —16; 10) была бы наименьшей.
1056. На плоскости Oxz найти такую точку Р, разность рас стояний которой до точек M1 (3; 2; —5) и М2(8; —4; — 13) была бы наибольшей.
1057. На плоскости
2х — Зу + Зz— 17 = 0
найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А (3; — 4; 7) и В(—5; —14; 17) была бы наименьшей.
1058. На плоскости
2х + 3у —4z—15 = 0
найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек M1 (5; 2; —7) и M2(7; —25; 10) была бы наибольшей.
1059. Точка М(х; у; г) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0 (15; — 24; —16) со скоростью υ=12 в направлении вектора s = {—2; 2; 1}. Убедившись, что траектория точки М пересекает плоскость Зх + 4у +7z — 17 = 0, найти:
1) точку Р их пересечения;
2) время, затраченное на движение точки М от M0 до Р;
3) длину отрезка М0Р.
1060. Точка М (х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0 (28; —30; —27) со скоростью υ=12,5 по перпендикуляру, опущенному из точки М0 на плоскость 15х—16у—122+26=0. Составить уравнения движения точки М и определить:
1) точку Р пересечения ей траектории с этой плоскостью;
2) время, затраченное на движение точки М от М0 до Р;
3) длину отрезка М0Р.
1061. Точка М(х; у; z) движется прямолинейно и равномерно из начального положения М0(11—21; 20) в направлении вектора s = {—1; 2; —2} со скоростью υ=12. Определить, за какое время она пройдёт отрезок своей траектории, заключённый между параллельными плоскостями:
2х+3у + 5z —41=0, 2х + 3у+ 5z+31 =0.
1062. Вычислить расстояние d точки Р(1; —1; —2) от прямой
1063. Вычислить расстояние d от точки Р(2; 3; — 1) до следую щих прямых:
1) ;
2) x-1+1; y=t+2, z=4t+13;
3)
1064. Убедившись, что прямые
параллельны, вычислить расстояние d между ними.
1065. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1(1; 2; —3) параллельно прямым
,
1066. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (х0; у0; z0) параллельно прямым
,
может быть представлено в следующем виде:
=0
1067. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки М1 (х1; у1; z1 ) и М2 (х2; у2; z2) параллельно прямой
может быть представлено в следующем виде:
=0
1068. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x= — x=2t+1; y=-3t+2; z=2t-3
и точку M1 (2; —2; 1).
1069. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую
х = х0 + lt, у=у0 +mt, z = z0 +nt
и точку М1 (х1; у1; z1 ), может быть представлено в следующем виде:
=0
1070. Доказать, что прямые
и x=3е+7, y=2t+2; z=-2t+1
лежат в одной плоскости, и составить уравнение этой плоскости.
1071. Доказать, что если две прямые
,
пересекаются, то уравнение плоскости, в коюрой они лежат, может быть представлено в следующем виде:
=0
1072. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
, .
1073. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые
х = а1 + lt, y = b1+ mt, z = cl+nt
и
х = a2 + lt, у = b2 + mt, z = с2 + nt,
может быть представлено в следующем виде:
=0
1074. Найти проекцию точки С(3; —4; —2) на плоскость, про ходящую через параллельные прямые
, .
1075. Найти точку Q, симметричную точке Р(3; —4; —6) относительно плоскости, проходящей через М1 (—6; 1; —5), М2 (7; —2; —1) и М1 (10; —7; 1).
1076. Найти точку Q, симметричную точке Р(—3; 2; 5) отно сительно плоскости, проходящей через прямые
1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
х=3t+1, у = 2t + 3, z = —t —2
параллельно прямой
1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой
x = x0 +lt, у = y0 +mt, z =z0 + nt,
может быть представлено в следующем виде:
=0
1079. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно к плоскости Зх + 2у — z — 5 = 0.
1080. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через прямую
x = x0 +lt, у = y0 +mt, z =z0 + nt,
перпендикулярно к плоскости
Ах + Ву + Сz +D = 0
может быть представлено в следующем виде:
=0
1081. Составить канонические уравнения прямой, которая про ходит через точку М0(3; —2; —4) параллельно плоскости
Зх — 2у — 3z — 7 = 0
и пересекает прямую
1082. Составить параметрические уравнения прямой, которая проходит параллельно плоскостям
Зх+12у — Зz — 5 = 0, Зх — 4у + 9z + 7 = 0
и пересекает прямые
;
1083. Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:
1) ;
2) х=2t — 4; y= — t+4;, z= — 2t- 1
х=- 4t — 5; y= — 3t+5; z= — 5t+5
3) ; х=6t+9; y= —2 t; z= — t+2;