ТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ для студентів напряму 0305 Економіка і підприємництво спеціальності 6030509 Облік і

Работа добавлена на сайт samzan.net:

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

Мамонов К.А., Скоков Б.Г., Чечетова Н.Ф.

НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК

З ДИСЦИПЛІНИ

«ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ»

(для студентів напряму 0305 «Економіка і підприємництво», спеціальності 6030509 «Облік і аудит»)

Харків - 2009

Мамонов К.А., Скоков Б.Г., Чечетова Н.Ф. Навчальний посібник з дисципліни «Економіко-математичне моделювання» (для студентів напряму 0305 «Економіка і підприємництво», спеціальності 6030509 «Облік і аудит»). – Харків: ХНАМГ, 2009. – 231 с.

Рекомендовано кафедрою обліку і аудиту

Протокол № від

Рецензенти: доцент, к.е.н. Димченко В.В.

професор, д.е.н. Гриньова В.М.

професор, д.е.н. Тридід О.М.

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………………….	4
Загальна характеристика дисципліни……………………………………………...	4
Робоча програма курсу……………………………………………………………...	6
Змістовий модуль 1. Організація економіко-математичного моделювання…….	9
Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки……...	9
Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі…………………………...	36
Змістовий модуль 2. Лінійне програмування в економічних процесах…………	49
Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування…………...	49
Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач	80
Змістовий модуль 3. Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі…………………………………………………………………………………	97
Тема 5. Цілочислове програмування……………………………………………….	97
Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем……………………	109
Змістовий модуль 4. Оцінка і управління ризиком в економіці………………….	121
Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці……………………………….	121
Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику…………..	127
Змістовий модуль 5. Економетричне моделювання………………………………	140
Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.	140
Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії………………………………………	159
Тема 11. Узагальнені економетричні моделі………………………………………	173
Тема 12. Економетричні моделі динаміки…………………………………………	178
Приклад тестових завдань…………………………………………………………..	211
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………………………………….	224

ВСТУП

Загальна характеристика дисципліни

В сучасних економічних умовах господарювання України формування фундаментальних засад розвитку підприємств є актуальним завданням. В цьому аспекті виникає необхідність використання інструментарію, який органічно поєднує математичні методи для вирішення економічних проблем з метою отримання кількісних оцінок і моделей в процесі прийняття ефективних управлінських рішень.

Для спеціалістів з напряму «Економіка і підприємництво» запропонована дисципліна «Економіко-математичне моделювання». В умовах трансформаційних процесів вивчення цієї дисципліни дає можливість спеціалістам в цій сфері заволодіти сучасними інструментами і підходами для формування фінансової й економічної політики, укріплення потенціалу підприємства та виробничої бази.

Зміст курсу «Економіко-математичне моделювання» для студентів з напряму «Економіка і підприємство» представлено в темах:

Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.
Оптимізаційні економіко-математичні моделі.
Задача лінійного програмування та методи її розв’язування.
Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
Цілочислове програмування.
Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем.
Аналіз та управління ризиком в економіці.
Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику.
Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.
Лінійні моделі множинної регресії.
Узагальнені економетричні моделі.
Економетричні моделі динаміки.

В рамках цього курсу виділяють 5 змістових модулів:

Організація економіко-математичного моделювання.
Лінійне програмування в економічних процесах.
Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі.
Оцінка і управління ризиком в економіці.
Економетричне моделювання.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен

Знати:

Основні підходи до організації аналітичної роботи на підприємстві.
Застосування методику і техніку економіко-математичного моделювання в фінансово-господарській діяльності.
Особливості проведення економіко-математичного моделювання на вітчизняних підприємствах в сучасних економічних умовах господарювання.
Інформаційно-методичне забезпечення економіко-математичного моделювання.
Місце та роль економіко-математичного моделювання в системі управління економікою підприємства.

Вміти:

Використовувати інструментарій економіко-математичного моделювання для прийняття управлінських рішень.
Застосовувати методи економіко-математичного моделювання в економічних процесах.
Проводити економіко-математичне моделювання на підприємстві.
Застосовувати результати економіко-математичного моделювання для прийняття управлінських рішень.
На основі розроблених економіко-математичних моделей, будувати ефективно діючий організаційно-економічний механізм управління підприємством.

Робоча програма курсу

Метою вивчення курсу є формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.

Завданнями курсу «Економіко-математичне моделювання» є вивчення основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови економіко-математичних моделей, методів їх розв’язування та аналізу з метою використання в економіці.

Предметом курсу виступають методологія та інструментарій побудови і розв’язування детермінованих оптимізаційних задач.

Змістовий модуль 1

Організація економіко-математичного моделювання

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки:

Визначення економіко-математичного моделювання. Ретроспективний аналіз розвитку економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання. Випадкові події і величини, їх числові характеристики. Закони розподілу випадкової величини. Статистичні гіпотези та їх перевірка. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації.

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі:

Особливості економіко-математичних моделей оптимізації. Модель оптимального планування виробництва. Економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції підприємствами. Економіко-математичні моделі розподілу фінансових ресурсів. Розподіл капітальних вкладень по проектах. Задачі безумовної та умовної оптимізації та методи їх розв'язування.

Змістовий модуль 2

Лінійне програмування в економічних процесах

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування:

Сутність лінійного програмування. Особливості задач лінійного програмування. Основні методи розв’язування задач лінійного програмування. Практичні аспекти вирішення задач лінійного програмування.

Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач:

Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні. Достовірність. Міра достовірності результатів моделювання. Критерії оцінки достовірності результатів дослідження. Характеристика статистичної несуперечності. Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач. Область допустимих рішень. Критерії оптимальності. Інтерпретація отриманих економічних результатів на основі аналізу лінійних моделей оптимізаційних задач.

Змістовий модуль 3

Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі

Тема 5. Цілочислове програмування:

Основні поняття і сутність цілочислового програмування. Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування. Метод Гомори. Метод віток і меж. Транспортна задача, її математичне формулювання і алгоритм вирішення.

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем:

Сутність нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем. Використання нелінійних оптимізаційних моделей в економічних процесах. Методи формування нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем.

Змістовий модуль 4

Оцінка і управління ризиком в економіці

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці:

Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику. Підходи до управління ризиком. Етапи процесу управління ризиком. Аналіз управління ризиком в економіці.

Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику:

Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику. Оцінка ризику в абсолютному вираженні. Оцінка ризику у відносному ризику. Допустимий та критичний ризик. Оцінка ризику ліквідності.

Змістовий модуль 5

Економетричне моделювання

Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія:

Принципи побудови економетричних моделей. Критерії адекватності економетричної моделі. Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення. Парна лінійна регресія.

Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії:

Кількісна регресійна модель множинної регресії. Етапи побудови лінійної моделі множинної регресії. t-критерій Ст’юдента і F-критерій Фішера в множинному регресійному аналізі. Тест Дарбіна-Уотсона для оцінки адекватності економетричної моделі. Інтерпретація економетричної моделі.

Тема 11. Узагальнені економетричні моделі:

Узагальнена економетрична модель; узагальнена лінійна економетрична модель; узагальнена нелінійна економетрична модель.

Тема 12. Економетричні моделі динаміки:

Сутність динамічних процесів в економіці. Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки. Авторегресійні моделі і аналізі динаміки економетричних процесів і їх прогнозуванні.

Змістовий модуль 1

Організація економіко-математичного моделювання

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки

Визначення економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання.
1. Випадкові події і величини, їх числові характеристики.
2. Закони розподілу випадкової величини.
3. Статистичні гіпотези та їх перевірка.
4. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації.

Поняття: економіко-математичне моделювання; модель; подія; випадкова величина; закон розподілу випадкової величини; випадкові помилки; система; імітація; економіко-математичні моделі.

Література: [5], [13], [14], [22], [23], [24], [26], [27], [37], [38], [39], [40], [49], [53], [61], [63], [64], [65], [67], [70], [72], [74], [78], [79], [80].

1.1. Визначення економіко-математичного моделювання. Види моделей. Основні етапи моделювання

Економіко-математичне моделювання - це дисципліна, в якій поєднуються математичні методи для вирішення економічних завдань. Теоретичним базисом економіко-математичного моделювання є економічна теорія, системний аналіз, математичні закони, статистичні методи та інші.

Моделювання процесів в різних сферах діяльності людини здійснювалось ще з глибокої давнини. Методи моделювання використовувались стародавніми єгіптянами і греками в будівництві й архітектурі, технічному конструюванні. Намагання оцінити економічні процеси здійснив грецький філософ Аристотель. Проте формування методологічних аспектів і теоретичного базису використання математичних методів в економічних процесах з’явились значно пізніше.

Обґрунтування використання математичних методів в економіці починається з У. Петі (1623 – 1687 р.р.). В передмові до «Політичної арифметики» він вказує на те, що «замість того, щоб використовувати слова» необхідно перейти до «мови чисел, важелів і мір» [53]. Слід вказати, що моделювання процесів в суспільному виробництві здійснив Ф. Кене (1694 – 1774 р.р.), склавши економічну таблицю [27]. В замітках до трактату Д. Міля російський економіст Н.Г. Чернишевський (1828 – 1889 р.р.) вказує на використання в політичній економії математичних методів [72].

На початку 19 століття стрімкий розвиток промислового виробництва й зміни в економічних відносинах призвели до необхідності використання математичних методів в економічних процесах. З’являється «математична школа» засновником якої був О. Курно (1801 – 1877 р.р.). Представники математичної школи Г. Госсен (1810 – 1859 р.р.), В. Джевонс (1835 – 1882 р.р.), Л. Вальрас (1834 – 1910 р.р.), Г. Кассель (1866 – 1944 р.р.), Ф. Еджворд (1845 – 1926 р.р.), В. Парето (1848 – 1923 р.р.), В. Дмитрієв (1868 – 1913 р.р.) розробили методологію та сформували систему проведення економічних досліджень математичними методами.

У 20-му столітті і до теперішнього часу математичні методи широко використовуються при розробці економічних моделей і прийнятті управлінських рішень як на макро, так і на мікро рівнях. Такі відомі економісти як Ч. Кобб і П. Дуглас, В. Рамсей, Джон фон Нейман, А. Вальд, Р. Фриш, Д. Кейнс, Е. Домар, Р. Харрод, Дж. Робинсон, Д. Мід, Э. Фелпс, В. Канторович, В. В. Новожилов, В. С. Немчинов, В. Леонтьєв вирішували складні економічні проблеми і досліджували процеси з використання математичних методів.

Ретроспективний аналіз розвитку економіко-математичного моделювання свідчить про його важливість і необхідність використання в економічних процесах, адаптуючи його до сучасних трансформаційних умов.

При моделюванні економічних процесів за допомогою математичних методів важливого значення набуває визначення моделі. Термін модель походить від латинської означає «зразок, норма, міра». По суті модель представляє собою аналогію, подібність явищ, процесів, об’єктів.

Таким чином, модель – це зображення об’єкту або системи в оригінальній або аналоговій формі, якими управляють і використовують для прийняття управлінських рішень. Прикладом моделей можуть бути макети машин, споруд, механізмів та інш. Ці моделі засновані на прямій подібності об’єктів.

В економічних процесах широко використовують моделі які побудовані на схожості поведінки системи, подібності їх реалізації на зміну дій.

Виділяють наступні види моделей: фізичні, символьні, аналітичні, словесно-описові, математичні, імітаційні, формальні, функціональні, теоретичні.

Економіко-математичне моделювання здійснюють за наступними етапами:

1) виявлення проблемних аспектів і особливостей економічного процесу, його аналіз, ідентифікація і визначення достатньої структури для моделювання, формування мети і задач моделювання;

2) аналіз економічних процесів, оцінка використаних ресурсів і потужностей необхідних для здійснення економічного процесу;

3) формування і обробка інформації щодо економічного процесу;

4) побудова економічної моделі на основі математичного інструментарію;

5) інтерпретація отриманої економіко-математичної моделі, уточнення і корегування її параметрів.

1.2. Випадкові події і величини, їх числові характеристики

З позиції теорії пізнання спостережувані в природі й суспільстві явища можна підрозділити на наступні види:

- достовірні (визначені), які обов'язково відбудуться, якщо буде здійснена певна сукупність умов, і приймуть умови, які явно можна передбачити;

- неможливі, які явно не відбудуться в певних умовах;

- випадкові, які при сукупності умов можуть відбутися або не відбутися, в результаті випробувань можуть прийняти будь-яке значення, причому невідомо, яке саме;

- невизначені, про які нічого не можна сказати відбудуться вони або не відбудуться, незалежно від створених умов.

Слід розрізняти випадкові події - факт і випадкові величини.

Під "подією" розуміється будь-яке (не обов'язково знаменне) явище. Подія-факт в кількісному і якісному відношенні може бути величиною невизначеною, оскільки про неї нічого не можна сказати наперед відомою вірогідністю, а випадкова величина пов'язана з характером, змістом досліджуваного процесу.

Величина називається випадковою, якщо вона формується під дією багатьох дрібних причин, не піддатливих до результату випробувань повному контролю і обліку, діючих відносно незалежно один від одного.

Економіко-математичне моделювання вивчає кількісні закони масових випадкових величин і явищ, але не ставить перед собою завдання передбачити, відбудеться одинична подія чи ні, - вона просто не в силах це зробити.

Одним з напрямів економіко-математичного моделювання є вивчення закономірностей масових однорідних випадкових подій. Випадкові величини підрозділяються на дискретні (переривчасті) й безперервні.

Дискретними називаються випадкові величини, які приймають окремі, строго визначені, ізольовані, кінцеві чисельні значення з певною вірогідністю, між якою не може бути проміжних (число робітників у бригаді, число перевезених за один рейс пасажирів і т.п.). При цьому число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим і нескінченним.

Частіше зустрічаються безперервні випадкові величини, які можуть мати всі можливі значення в деякому кінцевому або нескінченному проміжку. Очевидно, число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченне, наприклад, рівень собівартості перевезення одного пасажира, продуктивність праці і т.п.

Оскільки точність вимірювання або обліку завжди обмежена, то практично всі випадкові величини є дискретними.

Значна частина економіко-математичного моделювання пов'язана з необхідністю досліджувати і описувати велику сукупність об'єктів. Звичайно цю сукупність називають генеральною. Вона охоплює, наприклад, усіх мешканців великого міста, продукцію галузі народного господарства.

Якщо досліджувана сукупність об'єктів дуже численна або об'єкти вивчення труднодоступні, а також є інші причини, що не дозволяють вивчити всі об'єкти, то вдаються до вивчення якоїсь частини генеральної сукупності, що називається вибіркою.

Вибірка повинна бути представницькою або, як кажуть, репрезентативною. Якщо вибірка представляє не всю генеральну сукупність, а якусь її частину, то це називається зсувом вибірки. Зсув - одне з основних джерел помилок при використанні вибіркового методу.

В економіко-математичному моделюванні необхідно визначити вибірку, що складається з n однорідних одиниць (елементів). Число n називається обсяг вибірки. Одиницями вибірки можуть бути різні економічні процеси і явища, результати виробничо-господарської діяльності підприємств: продуктивність праці, собівартість продукції, фондовіддача, рентабельність та ін.

Чисельні значення, які приймає досліджувана ознака, називають варіантами. Зміна величини ознаки в статистичній сукупності називається варіацією (коливається або розсіюванням).

Для того, щоб замінити в зареєстрованих значеннях процесу, що вивчається, будь-яку закономірність, їх треба привести до доступного для аналізу вигляду, тобто впорядкувати, класифікувати, систематизувати, згрупувати. Процес розчленовування досліджуваної сукупності на частини називається угрупованням.

Початковою базою для вивчення закономірностей тих чи інших явищ служать статистичні ряди розподілу, які будуються за якісними і кількісними ознаками.

Якщо ряди є послідовністю чисел, що характеризують зміну показника в часі, то вони називаються тимчасовими, а якщо показують розподіл одиниць сукупності, що вивчається, по окремих групах, виділених за певною ознакою, то варіаційними.

Число, що показує, скільки разів зустрічається та або інша одиниці сукупності, що вивчається, називається його частотою m.

Варіаційний ряд або ряд розподілу є таблицею, в якій в порядку убування або зростання перераховані можливі значення випадкової величини за вибіркою, що вивчається, з вказівкою їх частот.

Таблиця 1.1. Значення випадкової величини

Значення випадкової

величини

Х1

Х2

Х3

...

Хn

Частоти

...

Очевидно, що сума всіх частот дорівнює обсягу вибірки

, (1.1)

де n-загальне число спостережень.

Якщо різних значень випадкової величини багато, то ряди розподілу складаються в інтервальній формі. Різниця між верхньою Хi і нижньої Хi-1 межами інтервалу називається його величиною:

∆Хi−Xi−Xi-1. (1.2)

Число інтервалів не повинно бути надмірно великим. Для того, щоб можна краще проявити характерні особливості, пов'язані з природою величин, що вивчаються, рекомендується ділити проміжок варіації на 6÷16 інтервалів залежно від обсягу вибірки.

Отже, для визначення величини інтервалів необхідно різницю Хmax і Хmin (розмах варіювання) розділити на 616 залежно від числа спостережень:

. (1.3)

У літературі зустрічається і таке визначення розрахунку інтервалів, як використання формули Стерджеса

. (1.4)

Отримане значення інтервалу ∆Х звичайно округляють. За величину і особливо центр інтервалу приймається деяке "зручне число", що має невелике число значущих цифр, щоб полегшити надалі обчислення.

Запис інтервальних рядів розподілу поданий в табл. 1.2.

Таблиця 1.2. Інтервальні ряди розподілу

Значення випадкових величин	Х1−Х2	Х2−Х3	Х3−Х4	…	Xn-1−Xk
частоти	m1	m2	m3		mk

Сума частот представлена наступним чином:

. (1.5)

Дослідження не обмежується побудовою ряду розподілу тієї або іншої випадкової величини. Необхідно знайти декілька величин, так званих статистичних характеристик, які відображали б властивості ряду розподілу в цілому, повніше характеризували б сукупність і властиві їй закономірності. Інакше кажучи, ставиться завдання знаходження такого значення випадкової величини, навколо якої групуються всі інші і зустрічаються найбільш часто. Найважливішим і найпоширенішим з них є середня арифметична, яка позначається символом . Якщо випадкова величина приймає n значень, то середня арифметична за незгрупованими даними є сумою її значень, розділеною на їх число:

. (1.6)

Середня арифметична зважена за групованими даними обчислюється таким чином:

. (1.7)

Середня арифметична, як і середня арифметична зважена, володіє тією властивістю, що сума відхилень значень випадкової величини від середньої арифметичної дорівнює нулю. Ця властивість дає можливість визначити середню арифметичну як центр угрупування випадкової величини.

Крім середнього значення ознаки важливо знати характер варіації, тобто як тісно концентруються всі значення елементів сукупності навколо середньої. З теоретичної точки зору самою відповідною мірою коливання ознаки служить дисперсія (від латинського dispercia - розсіяння), є квадратом відхилення дослідних даних від середнього значення:

, (1.8)

за незгрупованими даними,

(1.9)

- за згрупованими даними.

Як бачимо, дисперсія випадкової величини в окремих випадках може мати нереальну розмірність. Для її усунення вводять середньоквадратичне відхилення, що розглядається в тих же одиницях вимірювання:

. (1.10)

Безрозмірним показником коливання випадкової величини є коефіцієнт варіації, який є відношенням, відображеним у відсотках:

. (1.11)

Якщо дисперсія або коефіцієнт варіації великі, то це свідчить про значний розкид випадкової величини її середнього значення.

Випадкова величина характеризується двома основними параметрами:

- безліччю її можливих значень;

- вірогідністю того, що вона прийме ті чи інші значення з цієї множини.

Вірогідність є одним з основних понять математичної статистики. Вона є математичним визначенням об'єктивної можливості відбутися або не відбутися випадковому явищу.

При вивченні рядів розподілу використовують не тільки абсолютні значення появи випадкової величини mi (частоти), але й відносні частоти, тобто .

Згідно з теоремою Якова Бернуллі (1654-1705), що отримала назву "закону великих чисел" в статистиці, можна передбачати відносну частоту події.

Теорія Я. Бернуллі була опублікована в 1713г. Стосовно вибірки вона формулюється так: з вірогідністю, скільки завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що різниця між відносною частотою і часткою в генеральній сукупності при достатньо великому обсязі вибірки буде скільки завгодно мала.

Коротко теорема Я. Бернуллі записується так:

. (1.12)

З цього виходить, що вірогідність події А визначається формулою

P (A) =. (1.13)

Сума всіх відносних частот дорівнює 1, тобто

. (1.14)

З визначення вірогідності випливають наступні її властивості:

1.Вірогідність неможливої події дорівнює 1. При m=n

P(A)===1.

2. Вірогідність неможливої події дорівнює нулю. При m=0

Pa===o.

3.Вірогідність випадкової події є позитивне число, укладене між нулем і одиницею.

Дійсно випадковій події сприяє лише частина із загального числа елементарних результатів випробувань. У цьому випадку о<m<1, значить

о<<1

о≤P(A)≤1.

4. Вірогідність протилежної події дорівнює різниці між одиницею і вірогідністю даної події, тобто

P(B)=1−P(A).

5. Якщо в результаті випробування повинне відбутися одне, і тільки одне з деяких подій А1,А2,…Ак, то сума всієї вірогідності дорівнює одиниці, тобто

P1(A1)+P2(A2)+…+Pk(Ak)=1.

Одним з узагальнюючих результатів закону великих чисел є те, що при достатньо великому числі спостережень n середнє значення випадкової величини приблизно дорівнює її математичному очікуванню, або М(х)=. Така середня називається стохастичною.

З цього виходить, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадкова (постійна) величина. Тим самим П.Л. Чебишев (1821-1894) довів, що сукупні дії великого числа чинників призводять до результату, майже не залежному від випадку.

У вузькому значенні слова під законом великих чисел розуміється ряд математичних теорем, в яких встановлюється факт наближення середніх показників у результаті великого числа спостережень до деяких постійних величин.

У широкому значенні слова зміст закону великих чисел полягає в тому, що при великому числі випадкових явищ їх середній результат практично перестає бути випадковим і може бути представлений з великою визначеністю

1.3. Закони розподілу випадкової величини

Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними їм ймовірностями.

Найпростішою формою завдання такого закону служить таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності.

Таблиця 1.3. Значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності

Х1	Х2	Х3	...	Хn	Разом
Р1	P2	P3	...	Pn	=1

Щоб надати ряду розподілу наочний вигляд, будують його графічне зображення у вигляді гістограми, полігону, кумуляти і огіви.

Табличний розподіл можливих значень випадкової величини і відповідних їй ймовірностей, графічне зображення кривих розподілу і аналітичний опис вказаної залежності є форми закону розподілу.

Криві розподілу можуть бути самої різної форми. Проте серед них слід виділити так звані одновершинні криві, що часто зустрічаються.

В економічних дослідженнях симетричні розподіли зустрічаються рідко. Набагато частіше вершина кривої знаходиться не в центрі, а дещо зміщена. Зустрічається також двопіковий розподіл. Його наявність свідчить про те, що розглядається неоднорідна сукупність.

Теоретичними розподілами в економічних дослідженнях головним чином закон є Пуассона, показовий, біномінальний, Ст’юдента, - квадрат, Лапласа, нормальний та ін.

Нормальний закон розподілу реалізується для випадкових величин, які формуються під сумарною дією багатьох незалежних поміж собою дрібних причин, дія кожної з яких мала в порівнянні із загальним результатом.

У математичній статистиці нормальний розподіл відіграє роль стандарту, з яким порівнюються інші розподіли.

Формула нормальної кривої має наступний вигляд:

, (1.15)

де Х - випадкова величина;

- середнє арифметична або математичне очікування;

σх - середнє квадратичне відхилення;

π =3,14159, е=2,71828 - відомі константи.

Крива Гауса - Лапласа має горбоподібний вигляд і симетрично розташовується відносно вертикальної прямої (рис. 1.1). Центр угрупування випадкової величини і форму нормальної кривої визначають числові характеристики і σх.

При Х= функція має максимум, рівний

. (1.16)

Симетрія кривої Х= вважається основною властивістю нормального розподілу: однакові відхилення значення випадкової величини від її середнього в обидві сторони зустрічаються однаково часто.

Рис. 1.1. Крива Гауса - Лапласа

При збереженні своєї загальної форми крива розподілу нормального закону може мати різний ступінь пологості й крутизни залежно від значення σх.

У математико-статистичних дослідженнях, незалежно від розмірності випадкової величини Х, може бути визначена відносна частота.

По правому 3σ величина абсолютного відхилення випадкової величини від середнього по вибірці менше ± 3σх з вірогідністю 0,997. Лише 0,3% всього Хi числа спостережень виходить з "трисигмових меж". В інтервалі від Х-σх до Х+σх знаходиться 68,3% спостережень, в інтервалі від Х-2σх до Х+2σх - 95,5% спостережень. Як було сказане вище, максимум

. (1.17)

Оскільки площа диференційованої функції нормального розподілу дорівнює одиниці, то зі зростанням σх максимальна ордината нормальної кривої убуває, а сама крива стає більш пологою. Навпаки, з убуванням σх нормальна крива стає більш гостроверхою.

При =0 і ух=1 нормальну криву називають нормованою:

. (1.18)

Величина табульована і може бути визначена з відповідних математико-статистичних таблиць (диференціальна функція Лапласа). У цих таблицях наведені функції f(х), відповідні позитивним значеннях Х. Для від’ємних Х користуються тими ж таблицями, оскільки функція f(х) парна, тобто f(-х)=f (x). У таблиці наводяться значення f(х) для Х від 0 до 4 через 0,01.

Для того, щоб можна було користуватися готовими таблицями, потрібно криву нормального розподілу привести до стандартної форми. Стандартизація полягає в переході від випадкової величини Х, має математичне очікування і середньоквадратичне відхилення σх, до допоміжної величини називаної центрованим і нормованим відхиленням:

t= чи ∆Х=t σх (1.19)

Використовуючи відповідні таблиці значень, будують таблицю стандартизованого розподілу вірогідності.

Якщо на вісь абсцис нанести значення t, а на вісь ординат вірогідність P(t), то графічне зображення дає нормальну криву. Фізичне значення t означає, на скільки середньоквадратичних відхилень σх змінюється значення випадкової величини від її середнього значення .

1.4. Статистичні гіпотези та їх перевірка

При вибіркових обстеженнях допускаються різного роду похибки, при цьому розрізняють грубі, систематичні й випадкові помилки.

Грубі помилки за абсолютними величинами значно відрізняються від всього ряду помилок і підлягають виключенню з ряду спостережень.

Систематичні помилки є наслідком впливу певних чинників, що спотворюють результати вимірювань за певним законом у відомому напрямі. Вони викликані зносом засобів вимірювання, їх неправильною установкою, дією зовнішнього середовища і т.п.

Випадковими називають такі помилки, характер зміни яких не володіє видимою закономірністю. Кожна подальша помилка за абсолютним значенням може бути більше або менше попередньої.

Аналіз випадкових похибок ґрунтується на теорії випадкових помилок, яка дає змогу з певною гарантійною вірогідності обчислити дійсне значення шуканої величини.

В основі теорії випадкових помилок лежать наступні підтверджені досвідом висновки:

1. Різниця у значеннях характеристики вибіркової і генеральної сукупності складе помилку вибірки –=х, і т.п. Ці помилки є випадковими величинами. Тому необхідно в кожному конкретному випадку визначити не тільки розмір помилки, але і надійність або гарантію того, що цей розмір не буде перевищений.

2. Вибіркові середні також симетрично розподіляються навкруги генеральної середньої, незалежно від характеру розподілу випадкової величини в генеральній сукупності.

Закономірність розподілу випадкових помилок спостережень описується нормальною кривою (рис. 1.2). Карл Гаус (1777-1855 рр.) використовував її як основу для теорії випадкових помилок вимірювань.

Рис. 1.2. Крива розподілу випадкових помилок спостережень

Вся площа під кривою дорівнює 1. Основна маса випадкових помилок групується навколо середнього значення, яке дорівнює 0.

На ділянці, обмеженій +σх, знаходиться 68,3% всіх спостережень; на ділянці, обмежений +2σх і –2σх –95,3%; на ділянці, обмеженій +3σх і –3σх –99,7%.

На основі характерних властивостей розподілу випадкових помилок спостережень можна зробити висновок, що при достатньо великому обсязі вибірки n її числові характеристики за вірогідністю наближаються до відповідних значень характеристики генеральної сукупності.

Рівень значущості звичайно вимірюється у відсотках і їх чисельне значення заснована на так званому принципі незалежності маловірогідних подій. На практиці звичайно приймають рівні значущості, що знаходяться між 0,01-0,05. Відповідно їх називають одновідсотковими, двовідсотковими і т.п.

З принципу неможливості маловірогідних подій випливає наступний висновок: якщо випадкова подія має вірогідність дуже близьку до одиниці, то практично можна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія наступить (P0,99).

Припущення щодо закономірностей, які мають місце в генеральній сукупності, називається статистичною гіпотезою, а критерій її перевірки - статистичною характеристикою.

Як критерій перевірки вибирається деяка статистична характеристика. Припущення, що висувається, може бути помилковим, внаслідок вибіркової помилки, і має назву нульової гіпотези Но.

Конкуруюча (протипожежна) гіпотеза означає, що має місце суттєва відмінність між вибірковими значеннями в генеральній сукупності. Сформулювавши гіпотезу Но, можна зіткнуться з чотирма ситуаціями:

- гіпотеза Но правильна, а її забракували, оскільки характеристика потрапила в критичну область, тобто допущена помилка першого роду, вірогідність якої рівна рівню значущості α;

- гіпотеза правильна і її прийняли, оскільки характеристика потрапила в допустиму область, тобто рішення правильне;

- гіпотеза неправильна і її прийняли, оскільки характеристика потрапила в критичну область, тобто рішення правильне;

- гіпотеза неправильна, а її відкинули, оскільки характеристика потрапила в допустиму область. Допущена помилка другого роду, тобто прийнята невірна гіпотеза.

Як видно, рівень значущості можна тлумачити як ризик вчинити помилку першого роду, тобто забракувати правильну вірну гіпотезу. В зв'язку з цим для ухвалення гіпотези рівень значущості призначають п'ятивідсотковий (α=0,05), а для бракування гіпотези - одновідсотковий (α=0,01).

Рис. 1.3. Довірчі межі й критична область ряду розподілу

Областю ухвалення гіпотези називають сукупність значень вибраного критерію, при яких гіпотезу приймають, критичною областю - при значеннях критеріях, коли нульову гіпотезу відкидають (рис. 1.3).

Вибіркова середня є певне число, яке можна розглядати як випадкову величину. Отже можна говорити про її розподіл і про числові характеристики цього розподілу (σх2, σх та інш.).

Двостороння область, в яку повинна потрапити середня генеральної сукупності, визначається довірчими межами при певному рівні значущості 2Ф(t)=0,95 або за інтегральною функцією Лапласа t=1,96.

Інтервал Х±1,96 означає, що з вірогідністю P=0,95 генеральна середня потрапляє в довірчі межі, а з вірогідністю P=0,05 лежить зовні цих меж, тобто потрапляє в критичну область. Міра можливої відмінності між вибірковою середньою і середньою генеральної сукупності має назву стандартної помилки.

Слід мати на увазі, що вибіркові середні, як і випадкові помилки спостережень, симетрично розподіляються навколо генеральної середньої за умови, що обсяг вибірки складає n≥30 спостережень. При малому обсязі вибіркових даних n≥30 розподіл вибіркових середніх відрізняється від нормального тим більше, чим менше обсяг вибірки.

Межі довірчого інтервалу при малих вибірках n≥30 обмежується коефіцієнтом tα, який був запропонований в 1908 р. англійським математиком і хіміком В.С. Госсетом, який публікував свої роботи під псевдонімом "Ст’юдент" - студент. Надалі цей коефіцієнт отримав назву коефіцієнт Ст’юдента це спеціально розроблені таблиці з урахуванням обсягу вибірки).

Доцільно дотримуватися такої послідовності попередньої обробки результатів спостережень при n≥30:

1.Результати спостережень записують в таблицю.

2.Обчислюють середнє значення з n спостережень:

i. (1.20)

3. Визначають похибки окремих спостережень:

ΔХi=–Xi та їх квадрати (ΔХi)2.

4. Відсіюють спостереження, різко відмінні від інших. Для цього знаходять:

4.1.Середню квадратичну похибку:

. (1.21)

4.2.Задаються значенням похибки α =0,95

4.3.Визначають коефіцієнт Ст’юдента tα=(n) для заданої надійності P і кількості спостережень n

4.4.Знаходяться межі довірчого інтервалу (похибки результатів спостережень):

ΔХ= tα(n) Δσх, Х=± ΔХ.

4.5.Обчислюють відносну похибку вибіркових даних:

. (1.22)

1.5. Попередня обробка результатів спостережень і техніко-економічної інформації

Економічні явища утворюються не як результат однозначного зв'язку причин і наслідку, а як результат складного переплетіння і взаємодії багатьох причин і наслідків.

Економіко-математичному моделюванню передує чітке уявлення суті вирішуваної задачі, аналіз її змісту з використанням технологічної, економічної і інженерної логіки. При цьому доцільно:

- вивчити літературу і узагальнити професійні знання про об'єкт дослідження;

- чітко сформулювати мету і завдання дослідження;

- визначити джерела, обсяг і методи отримання виробничо-економічної інформації;

- провести попередній якісний і кількісний математико-статистичний аналіз результатів спостережень.

При визначенні умов виробництва, що впливають на досліджуваний показник, слід дотримуватися апробованих принципів якісного аналізу:

- кожний чинник повинен бути теоретично обґрунтованим і змістовним, мати самостійне значення і не дублювати інші;

- вибіркові дані повинні бути представницькими, мати точне кількісне вимірювання, бути однорідними і зіставлюваними в часі й просторі.

Джерелами отримання виробничо-економічної інформації служать: статистична, бухгалтерська, виробничо-господарська, результати хронометражних спостережень і фотографії робочого часу, дані спеціальних обстежень і експериментів, що проводяться, експертні оцінки фахівців та інші матеріали.

Об'єктивність економіко-математичного моделювання багато в чому залежить від показовості (репрезентативності) й однорідності вибіркових даних.

Заздалегідь обґрунтовується обсяг вибірки n або перевіряється достатність початкової інформації для отримання математико-статистичних моделей заданої точності й надійності.

За теоремою Ляпунова для різних незалежних вибірок достатньо великого обсягу n, отриманих з однієї і тієї ж генеральної сукупності, середнє арифметичне підкоряється нормальному закону розподілу з дисперсією σу2, рівної 1/n-ї частини дисперсії випадкової величини. При цьому максимальне відхилення є вибірковою середньою від генеральної середньої Ў, має назву стандартної помилки і визначається за формулою:

Ў-=ţα , (1.23)

де ţα – значення змінної в стандартизованому масштабі.

ţα= (1.24)

визначається за інтегральною функцією Лапласа. Звідси

, (1.25)

де n – кількість спостережень.

Приклад. Встановити, при якому обсязі спостережень n вибірка є генеральною сукупністю, якщо Р=0,95 або 95%, ε=0,85 і σу=4,56?

Вирішення

Р=2Φ(ţα)=0,95 або Ф(ţα)= за нормованою інтегральною функцією Лапласа знаходимо ţα=1,96. Звідси

спостережень

Виявлення спостережень, різко відмінних від основної маси вибіркових даних, ґрунтується на тому, що коли розподілені приблизно за нормальним законом, то найбільше відхилення від середнього значення за абсолютною величиною перевищує приблизно 3σу2, тобто всі спостереження повинні розміщуватися в інтервалі

Точніше, контроль приналежності до досліджуваної вибірки різко відмінних значень проводиться при рівні значущості α з урахуванням обсягу вибірки n. При цьому визначається - 0,5,

а потім за таблицею інтегральної функції Лапласа знаходиться значення tα і допустимий інтервал записується у вигляді

Приклад. Є вибірка обсягом n=150 спостережень. Середнє значення по вибірці =12,86; середнє квадратичне відхилення σу2=6,24; рівень значущості α =0,05; максимальне значення ознаки ymax =32,64, що вивчається; мінімальне – ymin =3,42. Визначити можливість використання в подальших дослідженнях ymax і ymin.

Вирішення

При заданому рівні , ţα =3,366.

Допустимий інтервал дорівнює

Всі спостереження можуть бути використані при подальшій обробці.

У разі, якщо початкова інформація отримана по декількох об'єктах або групах, необхідно перевірити її однорідність. Така перевірка ґрунтується на гіпотезі рівності вибіркових середніх обсягами ni і nj, отриманих з однієї генеральної сукупності.

З теореми Чебишева, що зі збільшенням обсягу вибірки її середнє значення прагне за вірогідністю до генеральної середньої, випливає наступний висновок: якщо по декількох вибірках достатньо великого обсягу з однієї і тієї ж генеральної сукупності буде знайдено вибіркові середні і, то вони будуть приблизно рівні між собою.

За умови незалежності вибірок і їх приналежності до єдиної нормально розподіленої генеральної сукупності для будь-яких двох вибірок i-ої і j-ої маємо ймовірність

{||}, (1.26)

де σi2, σj2 – вибіркові дисперсії;

ni, nj – обсяги вибірок.

Наявні різниці відносяться до відповідної стандартної помилки. Як критерій перевірки приймають нормовану різницю, яку обчислюють на основі співвідношення: ,

що порівнюється з табличним значенням ţα, де 2Φ(ţα)=1-α.

Гіпотеза однорідності вибіркових даних затверджується при Р=2Φ(ţα)=0,95 і менше, тобто α=0,05 і більше. Це означає, що при всіх значеннях tij вся сукупність вихідних даних вважається приблизно однорідною і обробка може вестися по всьому масиву.

Приклад. По двох об'єктах зібрана інформація з наступними кількісними характеристиками: n1=54; n2=56; 1=16,13; 2=13,5; σy12=65,3; σy22=57,9. Визначте рівень значимості при формуванні гіпотези про однорідність сукупності вибіркових даних.

Вирішення

Визначаємо tij(max) для y1 і y2:

Звідси Р=2Φ(1,76)=0,92 або 92%.

Гіпотеза про однорідність сукупності вибіркових даних затверджується з рівнем значущості α =0,08 або 8%.

Необхідність знання закону розподілу в кореляційному аналізі зумовлена насамперед обґрунтовуванням форми зв'язку між змінними.

Нормальний закон реалізується для випадкових величин, які формуються під сумарною дією багатьох відносно незалежних між собою причин, дія кожної з яких незначна в порівнянні із загальним результатом.

Результати спостережень обробляють в такій послідовності:

Вихідні дані розбиваються на інтервали і складають ряд розподілу функціональної ознаки yi, визначають абсолютні й відносні частоти і будують гістограма розподілу;
Розраховують параметри закону розподілу і σy. Для спрощення рахункової роботи вводиться безрозмірна величина

y’ср=, (1.27)

де - деяке інтервальне значення функції;

Сy – інтервальне значення Y icp , прийняте за центр угрупування;

∆y – інтервал зміни випадкової величини.

Дійсне значення и σy обчислюють на основі співвідношень , и .

Знаходять середнє інтервальне значення Yicp в стандартизованому масштабі, відповідне центрам інтервалів. За допомогою диференціальної функції Лапласа для кожного ti знаходять значення f(t);

Визначають ординати теоретичної кривої розподілу і за знайденими точками будують теоретичну криву:

. (1.28)

Оцінюють ступінь згоди теоретичної кривої з дослідженими даними. Оцінку ступеня згоди частіш за все проводять за допомогою критерію χ2 – «хі-квадрат» Пірсона, який є спеціально підібраною випадковою величиною, що визначається за формулою

, (1.29)

де k – число інтервалів угрупування змінної;

- емпіричні й теоретичні частоти.

Задаючись довірчим рівнянням значущості α=5%, за допомогою таблиці χ’2 – розподілу за числом ступенів свободи

f=K-(S+1), (1.30)

де K –число інтервалів;

S – ступінь свободи

(для нормального розподілу S=2(,σy), оскільки необхідно скласти 2 рівняння для знаходження теоретичного розподілу і σy).

Встановлюють критичне значення χ’2, з якими порівнюють розрахункове значення.

Якщо обчислене значення χ’2 за дослідженими даними менше табличного, тобто воно потрапляє в область прийняття гіпотези Н0, то теоретична крива розподілу узгоджується з емпіричним розподілом. Якщо чисельне значення χ’2 перевершує табличне або рівне йому, тобто воно потрапляє в критичну область, дана гіпотеза Н0 про форму кривої розподіл відкидається.

Приклад. Визначити закон розподілу витрат часу проходження рухомим складом маршруту між двома зупинками (хвил.) при n=180 спостережень і ymin=0,70, ymax1,57 хв. Розмір інтервалу складає 0,1. Побудуйте гістограму і полігон розподілу. Розрахуйте показники нормального закону розподілу.

Вирішення

Рис.1.4. Гістограма розподілу

Рис. 1.5. Гістограма і полігон розподілу

На підставі даних, представлених в табл. 1.4, отримуємо:

;

χ2рас<χ2табл. 5%.

Таким чином, теоретична крива розподілу зіставляється з емпіричним розподілом, що свідчить про наявність нормального розподілу.

Інтервал ∆y

Сере-днє зна-чення інтер-валу

Часто-та

Відносна частота

Умовні варіанти

Розра-хунок серед-нього значен-ня

Розрахунок дисперсії

Значення в стандарти-зованому масштабі

Значен-ня дифе-ренціа-льної функції

Емпірич-ні розраху-нки

Ординати теоретич-ного розподілу

Розрахун-кові частоти

yk-1-yk

ycp

mi/n

Y’cp

miy’cp

f(t)

mi=yn∙n∆y

0,7 – 0,8

0,8 – 0,9

0,9 – 1,0

1,0 – 1,1

1,1 – 1,2

1,2 – 1,3

1,3 – 1,4

1,4 – 1,5

1,5 – 1,6

0,75

0,85

0,95

1,05

1,15

1,25

1,35

1,45

1,55

0,017

0,072

0,167

0,222

0,228

0,172

0,089

0,028

0,005

-4

-3

-2

-1

-12

-39

-60

-40

117

120

39,3132

89,2372

78,7320

15,3760

59,0364

90,6304

57,1220

19,1844

2,26

1,63

1,00

0,38

0,25

0,88

1,50

2,13

2,75

0,031

0,1057

0,2420

0,3712

0,3867

0,2709

0,1295

0,0413

0,0091

0,17

0,72

1,67

2,22

2,28

1,72

0,89

0,28

0,05

0,195

0,665

1,522

2,385

2,432

1,704

0,817

0,259

0,057

3,36

11,90

27,40

42,03

43,7

30,7

14,7

4,66

1,03

Таблиця 1.4. Розрахунок показників нормального закону розподілу

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі

2.1. Сутність економіко-математичних моделей оптимізації.

2.2. Загальна характеристика задач математичного програмування.

2.3. Види економіко-математичних моделей оптимізації.

Поняття: оптимізаційна задача; математичне програмування; методи математичного програмування; система обмежень в економіко-математичних моделях оптимізації; види економіко-математичних моделей оптимізації.

Література: [4], [5], [12], [16], [23], [26], [37], [40], [61], [63].

2.1. Сутність економіко-математичних моделей оптимізації

На якому рівні не знаходилося суспільне виробництво, які великі не були трудові, матеріальні й фінансові ресурси, перед господарськими керівниками завжди стоїть завдання найкращого використання виробничих ресурсів і потужностей. Тобто необхідно знайти оптимальне значення між представленими виробничими ресурсами. Для цього необхідно сформувати економіко-математичні моделі оптимізації шляхом розв’язання задачи оптимізації. Розв’язати оптимізаційну задачу – це знайти оптимальне її розв’язування або встановити, що розв’язування немає. Методами розв’язування оптимізаційних задач є методи математичного програмування.

Уперше подібна задача у вигляді пропозиції щодо укладання національного плану перевезень, що дозволяє мінімізувати сумарний кілометраж, подана в роботі радянського економіста Л.М.Толстого (1930 p.). Екстремальна задача з мінімізації транспортних витрат була ним сформульована в 1939 р.

Одну з різновидів транспортної задачі в 1941 р. поставив американець Хічкок (проблема Хічкока). Але закінченого методу вирішення цієї задачі він не розробив.

У загальному вигляді задача математичного програмування сформульована в 1939 р. Л.В.Канторовичем. Він же запропонував метод множників, що дозволяє її вирішувати. Разом із М.К.Гавуриним у 1949 Р- Л.В.Канторович розробив метод потенціалів, який і дотепер є найбільш поширеним методом вирішення транспортних задач.

Широко відомий метод вирішення задачі лінійного програмування - симплексний метод - був опублікований Д.Б.Данцигом у 1949 р. Вдалою модифікацією симплексного методу є диференціальний алгоритм, що логічно випливає з диференціального алгоритму вирішення загальної задачі математичного програмування. Цей метод протягом останніх десятиліть (з 1978 р.) успішно викладається професорами А.Г.Евдокимовим і М.І.Самойленко в Харківській національній академії міського господарства.

Застосування математичних методів в економіці на першому етапі ознаменувалося досить гострою дискусією економістів "традиційної" школи та економістів нового покоління. Однак тепер мало залишилося економістів, які б прямо заперечували проти необхідності використання ефективних математичних методів при вирішенні таких важливих проблем, як:

ціноутворення;

дослідження міжгалузевих зв'язків; підвищення ефективності капітальних вкладень; використання обмежених ресурсів; розміщення продуктивних сил;

обґрунтування нормативів на витрати матеріалів і оборотних коштів та багато інших, не менш важливих, задач економіки та менеджменту.

Зважаючи на те, що гігантський господарський механізм України виробляє більш 15 млн. найменувань різної продукції, стає очевидним утопічність всебічної багатокритеріальної оптимізації народногосподарського плану. Управляти такою масою господарських підрозділів можна тільки за допомогою багаторівневої структури управління: центральні органи, галузеві, виробничо-територіальні об'єднання та окремі підприємства.

З вищевказаних причин на рівні народного господарства переважно використовуються неформальні методи оптимального планування із залученням для вирішення часткових питань економіко-математичних методів і електронно-обчислювальної техніки.

Основними економічними передумовами постановки і вирішення задач методами математичного програмування для формування економіко-математичних моделей оптимізації слід вважати:

органічне сполученім централізованого народногосподарського планування із самостійністю підприємств, виробничих об'єднань і галузей економіки;

наявність декількох або багатьох можливих (альтернативних припустимих, але не рівнозначних) варіантів використання обмежених ресурсів і виробничих потужностей;

широке використання економіко-математичних методів у сполученні із сучасними засобами електронно-обчислювальної техніки;

"можливість одержання необхідної і достовірної виробничо-економічної інформації;

достатньо повна теоретична розробка методів вирішення задач математичного програмування [61].

2.2. Загальна характеристика задач математичного програмування

Математичне програмування відіграє винятково важливу роль у підготовці фахівців економічного профілю. Використання математичних методів економічній діяльності дозволяє вирішувати оптимальним способом багато виробничих задач організації, планування і управління. Іншими словами, економіст має надійний інструмент для одержання найвищого економічного ефекту в конкретних виробничих умовах.

Вираз "математичне програмування" слід розуміти як ітераційний пошук найкращого варіанта використання обмежених виробничих потужностей і ресурсів для досягнення поставлених цілей [61].

Прикладами, що наочно ілюструють корисність і необхідність знання методів математичного програмування, можуть бути наступні економічні задачі (подаються в змістовній постановці):

одержання максимального випуску продукції або максимального прибутку при заданих матеріальних, трудових та інших витратах;

забезпечення планових показників підприємства при мінімальних фінансових вкладеннях або мінімальній витраті якогось виробничого ресурсу;

досягнення мінімального терміну виготовлення продукції, будівництва об'єкта, товарообігу, виробничого циклу і т.п. при існуючих або заданих виробничих ресурсах (матеріальних, трудових, енергетичних та ін.);

забезпечення мінімальної собівартості продукції при заданих виробничих ресурсах [61].

У наведених прикладах максимальний випуск продукції, максимальний прибуток, мінімальні фінансові вкладення, максимально короткий термін - це є шукані оптимуми {максимуми або мінімуми). У математиці максимум і мінімум мають ще одну назву - екстремум, а задачі пошуку екстремуму називають екстремальними задачами.

У наведених прикладах умови, що накладаються на вирішення задачі (задані матеріальні, трудові й тимчасові витрати; планові показники; виробничі ресурси), називають обмеженнями задачі.

Ті припустимі рішення, при яких досягається оптимум, називають оптимальними, або екстремальними рішеннями.

У загальному випадку екстремальна задача може мати одне, декілька, безліч, нескінченну безліч або жодне оптимальне рішення.

У практиці економіста оптимальне рішення прийнято називати оптимальним планом.

Змістовна постановка задачі повинна дозволяти переходити до строгої математичної моделі. У противному разі необхідно пройти досить трудомісткі й копіткі процедури математичного моделювання й ідентифікації виробничих процесів, що у даному курсі не розглядаються.

У загальному вигляді екстремальна задача формулюється наступним чином: знайти найбільше (максимальне) або найменше (мінімальне) значення деякої функції Y(xl,x2, … ,xn) при умовах fi(х1,х2, ... ,хn)≤bi (і =1,m), і де y і fi - задані функції, а bi - дійсне число.

Наведене формулювання є узагальненням постановок ряду часткових задач математичного програмування, що можуть розрізнятися між собою як видом функцій y і fi (лінійні, нелінійні, стохастичні), так і характером (дискретний, неперервний) змінних.

Функцію Y(xl,x2,---,xn), яку мінімізують або максимізують, називають цільовою функцією.

Залежно від особливостей функцій у і fi математичне програмування можна розподілити на ряд самостійних дисциплін, що вивчають і розробляють методи вирішення окремих класів екстремальних задач. Насамперед, задачі математичного програмування розподіляються на задачі лінійного і нелінійного програмування. При цьому якщо усі функції y і fi є лінійними, то відповідна задача відноситься до класу задач лінійного програмування. Якщо ж хоча б одна із зазначених функцій є нелінійною, то відповідна задача належить до класу задач нелінійного програмування.

Окремими класами задач математичного програмування є задачі цілочислового, параметричного і дрібно-лінійного програмування.

У задачах цілочислового, або дискретного програмування частина або всі невідомі можуть приймати тільки цілочислові значення.

У задачах параметричного програмування цільова функція або функції обмежень, що визначають область можливих змін змінних, (або і те і інше) залежать від деяких параметрів.

У задачах дрібно-лінійного програмування цільова функція являє собою відношення двох лінійних функцій, а функції, що визначають область припустимих рішень, також є лінійними.

Особливі класи становлять задачі стохастичного і динамічного програмування.

Стохастичне програмування використовують для вирішення задач, в яких обмеження миють імовірний, випадковий характер, тобто, необхідно враховувати вплив яких-небудь непередбачених обставин. Як і цільова функція в задачах стохастичного програмування може служити математичне очікування деякого виробничого показника.

До задач такого типу відносяться:

комплектування ремонтних підприємств устаткуванням, коли заздалегідь невідомий обсяг робіт;

визначення необхідної кількості транспортних засобів на пасажирських маршрутах, коли: обсяг перевезень має випадковий характер;

визначення запасів деяких ресурсів, коли його постачання має випадковий характер.

За допомогою лінійного, нелінійного, цілочислового і стохастичного програмування вирішуються задачі, що зводяться до відшукання оптимального рішення без урахування можливої динаміки виробничого процесу, тобто без урахування чинника часу.

У динамічному програмуванні мають місце багатоетапні задачі, що вимагають оптимізації прийнятих рішень не як одиничного акту, а з урахуванням розвитку явища, його зміни в часі.

Переваги динамічного програмування:

можливість поетапного аналізу результатів у процесі вирішення задачі, визначення оптимальної стратегії з урахуванням чинника часу;

поглиблення раніше розроблених методів кількісного і якісного дослідження природи економічних процесів;

більш об'єктивне, повне і точне вирішення планово-економічних і виробничих завдань.

Таким чином, математичне програмування є важливим інструментарієм побудови економіко-математичних моделей оптимізації, що досліджує екстремальні задачі і розробляє методи вирішення. Математичне програмування як наука знаходиться в процесі постійного розвитку. Вченими всього світу розроблено багато методів для вирішення різних класів задач математичного програмування. Разом з тим багато задач ще не мають ефективних методів вирішення і чекають своїх дослідників.

Вирішення екстремальної економічної задачі складається з наступних етапів:

побудови економіко-математичної моделі, тобто обґрунтування критерію оптимізації, виявлення і формалізації у вигляді системи рівнянь або нерівностей найбільш істотних обмежень задачі;

вибору математичного методу, що дозволяє за кінцеве число кроків одержати шукане рішення з будь-якою заздалегідь заданою точністю, або вибору відповідної комп'ютерної технології;

знаходження оптимального плану й аналізу отриманих результатів з позицій можливого їхнього практичного застосування, оскільки в «економіко-математичній моделі розв'язуваного завдання враховуються тільки найбільш істотні зв'язки і залежності, а не всі, що мають місце в реальному виробництві.

З погляду економіста оптимальним називається такий план виробництва, що є найкращим з позицій досягнення максимального або мінімального рівня конкретного техніко-економічного критерію оцінки використання виробничого потенціалу і наявних ресурсів.

Критерієм оптимальності називається показник, за яким оцінюється міра ефективності плану. Критерій оптимальності повинен бути однозначним і мати кількісний вираз.

Для побудови економіко-математичної моделі найбільш часто використовуються задачі лінійного програмування. Тому розглянемо їх більш докладно.

Загальна задача лінійного програмування формулюється таким чином: знайти оптимум лінійної функції у(х), якщо на змінні задачі накладені лінійні обмеження у вигляді рівностей і нерівностей.

Аналітичний запис цього завдання має такий вигляд:

y(x)=cTx+c0→ opt , (2.1)

xΩRn

Ω: A1x+b10; (2.2)

A2x+b2=0; (2.3)

A3x+b30; (2.4)

x0, (2.5)

де x - n - мірний вектор дійсних змінних; с - n - мірний вектор коефіцієнтів; С0 - вільний член у складі функції у; A1, А2, А3 - матриці коефіцієнтів лінійних систем розмірності m1×n, m2×n, m3×n відповідно, m2<n; b1, b2 ,b3 - вектори вільних членів обмежень розмірності m1×1, m2×1, m3×1 відповідно.

Часткові задачі лінійного програмування можуть не містити однієї або двох систем обмежень типу (2.2) - (2.4), все рівно яких. Крім того, замість умови невід'ємності (2.5) може мати місце двостороння або одностороння обмеженість змінних.

Задачу, складену з (2.1), (2.2) і (2.5), називають стандартною задачею лінійного програмування.

Канонічна, або основна задача лінійного програмування має такий вигляд:

y(x)=cTx+c0→ max; (2.6)

xΩRn

Ω: Ax+b=0; (2.7)

x≥0, (2.8)

де A - матриця коефіцієнтів розмірності m×n, m<n; b - вектори вільних членів розмірності m×1.

Очевидно, що обмеження-нерівність типу "" можна перетворити в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової невід'ємної змінної, а кожне обмеження-нерівність типу "≥" - в обмеження-рівність шляхом вирахуванням з його лівої частини додаткової невід'ємної змінної. Задачу мінімізації лінійної функції y можна звести задачі максимізації шляхом множення останньої на -1. Таким чином задачу лінійної оптимізації (2.1) - (2.5) завжди можна перетворити в задачу (2.6) - (2.8) і навпаки.

Складання економіко-математичної моделі загальної задачі математичного програмування або її канонічної форми вимагає певних зусиль і кмітливості Але досвід складання економіко-математичних моделей швидко накопичується. Досить мати практику вирішення декількох задач, щоб надалі не мати особливих труднощів при переході від змістовної постановки задачі лінійного програмування до формальної (аналітичної) [61].

2.3. Види економіко-математичних моделей оптимізації

При здійсненні господарської діяльності підприємством можуть бути сформовані наступні види економіко-математичних моделей оптимізації:

1. Економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції.

2. Економіко-математичні моделі розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства.

3. Економіко-математична модель розподілу капітальних вкладень.

Економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції розробляються для максимізації прибутку від реалізації продукції. В загальному вигляді ця функція моделі має наступний вигляд:

, (2.9)

де - функція максимізації прибутку;

- номер, вид виробляємої продукції;

- кількість видів продукції;

- номер підприємства;

- кількість підприємств;

- прибуток від реалізації одиниці продукції на -ому підприємстві;

- обсяг виду продукції на -ому підприємстві.

При цьому використовуються наступні обмеження:

Обсяг споживання ресурсів не повинен виду продукції не повинен перевищувати загальний обсяг використаних ресурсів на підприємстві.
Обсяг виду виробленої продукції дорівнює плану випуску цієї продукції.
Обсяг виду виробленої продукції знаходиться між нижньою і верхньою границею виробництва цієї продукції на -ому підприємстві.
Обсяг виду виробленої продукції на -ому підприємстві перевищує нуль.

В основі економіко-математичної моделі розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства є наступна функція:

, (2.10)

де - вартість одиниці продукції i-го постачальника;

- капітальні витрати на одиницю готової продукції;

- коефіцієнт ефективності капітальних вкладень;

- транспортні витрати по перевезенню одиниці продукції i-го постачальника j покупцю;

- обсяг поставок продукції i-го постачальника j покупцю.

При цьому вводяться наступні обмеження:

Обсяг поставок продукції i-го постачальника j покупцю не перевищує потужність i-го постачальника.
Обсяг поставок продукції i-го постачальника j покупцю дорівнює попиту j покупця.
Обсяг поставок продукції i-го постачальника j покупцю дорвінює або перевищує нуль.

При побудові економіко-математичної моделі розподілу капітальних вкладень по проектам враховується функція, яка полягає в максимізації можливого дохіду від реалізації j варіанту капітальних вкладень ():

, (2.11)

де р - загальна кількість проектів;

j - варіант (індекс) проекту капітальних вкладень;

- можливий дохід від реалізації j варіанту капітальних вкладень.

Обмеження для виконання цієї функції наступні:

Загальна кількість варіантів капітальних вкладень повинна перевищувати або дорівнювати кількості видів продукції.
Обсяг капітальних вкладень по j варіанту не повинен перевищувати загальний річний обсяг капітальних вкладень.
Якщо обсяг виробляємої продукції досягає одиниці, то проект приймається, якщо цей обсяг дорівнює нулю – проект відхиляється.

В економічному моделюванні використовують і розв’язують задачи безумовної оптимізації, в яких задається лише одна цільова функція. В задачах безумовної оптимізації не існує обмежень і граничних умов. У цих задачах поняття оптимуму та екстремуму збігаються, і для знаходження оптимуму в них застосовуються методи знаходження екстремуму. Слід відзначити, що найбільше або найменше значення це екстремум, а оптимум – оптимальне найбільше або найменше значення.

В цих задачах знаходяться першу похідну функції, дорівнюють її до нуля, знайти парамтери моделі, знайти другу похідну і визначити її знак. Якщо друга похідна більша за 0, то точка х — мінімум функції.

Методами розв'язання задач умовної оптимізації:

1. Метод штрафних функцій, в якій мінімізується нова цільова функція, яка містить у собі першу цільову функцію та задані обмеження. При цьому визначається штрафна функція.

2. Метод Лагранжа – полягає у побудові функції виду: L(xx, х2, X) =f(xv х2) + Xg(xv х2), тобто, зведення задачі на умовний екстремум двох незалежних змінних до задачі на абсолютний екстремум функції L{xy, x2, X) трьох незалежних змінних х1, х2, X. Функція Лагранжа є сумою цільової функції та функції обмеження, помноженої на нову незалежну змінну X (множник Лагранжа), яка має перший порядок. Для знаходження точок умовного локального екстремуму функції за наявності обмеження слід насамперед знайти критичні точки функції Лагранжа. Потім критичні точки функції Лагранжа потрібно скоротити на координати X. Потім кожну одержану скорочену точку необхідно проаналізувати, чи є вона точкою умовного екстремуму функції за даних обмеженнях чи ні.

Питання та завдання для самоконтролю до змістового модуля 1

Питання для самоконтролю:

Що таке економіко-математичне моделювання?
Назвіть етапи розвитку економіко-математичного моделювання?
Визначте поняття «Модель» і які види моделей Ви можете назвати.
Назвіть основні етапи моделювання?
Які види явищ Ви знаєте?
Визначте випадкову величину і її числову характеристику?
Назвіть і охарактеризуйте закони розподілу випадкової величини?
Як перевіряють статистичні гіпотези?
Назвіть етапи попередньої обробки інформації?
Охарактеризуйте оптимізаційні моделі і назвіть їх види.
В чому полягають задачі умовної і безумовної оптимізації.
Які методи використовуються для вирішення задач умовної і безумовної оптимізації і в чому вони полягають.
В чому полягають економіко-математичні моделі оптимізації випуску продукції, розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства, розподілу капітальних вкладень по проектам.

Завдання для самоконтролю:

1. Встановити, при якому обсязі спостережень n вибірка є генеральною сукупністю, якщо Р=0,95 або 95%, =0,80 і =4,18?

2. Є вибірка обсягом n=100 спостережень. Середнє значення по вибірці = 10,12; середнє квадратичне відхилення =5,12; рівень значущості =0,05; максимальне значення ознаки уmах=26,16; мінімальне - уmіn=3,09. Визначити можливість використання в подальших дослідженнях уmах і уmіn.

3. По двох об'єктах зібрана інформація з наступними кількісними характеристиками: n1=45; n2=46; 1=15,17; 2=12,5; σy12=61,4; σy22=55,6. Визначте рівень значимості при формуванні гіпотези про однорідність сукупності вибіркових даних.

4. Визначити закон розподілу витрат часу проходження рухомим складом маршруту між двома зупинками (хвил.) при n=190 спостережень і ymin=0,50 хв., ymax=1,46 хв. Розмір інтервалу складає 0,1. Побудуйте гістограму і полігон розподілу. Розрахуйте показники нормального закону розподілу.

5. Знайдіть екстремум функції випуску продукції у вигляді у = f(x) аналітичним методом.

6. Знайдіть екстремум функції у = х1 + х2 за умови х1 + х2 - 1 = 0 або розв’яжіть задачу на умовний екстремум методом Лагранжа.

Зиістовий модуль 2

Лінійне програмування в економічних процесах

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її розв’язування

Сутність і методи лінійного програмування.
1. Особливості задач лінійного програмування та практичні аспекти їх вирішення.
2. Транспортна задача. Математичне формулювання і алгоритм вирішення.

Поняття: лінійне програмування; симплекс-метод; метод внутрішніх крапок; цільова функція; класична модель транспортної задачі; математична модель реальної транспортної задачі; метод північно-західного кута

Література: [14], [26], [29], [47], [50], [56], [61], [63], [64], [67], [80]

3.1. Сутність і методи лінійного програмування

Лінійне програмування використовує математичний інструментарій, який базується на теорії і методах вирішення задач про екстремуми лінійних функцій, що задаються системами лінійних рівнянь. Термін «програмування» визначається як «планування».

Найбільш універсальним методом є диференціальний алгоритм, логічно випливає з диференціального алгоритму загальної задачі математичного програмування. Диференціальний алгоритм, як і широко відомий симплекс-метод, дозволяє вирішувати будь-які задачі лінійного програмування. однак для деяких класів задач лінійного програмування доцільно використовувати більш прості методи. Так, для вирішення задач із кількістю змінних, рівною двом, використовують графічний метод, що відзначається простотою і наочністю, але потребує графічних побудов. Для вирішення задач лінійного програмування, відомих як транспортні, використовують метод потенціалів.

Методичною основою обчислювальних процедур будь-якого методу є принцип аналізу і послідовного поліпшення деякого початкового плану розподілу і використання ресурсів. План поліпшують доти, поки не буде знайдений найкращий (оптимальний) варіант. Іншими словами, спочатку складається деякий початковий план, що аналізується за конкретними строго розробленими правилами. На підставі аналізу визначаються можливість і напрямок поліпшення початкового варіанта плану. Потім обчислюється новий план, що піддається такому ж аналізу і подальшому поліпшенню, тобто наближенню до оптимуму. Обчислювальний процес продовжується доти, поки аналіз не покаже неможливість дальшого поліпшення.

Слід декілька слів сказати про симплекс-метод. Він використовується до вирішення будь-якої задачі лінійного програмування. Сутність симплекс-методу полягає в тому, що, відправляючись з деякої довільної вершини багатокутника обмежень, переходять до обчислення тільки такої вершини, в якій значення лінійної форми буде більше, ніж в попередній. Решта варіантів не обчислюється. Тоді при кінцевому порівняно малому числі кроків може бути знайдений оптимальний план. Таким чином, проводиться впорядкований перебір вершин, при якому відбувається постійне збільшення лінійної форми. В цьому аспекті симплексний метод називається також методом послідовного поліпшення плану.

Вирішення задач лінійного програмування симплекс-методом полягає:

- по-перше, в розробці базового рішення на оптимальність. Якщо воно оптимальне, то задача вирішена, в іншому випадку виконують другий етап;

- по-друге, визначаються вектор , який повинен бути введений в базис, і вектор , який повинен бути виключений з нього, тобто виходить новий базисний план з великим значенням лінійної форми. Щоб знайти вектори і , заміна яких забезпечує найбільше зростання лінійної форми, виразимо всі вектори, що не входять в базис, через базисні вектори

(3.1)

де aij - проекції вектора на вектор . Запишемо систему обмежень у векторній формі в наступному вигляді:

(3.1)

Оскільки то

(3.2)

Співвідношення (3.2) дає рішення тільки у тому випадку, коли коефіцієнти при векторах і нового базису будуть ненегативними, тобто

і (3.3)

Відповідне нове значення лінійної форми прийме вигляд

(3.4)

Позначимо

(3.5)

Тоді значення лінійної форми в новій вершині багатокутника рішення можна знайти з рівняння

(3.6)

Величину dj називають оцінкою плану. В симплексному методі параметри dj відіграють важливу роль: їх знаки дозволяють визначити, чи є опорний план оптимальним. Якщо dj0 для всіх j, то даний опорний план є оптимальним, оскільки на підставі (3.6) і зважаючи на q ³ 0 перехід до будь-якої нової вершини веде до убування лінійної форми. Якщо опорний план неоптимальний, то можливі два випадки:

1. Є хоча б один індекс j = k для якого dk < 0 і всі відповідні компоненти В цьому випадку лінійна форма не обмежена зверху і задача нерозв'язна.

2. Для деяких j dj < 0 і для кожного такого j, принаймні, одна з проекцій aij >0. Тоді при переході до наступної вершини лінійна форма зростає і план поліпшується. Для найшвидшого зростання L необхідно в базис включити той вектор , для якого оцінка dk < 0 і максимальна по модулю, а вектор , для якого значення позитивно і мінімально, виключити.

Також при лінійному програмуванні використовують методи еліпсоїдів, метод внутрішніх крапок, методи логарифмічних бар'єрних функцій нелінійного програмування. В цих методах вирішення задач лінійного програмування здійснюється шляхом пошуку уздовж траєкторій в просторі змінних задачі, що не проходять через вершини багатокутника.

3.2. Особливості задач лінійного програмування та практичні аспекти їх вирішення

Задачам лінійного програмування властиві наступні особливості:

1. Цільова функція є зваженою лінійною сумою від невідомих змінних xi вигляду:

. (3.7)

де ci – коефіцієнти цільвої функції. Таку цільову функцію часто називають лінійною формою.

2. Обмеження, що накладаються на область можливих рішень, мають вид лінійної рівності або нерівності:

. (3.8)

де aij, bi – значення показників цільової функції, причому величини aij, xi, bi позитивні.

Розглянемо деякі практичні аспекти вирішення задач лінійного програмування.

Приклад. Фірма виробляє дві моделі А і В збірних книжкових полиць. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дощок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібен 3 м2 дощок, а для моделі В - 4 м2. Фірма може одержувати від своїх постачальників до 1700 м2 дощок в тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 12 хв. машинного часу, а для виробу моделі В - 30 хв. В тиждень можна використовувати 160 годин машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі в тиждень, якщо кожний вироб моделі А приносить 2 грн. прибутку, а кожний виріб моделі В - 4 грн. прибутку?

Вирішення

Побудова математичної моделі.

Хай x1 - кількість випущених за тиждень полиць моделі А, а x2 - кількість випущених полиць моделі В.

Тоді: 3x1 - кількість дощок, що необхідно на тиждень для виготовлення полиць моделі А

4x2- кількість дощок, що необхідно на тиждень для виготовлення полиць моделі В

3x1 + 4x2- кількість дощок що вимагаються на тиждень для виготовлення книжкових полиць двох моделей, а за умовами задачі це число не повинно перевищувати 1700 м2, отже, одержуємо перше обмеження:

3x1+ 4x2<=1700 (1)

Знайдемо обмеження на використання машинного часу.

12 хв. складають 0,2 години, а 30 хв. - 0,5 години, таким чином:

0,2x1 - кількість часу, що вимагається на тиждень для виробництва полиць моделі А;

0,5x2 - кількість часу, що вимагається на тиждень для виробництва полиць моделі В;

0,2x1 + 0,5x2 - кількість часу, що необхідно на тиждень для виробництва двох моделей, а по умові задачі це число не повинно перевищувати 160 годин, отже, одержуємо друге обмеження:

0,2x1 + 0,5x2<=160 або 2x1 + 5x2<=1600 (2)

Крім того, оскільки x1 і x2 виражають щотижневий обсяг виробів, що випускаються, то вони не можуть бути негативними, тобто

x1>=0, x2>=0 (3)

Ця задача полягає в тому, щоб знайти такі значення x1 і x2, при яких щотижневий прибуток буде максимальним. Складемо вираз для щотижневого прибутку:

2x1 - щотижневий прибуток, який одержаний від продажу полиць моделі А.

4x2 - щотижневий прибуток, який одержаний від продажу полиць моделі В

Тоді F=2x1 + 4x2 - щотижневий прибуток, який повинен бути максимальним. Таким чином, маємо наступну математичну модель для даної задачі.

F=2x1 + 4x2->max

Отримана модель є задачею лінійного програмування. Функція F - це цільова функція, вона є лінійною функцією своїх змінних(x1 і x2). Обмеження на ці змінні (1) і (2) теж є лінійними. Виконана умова позитивності для змінних x1 і x2.

Необхідно знайти значення змінних x1 і x2, при яких дана функція F приймає максимальне значення, при дотриманні обмежень, що накладаються на ці змінні.

Рішення, що задовольняють системі обмежень і вимогою позитивності, є допустимими, а рішення, що задовольняють одночасно і вимогою мінімізації (максимізації) функції в цілому є оптимальними.

3.3. Транспортна задача. Математичне формулювання і алгоритм вирішення

В аспекті вирішення задач лінійного програмування розглянемо математичне формулювання і алгоритм розв’язання транспортної задачі.

Змістовна постановка задачі: Однорідний продукт, зосереджений у m пунктах відправлення в кількостях а1, а2, ... аm одиниць відповідно, необхідно доставити в кожний із n пунктів призначення в кількості b1, b2, ... bn одиниць відповідно. Вартість (відстань) перевезення одиниці продукту з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення дорівнює сij і відома для кожного маршруту. Нехай xij - кількість продукту, перевезеного з і-ro пункту відправлення в j-й пункт призначення. Задача полягає у визначенні таких розмірів xij для всіх маршрутів, при яких сумарна вартість (відстань) перевезень була б мінімальною.

Математична модель задачі:

Позначимо:

сij - тарифи (вартість, час, відстань) перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

ai - запаси вантажу в i-му пункті відправлення;

bі — потреба у вантажі в j-му пункті призначення;

xij - кількість одиниць вантажу, перевезеного з 1-го пункту відправлення в j-й пункт призначення.

Тоді математична модель транспортної задачі про планування перевезень має такий вигляд:

m n

y=∑∑cijxij→min; (3.9)

i=1 j=1 xijΩ

m ____

Ω: fj=∑xij=bi, j=1,n; (3.10)

i=1

n ____

fn+i=∑xij=ai, i=1,m; (3.11)

j=1 _______ _______

xij≥0; i=1,m; i=1,m. (3.12)

Тут (3.9) - цільова функція, що визначає вартість перевезень усього вантажу. Саме екстремальне (мінімальне) значення цієї функції необхідно знайти в задачі. Причому значення змінних хij, при яких цільова функція досягає свого мінімуму, повинні належати області припустимих рішень Ω.

Вирази (3.10) - (3.12) визначають область припустимих рішень Ω. При цьому вираз (3.10) відбиває потреби у вантажі в пунктах призначення, вираз (3.11) визначає запаси вантажів у пунктах відправлення, а вираз (3.12) відокремлює негативну область значень хij, в яку дані змінні не можуть потрапляти за своїм фізичним змістом.

Вирази (3.10)-(3.12) називаються обмеженнями задачі лінійного програмування. Вирішення задачі (частковий набір значень змінних xi) називається припустимим, якщо воно одночасно задовольняє всім 1 обмеженням задачі. Вирішення задачі називається оптимальним, якщо воно забезпечує оптимум (у даному випадку мінімум) функції цілі.

Вважатимемо, що функції y,f1,f2, ... ,fn - неперервні лінійні функції, задані на невід'ємному ортанті евклідового простору Rn. Дані функції мають місце, коли перевезений вантаж є рідиною, сипкою речовиною, дрібними заготівлями або дрібною неспакованою продукцією. Такий вантаж характеризується параметрами, що являють собою вагу, довжину (погонні метри), площу (квадратні метри), об'єм і т.п.

Якщо загальна потреба у вантажі в пунктах призначення дорівнює запасу вантажу в пунктах відправлення, тобто

m n

∑ai=∑bj , (3.13)

i=1 j=1

то модель такої транспортної задачі називається закритою. У противному випадку - відкритою.

Теорема 1.1. Для можливості розв'язання транспортної задачі необхідно і достатньо, щоб запаси вантажу в пунктах відправлення були рівні потребам у вантажі в пунктах призначення, тобто щоб виконувалася рівність (3.13).

У випадку перевищення запасу над потребою, тобто вводиться фіктивний (n+1)-й пункт призначення з потребою . При цьому відповідні тарифи вважаються рівними нулю:ci,n+1=0 (i=1,m) .Така задача буде вже транспортною задачею, для якої умова (3.13) виконується.

Аналогічно, якщо , вводиться фіктивний (m+1)-й пункт відправлення з запасом вантажу . При цьому відповідні тарифи вважаються рівними нулю: cm+1,j=0 (j=1,n). Така задача буде вже транспортною задачею, для якої умова (3.13) виконується.

Далі будемо розглядати закриту модель транспортної задачі. Якщо ж модель конкретної задачі є відкритою, то, виходячи зі сказаного вище, її необхідно перетворити так, щоб виконувалася рівність (3.13).

У відкритій моделі область припустимих значень (за інших рівних умов) значно ширше, тому цільова функція досягає кращих значень або, принаймні, не гірше.

Особливості вирішення закритої транспортної задачі:

Визначення 1.1. Усяке невід'ємне рішення систем лінійних рівнянь (3.10) і (311) , що обумовлене матрицею X={xij], i=1,m, j=1,n, називається планом транспортної задачі.

Визначення 1.2. План X* =[x*ij], i=1,m, j=1,n, при якому функція (3.9) приймає своє мінімальне значення, називається оптимальним планом транспортної задачі.

Число перемінних xijy транспортній задачі з m пунктами відправлення і n пунктами призначення дорівнює mn, а число рівнянь у системах (3.10) і (3.11) дорівнює m+n. Оскільки передбачається, що виконується умова (3.13), то число лінійно незалежних рівнянь дорівнює m+n-1. Отже, опорний план транспортної задачі може мати не більше m+n-1 відмінних від нуля невідомих.

Визначення 1.3. План X* =[x*ij], i=1,m, j=1,n є опорним невиродженим, якщо в ньому кількість відмінних від нуля компонентів у точності дорівнює m+n-1, а якщо менше - то виродженим.

Для визначення опорного плану існує декілька методів. Один з них - метод північно-західного кута - буде розглянутий нижче.

Як і для всякої задачі лінійного програмування, оптимальним план транспортної задачі є також опорним планом. Для визначення оптимального плану транспортної задачі можна використовувати диференціальний алгоритм, симплекс-метод та інші універсальні методи. Однака через виняткову практичну важливість цієї задачі і специфіку її обмежень (кожна невідома входить лише в два рівняння систем (3.10) і (3.11), а коефіцієнти при невідомих дорівнюють одиниці) для визначення оптимального плану транспортної задачі розроблені спеціальні методи. Один з них - метод потенціалів - розглядається в даному курсі.

За звичаєм вихідні дані транспортної задачі записують у вигляді табл.3.1.

Таблиця 3.1. Вихідні дані транспортної завдання

Пункти відправлення	Запаси	Пункти призначення
		1	2	…	j	…	n
		Потреби
		b1	b2	…	b1	…	bn
1	a1	c11 x11	c12 x12	…	c1j x1j	…	c1n x1n
2	a2	c21 x21	c22 x22	…	c2j x2j	…	c2n x2n
…	…	…	…	…	…	…	…
i	ai	ci1 xi1	ci2 xi2	…	cij xij	…	cin xin
…	…	…	…	…	…	…	…
m	am	cm1 xm1	cm2 xm2	…	cmj xmj	…	cmn xmn

Визначення початкового опорного плану транспортної задачі: Вирішення транспортної задачі починають із знаходження будь-якого опорного плану. Для цього розроблені специфічні методи. Один з них одержав у літературі назву "метод північно-західного кута". Іноді його називають також "діагональним методом", "методом перехідних приступів" і т. ін.

Сутність методу полягає в тому, що опорний план знаходять за m+n-1 кроками, на кожному з яких у таблиці транспортної задачі заповнюють одну клітку. Заповнення однієї клітки забезпечує цілком або задоволення потреби у вантажі одного з пунктів призначення (відповідно до того, в стовпці якого знаходиться клітка), або вивіз вантажу з одного з пунктів відправлення (відповідно з того, в рядку якого знаходиться клітка).

Заповнення таблиці слід починати з лівого верхнього квадрата (північно-західного кута). З позиції цього квадрата порівнюють запас вантажу в першому пункті відправлення з потребою першого пункту призначення. Вибирають менший розмір і записують у даний квадрат, який з цього моменту стає "зайнятим". Якщо в клітку записується потреба пункту призначення, то з подальшого розгляду виключають відповідний стовпець таблиці і переходять у ліву сусідню клітку. Якщо в клітку записується запас пункту відправлення, то з подальшого розгляду виключають відповідний рядок таблиці і переходять у сусідню клітку, що знаходиться нижче заповненої.

У новій клітці для частини таблиці, що залишилася, повторюють процедуру першого кроку з урахуванням зміни запасу вантажу одного з І відправників або потреби у вантажі одного з одержувачів у результаті попереднього кроку.

Після m+n-2 описаних вище кроків одержують задачу з одним пунктом відправлення і одним пунктом призначення. При цьому залишається вільною тільки одна клітка, а запаси пункту відправлення дорівнюватимуть потребам пункту призначення. Заповнення цієї клітки, тобто здійснення (m+n-1)-го кроку приводить до шуканого опорного плану.

Слід зауважити, що в процесі використання методу північно-західного кута може трапитися, що потреби у вантажі чергового пункту призначення рівні запасам чергового пункту відправлення. У цьому випадку з подальшого розгляду виключають або стовпець, або рядок, тобто тільки що-небудь одне. Таким чином, запаси відповідного пункту відправлення, або потребу відповідного пункт призначення вважають рівними нулю. Цей нуль записують у чергову клітку, яка заповнюється [61].

Зазначені вище умови гарантують одержання m+n-1 зайнятих кліток, у яких знаходяться компоненти опорного плану.

Опорний план перевезень повинен відповідати таким вимогам:

по-перше, кількість зайнятих маршрутів (кліток) повинно бути на одиницю менше суми числа постачальників т і числа споживачів п, тобто повинна дорівнювати значенню m+n-1;

по-друге, не повинно бути жодного зайнятого маршруту (клітки), що опинився: б єдиним і в рядку, і в стовпці таблиці.

Визначення оптимального опорного плану транспортної задачі:

Для відзначення оптимального плану транспортної задачі розроблено декілька методів. Найбільш часто використовується метод потенціалів. Метод припускає, що вже відомий якийсь опорний план. Його можна одержати, наприклад, розглянутим методом північно-західного кута. Вихідний опорний план необхідно перевірити на оптимальність.

Теорема 1.2. Якщо для деякого опорного плану X* =[x*ij], i=1,m, j=1,n транспортної задачі з заданими тарифами перевезень cij існують такі числа αi(i=1,m) i βj(j=1,n), що

βi-αj=cij при xij>0 (3.14)

і βi-αj≤cij при xij=0 (3.15)

для всіх i=1,m і j=1,n, то X* =[x*ij] - оптимальний план.

Визначення 1.4. Числа αi(i=1,m) i βj(j=1,n) називаються потенціалами відповідно пунктів відправлення і пунктів призначення.

Теорема 1.2 дозволяє побудувати алгоритм знаходження рішення транспортної задачі. Він являє собою наступне.

Нехай знайдений опорний план транспортної задачі. Для кожного з пунктів відправлення і призначення визначають потенціали αi(i=1,m) i βj(j=1,n) із системи рівнянь

βi-αj=cij. (3.16)

Тому що число заповнених кліток дорівнює n+m-1, то система (3.16) із n+m невідомими містить n+m-1 рівнянь. Оскільки число невідомих перевищує на одиницю число рівнянь, одне з невідомих потрібно взяти рівним довільному числу, наприклад α1=0, і знайти послідовно із системи (3.16) значення інших невідомих.

Після того, як усі потенціали знайдені, дія кожною з вільних кліток визначають числа αij=βi-αj-cij. Якщо серед чисел αij немає позитивних, то знайдений опорний план є оптимальним. Якщо ж для деякої вільної клітки αij>0, то опорний план , що перевіряється , не є оптимальним, і треба перейти до нового опорного плану. Для цього розглядають усі вільні клітки, для яких αij>0, і вибирають ту, для якої число αij максимальне. Обрану клітку необхідно заповнити.

Заповнюючи обрану клітку, треба змінити обсяги перевезень, записаних у ряді інших зайнятих клітках і зв'язаних з обраною циклом.

Визначення 1.5. Циклом у таблиці транспортної задачі називається замкнута ломана лінія, вершини якої розташовані в зайнятих клітках таблиці, а ланки - уздовж рядків і стовпів, причому в кожній вершині циклу зустрічаються рівно дві ланки, одна з яких знаходиться в рядку, а інша - у стовпці.

Якщо ломана лінія, що складає цикл, перетинається сама із собою, то точка самоперетину не є вершиною.

При правильній побудові опорного плану для будь-якої вільної клітки можна побудувати тільки один цикл. Після того як для обраної вільної клітки він побудований, необхідно перейти до нового опорного плану. Для цього треба перемістити вантажі в межах кліток, що утворюють цикл. Переміщення роблять за такими правилами:

кожній з кліток, пов'язаних циклом з обраною вільною кліткою, і приписують знак "+" або "-", причому вільній клітці - знак плюс, а всім іншим кліткам - по черзі знаки мінус і плюс;

у вільну клітку переносять менше з чисел xij, що знаходяться в мінусових клітках, і одночасно це число додають до відповідних чисел, і що знаходяться "плюсових" клітках, і віднімають із чисел, що знаходяться в "мінусових" клітках. Клітка, що раніше була вільною, стає зайнятою, а "мінусова" клітка, в якій стояло мінімальне число xij, стає вільною.

У результаті зазначених вище переміщень вантажів у межах кліток, пов'язаних циклом з обраною вільною кліткою, визначають новий опорний план транспортної задачі. Число зайнятих кліток залишається рівним n+m-1. Якщо в зайнятих "мінусових" клітках циклу є два і більше однакових мінімальних чисел xij, то звільняють тільки одну з таких кліток, а інші залишають зайнятими з нульовими постачаннями.

Отриманий новий опорний план транспортної задачі перевіряють на оптимальність. Для цього визначають потенціали пунктів відправлення і призначення і знаходять числа αij=βi-αj-cij для всіх вільних кліток. Якщо серед цих чисел не буде позитивних, то це означає, що новий опорний план є оптимальним. Якщо ж є позитивні числа, то І необхідно перейти до нового опорного плану. У результаті ітераційного плану кінцевого числа переходів одержують оптимальний план процесу після задачі.

Таким чином, процес знаходження рішення транспортної задачі методом потенціалів включає наступні етапи:

1-й етап. Знаходять опорний план.

2 й етап. Знаходять потенціали пунктів відправлення; і призначення.

3-й етап. Визначають числа αij для кожної вільної клітки. Якщо серед них немає позитивних, то отримано оптимальний план транспортної задачі, у противному разі переходять до нового опорного плану.

4-й етап. Вибирають серед позитивних чисел αij максимальне, будують для відповідної вільної клітки цикл перерахування і роблять зсув за циклом, одержуючи при цьому новий опорний план. Далі переходять до 2-го етапу.

Розглянемо приклад вирішення транспортної задачі методом потенціалів.

Приклад вирішення транспортної задачі методом потенціалів:

Приклад 1.1. Три заводи, що виготовляють бетоні конструкції, постачаються цементом з чотирьох складів. Попит заводів bj відповідно дорівнює 280, 90 і 180 тис.т/міс. Пропускна здатність складів ai,- відповідно становить 200, 150, 80 і 120 тис.т/міс. Відстані перевезень (у км)

із і-го складу на j-й завод подані в матриці C=[cij]=

Потрібно скласти план перевезень цементу зі складів на заводи, що задовольняв би пропускним спроможностям складів і потребам заводу, а сумарний пробіг вантажного транспорту був би мінімальним.

Вирішення

Позначимо через xij - кількість цементу, який щомісяця потрібно доставляти щомісяця на j-го завод з i-го складу. Тоді математична модель задачі має вигляд:

y=x11+5x12+3x13+6x21+8x22+9x23+2x31+7x32+4x33+4x41+x42+11x43→min; (3.17)

xijΩ

Ω: x11+x21+x31+x41=280; (3.18)

x12+x22+x32+x42=90; (3.19)

x13+x23+x33+x43=180; (3.20)

x11+x12+x13=200; (3.21)

x21+x22+x23=150; (3.22)

x31+x32+x33=80; (3.23)

x41+x42+x43=120; (3.24)

xij0. (3.25)

Тут (3.17) - цільова функція, (3.18) - (3.20) - обмеження задачі! що визначають місячні запаси цементу на складах, (3.21) - (3.24) – обмеження задачі, що визначають місячну потребу в цементі на заводах (3.25) - обмеження, що визначає неможливість негативних значень для постачань цементу на заводи.

1-й крок. 1-й етап. Використовуючи метод північно-західного кута, знайдемо опорне рішення транспортної задачі (3.17)- (3.25).

Відповідно до цього методу заповнюємо таблицю, починаючи лівого верхнього квадрата. Порівнюємо запас вантажу в першому пункті відправлення (200 тис.т/міс.) із потребою першого пункту призначення (280 тис.т/міс.). Вибираємо меншу величину (200) і записуємо її в даний квадрат. Оскільки весь запас у першому пункті відправлення вичерпаний, то з подальшого розгляду виключаємо перший рядок і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться нижче заповненої. У новій клітці для частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення верхньої лівої клітки, але з урахуванням того, що потреба першого пункту призначення зменшилася на 200 тис.т/міс. і стала рівною 80 тис.т/міс. Тобто порівнюємо запас другого пункту відправлення (150 тис.т/міс.) із новою потребою першого пункту призначення (80 тис т/міс). Вибираємо меншу величину(80) і записуємо її в нову клітку Оскільки потреба у вантажі в першому пункті призначення повністю задоволена, то з подальшого розгляду виключаємо перший стовпець і переходимо в сусідню клітку, що знаходиться справа від тільки що заповненої. Для нової верхньої лівої клітки частини таблиці, що залишилася, повторюємо процедуру заповнення з урахуванням зміни запасу в другому пункті відправлення на 50 тис.т/міс. І так доти, поки не буде заповнено m+n-2 кліток.

Остання (m+n-2)-я клітка заповнюється механічно - у неї записується залишкова потреба останнього пункту призначення або залишковий запас останнього пункту відправлення. В умовах задачі це величина 120. Усі проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

Х0 = відображені в табл. 3.2. Ці результати в таблиці виділені напівжирним шрифтом.

Для початкового опорного плану обчислюємо значення цільової функції (3.17):

y0=1х200+6х80+8х70+7х20+4х60+11х120=2940 тис.т/міс.

Це значення буде використано на наступних кроках для контролю просування до оптимуму. Значення цільової функції повинно послідовно зменшуватися з кожним кроком.

Таблиця 3.2. Проміжні результати по знаходженню початкового опорного плану

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення i
		1	2	3
		Потреба
		280	90	180
1	200	1 200	5	3	0
2	150	6 80	8 70	9	-5
3	80	2	7 - 20	4 + 60	-4
4	120	4	1 +	11 - 120	-11
Потенціал пункту призначення i	1	3	0

2-й етап. Знайдений опорний план перевіряємо на оптимальність. У зв'язку з там знаходимо потенціали пунктів відправлення і призначення із системи

1-1=1, 2-2=8, 3-3=4,

1-2=6, 2-3=7, 3-4=11.

що містить шість рівнянь із сімома невідомими. Вважаючи 1=0, знаходимо 1=1, 2=-5, 2=3, 3=-4, 3=0, 3=-11. Записуємо знайдені потенціали в табл.3.2.

3-й етап. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа αij=βi-αj-cij: α12=-2, α13=-3, α23=-4, α31=3, α41=8, α42=13.

Записуємо знайдені числа у відповідні вільні клітки табл.3.2 і вміщуємо їх у рамочки, щоб відрізняти їх від іншої інформації в таблиці Тому що серед чисел αij є позитивні, то опорний план Х0 не є оптимальним.

4-й етап. Серед позитивних чисел αij вибираємо максимальне: α42=13. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл.3.2 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо знаками «-» і «+» по черзі інші клітки циклу, слідуючи уздовж ломаної лінії циклу.

Найменшим із чисел xij у «мінусових» клітках є x32 (20). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: Х42=20, х43=120-20=100, х33=60+20=80.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорний план

X1=

При такому опорному плані функція цілі (3.17) стає рівною 2680 тис.т/міс, що менше вихідного значення 2940 тис.т/міс.

На цьому закінчується 1-й крок оптимізації. На наступному кроці процедура 1-го кроку повторюється, але без 1-го етапу.

2-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл.3.3) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо таку систему рівнянь:

1-1=1, 2-2=8, 2-4=1,

1-2=6, 3-3=4, 3-4=11.

Вважаючи 1=0, знаходимо 1=1, 2=-5, 2=3,4=2, 3=13, 3=9. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа αij: α12=-2, α13=10, α23=9, α31= -10, α32=-13, α41=-5.

Тому що серед чисел αij є позитивні (α13=10, α23=9), то опорний план X1 не є оптимальним.

Таблиця 3.3. Новий опорний план

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення i
		1	2	3
		Потреба
		280	90	180
1	200	1 - 200	5	3 +	0
2	150	6 + 80	8 - 70	9	-5
3	80	2	7	4 80	9
4	120	4	1 + 20	11 - 100	2
Потенціал пункту призначення i	1	3	13

Серед позитивних чисел αij вибираємо максимальне: α13=10. Для відповідної вільної клітки будуємо цикл, а саму клітку позначає знаком «+». У табл.3.3 зайняті клітки, що складають цикл, виділені рим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+».

Найменшим із чисел xij у «мінусових» клітках є х23 (70). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в так спосіб: x11=200-70=130, x13=70, х21=80+70=150, x42=20+70=90, x43=100-70=30.

У результаті виконаних перетворень одержуємо новий опори план

Х2=

При такому опорному плані функція (3.17) стає рівною 1980 тис.т/міс, що значно менше попереднього значення 2680 тис.т/міс.

3-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл. 3.4) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

1-1=1, 1-2=6, 2-4=1,

3-1=3, 3-3=4, 3-4=11.

Вважаючи 1=0, знаходимо 1=1, 3=3, 2=-5, 3=4, 3=0, 4=-8, 2=-7. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа αij: α12=-12, α22=-10, α23=-1, α31=-1, α32=-14, α41=5. Оскільки серед чисел αij одне позитивне (α41=5), то опорний план Х2 не є оптимальним.

Таблиця 3.4. Новий опорний план

Пункт відправ-лення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення i
		1	2	3
		Потреба
		280	90	180
1	200	1 - 130	5	3 + 70	0
2	150	6 150	8	9	-5
3	80	2	7	4 80	0
4	120	4 +	1 90	11 - 30	-8
Потенціал пункту призначення i	1	-7	3

Для відповідної вільної клітки (нижньої, лівої) будуємо цикл, а саму клітку позначаємо знаком «+». У табл.3.4 зайняті клітки, що складають цикл, виділені сірим фоном. Потім позначаємо вузлові клітки циклу по черзі знаками «-» і «+». Найменшим із чисел xij у «мінусових» клітках є х43 (30). Дана клітка стає вільною, а інші клітки циклу змінюють свої значення в такий спосіб: x11 =130-30=100, х13 =70+30=100, x14=30.

У результаті зроблених перетворень одержуємо новий опорі план

Х4=

При такому опорному плані функція (3.17) стає рівною 1830 тис.т/міс, що менше попереднього значення 1980 тис.т/міс.

4-й крок. Аналізуємо новий опорний план (табл.3.5) на оптимальність. Знову знаходимо потенціали пунктів відправлення і пунктів призначення, для чого складаємо наступну систему рівнянь:

1-1=1, 1-2=6, 1-4=4,

3-1=3, 3-3=4, 2-4=1.

Вважаючи 1=0, знаходимо 1=1, 3=3, 2=-5, 3=-1, 4= -3, 2= -2. Для кожної вільної клітки обчислюємо числа αij: α12=-7, α22=-4, α23=-1, α31=0, α32=-8, α41=-5. Тому що серед чисел αij і немає строго позитивних, то опорний план Х3 є оптимальним.

Таблиця 3.5. Новий опорний план

Пункт відправлення	Запас вантажу	Пункт призначення	Потенціал пункту відправлення i
		1	2	3
		Потреба
		280	90	180
1	200	1 100	5	3 100	0
2	150	6 150	8	9	-5
3	80	2	7	4 80	-1
4	120	4 30	1 90	11	-3
Потенціал пункту призначення i	1	-2	3

Різновиди транспортних задач

Розглянута математична модель (3.9) - (3.12) є класичною моделлю транспортної задачі. У реальній практиці економіста і менеджера, як правило, транспортна задача зустрічається в дещо іншій постановці. Математична модель реальної транспортної задачі може відрізнятися від класичної або видом цільової функції, або видом обмежень, або харак3ером змінних, або будь-яким сполученням перерахованих відмінностей одночасно.

Розглянемо декілька модифікацій транспортної задачі.

Транспортна задача про розподіл випуску продукції

При комплексному вирішенні проблеми виробництва і реалізації продукції виникає задача, що полягає у визначенні такого плану випуск і перевезень готової продукції, при якому досягаються мінімальні пні витрати на її виготовлення і доставку споживачам.

Для вирішення даної задачі розглядається повна собівартість виробництва одиниці продукції на кожному підприємстві (Si) і транспортні витрати (Sij), що залежать від типу застосовуваних транспортних засобів і районів розташування заводів-виробників і споживачів.

Математична модель такої задачі має вигляд:

m n

y=∑∑(si+sij)xij→min; (3.26)

i=1 j=1 xijΩ

m ____

Ω: fj=∑xij=bi, j=1,n; (3.27)

i=1

n ____

fn+i=∑xij=ai, i=1,m; (3.28)

j=1 _____ _______

xij≥0; i=1,m; i=1,m. (3.29)

_______ _______

xij=int; i=1,m; i=1,m. (3.30)

Якщо за умовою задачі потрібні ще капітальні вкладення в засоби транспорту, то показником ефективності служать приведені витрати, (3.26) матиме вигляд

(3.31)

- нормативний коефіцієнт ефективності капітальних вкладень; к - питомі капітальні вкладення, що приводяться на одиницю перевезень.

Виконуючи підстановку в цільову функцію (3.26) і підстановку в цільову функцію (3.31), задача (3.26) - (3-30) і задача (3.31), (3.27) - (3.30) відповідно приводяться до класичної транспортної задачі, що може бути вирішена методом потенціалів.

Розподільна транспортна задача про вибір засобів доставки вантажу

Змістовна постановка задачі. Нехай через j=1,2, ...,n позначено пункти, що мають вантажі для перевезень об'ємами aj відповідно. Є m засобів доставки вантажу (видів транспорту). Вантажопідйомність i-го засобу доставки складає рi а наявний його парк дорівнює bi, і=1,2,...,m... Вантажі підлягають доставці в один центральний пункт (склад). Витрати при здійсненні однією одиницею і-го засобу доставки від j-го пункту до складу дорівнюють Сij. Потрібно скласти найбільш економічний план доставки.

Математична модель задачі. Позначимо через Хij кількість засобів доставки і-го типу, що відправляється j-го пункту. Тоді математична модель розподільної транспортної задачі про вибір транспортних засобів має вигляд:

(3.32)

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Цільова функція (3.32) визначає сумарні витрати на доставку в вантажу на центральний склад. Вираз (3.33) вказує на необхідність вивезення всього вантажу з пунктів відправлення. Обмеження (3.34) вказує те, що кількість використовуваних засобів доставки не повинна перевищувати їхній наявний парк.

Поява параметра ,- у системі обмежень (3.33) перешкоджає зведенню математичної моделі завдання до моделі класичної. Тому вирішувати її методом потенціалів неможливо. Вирішення даної задачі класичними методами лінійного програмування також неможливе через цілочисельність змінних . Вирішення задачі можна одержати методом відсікання (шляхом введення в задачу додаткових обмежень у вигляді нерівностей Гомори), однак процедура вирішення різко ускладнюється. Тому вирішення задачі найбільш доцільно покласти на програм; Solver (Пошук рішення) інформаційної системи Microsoft Excel.

Транспортна задача про двохетапне перевезення вантажу

Змістовна постановка задачі. Однорідний вантаж потрібно доставити з т пунктів відправлення в п пунктів призначення. При доставці в пункти призначення вантажі можуть бути спочатку доставлені на р перевалочних пунктів. Задано вартості перевезень Су з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення і перевалочний пункт, а також вартості перевезення з кожного перевалочного пункту в пункт призначення.

Математична модель завдання. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення, ;

- вартість перевезення одиниці вантажу з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт ;

- вартість перевезення одиниці вантажу з к-го перевалочного пункту j-й пункт призначення

- запаси вантажу в i-м пункті відправлення;

- потреба у вантажі j-м пункті призначення;

- місткість k-го перевалочного пункту;

- кількість вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

- кількість вантажу, перевезеного з і-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт;

- кількість вантажу, перевезеного з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення.

Математична модель задачі з урахуванням вище наведених позначень може бути подана у вигляді задачі лінійного програмування:

; (3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Тут цільова функція (3.37) складається з витрат трьох видів: на уставку частини вантажу з пунктів відправлення в пункти призначення, маючи перевалочні пункти; на перевезення частини вантажу з пункт призначення в перевалочні пункти; на доставку вантажу з перевалочних пунктів у пункти призначення. Система обмежень (3.38) говорить про те, що сумарні об'єми вантажів, що вивозяться з пунктів відправлення, не можуть перевищувати запаси вантажів у цих пунктах. Система обмежень (3.39) свідчить про те, що сумарні об'єми вантажів, що надходять у пункти призначення, не можуть бути менше відповідних потреб пунктів призначення. Система обмежень (3.40) означає, що сумарне завезення вантажів на кожний перевалочний пункт не може перевищувати його місткості. Система обмежень (3.41) вказує на те, що весь вантаж із перевалочних пунктів повинен бути вивезений повністю.

Як і в попередній задачі, математична модель (3.37) - (3.42) не може бути приведена до класичної. Тому вирішення задачі найбільш доцільно покласти на програму Solver (Пошук рішення) інформаційної системи Microsoft Excel.

Транспортна задача про двохетапне перевезення вантажу декількох видів

Змістовна постановка завдання. Вантаж, що включає q видів продукції, потрібно доставити з т пунктів відправлення в n пунктів призначення. При доставці в пункти призначення вантажі можуть бути спочатку доставлені на q перевалочних пунктів. Задано вартості перевезень для кожного виду вантажу з кожного пункту відправлення в кожний пункт призначення і перевалочний пункт, а також вартості перевезення з кожного перевалочного пункту в кожний пункт призначення.

Математична модель завдання. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці 1-го виду вантажу з г-го пункту відправлення в у-й пункт призначення,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення в к-й перевалочний пункт,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення,

- запаси l-го виду вантажу в і-м пункті відправлення;

- потреба в l-м виді вантажу j-м пункті призначення;

- місткість k-го перевалочного пункту стосовно l-го виду вантажу;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення k -й перевалочний пункт;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з k-то перевалочного пункту j-й пункт призначення.

Математична модель задачі з урахуванням вище приведених позначень може бути подана у вигляді задачі лінійного програмування:

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

Математична модель задачі відрізняється від попередньої тільки там, що вона враховує різновид вантажів.

Транспортна задача про двохетапне перевезення вант декількох видів за запитами споживачів

Існує модифікація транспортної задачі двохетапного перевезення вантажів декількох видів, у якій кількість вантажу в пунктах відправлення не фіксована. Вона залежить від запитів споживачів.

Математична модель задачі. Позначимо:

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення j-й пункт призначення,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт,

- вартість перевезення одиниці l-го виду вантажу з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення,

- витрати на виробництво l-го виду вантажу в 2-м пункті відправлення;

- потреба в l-м виді вантажу в j-м пункті призначення;

- місткість k-то перевалочного пункту стосовно l-го вантажу;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в j-й пункт призначення;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з i-го пункту відправлення в k-й перевалочний пункт;

- кількість l-го виду вантажу, перевезеного з k-го перевалочного пункту в j-й пункт призначення;

- кількість виробленого l-го виду вантажу в i-м пункті відправлення.

Математичну модель задачі з урахуванням вище наведених значень можна подати у вигляді задачі лінійного програмування:

(3.49)

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

Цільова функція в математичній моделі (3.49) - (3.54) відрізняється від цільової функції (3.43) тільки тим, що враховує витрати на виробництво продукції (вантажу) в пунктах відправлення.

Транспортна задача про закриття підприємства

Змістовна постановка задачі Виробниче об'єднання складається з п заводів і т складів. Задано потреби складів у продукті й вартості на перевезення продуктів з кожного заводу на кожний склад. Задані фіксовані вартості функціонування заводів і можливості заводів по виробництву продукту. Виробниче об'єднання розглядає можливість закриття одного або декількох заводів. Це повинно зменшити витрати на перевезення. Які заводи, якщо це доцільно, повинні бути закриті?

Математичне формулювання завдання. Позначимо:

- вартості перевезення j-го заводу на i-й склад;

- потреби i-го складу в продукті, i=1,…,m;

- можливість j-го заводу по виробництву продукту;

- фіксована вартість функціонування j-го заводу;

- булєве число, що показує, чи потрібно закрити j-й завод (значення 0), чи залишити його працювати (значення 1);

- кількість перевезеного товару з j-го заводу на і-й склад.

Тоді математична модель транспортної задачі про закриття заводу може бути подана у такому вигляді:

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

Тут цільова функція (3.55) визначає загальні витрати виробничої об'єднання на функціонування заводів і транспортування готової продукції на склади. Обмеження (3.56) визначає можливості заводів з виробництва продукції. Обмеження (3.57) визначають потреби складів у готовій продукції.

Тема 4. Теорія достовірності та аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

4.1. Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні

4.2. Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

Поняття: достовірність; авторизованість; авторитетність; інформативність; свідомість; кореляційне відношення; середня помилка; міра достовірності результатів моделювання; статистичний критерій Уилкоксона; статистичний критерій- Пірсона; статистичний критерій Колмогорова-Смірнова; метод відношення правдоподібності; метод сценаріїв; модифікований критерій Колмогорова-Смірнова і Мізеса; статистична несуперечність; область допустимих рішень; критерій оптимальності.

Література: [2], [4], [7], [12], [18], [30], [43], [48], [52], [55], [56], [60], [66], [75], [80], [91].

4.1. Теорія достовірності в економіко-математичному моделюванні

Для розуміння теоретичних аспектів і прикладних напрямів використання теорії достовірності важливе значення має визначення поняття «достовірність».

Термін достовірність використовується в теорії ймовірності, логіці, гносеології та праві й визначається як характеристика обгрунтованого, доказового, безперечного і як синонім істини. Слід відзначити, що достовірність також може розглядатись як події, що підтверджені експериментально (практично).

Існують ще декілька визначень поняття «достовірність».

Достовірність – це форма існування істини, яка обґрунтована будь-яким способом [91]. В словарі термінів логіки достовірність визначається як обґрунтованість, доказовість, безпорність знання.

З позиції теорії ймовірності достовірність визначається як поняття, що відображає упевненість суб'єкта в правильності своєї оцінки ймовірності настання тієї або іншої події [55].

Теорія достовірності спрямована на вирішення проблеми визначення достовірності проведеного дослідження для подальшого використання його результатів в економічних процесах.

В цьому аспекті важливе значення має оцінка достовірності інформації, яка використовується в дослідженні, і оцінка достовірності результатів дослідження.

Оцінка достовірності інформації – це складане завдання. В цьому аспекті можна відзначити, що, наприклад, експерт, який формулює висновки щодо економічних питань, може помилятись або свідомо вводити в оману. Тому необхідно не тільки оцінювати економічну інформацію, а і її джерела. В зв’язку з цим вводиться наступні терміни: авторизованість, авторитетність, інформативність та свідомість.

Авторизованість – це прив'язка пропонованих у відповіді даних до визначеного джерела. Як джерело можуть бути використані посилання на сайт, книгу та ін.

Авторитетність - характеристика джерела даних. Якщо експерт у відповіді не посилається на джерело, а говорить від першої особи, оцінюється авторитетність самого експерта.

Інформативність показує кількість нових даних у відповіді, які відносяться до питання.

Свідомість – показує, наскільки відповідаючий зрозумів питання.

При оцінці достовірності результатів дослідження необхідно враховувати те, що достовірним можна вважати результат, допустима погрішність якого не виходить за різницю між розрахунковим значенням моделі і отриманим значенням, в результаті розрахунків економічних показників:

, (4.1)

- розрахункове значення моделі;

- вихідне значення економічного показника моделі;

- величина допустимої погрішності.

Саме виникнення значної погрішності результатів дослідження призводить до зниження достовірності результатів моделювання. В цілому погрішність виникає у зв’язку з:

неадекватністю моделі;
помилками розрахунку показників і параметрів моделі;
низькою якістю інформації, яка використовується для моделювання та інш.

Для визначення факту наявності або відсутності помилок, використовують спосіб, який полягає порівняння їх з аналітичними рішеннями. Цей спосіб використовується при наявності значної кількості різних аналітичних рішень. Проте, екстраполювати результати оцінки одного порівняння на всі можливі рішення й параметри моделі досить загрозливо, оскільки в кожному конкретному випадку можуть виникати відхилення, особливо при зміні параметрів.

Досить часто використовується спосіб, коли розрахунок одного і того ж параметру відбувається декількома способами. Цей спосіб дає можливість визначити погрішності практично для всіх комбінацій параметрів моделі.

Розглянемо приклад визначення достовірності на основі розробленої економіко-математичної моделі.

Розроблена лінійна модель виду

, (4.2)

де - індикатор розвитку (відношення нового капіталу до інвестованого капіталу);

- рівень витрат;

- рівень матеріальних запасів.

Встановіть достовірність розрахунків моделі (4.2) на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані представлених економічних показників представлено в табл. 4.1.

Таблиця 4.1. Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.2)

№ спостереження		Рв	Рз
1	0,113	0,957	0,042
2	0,09	-1,052	0,057
3	0,092	1,047	0,052
4	0,083	1,075	0,066
5	0,069	1,113	0,09
6	0,067	1,123	0,099
7	0,069	1,118	0,094
8	0,08	1,085	0,071
9	0,081	1,09	0,066
10	0,009	1,354	0,137
11	0,016	1,33	0,127
12	0,024	1,302	0,118
13	0,031	1,269	0,113
14	0,048	1,198	0,108
15	0,05	1,193	0,104
16	0,055	1,174	0,099
17	0,057	1,165	0,099
18	0,063	1,146	0,094
19	0,063	1,141	0,094
20	0,074	1,113	0,075
21	0,075	1,108	0,071
22	0,08	1,09	0,066
23	0,082	1,08	0,061

Вирішення

Визначення оцінок індикатора розвитку та помилки розрахунків моделі (4.2) представимо в табл. 4.2

Таблиця 4.2. Розрахунок оцінок індикатора розвитку та помилки

№ спосте-реження		Параметри моделі (4.2)	(()’- )
		0,326	-(0,212 х Рв)	-(0,08 х Рз)	()’
1	0,113	0,326	-0,203	-0,009	0,114	0,001
2	0,09	0,326	-0,223	-0,012	0,091	0,001
3	0,092	0,326	-0,222	-0,011	0,093	0,001
4	0,083	0,326	-0,228	-0,014	0,084	0,001
5	0,069	0,326	-0,236	-0,019	0,071	0,002
6	0,067	0,326	-0,238	-0,021	0,067	0
7	0,069	0,326	-0,237	-0,020	0,069	0
8	0,08	0,326	-0,230	-0,015	0,081	0,001
9	0,081	0,326	-0,231	-0,014	0,081	0
10	0,009	0,326	-0,287	-0,029	0,01	0,001
11	0,016	0,326	-0,282	-0,027	0,017	0,001
12	0,024	0,326	-0,276	-0,025	0,025	0,001
13	0,031	0,326	-0,269	-0,024	0,033	0,002
14	0,048	0,326	-0,254	-0,023	0,049	0,001
15	0,05	0,326	-0,253	-0,022	0,051	0,001
16	0,055	0,326	-0,249	-0,021	0,056	0,001
17	0,057	0,326	-0,247	-0,021	0,058	0,001
18	0,063	0,326	-0,243	-0,020	0,063	0
19	0,063	0,326	-0,242	-0,020	0,064	0,001
20	0,074	0,326	-0,236	-0,016	0,074	0
21	0,075	0,326	-0,235	-0,015	0,076	0,001
22	0,08	0,326	-0,231	-0,014	0,081	0,001

Продовження табл. 4.2

23	0,082	0,326	-0,229	-0,013	0,084	0,002
	1,471	х	х	х	1,492	0,021

В результаті розрахунків встановлено, що помилка розрахунків складає 0,021 тис. грн./тис. грн. або 2,1%. Таке значення свідчить про високий рівень достовірності розрахунків параметрів лінійної моделі, оскільки значення помилки наближається до нуля.

З теорії статистики відомо, якщо рівень помилки складає від 0 до 5%, то результати розрахунків можна вважати достовірними.

Слід вказати, що для визначення ступеня достовірності результатів економіко-математичного дослідження необхідно для кожної відносної або середньої величини розрахувати відповідну середню помилку.

Середня помилка дозволяє визначити межі, в яких з відповідною ймовірністю може знаходиться значення показників розробленої моделі. При оцінці достовірності визначається і середня помилка різниці між двома середніми або відносними величинами:

, (4.3)

де - квадрати середніх помилок.

Якщо різниця середніх величин більше середньої помилки різниці в 2,5-3,0 рази, то з відповідною ймовірністю можна стверджувати, що різниця середніх (відносних) величин не випадкова, а залежить від будь-якої визначеної причини. Якщо різниця перевищує свою середню помилку в 2,5-3,0 разів, то різниця цих середніх не випадкова.

Для встановлення достовірності розрахунків необхідно оцінити середню помилку розрахунків, а також граничну помилку розрахунків. Це потрібно для виявлення довірчих границь.

Довірчі границі визначаються [18]:

, (4.4)

де - розрахункові значення економічного показника лінійної моделі;

- граничне значення помилки розрахунків;

- вихідні значення економічного показника.

Для визначення граничної помилки розрахунків використовують наступне співвідношення:

, (4.5)

де - середня помилка розрахунків.

Середня помилка розрахунків визначається за формулою []:

; (4.6)

де - середнє квадратичне відхилення показника;

- емпіричне кореляційне відношення.

Для оцінки тісноти зв'язку між змінними використовується емпіричне кореляційне відношення (η2y/х), яке є часткою дисперсії (коливаємості) функції у за рахунок впливу аргументу х. У даному випадку загальна (повна) дисперсія розкладається на дві частини – дисперсію усередині кожного інтервалу зміни функції σ 2y/х, яка не залежить від впливу х, і дисперсію середніх значень функції δ, яка викликана впливом аргументу, тобто

σ2y= σ2y/х+ δ. (4.7)

Звідси формула для оцінки тісноти зв'язку між змінними має вигляд

, (4.8)

а в разі згрупованих даних

, (4.9)

де і - розрахункове значення функції;

- середнє значення функції за вибіркою;

n - обсяг вибірки;

mi – кількість спостережень у в кожному інтервалі зміни.

Кореляційне відношення не залежить від одиниць вимірювання змінних, що вивчаються. Воно показує, яку частину загальної дисперсії σ2y можна віднести за рахунок зміни аргументу на одну σ2х.

При цьому характеристика η2y/х тим точніше визначає частку впливу х на загальну дисперсію у, чим менше варіюється залишкова дисперсія σ2y/х при кожному х. Якщо ηy/х=1, то має місце функціональна залежність у від х. Якщо ηy/х=0 – у кореляційно не залежить від х.

Слід відзначити, що результати моделювання також вважаються адекватними або достовірними, якщо обґрунтовано, що вибірки реальних значень показників системи і отриманих результатів мають однакові закони розподілу. Тоб то коли спільні функції розподілу векторів параметрів, які характеризують умови функціонування системи і моделі, і векторів вихідних характеристик дорівнюють один одному.

Для визначення міри різниці між функціями розподілу вводиться міра достовірності результатів моделювання або міра відмінності моделі або системи.

Розрахунок міри відмінності не складає особливих труднощів в трьох випадках. Перший випадок, коли повністю відомі закони розподілу показників ефективності, по яких порівнюються система і модель, другий — коли відомі закони розподілу показників системи і моделі до параметрів, третій — якщо є достатній обсяг вибірки результатів моделювання.

Для всіх трьох випадків існують класичні методи оцінки достовірності результатів моделювання. Так, для одновимірного показника оцінка достовірності результатів моделювання може проводитись за допомогою статистичних критеріїв Уилкоксона,- Пірсона, Колмогорова-Смірнова, метода відношення правдоподібності та інш.

Для оцінки достовірності результатів моделювання по векторному показнику можна скористатися також методом відношення правдоподібності або розпізнавальними системами визначення ступеня близькості класів, що розпізнають. В якості розпізнавальних класів використовуються генеральні сукупності векторів-показників системи і моделі , які описуються щільністю ймовірності Рс і Рм.

Сутність класичних методів оцінки достовірності зводиться до перевірки гіпотези про розбіжність результатів моделювання і вихідних даних для заданого рівня значущості, на якому перевіряється гіпотеза.

Розглянуті методи оцінки достовірності припускають наявність вибірок (статистики) результатів моделі і системи, оскільки по ним можна визначити оцінки функцій розподілу показників моделі і системи.

Слід вказати і на те, що результати математичного моделювання подібні результатам реальних економічних подій на рівні випадкових ймовірних подій, то можна стверджувати, що кількісні результати моделювання економічних подій в цілому є достовірними.

Для дослідження достовірності результатів моделювання використовують методи сценаріїв, по яким є виборки. Причому сценарій складається таким чином, щоб умови здійснення кожної ймовірносної події в моделі співпадали з умовами, в яких проводились дослідження.

Для оцінки достовріності результатів моделювання за малою вибіркою може бути використана методика перевірки подібності теоретичної і емпіричної функцій розподілу, який заснований на використанні модифікованих критеріїв Колмогорова-Смірнова і Мізеса [60]. Проте ці методи використовуються для незначного класу завдань.

Існують і інші підходи до вирішення задачі оцінки достовірності по малій вибірці, відповідно до якого за наявності малої вибірки доцільно говорити не про оцінку достовірності результатів моделювання, а про оцінку статистичної несуперечності результатів дослідження результатам моделювання.

При цьому під статистичною несуперечністю слід розуміти несуперечність результатів дослідження твердженню, що їх значення на заданому рівні значущості можуть розглядатися як ті що належать до тієї ж генеральної сукупності, що і вибірка результатів моделювання.

Якщо реалізації дослідження економічних процесів не відповідають закону розподілу результатів моделювання (змінюють його параметри), то вони належать до іншої генеральної сукупності.

Для перевірки достовірності результатів моделювання економічних процесів можна використати перевірку на статистичну еквівалентність моделей елементарних подій. Метод дозволяє оцінити достовірність результатів елементарних подій моделі за статистикою, яка отримана за спеціальними моделями елементарних подій. Ці моделі розробляються, наприклад, в науково-дослідних установах [60].

Таким чином, представлені методики оцінки достовірності інформації та результатів дослідження є підгрунттям для отримання моделі, яка віддзеркалює реальні економічні події і може бути використана для прийняття ефективних управлінських рішень.

4.2. Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач

Аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач спрямований на прийняття оптимального рішення. Лінійна оптимізаційна модель включає систему обмежень, цільову функцію, області допустимих рішень, критерії оптимальності.

Цільова функція в загальному вигляді складається з трьох елементів:

змінних, які управляються;
змінних, які не управляються;
форми функції (виду залежності між змінними).

Область допустимих рішень – це область, в межах якої здійснюється вибір рішень В економічних задачах вона обмежена наявними ресурсами і умовами, які записуються у вигляді системи обмежень, які складаються із рівнянь.

Критерії оптимальності – це економічний показник, які визначається за допомогою цільової функції через інші економічні показники. Одному і тому ж критерію оптимальності можуть відповідати декілька різних, але еквівалентних цільових функцій. Моделі з однією і тією ж системою обмежень можуть мати різні критерії оптимальності й різні цільові функції.

Для здійснення аналізу лінійних моделей необхідно побудувати економіко-математичну модель методика розробки якої полягає в тому, щоб економічну сутність задачі представити математично, використовуючи різні символи, змінні й постійні величини, індекси та інші символи.

Всі умови задачі записують у вигляді рівнянь. Тому, в першу чергу, необхідно визначити систему змінних, які можуть для конкретної задачі висвітлювати вихідні значення економічних показників, наприклад, обсягу виробництва й реалізації продукції, кількість вантажу, який перевозиться постачальниками та інш.

Слід відзначити, що будь-яку оптимізаційну задачу лінійного програмування можна привести до задач лінійного програмування в канонічній формі (див. розділ 2.2). Для цього в загальному випадку необхідно зводити задачу максимізації до задачі мінімізації, переходити від обмежень нерівностей до обмежень рівнянь і замінювати змінні, які не підходять умовам невід’ємності.

Правило приведення оптимізаційної задачі лінійного програмування до канонічного вигляду полягає в наступному:

1) якщо в початковій задачі вимагається визначити максимум лінійної функції, то слід змінити знак і шукати мінімум цієї функції;

2) якщо в обмеженнях права частина негативна, то слід помножити це обмеження на -1;

3) якщо серед обмежень є нерівності, то шляхом введення додаткових від’ємних змінних вони перетворяться в рівняння;

4) якщо деяка змінна хі не має обмежень по знаку, то вона замінюється (в цільовій функції і у всіх обмеженнях) різницею між двома новими від’ємними змінними.

Складність вирішення оптимізаційних задач лінійного програмування, побудови відповідних моделей та їх аналізу залежить:

від виду функціональних залежностей, тоб то від зв’язку функції з елементами рішення;
від розмірності задачі, тоб то від кількості елементів рішення;
від виду і кількості обмежень, які накладаються на елементи рішень.

При аналізі лінійних оптимізаційних моделей важливим етапом є інтепритація отриманих економічних результатів. Саме на цьому етапі проявляється кваліфікація спеціалісту з напряму «Економіка і підприємництво». Інтепритація полягає в тому, що на базі розробленої лінійної оптимізаційної моделі визначаються зв’язки між економічними показниками, оптимізаційні рішення економічних проблем, пропонуються управлінські рішення щодо трансформаційних процесів переходу на підприємстві від економіки стагнації або, взагалі, падіння до економіки розвитку.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модуля 2

Питання для самоконтролю:

В чому сутність задач лінійного програмування?
Які особливості задач лінійного програмування Ви можете виділити?
Розкрийте сутність симплексного методу?
Розкрийте алгоритм використання симплексного методу при вирішенні задач лінійного програмування.
Які методи використовуються при вирішенні задач лінійного програмування.
Розкрийте змістовну постановку транспортної задачі.
Сформулюйте математичну модель транспортної задачі?
Встановіть особливості вирішення закритої транспортної задачі.
Охарактеризуйте алгоритм визначення початкового опорного плану в транспортній задачі методом північно-західного кута.
Визначте напрями формування оптимального опорного плану транспортної задачі?
Назвіть види транспортних задач і охарактеризуйте їх.
Охарактеризуйте поняття «достовірність».
Назвіть напрями оцінки достовірності.
По яким напрямам відбувається аналіз лінійних моделей оптимізаційних задач.
Охарактеризуйте область допустимих рішень і критерій оптимальності.
В чому полягає інтепритація отриманих економічних результатів, отриманих на основі лінійних оптимізаційних моделей.

Завдання для самоконтролю:

1. Підприємство випускає протягом планового періоду 2 виду продукції столи і стільці. При їх виробництві використовуються три виду ресурсів. Дані по їх витратам на випуск одного виробу, запаси ресурсів, а також прибуток від реалізації одиниці продукції наведено в табл. 4.3.

Таблиця 4.3. Дані по витратам на випуск одного виробу, запасів ресурсів, прибутку від реалізації одиниці продукції

	Стіл	Стільці	Запас ресурсів
Ресурс 1	4	6	24
Ресурс 2	3	2	12
Ресурс 3	1	1	8
Прибуток	4	5

Необхідно спланувати кількість виробляємих столів і стільців таким чином, щоб при цих умовах виробництва прибуток був максимальним.

2. Припустимо, що денний раціон тварин повинно входити поживні речовини двох видів в кількості, яка представлена в табл. 4.4. Є можливість складати раціон із кормів двох видів, для яких задано змістопоживних речовин в одиниці корму і ціні однієї одиниці кожного з видів кормів.

Таблиця 4.4. Дані про поживні речовини і вартість кормів на підприємстві

	Корм 1	Корм 2	Поживчі речовини в раціоні
Поживна речовина 1	2	1	12
Поживна речовина 2	6	4	30
Ціна корму	5	2

При задоволенні умов по необхідному змісту поживних речовин в цьому раціоні необхідно досягти його мінімальної вартості.

3. Фірма виробляє дві моделі А і В збірних книжкових полиць. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дощок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібен 2 м2 дощок, а для моделі В - 5 м2. Фірма може одержувати від своїх постачальників до 1300 м2 дощок в тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 15 хв. машинного часу, а для виробу моделі В - 30 хв. В тиждень можна використовувати 180 годин машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі в тиждень, якщо кожний вироб моделі А приносить 4 грн. прибутку, а кожний виріб моделі В - 2 грн. прибутку?

4. Скласти оптимальний план перевезень цегли між трьома заводами і п’ятьма об’єктами будівництва, якщо відстані (в км) між заводами і об’єктами будівництва визначаються матрицею

Відомі потужності заводів і об’єктів будівництва.

Дані про потужність заводів і об’єктів будівництва студентом вибираються із табл. 4.5 і табл. 5.6 відповідно до його варіанту. Варіант вибирається за останньою цифрою номеру залікової книжки студента.

Таблиця 4.5. Потужність цеглових заводів (тис.шт. за добу)

№ заводу	Варіант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3,4	3,0	4,2	3,1	1,9	0,9	1,0	2,5	3,3	1,8
2	2,3	1,5	1,3	4,2	2,6	4,3	3,1	3,5	3,9	4,3
3	2,8	4,0	3,0	1,2	4,0	3,3	4,4	2,5	1,3	2,4

Таблиця 4.6. Потужність об’єктів будівництва (тис.шт. за добу)

№ об’єктів будівництва	Варіант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1,5	0,9	1,1	1,0	2,7	2,1	1,2	2,5	2,8	1,3
2	1,6	2,5	1,3	3,0	1,5	2,3	1,9	2,0	1,9	0,6
3	2,1	3,0	2,2	0,6	1,0	1,4	1,8	1,7	1,1	2,4
4	1,7	0,7	3,1	1,9	3,0	1,2	1,5	0,9	0,7	3,0
5	1,6	1,4	0,8	2,0	0,3	1,5	2,1	1,4	2,0	1,2

5. Скласти оптимальний план забудови мікрорайону міста, якщо відомо, що він повинен забудовуватися житловими будинками трьох серій. Характеристики житлових будинків кожної серії подані в табл. 4.7. З огляду на демографічний прогноз населення проектування мікрорайону, необхідно, щоб кількість квартир відповідала проектному завданню, що представлено в табл. 4.8.

Дані про проектну кількість квартир вибираються із табл. 4.8 відповідно до варіанту студента. Варіант визначається за останньою цифрою залікової книжки студента.

Таблиця 4.7. Склад квартир і кошторисна вартість житлових будинків різних серій (для всіх варіантів однакові)

Характеристика житлових будинків	Серія
	1	2	3
Кількість квартир - усього	200	210	150
в тому числі на двох чоловік	50	50	60
на трьох чоловік	60	70	50
на чотири чоловіки	90	90	40
Кошторисна вартість житлового будинку, тис. грн.	1200	1250	800

Таблиця 4.8. Проектна кількість квартир у мікрорайону на 2, 3 і 4 чоловіки

Склад сім’ї	Варіант
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2 чол.	600	800	750	625	900	850	950	700	1000	800
3 чол.	1800	1750	1850	1750	2100	1900	2000	1850	1950	2050
4 чол.	700	650	800	600	750	550	400	850	600	450

Встановіть достовірність розрахунків моделі:

, (4.10)

де - коефіцієнт оборотності матеріальних запасів;

- коефіцієнт оборотності дебіторської заборгованості.

на основі встановленої погрішності. Вихідні статистичні дані визначених економічних показників представлено в табл. 4.9.

Таблиця 4.9. Вихідні статистичні дані економічних показників моделі (4.10)

№ спостереження
1	0,661	2,25	1,16
2	0,595	1,96	1,06
3	0,587	1,93	1,05
4	0,576	1,87	1,07
5	0,527	1,63	1,09
6	0,523	1,61	1,10
7	0,525	1,62	1,09
8	0,574	1,86	1,07
9	0,577	1,87	1,07
10	0,424	1,12	1,14
11	0,469	1,34	1,13
12	0,487	1,43	1,12
13	0,495	1,47	1,11
14	0,503	1,51	1,11
15	0,507	1,53	1,10
16	0,515	1,57	1,11
17	0,515	1,57	1,11
18	0,519	1,59	1,09
19	0,520	1,60	1,09
20	0,526	1,63	1,07
21	0,523	1,62	1,07
22	0,559	1,79	1,06
23	0,561	1,80	1,05

Змістовий модуль 3

Цілочислове програмування і нелінійні оптимізаційні моделі

Тема 5. Цілочислове програмування

5.1. Основні поняття і сутність цілочислового програмування.

5.2. Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування.

5.3. Метод Гомори.

5.4. Метод віток і меж.

5.5. Цілочиcлова транспортна задача.

5.6. Задача цілочислового лінійного програмування.

Поняття: цілочислове програмування; методи відтикання; комбінаторні методи; метод Р. Гомори; метод віток і меж; велика ітерація; мала ітерація.

Література: [4], [14], [23], [26], [31], [51], [61], [63].

5.1. Основні поняття і сутність цілочислового програмування

Цілочислове програмування – це різновид задач лінійного програмування, в якому змінні та отримані результати повинні бути цілими числами.

Задачі цілочислового програмування можуть бути лінійними, якщо обмеження і цільова функція задачі є лінійною залежністю, або нелінійними – якщо залежності будуть мати нелінійну форму.

Слід вказати, що широке використання задач цілочислового програмування в економічних дослідженнях полягає в тому, що необхідно отримувати цілочислове рішення. Цілочислове програмування виникло в 50-60-ті роки 20 століття на основі робіт Дж. Данцига і Р. Гомори.

Задача цілочислового програмування записується так :

, (5.1)

за умов того, що хі є цілим числом і позитивним.

Для знаходження оптимального вирішення цілочислових задач застосовують відповідні методи. Найпростішим методом вирішення цілочислової задачі є знаходження її оптимального роз в'язку як задачі, що має лише неперервні змінні, з подальші округленням останніх.

Для знаходження оптимальних планів задач цілочислової програмування застосовують дві основні групи методів:

- методи відтинання;

- комбінаторні методи.

Основою методів відтинання є ідея поступового «звуження» області допустимих напрямів вирішення задачі. Пошук цілочислового оптимального вирішення задачі починається з розв'язування задачі з так званими послабленими обмеженнями, тобто без урахування вимог цілочисленності змінних. Далі введенням у модель спеціальних додаткових обмежень, що враховують цілочисленність змінних, багатокутник допустимих рішень послабленої задачі поступово зменшується до отримання змінних оптимального вирішення до отримання цілочислових значень. До цієї групи належать:

методи розв'язування повністю цілочислових задач (дробовий
алгоритм Гомори);
методи розв'язування частково цілочислових задач (другий
алгоритм Гомори, або змішаний алгоритм цілочислового програмування).

Комбінаторні методи цілочислової оптимізації базуються на повному переборі всіх допустимих цілочислових рішень, тобто вони реалізують процедуру цілеспрямованого перебору, під час якої розглядається лише частина розв’язків (досить невелика), а решта враховується одним зі спеціальних методів. Найпоширенішим у цій групі методів є метод віток і меж.

Рекомендації по формулюванню і вирішенню задач цілочислового програмування:

1. Кількість цілочисельних змінних зменшувати наскільки можливо. Наприклад, цілочисельні змінні, значення яких повинно бути не менше 20, можна розглядати як безперервні.

2. На відміну від загальних задач лінійного програмування, додавання нових обмежень, особливо включених цілочисельних змінних, звичайно зменшують час вирішення задач цілочислового програмування.

3. Якщо немає необхідності в знаходженні точного оптимального цілочисельного рішення, відмінного від безперервного рішення, наприклад, 3%. Тоді реалізацію методу гілок і меж для задачі максимізації можна закінчувати, якщо відношення різниці між верхньої і нижньої меж до верхньої межі менше 0,03.

5.2. Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування

Алгоритм розв’язування задач цілочислового програмування наступний:

1. Розв'язується задача лінійного програмування без обмежень на цілочисельність, наприклад, симплекс-методом.

2. Якщо оптимальне рішення задачі лінійного програмування нецілочисельне, то проводиться «велика ітерація». Будується лінійне обмеження, якому задовольняє будь-яке цілочисельне рішення задачі і не задовольняє отримане оптимальне нецілочисельне значення. Геометрично це означає – провести перетин (гіперплощина), який відсікав би нецілочисельну вершину, не зачіпаючи решту цілочисельних крапок. Такий перетин називають правильним. Правильний перетин повинен задовольняти наступним умовам:

1) умова відсікання: оптимальне рішення задачі лінійного програмування не задовольняє умові відсікання;

2) умова правильності: всі цілочисельні рішення задачі задовольняють умові відсікання.

Оскільки для початкової задачі додаткове обмеження (відсікання) даватиме неприпустиме базисне рішення, необхідно провести «малі ітерації» для отримання оптимального рішення. Якщо отримане оптимальне рішення нецілочисельне, то проводиться наступне відсікання. В іншому випадку пошук завершений.

Р. Гомори запропонував ідею формування додаткових обмежень, яка призводить до вирішення задач цілочислового програмування за кінцеве число кроків.

5.3. Метод Гомори

Перший алгоритм Р. Гомори полягає в наступному:

Хай задана повністю цілочисельна лінійна задача:

(5.2)

(5.3)

Хай в результаті лінійних операцій над рівняннями системи (5.3) отримано нове лінійне рівняння

(5.4)

Цілою частиною числа називається найбільше ціле число , яке не перевищуюче . Наприклад ; .

Замінивши в рівнянні (5.4) всі коефіцієнти їх цілими частинами, отримаємо:

(5.5)

Якщо всі є цілочисельними, то ліва частина рівняння (5.5) теж цілочисельна. Рівняння (5.5) можна посилити таким чином:

(5.6)

Це обмеження-нерівність (4.6) можна перетворити в обмеження-рівняння шляхом введення додаткової цілочисельної і ненегативної змінної : (5.7)

Віднімемо (5.4) з (5.7). Враховуючи, що отримаємо:

(5.8)

В першому методі Гомори всі обмеження формуються відповідно до рівнянь (5.8) – це і є відсікання нецілочисельних крапок.

Фактично, (5.8) – рівняння відсікаючої гіперплощини. Після рішення задачі лінійного програмування одержуємо деяке базисне рішення, в якому деякі змінні можуть бути цілочисельними, а інші – нецілочисельними. Для нецілочисельних базисних змінних будується відсікання по першому алгоритму Гомори, послідовно, для кожної з них. Якщо нецілочисельних змінних декілька, то краще вибрати ту, у якої більше дробова частина. Якщо рівняння вибраної базисної змінної має вигляд

, (5.9)

то рівняння додаткового обмеження-відсікання виглядає таким чином:

. (5.10)

Побудова відсікання - «велика ітерація». Далі для звуженої області проводяться «малі ітерації».

Вирішення задач цілочислового лінійного програмування можуть бути відсутні, якщо:

1) цільова функція є необмеженою знизу, тобто як початкова нецілочисельна, так і цілочисельна задача лінійного програмування не мають рішення;

2) початкова задача лінійного програмування має рішення, а цілочисельна не має. В симплекс-таблиці це видно таким чином: в стовпці вільних членів в деякому рядку стоїть неціле число, а вся решта коефіцієнтів цього рядка – цілі числа.

Збіжність даного алгоритму достатньо повільна. Для задачі з 10-ма змінними необхідно провести порядку 1000 ітерацій.

Перебір можливих цілих точок допустимої області не зменшує обчислень, оскільки їх звичайно достатньо багато.

Округлення нецілочисельного рішення до найближчого цілого може дати крапку, що не належить області.

Другий алгоритм Р. Гомори:

Застосовується для вирішення як повністю так і не повністю цілочисельних задач. Багато індексів при змінних розбивається на дві неперекресні підмножини і так, що:

при , ( - цілочисельні);

при , ( - нецілочисельні).

Як і в першому алгоритмі Гомори, спочатку знаходиться рішення задачі лінійного програмування без обмежень на цілочисельність, і далі проводяться відсікання за допомогою введення додаткових обмежень.

Припустимо, що після розв’язання задачі лінійного програмування отримана деяка базисна змінна, яка повинна бути цілочисельною:

, (5.11)

де - вільна змінна.

Тоді по другому алгоритму Гомори відсікання будується таким чином:

, (5.12)

де (5.13)

5.4. Метод віток і меж

Метод віток і меж використовується як до повністю цілочисельних задач, так і до частково цілочисельних задач.

Спочатку розв'язується ослаблена задача без обмежень на цілочисельність.

. (5.14)

повинна бути цілочисельною .

Тоді сфера допустимих рішень розбивається на дві підмножини і таким чином, що:

: . (5.15)

Таким чином виключається інтервал , який не містить цілочисельних точок.

Початкова задача розбивається на дві підзадачі. В кожній з областей , знаходяться оптимальні точки, і, якщо вони не задовольняють умові цілочисельності, знову здійснюється розгалуження. Якщо отриманий оптимум виявляється допустимим (цілочисельним) для даної задачі, він фіксується і наголошується як найкращий. При цьому немає необхідності продовжувати галуження цієї підзадачі, оскільки поліпшити це рішення не вдасться.

Як тільки отримане допустиме (цілочисельне) рішення іншої підзадачі виявляється краще, воно фіксується замість попереднього.

Процес галуження продовжується до тих пір, поки кожна підзадача не призведе до цілочисельного рішення, або не буде встановлена неможливість поліпшення наявного рішення. Висновок про необхідність подальшого розбиття задачі робиться на основі введення межі.

Як межа використовується значення цільової функції отриманого допустимого цілочисельного рішення. Якщо будь-яке оптимальне рішення підзадачі забезпечує гірше значення цільової функції, ніж наявне рішення (прийняте як межа), то цю підзадачу розглядати далі не слід.

Алгоритм методу віток і меж є ітеративним.

- номер ітерації; - оцінка (для задачі мінімізації ).

При використанні алгоритму потрібне вирішення послідовності задач лінійного програмування без обмежень на цілочисельність. Послідовність задач, що підлягають вирішенню називається основним списком.

1. Якщо основний список порожній – закінчення алгоритму, інакше – вибирають задачу з основного списку і знаходять її оптимальне рішення.

2. Якщо вибрана задача не має рішення, або її оптимальне рішення гірше прийнятої оцінки, то необхідно виключити цю задачу із списку і перейти до п. 1, інакше – до п. 3.

3. Якщо отримане рішення цілочисельне – сформувати нову оцінку , яка відповідає якнайкращому оптимальному рішенню поточної задачі. Перехід до п. 1. Якщо рішення поточної задачі нецілочисельне, то оцінка залишається у наступному вигляді: .

4. Вибирається одна із змінних , яка за умовою повинна бути цілочисельною. Проводиться розгалуження, тобто в основний список додається дві підзадачі, для яких зберігаються ті ж обмеження, але для однієї:

, (5.16)

а для іншої:

. (5.17)

Перехід до п. 1.

Слід відзначити, що вибір змінної може бути довільним (за збільшенням номерів) або визначатися таким чином:

1) представлена змінна є важливим рішенням, що приймається в рамках розробленої моделі;

2) коефіцієнт в цільовій функції істотно перевершує всі інші.

5.5. Цілочислова транспортна задача

В попередньому розділі розглядались математичні аспекти і особливості вирішення транспортних задач. Одним з видів цих задач є цілочислова транспортна задач, яка має цілочисловий характер. Цілочислові змінні мають місце, коли перевезений вантаж являє собою лічильну множину великих заготівель або комплектуючих, неподільних продуктів виробництва, упакованих сипучих матеріалів і т.п. Об'єм такого вантажу характеризується розміром, що виражається в штуках, пакунках, партіях і т.п.

Тоді математична постановка транспортної задачі планування перевезень набуває вигляду:

m n

y=∑∑cijxij→min; (5.18)

i=1 j=1 xijΩ

m ____

Ω: fj=∑xij=bi, j=1,n; (5.19)

i=1

n ____

fn+i=∑xij=ai, i=1,m; (5.20)

j=1_____ _______

xij≥0; i=1,m; i=1,m. (5.21)

_______ _______

xij=int; i=1,m; i=1,m. (5.22)

Математична модель цілочислової транспортної задачі (5.18)-(5.22) відрізняється від раніше розглянутих математичних моделей транспортної задачі додатковим обмеженням на цілочисельність невідомих xij (5.22). Це потребує накладення обмеження цілочисельності на функції f1,f2, … , fn+m…

Необхідно зауважити, що в загальному випадку умова цілочисельності може накладатися і на значення функції цілі y.

5.6. Задача цілочислового лінійного програмування

Розглянемо ще декілька задач, математична модель яких відповідає цілочисловій задачі лінійного програмування.

Оптимальне вирішення нижче приведених задач можна одержати методом відсікання введення в задачу додаткових обмежень у вигляді нерівностей.

Задача про розподіл вантажного флоту:

Змістовна постановка завдання. Нехай вантажний флот має у своєму складі судна п типів. Кількість суден типу j дорівнює , а витрати при використанні одного судна типу j у планованому періоді складає Кожне судно має вантажні ємкості т типів (трюми, палуби, танки і т.п.). Вантажопідйомність ємкості і на судні типу j дорівнює Перевезенню підлягають р видів вантажу. Вантаж виду k є в кількості а Треба вибрати найбільш економічний комплекс транспортних засобів для перевезення вантажу.

Математична модель задачі.

Позначимо:

- кількість суден j-го типу,

кількість вантажу виду к, що підлягає завантаженню в ємкість

Тоді математична модель задачі про розподіл вантажного флоту має вигляд:

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

Тут обмеження (5.24) показує, що загальна кількість вантажу, яка завантажена в ємкості кожного типу, не повинна перевищувати сумарну вантажопідйомність цих ємкостей у всіх судах, а обмеження (5.25) говорить про те, що перевезення усіх вантажів повинно бути повністю здійснено.

Задача про розвезення вантажу

Змістовна постановка задачі. Нехай деяка центральна база постачає продукцію (її можна вважати однорідною) на т складів. Розвезення продукції на склади здійснюються однією вантажівкою, причому кожний склад одержує своє замовлення в один прийом - вантажопідйомність вантажівки для цього достатня. Вантажівка може одночасно взяти вантаж, що відповідає не більше ніж к замовленням. Вантажівка може об'їжджати склади за визначеними г маршрутами. Один і той самий І склад може знаходитися на різних маршрутах.

Нехай для кожного складу відома функція витрат залежно, наприклад, від розміру замовлення. Потрібно скласти графік розвезень, забезпечує всіх клієнтів і мінімізує сумарні витрати. Час доставки не враховується. Передбачається, що всі операції по доставці гарантоване можуть бути здійснені протягом деякого періоду часу, що влаштовуєш всіх споживачів.

Під способом розвезення будемо розуміти будь-яку припустимій комбінацію виконання замовлень. Він являє собою m-мірний стовпець» 1-й компонент якого дорівнює одиниці, якщо і-й замовлення в цьому способі задовольняється, і нулю - у противному разі. Для будь-якої реальної задачі при невеликих значеннях т, к і г можна фактично виписати всі такі способи розвезення. Число п цих способів буде залежати неї тільки від перерахованих параметрів, але і від числа складів на кожному маршруті, об'єму замовлень і т.д. Кожному j—му способу розвезення І відповідають витрати Cj.

Нехай при даних конкретних умовах задачі сформована матриць A=[aij] способів розвезення, що складається з нулів і одиниць. Стовпці цієї матриці являють собою описані вище способи розвезення, тобто , якщо в j-м способі i -є замовлення задовольняється, і у противному разі. Тепер завдання полягає у виборі найбільш економічної комбінації цих способів.

Математична модель задачі. Введемо змінні: в рівні 1, якщо j посіб розвезення реалізується, і рівні 0 - у противному разі. Тоді математична модель задачі набуває вигляду:

; (5.29)

(5.30)

(5.31)

(5.32)

Умова (5.30) означає, що всі замовлення повинні бути задоволені тільки один раз.

Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

6.1. Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

6.2. Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Поняття: система; емерджентність, детермінована система; стохастична система; динамічна система; нелінійність; траєкторія; аттрактор; бифуркація; нелінійне програмування; цільова функція; оптимальний план; фрактал; графічний метод; метод Лагранжа.

Література: [5], [7], [14], [23], [29], [49].

6.1. Сутність нелінійних зв’язків в економічних системах

Найважливішою задачею економічної науки є цілеспрямоване управління поведінкою складних динамічних систем, у тому числі економічних, господарських, технічних та інш. Для цього сучасна наука має в розпорядженні широкий арсенал методів, серед яких особливе значення має математичне моделювання. До останнього часу в економічних дослідженнях прикладного характеру і в управлінській діяльності використовувались лінійні оптимізаційні моделі. При достатньо високому рівні технологічної культури і надійній інформаційній базі реалізація лінійних економіко-математичних моделей забезпечує більш високу ефективність в порівнянні з традиційними методами прийняття управлінських рішень. Проте дослідження останніх років показали, що існує клас економічних, господарських задач, де застосування лінійних оптимізаційних моделей або некоректно, або утруднено, але в той же час вони ефективно розв'язуються на основі нелінійних економіко-математичних моделей.

Теорія "нелінійної економіки" істотно відрізняється від теорії "лінійної економіки", хоча таке поняття, як система є фундаментальною і нероздільною для цих теорій.

При визначенні нелінійних зв’язків важливе значення має категорія системи. Система (від грецького - складене з частин, з'єднання) - це відносно відособлена і впорядкована сукупність вододіючих особливою зв'язаністю і цілеспрямованістю взаємодіючих елементів, здатних реалізувати певні функції.

Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не властиві жодному з елементів, що входять в систему.

Системи бувають детерміновані і стохастичні. Під детермінованою системою розуміється система, в якому зв'язки між елементами і подіями строго і однозначно визначені, тобто її стан в майбутньому однозначно визначається станом на відповідний час.

Системи, в яких зв'язки між елементами і подіями носять ймовірносний характер - називаються стохастичними.

Слід відзначити, що більшість економічних процесів мають ймовірносний характер і можуть бути описані нелінійними моделями. В цілому, в детерміновані економічні процеси введення незначної нелінійності призводить до непередбачуваного ряду подій.

При дослідженні нелінійних зв’язків необхідно враховувати динаміку системи. Динамічна система – система, в якій перехід з одного стану в інший здійснюється не миттєво, а протягом деякого часу, тобто процес переходу можна спостерігати і описати.

Найбільший інтерес з погляду управління представляють закономірності поведінки складних динамічних систем. Системи, які мають розгалужену структуру і велику кількість взаємозв'язаних і взаємодіючих елементів, що забезпечують виконання будь-якої складної функції, називаються складними. Одна з важливих властивостей складних систем - нелінійність. Якщо розглядаємо нестійкий режим системи, то порушивши його малим обуренням, отримаємо деяке відхилення від початкового положення. Відхилення наростатиме до тих пір, поки не вступить в дію механізм нелінійного обмеження процесу наростання обурення. З фізичної точки зору це можна пояснити так: наростання амплітуди не може відбуватися до безкінечності, через обмеженість енергетичних ресурсів системи це наростання повинно припинитися або змінитися зменшенням амплітуди відхилення. Будь-який новий режим повинен мати кінцеву амплітуду, і управляють цими процесами нелінійні закони. Властивості нелінійної системи безпосередньо залежать від її стану.

При проведенні аналізу нелінійних динамічних систем необхідно враховувати поняття «фазовий простір» і «траєкторія». Багато станів динамічної системи називають фазовим простором, а траєкторію руху в цьому просторі з деякого початкового стану – фазовою траєкторією. Найважливіша характеристика цього простору – його розмірність – число величин, які необхідно задати для визначення стану системи.

Траєкторія – крива в просторі параметрів, яку описує точка при своєму русі в часі.

Найважливіше поняття в теорії нелінійних динамічних систем – це поняття грубості (або структурної стійкості). Якщо при малих змінах параметрів системи вид фазових змін нелінійної системи залишається незмінним, то таку системи називають грубою.

При аналізі динаміки нелінійних моделей враховують поняття «ат трактор» - безліч точок або підпростір у фазовому просторі, до якого наближається траєкторія після загасання перехідних процесів. Класичними прикладами аттракторів в динаміці можуть служити точки динамічної рівноваги, нерухомі точки відображень, або граничні цикли. Динамічні системи, які володіють аттракторами називають дисипативними.

При моделюванні нелінійних економічних процесів динаміки необхідно враховувати теорії прогнозу, катастроф и бифуркації. Прогнозування економічних процесів розглядається в розділі 12. Теорія катастроф полягає в тому, що відстеження змін на основі розуміння коли, чому і як відбуваються економічні зміни. Для цих процесів характерні раптові стрибкоподібні зміни, а не поступовий плавний розвиток.

Основи теорії бифуркацій динамічних систем були закладені в працях великого французького вченого Анрі Пуанкаре. Бифуркація – зміна характеру руху динамічної системи на великому тимчасовому інтервалі при зміні одного або декількох параметрів. Ті значення параметрів, при яких змінюються якісні або топологічні властивості руху, називаються критичними або бифуркаційними значеннями. Хаос в динаміці означає чутливість динамічної еволюції до змін початкових умов.

При вивченні нелінійних об’єктів необхідно враховувати поняття фракталу. Будь-який нелінійний процес призводить до галуження, до розвилки на шляху, в якій система може вибрати ту або іншу гілку. Будь-яка найменша неточність в початкових умовах може пізніше дуже сильно вплинути на подальший рух. В кожний окремий момент причинний зв'язок зберігається, але після декількох галужень її вже не видно. Поняття фрактала в самому початку розроблялося Бенуа Б. Мандельбротом як альтернатива евклідовій геометрії, що претендувала на найбільш відповідний опис об'єктів природи. Їх істотною межею була невичерпність найдрібніших деталей і самоподібність в різних масштабах вимірювання. Найсильнішим затвердженням теорії фракталів є те, як багато процесів, що відповідають за формування економічних об'єктів, прагнуть стати хаотичними, і що хаотичні аттрактори є фрактальними об'єктами.

6.2. Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Для розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем вирішуються задачі нелінійного програмування.

Нелінійне програмування - математичні методи визначення максимуму або мінімуму функції за наявності обмежень у вигляді нерівностей або рівнянь. Максимізувавши або мінімізувавши функція є прийнятим критерієм ефективності вирішення задачі, відповідним поставленій меті. В цьому випадку цей критерій має назву цільової функції.

Цільова функція задач нелінійного програмування полягає в тому, щоб знайти умови, що обертають цільову функцію в мінімум або максимум. Рішення, що задовольняє умові задачі і відповідне наміченій меті, називається оптимальним планом. Нелінійне програмування служить для вибору найкращого плану розподілу обмежених ресурсів в цілях вирішення поставленої задачі. В загальному вигляді постановка задачі нелінійного програмування зводиться до наступного. Умови задачі представляються за допомогою системи нелінійних рівнянь або нерівностей, що виражають обмеження, які накладається на використання наявних ресурсів.

В загальному вигляді математична модель задачі нелінійного програмування формулюється наступним чином:

f =(x1,x2, …,хn) → min (max). (6.1)

При цьому ці змінні повинні задовольняти обмеженням:

g1(x1,x2, …,хn) ≤b1,

…………………………

gm(x1,x2, …,хn) ≤bm,

gm+1(x1,x2, …,хn) ≥bm+1,

…………………………(6.2)

gk(x1,x2, …,хn) ≥bk,

gk+1(x1,x2, …,хn)=bk+1,

………………………

gp(x1,x2, …,хn)=bp.

x1,x2,…,хn ≥0, де одна із функцій f, gi нелінійна.

Для задач нелінійного програмування немає єдиного методу вирішення. Залежно від виду цільової функції і системи обмежень розроблені спеціальні методи вирішення, до яких відносяться метод множників Лагранжа, градієнтні методи, наближені методи вирішення, графічний метод.

Розглянемо деякі з них. Основні ідеї графічного методу: максимум і мінімум досягається в точках дотику лінії рівня з областю допустимих рішень, яка задається системою обмежень. Наприклад, якщо лінії рівня - прямі, то точки дотику можна визначити, використовуючи геометричне значення похідної.

Розглянемо на прикладах вирішення задач нелінійного програмування.

1. Знайти екстремуми функції L(x1,x2)=x1+2x2 при обмеженнях

, .

Вирішення

Область допустимого вирішення – це частина кола з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Знайдемо лінії рівня функції L: x1+2x2=C. Виразимо x2=. Лініями рівня будуть паралельні прямі з кутовим коефіцієнтом, який дорівнює -. Мінімум функції досягається в точці (0;0), Lmin=0, оскільки градієнт (1,2) спрямовано вверх вправо. Максимум досягається в точці дотику кривої х2= та лінії рівня. Оскільки кутовий коефіцієнт дотику до графіку функції дорівнює -, знайдемо координати точки дотику, використовується геометричне значення похідної.

=-; ()=-;

=-; x0=; x2=2.

Тоді L=+2∙2=5.

Відповідь: Мінімум досягається в точці О(0;0), глобальний максимум, дорівнює 5, в точці А(;2) .

2. Знайти екстремуми функції L=(x1-6)2+(x2-2)2 при обмеженні

x1+x2≤8

3 x1+x2 ≤15

x1+x2 ≥1

Вирішення

Область допустимого вирішення – багатокутник ABCDE. Лінії рівня представляють собою окружність (x1-6)2+(x2-2)2=С з центром в точці О1(6;2). Візмимо, наприклад, С=36, бачимо, що максимум досягає в точці А(0;4), яка лежить на окружності найбільшого радіусу, який пересікається з областю допустимого вирішення L(A)=(0-6)2+(4-2)2=40. Мінімум - в точці F, яка знаходиться на перетені прямої 3x1+x2 =15 і перпендикуляру до цієї прямої, виведеного із точки О1. Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює -3, то кутовий коефіцієнт перпендикуляру дорівнює . Із рівняння прямої, яка проходить через точку О1 з кутовим коефіцієнтом , отримаємо (x2-2)= (x1-6). Знайдемо координати точки Е

х1-3х2=0

3 x1+x2 =15.

Вирішивши систему, отримаємо Е(4.5; 1.5).

L (E) = (4.5-6)2+ (1.5-2)2=2.5.

Відповідь: Мінімум дорівнює 2.5 досягається в точці (4.5; 1.5), максимум дорівнює 40 в точці (0;4).

3. Знайти екстремуми функції L=(x1-1)2+(x2-3)2 при обмеженнях , .

Вирішення

Область допустимого вирішення є частина кола з центром на початку координат з радіусом 5, яка розташована в I чверті. Лінії рівня – це окружності з центром в точці О1 і радіусі С, оскільки (x1-1)2+(x2-3)2=С. Точка О1 – це розроблена лінія рівня, яка відповідає мінімальному значенню С=0. глобальний максимум досягається в точці А, яка знаходиться на веретену області допустимого вирішення з лінією рівня найбільшого радіусу. При цьому L(A)=(5-1)2+(0-3)2=25.

Відповідь: Мінімум, дорівнює 0, досягається в точці (1;3), максимум, дорівнює 25, - в точці А(5;0).

4. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 150 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x0.6·y0.4. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

Вирішення

Цільова функція має вид 0.001x0.6·y0.4 →max при обмеженнях

x+y≤150,

Область допустимого вирішення – трикутник. Лінії рівня будуть мати вид 0.001x0.6·y0.4 =С. Виразивши у, отримуємо у=. Оскільки максимум досягається в точці дотику лінії рівня з областю допустимого вирішення, то умова дотику має вигляд =-1. Знайдемо похідну, отримаємо =-1. Виразивши х, отримаємо х=. у==.

Відповідь: Фактори х і у необхідно розподілити у відношенні 2:3.

Сутність методу Лагранжа складається в побудові функції L(x1,x2, …,хn)= f(x1,x2, …,хn)+gi(x1,x2, …,хn), де невідомі постійні, і знаходженні екстремуму функції L.

Має сенс наступна теорія: якщо точка () є точкою умовного екстремуму функції f(x1,x2, …,хn) за умови g(x1,x2, …,хn)=0, то існують значення такі, що точка () є точкою екстремуму функції L().

Розглянемо метод Лагранжа для функції двох змінних.

L(x1,x2,)= f(x1,x2)+ g(x1,x2)

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції f(x1,x2) за умови g(x1,x2)=0 необхідно знайти вирішення системи

L=f (x1,x2)+g(x1,x2)=0, (6.3)

L=f (x1, x2) +g(x1, x2) =0,

L= g(x1, x2) =0.

Якщо і додаткові умови, при виконанні яких вирішення (x1,x2,) системи (6.3) визначає точку, в якій функція f досягає екстремуму, для цього потрібно розрахувати значення і скласти визначник

=-.

Якщо <0, то функція має в точці () умовний максимум, якщо >0 – то умовний мінімум.

Вирішимо задачу методом множинника Лагранжа.

Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,5х2+0,6ху+0,4у2+ +700х+600у+2000, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 500 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

Вирішення

Складемо функцію Лагранжа

L(x, y, ) =0,5х2+0,6ху+0,4у2+ +700х+600у+2000+(х+у-500).

Дорівнюючи до нулю її часні похідні, отримаємо

х+0,6у+700+ =0,

0,6х+0,8у+600+ =0,

х+у-500=0.

Вирішивши систему знайдемо (0, 500, -1000).

Використаємо достатні умови для визначення знайденого значення

L(x0,y0)=1, L(x0,y0)=0.8, L(x0,y0)=0.6. Функція g= х+у-500. g=1, g=1.

=-(0·L·L+ g·L· g+ g·g·L- g·L·g-0·L·L- g· g·L)=0,6>0

Таким чином, в точці (0;500) функція L має умовний мінімум.

Відповідь: Вигідно виробляти тільки 500 одиниці товару В, а товар А не виробляти.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 3

Питання для самоконтролю:

Охарактеризуйте сутність цілочислового програмування.
Розкрийте напрями формулювання і вирішення задач цілочислового програмування:
Які методи використовуються при вирішенні задач цілочислового лінійного програмування. Охарактеризуйте їх.
Представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування.
В чому полягає метод Гомори і представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.
В чому полягає метод віток і меж і представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.
Охарактеризуйте математичну модель цілочислової транспортної задачі.
Назвіть види і висвітіть особливості вирішення задач цілочислового лінійного програмування.
Назвіть і охарактеризуйте основні поняття, які пов’язані з нелінійними зв’язками в економічних системах.
Визначте поняття нелінійного програмування й сутність вирішення задач нелінійного програмування.
Охарактеризуйте графічний метод вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.
Охарактеризуйте метод Лагранжа вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

Завдання для самоконтролю:

1. Знайти оптимальний цілочисловий план задачі Z(X) = х1 - Зх2 + 5х3 + 2х4 –max за умови:

x1+x2+x3 =15

2x1+ 3x3+x4=8,

хj, > 0, хj — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

2. Отримати цілочисловий оптимальний план задачі Z(X) x1— 4х2 — 2х3 + Зх4 —> max за умови

3x1+x2+8x3+x4=35

x1+x3+x4≤6

xj≥ 0, хj — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

3. Контейнер обсягом 5 м3 розташований на контейнеровоз вантажністю 12 т. Контейнер необхідно заповнити вантажем двох найменувань. Маса одиниці вантажу mj (в тонах), обсяг одиниці вантажу Vj (в м3), вартості Cj (в умовних грошових одиницях) наведені в табл. 6.1.

Таблиця 6.1 - Маса одиниці вантажу mj (в тонах), обсяг одиниці вантажу Vj (в м3), вартості Cj (в умовних грошових одиницях)

Вид вантажу у	mj	V,	Сj
1	3	1	10
2	1	2	12

Необхідно завантажити контейнер таким чином, щоб вартість ватажу, шо перевозиться була максимальною.

4. Знайти екстремуми функції L(x1,x2)=2x1+x2 при обмеженнях , .

5. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 50 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x0.4·y0.2. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

6. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,8х2+0,7ху+0,6у2+800х+500у+1600, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 400 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

Змістовий модуль 4

Оцінка і управління ризиком в економіці

Тема 7. Аналіз та управління ризиком в економіці

7.1. Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику

7.2. Сутність та етапи управління ризиком на підприємстві в сучасних умовах господарювання

7.3. Аналіз управління ризиком в економіці

Поняття: ризик; управління ризиком; невизначеність; ступінь невизначеності.

Література: [1], [6], [8], [9], [10], [11], [21], [32], [41], [42], [57], [58], [62], [68], [69], [71], [76], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89].

7.1. Поняття, сутність і зміст невизначеності й ризику

За останнє десятиріччя відбулись значні структурні зміни в економіці України. Це пов’язано із перебудовою форм власності, трансформації трудового, виробничого потенціалів, зміною в макро- і мікросередовищах підприємств. Невизначеність ринкових умов, зростання рівня стохастичності впливу економічних факторів на результативність діяльності підприємства призводить до зростання ризиків втрати суб’єктами підприємницької діяльності не тільки своїх позицій на ринку, але й їх занепаду.

Таким чином, в сучасних умовах господарювання більшість економічних процесів мають невизначений характер, коли досить складно сказати, як будуть розвиватись події в майбутньому. Це ускладнює процес прийняття управлінських рішень та прогнозування показників діяльності підприємств. В таких умовах зростає рівень невизначеності й ризику. Тому важливого значення набуває визначення змісту, сутності цих понять.

Поняття «невизначеність» означає як постійна мінливість умов, поведінки зв’язків, швидкі зміни в макро- і мікросередовищі підприємства. Невизначеність супроводжував прийняття будь-яких управлінських рішень. Виділяються основні типи невизначеності в економічних задачах при прийнятті управлінських рішень:

об'єктивна (природна) невизначеність;
інформаційна невизначеність, яка характеризується недостатністю або відсутністю відповідної інформації;
невизначеність, яка пов’язана з діяльністю інших суб’єктів підприємницької діяльності;
невизначеність, яка пов’язана з низькою структурованістю й ефективністю організаційної структури підприємств;
невизначеність, що обумовлена нечіткістю, розпливчатістю економічних процесів, явищ, інформації.

Ухвалення рішень в умовах невизначеності є вибором тієї або іншої можливості з їх різноманіття, а сам процес ухвалення рішень нерозривно пов'язана з перетворенням невизначеності у визначеність.

Невизначеність обумовлюється неповнотою, несвоєчасністю, низьким рівнем специфікації, ймовірністю інформації, що пов’язана з діяльністю суб’єктів підприємницької діяльності. В умовах зростання рівня невизначеності відповідно збільшується ризик господарської діяльності підприємств.

Слід вказати, що залежність між рівнем невизначеності економічної ситуації і рівнем ризику досить висока. Чим більше невизначеність, тим більше ризик і навпаки. Тому необхідно обґрунтувати поняття ризику, його сутність, оцінити його рівень і встановити причини його виникнення. Розглянемо поняття «ризик» з позиції різних аспектів діяльності суб’єктів підприємницької діяльності.

Термін «ризик» виходить від грецьких слов ridsikon, ridsa — круча, скала [3]. З позиції формування прибутків або збитків підприємства під ризиком розуміють ймовірність виникнення збитків або недоотримання доходів порівняно з прогнозними варіантами.

Особливу роль в діяльності підприємства відіграють фінансові ризики, які визначаються як ймовірність виникнення непередбачених фінансових втрат в ситуації невизначеності умов фінансової діяльності підприємства [68].

Інвестиційний ризик відображає можливість виникнення непередбачених фінансових втрат в процесі інвестиційної діяльності підприємства. До них відносять ризики реального інвестування, портфельні ризики і ризики інноваційного інвестування.

Ризик – це дія, яка здійснюється сподіваючись на щасливий результат по принципу «повезе – не повезе» [76].

Ризик – це суб’єктивна характеристика невизначеності сценарію реалізації проекту.

Ризик – це об'єктивно-індивідуальна категорія, яка характеризує загрозу, небезпеку виникнення негативних явищ в економічному й організаційному середовищі підприємства.

Ризик - це можливість відхилення від мети, ради досягнення якої ухвалювалося рішення; вірогідність помилки або успіху того або іншого вибору в ситуації з деякими альтернативами; це ситуативна характеристика діяльності, що полягає в невизначеності її результату в можливих несприятливих наслідках у разі «неуспіху»; рівень невизначеності в прогнозі результату [76].

Ризик - вибір управляючих параметрів (управляючих дій), що не гарантує виконання поставленої мети у зв'язку з невизначеністю (характером вірогідності) умов господарювання [58].

Ризик - це діяльність, пов'язана з подоланням невизначеності в ситуації неминучого вибору, в процесі якої є можливість кількісно і якісно оцінити вірогідність досягнення передбачуваного результату невдачі і відхилення від мети [62].

Як видно з теоретичних визначень економічної категорії «ризик», їх об’єднує невизначеність здійснення події в позитивну або негативну сторону. В цьому аспекті виникає необхідність оцінки ризику для мінімізації негативних явищ і забезпечення позитивного результату.

Сутність ризику полягає в співвідношенні мети і результату діяльності між якими існують відхилення. Ступінь цього відхилення і визначає рівень ризику діяльності суб’єктів підприємницької діяльності. Якщо відхилення мети і результату зростає, то і збільшується ризик, якщо навпаки – то останній зменшується.

7.2. Управління ризиком на підприємстві в сучасних умовах господарювання

В умовах реформування економіки управління ризиком є складним процесом, який включає багато чинників. Управління ризиком складається з чотирьох блоків:

Перший блок - це порівняльна характеристика ризику. Суть його полягає в розрахунку кількісних показників, в якому показники ризику порівнюються із стандартними величинами ризику, інформацією нормативних документів або порівнянними показниками ризиків.

В другому блоці визначається наскільки значний наявний ризик.

В третьому блоці відбувається моніторинг ризику й здійснення управлінських дій щодо його зниження.

В четвертому блоці здійснюється контроль за ризиком і розповсюдження інформації про його рівень.

Управління ризиком є важливим і постійно присутнім елементом управління в підприємницькими структурами, яка випливає із загальної концепції ризику, що склалася, у названого тут елемента дві сторони:

-перша - «оборонна», пасивна, яка реалізується за допомогою страхування і відокремлення від ризику;

-друга - «наступальна», активна, реалізована в ході зростання, оновлення, накопичення тієї інформації, яка необхідна для скорочення області невизначеності і ризику.

Виділяють наступні етапи управління ризиком:

1 етап – формування цілей у відповідній сфери діяльності підприємства.

2 етап – визначення критеріїв оцінки різних заходів по управлінню ризиком.

3 етап – вибір і аналіз заходів по досягненню визначених цілей.

4 етап – вибір найбільш адекватних заходів і контроль результатів їх виконання.

На першому етапі визначається масштаб рівня ризику, суб’єкти і об’єкти ризику, спрямованість заходів щодо зниження ризиків, формуються задачі.

На другому етапі вибирають оптимальні заходи щодо скорочення або запобігання ризиків, які б були спрямовані на їх досягнення. До початку вибору заходів щодо управління ризиком потрібно вирішити, за допомогою яких критеріїв оцінювати вибирані заходи. Необхідною умовою вибору переважної більшості заходів щодо управління ризиком є їх технологічна і економічна здійснимість.

На третьому етапі аналізуються заходи щодо управління ризиком.

На четвертому етапі проводиться постійний контроль виконання різних етапів робіт. При проведенні контролю результатів робіт треба враховувати:

відповідність вибраних показників контролю меті і задачам здійснюваних заходів;
проведення контролю результатів робіт через певний проміжок часу;
проведення контролю всіх аспектів проведення заходів (експозиції, ризику, економічних показників і т.п.);
використання показників відповідного масштабу.

7.3. Аналіз заходів управління ризиком в економіці

На підприємстві аналіз заходів щодо управління ризиком спрямований на досягнення основної мети їх діяльності – забезпечення розвитку і складається з декількох етапів. На першому етапі в процесі управління ризиком використовують систему показників або «набор інструментів», які спрямовані на зниження ризику або формують підходи щодо запобігання появи ризику. Тоб то важливо не констатувати появу ризику, а його діагностувати. Це дозволить встановлювати причинно-наслідкові зв’язки виникнення й розвитку ризику на підприємствах. Після здійснення діагностики ризику, на другому етапі, запропоновані заходи аналізують в ході роботи, щоб оцінити переваги різних стратегій.

Найефективніші заходи можна потім більш ретельно проаналізувати, щоб вибрати найприйнятніші з них. На цьому етапі особливо важливо залучення широкого круга зацікавлених сторін, щоб вибрані стратегії не викликали негативного відношення у когось із залучених учасників (наприклад, громадськості, приватного сектора, платників податків і т.п.). Ефективним може бути підхід залучення в цей процес членів робочої групи до обговорення за круглим столом різних підходів до управління ризиком.

На наступному етапі розробляється система дій щодо впровадження стратегії управління ризиком. Цей етап передбачає розробку конкретних заходів і підходів управління ризиком в конкретних умовах господарювання підприємства.

На останньому етапі впроваджується стратегія і здійснюється її моніторинг.

Таким чином, аналіз заходів управління ризиком представляє собою систему дій, яка спрямована на зниження рівня ризику або його знежкодження і досягнення соновної мети діяльності підприємства – забезпечення його розвитку.

Тема 8. Система показників кількісного оцінювання ступеня ризику

8.1. Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику

8.2. Оцінка ризику на основі абсолютних і відносних показників

8.3. Допустимий та критичний ризик

8.4 Оцінка ризику ліквідності

Поняття: кількісне оцінювання ризику; математичне сподівання; допустимий ризик; критичний ризик.

Література: [1], [6], [8], [9], [10], [11], [21], [32], [41], [42], [57], [58], [62], [68], [69], [71], [76], [81], [82], [83], [84], [85], [86], [87], [88], [89].

8.1. Напрями кількісного оцінювання ступеня ризику

Оцінка ризику – це систематичний процес виявлення факторів і видів ризику та їх кількісна оцінка, тобто методологія аналізу ризиків поєднує взаємодоповнюючи кількісний і якісний підходи.

Оцінка ризику здійснюється в два етапи: якісний і кількісний. В рамках першого етапу встановлюються джерела й причини ризику, етапів або робіт, при виконанні яких виникає ризик, тобто визначається потенційні зони ризику, виявляються ризики, які пов’язані з діяльністю підприємства, прогнозується практичні вигоди і можливі негативні наслідки ризиків. Результати якісного аналізу є важливими для проведення кількісного аналізу.

На другому етапі розраховуються кількісні значення окремих ризиків і ризиків підприємства в цілому. Також виявляється можливий збиток і дається вартісна оцінка від прояву ризику і, нарешті, завершальною стадією кількісної оцінки є вироблення системи антикризикових заходів і розрахунок їх вартісного еквівалента.

Розглянемо більш детально особливості кількісного оцінювання рівня ризику.

Кількісне оцінювання рівня ризику - це важливий етап процесу управління, який має включати оцінювання реального (фактичного) ризику, а також встановлення меж допустимого ризику для окремих господарських операцій, організаційних підрозділів і фінансових установ. Водночас потрібно оцінити й ризики освоєння нових ринків, продуктів і напрямів діяльності. Ризик економічних рішень оцінюється сподіваними втратами, що є наслідками цього рішення. Ступінь ризику вимірюється втратами (збитками), яких можна очікувати в разі реалізації цього ризику, а також ймовірністю, з якою ці втрати можуть статися. Коли ймовірність втрат висока, а розмір їх малий або навпаки – збитки малоймовірні, хоча й оцінюються як суттєві, то ризик вважається невисоким (малим). Отже, методи оцінки ризику, які формалізують процес вимірювання та розрахунків, мають визначати три основні компоненти ризику:

розмір (величина) – сума можливих втрат;
ймовірність настання негативної події;
тривалість періоду впливу ризику.

Слід відзначити, що кількісна оцінка ризику визначається величиною можливих ймовірносних втрат, тому необхідно враховувати випадковий характер таких втрат. Ймовірність настання події може бути визначена об'єктивним і суб'єктивним методами.

Перша група методів використовується для визначення ймовірності настання події на основі розрахунку частоти, з якою відбувається ця подія. Це методи теорії ймовірностей, економічної статистики, теорії ігор та інші математичні методи.

Суб’єктивні методи базуються на використанні суб’єктивних критеріїв, які базуються на різних припущеннях. До таких припущень відносяться судження оцінюючого, його особистий досвід, оцінка експерта по рейтингу та інш. [3]. Суб'єктивні методи застосовують тоді, коли ризики не піддаються кількісному вимірюванню – квантифікації.

Для оцінки величини фінансових ризиків в основному використовують три групи показників:

статистичні величини (стандартне відхилення, варіація, дисперсія, коефіцієнт бета);
непрямі показники ризиковості діяльності, обчислені зазвичай у формі фінансових коефіцієнтів за даними публічної звітності;
аналітичні показники (індикатори), призначені для оцінки конкретного виду ризику (валютного, відсоткового, кредитного, інвестиційного, незбалансованої ліквідності та ін.) в процесі внутрішнього аналізу діяльності підприємницьких структур.

Для мінімізації або нівелювання впливу ризиків можуть бути використані кумулятивні методи. Ці методи базуються на експертних оцінках, пов’язаних з інвестуванням. При використанні кумулятивного методу на першому етапі розраховується безризикової ставка доходу. Наступним етапом є оцінка надбавки, яка додається до безризикової ставки доходу. Таким чином, кількісно ставка дисконтування розраховується:

Сд = БСД + ΣІР, (8.1)

де Сд – ставка дисконту;

БСД – безризикова ставка доходу;

ΣІР – сума інвестиційних ризиків.

В цілому кумулятивний метод визначається як один із методів оцінки коефіцієнта (ставки) капіталізації, коли коефіцієнт складається з декількох складових: безризикова ставка; премія за ризик; премія за низьку ліквідність; премія за управління інвестиціями; фактор фонду відшкодування.

При використанні цього методу запропоновано наступне співвідношення:

Y = 26,41 x ln X – 64,16, (8.2)

де Y – базова ставка дисконту;

X – діюча ставка Центрального банку .

Запропонована формула дозволяє конкретизувати кількісну характеристику оцінки інвестиційних ризиків. Проте, отримане в результаті кореляційно-регресійного аналізу співвідношення, базується на конкретних показниках минулих періодів. Тому воно носить обмежений характер і віддзеркалює лише ті умови, в яких формувались ці показники.

Слід відзначити, що аспектовані підходи щодо впровадження кумулятивних методів тісно пов’язані також з оцінкою премії за ризик для конкретного підприємства. Премія за ризик диференціюється в залежності від об’єкту інвестування, або від умов інвестування реалізації проекту. Першими факторами виступають: використання нової технології, обладнання, нової техніки, випуск нової продукції та інші. До других факторів відносять: попит і пропозицію, вплив зовнішньоекономічних ризиків, внутрішньо економічні ризики, політична нестабільність та інші.

Досить проблемним питанням є визначення сумарного ризику. В цьому аспекті показник ризику може бути кількісно оцінений наступним чином:

ΣР = (1+а1) * …* (1+ак) – 1, (8.3)

де ΣР – сумарний ризик;

а1….ак – види ризиків.

В умовах інфляційних процесів ставка дисконту визначається співвідношенням:

Rн= Rр + i + Rрхi , (8.4)

Rн – номінальна ставка дисконту;

Rр – реальна ставка дисконту;

i – темп інфляції.

Запропоновані різноаспектовані підходи щодо визначення категорії «ризик» і напрями його оцінки дозволять підприємствам своєчасно реагувати на негативні явища, які пов’язані з макросередовищем і внутрішньогосподарською діяльністю. Слід вказати, що прийняття ефективних управлінських рішень базується на кількісному підґрунті. В цьому аспекті представлені методи кількісної оцінки ризику дозволяють оцінити ці ризики підприємства і встановити рівень премії за них.

8.2. Оцінка ризику на основі абсолютних і відносних показників

Система кількісних оцінок ризику в абсолютному виразі складається з таких:

у випадку, коли рішення є альтернативним, тобто можливі лише два наслідки його реалізації, показники ризику розраховуються за такою залежністю:

R = Xн х Рн, (8.5)

де Хн – величина збитків у разі настання негативного наслідку рішення;

Рн – ймовірність настання негативного наслідку.

у випадку, якщо рішення мають декілька (безліч) наслідків реалізації, використовують показники:

- математичне сподівання. Математичне сподівання дискреційної величини представляє собою суму добутків можливих варіантів цієї величини на їх імовірність:

М(х)=, (8.6)

при чому основною умовою використання цієї формули є:

. (8.7)

Математичне сподівання для неперервної величини:

М(х)= (8.8)

- показник дисперсії характеризує ступінь мінливості реальних даних деякої випадкової величини навколо математичного сподівання. Визначається як математичне сподівання квадратів відхилень індивідуальних значень випадкової величини від її математичного сподівання:

σ2=М(х – М(х))2. (8.9)

Для дисперсійної величини формула дисперсії має вигляд:

σ2= . (8.10)

Для безперервної величини:

σ2= . (8.11)

- середньо квадратичне відхилення:

σ = , (8.12)
σ = . (8.13)

Іноді для оцінки величини ризику в абсолютному виразі використовують ймовірність настання небажаних наслідків, тобто величини Р.

Для оцінки ризику при обґрунтуванні управлінських рішень, в більшості випадків, не достатньо використання абсолютних показників. В системі оцінки ризику використовують відносні показники.

У відносному виразі ризик визначається: коефіцієнтом ризику, який визначається як відношення величини максимальних втрат від даного виду діяльності до деякої бази порівнянь (за таку базу може прийматись обсяг власних ресурсів підприємства, загальні величини втрати по даному виду діяльності або сподіваний дохід від даного виду діяльності):

Кр = Х/К, (8.14)

де Х – величина максимально можливих втрат;

К – база порівнянь.

Цей показник, як правило завершує проведення дисперсійного аналізу ризику і використовується при наявності масиву статистичної інформації. При чому, чим більший цей показник, тим більшим є ризик, пов’язаний з даним проектом.

8.3. Допустимий та критичний ризик

В системі оцінки ризику необхідно визначити границі або інтервали, де можна допускати відповідний рівень ризику, а де він є критичним. Тобто визначають зони ризику. При цьому використовують графічний аналіз і аналітичні підходи щодо визначення цих зон.

Графічний аналіз полягає в побудові кривої щільності розподілу ймовірностей настання ризику. При цьому визначаються зони допустимого й критичного ризику. Наприклад, для інвестиційного проекту будують криву, що висвітлює залежність між ймовірними збитками по проекту і сподіваними віддачами цього проекту. В цьому процесі визначають точки, які відповідають зонам критичного або допустимого ризику.

Точка допустимого ризику - характеризує найбільш ймовірні збитки по проекту і сподівану або середню віддачу цього проекту, в якій збитки будуть мати величину, що дорівнює загальній величині прибутку від проекту. Ця точка є верхньою межею зони допустимого ризику.

Ймовірність допустимого ризику визначається за залежністю:

F(x) = . (8.15)

Під зоною допустимого ризику розуміють область у межах якої відповідний вид підприємницької діяльності зберігає свою економічну доцільність, тобто випадкові збитки не перевищують очікуваного підприємницького ризику від проекту.

Точка допустимого критичного ризику характеризує ступінь гранично допустимого критичного ризику, тобто ризику втрат, які сягають величини розрахункової виручки від проекту.

Ймовірність критичних ризиків визначається за залежністю:

F(x) = . (8.16)

Під зоною критичного ризику розуміють область випадкових збитків, розміри яких перевищують величину очікуваного підприємницького збитку і сягають величини розрахованої виручки.

Точка катастрофічного ризику - характеризує ступінь гранично-катастрофічного ризику, тобто ризику втрат, які сягають розміру всього майна підприємства.

Ймовірність катастрофічного ризику визначається шляхом інтегрування:

F(x) = . (8.17)

Зона катастрофічного ризику – це область можливих втрат, які перевищують величину розрахованої виручки і можуть сягати вартості майна підприємця.

Катастрофічний ризик може призвести підприємство до банкрутства, крім того до катастрофічних відносяться всі ризики пов’язані із загрозою для життя людей, оточуючого середовища, тощо.

Частіше всього під час прийняття економічних рішень підприємця цікавить не стільки ймовірність певного рівня втрат, скільки ймовірність, що його втрати не перевищать певної позначки.

W(x) = 1 – F(x), (8.18)

W(x) – це функція розподілу ймовірностей перевищення певного рівня випадкових збитків.

Відповідно до визначених зон ризику розраховують наступні показники ризику:

1). Показник допустимого ризику – це ймовірність того, що втрати виявляться більшими за граничнодопустимий рівень (таким рівнем є прибуток від проекту).

2). Показник критичного ризику – це ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень (розрахункова виручка).

3). Показник катастрофічного ризику – це ймовірність того, що втрати по проекту виявляться більшими за граничний катастрофічний рівень (вартість майна підприємця).

Таким чином, представлені показники дають змогу комплексно оцінити стадії ризикованості проекту й прийняти управлінські рішення, які будуть мати мінімальний ризик.

Відповідно для цих показників визначають і граничні значення допустимого, критичного або катастрофічного ризиків. Граничні значення представлено в табл. 8.1.

Таблиця 8.1. Граничні значення допустимого, критичного або катастрофічного ризиків

Показник	Значення показника
Граничне значення допустимого ризику	0,1
Граничне значення критичного ризику	0,01
Граничне значення катастрофічного ризику	0,001

На основі граничних значень показників ризику приймаються управлінські рішення. Так, граничне значення допустимого ризику не повинно перевищувати значення 0,1, граничне значення критичного ризику – 0,01, а граничне значення катастрофічного ризику – 0,001.

8.4. Оцінка ризику ліквідності

Підприємства на кожному етапі господарської діяльності здійснює відповідні інвестування грошових коштів в економічний процес. Тому необхідно постійно моніторити цей процес, виявляти негативні явища й встановлювати рівень ризику ліквідності. Потреба в оцінці ризику ліквідності виникає і під час змін стратегії й тактики діяльності підприємства.

Ризик ліквідності – це форма ризику, яка показує ймовірність погашення зобов’язань підприємством на кожному етапі інвестування грошових коштів у виробничий процес. Цей ризик пов’язаний з низьким рівнем віддачі об’єктів інвестування, неефективним створенням відповідних зобов’язань, відсутністю необхідного розміру грошових коштів і т.п.

Для оцінки ризику ліквідності використовують два критерії:

період переходу інвестицій у грошові кошти, які в залежності часу їх трансформації бувають:

- терміноволіквідні з незначним ризиком (час трансформації до 7 днів);

високоліквідні інвестиції з низьким ризиком (час трансформації від 7 до 30 днів);
середньоліквідні із середнім ризиком (час трансформації від 1 до 3 місяців);
малоліквідні об’єкти з високим ризиком (час трансформації більше 3 місяців).

Виходячи з цього для оцінки ризику ліквідності підприємства за цими критеріями показники: питомої ваги терміноволіквідних інвестицій у вартості всіх активів підприємства; показник ризику ліквідності – відношення суми вартості терміноволіквідних активів і вартості високоліквідних активів до суми вартості середньоліквідних активів і вартості низьколіквідних активів. Чим більшим є показник ризику ліквідності, тим меншим є ризик ліквідності.

оцінка ліквідності інвестицій за рівнем фінансових витрат здійснюється на основі розрахунку процентного співвідношення величини можливих втрат до обсягів інвестицій, які прагнуть реалізувати.

За цим критерієм всі об’єкти інвестування оцінюють як: з дуже високим ризиком (витрати перевищують 20%); з високим ризиком (11-20%); із середнім ризиком (6-10%); з низьким ризиком (до 5%).

Слід вказати, що існує залежність між показниками ризику ліквідності за періодом і рівнем фінансових втрат. Якщо зростає показник ризику ліквідності, то спостерігається скорочення оцінки ризику ліквідності інвестицій за рівнем фінансових втрат і, навпаки. Це пов’язано з тим, що при здійснені інвестицій у виробничий процес його суб’єкти хочуть швидше реалізувати і отримати віддачу від проекту за короткий термін при досить великому рівні фінансових втрат.

Таким чином, при здійсненні виробничого процесу представлені напрями оцінки ризику дають змогу виявляти його, моніторити на кожному етапі економічного процесу, здійснювати контроль за його рівнем і не тільки констатувати факт виникнення ризику, а й діагностувати й приймати управлінські рішення.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модуля 3

Питання для самоконтролю:

Назвіть типи невизначеності в задачах ухвалення управлінських рішень.
Визначте категорію «ризик» в аспекті розвитку сучасних економічних відносин.
Охарактеризуйте аспекти управління ризиком.
Назвіть і охарактеризуйте етапи управління ризиком.
Назвіть основні напрями аналізу при здійсненні управління ризиком.
В чому полягає кількісна оцінка ризику.
Які показники використовуються для кількісної оцінки ризику.
Охарактеризуйте систему кількісних оцінок ризику в абсолютному виразі.
Охарактеризуйте систему показників визначення ризику у відносному виразі.
Визначте напрями оцінки допустимого і критичного ризику.
Охарактеризуйте напрями оцінки ризику ліквідності.

Завдання для самоконтролю:

Найдіть правильну відповідь у наступним тестових завданнях:

1. Основні типи невизначеності в економічних задачах при прийнятті управлінських рішень наступні:

А) інформаційна невизначеність, яка характеризується недостатністю або відсутністю відповідної інформації;

Б) організаційна невизначеність;

В) математична невизначеність;

Г) об'єктивна (природна) невизначеність.

2. Ризик – це:

А) негативні явища, які виникають в обумовленій економічній системі;

Б) можливість відхилення від мети, ради досягнення якої ухвалювалося рішення;

В) система дій, яка спрямована на розвиток підприємства;

Г) вибір управляючих параметрів (управляючих дій), що не гарантує виконання поставленої мети у зв'язку з невизначеністю (характером вірогідності) умов господарювання.

3. Якому етапу відповідають наступні дії:

1 етап_________________________________________________________

2 етап_________________________________________________________

3 етап_________________________________________________________

4 етап_________________________________________________________

А) визначення критеріїв оцінки різних заходів по управлінню ризиком;

Б) вибір найбільш адекватних заходів і контроль результатів їх виконання;

В) формування цілей у відповідній сфери діяльності підприємства;

Г) вибір і аналіз заходів по досягненню визначених цілей.

4. Розташуйте етапи аналізу заходів управління ризиком у відповідності до їх здійснення:

1 етап_________________________________________________________

2 етап_________________________________________________________

3 етап_________________________________________________________

4 етап_________________________________________________________

5 етап_________________________________________________________

А) використовують систему показників або «набор інструментів», які спрямовані на зниження ризику або формують підходи щодо запобігання появи ризику;

Б) залучення експертів щодо вибору стратегії управління ризиком;

В) аналіз запропонованих заходів, щоб оцінити переваги різних стратегій;

Г) впровадження стратегії і здійснення її моніторингу;

Д) розробка системи дій щодо впровадження стратегії управління ризиком.

1. Емігрант з України включається в гру на фондовій біржі після того як отримав роботу і має стабільний дохід. Заощадивши власні 10000 доларів, він взяв у борг ще 40000 доларів під 10%-річних і вклав всі 50000 доларів в акції однієї з компаній, розраховуючи на річне зростання курсу 20%. Але фактичний курс почав падати з ряду причин і коли він знизився на 40% емігрант вирішив позбутися ненадійних акцій, у результаті чого збитки привели його до банкрутства. Його знайомий американець також вклав власні 50000 доларів в акції тієї ж фірми, а потім продав їх, проте американцю вдалося уникнути банкрутства. Чому збанкрутував емігрант?

2. Необхідно інвестувати тимчасово вільні грошові кошти строком на 2 роки з тим, щоб в кінці отримати суму рівну 1260000 грн. На ринку доступний 2 види фінансових інструментів - дисконтні облігації терміном звернення 1 рік і 3 року (номінальна вартість 126 грн.). Поточна ціна річних облігацій складає 100.8 грн., трирічних, - 64.5 грн. Прибутковість як одного, так і іншого виду облігацій складає 25 %.

Визначити необхідну суму інвестицій при незмінності ставок прибутковості протягом всього терміну інвестування.

Змістовий модуль 5

Економетричне моделювання

Тема 9. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія

9.1. Принципи побудови економетричних моделей

9.2. Оцінка зв’язку між факторами і критерії адекватності економетричної моделі

9.3. Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення

9.4. Парна лінійна регресія

Поняття: економетрична модель; екзогенна змінна; ендогенна змінна; випадковий член; коефіцієнт кореляції; коефіцієнт детермінації; парний регресійний аналіз; коефіцієнт парної кореляції; коефіцієнт множинної кореляції; F-тест; t-критерій Ст’юдента; гетероскедастичність; гомоскедастичність; мультиколінеарність.

Література: [17], [18], [19], [20], [22], [28], [34], [35], [36], [44], [45], [46], [50], [59].

9.1. Принципи побудови економетричних моделей

В економіко-математичному моделюванні важливе місце займають економетричні моделі, які дозволяють встановити причинно-наслідковий зв’язок між економічними факторами. На основі економетричних моделей розробляються організаційно-економічні механізми діяльності підприємства, формуються управлінські рішення, які кількісно й якісно відображають економічні процесі, що відбуваються в сфері діяльності суб’єктів підприємницької діяльності. Слід також відзначити, що більшість економічних процесів мають стохастичний невизначений характер. Стохастична залежність може бути суттєвою, тобто обумовлена внутрішньо властивими даному явищу причинами, і несуттєвими, які викликані дією зовнішніх (випадкових) причин (середовищем); безпосередніми і опосередніми, стійкими і нестійкими, сильними і слабкими, простими (між двома змінними) і складними (між залежною змінною У і декількома чинниками-аргументами х1,х2,…,хn). Для оцінки саме таких процесів і використовують методи економетричного моделювання.

Економетричні моделі бувають:

1. Парними – відображають причинно-наслідковий зв’язок між незалежним фактором (х) і залежною змінною (у). Наприклад, модель залежності між середньосписковою чисельністю працюючих (Ч) і рентабельністю витрат (Рв):

Рв = 0,07 + 0,18хЧ, (9.1)

модель залежності між рентабельністю реалізації продукції (Рп) і рівнем витрат (Рвп):

Рп = 0,018 – 0,21хРвп, (9.2)

2. Багатофакторними – відображають причинно-наслідковий зв’язок між декількома незалежними факторами (х) і залежною змінною (у). Прикладом цих моделей можна розглядати наступні:

Рв = 0,23 + 0,25хЧ – 0,16хРвп. (9.3)

Розглянуті моделі відображають залежність між економічними факторами, що характеризуються математичною формою у = а0 + а1х1 + а2х2 + …+ аnxn.

Слід відзначити, що розглянуті моделі висвітлюють лінійну форму залежності між показниками. Проте більшість економічних процесів мають нелінійний характер. Тому для спрощення проведення економетричного дослідження необхідно використовувати методи лінеаризації для переходу від нелінійної форми до лінійної.

Таким чином, економетрична модель – це кількісне відображення причинно-наслідкових зв’язків між економічними факторами, яке створює підгрунття для побудови організаційно-економічних механізмів управління економічними процесами підприємства.

В економетричних моделях незалежні змінні , називають пояснюючими змінними (або факторами, інколи регресорами). Залежні змінні називають пояснюваними змінними (або регресандами). Крім цього усі змінні економетричних моделей, як і будь-якої економіко-математичної моделі, поділяють на екзогенні і ендогенні.

Екзогенними (зовнішніми) називаються змінні, значення яких є наперед визначеними перед використанням моделі, а ендогенними (внутрішніми) – такі, значення яких визначаються тільки із самої моделі.

В економетричному моделюванні необхідно визначити принципи побудови цих моделей. Принцип від латинської principium основа, початок. Існують декілька визначень категорії «принцип»:

1. Основні положення передумови.

2. Основоположне теоретичне знання, що не є ні доказовим, ні вимагаючим доказу.

3. Основоположна етична норма, яка, згідно Канту, є або суб'єктивною – максимою – і направляє волю, оскільки вона виступає як керівний по відношенню до окремих індивідів момент, або об'єктивною – законом – і у такому разі признається значущою для волі кожної розумної істоти….

Виходячи з вищесказаного основними принципами побудови економітричних моделей є:

1. Інформація, яка використовується в економетричному моделюванні, повинна бути повною, достовірною, що адекватно відображає економічні процеси, які відбуваються на підприємстві.

2. Фактори, що включаються в економетричну модель, повинні бути кількісно оцінені, економічно інтепретовані, кількість спостережень на один показник складає не менше 8.

3. Математичний апарат, який використовується в економетричному моделюванні, повинен вирішити проблему побудови моделі і за його допомогою можна оцінити адекватність цієї моделі.

4. При розробці економетричної моделі необхідно враховувати випадковий член. Випадковий член існує за декількома причинами:

Невключення пояснювальних змінних. Співвідношення між у і х завжди є досить великим спрощенням. В дійсності існують інші фактори, які здійснюють вплив на у, і які не включені в економетричну модель.
Агрегирування змінних. В багатьох випадках залежність, що розглядається – це спроба об’єднати разом деяке число економічних співвідношень.
Помилковий опис структури моделі. Структура моделі може бути описана помилково.
Функціональна специфікація може бути помилково визначена. Наприклад, залежність між факторами моделі описана лінійно, хоч вона має більш складний нелінійний характер.
Помилково проведені розрахунки в моделюванні.

5. Параметри моделі повинні економічно адекватно відображати причинно-наслідковий зв’язок між факторами. Наприклад, в моделі (9.1) зростання середньоспискової чисельності працівників на 1 робітника призведе до збільшення рентабельності витрат на 18 коп./грн.

6. Економетрична модель повинна бути перевірена на адекватність шляхом використання відповідних критеріїв.

9.2. Оцінка зв’язку між факторами і критерії адекватності економетричної моделі

Для оцінки зв’язку між факторами економітеричної моделі використовують критерії: коефіцієнт кореляції і коефіцієнт детермінації.

Коефіцієнт кореляції показує ступінь впливу незалежних факторів (х) та залежну змінну (у). Цей критерій використовується в парних економетричних моделях – коефіцієнт парної кореляції, і в багатофакторних економетричних моделях – коефіцієнт множинної кореляції.

Коефіцієнт кореляції показує, на яку частину середнього квадратичного відхилення змінюється функція у, якщо аргумент х збільшується (зменшується) на своє середньоквадратичне відхилення σх. Знак коефіцієнта парної кореляції співпадає із знаком коефіцієнта регресії, а його чисельне значення коливається в межах

-1≤ry/х≤1. (9.4)

Коефіцієнт парної кореляції може бути визначений наступним чином []:

ry/х = , (9.5)

де ry/х – коефіцієнт парної кореляції;

- середнє значення незалежної змінної Х;

- середнє значення залежної змінної У;

- середнє квадратичне відхилення показника Х;

- середнє квадратичне відхилення показника У.

Слід відзначити, що середнє квадратичне відхилення визначається за формулою:

, (9.6)

де Dу - дисперсія (середній квадрат відхилення).

Відповідно, дисперсія визначається:

, (9.7)

де - середній квадрат показника У;

- квадрат середнього для показника У.

Аналогічні формули використовуються і для показника х.

Приклад. Розрахуйте коефіцієнти кореляції і детермінації на основі представлених в табл. 9.1 спостережень.

Таблиця 9.1. Таблиця вихідних даних для проведення розрахунків

Спостереження	х	у
1	1	3
2	2	5
3	3	6
Сума	6	14
Середнє	2	4,667

Вирішення

Визначимо дисперсію для факторів у і х. Для цього складемо табл. 9.2.

Таблиця 9.2 – Розрахунок середніх значень показників у і х

Спостереження	х	у	х2	у2
1	1	3	1	9
2	2	5	4	25
3	3	6	9	36
Сума	6	14	14	70
Середнє	2	4,667	4,667	23,33
Квадрат середнього	4	21,78

Використовуючи формулу 9.7 визначимо дисперсію для у і х:

= 23,33 – 21,78 = 1,55

= 4,667 – 4 = 0,667

Визначимо середнє квадратичне відхилення показників у і х, використовуючи формулу 9.6:

= = 1,24

= = 0,82

3. Використовуючи формулу 9.5 визначимо коефіцієнт парної кореляції для у і х:

ry/х = = = 0,98.

Значення коефіцієнту парної кореляції, що характеризують силу впливу показника х на у представлена в табл. 9.3.

Таблиця 9.3. Значення коефіцієнта парної кореляції

Значення коефіцієнта кореляції	Сила впливу показника х на у
0,85 - 1	сильний
0,55 – 0,84	помірний
0,25 – 0,54	слабкий
0 – 0,24	дуже слабкий

Знак значення коефіцієнта парної кореляції вказує на напрямок зв’язку. Якщо знак «+», то це вказує на прямо пропорційний зв’язок між факторами, якщо навпаки – то обернений.

Коефіцієнт множинної кореляції використовуються в багатофакторному економетричному аналізі. Його значення знаходиться в проміжку між 0 і 1. Сила впливу показників х на результуючий фактор у характеризується значеннями представленими в табл. 9.3.

Коефіцієнт детермінації визначається як квадрат коефіцієнту кореляції:

Dy/x = r2y/x або (9.8)

Dy/xі= R2y/xi (9.9)

Основними напрямками оцінки адекватності економетричної моделі є:

Перевірка за допомогою F-тесту (F-критерій Фішера);
Використання t-розподілу Ст`юдента для оцінки надійності коефіцієнта кореляції;
Перевірка моделі на гомо-гетескедастичність;
Перевірка факторів економетричної моделі на мультиколінеарність.

F-тест використовується для оцінки того, чи важливе пояснення, яке дає рівняння в цілому. Цей тест заснований на порівнянні залишкової теоретичної дисперсії 2y/х і загальної дисперсії σy2. Розглядається відношення і порівнюється з табличним (для % Фішера знайдено розподіл і складена спеціальна таблиця) при заданому рівні значущості і різних ступенях свободи.

Загальна дисперсія σy2 досліджених даних від їх середнього значення встановлюється з урахуванням числа ступенів свободи :

, (9.8)

де К – число інтервалів у вибіркових даних.

Залишкова теоретична дисперсія 2y/х встановлюється як різниця розрахункових i і середніх інтервальних значень i з урахуванням числа ступенів свободи d1=K-P і d2=n-K,

де Р – число параметрів управління.

Якщо рас ≤табл, то при заданому рівні значущості складене рівняння регресії затверджується. Вірогідність помилки тим менше чим більше рівень значущості α%.

У разі, коли чисельник 2y/х менше знаменника σy2, то міняємо їх місцями разом з відповідними ступенями свободи d1=K-P і d2=n-K.

Приклад. Загальна дисперсія σy2=41,5 при n=154 і К=12.

Залишкова дисперсія 2y/х=34,44 при К=12 і Р=3 (Р=3 в квадратному рівнянні регресії).

Вирішення

, оскільки σy2>2y/х, переходимо до відношення із ступенями свободи D1=154-12=142, d2=12-3=9 розр.==1,21,

за таблицею 5%(142,9)=2,75 20%(142,9)=1,7.

Отже, знайдене квадратне рівняння регресії з високою надійністю узгоджується з вихідними даними.

Слід відзначити, що в регресійному аналізі побудова F-статистики здійснюється шляхом відношення дисперсії залежної змінної на “пояснювальні” і “непояснювальні” складові:

F = (ESS / k) / RSS / (n-k-1), (9.11)

де ESS - пояснювальна сума квадратів відхилень;

RSS – залишкова (непояснювальна) сума квадратів;

к – кількість ступенів свободи;

n – кількість значень факторів моделі.

При здійсненні F-теста для рівняння перевіряється, чи перевищує r2 те значення, яке може бути отримано випадково. Для розрахунку F-статистики для рівняння в цілому, формулу (9.9) можна трасформувати шляхом ділення чисельника і знаменника рівняння на TSS (загальну суму квадратів), відмічаючи, що ESS/TSS дорівнює r2, а RSS/TSS дорівнює (1 - r2). В результаті отримуємо наступне рівняння:

F= r2 / к / (1 - r2) / (n – k - 1). (9.12)

Розрахунковий F-критерій визначається при відповідному рівні значущості і ступенях свободи і порівнюють з критичним F-критерієм Фішера. Значення останнього критерію представлені в спеціальних таблицях. Якщо розрахунковий F-критерій перевищує його критичне значення, то можна стверджувати, що пояснення, яке дає рівняння в цілому важливе, а економетрична модель адекватна. У протилежному випадку – модель вважається неадекватною, а пояснення неважливе.

Іншим важливим статистичним параметром для перевірки адекватності економетричної моделі є t-розподіл Ст’юдента. Він використовується для оцінки надійності коефіцієнта кореляції. В цьому випадку t-статистика для r розраховується наступним чином:

t = √n-2/1-r2. (9.13)

Вибравши рівень значущості в 5% дослідним знаходить критичне значення t з (n - 2) ступенями свободи. Якщо значення t перевищує його критичне значення (позитивний або негативний бік), то нульову гіпотезу відхиляють про те, що коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. В цьому випадку роблять висновок про лінійний зв’язок (позитивний або негативний).

Слід відзначити, якщо нульова гіпотеза підтверджується, то значення t буде перевищувати його критичне значення (в позитивний або негативний бік) тільки в 5% випадках. Це означає, що при виконанні перевірки ймовірності допущення помилки, що відхиляє нульову гіпотезу, коли вона фактично вірна, складає 5%.

Ймовірно, що ризик допущення такої помилки в 5% випадків досить великий для дослідника. Тоді він може скоротити ступінь ризику, здійснюючи розрахунки при рівні значущості в 1%. Критичне значення t зараз буде вище, ніж до цих пір, тому необхідна більш висока (позитивна або негативна) t-статистика для відхилення нульової гіпотези, а це означає, що потрібно більш вище значення коефіцієнта кореляції.

Слід вказати і на те, що t-статистика може бути розрахована як співвідношення оцінки коефіцієнта регресії на стандартну помилку.

Розглянемо методику розрахунку F-критерію і t-статистики на прикладі.

Приклад. Виконайте відповідні t-тести для багатофакторної моделі. Розрахуйте F-критерій, якщо відомо, що кількість спостережень дорівнює 25, коефіцієнт детермінації (R2) дорівнює 88%. Багатофакторна економетрична модель має вигляд:

у = 55,3 + 0,093х1 + 0,087х2. (9.14)

Стандартні помилки дорівнюють: постійний член – 2,4, х1 – 0,003, х2 – 0,002.

Вирішення

Для t-тест необхідно визначити розрахунковий t-критерій. Для кожного із члена економетричного рівняння він розраховується окремо як співвідношення оцінки коефіцієнта регресії на стандартну помилку. Таким чином розрахункові t-критерій наступні:

tр1 = 55,3/2,4 = 23,04;

tр2 = 0,092/0,003 = 30,67;

tр3 = 0,067/0,002 = 43,5.

Наступним кроком проведення t-теста є порівняння розрахункових значень із табличними. Табличне значення t-критерію визначається на основі спеціальних таблиць при відповідних рівнях значущості (5% або 1%) і ступенях свободи, які визначаються (n – k – 1, де n – кількість спостережень; k – кількість факторів моделі, включаючи постійний параметр).

В нашому випадку ступеня свободи дорівнюють – 25 – 4 – 1 = 20.

Табличне значення t-критерію при рівні значущості в 5% дорівнює 1,725; при 1% - 2,528.

Як видно розрахункові значення t-критеріїв всіх факторів моделі значно перевищують його табличні значення. Це означає, що всіх фактори економетричної моделі суттєво впливають на змінний показник (у).

F-критерій визначається за формулою 9.10. Для розробленої економетричної моделі розрахункових F-критеріїв має наступне значення: Fр = (0,88/4) / ((1 – 0,88) / (20)) = 36,7.

Потім розрахункове значення F-критерію порівнюємо із його табличним значенням при відповідному рівні значущості і кількості спостережень.

При 5% рівні значущості для 25 спостережень табличний F-критерій дорівнює 2,99, при 1% - 29,46.

Таким чином, розрахункові значення F-критерію більше табличних, що вказує на суттєвий рівень пояснення причинно-наслідкових зв’язків економітричної моделі.

Наступним етапом оцінки адекватності економетричної моделі є перевірка її на гетеро- або гомоскедастичність. Гомоскедастичність означає однаковий розподіл фактичних значень вибірки змінних. Тобто фактичні значення спостережень іноді будуть позитивними, іноді негативними, іноді – відносно близькими до нуля, проте в апріорі відсутні причини появи великих відхилень між спостереженнями.

Разом з тим, для деяких вибірок, можливо, більш доцільно припустити, що теоретичний розподіл випадкового члену є різним для різних спостережень. Це не означає, що випадковий член обов’язково буде мати особливо більші (позитивні або негативні) значення в кінці вибірки, проте це означає, що апріорна ймовірність отримання більш відхилених значень буде відносно висока. Це є прикладом гетероскедастичності, що означає “неоднаковий розподіл”.

Гетероскедастичність стає проблемою, коли значення змінних, які включаються в рівняння регресії, значно відрізняються в різних спостереженнях. Якщо залежність може буде описана рівнянням, в якому економічні показники змінюють свій масштаб одночасно, то зміна значень невключених змінних і помилок виміру, впливаючи разом на випадковий член, роблять його порівняно незначними при незначних у і х і порівняно великими – при великих у і х.

Досить часто можна виявити проблему гетероскедастичності. В таких умовах можна здійснити відповідні дії по виключенню цього ефекту на етапі специфікації моделі регресії, і це дозволить зменшити або, можливо, усунути необхідність формальної перевірки. В теперішній час запропоновано значна кількість тестів (і, відповідно, критеріїв для них). Найбільш поширеними тестами є: тест рангової кореляції Спірмена, тест Голфреда-Квандта і тест Глейзера.

При виконання теста рангової кореляції Спірмена припускається, що дисперсія випадкового члену буде або збільшуватися, або зменшуватися відповідно збільшення змінної х, і тому в регресії, абсолютні значення залишків і значення х будуть корельовані. Дані по х і залишки упорядковуються, і коефіцієнт рангової кореляції визначається як:

rx,e = 1 – (6ΣD2i/n(n2 - 1)), (9.15)

де Di – різниця між рангом х і рангом помилки е;

е – залишки.

Якщо припускати, що відповідний коефіцієнт кореляції для генеральної сукупності дорівнює нулю, то коефіцієнт рангової кореляції має нормальний розподіл з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1/(n - 1) в більших вибірках. Таким чином, відповідна тестова статистика дорівнює rx,e , і при використанні двобокового критерію нульова гіпотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена при рівні значущості в 5%, якщо вона перевищує 1,96, і при рівні значущості в 1%, якщо вона перевищує 2,58. Якщо в моделі регресії знаходиться більш однієї пояснювальної змінної, то перевірка гіпотези може здійснюватися з використанням іншої з них.

Ймовірно, найбільш відомим формальним критерієм є критерій, запропонований С. Голдфелдом і Р. Квандтом. При проведенні перевірки по цьому критерію припускають, що стандартне відхилення (σі) розподілу ймовірностей Uі пропорційно значенню х в цьому спостереженні. Запропоновано також, що випадковий член розподілений нормально і не піддається автокореляції.

Всі n спостережень у виборці упорядковуються по значенню х, після чого оцінюється окремі регресії для перших n’ і для останніх n’ спостережень; середні (n - 2n’) спостережень відхиляються. Якщо припущення відносно природи гетероскедастичності доцільно, то дисперсія U і в останніх n’ спостереженнях буде більшою, чим в перших n’, і це буде відображено в сумі квадратів залишків в двох вказаних “часткових” регресіях. Визначаючи суми квадратів залишків в регресіях для перших n’ і останніх n’ спостережень відповідно через RSS1 i RSS2. Розрахуємо відношення RSS2/RSS1, яке має F-розподіл з (n’ – к - 1) і (n’ – к - 1) ступенями свободи, де к – число пояснювальних змінних в регресійному рівнянні. Потужність критерія залежить от вибору n’ по відношенню до n. Ґрунтуючись на результатах деяких проведених експериментів, С. Голдфелд і Р. Кванд стверджують, що n’ повинно складати порядок 11, коли n = 30, і порядку 22, коли n = 60. Якщо в моделі знаходиться більш однієї пояснювальної змінної, то спостереження повинні упорядковуватися по тій з них, яка, як запропоновано, пов’язана з σі і n’ повинно бути більше, ніж к + 1 (де к – число пояснювальних змінних).

Метод Голдфелда-Квандта може бути також використаний для перевірки на гетероскедастичність при припущенні, що σі обернено пропорційний хі. При цьому використовується подібна процедура, що і розглянута вище, проте тестова статистика зараз є показником RSS1/RSS2, який знову має F-розподіл з (n’ – к - 1) і (n’ – к - 1) ступенями свободи.

Тест Глейзера дозволяє більш ретельно розглянути характер гетероскедастичності. Він ґрунтується на тому, що знімається припущення, що σі пропорційна хі, а перевіряється лише більш подібна функціональна форма.

Для того, щоб використовувати цей метод, необхідно оцінити регресійну залежність у від х за допомогою методу найменших квадратів, а потім розрахувати абсолютні значення залишків е, оцінивши їх регресію. В кожному випадку нульова гіпотеза про відсутність гетероскедастичності буде відхилена, якщо оцінка регресії відрізняється від нуля. Якщо при оцінюванні більше однієї функції, то орієнтиром при визначенні характеру гетероскедастичності може служити найкраща з них.

В цьому розділі представлені основні критерії й тести щодо оцінки адекватності моделі. В економетричних дослідженнях можна використовувати й інші тести і критерії. Представлені критерії оцінки адекватності економетричної моделі дають змогу отримати більш ґрунтовні і, насамперед, об’єктивні результати тих економічних процесів, які відбуваються на підприємстві.

9.3. Сутність мультиколінеарності, напрями її виявлення

В економетричному моделюванні необхідно враховувати також явище мультиколінеарності.

Мультиколінеарність – це явище, яке використовується для опису проблеми, коли нестрога лінійна залежність між пояснювальними змінними призводить до отримання ненадійних оцінок регресії. Проте, така залежність, зовсім необов’язково дає незадовільні оцінки. Якщо всі інші умови задовільні, тобто якщо кількість спостережень і вибіркові дисперсії пояснювальних змінних великі, а дисперсія випадкового члену – мала, то в результаті можна отримати досить позитивні оцінки.

Мультиколлінеарність виникає за рахунок отримання нестрогої залежності одного (або більше) незадовільних умов, і це – питання ступеня визначеності явища, а не його виду. Оцінки регресії будуть незадовільні від неї у відповідному ступені, коли тільки всі незалежні змінні будуть абсолютно некорельовані. Розгляд цієї проблеми починається тільки тоді, коли вона досить суттєво впливає на результати оцінки регресії.

Досить простий спосіб виявлення мультиколінеарності це побудова матриці коефіцієнтів парної кореляції, яка відображає силу зв’язку між факторами. У випадку, коли коефіцієнти парної кореляції між незалежними факторами входять у відповідний проміжок (табл. 9.4), можна свідчити про рівень мультиколінеарності.

Таблиця 9.4. Рівень мультиколінеарності в залежності від значень коефіцієнтів парної кореляції між незалежними факторами

Значення коефіцієнтів парної кореляції між незалежними факторами	Рівень мультиколінеарності
rx1x2 = 0,85 – 1,0	сильна
rx1x2 = 0,55 – 0,84	помірна
rx1x2 = 0,25 – 0,54	слаба
rx1x2 = 0 – 0,24	відсутня

Слід також відзначити, що явище мультиколінеарністі, тобто лінійна залежність одного з аргументу від інших, виявляється декількома способами:

- професійними міркуваннями по суті досліджуваного явища;

- інструкцією заснованої на складанні "внутрішніх і "зовнішніх" коефіцієнтів" кореляції кожного з аргументів. Якщо "внутрішній коефіцієнт" кореляції більше "зовнішнього", то даний аргумент в рівняння множинної кореляції не слід включати;

- використанням статистичного критерію мультиколінеарністі (Феррара і Гюбера). Для цього розглядається величина

j = (Cij-1) , (9.16)

де Cij – діагональні елементи матриці, зворотної до кореляційної, знайденої за вибірковими даними;

n – обсяг вибірки;

p – число аргументів у рівнянні множинної регресії.

Зворотною по відношенню до даної називається матриця, яка, будучи помноженою як справа, так і зліва на дану матрицю, дає одиничну матрицю.

Для матриці А зворотна їй позначається через А-1. Тоді за визначенням маємо:

А-1*А = А* А-1 = Е (9.17)

Якщо існує зворотна матриця А-1, то матриця А називається зворотною. Для виродженої матриці зворотної матриці не існує, оскільки її визначник рівний нулю.

Визначник зворотної матриці рівний зворотній величині визначника даної матриці, що дає можливість обчислення зворотної матриці за допомогою визначників. Для цього використовуються поняття мінору і доповнення алгебри.

Мінором Мij елемента аij визначника Д=(Оij) називається такий новий визначник, який отриманий з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, що знаходиться через даний елемент матриці А.

Доповненням алгебри елемента аij визначника називається мінор Мij цього елемента, взятий зі знаком (-1). Доповнення алгебри елемента аij позначається через Аij. У прийнятому нами позначенні матимемо:

(9.18)

Ферраром і Глобером доведено, що статична величина j підкоряється розподілу Фішера з (n-p) і (р-1) ступенями свободи. Отже, для виявлення мультиколінеарності використовується звичайний прийом перевірки статистичних гіпотез. Обчисливши вираз j (j=1,2…р), порівнюємо їх значення з табличними значеннями 5% и 1% при відповідних ступенях свободи [ (n-p) (p-10) ].

Якщо j < 5%, то гіпотеза відсутності мультиколінеарності j-го аргументу з іншими в генеральній сукупності стверджується. Навпаки, при j > 5% - відкидається гіпотеза відсутності мультиколінеарності j-го аргументу з іншими в генеральній сукупності. При 5% < j < 1% використовуються засоби послаблення мультиколінеарності шляхом переходу до нелінійних залежностей та ін.

Висновки про виключення якогось аргументу супроводжуються логічним аналізом. По аргументах, що збереглися, повторюється перевірка мультиколінеарності.

Існують різні методи для зменшення мультиколлінеарності. Вони діляться на дві категорії: до першої категорії відносяться методи спрямовані на виконання умов, що забезпечують надійність оцінок регресії; до других – відносяться використання зовнішньої інформації. Якщо з початку використовувати можливі значення показників, то, звичайно, було б важливим збільшити кількість спостережень. Якщо, наприклад, використовуються часові ряди, то це можна зробити шляхом скорочення терміну кожного періоду часу.

Якщо використовуються дані перехресної вибірки і дослідник знаходиться на стадії планування дослідження, то можна збільшити точність оцінок регресії і послабити проблему мультиколінеарності за рахунок більших витрат коштів на збільшення розміру вибірки та інш. методи.

Слід відзначити, що ці методи лише зменшують вплив мультиколінеарності. В практиці економетричного моделювання економічних процесів нівелювання впливу цього явища здійснюється шляхом виключення одного з незалежних факторів моделі, який сильно впливає на інший фактор, а потім продовжують дослідження.

9.4. Парна лінійна регресія

Парний регресійний аналіз спрямований на визначення ступеню зв’язку між змінними і яким чином вони пов’язані в побудові парної моделі. Слід відзначити, що не слід очікувати отримання точного співвідношення між будь-якими економічними показниками, крім випадків, коли воно існує по визначенню.

Парний регресійний аналіз відбувається за наступними напрямами:

1. Збір статистичної інформації, яка відображає економічні процесі на підприємстві. Цей процес відбувається шляхом обробки фінансових, економічних, бухгалтерських, статистичних документів діяльності суб’єктів підприємницької діяльності.

2. Обробка статистичної інформації, її специфікація. Це важливий етап, оскільки він створює підґрунтя для отримання об’єктивних результатів і адекватної парної економетричної моделі.

3. Використання економетричного інструментарію для розробки парної моделі. В цьому аспектів здійснюється побудова матриці статистики, оцінка показників варіації змінних, розрахунок коефіцієнтів парної кореляції й детермінації (див. розділ 9.2), визначення показників параметрів парної економетричної моделі. Слід відзначити, що для обчислення параметрів рівняння виду (лінійна парна модель залежності) частіш за все користуються методом найменших квадратів. При цьому ставиться умова, щоб сума квадратів відхилень (відстаней) всіх досліджених точок від ординат, обчислених за рівнянням прямої εi, була мінімальною. Іншими словами, пряма повинна проходити якомога ближче до вершин емпіричної лінії регресії. Це означає, що параметри К і b управління регресії треба визначити з рівняння:

, (9.19)

де yi – ординати досліджуваних точок;

i – ординати розрахункових точок, визначені за рівнянням регресії =к хi+ b таким чином .

Умовою екстремуму даної функції слід вважати рівність нулю часткових виробничих, узятих за параметрами К і b

звідси (9.20)

Скоротивши на (-2) і розкривши квадратні дужки, отримаємо систему лінійних рівнянь

(9.21)

підставивши сюди чисельні значення відповідних величин, знайдемо параметри К і b.

У разі лінійної залежності геометричне і алгебраїчне значення коефіцієнта регресії полягає в тому, що він кількісно характеризує на скільки в середньому змінюється у при зміні Хi на одиницю свого вимірювання. Чим більше чисельні значення коефіцієнта регресії, тим більше відносний приріст функції при зміні аргументу.

4. Оцінка адекватності розробленої парної лінійної економетричної моделі на основі критеріїв і тестів, представлених в розділах 9.2 і 9.3.

5. Інтерпретація отриманих параметрів парної лінійної економетричної моделі. Це важливий етап, на якому відображається економічна результативність економетричного моделювання.

В загальному вигляді економетрична модель парної лінійної регресії може мати вигляд:

у = а0 + а1х +е, (9.22)

де у – залежна змінна;

х – незалежна змінна;

а0, а1 – параметри економетричного рівняння;

е – випадковий член.

Таким чином, парний регресійний аналіз дозволяє побудувати парну лінійну економетричну модель, яка дозволить встановити причинно-наслідковий зв’язок між залежною економічною змінною і незалежним фактором і створити передумови для побудови організаційно-економічних механізмів управління підприємствами та прийняття рішень, спрямованих на розвиток цих суб’єктів підприємницької діяльності. Проте більшість економічних процесів мають складний характер, де враховуються велика кількість факторів. Тому необхідно будувати економетричні моделі, які враховують декілька економічних показників, тобто розробляти лінійні моделі множинної регресії.

Тема 10. Лінійні моделі множинної регресії

10.1. Сутність кількісного регресійного аналізу

10.2. Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії

10.3. Критерії оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії

10.4. Економічна інтерпретації лінійних моделей множинної регресії

Поняття: кількісний регресійний аналіз; коефіцієнт регресії; тест Дарбіна-Уотсона.

Література: [17], [18], [19], [20], [22], [28], [34], [35], [36], [44], [45], [46], [50], [59].

10.1. Сутність кількісного регресійного аналізу

Кількісний регресійний аналіз є продовженням парного регресійного аналізу у випадках, коли залежна змінна у пов’язана з двома або більше незалежними змінними х. Тобто відбувається розширення парної регресійної моделі, де важливе значення відіграють спільний вплив незалежних змінних на залежну змінну. Тому в кількісному регресійному аналізі необхідно враховувати й чітко визначити цей вплив, а також важливе значення має вирішення проблеми специфікації. Остання проблема лежить в площині вибору тих факторів, які впливають на результуючий показник, економічно інтерпретуються і об’єктивно відображають господарські процеси, що відбуваються на підприємстві. Результатом кількісного регресійного аналізу є побудова кількісної (багатофакторної) регресійної моделі.

В загальному вигляді, кількісна регресійна модель має вигляд:

y = а0 + а1x1 + а2х2 +…+ аіхі + е, або

у = b + k1x1 + k2x2 +…+kixi + e (10.1)

де y – результуюча залежна змінна;

х1, х2, хі - незалежна змінна;

а0, а1, а2, аі, b, k1, k2, ki – параметри рівняння (коефіцієнти регресії);

е – випадковий член.

У кількісному регресійному аналізі визначається коефіцієнт регресії, який необхідний для забезпечення найкращої відповідності спостереженням і отримання оптимальних оцінок невідомих значень параметрів моделей.

Для розрахунку коефіцієнтів регресії ,, використовуються методом найменших квадратів. Так для пошуку коефіцієнтів регресії (параметрів) двохфакторної моделі складають систему нормальних рівнянь:

. (10.2)

Кількісний регресійний аналіз дозволяє розмежовувати вплив незалежних змінних, допускаючи при цьому можливість їх корельованості. Коефіцієнт регресії для кожної змінної х дає оцінку її впливу на величину у у випадку незмінності впливу на неї всіх інших змінних х.

Це може бути встановлено двома способами. Один з них складається в виявленні того, що якщо модель правильно специфікована і виконуються умови Гауса-Маркова, то оцінки будуть незміщеними. Інший спосіб складається в оцінюванні регресійної залежності у від однієї з незалежних змінних, усунути перед цим можливість використання останньої в якості заміщувальної для іншої будь-якої незалежної змінної і показавши далі, що оцінка її коефіцієнта регресії співпадає з оцінкою коефіцієнта кількісної регресії. В рамках висвітлених способів необхідно розглянути умови Гауса-Маркова [20].

Якість коефіцієнтів регресії залежить від якості випадкового члена. Для того, щоб регресійний аналіз давав найкращі результати, випадковий член повинен задовольняти 4 умовам, відомим як умови Гауса-Маркова.

1-а умова Гауса-Маркова – складається в тому, що математичне очікування випадкового члена будь-якого спостереження повинно дорівнювати нулю.

2-а умова Гауса-Маркова – складається в тому, що дисперсія випадкового члену повинна бути постійною для всіх спостережень.

3-а умова Гауса-Маркова припускає відсутність систематичного зв’язку між значення випадкового члену в будь-яких спостереженнях. Випадкові члени повинні бути абсолютно незалежними один від одного.

4-а умова Гауса-Маркова – складається в тому, що випадковий член повинен бути розподілений незалежно від пояснювальних змінних. Тобто пояснювальні змінні не є стохастичними. Значення будь-якої незалежної змінної в кожному спостереженні повинно бути визначено зовнішніми причинами, які не визначені в рівнянні регресії.

Коефіцієнти регресії є більш точними:

чим більша кількість спостережень у виборці;
чим більша дисперсія вибірки пояснювальних змінних;
чим менша теоретична дисперсія випадкового члену;
чим менше зв’язані між собою пояснювальні змінні.

Стандартна помилка коефіцієнта кількісної регресії визначається аналогічно, як і в парному регресійному аналізі. Тобто формула для стандартної помилки може бути визначена на основі заміни дисперсії на незміщену оцінку і витягування квадратного кореню.

Результатом кількісного регресійного аналізу є побудова багатофакторної економетричної моделі, яка відображає причинно-наслідкові зв’язки між економічними факторами і створює кількісне підґрунтя для розробки економічних механізмів і прийняття ефективних управлінських рішень.

10.2. Напрями побудови лінійної моделі множинної регресії

Для побудови лінійної моделі множинної регресії використовується статистична інформація про діяльність підприємства і здійснюються такі етапи: математико-статистичний аналіз, побудова багатофакторної регресійної моделі, перевірка побудованої моделі на адекватність, аналіз (інтерпретація) отриманих результатів.

На етапі математико-статистичного аналізу проводиться перевірка основних припущень класичного регресійного аналізу, крім того, здійснюється найважливіша процедура багатофакторного аналізу – перевірка факторів на мультиколінеарність. Слід відзначити, що термін “мультиколінеарність” означає, що в багатофакторній регресійній моделі дві або більше незалежних змінних (факторів) пов’язані між собою лінійною залежністю або, іншими словами, мають високий ступінь кореляції (rxixj  1, i  j).

Для здійснення математико-статистичного аналізу будується матриця коефіцієнтів парної кореляції, який показує ступінь зв’язку між факторами економетричної моделі. Потім аналізуються коефіцієнти парної кореляції між факторами. Результатом етапу математико-статистичного аналізу є знаходження множини основних незалежних між собою факторів, що є базою для побудови регресійної моделі.

На другому етапі для побудови багатофакторної моделі вибираються фактори, що будуть відображати причинно-наслідковий зв’язок. В цьому аспекті широке використання отримали «покроковий» метод і метод “виключень”.

Найбільш доцільно відшукувати рівняння множинної регресії шляхом послідовного підключення до парного рівняння решти аргументів в порядку їх значущості («покроковий метод»). У цьому випадку виявляється можливість на кожному етапі аналізувати:

- обумовленість вирішуваної системи за чисельним значенням її визначника (детермінатора);

- зміна β- коефіцієнтів, чисельне значення яких має бути менше 1, а знак не суперечити логіці;

- зростання коефіцієнта множинної кореляції R і убування залишкової дисперсії .

Методика послідовного підключення аргументів складається з наступних операцій.

1.Обирається аргумент х1, якому відповідає найбільший за абсолютним значенням "зовнішній коефіцієнт" кореляції

| r y1| = max | r yi|, j = 1,2….q. (10.3)

За аргументом х1 записується рівняння

ty1 = ty1 tx1. (10.4)

2.Приєднюється аргумент хio, для якого

| r xj X1 | = min | r xj x1 |, j = 2,3,… q. (10.5)

Складається система нормальних рівнянь

r yх1 = β1 + r хjo β2; (10.6)

r y xjo = β1 r хjo x1 + β2 (10.7)

і обчислюються значення β1 и β2. Визначаються

R2y, x1 хjo = β1 ryx1 + β2 r y xjo; (10.8)

σу, х1 xjo = (10.9)

Порівнюється R2y, x1 хjo, σу, х1 xjo відповідно з r 2yx1, σу х1.

Переконуються в справедливості нерівності

R2y, x1 хjo ≥ r 2yx1 ; σу, xjo ≤ σу х1. (10.10)

У противному разі замінюється чинник аргумент іншим хj1, а аргумент Xj0 переноситься на останнє місце.

3.Далі приєднується наступний аргумент Xj1 і розв'язується система з трьома невідомими:

r y х1 = β1 + β2 rх1 xjo + β3 rх1 xj1; (10.11)

r y xjo = β1 rх1 xjo + β2 + β3 r xjo xj1; (10.12)

r y xj1 = β1 rх1 xjo + β2 r xjo xj1 + β3. (10.13)

Обчислюються значення β1, β2 и β3. Визначаються

R2y, x1 хjo xj1 = β1 r y х1 + β2 r y xjo + β3 r y xj1; (10.14)

σу, xjo xj1 = σу . (10.15)

і порівнюються з R2y, x1 хjo і σу, x1 хjo. Переконуються в справедливості нерівності

R2y, x1 хjo xj1 ≥ R2y, x1 хjo; (10.16)

σу, x1 хjo xj1 ≤ σу, x1 хjo. (10.17)

У противному разі поступають аналогічно П.2.

Дослідження ведуть до тих пір, поки не будуть апробовані чинники-аргументи і збережені тільки ті з них, для яких βj–коефіцієнти суттєві й лінійно незалежні. У результаті виходить множинне рівняння в стандартизованому масштабі.

Від рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі

t xi = β1 t1 + β2 t2 + ….+ βp tn (10.18)

до рівняння множинної регресії в натуральному масштабі

х1, х2…Хр = а1х1 + а2х2 + ….+ архр +b. (10.19)

Перехід здійснюється подвійно.

1.Шляхом використання формул

(10.20)

При цьому маємо

(10.21)

Підставивши відомі значення , σxi, σу, βi і I, отримаємо рівняння множинної регресії в натуральному масштабі, в якому чисельне значення вільного члена додатково визначати не потрібно.

2.Невідомі коефіцієнти аi в рівнянні множинної регресії в натуральному масштабі визначають з виразу

. (10.22)

Чисельне значення вільного члена

b = -(а11+ а22 + …+ арр). (10.23)

Метод “виключень” складається в тому, що вибирається набор факторів, які ймовірно можуть впливати на результативний показник. Потім, почерзі виключаються ті фактори, у який найменший коефіцієнт кореляції (згідно матриці статистики), а значення часткових F-критеріїв неперевищуюють нормативні значення. Таким чином, залишаться лише ті змінні, які відповідають розглянутим вище умовам.

Слід вказати, що на цьому етапі розраховується коефіцієнт множинної кореляції, який показує загальний вплив незалежних факторів на результуючий показник економетричної моделі. Він знаходиться у проміжку між 0 і 1. Чим більше вплив факторів, тим коефіцієнт множинної кореляції наближається до 1. Він не може перевищувати значення останньої.

Розрахунок коефіцієнта множинної кореляції () розраховується за формулою Боярського [18]:

, (10.24)

де – порядок повної матриці коефіцієнтів кореляції;

– визначник повної матриці коефіцієнтів кореляції із заміною нижнього правого елемента нулем;

- визначник матриці, в якій враховані коефіцієнти парної кореляції незалежних факторів.

Якщо розкрити визначники для двохфакторної економетричної моделі, то коефіцієнт множинної кореляції може бути визначений:

, (10.25)

де , - коефіцієнти парної кореляції між залежною змінною у і незалежними факторами х1, х2;

- коефіцієнт парної кореляції між незалежними змінним х1, х2.

З метою контролю правильності розрахунків цей коефіцієнт визначають також за формулою [18]:

. (10.26)

де - -коефіцієнти для незалежних факторів економетричної моделі. Цей коефіцієнт може бути розрахований наступним чином [18]:

, (10.27)

де – визначник (детермінант) матриці взаємної кореляції (мультиколінеарності) із заміною в ній і-го стовпця стовпцем коефіцієнтів кореляції . Наприклад, -коефіцієнти для одного з факторів двохфакторної моделі разраховуються наступним чином:

. (10.28)

Знайдені в результаті рішення кореляційної матриці β-коефіцієнти показують на яку частину середньоквадратичного відхилення σу змінюється середнє значення функції, якщо відповідний аргумент зменшується або збільшується, а інші аргументи залишаються незмінними.

Для з'ясування математико-статистичного змісту множинної кореляції всю досліджувану групу змінних слід розглядати як один чинник-аргумент. При цьому розраховується коефіцієнт надійності

М = . (10.29)

Стандартну помилку (середню квадратичну похибку) коефіцієнта множинної кореляції визначають за формулою

σR = (1-R)/, (10.30)

де n-обсяг вибірки.

Сукупний вплив врахованих змінних на функцію визначається коефіцієнтом загальної детермінації R2, а окремих чинників-аргументів за чисельними значеннями приватної детермінації riβi:

R2 = r1β1 + r2β2+…..+ rpβp. (10.31)

Стандартну (систематичну) похибку 2 обчислюють за формулою

2 = 1-(1- R2) , (10.32)

де Р - число параметрів рівняння регресії. З рівняння множинної регресії можна отримати рівняння чистої (приватної) регресії по кожному з аргументу хi. Для цього фіксується значення всіх аргументів, окрім хi, на середньому рівні.

Отримане рівняння описує, як в середньому змінюється із зміною хi, якщо всі інші аргументи постійні й закріплені саме на своїх середніх рівнях.

Приклад. Розрахуйте коефіцієнт множинної кореляції та визначте -коефіцієнти, на основі даних представлених в табл. 10.1.

Таблиця 10.1. Матриця статистики економічних показників

Показники	Коефіцієнти парної кореляції
	Р (у) (рентабельність продукції)	ФЗоз (х1) (фондоозброєність основних засобів)	Ч (х2) (середньоспискова чисельність працівників)
Р (у) (рентабельність продукції)	1	0,87	0,65
ФЗоз (х1) (фондоозброєність основних засобів)	0,87	1	0,36
Ч (х2) (середньоспискова чисельність працівників)	0,65	0,36	1

Вирішення

Визначимо -коефіцієнти для факторів х1 і х2 (формула 10.28):

= 0,731

= 0,387

Розрахуємо коефіцієнт множинної кореляції (формула 10.26):

0,945

На наступному етапі аналізу перевіряється адекватність моделі за допомогою використанням F-критерію Фішера і t-критерію Ст’юдента. При перевірці на адекватність економетричної моделі також використовується тест Дарбіна-Уотсона, який спрямований для перевірки кореляції між залишками.

На останньому етапі отримана модель аналізується і інтерпретується.

10.3. Критерії оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії

Статистична оцінка надійності коефіцієнта регресії здійснюється за допомогою t-критерію Ст’юдента. Він застосовується для оцінки тісноти зв'язку між незалежною змінною x і залежною у. При використанні цього критерію формулюється нульова гіпотеза. Потім отримане значення t-розподілу Ст’юдента порівнюється з критичним. Якщо фактичне значення t-розподілу Ст’юдента перевищує критичне, то спростовується нульова гіпотеза й зв'язок між змінними х і у вважається щільним. Якщо ні, то приймається нульова гіпотеза, а фактори моделі вважаються статистично неадекватними і виключаються з моделі при встановленому рівні значущості в 5% і 1%.

F-тест використовується для оцінки того, важливе пояснення, яке дає рівняння в цілому. Якщо фактичне значення F-критерія вище нормативного, то модель адекватна, а її фактори залишаються у рівнянні. Методика оцінки t-критерію Ст’юдента і F-критерія Фішера представлені в розділі 9.2.

Для перевірки адекватності економетричної моделі використовується тест Дарбіна-Уотсона, який спрямований для перевірки кореляції між залишками використовується. Він включає такі етапи:

Розраховуються d-статистики для аналізованої вибірки даних. Як відомо з теорії, значення d-статистики лежать у межах від 0 до 4. Показник Дарбіна-Уотсона розраховується наступним чином:

DW = , (10.33)

де еj – залишки j-го ряду вибірки даних;

еj-1 – залишки поперднього j-го ряду вибірки даних.

2. Порівнюються отримані d-статистики з табличними d-статистиками при рівні значущості  = 0,05, кількості факторів k, що присутні в моделі, і кількості спостережень n. Якщо розраховане значення d-статистики знаходиться в проміжку від 0 до dL (0 d  dL), то це свідчить про наявність позитивної автокореляції. Якщо значення d потрапляє в зону невизначеності, тобто набуває значення dL  d  dU, або 4 - dU  d  4 - dL, то можемо зробити висновки ні про наявність, ні про відсутність автокореляції. Якщо 4 - dL  d  4, то маємо негативну автокореляцію. Нарешті, якщо dU  d  4 - dU, то автокореляції немає.

Для оцінки адекватності лінійної моделі множинної регресії важливе значення має перевірка її на гомо- або гетероскедастичність. Суть цього явища полягає в тому, що варіація кожної і навколо її математичного сподівання не залежить від значення х. Дисперсія кожної і зберігається сталою незалежно від малих чи великих значень факторів: 2 не є функцією хij, тобто 2  f (x1i, x2i,…, xpi).

Якщо 2 не є сталою, а її значення залежать від значень х, можемо записати 2 = f (x1i, x2i,…, xpi). У цьому разі маємо справу з гетероскедастичністю. Оцінка моделі на наявність гетероскедастичності полягає в тому, що на першому етапі здійснюється тестування моделі на наявність гетероскедастичності. І якщо підтверджується гіпотеза про її наявність, то на другому етапі модель виключається.

Тестування лінійної моделі множинної регресії, як і випадку лінійної моделі парної регресії, на гетероскедастичність здійснюється на підставі тесту рангової кореляції Спірмена. Значущість отриманого коефіцієнта рангової кореляції Спірмена перевіряється за допомогою t-критерія Ст’юдента при (n-2) кількості ступенів свободи.

Фактичне значення t-критерію Ст’юдента зіставляється з tкр. Якщо tф  tкр, то підтверджується гіпотеза про наявність гетероскедастичності. А, якщо tф  tкр, то приймається гіпотеза про гомоскедастичність.

10.4. Економічна інтерпретації лінійних моделей множинної регресії

На етапі аналізу отриманих результатів здійснюється економічна інтерпретація отриманої економетричної моделі. На цьому етапі обґрунтовується економічна доцільність отриманих результатів.

Розглянемо, приклад, економічного змісту моделі залежності суми капіталу і середньооблікової чисельності працівників (), співвідношення власного і позикового капіталів (), відношення витрат інвестованого капіталу на оплату праці й матеріали ().

(10.34)

Економетрична багатофакторна модель (10.8) показує, що 82% коливань нового капіталу (коефіцієнт детермінації – 82%) обумовлюється трьома факторами: середньообліковою чисельністю працівників, співвідношенням власного й позикового капіталу, а також відношенням витрат інвестованого капіталу на оплату праці й матеріали. Статистичні характеристики моделі адекватні. Фактичні значення t-статистик більші ніж критичні (табл. 10.2); фактичне значення критерію Фішера Fф = 69 > F0,05;24 =3,01 також значно перевищує його критичне (табличне) значення; значення критерію Дарбіна -Уотсона свідчить про відсутність автокореляції залишків: 1,65 < dф = 2,14 < 2,35; величина критерію Спірмена (rs = 0,124) свідчить про гомоскедастичність, оскільки отримане значення t-статистики нижче його критичного значення (tф = 0,628 < tкр = 1,706), мультиколінеарність між незалежними факторами низька, оскільки коефіцієнти парної кореляції між цими показниками мають значення в проміжку від 0,15 до 0,45.

Таблиця 10.2. Значення t-статистик для параметрів моделі (10.34)

Параметри	розрахункові	критичні

Постійний параметр	2,912	1,711
Середньооблікова чисельність працівників ()	5,278	1,711
Співвідношення власного й позикового капіталу ()	2,329	1,711
Відношення витрат інвестованого капіталу на оплату праці й матеріали ()	1,981	1,711

Економічна інтерпретація моделі (10.34) полягає в тому, що між середньообліковою чисельністю працівників і новим капіталом зв’язок лінійний. Зростання середньооблікової чисельності на одного працівника призведе до збільшення обсягу нового капіталу на 28,7 тис. грн. Між новим капіталом та чинниками: співвідношенням власного й позикового капіталу, відношенням витрат інвестованого капіталу на оплату праці й матеріали також існує лінійний зв’язок. Збільшення співвідношення власного й позикового капіталу на 10 призведе до зростання обсягів нового капіталу на 179,52 грн. Збільшення відношення витрат інвестованого капіталу на оплату праці й матеріали на 10 призведе до зростання нового капіталу на 0,9 грн. Слід відзначити, що коли розглядаємі фактори моделі (10.34) будуть дорівнювати 0, то новий (отриманий) капітал буде мати значення -235,54 грн. Тобто на цей показник у відповідних умовах негативний вплив здійснюють інші економічні фактори. Тому в подальших дослідженнях необхідно враховувати їх вплив.

Таким чином, кількісний регресійний аналіз дозволяє встановити причинно-наслідковий зв’язок між декількома економічними факторами, побудувати багатофакторні економетричні моделі й розробити ефективні механізми управління підприємством.

Тема 11. Узагальнені економетричні моделі

11.1. Узагальнені економетричні моделі в економіко-математичному моделюванні

11.2. Види узагальнених еконметричних моделей

Поняття: узагальнена економетрична модель; узагальнена лінійна економетрична модель; узагальнена нелінійна економетрична модель.

Література: [17], [20], [34], [35], [36].

11.1. Узагальнені економетричні моделі в економіко-математичному моделюванні

Узагальнена економетрична модель – це окрема функція чи система функцій (рівнянь), що описує кореляційно-регресійний зв'язок між економічними показниками, один чи декілька з яких є залежною змінною, а усі інші – незалежними.

Узагальнені економетричні моделі представляють собою окремий клас економіко-математичних моделей і характеризуються наступними особливостями:

економетричні моделі є моделі прикладні (емпіричні);
економетричні моделі є моделі дескриптивні;
економетричні моделі є моделі стохастичні.

Узагальнена економетрична модель у вигляді однієї функції (рівняння) має наступний вигляд :

(11.1)

де - залежна змінна; - незалежні змінні; - випадковий член (складова). Прикладом таких моделей розглядались в розділах 9 і 10.

Узагальнені економетричні моделі можуть представляти собою систему функцій, які мають наступний вигляд:

, (11.2)

де к – кількість рівнянь. Прикладом такої моделі може бути модель формування доходу Дж. М. Кейнса:

(11.3)

де - сукупне споживання, - національний дохід, Іt - інвестиції, - параметри моделі.

Інформаційною базою для побудови узагальнених економетричних моделей є статистичні вибірки. Особливістю цих статистичних вибірок є те, що в економетричних дослідженнях необхідно враховувати кількість спостережень на один фактор повинно перевищувати 16.

До статистичних вибірок, які враховуються при побудові узагальнених економетричних моделей, пред’являються наступні вимоги:

однорідність спостережень (якісна і кількісна);
точність.

Види узагальнених економетричних моделей

Узагальнені економетричні моделі можуть бути лінійні або нелінійні.

Узагальнена лінійна економетрична модель - це регресійна модель, яка встановлює лінійну залежність між економічними показниками, один з яких є залежною (пояснюваною) змінною, а всі інші – незалежними (пояснюючими) змінними моделі.

Залежна змінна для такої моделі розглядається, як ендогенна змінна, а незалежні змінні – як екзогенні.

Теоретична узагальнена лінійна економетрична модель може бути специфікована у наступній формі :

, (11.4)

де y – залежна (пояснювана) змінна моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі або фактори, а0, а1, …. , аm – параметри моделі, ε – випадковий член, m – кількість пояснюючих змінних моделі.

Представлена узагальнена модель (11.4) дійсна для всієї генеральної сукупності спостережень за змінними моделі й відображає відповідну економічну ситуацію, яка склалась на макро- або мікрорівні.

Вибіркова узагальнена лінійна економетрична модель має наступний вигляд :

, (11.5)

де y – залежна (пояснювана) змінна моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), А0, А1, Аm – параметри вибіркової моделі, e – залишки моделі.

Вибіркова модель (11.5) розробляється для певної статистичної вибірки з генеральної сукупності. На відміну від моделі (11.4) параметри вибіркової моделі А0, А1, … , Аm є оцінками (наближеними значеннями) параметрів а0, а1, аm і випадковими величинами, а залишки моделі e можна оцінити на основі статистичних даних. Таким чином, вибіркова модель завжди є тільки оцінкою реальної але невідомої теоретичної моделі.

Вибіркова функція регресії для узагальненої лінійної економетричної моделі має наступний вигляд :

, (11.6)

де – оцінка математичного сподівання залежної (пояснюваної) змінної моделі, x1, x2, … , xm – незалежні (пояснюючі) змінні моделі (фактори), А0, А1, Аm – параметри вибіркової регресії.

Узагальнена нелінійна економетрична модель - це регресійна модель, яка встановлює нелінійну залежність між економічними показниками.

Узагальненими нелінійними економетричними моделями можуть бути відомі функції:

Квадратична - або .
1. Гіперболічна - або .
  1. Степенева - або .
  2. Модифікована експонента - або .
  3. Крива Гомперця - або .
  4. Логістична - або .
  5. Показова функція - або

Більшість представлених функцій, що використовуються для опису техніко-економічних показників, шляхом функціональних перетворень у по х (роздільно або одночасно) можуть бути зведені до лінійного вигляду. При цьому метод перетворень залежить від форми зв'язку.

Гіпербола вигляду перетвориться в лінійну шляхом заміни. Статична функція вигляду перетвориться в лінійну шляхом логарифмуванням. У результаті маємо . Позначимо .

У результаті маємо.

Показова функція виду y=bekx перетвориться в лінійну логарифмуванням .

Позначимо при цьому . У результаті маємо y1х+b1.

Теоретична лінія регресії може бути подана у вигляді плавної кривої яка кількісно виражає зв'язок між середніми інтервальними значеннями і відповідними значеннями х (аргументами). Процес знаходження невідомих параметрів теоретичної залежності є однією з важливих проблем теорії кореляції і регресії.

Наприклад, при знаходженні параметрів параболи виду необхідно складати і вирішувати систему з трьох нормальних рівнянь, яке розв’язується, виходячи з вимоги методу найменших квадратів, тобто .

Підставляючи , маємо

(11.7)

Знаходимо часткові похідні і прирівнюємо їх до нуля

(11.8)

Після відповідного перетворення маємо

(11.9)

В узагальнених економетричних моделях визначаються також коефіцієнти кореляції, детермінації, критерії адекватності (t-статистики, F-критерій Фішера, перевіряється на мультиколінеарність, гетероскедастичність, автокореляцію залишків).

Тема 12. Економетричні моделі динаміки

12.1. Сутність динамічних процесів в економіці

12.2. Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки

12.3. Авторегресійні моделі і аналізі динаміки економетричних процесів і їх прогнозуванні

Поняття: динамічний ряд; часовий ряд; рівень рядів; похідні ряди; довжина часового ряду, тренд; трендова модель; сезонні коливання; цикличні скдадові, авторегресія

Література: [20], [63], [80].

12.1. Сутність динамічних процесів в економіці

Динамічні процеси, які здійснюються в економічних системах, проявляються у вигляді ряду послідовно розташованих в хронологічному порядку значень того чи іншого показника, який в своїх вимірах відображає хід розвитку вивчаємого явища в економіці.

В аспекті дослідження динамічних процесів і побудови економетричних моделей динаміки розглядають наступні поняття:

Динамичним рядом або рядом динаміки є послідовність спостережень одного показника, упорядкованих в залежності від послідовно зростаючих або убуваючих значень другого показника.

Часовий ряд – це послідовність спостережень Уt, Уt2…Уtn, кожне з яких відноситься до деякого відрізку часу t1, t2,….tn, або визначає результати за деякий період часу.

Складовими елементами рядів динаміки є цифрові значення показника, який називається рівнем рядів.

Часові ряди, створені показниками, які характеризують економічні явища на визначені моменти часу, називаються моментними. Приклад цього ряду представлено в табл. 12.1.

Таблиця 12.1. Списочна чисельність робітників підприємства

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	30.04
Списочна чисельність робітників	5600	5900	5400	5700	6000

Якщо рівні часового ряду створюються шляхом агрегування часового ряду за визначений проміжок часу, то такі ряди називаються інтервальними часовими рядами (табл. 12.2).

Таблиця 12.2. Фонд заробітної плати робітників підприємства

Місяць	Січень	Лютий	Березень	Квітень
Фонд заробітної плати робітників, тис. грн.	88978,2	94521,1	96219,3	95310,9

Часові ряди можуть бути створені як із абсолютних значень економічних показників, так і із середніх або відносних величин – це похідні ряди (табл. 12.3).

Таблиця 12.3. Середньомісячна заробітна плата робітників підприємства

Місяць	Січень	Лютий	Березень	Квітень
Середня заробітна плата робітників, грн.	2300	2350	2410	2562

Під довжиною часового ряду розуміють час, який пройшов від начального моменту спостереження до кінцевого. В наведених таблицях довжина всіх рядів дорівнює чотирьом місяцям.

Тренд – це рівняння У=d(t), що виражає в середньому зміну в часі показника, заданого рядом динаміки. Таке рівняння можна розглядати як апроксимацію часового ряду або як окремий випадок регресії. У зв’язку з цим економіко-математична динамічна модель, в якій розвиток модельованої економічної системи відображається у вигляді тренду її основних показників, називається трендовою моделлю.

В часових рядах економічних процесів можуть мати місце більш або менш регулярні коливання. Якщо вони носять строго періодичний або близький до нього характер і закінчуються протягом одного року, то їх називають сезонними коливаннями. В таких випадках, коли період коливань складає декілька років, то спостерігається циклічна складова.

Тренд, сезонна і циклічна складові називаються регулярними, або систематичними складовими часового ряду.

Складова частина часового ряду, яка залишається після виділення із нього регуляторних компонент, представляє собою випадкову, нерегулярну компоненту.

Якщо систематичні компоненти часового ряду визначені вірно, то залишкова після виділення із часового ряду цих компонент так звана залишкова послідовність буде компонентою ряду. Ця компонента має наступні властивості:

випадковість коливань рівня залишкової послідовності;
відповідність розподілу випадкової компоненти нормальному закону розподілу;
рівністю математичного очікування випадкової компоненти нулю;
незалежністю значень рівней випадкової послідовності, тобто відсутністю автокореляції.

Перевірка адекватності трендових моделей базується на перевірці виконання в залишковій послідовності вказаних чотирьох властивостей. Якщо не виконується одне з них, то модель визнається неадекватною; при виконанні всіх чотирьох властивостей модель адекватна.

Аналіз часових рядів є важливим етапом оцінки динаміки економічних процесів і побудові економетричних моделей динаміки.

12.2. Аналіз часових рядів економічних показників і побудова економетричних моделей динаміки

Прикладами часових рядів також є щомісячна, щоквартальна, щорічна собівартість перевезення пасажирів, обсяг пасажирів, що перевозяться по депо, або рівнянню в цілому. Вихідні дані слід формувати по кожному з об'єктів у зв'язку з тим, що інформація буде більш достовірною ніж по групі об'єктів.

Маючи в розпорядженні свій часовий ряд для досліджуваного показника і для всіх чинників, необхідно перш за все виявити загальну тенденцію зміни цих величин (тренд, еволюційну складову, лінію рівняння).

Як показує дослідження економічних часових рядів, в них завжди міститься загальна тенденція, яку необхідно виявити. Співвідношення У=d(t) можна відшукувати безпосередньо за звітними або дослідженими даними, по К-членним ковзаним середнім.

Використання ковзаних середніх доцільно в разі достатньо довгого ряду. Число членів ковзаної середньої повинно бути обумовлено міркуваннями по суті процесу і залежно від кроку часового ряду.

При згладжуванні за допомогою ковзаних середніх доводиться втрачати частину даних: при тричленному вирівнюванні – дві сторони таблиці, при чотирьох- і п'яти членному вирівнюванні - відповідно три і чотири рядки. Якщо число даних не вірне, то таке скорочення даних навряд чи буде доцільним.

Питання про доцільну довжину часового ряду досить складне. З одного боку, як і завжди при пошуку апроксимуючої формули або рівняння регресії, виникає природне прагнення до збільшення масиву спостережень з метою підвищення точності надійності результатів, з другого боку, при обробці часових рядів слід врахувати небажаність використання старих даних. Приймати ці суперечливі вимоги можна тільки за рахунок зменшення довжини інтервалів часового ряду – скорочуючи крок ряду (шляхом переходу, наприклад від квартальних даних до місячних, від місячних до тижневих, і т.п. якщо такі дані за матеріалами звітності можна мати).

Приклад. Дані собівартості пасажироперевезень міським електричним транспортом, представлені в табл. 12.4, вирівняти за ковзаною середньою і побудувати графік.

Вирішення

Статистичні дані собівартості пасажироперевезень по депо та розрахунок ковзаних представлено в табл. 12.4.

Таблиця 12.4. Статистичні дані собівартості пасажироперевезень по депо

t	Собівартість С, коп.	Трич-лен- ні суми	Тричлен- ні ковзані середні	Чотири-член- ні суми	Чотири-членні ковзані середні	П’яті-член- ні суми	П’яти-член- ні ковзані середні
1	65,9	-	-	-	-	-	-
2	66,9	201,3	67,3	269,4	67,3	-	-
3	69,1	203,5	67,8	271,7	67,9	338,2	67,6
4	67,5	204,8	68,2	274,7	68,6	339,3	6,8
5	68,2	205,6	68,5	276,5	69,1	345,6	69,1
6	69,9	209,0	69,5	281,8	70,4	349,3	69,7
7	70,9	213,6	71,2	285,7	71,4	358,5	71,7
8	72,8	215,8	71,9	288,5	72,1	361,4	72,2
9	72,1	217,7	72,5	290,5	72,6	363,7	72,7
10	72,8	217,7	72,5	290,9	72,7	365,7	72,9
11	72,8	278,8	72,9	-	-	-	-
12	73,1	-	-	-	-	-	-

Як бачимо, середні дані більш наочно виражають основну тенденцію собівартості перевезення пасажирів. Вихідні дані, що різно ковзають, подані на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Вихідні дані, ковзані і вирівнююча парабола:

1- вихідні дані; 2- тричленні ковзані; 3- чотиричленні ковзані; 4- п’ятичленні середні; 5- вирівнююча парабола.

При визначенні загальної тенденції виникає два завдання: вибір форми рівняння, тобто вид функції d(t); обчислення параметрів рівняння.

Слід зазначити, що аналіз часових рядів спрямований не тільки на визначення загальної тенденції і побудова моделі динаміки, а й на прогнозування економічних показників.

При виборі форми рівняння необхідно, як в статистичному регресійному аналізі, добре знати процес по суті. Так, для короткострокового прогнозування багато механіко– економічних показників найкращою формою тренда є показова, що описує зростання за законом складних процесів, для більш тривалого періоду прогнозування по цілому ряду показників - експонента з насиченням. Якщо ж сутність процесу не вимагає певної форми управління, то вибір проводиться за якнайменшою залишковою дисперсією. Графічна ілюстрація часового ряду також допоможе в цьому виборі.

Практика показує, що доцільно піддавати випробуванню залишкову дисперсію по чотирьох монотонних функціях:

1. Лінійної

;

2. Степінної

3. Експоненціальної

4. Експоненти з насиченням

При цьому відхилення від тренду визначаються відповідно у вигляді:

(12.1)

Всі параметри α знаходять за методом якнайменших квадратів, що приводить до системи нормальних рівнянь

(12.2)

(12.3)

(12.4)

(12.5)

Знайшовши для відповідної залежності, знаходять функцію, яка в порівнянні з іншими найкраще апроксимує початковий часовий ряд.

Використання з метою апроксимації багатопараметричних функцій недоцільне. Хоч за допомогою таких функцій можна отримати добре наближення вихідним даним, але, таким чином математично описується не стільки загальна тенденція, скільки випадкові від неї відхилення; з'являються невиправдані особливості процесу - максимуми і мінімуми. Крім того, складання таких функцій і їх застосування для практичних розрахунків різко ускладнюється.

Приклад. Для вищеперерахованих даних, використовуючи степеневу залежність , розраховуємо її параметри.

Вирішення

Для визначення параметрів рівняння розрахунки представимо в табл. 12.5.

Таблиця 12.5. Розрахунок статистичних характеристик рівняння.

	Yt	ln t	ln t2	ln Yt	ln Yt ln t		Yt	ε	ε2
1	65,9	0,00	0,00	1,8189	0,00	1,8035	63,6	2,3	5,29
2	66,9	0,3010	0,0906	1,8254	0,5494	1,8211	66,24	0,66	0,44
3	69,1	0,4771	0,2276	1,8395	0,8774	1,8314	67,32	1,28	1,64
4	67,5	0,6021	0,3625	1,8293	1,1014	1,8387	68,98	-1,48	2,19
5	68,2	0,6990	0,4886	1,8331	1,2813	1,8443	69,88	-1,68	2,82
6	69,9	0,7782	0,6056	1,8445	1,4354	1,8490	70,13	0,73	0,53
7	70,9	0,8451	0,7142	1,8505	1,5639	1,8524	71,19	-0,29	0,08
8	72,9	0,9031	0,8156	1,8627	1,6822	1,8566	71,88	1,02	1,04
9	72,1	0,9542	0,9109	1,8579	1,7728	1,8593	72,33	-0,23	0,05
10	72,8	1,000	1,00	1,8621	1,8626	1,8620	72,88	-0,08	0,00
11	72,8	1,0414	1,0845	1,8621	1,9392	1,8644	73,16	-0,36	0,13
12	73,2	1,0792	1,1647	1,8645	2,0122	1,8666	73,52	-0,32	0,12
∑		8,6824	7,4648	22,1506	16,0959				14,32

Система нормальних рівнянь має видгляд:

(12.6)

Підставивши відповідні значення з табл. 12.5, отримаємо

(12.7)

Вирішивши систему рівнянь, одержимо:

α=0,0585, lna=1,8035.

Маємо рівняння:

(12.8)

Прогноз на 13 і 14 періоди складе: Y13=72,83; Ym=73,02.

Середній квартал відхилення вихідних значень від розрахункових (дисперсія)

(12.9)

а середні квадратичні відхилення що в порівнянні з середнім розміром складає

Проте зазначимо, похибки апроксимації особливо великі на кінцях базисного періоду, що обумовлюють велику помилку прогнозу. Можна сказати, що залежність підібрана невдало.

Якщо протягом базисного періоду процес, що вивчається, суттєво змінився в результаті появи нових чинників (сезонні коливання), то для апроксимації часового ряду слід скористатися двома або більш окремими аналітичними виразами, розглядаючи їх як частини науково – безперервної функції. При цьому прогнозування проводиться за останньою дугою і необхідно уточнити, який допустимий інтервал прогнозування. Факт істотності змін для показника слід встановлювати як якісно, так і статистично.

Можна скористатися і графічним способом: побудувавши три тренди по кожному періоду в цілому по всьому ряду, порівняти графічно, на скільки близько загальний тренд огинає обидва приватних.

Статистична перевірка може бути здійснений наступним прикладом дисперсійного аналізу. Нехай значення показника до і після деякого моменту задані рядами:

11, 12...1h1; (12.10)

21, 22...2h1 . (12.11)

з середніми значеннями і дисперсіями, визначуваними по формулах

; (12.12)

Обчислюємо загальну середня і загальну дисперсію з'єднаного ряду

; . (12.13)

Розчленовувавши повну дисперсію ряду на частини, одержуємо

(12.14)

Враховуючи число ступенів свободи кожної з сум в рівнянні, позначаємо

; . (12.15)

Відношення порівнюємо з відповідним значенням розподілу Фішера. Якщо < F5% [1, n-2] при рівні значущості 5% вважаємо періоди, що вивчаються, не істотно різними у значенні даного показника . Якщо < F5% [1, n-2] при рівні значущості 1% вважаємо періоди, що вивчаються, суттєво різними за показником і будуємо тренд з двох частин, різних тільки за параметрами або видом функції d(t).

Приклад. Методику обробки рядів динаміки за наявності сезонних коливань можна проілюструвати на прикладі собівартості пасажироперевезень одним з тролейбусних рівнянь за період 2002-2007 рр.

Вирішення

Виявлення загальної тенденції на підставі даних табл. 12.6 починаємо з побудови графіка.

Таблиця 12.6. Динаміка статистичних показників

Роки	t	Значення показника, С, коп.	Квартал
			I	II	III	IV
2002	1	58,71	62,3	56,88	59,34	56,72
2003	2	60,13	62,78	58,35	60,84	58,78
2004	3	60,83	63,47	57,88	62,58	59,4
2005	4	65,70	69,52	63,02	63,89	66,51
2006	5	66,08	67,23	62,99	65,65	67,54
2007	6	66,76	68,59	60,56	66,00	68,29

Рис. 12.2. Динаміка собівартості пасажироперевезень

В цьому прикладі (рис. 12.2) спостерігається різкий перелом характеру змін в 2004 р. Тому неможливо підібрати єдину математичну функцію зростання, задовільно апроксимуючу дані про собівартість пасажироперевезень за всі роки. У зв'язку з цим розбиваємо тимчасовий діапазон на дві частини - 2002-2005 рр. і 2005-2007 рр. Для першого ряду підбираємо експоненту, для другого - експоненту з насиченням. При визначенні параметрів рівнянь використовуємо розрахунки, зведені відповідно в табл. 12.7. і 12.8.

Таблиця 12.7. Розрахунок параметрів експоненти

Ро- ки	Y	ℓny	t	V= ℓny-1,78	Vt	t2		ℓny=1,78+		ε	ε2	β%
2002	58,71	1,7761	0	-0,0039	0	0	-0,013	1,7787	60,08	-1,37	1,88	2,28
2003	60,13	1,7791	1	-0,0004	-0,004	1	0,0021	1,7821	60,53	-0,4	0,16	0,66
2004	60,83	1,7841	2	0,0041	0,0082	4	0,0155	1,7955	62,44	-1,61	2,59	2,57
2005	65,70	1,8176	3	0,0376	0,1182	9	0,0289	1,8089	64,40	1,3	1,69	2,01
∑			6	0,0374	0,1206	14					6,32

Таблиця 12.8. Розрахунок параметрів експоненти з насиченням

Роки	Y	ℓny	t	t1=t-2	V= ℓny-1,82					ℓny= 1,82+		ε	ε 2	β%
2005	65,7	1,8176	3	1	-0,0024	1	-0,024	1	-0,0084	1,8116	64,8	0,9	0,81	1,388
2006	65,08	1,82	4	2	0,000	0,50	0,00	0,250	0,0033	1,8233	66,58	-0,5	0,25	0,75
2007	66,76	1,8245	5	3	0,0045	0,333	0,0015	0,111	0,0072	1,8272	67,16	-0,4	0,16	0,59
∑					0,0021	1,833	-0,0009	1,361					1,22

Системи нормальних рівнянь

; . (12.16)

Звідки

ℓna =-0,0113, a= 0,0134; ℓna1 =0,015, а1= -0,0234;

V = -0,0113+0,0134 t; V1=0,015 - .

Тоді одержуємо

ℓn t = 1,7687 + 0,0134 t; ℓn t = 1,835 - ;

=58,70,0134 t 0 ≤ t ≤ 3; t 3≤ t ≤ 5

max β% = 2,58; max β% = 1,388.

Апроксимація цілком задовільна.

Для 2005 р. приймаємо значення собівартості

= 64,60.

Прогноз на 2004 р. При t=6

ℓnу = 1,835 - = 1,829, = 67,49.

Проте через сезонні коливання прогнозування за сумарними річними даними є абсолютно недостатнім. Тому необхідно прогнозувати за окремими періодами, в даному прикладі за вихідними квартальними даними.

12.3. Авторегресійні моделі в аналізі динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні

При оцінки динаміки економічних процесів і їх прогнозуванні необхідно спиратись на обґрунтовану теорію, що встановлює правомочність оцінки і прогнозування за допомогою моделі і помилки вірогідності прогнозу. Оцінка такої помилки за допомогою функції зростання неможлива, тому особливий інтерес представляють авторегресійні моделі.

Авторегресією називається рівняння, що визначає змінну хj в момент t (або t-й період) через її значення в попередні періоди: (t-1) (t-2)... (t-к). Лінійне авторегресійне рівняння записуємо у вигляді

Хt = а1 Хt-1 + а2 Хt-2 + + ак Хt-к. (12.17)

Першим етапом дослідження часового ряду змінної Х є виділення загальної тенденції у вигляді функції d(t) і визначення залишків εt у формі εt = Хt - d(t) чи εt = d(хt).

Якщо залишки εt незалежні, тобто не можуть бути представлені як функція часу, то функція d(t) охоплює повністю еволюційну складову змінної Хt. При цьому залишається знайти закон їх розподілу εt і, прийнявши гіпотезу про збереження цього закону розподілу на прогнозований період, побудувати довірчий інтервал для прогнозованої величини Хt за функцією d(t). Якщо ж залишки εt залежні, тобто містять деяку тенденцію, то її можна виявити за допомогою коефіцієнта автокореляції. Проводячи зсув значень εt на один рядок і останнє значення переміщаємо на перше місце, одержуємо табл. 12.9.

Таблиця 12.9. Залишки змінних ряду динаміки

εt	εt-1
ε1	εn
ε2	ε1
ε3	ε2
…………	…………..
εn	εn-1

Обчислюємо циклічний коефіцієнт кореляції між рядами εt і εt-1 за формулою

r(εt, εt-1) = . (12.18)

Ця формула (12.18) виходить із звичайної формули для визначення коефіцієнта кореляції, якщо покласти

∑ εt = ∑ εt-1 = 0; (12.19)

∑ (εt -1)2 = ∑ (εt)2 . (12.20)

Формула (12.19) виходить з того, що параметри функції d(t) визначаються за методом якнайменших квадратів, а формула (12.20) - з циклічної табл. 12.9.

Аналогічно, зсовуючи εt на 2,3….К рядків, одержуємо циклічну таблицю послідовних відхилень.

Таблиця 12.10. Циклічна таблиця послідовних відхилень

t	εt	εt-1	εt-2	………	εt-к+1	εt-к
1	ε1	εn	εn-1		εn-k+2	εn-k+1
2	ε2	ε1	εn		εn-k+3	εn-k+2
3	ε3	ε2	ε1		εn-k+4	εn-k+3
….	….	….	….	….		….
К	εk	εk-1	εk-2		ε1	εn
К+1	εk+1	εk	εk-1		ε2	ε1
К+2	εk+2	εk+1	εk		ε3	ε2
…..	…..	….	….	….	….	….
n	εn	εn-1	εn-2		εn-k+1	εn-k

За даними табл. 12.10 визначаємо всі циклічні коефіцієнти автокореляції:

r(εxt εxt-j) = , i, j = 1,2,…..K; (12.21)

r(εxt-1 εxt-j) = . (12.22)

Циклічний коефіцієнт автокореляції не підпорядковується нормальному закону розподілу, його розподіл асиметричний, суттєві величини коефіцієнтів автокореляції при певному рівні значущості різні для позитивних і негативних його значень. 5% - й і 1% - й рівні значущості коефіцієнтів автокореляції подані в спеціальних таблицях. Знайдені значення r1, r2… rn-к-1 перевіряємо по таблиці 5% - х і 1% - х рівнів вірогідності коефіцієнтів автокореляції. Якщо | rстат. (n) | < | r5%. (n) |, то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків εt; якщо | rстат. (n) | > | r1%. (n) | відкидаємо гіпотезу їх неавтокорельованості.

За циклічними коефіцієнтами автокореляції складаємо матрицю і її обертаємо. Як і в разі звичайної регресії багаточинника, перевіряємо наявність мультиколінеарності кожного з чинників εxt-j, j=1,2-k від сукупності інших і зберігаємо тільки лінійно незалежні аргументи.

Будуємо лінійну авторегресійну модель

εt = а1 εt-1 + а1 εt-2 + ….+ ак εt-к, (12.23)

що виражає εt в період t за допомогою значень εt-j, j = 1,2…К за К попередніх періодів. При цьому в рівнянні повинні бути збережені тільки суттєві і лінійно незалежні коефіцієнти.

Якщо виявляються аj – коефіцієнти, що не задовольняють вказаним вимогам, то модель потребує перерахунку (починаючи з розрахунку автокореляційної матриці більш низького порядку).

Оскільки параметри рівняння тренда визначали за методом найменших квадратів, то в разі його коректного підбору відповідні відхилення підкоряються нормальному розподілу, і, отже, рівняння регресії можна відшукувати в лінійній формі

ℓn Xt = a1 ℓn Xt-1 + a2 ℓn Xt-2 +…….+ak ℓn Xt-k + F(t); (12.24)

Xt = a1 Xt-1 + a2 ℓn Xt-2 +……..+ an Xt-k + F(t). (12.25)

Яким повинне бути число членів рівняння, це питання слід вирішувати в поєднанні професійних вимог процесу, що по суті вивчається, з математико-статистичними критеріями. Так, якщо статистичний ряд містить тижневі дані, то особливий інтерес являє чотиричленна модель залежності рівня показника від тижневих рівнів за весь попередній місяць. У разі місячних даних цікава тричленна авторегресія, а для даних, зібраних по роках, – п’ятичленна.

Статистичні критерії покликані встановити відсутність автокорельованості залишків від віднімання з табличних значень εt їх розрахункових значень

ηt = εt – (a1 εt-1 + a2 εt-2 +…+ ak εt-2k) . (12.26)

Існує декілька статистичних критеріїв. Один з них заснований на порівнянні середнього квадрата послідовних різниць ηt:

. (12.27)

З дисперсією величини

(12.28)

Складаємо відношення середнього квадрата послідовних різниць, до середнього квадрата самих величин:

К = . (12.29)

Якщо Кстат., потрапляє в допустиму область при рівні значущості 5%, а саме К5% (n-k) < Кстат (n-k) < К15% (n-k), то приймаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt, а, отже, і достатності числа членів К авторегресійної моделі.

Якщо ж Кстат (n-k) < К% (n-k) або Кстат > К1% (n-k), то відкидаємо гіпотезу неавтокорельованості залишків ηt і рахуємо число членів рівняння недостатності. У цьому випадку число членів рівняння треба збільшити, якщо довжина ряду дозволяє це.

Користуючись для прогнозу розробленими рівняннями, можна знайти довірчий інтервал для значення прогнозованого показника.

Якщо прогнозований показник рівний, то розмір показника Хt записуємо у вигляді

- ≤ Xt ≤ + . (12.30)

Викладена методика складання авторегресійних моделей, використані критерії і побудований довірчий інтервал можна застосовувати тільки для великих вибірок, коли довжина ряду n не менше 30.

Помилка прогнозу по отриманих рівняннях визначається за дисперсії εt. Оскільки

- Хt = εt, (12.31)

то Βер = | εt| ≤ tα σε= Pα, (12.32)

де Pα – задана вірогідність, Pα = 1-α, а tα - відповідна межа по С (n-k) ступеням свободи Стьюдента:

σε = . (12.33)

Розглянемо приклади складання авторегресійних моделей.

Одночленна модель. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, заданий рядом в графі 2 табл. 12.11. Знайдіть параметри одночленної авторегресійної моделі і спрогнозуйте щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту.

Вирішення

Наявність експоненціального ряду (див. рис. 12.3.) дозволяє розраховувати на придатність одночленної моделі = а1Хt-1.

Система нормальних рівнянь для визначення параметра а1 має вигляд

= а1 . (12.34)

З табл. 12.11. (графи 4 і 5) виходить 367673,4 = 364278,2 а1

Звідки а1 = = 1,0087 ≈ 1,01.

Одержуємо рівняння = 1,01 Хt-1. Обчислюємо значення = 1,01 Хt-1 (графа 6) і знаходимо значення εt = Xt -Хt-1 (графа 7) ∑ εt = 9,4, що несуттєво в порівнянні з розмірами Xt.

Обчислюємо коефіцієнт циклічної автокореляції r1. За графами 9 і 10 отримаємо

r1 = r(εt, εt-1) = (12.35)

З табл. 12.11 знаходимо n1 = 15-1=14, r<0, r5% = -0,479.

Оскільки | r1| < | r5%|, кореляція εt, εt-1 несуттєва.

Аналогічно за графами 12 і 10 (табл. 12.11) одержуємо r2 = = 0,416, що свідчить про несуттєвість кореляції εt и εt-2.

У даному випадку переважний критерій Дж. Неймана. Обчислюємо різницю εt -εt-1 за графами 13 і (εt -εt-1)2 – за графами 14. Одержуємо

K= (12.36)

За табл. 12.11 для n1 = 14 рівень значущості К5% рівний 1,2725 при r > 0 і 3,0352 у разі r < 0. Розрахунки свідчать, що коли в генеральній сукупності автокореляція між залишками εt відсутня, то в 95% вибірок буде К > 1,272 у випадку r > 0 и К < 3,0352 при <.

У даному прикладі значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості К > 1,2725. Отже, гіпотеза неавтокорельованості залишків εt стверджується і авторегресійне рівняння Xt = 1,01 Xt-1 приймається.

Помилка прогнозу при середньоквадратичному відхиленні

σε = . (12.37)

Складаємо

Вср = ≤ tα * = Pa . (12.38)

При 95%-й гарантійної вірогідності tα = 2,1 за табл. П.4[12] і помилка прогнозу не перевищить 14,42, що складає приблизно 8%:

- 14,42 ≤ 1,01 Xt-1 ≤ + 14,42 (12.39)

Визначаємо прогноз на 16-й і 17-й періоди з похибкою, що не перевершує 14,42 (рис. 12.3.):

= 1,01 * Х15 = 1,01 * 175,3 = 177,05; (12.40)

= 1,01 Х17 = 1,01 * 175,5 = 177,06. (12.41)

Таблиця 12.11. Розрахунок параметрів одночленної авторегресійної моделі

t	Xt	Xt-1	Xt Xt-1	Xt-12		εt= Xt-	εt-1	εt* εt-1	εt2	εt-2	еt* еt-2	еt - еt-1	(еt - еt-1)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	153,1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2	153,3	153,1	23470,2	23439,6	154,6	-1,3	5,4	-7,02	1,69	1,7	2,21	5,1	26,01
3	148,4	153,3	22749,7	23500,9	154,8	-6,4	-1,3	8,32	40,96	5,4	-34,56	-5,4	29,16
4	148,9	148,4	22096,8	22026,6	149,9	-1,0	-6,4	6,4	1,0	-1,3	1,3	-11,0	14,0
5	160,4	148,9	23883,6	22171,2	150,4	10	1,0	10,0	1,0	-6,4	-64,6	11,5	132,25
6	160,5	160,4	25744,2	25728,2	162,0	-1,5	10,0	-15,0	2,25	-1,0	1,5	33	10,89
7	157,3	160,5	25246,6	25760,2	162,1	-4,8	-1,5	7,2	23,04	10,0	-48,0	-16,5	272,25
8	170,6	157,3	26835,4	24743,3	158,9	11,7	-4,8	-16,5	136,89	-1,5	-17,55	3,3	10,89
9	163,9	170,6	27961,3	29104,4	172,3	-8,4	11,7	-98,27	70,56	-4,8	40,32	-7,4	54,76
10	164,3	163,9	26928,3	26863,2	165,3	-1,0	-8,4	8,4	1,0	11,7	-11,7	-16,1	259,21
11	170,9	164,3	28078,9	26994,5	155,8	15,1	1,0	15,1	228,01	-8,4	-126,84	19,8	292,04
12	167,9	170,9	28694,1	29206,8	172,6	-4,7	15,1	-70,97	22,09	-1,0	4,7	-3,2	10,24
13	168,1	167,9	28223,9	28190,4	169,6	-1,5	-4,7	7,05	2,25	15,1	-22,65	0,2	0,04
14	168,2	168,1	28274,4	28257,6	169,9	-1,7	-1,5	2,55	2,89	-4,7	7,99	-7,1	50,41
15	175,3	168,2	29485,5	28291,2	169,9	5,4	-1,7	9,18	29,16	-1,5	-8,4	-	-
16	175,5		367673,4	364278,2		9,4		-184,64	661,179		-275,68		1369,15

Рис. 12.3. Одночленна авторегресійна модель:

1-вихідні дані; 2-одночленна авторегресія; 3-вирівнююча гіпербола.

Багаточленна модель. Щомісячна реалізація цегли (в тисячах штук) на базі будівельних матеріалів за 18 місяців представлена в табл. 12.12 (графа 2). Треба скласти модель для прогнозування місячної потреби в цеглі на найближчі місяці.

Вирішення

Розрахунок багаточленної авторегресійної моделі представимо в табл. 12.12.

t	Xt	Xt-1		εt=Xt-Xt-1	εt-1	εt*εt-1	εt2	εt-εt-1	(εt-εt-1)2	Xt-2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	15	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2	17	15	16,55	0,55	2,84	-1,5	0,3	-	-	-
3	23	17	18,75	4,25	0,55	2,34	18,06	-3,7	13,68	15
4	27	23	25,37	1,63	4,25	6,93	2,66	2,62	6,86	17
5	32	27	29,78	2,22	1,63	3,62	4,92	-0,59	0,35	23
6	26	32	35,29	-6,29	2,22	-20,6	86,3	11,51	132,48	27
7	21	26	28,68	-7,68	-9,29	71,35	58,98	1,61	2,59	32
8	18	21	23,16	-5,16	-7,68	39,63	26,63	-2,62	6,35	26
9	15	18	19,55	-4,55	-5,16	23,48	20,70	-0,61	0,37	21
10	19	15	16,55	2,45	-4,55	-11,15	6,00	7,0	49	18
11	24	19	20,96	3,04	2,45	7,45	9,24	-0,59	0,35	15
12	33	24	26,47	6,53	3,04	19,85	42,64	-3,49	12,18	19
13	37	33	36,40	0,6	6,53	3,92	0,36	6,47	41,86	24
14	41	37	40,81	0,19	0,6	0,11	0,36	0,41	1,68	33
15	43	41	45,22	-1,78	0,19	-0,34	3,17	1,97	3,88	37
16	45	43	47,43	-2,43	-1,78	4,33	5,9	0,75	0,56	41
17	47	45	49,64	-2,64	-2,43	6,42	6,97	0,21	0,04	43
18	49	47	51,24	-2,84	-2,64	7,5	8,07	0,2	0,04	45
∑	530					162,28	301,26		272,2	434

Продовження табл. 12.12

Xt*Xt-1	Xt*Xt-2	Xt-1* Xt-2	Xt-12	X 2t-2	0,1175 Xt-1	1,061 Xt-2		εt=Xt-	εt2	εt- εt-1	(εt- εt-1)2
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
391	345	255	529	225	1,99	15,91	17,9	5,1	26,01	-	-
621	459	391	729	289	2,70	18,04	20,74	6,26	39,8	-1,13	1,27
864	736	621	1024	529	3,17	24,40	27,57	4,43	19,62	1,83	3,35
832	702	864	676	729	3,76	28,64	32,30	-6,3	39,69	10,73	115,13
546	672	832	441	1024	3,05	33,95	37,00	-16,0	25,6	9,7	94,09
378	468	546	324	676	2,46	27,58	30,04	-12,04	144,96	-3,96	15,68
270	315	378	225	441	2,11	22,28	24,38	-9,38	86,49	-2,66	7,07
285	342	270	361	324	1,76	19,09	20,85	-1,85	3,42	-7,52	56,55
456	360	285	576	225	2,23	15,92	18,15	5,95	35,4	-7,80	60,84
792	627	456	1089	361	2,82	25,46	22,98	10,02	100,4	-4,07	16,54
1221	888	792	1369	576	3,87	26,52	29,33	7,67	58,82	2,35	5,52
1517	1353	1221	1681	1089	4,34	33,20	37,54	3,46	11,97	4,21	17,72
1763	1591	1517	1849	1369	4,82	39,25	44,07	-1,07	1,14	4,53	20,52
1935	1845	1763	2025	1681	5,05	43,50	48,55	-3,55	12,6	-2,48	6,15
2115	1935	1935	2209	1849	5,29	45,62	50,91	-3,91	15,29	0,36	0,12
2303	2205	2115	2405	2025	5,52	47,74	52,26	-4,26	18,14	0,35	0,12
16289	14893	14241	17508	13187				15,47	428,33

Використовуючи перші 18 членів ряду, складемо одночленну модель = а1 Хt-1. Визначаємо а1 за методом середніх (табл. 12.12, графи 2.3):

а = (12.42)

Обчислюємо значення = 1,103 Хt-1 і залишків εt = - Хt (графи 4, 5). Для використання першого критерію автокорельованості складаємо циклічний ряд εt-1 (графа 6), обчислюємо εt * εt-1 (графа 7) і εt2 (графа 8). У результаті одержуємо

r1 = r(εt, εt-1) = (12.43)

За табл. 12.12 знаходимо n1 = 18 – 1 =17 і r > 0, маємо r1% = 0,475.

Отже, r1 потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу відкинути гіпотезу неавтокорельованості εt.

Таким чином, модель = а1 Хt-1 не приймається. До такого ж висновку приводить і другий критерій Дж. Неймана. На підставі граф 8,10 отримаємо

К = (12.44)

За табл. 12.12 знаходимо: n1 = 17 маємо К1% = 1,035. Значить, К потрапляє в критичну область при 1% рівні значущості, що дає підставу забракувати гіпотезу відсутності автокорельованості εt.

Складаємо двочленну модель = а1 Хt-1. + а2Хt-2. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів методом якнайменших квадратів має видгляд:

. (12.45)

Визначивши суми для вирішення системи (табл. 12.12, графи 12-16), отримаємо 16289=1728 а1 + 14241 а2 ; 14853 = 14241 а1 + 13187 а2, звідки а1 = 0,1175; а2 = 1,061. У графах 17-19 наведені значення Хt, розраховані по формулі = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 . Відхилення εt знаходимо за графами 20 і критерієм Дж. Неймана перевіряємо неавтокорельованість залишків. З граф 21,23

K= . (12.46)

За табл. 12.12 маємо:

К5% (16) = 1,309 при r > 0;

К5% (16) = 2,9577 при r < 0.

Отже, розрахункове значення К потрапляє в допустиму область при 5% рівні значущості, що дає підставу для ухвалення гіпотези неавтокорельованості залишків εt для затвердження двочленній моделі: = 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2. При середньоквадратичному відхиленні

σε = = = 5,17 (12.47)

помилка прогнозу Вср = ≤ tα * = Pα; при 90%-й гарантійної вірогідності tα = 1,74 помилка прогнозу не перевищить 8,84.

Прогноз на 19 і 20 періоди Х19 = 55,61; Х20 = 58,20 з 90%-й вірогідністю непереходу за межі

- 8,84 ≤ 0,1175 Хt-1 + 1,061 Хt-2 ≤ + 8,84. (12.48)

Таким чином, представлені методики оцінки динаміки економічних процесів і розробки відповідних економетричних моделей динаміки дають змогу приймати управлінські рішення з урахуванням періодів функціонування підприємства та прогнозування економічних показників.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 5

Питання для самоконтролю:

Назвіть основні принципи при побудові економетричних моделей?
Охарактеризуйте основні критерії оцінки адекватності економетричних моделей?
Що таке мультиколінеарність? Назвіть причини її виникнення.
В чому полягає парний регресійний аналіз?
В чому полягає кількісний регресійний аналіз? Який вигляд має кількісна регресійна модель?
Охарактеризуйте етапи побудови багатофакторної економетричної моделі?
Охарактеризуйте t-критерій Ст’юдента і F-критерій Фішера для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.
Охарактеризуйте тест Дарбіна-Уотсона для оцінки адекватності багатофакторної економетричної моделі.
Проінтепретуйте отримані результати на основі розробленої Вами багатофакторної економетричної моделі.
Охарактеризуйте узагальнені економетричні моделі.
Назвіть види узагальнених економетричних моделей і охарактеризуйте їх.
Назвіть основні поняття і визначте сутність динамічних процесів в економіці.
Що таке часовий ряд і назвіть напрями його оцінки.
Що таке авторегресія і як будуються авторегресійні моделі.
Назвіть статистичні критерії оцінки автокорельованості залишків і як вони визначаються.

Завдання для самоконтролю:

1. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондоозброєності праці робітників (ФЗп):

побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;
визначити коефіцієнти регресії а0 та а1, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;
визначити коефіцієнти кореляції;
визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;
обґрунтувати економічну сутність отриманих результатів.

Таблиця 12.13. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Рввп, коп./грн.	ФЗп, тис.грн./чол.
1	91,7	1,9
2	91,2	2,1
3	87,7	5,4
4	89,2	2,7
5	90,2	2,2
6	88,8	2,9
7	91,7	2,6
8	92,8	2,7
9	85,7	6,3
10	91,1	4,6

2. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рівня витрат на виробництво продукції (Рввп) від фондовіддачи основних засобів (ФФоз):

побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;
визначити коефіцієнти регресії а0 та а1, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;
визначити коефіцієнти кореляції;
визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;
обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.14. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Рввп, коп./грн.	ФФоз, тис. грн./тис. грн.
1	91,7	12,9
2	91,2	12,6
3	87,7	11,9
4	89,2	12,3
5	90,2	12,4
6	88,8	11,6
7	91,7	12,7
8	92,8	12,9
9	85,7	11,2
10	91,1	12,8

3. За статистичними даними 10 підприємств розробити рівняння регресії рентабельності реалізації продукції (Ррп) від коефіцієнту вибуття робітників (Квр):

побудувати поле кореляції і за ним визначити характер та обґрунтувати математичну форму рівняння регресії;
визначити коефіцієнти регресії а0 та а1, їх економічний зміст, записати рівняння регресії;
визначити коефіцієнти кореляції;
визначити з ймовірністю 0,95 довірчі границі помилки апроксимації, записати рівняння регресії в остаточному вигляді;
обґрунтування економічної сутності отриманих результатів.

Таблиця 12.15. Статистичні дані діяльності підприємств

№ з/п	Ррп, коп./грн.	Квр, %
1	4,3	4,1
2	4,8	3,3
3	5,3	3,5
4	6,8	2,8
5	5,5	3,9
6	5,2	3,6
7	6,3	2,9
8	7,2	2,7
9	6,4	2,9
10	7,9	2,1

4. Представлені статистичні дані собівартості пасажироперевезень міським електричним транспортом, (табл. 12.16), вирівняти за ковзаною середньою і побудувати графік і обґрунтувати тенденції зміни собівартості пасажироперевезень.

Таблиця 12.16. Статистичні дані собівартості пасажироперевезень по депо

t	Собівартість С, коп
1	89,9
2	90,9
3	87,6
4	87,5
5	88,2
6	89,9
7	90,5

Продовження табл. 12.16

8	92,8
9	92,1
10	92,8
11	91,8
12	93,1

5. На основі даних динаміки статистичних показників представлених в табл. 12.17 виявіть загальну тенденцію їх зміни, побудуйте економетричну модель динаміки і розрахуйте прогноз на 2 наступних роки.

Таблиця 12.17. Динаміка статистичних показників

Роки	t	Значення показника, С, коп.	Квартал
			I	II	III	IV
2002	1	68,59	72,4	65,88	69,53	66,54
2003	2	69,95	72,8	67,34	71,21	68,44
2004	3	75,37	74,53	77,49	72,88	76,59
2005	4	75,49	79,22	73,21	73,34	76,19
2006	5	82,34	77,34	82,29	85,45	87,29
2007	6	91,80	88,92	90,72	93,19	94,39

6. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів, що перевозяться, представлений в табл. 12.18. Розрахуйте параметри авторегресійної моделі і складіть прогноз на наступні 2 місяці.

Таблиця 12.18. Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів

Період (t)	Щомісячний пробіг рухомого складу міського електротранспорту на 1000 пасажирів (Xt), км.
1	167,1
2	163,3
3	168,4
4	158,9
5	160,4

Продовження табл. 12.18

6	160,5
7	177,3
8	171,6
9	173,9
10	174,2
11	174,8
12	171,3
13	169,7
14	170,2
15	173,2
16	185,5

7. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом за 18 місяців представлена в табл. 12.19. Треба скласти авторегресійну економетричну модель і спрогнозувати місячну потребу в покрівельних матеріалах на 2 наступні місяці.

Таблиця 12.19. Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (в тисячах штук) заводом

Період (t)	Щомісячна реалізація покрівельних матеріалів (Xt), тис. штук
1	32
2	36
3	33
4	37
5	32
6	29
7	31
8	38

Продовження табл. 2.19

9	35
10	39
11	27
12	33
13	37
14	43
15	46
16	49
17	51
18	54

Міністерство освіти і науки України

Харківська національна академія міського господарства

ПРИКЛАД

ТЕСТОВИХ ЗАВДАНЬ

1. Альтернативні прості тест-завдання

Альтернативні, побудовані за принципом класифікації і подвійної альтернативи

Тест-завдання множинного вибору, побудованих за принципом класифікації

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і обведіть правильну відповідь:

Квантифікація – це:

а) узагальнена модель дій, необхідних для досягнення поставлених цілей шляхом координації та розподілу ресурсів компанії;

б) місце, де здійснюється купівля-продаж фінансових ресурсів;

в) ризики не піддаються кількісному вимірюванню;

д) управління підприємством.

Для оцінки величини фінансових ризиків використовують:

а) показники економічного аналізу;

б) показники стратегічного аналізу;

в) статистичні величини;

г) аналітичні показники.

1.15. Математичне сподівання дискретної величини представляє:

а) суму добутків можливих варіантів величини на їх імовірність;

б) суму показників діяльності підприємства;

в) суму результатів математичних розрахунків показників;

г) суму мінливості реальних даних деякої випадкової величини навколо математичного сподівання.

У відносному виразі ризик визначається:

а) середньо квадратичним відхиленням;

б) математичним сподіванням;

в) коефіцієнтом бета;

г) відношенням величини максимальних втрат від даного виду діяльності до деякої бази порівнянь.

Ймовірність допустимого ризику визначається за залежністю:

а)F(x) = . в. F(x) = .

б) F(x) = . г. Кр = Х/К

Коефіцієнт ризику визначається:

а)F(x) = . в. F(x) = .

б) F(x) = . г. Кр = Х/К

Критичні ризиком визначаються за залежністю:

а)F(x) = . в. F(x) = .

б) F(x) = . г. Кр = Х/К

Катастрофічний ризик визначається:

а)F(x) = . в. F(x) = .

б) F(x) = . г. Кр = Х/К

Показник допустимого ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

б) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за граничнодопустимий рівень (таким рівнем є прибуток від проекту);

в) ймовірність того, що втрати по проекту виявляться більшими за граничний катастрофічний рівень (вартість майна підприємця).

Показник критичного ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

Показник катастрофічного ризику:

а) ймовірність того, що втрати виявляться більшими за допустимий критичний рівень;

Розташуйте в логічній послідовності етапи моделювання:

а) аналіз економічної системи, її ідентифікація і визначення достатньої структури для моделювання.

б) верифікація моделі і уточнення її параметрів;

в) уточнення всіх параметрів системи і відповідність параметрів моделі, їх необхідне виправлення, коректування;

г) синтез і побудова моделі з урахуванням її особливостей і математичної специфікації.

1.25. Розташуйте в логічній послідовності етапи прийняття управлінських рішень:

а) постановка, формулювання проблеми;

б) прийняття рішень;

в) пошук рішень;

г) виявлення проблеми;

д) виконання рішення;

е) оцінка і аналіз отриманих рішень.

Для розв'язування задач умовної оптимізації використовуються:

а) метод штрафних функцій;

б) метод Лагранжа;

в) метод синтезу;

г) модель МакНейра.

В господарській діяльності можна орієнтуватись на такі критерії:

а) критерії маркетингового дослідження ринку;

б) критерії підбору найбільш подібних одиниць об’єктів;

в) критерії виявлення конкурентних переваг підприємства;

г) критерії допустимого ризику Кд=0,1.

Критерії ризику означають, що на угоду треба йти:

а) критичний ризик складає 0,2;

б) показник допустимого ризику не повинен перевищувати 0,1;

в) в 1 випадку зі 100 можна втратити всю розрахункову виручку.

1.29. Приймаючи рішення, підприємець на підставі попередніх розрахунків повинен орієнтуватись на наступні умови::

а) показник допустимого ризику не повинен перевищувати 0,1;

б) показник критичного ризику не повинен перевищувати 0,01;

в) критерії катастрофічного ризику складає 0,03;

г) в 10 випадках зі 100 можна втратити весь прибуток від угоди.

1.30. Для оцінки ліквідності ризику використовують:

а) 5 критеріїв;

б) 2 критерія;

в) 6 критеріїв;

г) 3 критерія.

1.31. Терміноволіквідні інвестиції з незначним ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

г) час трансформації яких до 7 днів.

1.32. Високоліквідні інвестиції з низьким ризиком - це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

г) час трансформації яких до 7 днів.

1.33. Середньоліквідні із середнім ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

г) час трансформації яких до 7 днів.

1.34. Малоліквідні об’єкти з високим ризиком – це:

а) час трансформації яких від 7 до 30 днів;

б) час трансформації яких від 1 до 3 місяців;

в) час трансформації яких більше 3 місяців;

г) час трансформації яких до 7 днів.

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і запишіть номер поряд з відповідною літерою:

1.35. Які критерії використовуються [А] або не використовуються [Б] для оцінки адекватності моделі

1) критерії ліквідності; 6) мультиколінеарність;

2) t-критерій Ст’юдента; 7) критерії ділової активності.

3) F-критерій Фішера;

4) критерій прибутковості;

5) критерії ризику;

А_________________ Б______________________

1.36. Для оцінки гетероскедастичності застосовуються [А] або не застосовуються [Б] тести або критерії

1) тест рангової кореляції Спірмена; 6) тест Глейзера.

2) t-критерій Ст’юдента;

3) F-критерій Фішера;

4) мультиколінеарність;

5) тест Голфреда-Квандта;

А_________________ Б______________________

1.37. Для рівняння перевіряється, чи перевищує r2 те значення, яке може бути отримано випадково [А] або не перевіряється [Б] критеріями

1) t-критерій Ст’юдента;

2) F-критерій Фішера;

3) тест рангової кореляції Спірмена;

4) тест Голфреда-Квандта;

5) тест Глейзера;

6) тест на мультиколінеарність;

7) коефіцієнт парної кореляції.

А_________________ Б______________________

1.38. Для оцінки надійності коефіцієнта кореляції використовують [А] або не використовують [Б] наступні критерії або тести

1) t-критерій Ст’юдента;

2) F-критерій Фішера;

3) тест рангової кореляції Спірмена;

4) тест Голфреда-Квандта;

5) тест Глейзера;

6) тест на мультиколінеарність;

7) коефіцієнт парної кореляції.

А_________________ Б______________________

1.39. Основними напрямами перевірки адекватності моделі можуть бути [А] або не бути [Б]

1) оцінка фінансового стану

2) оцінка обсягу використання основного капіталу підприємства

3) перевірка за допомогою F-теста (F-критерій Фішера);

4) аналіз використання основного капіталу в минулому періоді;

5) перевірка моделі на гомо-гетескедастичність;

6) забезпечення високої ефективності використання основних активів;

7) перевірка факторів економетричної моделі на мультиколінеарність.

А_________________ Б______________________

1.40. Випадковий член існує[А] або не існує [Б] за такими причинами

1) невключення пояснювальних змінних;

2) агрегирування змінних;

3) наявності мультиколінеарності;

4) наявності гомоскедастичності;

5) помилкового опису структури моделі;

6) помилкової функціональної специфікації;

7) помилкового розрахунку економічних показників.

А_________________ Б______________________

4. Тест завдання множинного вибору, побудовані за принципом кумуляції

Зробіть правильний вибір з наведеного переліку і обведіть правильну відповідь:

1.41. У разі моделювання економічних систем задачами аналізу є:

а) задачі пов’язані з задачами синтезу;

б) маркетингові задачі;

в) математичні задачі;

Г) економічні задачі.

1.42. У разі структуризації проблеми стандартною є:

а) проблеми, які потребують вибору оптимального варіанту з багатьох можливих (найбільш широко використаних методів);

б) проблеми, які пов'язані з розробкою довгострокових напрямів дій, які висвітлюють багато аспектів в діяльності підприємств;

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

г) проблеми, які відзначаються невизначеностю як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

1.43. У разі структуризації проблеми високо структурованими є:

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

г) проблеми, які відзначаються невизначеності як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

1.44. У разі структуризації проблеми низько структуровані проблеми – це:

в) проблема, пов'язана з одноваріантними розрахунками (розрахунок потреб в матеріальних і трудових ресурсах);

г) проблеми, які відзначаються невизначеністю як мета діяльності, так і можливими напрямками діяльності.

5. Тест-завдання множинного вибору, побудовані за принципом циклічності і перестановки:

1.45. Для прийняття управлінських рішень здійснюють:

а) оцінку і аналіз отриманих рішень;

б) оцінку ліквідності;

В) оцінку параметрів економетричних моделей;

Г) оцінку функціональності.

1.46. Для вирішення задач лінійного програмування симплексним методом необхідно:

а) розрахувати логарифми бар'єрних функцій;

б) здійснювати пошук уздовж траєкторій в просторі змінних задачі, що не проходять через вершини багатокутника;

в) обчислити елементи рядка оцінки плану .

г) знайти рядок з номером r, де для всіх .

6. Фасетні тест-завдання, побудовані за принципом циклічності:

Знайдіть правильну відповідь для всіх варіантів тверджень:

1.47-1.50. Типова крива щільності розподілу ймовірностей випадкових втрат характеризує:

а) збитки, які будуть мати величину, що дорівнює загальній величині прибутку від проекту;

б) ризик втрат, які сягають розміру всього майна підприємства;

в) ризик втрат, які сягають величини розрахункової виручки від проекту;

г) найбільш ймовірні збитки по проекту.

47. точка сподіваної або середньої віддачі проекту. 48. точка допустимого ризику. 49. точка гранично допустимого критичного ризику. 50. точка гранично-катастрофічного ризику.

1.51-1.52. Мультиколінеарність – це поняття, яке використовується для опису проблеми, коли нестрога лінійна залежність між пояснювальними змінними призводить до отримання ненадійних оцінок регресії.

А) вірно Б) невірно

Схема проведення

1.51._____________________________1.52.___________________________

7. Фасетні тест-завдання, побудовані за принципом перестановки (відтворення вірної послідовності)

Встановити правильну послідовність, вказуючи порядок цифрами

1.53. Для побудови багатофакторної економетричної моделі здійснюють наступні етапи:

- включення або виключення економічних факторів на основі розрахованих коефіцієнтів парної кореляції;

перевірка основних припущень класичного регресійного аналізу;

перевірка моделі на адекватність;

аналіз отриманих результатів.

1.54. Основні етапи моделювання наступні:

- верифікація моделі і уточнення її параметрів;

- аналіз економічної системи, її ідентифікація і визначення достатньої структури для моделювання;

- уточнення всіх параметрів системи і відповідність параметрів моделі, їх необхідне виправлення, коректування;

- синтез і побудова моделі з урахуванням її особливостей і математичної специфікації.

8. Тест-завдання множинного типу на відновлення відповідної частини

Встановіть відповідність у вигляді комбінації цифр і літер:

1.55. Якому методу вирішення задач лінійного програмування відповідає характеристика

а) симплексний метод 1)

б) метод віток і меж

1.56. Встановіть відповідність етапу і його характеристиці при здійсненні методу віток і меж

а) перший етап

б) другий етап

в) третій етап

г) четвертий етап

А__________________ Б_________________ В_________________

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Альгин А.П. Грани экономического риска. М., - 1991.
Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М.: Наука 1984.
Балабанов И.Т. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1996.
Банди Б. Основы линейного программирования. – М.: Радио и связь, 1989.
Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Фин. и стат., 2001.
Бернстайн П. Против Богов. Укрощение риска. Пер. с англ. - М.: ЗАО «Олимп-бизнес», 2006.
Бирман И. Оптимальное программирование. М.: Радио и Связь, 1976.
Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Ч. 1. М., МГУ, 2001.
Буянов В. П., Кирсанов К. А., Михайлов Л. А. Рискология. Управление рисками. - М., 2002.
Вітлінський В.В., Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. – К. Тов. “Борисфен-М”. – 1996. – 336 с.
Воробьёв Ю.Л. Малинецкий Г.Г. Махутов Н.А. Управление риском и устойчивое развитие. Человеческое измерение // Общественные науки и современность, N6, 2000.
Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003.
Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.
Горчаков А.А., Орлова И.В., Половников В.А. Методы экономико-математического моделирования и прогнозирования в новых хозяйственных условиях хозяйствования. – М.: ВЗФЭИ, 1991.
Грубер Й. Економетрія: Посібник для студ. екон. спец., т. 2. Переклад. – К.: ЗАТ «Нічлава», 1998. – 295 с.
Демченков B.C., Милета В.И. Системный анализ деятельности предприятий: М/. Финансы и статистика, 1990. - 182 с.
Джонстон Д.Ж. Эконометрические методы. – М.: Финансы и статистика, 1980.
Доля В.Т. Економетрія. Методичний посібник з вивчення дисципліни (для студентів за напрямами підготовки 0501 “Економіка”, 0592 “Менеджмент”).
Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973.
Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 2001.- 402 с.
Дубров А.М. и др. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе. М.: «Финансы и статистика», 2001.
Жданов С. Экономические модели и методы управления. М.Эльта 1998.
Замков О.О., Толстонятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М. ДНСС. 1997 г.
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 416 с.
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975, 2003.
Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. М. Экономика. 1987.
Кенэ Ф. Избранные экономические произведения / Пер. с франц. – М.: Соцэкгиз, 1960. – 551 с.
Конспект лекцій з дисципліни «Економетрія» (для студентів 3 курсу, напряму 0305 «Економіка і підприємництво») / Укл.: Скоков Б.Г., Мамонов К.А. – Харків: ХНАМГ, 2008. – 59 с.
Конюховский П. Математические методы исследования в экономике. – СПб.: Питер, 2000. – 208 с.
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.; под ред. Проф.Н.Ш.Кремера: Исследование операций в экономике; учеб. пособие для вузов.
Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финстат, 2003.
Лапуста М. Г., Шаршукова Л. Г. Риски в предпринимательской деятельности. - М.: Инфра-М, 1996.
Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2000.
Лещинський О.Л., Рязанцева В.В., Юнькова О.О. Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. – Л.: МАУП, 2003.-208 с.
Лук’яненко І. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. – К.: Т-во “Знання”, КОО, 1998. – 494 с.
Лук’яненко І.Г., Городніченко Ю.О. Сучасні економетричні методи у фінансах. Навчальний посібник.-К.: Літера ЛТД, 2002.-352 с.
Ляшенко І. М. Економіко-математичні методи та моделі сталого розвитку. — К.: Вища шк., 1999.
Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М. Из-во УРАО 1998г.
Малыхин В.И. Финансовая математика. – М.: ЮНИТИ, 2002.
Малиш Н. А. Моделювання еколого-економічних систем агропромислового комплексу на території радіоактивно забрудненого регіону. Дис. на здоб. вч. ступ. к. е. н. КНУ ім. Тараса Шевченка, 1993.
Макаревич Л.М. Управление предпринимательскими рисками. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2006.
Малинецкий Г.Г. Управление риском и редкие катастрофические события // Математическое моделирование, т.14, №8, 2002.
Мерков А.М., Поляков Л.Е. «Санитарная статистика» (пособие для врачей). М.: Медицина. – 1976. – 384 с.
Методичні вказівки для вивчення курсу “Економетрія” / Укл. Скоков Б.Г. – Х.: ХНАМГ, 2002. – 39 с.
Методичні вказівки до виконання практичних завдань і самостійної роботи з дисципліни «Економетрія» (для студентів 3 курсу денної форми навчання спец. 7.050201 «Менеджмент організацій») / Укл. Мамонов К.А. – Х.: ХНАМГ, 2006. – 27 с.
Методичні вказівки «Використання пакету програм «Statistica» в економетричних дослідженнях» (для студентів 3 курсу денної форми навчання, спец. 6.050200 «Менеджмент організацій») / Укл. Скоков Б.Г., Мамонов К.А. – Х.: ХНАМГ, 2007. – 51 с.
Методические указания к самостоятельному изучению курса «Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении», проведению практических занятий и выполнению контрольных работ (для студентов 4, 5 курсов всех форм обучения, специальности 1722) / Составитель Скоков Б.Г. – Харьков.: Харьковское межвузовское полиграфическое предприятие, 1988. – 58 с.
Методична розробка практичного заняття із студентами 4 – 5 курсів з теми: «Оцінка достовірності результатів дослідження» / Укл. Таралло В.Л., Зубович А.П., Ясинська Е.Ц. – Чернівці, 2001. – 6 с.
Миксюк С.Ф., Комкова В.Н. Экономико-математические методы и модели – Мн.: БГЭУ, 2006.
Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретично-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К. Інформтехніка. – 1995. – 380 с.
Монахов А. Математические методы анализа экономики. – СПб.: Питер, 2002. – 176 с.
Егоров А.А. Об оценке достоверности результатов моделирования боевых действий (операции) объединения ВВС. – Военная теория и практика. С. 60-65.
Петі У. «Політична арифметика». – Кембрідж: Юниверситі Прес, 1899.
Петров Е. Г., Новожилова М. В.. Методи і засоби прийняття рішень у соціально – економічних системах: Навчальний посібник./ За ред. Е. Г. Петрова. – К.: Техніка, 2004. – 256с.
Ракитов А.И. Принципы научного мышления. М.: Политиздат, 1975. – 143 с.
Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968.
Райзберг Б.А. Предпринимательство и риск. – "Знание". Новое в жизни, науке и технике. – 1992. – № 4.
Риски в современном бизнесе. / П.Г. Грабовый, С.Н. Петрова, С.И. Полтавцев и др. - М.: Алане, 1994.
Робоча програма і короткий конспект лекцій до самостійного вивчення курсу «Економетрія» (для студентів денної і заочної форм навчання спеціальностей «Менеджмент організацій», «Облік і аудит» та «Економіка підприємства») / Укл. Скоков Б.Г., Мамонов К.А. – Х.: ХНАМГ, 2006. – 105 с.
Руденко А.В. Переход от вероятности к достоверности в доказывании по уголовным делам / Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата юридических наук. – Краснодар, 2001. – 24 с.
Самойленко М.І., Скоков Б.Г. Дослідження операцій (Математичне програмування. Теорія масового обслуговування): Навч. посібник. – Харків: ХНАМГ, 2005. – 176 с.
Сергеев М. Предпринимательский риск и стратегии предпринимателя (http://www.fact.ru/archiv/ num01/serg.html).
Сивый В.Б., Скоков Б.Г. Математические методы и модели в планировании и управлении жилищно-коммунальным хозяйством: Учеб. пособие для вузов. – Х.: Издательство «Основа» при Харьковском государственном университете, 1991. – 208 с.
Скурихин Н.П. Математическое моделирование. М. Высшая школа 1989.
Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. К. Выща школа 1985.
Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2-х томах.; перевод с английского. 1991. 360 с.
Терехов Л.Л. Экономико- математические методы. М. Статистика 1988.
Тони Райс, Брайан Койли. Финансовые инвестиции и риск: Пер. с англ. – Торгово-издательское бюро BHV, 1995. – 592 с.
Уткин Э. А. Риск-менеджмент: Учебник. - М.: Тандем, 1998.
Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге. – М.: Финстатинформ, 1996.
Чернов В. А. Анализ коммерческого риска. - М.: Финансы и статистика, 1998.
Чернышевский Н.Г. Полное собрание сочинений: в 16 т. – М.: 1939 – 1953.
Четыркин Е.М. Статистические методи прогнозирования. – М.: Финансы и статистика, 1979.
Хазанова Л. Математическое моделирование в экономике. М.1998.
Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Наука, 1978.
Хохлов Н.В. Управление риском: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях.; перевод с английского. 1974.
Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИ-ТИ-ДАНА, 2000.
Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. М.: Радио и Связь, 1982.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
Ястремський О.І. Моделювання економічного ризику. – К.: Либідь, 1992. – 176 с.
Ястремський О.І. Основи теорії економічного ризику: Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. – К.: "АртЕк", 1997. – 248 с.
Daenzer В. J. Fact-Finding Techniques in Risk Analysis. - AMA, 1970. -P. 63-67.
Hayes R. И., Wheelwright S. С., Clark К. В. Dynamic Manufacturing: Creating Learning Organization. The Free Press, NY, 1988.
Head G., Horn S. Essentials of Risk Management. V. 1, IIA, 1991. - P. 136.
Merril William C., Fox Karl A. Introduction to Economic statistics.- John. Wiley&Sans.- 1970.-658.
Robert N. Charette. Applications Strategies for Risk Analisis. McGraw-Hill Book Cjmpany, 1990. New York, N-Y 10020. – ISBN 0-07-010888-9.
Simon J. D. Political Risk Assessment. - «Columbia Journal of World Business». - 17, no. 3. - 1982.
V.Lofti, C. Pegels. Decision Support System for Production and Operations Managament (DSSPOW). IRWIN, 1991.-359 c.
http://www.ur.freecopy.ru.
ttp://www.vseslova.ru.

Автори: Костянтин Анатолійович Мамонов

Скоков Борис Григорович

Чечетова Наталія Федорівна

Редактор: Д.Ф. Курильченко

Коректор: З.І. Зайцева

План 2009, поз. _______________________________________

Підп. до друку Формат 60х84 1/16 Папір офісний.

Друк на ризографі. Умовн.-друк. арк. Обл.-вид. арк.

Тираж 200 прим. Замовл № __________________

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ

61002, м. Харків, вул. Революції, 12

PAGE 4

1. Тема 4 Финансовоправовой контроль Любой процесс управления состоит из четырёх взаимосвязанных фун.
2. Модель информационной структуры предприятия социально-культурного сервиса и туризма.html
3. тема биополимеровбелков НК и их макромолекулярных комплексов участвующих в единой совокупности метаболич
4. тема одно из условий функционирования гражданского общества и государства
5. ТОЧНОСТЬ степ. прибл.
6. тумба 30 2750 2 Столтумба с ящ 30 3260
7. тематичної атестації за розділом Взаємодія тіл
8. Реферат на тему- Сальвадор Дали
9. Синяя птица Феерия в шести действиях двен
10. технического уровня производства эффективности менеджмента
11. тематическому школьному обучению волнует всех кому в силу родительских или профессиональных обязанностей
12. Ликвидация СССР и сионизм Василий Дрожжин Ликвидация СССР и сионизм В конце 1991 г
13. Жилищное право
14. Тахометрические датчики
15. ПТ это целенаправленное упорядочение нарушенной деяти организма психолми способами Две основные формы
16. Бизнес план турагенства (туроператора)
17. Анализы системы управления ОАО «УАЗ»
18. то в темноте спальни словно насмехаясь над своим трусливым владельцем лежала одежда
19. Создает человека природа но образует и развивает его общество В
20. начальником держави

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

ТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ для студентів напряму 0305 Економіка і підприємництво спеціальності 6030509 Облік і

2.3. Види економіко-математичних моделей оптимізації

В основі економіко-математичної моделі розподілу фінансових ресурсів по оптимізації зростання потужностей підприємства є наступна функція:

Залежна змінна для такої моделі розглядається, як ендогенна змінна, а незалежні змінні – як екзогенні.

Теоретична узагальнена лінійна економетрична модель може бути специфікована у наступній формі :

Вибіркова функція регресії для узагальненої лінійної економетричної моделі має наступний вигляд :

Таблиця 12.1. Списочна чисельність робітників підприємства

Місяць