тема отсчета. 2.2
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Курс физики. Часть I: Механика PAGE 37
Лекция 2. Динамика
материальной точки
План лекции
2.1. Первый закон Ньютона. Инерциальная система отсчета.
2.2. Масса. Импульс. Закон сохранения импульса.
2.3. Сила. Второй и третий законы Ньютона.
2.4. Сила трения.
2.5. Сила упругости.
2.6. Сила тяготения.
2.1. Первый закон Ньютона.
Инерциальная система отсчета
Как уже отмечалось выше, динамика как раздел классической механики изучает движение тел в зависимости от приложенных к ним сил. В основе динамики лежат три закона Ньютона.
В качестве первого закона Ньютона принят закон инерции, открытый Галилеем, который формулируется следующим образом: если на материальное тело не действуют никакие силы или действие сил скомпенсировано, то тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно. Такое движение называется свободным или движением по инерции, а материальное тело – свободным. Строго говоря, свободных тел не существует, возможно лишь свести внешнее воздействие к минимальному.
Так как движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета, то закон инерции (первый закон Ньютона) также зависит от выбора системы отсчета. Если в системе, движущейся без ускорения, закон инерции выполняется, то в системе, движущейся с ускорением, – не выполняется.
Классическая механика постулирует, что существуют системы отсчета, в которых все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такие системы называются инерциальными. Инерциальность системы определяется опытным путем. Так, система отсчета, связанная с Землей, не инерциальная по отношению к звездам, а систему отсчета, связанную с Солнцем (гелиоцентрическая система), можно считать практически инерциальной по отношению к ним. Ускорение, с которым движется система, связанная с Землей, относительно гелиоцентрической системы мало. Поэтому во многих случаях систему, связанную с Землей, можно считать инерциальной.
2.2. Масса. Импульс.
Закон сохранения импульса
Движущаяся материальная точка характеризуется импульсом (количеством движения). Вектор импульса материальной точки сонаправлен вектору скорости, а величина импульса пропорциональна величине скорости. Коэффициент пропорциональности является величиной постоянной для данной точки, называется массой и обозначается m.
(2.1)
Масса характеризует инерционные свойства тела, то есть является мерой инертности. Напомним, что инерция – явление сохранения состояния движения или покоя, а инертность – свойство тел сохранять такое состояние.
Для замкнутой системы, т.е. для системы, где материальные точки взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют с окружающими телами, полный импульс остается величиной неизменной.
(2.2)
Выражение (2.2) представляет собой закон сохранения импульса. Иными словами: в замкнутой системе сумма импульсов тел до взаимодействия равна сумме импульсов этих же тел после взаимодействия.
Рассмотрим применение закона сохранения импульса для двух тел с массами m1 и m2, движущихся навстречу друг другу со скоростями и . После столкновения скорости этих же тел – и , соответственно. По закону сохранения импульса
(2.3)
или
(2.4)
Учитывая, что и , получаем
(2.5)
2.3. Сила.
Второй и третий законы Ньютона
При взаимодействии материальной точки с внешними телами ее импульс со временем изменяется. За меру изменения импульса принимается величина , называемая силой. Сила есть мера механического воздействия на материальную точку (или материальное тело) со стороны других тел или полей, в результате чего точка (тело) получает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
, (2.6)
следовательно
. (2.7)
Сила, действующая на материальную точку, равна произведению массы этой точки на ускорение, которое вызвано действием этой силы. Это утверждение носит название второго закона Ньютона.
Сила вызывает изменение скорости или деформацию. В окружающем нас мире действуют силы различной природы. Изучая механику, мы будем рассматривать три вида сил: силы трения, силы упругости и силы тяготения. Более подробно речь об этих силах пойдет чуть позже. Пространство, где действуют силы, называется силовым полем.
Большое значение в механике имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку воздействует одновременно несколько сил , то каждая из них сообщает этой материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто другие силы не действуют. Результирующее ускорение определяется как векторная сумма ускорений, полученных в результате действия каждой отдельно взятой из приложенных к точке сил . Другими словами, результирующее ускорение вызывается действием результирующей силы, определяемой как векторная сумма отдельных сил, действующих на эту точку .
Второй закон Ньютона иначе называют основным законом динамики поступательного движения. Он объединяет первый и третий законы.
Из уравнения видно, что если , то = 0. Это и есть первый закон Ньютона.
Рассмотрим, как получается третий закон Ньютона.
По закону сохранения импульса (см. формулу (2.2))
Продифференцировав это уравнение по времени t, получим
,
следовательно
(2.8)
Для двух тел
или (2.9)
Выражение (2.9) и представляет собой третий закон Ньютона: всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия – силы, с которыми взаимодействуют материальные точки, равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.
2.4. Сила трения
При движении тела по горизонтальной поверхности на него действует сила, препятствующая движению, – сила трения, т.е. сила сопротивления, направленная в сторону, противоположную перемещению.
Различают трение внутреннее (жидкое или вязкое) и внешнее.
Внутренним трением называется трение, возникающее между частями одного и того же тела, например, между слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. Пусть между плоскостями I и II вязкая среда. Если плоскость I движется относительно плоскости II со скоростью (рис. 2.1), то
(2.10)
где Fтр – тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоев вязкой среды друг относительно друга; – коэффициент динамической вязкости или вязкость; S – площадь плоскости I; – градиент скорости – быстрота изменения скорости от слоя к слою, т.е. в направлении, перпендикулярном движению, иначе – скорость сдвига. Величина имеет размерность:
= Па·с. (2.11)
Рис. 2.1 Рис. 2.2
Внешнее трение возникает в плоскости соприкосновения двух тел (рис. 2.2).
Если соприкасающиеся тела неподвижны, то в момент начала движения возникающее между телами трение называется трением покоя. Сила трения покоя – это максимальная сила, необходимая, чтобы привести в движение одно тело относительно другого. Тогда
Fтр = μ0 N, (2.12)
где μ0 – коэффициент трения покоя; N – сила нормального давления.
При движении одного тела по поверхности другого возникает трение скольжения:
Fтр = μ N, (2.13)
где μ – коэффициент трения скольжения;
μ < μ0, т.е. сила трения покоя больше силы трения скольжения.
Для определения коэффициента трения используется наклонная плоскость (рис. 2.3). Угол наклонной плоскости увеличивают до тех пор, пока тело не начнет скатываться по плоскости. В этом случае сила трения будет равна скатывающей силе :
, т.е. ,
откуда
(2.14)
Одним из видов внешнего трения является трение качения, которое проявляется, когда тело катится по опоре (рис. 2.4). Оно значительно меньше трения скольжения k << . При этом сила трения
(2.15)
где k – коэффициент трения качения; P – вес катка (численно равный силе тяжести mg); r – радиус тела.
Из формулы (2.15) видно, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.
Трение играет большую роль в природе и технике, в некоторых случаях – положительную, и его стремятся увеличить (например, из-
готовление автомобильных шин со специальным рисунком протектора, увеличивающим трение между колесами и поверхностью дорожного покрытия, посыпание песком дорог во время гололеда). Но иногда приходится бороться с негативными проявлениями, вызываемыми трением, с помощью смазок. В этом случае используется тот факт, что внутреннее трение, возникающее между слоями жидкости, значительно меньше внешнего трения, возникающего между частями твердых тел. Другой способ уменьшить внешнее трение – заменить трение скольжения трением качения, применяя шариковые и роликовые подшипники и т.д.
2.5. Сила упругости
Как уже было отмечено выше, сила вызывает либо ускорение, либо деформацию тела. Деформация – это всякое изменение размеров или формы тела под действием внешних сил. Если после прекращения действия сил деформация исчезает, она называется упругой. Если же после прекращения действия сил деформация сохраняется, она называется пластической.
Различают следующие виды деформации: всесторонние растяжение или сжатие, сдвиг, кручение.
Рассмотрим однородный стержень длиной , диаметром d и площадью поперечного сечения S, к концу которого приложена сила F (рис. 2.5). Под действием силы F длина стержня увеличивается на величину , а диаметр уменьшается на ∆d. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением и обозначается .
(2.17)
Количественной мерой деформации является относительная деформация. При продольном растяжении (сжатии) относительная продольная деформация
(2.18)
где – абсолютная деформация (изменение длины).
При продольном растяжении (сжатии) происходит поперечное сжатие (растяжение)
(2.19)
где – относительная поперечная деформация; ∆d – абсолютная деформация (изменение диаметра); имеют разные знаки, так как при растяжении
длина стержня увеличивается ( > 0), а диаметр уменьшается (∆d < 0) и, наоборот, при сжатии.
(2.20)
где – коэффициент Пуассона1.
Английский ученый Р. Гук2 экспериментально установил, что для малых деформаций напряжение прямо пропорционально относительному удлинению :
(2.21)
где Е – модуль Юнга3.
Если = 1 , то Е = . Другими словами, модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице (т.е. ). Модуль Юнга – теоретическая величина, так как нет материала (кроме резины), который мог бы удлиняться в 2 раза без разрыва.
Подставляя в формулу (2.21) и , получим
(2.22)
где – коэффициент упругости.
Закон Гука приобретает вид
(2.23)
Деформация подчиняется закону Гука до известного предела.
Из рис. 2.6 видно, что линейная зависимость соответствует участку оa (деформация на этом участке упругая); участок ab соответствует пластической деформации, а od – остаточной деформации. Значение , при котором тело разрушается, называется пределом прочности. Если предел упругости совпадает с пределом прочности, тело называется хрупким.
2.6. Сила тяготения
Ньютон, изучая движения планет на основании законов Кеплера4 и законов динамики, установил закон всемирного тяготения. Этот закон сначала был сформулирован для планет, которые рассматривались как материальные точки по сравнению с расстоянием между ними, и в дальнейшем обобщен на любые тела. Закон всемирного тяготения формулируется следующим образом: две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс этих точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
(2.24)
где F – сила всемирного тяготения (или гравитационная сила); m1 и m2 – массы материальных точек; r – расстояние между точками.
Коэффициент пропорциональности G – гравитационная постоянная, которая определяется опытным путем и равна 6,6745 · 10 11 м³/кгс2. Так, два точечных тела массой 1 кг, находящиеся на расстоянии 1 м, притягиваются друг к другу с силой 6,6745 · 10 11 Н.
В векторном виде закон всемирного тяготения выглядит следующим образом
(2.25)
Согласно этому закону, на любое тело массой m, находящееся вблизи Земли, действует сила тяготения, которая по второму закону Ньютона придает ему ускорение свободного падения g:
(2.26)
где – сила тяжести.
Если пренебречь вращением Земли, для тела, находящегося на земной поверхности,
(2.27)
а в векторной форме
(2.28)
где M – масса Земли; R – радиус Земли.
Из формулы (2.27) видно, что
(2.29)
Если тело находится на высоте h (r = R + h), то
(2.30)
В результате действия силы тяготения (а также действия других сил) тело действует на опору или подвес с силой, которая называется вес тела и обозначается . Следует различать вес тела и силу тяжести. Вес тела проявляется в случае, когда тело движется с ускорением, имеющим вертикальную составляющую. В общем случае вес тела может быть вычислен по формуле
. (2.31)
Если вертикальная составляющая ускорения направлена вниз (сонаправлена вектору ускорения свободного падения), вес тела уменьшается и в предельном случае, когда a = g, вес тела становится равным нулю и наступает состояние невесомости.
Если вертикальная составляющая ускорения направлена вверх (противоположно вектору ускорения свободного падения), вес тела увеличивается и тело испытывает перегрузки.
Гравитационное взаимодействие осуществляется через поле тяготения (или гравитационное поле). Силовой характеристикой поля является напряженность Е. Напряженность поля Е численно равна отношению силы тяготения F к массе тела m:
. (2.32)
Согласно второму закону Ньютона равно ускорению a. Тогда для поля тяготения
(2.33)
Напряженность гравитационного поля – векторная величина и направлена в ту же сторону, что и сила тяготения .
Ускорение g, как и напряженность Е, не зависит от массы тела, поэтому все тела падают в поле силы тяжести с одинаковым ускорением g.
К началу
К следующей лекции К содержанию
К титулу
1 С. Пуассон (1781–1840) – французский математик, механик и физик.
2 Р. Гук (1635–1703) – английский естествоиспытатель.
3 Т. Юнг (1773–1829) – английский физик.
4 И. Кеплер (1571–1630) – немецкий астроном.
PAGE 36 Лекция 2. Динамика материальной точки
2. Тема- Личные местоимения
3. Социология как наука
4. домоводство oikos ~ дом хозяйство; nomos ~ учение закон
5. С детства Ваня прислуживал в храме уже в возрасте шести лет был пономарём затем исполнял обязанности иподь1
6. Команда 1 2
7. Муковисцидоз
8. Плаун булавовидный
9. Ранее значиггельные усилия союзного центра были направдены на сглаживание различий между регионами прежде
10. тематик и физик один из величайших умов 17 столетия
11. Аксаков Детские годы Багрова-внука
12. доцент Багинская С
13. 2013 р Робоча програма дисципліни ldquo;Міжнародна економікаrdquo; для студентів освітньоква
14. 2013 з-п П
15. Тема- Дослідження характеристик транспортного потоку на нерегульованих перехрестях
16. ДНЕПРОПЕТРОВСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ УКРАИНЫ.
17. тема предназначена для создания единого информационного пространства территориальных систем здравоохранен
18. Психолого-педагогическое сопровождение учебно-воспитательного процесса
19. правовой специализации Издательство БГУЭП 2005 Печатается п
20. Дальневосточный федеральный университет ФИЛИАЛ ДВФУ В Г