Определение функции основные понятия Определение

Работа добавлена на сайт samzan.net:

PAGE \* MERGEFORMAT 15

EMBED Visio.Drawing.6

ГЛАВА 3. ФУНКЦИи одной переменной

3.1. Определение функции, основные понятия

Определение. Пусть и Y – некоторые числовые множества. Функцией называется множество упорядоченных пар чисел таких, что , т.е. каждому числу соответствует единственное число .

Другими словами, функция есть закон (правило), по которому каждому числу x из множества X поставлено в соответствие число y из множества Y и при том единственное. Обозначение: . Число называется значением функции в точке . Переменную называют зависимой переменной, а переменную – независимой переменной (или аргументом). Множество – областью определения (или существования) функции, а множество - множеством значений функции.

Кроме буквы для обозначений функций используют другие буквы латинского и греческого алфавитов, например , , , , и т. д. Другими буквами обозначают зависимую и независимую переменные. Зависимую переменную также называют функцией.

Пусть на некотором множестве определена функция , тогда значение этой функции, соответствующее некоторому значению аргумента , обозначится . Например, если , то ,

и т.д.

Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянная функция часто обозначается буквой

Функция f(х), определенной на некотором множестве X, называется ограниченой сверху (снизу) на этом множестве, если существует число такое, что для любого выполняется неравенство : . Функция, ограниченная сверху и снизу на множестве, называется ограниченной на этом множестве. Условие ограниченности функции можно записать в следующем виде: существует число такое, что для любого выполняется неравенство , т.е.

Например, функция ограничена на всей числовой прямой, так как при любом . Функция не является ограниченной сверху на интервале так как не существует числа такого, что для любого выполняется неравенство .

Над функциями можно производить различные арифметические операции. Если даны две функции и , определенные на одном и том же множестве , а – некоторое число, то функция определяется как функция, принимающая в каждой точке значение ; функция – как функция, принимающая в каждой точке значение ; – как функция, принимающая в каждой точке значение ; – как функция, принимающая в каждой точке значение (при ).

На плоскости функцию изображают в виде графика функции, т.е. множества точек , координаты которых связаны соотношением .

График функции может представлять собой некоторую «сплошную» линию (кривую или прямую) и может состоять из отдельных точек, например график функции (рис.1).

Заметим, что не всякая линия является графиком какой-либо функции. Например, окружность не есть график функции, так как каждое входит не в одну, а в две пары чисел этого множества с разными значениями и , что противоречит требованию однозначности в определении функции (рис.2). Однако часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, является графиком функции , а другая ее часть, лежащая в верхней полуплоскости, – графиком функции .

Задать функцию значит указать, как по каждому значению аргумента находить соответствующее ему значение функции . Существуют четыре основных способа задания функций: аналитический, табличный, графический, компьютерный.

Аналитический способ. Этот способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие и в каком порядке действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. Рассмотрим примеры.

Примеры.

1. Формула задает функцию, область определения которой – числовая прямая , а множество значений – полупрямая (рис. 3, ).

2. Формула задает функцию, областью определения которой является отрезок , а множеством значений – отрезок (рис.3, б).

3.Функция читается как сигнум икс,

задана с помощью нескольких формул. Она определена на всей числовой прямой , а множество ее значений состоит из трех чисел: –1, 0 и +1 (рис.4).

Табличный способ. Приведем следующую таблицу:

x	0	0,1	0,2	3	0,6	4	0,8	1,5	2
y	-1	10	1	-2	-8	0,5	-2	5	7

Поставим в соответствие каждому , записанному в первой строке таблицы, число , стоящее во второй строке под этим числом , и будем говорить, что полученная функция задана таблицей. Областью определения данной функции является множество, состоящее из девяти чисел , указанных в первой строке таблицы, а множеством ее значений – множество, состоящее из девяти чисел , приведенных во второй ее строке. С помощью таблицы можно задать функцию только при конечном числе значений аргумента.

Табличный способ часто используют для задания функций. Так, хорошо известны, например, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и др. Примером табличного способа задания функции служит расписание движения поезда, которое определяет местоположение поезда в отдельные моменты времени.

Графический способ. Графический способ задания функции обычно используют в практике физических измерений, когда соответствие между переменными и задается с помощью графика. Такая операция обычно называется «снятием» значений с графика. Во многих случаях графики чертят самопишущие приборы. Например, для измерения давления атмосферы на различных высотах используют специальный самопишущий прибор – барограф, который записывает на движущейся ленте в виде кривой линии изменение давления в зависимости от высоты.

Компьютерный способ. Это способ задания функции как программы для компьютера, что позволяет использовать ее как инструмент для проведения расчетов.

Определение. Если на некотором множестве определена функция с множеством значений , а на множестве – функция , то функция называется сложной функцией от или суперпозицией (иногда композицией) функций и , а переменная – промежуточной переменной сложной функции.

Например, функция – сложная функция, определенная на всей числовой прямой, так как .

Определение. Пусть и – некоторые множества и пусть задана функция , т. е. множество пар чисел , причем каждое число входит в одну и только одну пару, и каждое число входит только в одну пару. Если в каждой паре этого множества числа и поменять местами, то получим множество пар чисел , которое называется обратной функцией к функции . Обратную функцию будем обозначать символом .

Основными элементарными функциями называются следующие функции: постоянная функция, , степенная функция ( – любое число), показательная функция , логарифмическая функция, тригонометрические функции , , , и обратные тригонометрические функции , , , .

Эти функции играют важную роль в раскрытии основных понятий анализа и составляют базу для изучения более сложных функций. Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций.

Примерами элементарных функций являются ; ; и т.д.

Имеет место следующая классификация элементарных функций:

• Функция вида

где – целое число, – любые числа – коэффициенты , называется целой рациональной функцией или многочленом степени . Многочлен первой степени называется также линейной функцией.

• Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций

называется дробно-рациональной функцией.

Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует класс рациональных функций.

• Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями и не являющаяся рациональной, называется иррациональной.

Например, , , и т.д. – иррациональные функции.

• Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной функцией. Это, например, функции и т. д.

3.2. Предел функции

Определение. Пусть функция определена на некотором промежутке и пусть точка или . Возьмем из множества последовательность точек , отличных от , т.е. сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность и можно говорить о существовании ее предела.

Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента , отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

Символически это записывается так:

Функция может иметь в точке только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

Примеры.

1. Функция имеет предел в каждой точке числовой прямой, равный . В самом деле, если любая последовательность, сходящаяся к , то последовательность имеет вид т. е. . Отсюда заключаем, что при или .

2. Функция имеет в любой точке числовой прямой предел, равный . В этом случае последовательности и тождественны,

т. е. . Следовательно, если , то при или .

3. Показать, что функция (рис. 5), определенная для всех , в точке не имеет предела.

Решение. Действительно, возьмем две последовательности значений аргумента

сходящиеся к нулю. Соответствующими последовательностями значений функции являются

Так как при любом , а , то для первой последовательности , а для второй последовательности .

Таким образом, для двух сходящихся к нулю последовательностей значений аргумента соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы. А это, по определению предела функции, и означает, что не существует.

4. Показать, что функция имеет в точке предел, равный 1.

Решение. Действительно, возьмем любую последовательность значений аргумента , сходящуюся к нулю, т. е. и , тогда имеем

(при этом , так как при рассматриваемая функция не определена). Таким образом, существует и, так как он не зависит от выбора последовательности , сходящейся к нулю, то на основании определения предела функции заключаем, что .

Односторонние пределы. В дальнейшем будем использовать понятие односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность сходится к . Обозначение:

В качестве примера рассмотрим функцию . Эта функция имеет в точке правый и левый пределы:

, .

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Примеры.

1. Доказать, что функция в точке не имеет предела.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой. При функция задается формулой . Так как предел функции в точке равен нулю (доказать самостоятельно), то, по теореме , левый предел данной функции в этой точке также равен нулю, т. е.

Аналогично доказывается, что правый предел данной функции в точке равен 1, т. е. . Следовательно, в точке данная функция имеет правый и левый пределы, но они не равны. Это и означает, что данная функция в точке предела не имеет, т.е. и не существует.

2. Доказать, что функция в точке имеет предел.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки . Вычислим в точке односторонние пределы функции . Имеем , так как ; . Следовательно, в точке данная функция имеет правый и левый пределы и они равны. Согласно теореме , это означает, что данная функция в точке имеет предел и он равен нулю, т.е.

Пределы функции на бесконечности. Кроме рассмотренных понятий предела функций при и односторонних пределов, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение . Число А называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначение: .

Определение. Число А называется пределом функции при (, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначение: .

Примеры.

1. Пусть Эта функция при имеет предел, равный нулю. Действительно, если – бесконечно большая последовательность значений аргумента, то соответствующая последовательность значений функции по теореме является бесконечно малой и поэтому имеет предел, равный нулю, т.е. .

2. Доказать, что функция sin x не имеет предела при .

Решение. Докажем, что эта функция не удовлетворяет опред. 8. Для этого укажем такую бесконечно большую последовательность значений аргумента, элементы которой положительны, что последовательность значений функций расходится.

Положим . Тогда при , последовательность принимает значения , а последовательность расходится, что и требовалось доказать.

Арифметические свойства пределов функции. Определение предела функции дает возможность перенести доказанные ранее теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема (об арифметических операциях) Пусть функции и имеют в точке пределы B и С. Тогда функции, и (при C) имеют в точке х пределы, равные соответственно и .

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. где f(x)=C-постоянный множитель.

Теорема (сравнения). Пусть функции , и определены в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки , и функции, имеют в точке предел, равный А, т. е. Пусть, кроме того, выполняются неравенства Тогда

Замечание. Теоремы верны также и в случае, когда является одним из символов или .

Примеры.

1. Найти

Решение. На основании теоремы (предел суммы и произведения) имеем

так как .

2. Найти

Решение. Предел числителя

а предел знаменателя

Так как предел знаменателя не равен нулю, то, применяя теорему (предел частного), окончательно получаем

3. Доказать, что .

Решение. Пусть . Возьмем дугу окружности единичного радиуса и угол, радианная мера которого равна х (рис.6). Тогда , . Так как то ,

а так как , то из неравенств и теоремы сравнения следует, что .

Аналогично,

15. Доказать, что .

Решение. Для любого выполняются неравенства

Имеем так как (докажите это самостоятельно). По теореме сравнения получаем, что

Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке (или при ), если

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке (или при ), если сходящейся к соответствующая последовательность является бесконечно большой.

Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при

Отметим, что между бесконечно малым и бесконечно большими функциями существует такая же связь, как и между соответствующими последовательностями, т.е. функция, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот.

Специальные пределы. Первый специальный предел:

.

Доказательство аналогичное примеру 15.

Второй специальный предел:

.

Третий специальный предел:

Примеры.

1.Найти

Решение. Знаменатель дроби при стремится к нулю. Поэтому теорема об арифметических операциях здесь неприменима. Для нахождения предела преобразуем данную дробь:

2. Найти

Решение. Имеем

3. Найти

Решение. Имеем

4. Найти

Решение. Положим . Тогда при и . Следовательно,

Вычисление пределов функций. Мы познакомились с понятием предела функции при , , , , и , с непосредственным применением теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух функций и , имеющих конечные пределы, для вычисления пределов и т. д. Осталось рассмотреть те случаи вычисления пределов, которые не охватываются рассмотренными ранее способами.

Будем говорить, что отношение двух функций есть неопределенность вида или , если числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при , и . В этих случаях о пределе отношения ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать. Раскрыть эти неопределенности – значит вычислить предел отношения , если он существует, или установить, что он не существует. На конкретных примерах посмотрим, как это делается.

Примеры.

1. Найти .

Решение. Непосредственно теорему о пределе частного применить нельзя, так как предел знаменателя при равен нулю. Здесь и предел числителя при также равен нулю. Следовательно, имеем неопределенность вида . Необходимо, как говорят раскрыть эту неопределенность. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в определении предела функции при значение функции в точке не выходит. Получаем

Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность раскрыта. Применяя теорему об арифметических операциях над пределами, окончательно находим

При вычислении пределов отношения двух многочленов при , и для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на х в старшей степени; величина дроби от этого не изменится. При этом, если в числителе и знаменателе многочлены одной степени, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или .

2. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему 3.3, получим

3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив на числитель и знаменатель дроби, а затем применив теорему, получим

4. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида. Разделив на числитель и знаменатель дроби, получим

так как при функция имеет предел, равный 1, функция ограниченная (докажите это самостоятельно), функция бесконечно малая (также докажите самостоятельно) и (произведение ограниченной на бесконечно малую), т. е. данная дробь, как обратная, есть бесконечно большая функция при .

Вычисление пределов функции продолжим после того, как рассмотрим понятие непрерывности функции.

3.3. Непрерывность функции

Определение непрерывной функции и точек разрыва. Пусть на некотором промежутке определена функция и точка принадлежит этому промежутку.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

Так как , то определение можно записать в следующем виде:

т.е. для непрерывной функции знаки функции и предела можно переставлять.

Можно дать равносильное определение непрерывности функции «на языке последовательностей»: функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента х: сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к .

Если , то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Сформулируем, наконец, еще одно определение непрерывности функции, которое, по существу, является перефразировкой первого определения. Перенесем в равенстве в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем

Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается, как правило, (читается: «дельта икс»), а разность -приращением функции в точке , вызванным приращением аргумента , и обозначается . Таким образом, , .

Отметим, что является функцией аргумента при фиксированной точке . Геометрический смысл приращений ясен из рис.8. Последнее равенство в новых обозначениях принимает вид

Это соотношение и является еще одним определением непрерывности функции, которое можно сформулировать так.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при .

Теорема. (Арифметические действия над непрерывными функциями). Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , и также непрерывны в этой точке(последняя при ).

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.

Разрывы функции классифицируются следующим образом.

Определение. Пусть определена в окрестности точки , за исключением может быть самой , тогда:

а) точка называется точкой устранимого разрыва, если существует конечный предел в точке , но он не равен значению функции в этой точке, т.е. ;

б) точка называется точкой разрыва I рода, если существуют односторонние (конечные) пределы в точке , но они не равны между собой:

;

в) точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов в точке не существует или равен бесконечности.

Примеры.

1. Функция имеет в точке x=2 устранимый разрыв.

Рис.8.

2. Функция имеет в точке x=0 разрыв 1 рода

Рис.9.

3. . Функция определена всюду, кроме точки . Исследуем эту точку на непрерывность.

, так как ;

В точке x=0 разрыв 1 рода.

Рис.10.

4. Функция в точке x=-1имеет разрыв 2 рода, т.к.

Рис.11.

5. Функция не определена в точке x=1.

, так как ;

, так как .

Рис.12.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Легко проверяется, что все основные элементарные функции непрерывны в своих естественных областях определения. Тогда, из последних двух теорем следует, что все элементарные функции непрерывны в своих естественных областях определения.

Будем говорить, что функция непрерывна в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала; непрерывна на отрезке , если она непрерывна в интервале , и непрерывна в точке справа, а в точке слева, т.е.

, .

После того как мы установили, что элементарные функции обладают свойством непрерывности в каждой точке области их определения, открылись широкие возможности для вычисления пределов элементарных функций.

Примеры. 1. Найти .

Решение. Так как функция непрерывна в точке , т.е. предел функции и ее значение в этой точке равны, то, переходя к пределу, получаем:

2. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке , т.е. не является непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходим к пределу, как в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию тождественно преобразовать так, чтобы она при совпала с некоторой функцией , непрерывной в точке , т.е. найти такую непрерывную функцию , чтобы при или . Для этого умножим числитель дроби на сумму :

Таким образом, при . Но функция непрерывна в точке , поэтому

3. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Функция не определена в точке . Для нахождения предела преобразуем дробь:

При имеем

Но функция непрерывна в точке . Поэтому, переходя к пределу, получаем

При вычислении пределов функции при , и , содержащих радикалы, надо рассматривать арифметическое значение корня при и .

4. Найти: а) ; б) ; в) .

Решение. Во всех случаях имеем неопределенность вида.

а) При имеем , поэтому

б) При имеем , следовательно,

не существует, так как пределы при и при разные.

5. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . При , , поэтому

Будем говорить, что сумма двух бесконечно больших функций разных знаков есть неопределенность вида . Будем также говорить, что произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую есть неопределенность вида . В этих случаях о пределе суммы и произведения ничего определенного сказать нельзя, так как этот предел может быть равен нулю, бесконечности, числу, отличному от нуля, а может и вовсе не существовать.

Примеры.

1. Найти 1) ; 2) .

Решение.

1. Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела умножим и разделим на сумму , в результате получим

Теперь имеем неопределенность вида . Для раскрытия данной неопределенности разделим дробь на , а затем перейдем к пределу. Получаем

;

2. , так как сумма двух положительных бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция (докажите самостоятельно).

Из 1) и 2), в частности, следует, что не существует.

35. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив . Так как , то при новая переменная .Кроме того, если , то . Следовательно,

Получена неопределенность вида. Здесь удобно воспользоваться первым специальным пределом. Для этого преобразуем дробь:

Окончательно имеем

Свойства непрерывных функций. Здесь будут сформулированы важные свойства функций непрерывных в точке и на отрезке.

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует такое, что для всех функция имеет тот же знак, что .(рис.13)

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой . (рис.14).

Теорема имеет простой геометрический смысл: непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости, границей которой является ось , в другую пересекает эту ось (рис.14).

Рассмотрим теорему о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем ,. Пусть, далее, – любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка, что .

Другими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Замечание. Теорема неверна, если отрезок заменить интервалом . Так, например, функция непрерывна на интервале , но не ограничена, так как .

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значение.

Пример.

36. Доказать, что функция

ограничена на отрезке и существуют такие значения , при которых функция принимает на этом наибольшие и наименьшие значения.

Решение. Так как на отрезке функции , , , непрерывны, то, функция непрерывна на этом отрезке. Следовательно, она ограничена на отрезке , и существуют на этом отрезке значения и , в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения.

3.4. Линии на плоскости

Этот параграф представляет собой раздел математики, который называется аналитической геометрией. Аналитическая геометрия является разделом геометрии, в котором геометрические объекты исследуются методом координат. Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии (кривой). Аналитическая геометрия решает две взаимно обратные задачи: по заданным геометрическим свойствам кривой требуется составить ее уравнение в заданной системе координат; по заданному уравнению кривой требуется выяснить ее геометрические свойства (форму).

Пусть на плоскости задана декартовая система координат. Рассмотрим уравнение вида

F(x, y) = 0,

где F(x, y) некоторое выражение, содержащее две переменные.

Такое уравнение определяет (задает) линию L в системе координат Оху. Вообще говоря, линии на координатной плоскости могут быть самыми различными и являются графиками одной или нескольких функций.

Линии первого порядка. К линиям первого порядка относятся те линии, для которых задающее их уравнение содержит переменные x и у только в первой степени. Иными словами, такие линии описываются уравнениями вида

где А, В и С — постоянные числа. В аналитической геометрии доказывается, что это уравнение является уравнением некоторой прямой линии на плоскости, т.е. уравнением, связывающим координаты x и y точек прямой. И наоборот, координаты точек любой прямой на плоскости удовлетворяют такому уравнению. Это уравнение называется общим уравнением прямой.

Из общего уравнения прямой можно выразить переменную у как функцию от аргумента х при В ≠ 0 и получить

Такое уравнение называют уравнением прямой с угловым коэффициентом , где φ — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

Существуют и другие уравнения прямой линии. Во-первых, это уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку М0(x0, у0):

Во- вторых, это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости M1(x1, y1) и М2(х2, у2):

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями и , где и . Пусть — угол между этими прямыми. Тогда и мы получаем или

Эта формула определяет один из углов между пересекающимися прямыми; второй угол равен (рис. 16). Откуда вытекают условия параллельности и перпендикулярности прямых. В самом деле, если прямые параллельны, то

;

а если прямые перпендикулярны, то , откуда , или окончательно

Рис. 16.

Пример.

37. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями у.

Решение. Подставляя в формулу значения k1 = 2 и k2 = -3, имеем

откуда получаем, что один из углов равен .

Имеет место формула расстояния от точки до прямой. Пусть прямая линия задана уравнением общего вида. Тогда расстояние d от произвольной точки М0(x0, y0) до прямой (рис. 17) дается формулой

Рис. 17.

Линии (кривые) второго порядка. К классическим линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1. Окружность. Геометрическое место точек равноудаленных от одной точки, называемой центром, называется окружностью. Расстояние R между центром окружности, т.е. точкой M0(x0,y0) на плоскости, и точками M(x,y) самой кривой называется радиусом окружности.

y M(x,y)

ннн

O x0 x

Рис. 18.

Уравнение окружности, изображенной на рисунке 18, имеет вид:

2. Эллипс. Геометрическое место точек M(x,y), сумма расстояний которых от двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом.

Согласно определению эллипса, сумма расстояний от произвольной точки М на этой линии до его фокусов F1 и F2 постоянна (рис.19):

Рис. 19.

Отсюда можно вывести уравнение эллипса в его канонической форме:

Числа называются полуосями эллипса, , точка O (0,0) — центр эллипса, с — половина расстояния между фокусами эллипса. Из уравнения следует, что оси эллипса являются его осями симметрии, а точка их пересечения — центром его симметрии.

Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет — величина, определяемая отношением

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

На рис. 20 показаны все основные элементы гиперболы. Разность расстояний от произвольной точки М на гиперболе до фокусов F1 и F2, согласно определению, есть величина постоянная:

Рис. 20.

Из этой основной предпосылки выводится каноническое уравнение гиперболы, которое имеет вид

где .

Нетрудно видеть, что прямые являются наклонными асимптотами гиперболы. Гипербола имеет две оси симметрии, точка пересечения которых является центром ее симметрии.

4. Парабола. Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Согласно определению, точка лежит на параболе, если . Отсюда и выводится каноническое уравнение параболы, которое имеет вид

График параболы показан на рис. 21. Нетрудно видеть, что перемена осей координат приводит к более привычному уравнению параболы вида , где А — постоянное число.

Рис. 21.

Нетрудно заметить, что все четыре линии второго порядка содержат в своих уравнениях хотя бы одну переменную во второй степени. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

где – произвольные действительные числа, причем хотя бы одно из чисел или не равно нулю. Уравнение определяет следующие типы кривых:

эллиптического типа, если ;

гиперболического типа, если ;

параболического типа, если

3.5. Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы:

3.1.. 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6.

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18..

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27 3.28.

3.29. 3.30.

3.31. . 3.32. .

3.33. 3.34.

3.35. . 3.36. .

3.37. . 3.38. .

3.39. . 3.40. .

3.41. . 3.42. .

3.43. . 3.44. .

3.45. 3.46.

3.47. 3.48.

3.49. 3.50.

Исследовать на непрерывность следующие функции:

3.51. 3.52.

3.53. 3.54.

3.55. 3.56.

Определить точки разрыва следующих функций:
3.57. 3.58.
3.59. 3.60.

3.61. 3.62.

3.63. Даны две точки: и . Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно вектору .

3.64. Составить уравнение прямой, если точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

3.65. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнения его высот.

3.66. Даны уравнения сторон треугольника , , . Определить точку пересечения его высот.

3.67. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

3.68. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника , , , параллельно противоположным сторонам.

3.69. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат прямоугольной системы Oxy и наклоненной к оси Ox под углом:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.70. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат:

параллельно прямой ;
перпендикулярно прямой ;
образующей угол с прямой ;
наклоненной под углом в к прямой .

3.71. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно: 1) оси абсцисс; 2) биссектрисе координатного угла; 3) прямой .

3.72. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью Ox угол вдвое больше угла, составленного с этой осью прямой .

3.73. Составить уравнение прямой, проходящей через точку на одинаковом расстоянии от точек и .

3.74. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки и .

3.75. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .

3.76. Определить угол  между прямыми:

3.77. Установить, какие из следующих прямых перпендикулярны:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3.78. Даны две противоположные вершины квадрата: и . Составить уравнение его сторон.

3.79. Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения остальных сторон квадрата.

3.80. Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

3.81. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой: 1) ;
2) .

1. Основное содержание деятельности состоит в изменении и преобразовании мира создании того чего нет в прир
2. тема называется замкнутой
3. Кинджальний біль
4. Имущественный налоговый вычет
5. а территории Якутии составляет 31 млн
6. Обзор технической литературы
7. Из истории становления и развития химико-фармацевтической промышленности г Шымкента
8. Реферат- Стиль барокко в русском искусстве, архитектуре, литературе и музыке
9. Модуль 2 Навчальна дисципліна Обчислювальна техніка ЗАВДАННЯ 30 Перемикальна фу
10. 264 с 1 Что нам обещает социология В наши дни частная жизнь нередко представляется чередой ловушек
11. СС СКРЫТЫЕ СЕКСУАЛЬНЫЕ СИГНАЛЫ Книга посвящается тем 967 мужчин которые не умеют знакомиться с девушк
12. Секреты йоги ~ синхронность дыхания и движения Дата проведения- 24 ноября в 13
13. ’ 504 Київ Про утворення Координаційного центру з надання правової допомоги та ліквідацію Цент
14. В ортодонтическом контексте биомеханика широко используется для рассмотрения реакции зубных и лицевых стр
15. Effective solutions to mny of the problems of component wer nd filure encountered in both the engineering nd domestic environment
16. Питер 2005 Фитнесс Поддержание фигуры в приятной глазу форме в последние годы стало большой пробле
17. Психологическая энциклопедия
18. Об оплате командировочных расходов в иностранной валют
19. Реферат- История развития этикета- факты
20. ПРОИЗВОДСТВО Предмет исследования это прежде всего материальное производство

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе