Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО МАТАНАЛИЗУ
2012-2013 (ПМИ, Дзержинск)
3 семестр
Числовой ряд
Числовой ряд, его свойства. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости. Критерий Коши сходимости числового ряда. Критерий сходимости положительного ряда.
Признаки сравнения положительных рядов. Признак Даламбера, достаточный признак Коши и признак Коши-Адамара для положительных рядов. Понятие несобственного интеграла 1 рода, сходимость, вычисление. Интегральный признак сходимости положительного ряда. Гармонический и обобщенный гармонический ряд. Признак Раабе для положительного ряда.
Абсолютная сходимость ряда и сходимость. Признаки сравнения и достаточные признаки абсолютной сходимости. Признак Лейбница. Тождество Абеля. Достаточные признаки Абеля-Дирихле и Абеля.
Функциональный ряд, функциональная последовательность
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда (последовательности). Равномерная сходимость в себе и критерий Коши. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Достаточные признаки Дирихле и Абеля равномерной сходимости. Переход к пределу под знаком функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование функционального ряда.
Степенной ряд
Теорема об области сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда на внутреннем отрезке и непрерывность его суммы на интервале сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Логарифмический ряд. Разложение в степенной ряд. Разложение в степенной ряд. Соотношение между понятиями степенного ряда и ряда Тейлора.
Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора. Биномиальный ряд (без док-ва). Таблица рядов Тейлора (практ.) Теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной функции (без док-ва).
Несобственный интеграл
Несобственный интеграл 1 рода, определение, основные свойства. Вычисление интеграла.
Критерий Коши сходимости интеграла. Критерий сходимости интеграла от положительной функции. Признаки сравнения интегралов от положительных функций. Абсолютная сходимость и сходимость интеграла. Признаки сравнения абсолютно сходящихся интегралов. Достаточные признаки Абеля-Дирихле сходимости интегралов 1 рода.
Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Гамма-функция: область определения, дифференцирование (док-во для первой производной), рекуррентная формула (приведения), график. Бета-функция, область определения. Соотношение между гамма- и бета-функциями (без док-ва). Формула дополнения (без док-ва).
Применение эйлеровых интегралов к вычислению определенных и несобственных интегралов (практ.).
Ряд Фурье
Скалярное произведение функций: определение, свойства. Нулевая функция.
Понятие унитарного (предгильбертова) пространства. Неравенство Коши-Буняковского.
Норма функции в унитарном пространстве и ее свойства. Неравенство треугольника и следствие из него. Ортогональность. Равенство Пифагора. Ортогональная и ортонормальная системы функций. Ортогональная система функций: определение, лемма. Среднеквадратичный предел: определение, свойства. Соотношение между равномерной и среднеквадратичной сходимостью. Полная система функций. Полная ортонормальная система. Теорема о разложении в общий ряд Фурье. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система, ее ортогональность. Тригонометрическая ортонормальная система. Полнота тригонометрической системы (без док-ва). Теорема о разложении в тригонометрический ряд Фурье. О поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье (без док-ва). Достаточные условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Тригонометрический ряд Фурье для четных и нечетных функций. Тригонометрический ряд Фурье на отрезке
Двойной интеграл
Понятие квадрируемой области. Определение двойного интеграла. Необходимые условия, достаточные условия, критерий существования двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Повторные интегралы и их связь с двойным. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области и области, ограниченной графиками функций. Замена переменных в двойном интеграле, геометрический смысл якобиана и его знака. Приложения двойного интеграла к решению геометрических задач: вычисление площади области, объема тела, площади поверхности графика функции заданной явно и параметрически, гауссовы коэффициенты.
Тройной интеграл.
Понятие тройного интеграла. Условия существования, свойства. Замена переменных в тройном интеграле.
Обратите внимание! Относится ко ВСЕМ билетам (и с док-вом, и без него). Для успешной сдачи экзамена необходимо (но не достаточно): а) знание формулировок определений, лемм, теорем, признаков; б) умение привести пример, иллюстрирующий ту или иную формулировку, принцип; в) использовать во время экзамена только свои знания; г) помнить формулировки утверждений прошлых семестров, на которые опираются доказательства теорем и утверждений данного; д) умение правильно дифференцировать и интегрировать, проводить замену переменных. Дополнительные задачи, как обычно, будут подобраны из задачника Кудрявцева.