Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №7
Лекция 7
Определение понятия ротора вектора
Понятие циркуляции позволяет определять интегральные характеристики поля. Понятие ротора позволит определить эти характеристики в дифференциальной форме, которые дадут возможность описывать поля в каждой отдельной точке пространства, точке в некотором бесконечно малом объеме, окружающем эти точки.
Ротор вектора - это вектор ,
,
такой что, его проекция в заданной точке пространства на нормаль к некоторой произвольной плоской площадке определяется выражением
,
где - циркуляция вектора по замкнутому контуру, охватываемому заданную точку на выбранной плоской площадке, ориентация которой задана вектором нормали (рис.7.1); S – площадь, охваченная замкнутым контуром интегрирования. В пределе эта площадь устремляется к нулю. Естественно, что для одного и того же вектора можно выбрать бесконечное число таких площадок с различными ориентациями вектора нормали . Соответственно и проекции будут различны.
Рис. 7.1. К определению ротора
Поскольку в трехмерном пространстве вектор характеризуется тремя координатами, для полного описания вектора достаточно найти три его проекции на оси координат x,y,z. Соответственно, площадки в окрестности заданной точки должны быть перпендикулярны этим осям.
Для нахождения проекции ротора на ось x, выберем прямоугольную площадку, перпендикулярную этой оси и найдем циркуляцию по её контуру вокруг точки P, рис.7.2.
Рис. 7.2. Определение проекций вектора
Вначале найдем проекцию ротора
Для этого выберем бесконечно малую площадку dS=dydx , перпендикулярную направлению 0X, с контуром интегрирования (1,2,3,4), который охватывает эту площадку. Этот контур расположен параллельно плоскости Z0Y. Циркуляция вектора по этому контуру
При предельном переходе эти разности примут такой вид
; .
Тогда
Аналогично находим другие проекции ротора. В результате имеем
В криволинейной системе координат, рис.7.3.
Рис. 7.3. К расчету ротора вектора в криволинейных координатах
Интеграл по контуру, параллельному координатной поверхности υ0μ
Элемент площади
Тогда
Аналогично, получим
,
.
Примечание: нетрудно доказать, что
,
Первое равенство говорит о том, что в потенциальном поле отсутствуют вихри, что эквивалентно доказанному далее факту, что в таком поле циркуляция напряженности электростатического поля (интеграл ) равна нулю. Второе равенство говорит о том, что вихри имеют соленоидальный характер, т.е. либо замкнуты, либо уходят на бесконечность.
Теорема Стокса
Формулу (7.2), определяющую понятие ротора можно записать так
,
где
Интегрируя левую и правую части, т.е. переходя от бесконечно малой площади к конечной площади, охватываемой контуром L, получим
Это равенство утверждает, что циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, охватываемую контуром L. Это утверждение является формулировкой теоремы Стокса.
Связь магнитного поля и тока в дифференциальной форме
В соответствии с теоремой о циркуляции магнитного поля
,
где I – суммарный ток, пронизывающий замкнутый контур интегрирования L. Этот ток в общем случае распределен в пространстве с плотностью j так, что
.
Т.е. ток I равен потоку вектора через поверхность S, охватываемую контуром L.
Таким образом
.
С другой стороны в соответствии с теоремой Стокса
,
и
,
т.е.
.
В результате получим важное равенство и утверждение, что ротор (вихрь) вектора равен численно значению плотности тока и, как вектор, совпадает с направлением этого тока.
При расчетах полей и токов часто наряду с уравнением (7.20) рассматривают уравнения
подтверждающее ток факт, что вектор магнитной индукции непрерывен и что магнитных зарядов одной полярности в природе не существует.
4
PAGE 1