Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
НГО ХЫУ ХИЕУ
СОБ13-7
механика
*§1.1. Векторный способ описания движения
Положение движущейся материальной точки определяется уравнением:
, (1.1)
O
Рис. 1.1
где радиус вектор движущейся точки (см. рис.1.1).
Вектор перемещения соединяет начальное и конечное положение движущейся точки, и направлен от начального положения к конечному положению:
. (1.2)
Для характеристики быстроты движения вводится понятие средней и мгновенной скорости. Средняя скорость – отношение перемещения точки ко времени:
. (1.3)
Так как , то вектор средней скорости всегда направлен по перемещению, т.е. . Можно также ввести понятие средней путевой скорости движения. Средней путевой скоростью движения точки называется отношение пройденного пути к интервалу времени движения точки. Так как пройденный путь величина скалярная, то и средняя путевая скорость является скалярной величиной.
Предельное значение, к которому стремится вектор средней скорости при стремлении интервала времени к нулю, называется мгновенной скоростью. Обозначение мгновенной скорости:
(1.4)
Рис. 1.2
Такие пределы в математике получили название производной, т.е. мгновенная скорость - это производная от перемещения по времени. Мгновенная скорость характеризует скорость тела в данной точке в данный момент времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории движения.
Для характеристики быстроты изменения скорости вводят понятие ускорения движения. Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло, т.е.:
(1.5)
Так как , то вектор среднего ускорения всегда направлен по вектору изменения мгновенной скорости, т.е. (см. рис. 1.2). Предельное значение, к которому стремится вектор среднего ускорения при условии, что интервал времени стремится к нулю, называется мгновенным ускорением.
Мгновенное ускорение — это производная от вектора скорости по времени. Мгновенное ускорение показывает, как быстро изменяется вектор скорости движущейся точки. Обозначение мгновенного ускорения:
(1.6)
Вывод уравнения движения точки с постоянным ускорением
Движение с постоянным ускорением–это такое движение, при котором вектор ускорения остается постоянным как по величине, так и по направлению. Примером такого типа движения может служить движения точки в поле силы тяжести (как вертикально, так и под углом к горизонту).
Используя определение ускорения получим следующее соотношение
.
После интегрирования имеем равенство .
С учетом того, что вектор мгновенной скорости есть , будем иметь следующее выражение
Интегрирование последнего выражение дает следующее соотношение
. Откуда имеем получаем уравнение движения точки с постоянным ускорением
.
Примеры векторных уравнений движения материальной точки
Равномерное прямолинейное движение ():
. (1.7)
Движение с постоянным ускорением ():
. (1.8)
Зависимость скорости от времени при движении точки с постоянным ускорением имеет вид:
. (1.9)
§1.2. Координатный способ описания движения
В координатном способе для описания движения выбирают систему координат (например, декартову). Начало отсчета жестко закрепляют с выбранным телом (телом отсчета). Пусть единичные орты, направленные в положительные стороны осей OX, OY и OZ соответственно. Положение точки задается координатами .
Вектор мгновенной скорости определяется следующим образом:
, (1.10)
где проекции вектора скорости на оси координат, а производные от координат по времени.
Длина вектора скорости связана с его проекциями соотношением:
. (1.11)
Для вектора мгновенного ускорения справедливо соотношение:
, (1.12)
где проекции вектора ускорения на оси координат, а производные по времени от проекций вектора скорости.
Длина вектора мгновенного ускорения находится по формуле:
. (1.13)
Примеры уравнений движения точки в декартовой системе координат
. (1.14)
Уравнения движения:. (1.15)
Зависимости проекций вектора скорости на оси координат от времени:
(1.16)
§1.3. «Естественный» способ описания движения
А
О
Этот способ описания движения применяют в том случае, когда траектория движения точки заранее известна. Положение точки на траектории задают дуговой координатой (кси)2. На траектории стрелкой указывают положительное направление дуговой координаты.
Уравнением движения является зависимость координаты от времени, т.е.:
(1.17)
Скорость точки. Введем единичный вектор , связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты (см. рис. 1.3). Вектор при движении точки изменяет свое направление, и, следовательно, не является постоянным вектором. Вектор мгновенной скорости связан с ортом соотношением:
, (1.18)
где проекция вектора скорости на направление вектора и равна производной от дуговой координаты по времени, т.е.:
. (1.19)
Ускорение точки. Вектор полного ускорения точки находят дифференцированием равенства (1.17) по времени, в результате чего получают равенство:
, (1.20)
где производная от проекции вектора скорости на направление вектора по времени, единичный вектор нормали, а радиус кривизны траектории в точке . Первое слагаемое в правой части (1.20) это составляющая вектора полного ускорения на направление вектора , называемая тангенциальным ускорением, т.е.:
, (1.21)
где проекция тангенциального ускорения на направление вектора . Тангенциальное ускорение показывает, как быстро меняется величина вектора скорости со временем.
Второе слагаемое в правой части равенства (1.20) представляет собой составляющую вектора полного ускорения, направленную на направление вектора нормали , и называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. Величина нормального ускорения находится по формуле:
. (1.22)
Модуль вектора полного ускорения находится по формуле:
. (1.23)
Движение с постоянным по величине тангенциальным ускорением описывается уравнением:
, (1.24)
Зависимость проекции скорости от времени:
(1.25)
где величина дуговой координаты в начальный момент времени, проекция вектора скорости на направление вектора , тангенциальное ускорение.
Правило знаков. Величина положительная, если точка движется в направлении вектора (или в направлении возрастания дуговой координаты ), в противном случае, величина отрицательная. Знаки и совпадают при ускоренном движении, при замедленном движении – знаки противоположны.
§1.5. Вращение тела вокруг неподвижной оси
Рис. 1.4
При вращении твердого тела вокруг закрепленной оси, траектории движения всех точек тела представляют собой окружности с центрами, лежащими на оси вращения. Это позволяет описать движение какой либо одной точки тела, поскольку движение остальных точек является подобным. Для описания вращательного движения точки используют полярную систему координат, в которой положение точки задается координатами: углом между радиус–вектором , проведенным из начала отсчета (точка ) и полярной осью и радиус–вектором (см. рис. 1.4). Начало отсчета совмещают с центром вращения точки, при таком выборе точки будет меняться только угол поворота. Используют при этом псевдо вектор угла , который по величине равен углу , измеренному в радианах. Направление вектора определяется по правилу буравчика. Вращаем буравчик от полярной оси в направлении радиус–вектора , при этом поступательное движение буравчика указывает на направление вектора .
Пусть за бесконечно малый промежуток времени , твердое тело повернулось вокруг оси на угол (см. рис. 1.4). Вектор радиуса вращения обозначим , радиус–вектор точки –– , а перемещение некоторой точки твердого тела – .
Вектором угла поворота называется вектор, направленный по оси вращения, а его величина равна углу поворота , измеренному в радианах. Направление вектора определяют по правилу буравчика. Вращая буравчик по направлению вращения точки, при этом направление его поступательного движение укажет направление вектора угла поворота .
Из рисунка 1.4 видно, что величина бесконечно малого перемещения и угол поворота связаны соотношением
. (1.26)
Справедливо так е и векторное равенство:
. (1.27)
Для характеристики быстроты изменения угла поворота вводят понятие вектора угловой скорости. Угловая скорость есть производная от угла поворота по времени:
. (1.28)
Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, его направление совпадает с направлением вектора бесконечно малого поворота .
Вектор углового ускорения характеризует быстроту изменения вектора угловой скорости, и находится как производная от вектора угловой скорости по времени:
. (1.29)
Направление вектора совпадает с направлением вектора бесконечно малого изменения угловой скорости . При ускоренном характере вращения тела направление вектора углового ускорения совпадает с направлением векторов бесконечно малого угла поворота и угловой скорости, при замедленном характере вращения вектор углового ускорения направлен против вектора угловой скорости.
Уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси является зависимость вектора угла поворота от времени:
.
При решении задач используется проекция этого равенства на ось вращения (ось OZ). Ось OZ направляют по вектору угла поворота.
Примеры уравнений вращения тела вокруг неподвижной оси
, (1.30)
где величина угла поворота в начальный момент времени, величина вектора угловой скорости.
, (1.31)
где проекция вектора углового ускорения на ось OZ.
Зависимость угловой скорости от времени:
. (1.32)
§1.6. Связь между линейными и угловыми величинами
Модуль вектора перемещения и изменение угла поворота связаны соотношением:
, (1.33)
где радиус–вектор точки , ее радиус вращения (см. рис. 1.4).
Вектор линейной скорости и вектор угловой скорости связаны векторным равенством:
. (1.34)
В скалярном виде справедливо равенство:
. (1.35)
Для вектора полного ускорения справедливы соотношения (1.20)–(1.23), и, кроме того, имеем следующее векторное равенство:
, (1.36)
где вектор тангенциального ускорения, вектор нормального ускорения.
Проекции вектора на орты и (см. рис. 1.3) равны:
, . (1.37)
Модуль полного ускорения равен:
. (1.38)
Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.
Закон инерции отражает одно из основных свойств материи - пребывать неизменно в движении и устанавливает для материальных тел эквивалентность состояний покоя и движения по инерции. Из него следует, что если F=0, то точка покоится или движется с постоянной по модулю и направлению скоростью ( =const); ускорение точки при этом равно нулю: = 0); если же движение точки не является равномерным и прямолинейным, то на точку действует сила.
Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной системой отсчета (иногда ее условно называют неподвижной). По данным опыта для нашей Солнечной системы инерциальной является система отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направлены на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной, с достаточной для практики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.
Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
Математически этот закон выражается векторным равенством .
При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F.
Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, так как две разные точки при действии одной и той же силы получают одинаковые ускорения только тогда, когда будут равны их массы; если же массы будут разные, то точка, масса которой больше (т. е. более инертная), получит меньшее ускорение, и наоборот.
Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как известно, будут эквивалентны одной силе, т.е. равнодействующей , равной геометрической сумме этих сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид
или .
Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.
Заметим, что силы взаимодействия между свободными материальными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.
Проведём небольшой эксперимент. Попробуем перемещать тяжёлое тело по некоторой криволинейной траектории. Сразу обнаружим, что тело сопротивляется изменению направления движения, изменению скорости. Возникает сила со стороны тела, противодействующая силе , той, которую мы прикладываем к нему.
Эту силу, с которой материальная точка сопротивляется изменению своего движения, будем называть силой инерции этой точки - . По третьему закону она равна и противоположна действующей на точку силе , . Но на основании второй аксиомы . Поэтому .
Итак, сила инерции материальной точки по величине равна произведению её массы на ускорение
.
И направлена эта сила инерции в сторону противоположную вектору ускорения.
Например, при движении точки по кривой линии ускорение . Поэтому сила инерции
.
То есть её можно находить как сумму двух сил: нормальной силы инерции и касательной силы инерции.
Рис.1
Причём
Необходимо заметить, что сила инерции материальной точки, как сила противодействия, приложена не к точке, а к тому телу, которое изменяет её движение. Это очень важно помнить.
Третий закон динамики, как устанавливающий характер взаимодействия материальных частиц, играет большую роль в динамике системы.
Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.
;
Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением
Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела (или количеством движения). Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).
Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Импульс силы также является векторной величиной.
В новых терминах второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы.
Обозначив импульс тела буквой второй закон Ньютона можно записать в виде
|
|
|
|
, (3.7) где выражение представляет собой сумму только внешних сил, действующих на систему точек. Согласно уравнению (3.7), импульс системы может изменяться под действием только внешних сил. Третий закон Ньютона запрещает внутренним силам изменять импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы частиц остаемся постоянным, т.е. не меняется со временем . (3.8) |
Дифференциальное уравнение реактивного движения
Реактивное движение основано на третьем законе Ньютона, в соответствии с которым "сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия". Горячие газы, вырываясь из сопла ракеты, образуют силу действия. Сила реакции, действующая в противоположном направлении, называется силой тяги. Эта сила как раз и обеспечивает ускорение ракеты.
Пусть начальная масса ракеты равна m, а ее начальная скорость составляет v. Через некоторое время dt масса ракеты уменьшится на величину dm в результате сгорания топлива. Это приведет к увеличению скорости ракеты на dv. Применим закон сохранения импульса к системе "ракета + поток газа". В начальный момент времени импульс системы равен mv. Через малое время dt импульс ракеты будет составлять
а импульс, связанный с выхлопными газами, в системе координат относительно Земли будет равен
где u − скорость истечения газов относительно Земли. Здесь мы учли, что скорость истечения газов направлена в сторону, противоположную скорости движения ракеты (рисунок 1). Поэтому, перед u поставлен знак "минус".
В соответствии с законом о сохранении полного импульса системы, можно записать:
|
Рис.1 |
Преобразуя данное уравнение, получаем:
В последнем уравнении можно пренебречь слагаемым dmdv, рассматривая малые изменения этих величин. В результате уравнение запишется в виде
Разделим обе части на dt, чтобы преобразовать уравнение в форму второго закона Ньютона:
Данное уравнение называется дифференциальным уравнением реактивного движения. Правая часть уравнения представляет собой силу тяги T:
Из полученной формулы видно, что силя тяги пропорциональна скорости истечения газов и скорости сгорания топлива. Конечно, это дифференциальное уравнение описывает идеальный случай. Оно не учитывает силу тяжести и аэродинамическую силу. Их учет приводит к значительному усложнению дифференциального уравнения.
Формула Циолковского
Если мы проинтегрируем выведенное выше дифференциальное уравнение, то получим зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего топлива. Результирующая формула называется идеальным уравнением реактивного движения или формулой Циолковского, который вывел ее в 1897 году.
Чтобы получить указанную формулу, удобно переписать дифференциальное уравнение в следующем виде:
Разделяя переменные и интегрируя, находим:
Заметим, что dm обозначает уменьшение массы. Поэтому, возьмем приращение dm с отрицательным знаком. В результате, уравнение принимает вид:
где v0 и v1 − начальная и конечная скорость ракеты, а m0 и m1 − начальная и конечная масса ракеты, соответственно.
Полагая v0 = 0, получим формулу, выведенную Циолковским:
Данная формула определяет скорость ракеты в зависимости от изменения ее массы по мере сгорания топлива. С помощью этой формулы можно грубо оценить запас топлива, необходимый для ускорения ракеты до определенной скорости.
1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. На тележке к штативу на нити подвешен шарик массой m (рис. 1). Пока тележка покоится или движется прямолинейно и равномерно, нить, которая удерживает шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается силой реакции (натяжения) нити Т.
Рис.1
Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а0, то нить будет отклоняться от вертикали в сторону, обратную движению, до такого угла α, пока результирующая сила F=P+T не даст ускорение шарика, равное а0. Значит, результирующая сила Fнаправлена в сторону ускорения тележки а0 и для установившегося движения шарика (теперь шарик движется вместе с тележкой с ускорением а0) равна F=mgtgα=ma0, откуда
т. е. угол отклонения нити от вертикали тем больше, чем больше ускорение тележки.
В системе отсчета, которая связана с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой Fin, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,
(2)
Проявление сил инерции при поступательном движении мы можем видеть в повседневных явлениях. Если поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий при этом по ходу поезда, прижимается к спинке сиденья под действием силы инерции. Наоборот, при торможении поезда пассажир отклоняется от спинки сиденья, т.к. сила инерции направлена в противоположную сторону. Особенно силы инерции заметны при внезапном торможении поезда. Эти силы проявляются в перегрузках, возникающие при запуске и торможении космических кораблей.
2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью ω (ω=const) вокруг перпендикулярной ему оси, которая проходит через его центр. На диске установлены маятники, на разных расстояниях от оси вращения и на нитях висят шарики массой m. Когда диск начнет вращаться, шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис. 2).
Рис.2
В инерциальной системе отсчета, которая связана, например, с помещением, где установлен диск, происходит равномерное вращение шарика по окружности радиусом R (расстояние от центра вращающегося шарика до оси вращения). Значит, на него действует сила, равная F=mω2R и которая направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы реакции (натяжения) нити Т: F=P+T. Когда движение шарика установится, то F=mgtgα=mω2R, откуда
т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше угловая скорость вращения &omega и чем больше расстояние R от центра шарика до оси вращения диска;.
Относительно системы отсчета, которая связана с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой Fс, являющаяся ничем иным, как силой инерции, так как никакие другие силы на шарик не действуют. Сила Fc, называемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна
(3)
На практике действие центробежных сил инерции испытывают, например, пассажиры в движущемся автобусе на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают очень больших значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (винтов самолетов, роторов и т. д.) используются специальные механизмы для уравновешивания центробежных сил инерции.
Из формулы (3) следует, что центробежная сила инерции, которая действует на тела во вращающихся системах отсчета и которая направлена в сторону радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения ω системы отсчета и радиуса R, но при этом не зависит от скорости тела относительно вращающихся систем отсчета. Значит, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, которые удалены от оси вращения на конечное расстояние, при этом не имеет значения, покоятся ли они в этой системе отсчета (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с некоторой скоростью.
3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой m движется с постоянной скоростью ν' вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (ν'=const, ω=const, ν перпендикулярно ω). Если диск не начал вращаться, то шарик, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, которое указанно стрелкой, то шарик покатится по кривой OВ (рис. 3а), причем его скорость ν' относительно диска сменит свое направление. Это возможно лишь в случае, если на шарик действует сила, которая перпендикулярна скорости ν'.
Рис.3
Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, будем использовать жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения прямолинейно равномерно со скоростью ν' (рис. 3б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Во вращающейся системы отсчета, т.е. относительно диска, шарик движется прямолинейно и раномерно, что объясняется тем, что сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции Fk, которая перпендикулярной скорости ν'. Эта сила называется кориолисовой силой инерции.
Можно показать, что сила Кориолиса
Вектор Fk перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.
Сила Кориолиса действует только на тела, которые движутся относительно вращающейся системы отсчета, чаще всего рассматривается случай относительно Земли. Действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 4), то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг, то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые, и т. д. Также можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, которая действует на движущиеся тела, направлена влево по отношению к направлению движения.
Рис.4
Благодаря действию силы Кориолиса падающие на поверхность Земли предметы отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано движение маятника Фуко, которое явилось в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы силы Кориолиса не было, то тогда плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же данной силы приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.
Раскрывая содержание Fin в формуле (1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
где силы инерции задаются формулами (2) - (4).
Еще раз подчеркнем, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. По этой причине они не подчиняются третьему закону Ньютона, так как если на тело действует сила инерции, то не существует силы, противодействующей ей и приложенной к данному телу. Два основных положения механики, по которым ускорение всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в системах отсчета, движущихся с ускорением, одновременно не выполняются.
Для любого из тел, которые находятся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; Значит, здесь нет замкнутых систем, т.е. в неинерциальных системах отсчета не выполняются также и законы сохранения импульса, энергии и момента импульса. Значит, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета таких сил не существует.
Возникает вопрос о реальном или фиктивном существовании сил инерции. В ньютоновской механике, в которой сила является результатом взаимодействия тел, на силы инерции можно смотреть как на не существующие в инерциальных системах отсчета илификтивные. Однако возможна и другая их интерпретация. Поскольку взаимодействия тел осуществляются посредством силовых полей, то силы инерции рассматриваются как воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать реальными. Независимо рассмотрения сил инерции в качестве реальных или фиктивных, многие явления, упоминающиеся в настоящем параграфе, объясняются с помощью сил инерции.
Силы инерции, которые действуют на тела в неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Значит в поле сил инерции эти тела движутся абсолютно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают тела, которые находятся под действием сил поля тяготения.
Возможны условия, при которых силы инерции и силы тяготения невозможно различить. Например, движение тел в равноускоренном лифте происходит точно так же, как и в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести. Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле сил инерции от однородного поля тяготения.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности сил инерции и гравитационных сил (принципа эквивалентности Эйнштейна): все физические явления в поле тяготения происходят так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а остальные начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы. Этот принцип является основой общей теории относительности.
Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело
|
(5.4) |
В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом
|
(5.5) |
о где - расстояние от элемента до оси вращения.
Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности
|
(5.5) |
где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.
Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом
и тогда
|
(5.6) |
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.
Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.
Для полого цилиндра с тонкими стенками
Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой. Для него
Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:
Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:
а) через центр стержня -
б) через начало стержня -
Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
|
(5.7) |
момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
где
— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
— искомый момент инерции относительно параллельной оси,
— масса тела,
— расстояние между указанными осями.
Векторное произведение радиуса-вектора материальной точки на ее импульс: называют моментом импульса , этой точки относительно точки О (рис.5.4)
. Вектор иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Он направлен вдоль оси вращения перпендикулярно плоскости, проведенной через векторы и и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки).
Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) системы относительно точки О:
Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому . Сучетом связи линейных и угловых величин
и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор .
Таким образом.
Момент импульса тела относительно оси вращения
т.е.
|
(5.9) |
Следовательно, момент импульса тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тела вокруг этой оси.
Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему.
Поэтому , то есть
или
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.
Момент силы
В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр, хотя сантиньютон-метр (сН•м), футо-фунт (ft•lbf), дюйм-фунт (lbf•in) и дюйм-унция (ozf•in) также часто используются для выражения момента силы. Символ момента силы τ (тау). Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудах Архимеда над рычагами. Вращающиеся аналоги силы, массы и ускорения есть момент силы, момент инерции и угловое ускорение соответственно. Сила, приложенная к рычагу, умноженная на расстояние до оси вращения рычага, есть момент силы. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, это то же самое, что сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:
где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
|
(5.10) |
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.
1.Если на тело действует постоянная сила F (Рисунок 13), и это приводит к перемещению ∆ r тела, то элементарной работой ∆А постоянной силы называется скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения ∆r:
∆А = (F∙∆r) = ½ F½½∆ r½ cos a ,
где a - угол между направлениями векторов силы F и перемещения ∆r, ( F∙ ∆r) – скалярное произведение двух векторов (см.[8]).
Рисунок 13 - Перемещение тела под действием постоянной силы.
Работа ∆А - скаляр. Если угол a - острый, то ∆А положительная величина, и говорят, что сила совершает работу. Если угол a - тупой, то ∆А - отрицательная величина, и говорят, что работа совершается против действия силы. Если a = 900, т.е. направления силы и перемещения взаимно перпендикулярны, то такая сила работы не совершает ∆А = 0. Такая сила не может изменить величину скорости тела, но она меняет направление скорости.
2. Работа переменной силы. Если сила или равнодействующая сил изменяет свою величину или направление (движение по криволинейной траектории, причем угол α ≠ 900), то работа ∆А, совершаемая переменной силой F (или Fрез) на конечном участке траектории вычисляется следующим образом.
На рисунке 14 представлен график зависимости силы F от пути S. Разобьем весь путь на N участков. Перемещение и действующая сила на каждом участке соответственно равны F i и ∆ r i. Тогда работа А, совершаемая силой F, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил F i на своем малом участке (Рисунок 14):
А = ∆А1 + ∆А2 +....+ ∆А N = ( F1∙∆ r1) + (F 2∙∆ r2) + ...+( F N∙∆ rN) = ( Fi∙∆ ri),
где i = 1,2...... N - номер элементарного участка траектории.
Рисунок 14 - График зависимости силы от пути.
На участке ∆r i силу Fi можно считать постоянной, тогда элементарная работа ∆Аi на участке ∆r iравна ∆Аi= Fi∙∆ r i и равна площади заштрихованной фигуры на рисунке 14.
А=∆Аi - это работа силы F на участке r, равна она численно площади S фигуры, ограниченной кривой зависимости F(х) и осью Х.
*величины - половины произведения массы тела на квадрат его скорости. Эта величина имеет особое название - кинетическая энергия.
кинетическая энергия - это физическая величина, характеризующая движущееся тело; изменение этой величины равно работе силы, приложенной к телу.
*A = Ek2 - Ek1 Работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Это утверждение называется теоремой о кинетической энергии.
За время dt вращающееся тело совершит работу dA, равную произведению момента силы M на угол поворота , сделанный радиусом этого тела, то есть
.
Кинетическая энергия материальной точки Wk = mv2 / 2 .
Тогда для системы материальных точек или тела .
Используя связь линейной скорости с угловой в виде vi = wri, получим выражение для энергии вращательного движения:
|
|
|
(5.20) |
Замечание: При плоском движении тел (например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости, рис. 5.12) полная скорость
|
|
, |
(5.21) |
где с - центр масс (инерции).
Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической энергии вращательного движения тела относительно мгновенной оси)*, т.е.
|
|
. |
(5.22) |
|
Потенциальная энергия - энергия взаимодействия тел или частей тела.Потенциальная энергия (от латинского potentia - возможность) определяется взаимным расположением тел или частей тела, т.е. расстояниями между ними. |
|
|
Потенциальная энергия тела, поднятого над Землей. Работа силы тяжести. |
|
|
Пусть тело свободно падает с высоты h1 над уровнем Земли на уровень h2. Тогда:
При падении сила тяжести совершает положительную работу, при движении тела вверх - отрицательную. Величину Eз = mgh называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли. |
|
|
Т.о. A = - (Ep2 - Ep1) = -DEp Работа сила тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком. Т.е., если потенциальная энергия увеличивается (тело поднимается), то сила тяжести совершает отрицательную работу и наоборот. |
Eз = mgh
A = - (Ep2 - Ep1) = -DEp |
|
Т.к. потенциальная энергия определяется координатой, то величина потенциальной энергии определяется выбором системы координат (выбором нулевого уровня). Т.е. она определяется с точностью до постоянной величины. В данной задаче удобно за точку отсчета выбирать уровень Земли. |
|
|
Если тело движется под углом к направлению вектора силы тяжести, то, как видно из рисунка, работа силы тяжести независимо от траектории определяется изменением положения тела (на рис. - высотой наклонной плоскости h). Если тело движется по произвольной траектории, то ее можно представить в виде суммы горизонтальных участков, на которых работа силы тяжести равна нулю, и вертикальных, на которых суммарная работа будет равна А=mgh. Работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определяется только начальным и конечным положением тела. На замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т.к. потенциальная энергия не меняется. |
|
|
Потенциальная энергия тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил. |
|
|
,
где r- расстояние между взаимодействующими телами. Знак "-" говорит о том, что это энергия притягивающихся тел. При сближении тел потенциальная энергия увеличивается по модулю. Работа по сближению двух астрономических объектов: .
|
|
|
Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Работа силы упругости. |
|
|
Для вывода формулы используем, что работа численной равна площади под графиком зависимости силы от координаты. При малых упругих деформациях сила упругости прямо пропорциональна абсолютной деформации (з-н Гука) - см. рис. Тогда работа при изменении деформации от х1 до х2 равна: .
|
|
|
Учитывая з-н Гука, получим:
|
|
|
Т.о., если принять за потенциальную энергию упруго деформированного тела величину ,
где k - коэффициент жесткости, а х - абсолютная деформация тела, то можно сделать вывод , что ,
т.е. работа силы при деформации тела равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятой с обратным знаком. |
|
|
Работа силы упругости зависит только от координат (начальной и конечной деформаций) тела и, следовательно, не зависит от траектории. Работа по замкнутой траектории равна нулю. |
|
|
Консервативные силы. Консервативными (сохраняющими) наз. силы, работа которых не зависит от траектории и по замкнутой траектории равна нулю (эти силы не зависят от скоростей). Примеры: гравитационные, упругие. |
|
Диссипативные силыДиссипативными (рассеивающими) наз. силы, работа которых зависит от траектории и по замкнутой траектории не равна нулю (такие силы зависят от скорости). Пример: сила трения. |
Полная энергия системы неизменна. Существуют три вида энергии-потенциальная E(формула: Eр=mgh в механике или W=qEd в электродинамике), кинетическая (формула E=m v v/2) и внутренняя. Эти энергии могут переходить друг в друга. Например с некоторой высоты к земле летит камень. . Потенциальная энергия его при этом уменьшается, а кинетическая увеличевается. Изменение кинетической энергии равно отрицательному изменению потенциальной энергии, поэтому полная энергия системы неизменна.
Но энергия никуда не исчезает-поэтому, когда камень упадёт на землю, его кинетическая энергия переходит во внутреннюю.
Молекулярная физика
*Основные положения молекулярно-кинетической теории:
1)Все вещества состоят из мельчайших частиц - атомов и молекул.
2)Молекулы и атомы любого вещества находятся в непрерывном хаотическом движении, которое называется тепловым движением. При нагревании вещества интенсивность движения частиц увеличивается.
3)Молекулы вещества взаимодействуют между собой с силами притяжения Fпр и отталкивания Fот .
r = r0 , Fот = Fпр ,
r < r0 , Fот > Fпр ,
r > r0 , Fот < Fпр ,
r , F 0.
Характер движения молекул зависит от агрегатного состояния вещества.
Движение молекул газов сводится к хаотическому поступательному движению.
Скорость молекул газов зависит от температуры.
Масса молекулы:
Молекулярная масса вещества – масса молекулы вещества, выраженная в а.е.м.
Атомная единица массы (а.е.м.) – единица массы, равная 1/12 массы атома С12.
Моль – количество вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 0,012 кг изотопа углерода С12.
Число частиц, содержащихся в моле вещества, называется числом Авогадро:
NA = 6,023 1023 моль-1
Молярная масса М – масса моля вещества.
Зная число Авогадро, можно найти значение а.е.м.
0,012 = NA 12 1 а.е.м.,
Размеры молекулы:
Линейные размеры молекул воды приблизительно равны 3 10-10 м.
* Для описания состояния термодинамической системы вводятся физические величины, которые называются термодинамическими параметрами или параметрами состояния системы. Обычно в качестве термодинамических параметров выбирают давление P, объем V и температуру T.
Температура – это макроскопический параметр, характеризующий различную степень нагретости тел. Это одна из макроскопических характеристик внутреннего состояния тел. Понятие температуры имеет смысл для равновесных состояний термодинамической системы. Равновесным состоянием (состоянием термодинамического равновесия) называется состояние системы, не изменяющееся с течением времени (стационарное состояние), причем стационарность состояния не связана с процессами, происходящими во внешней среде. Равновесное состояние устанавливается в системе при постоянных внешних условиях и сохраняется в системе произвольно долгое время. Во всех частях термодинамической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, температура одинакова.
В термодинамической шкале температур температура измеряется в кельвинах ( К ) и обозначается Т .
Соотношение, устанавливающее связь между параметрами состояния системы называется уравнением состояния термодинамической системы. Если какой либо из термодинамических параметров системы изменяется, то происходит изменение состояния системы, называемое термодинамическим процессом. Термодинамический процесс называется равновесным, если система бесконечно медленно проходит непрерывный ряд бесконечно близких термодинамических равновесных состояний. Изопроцессами называются термодинамические процессы, происходящие в системе с постоянной массой при каком либо одном постоянном параметре состояния.
Идеальным газом называется газ, молекулы которого не взаимодействуют друг с другом на расстоянии и имеют исчезающе малые собственные размеры. Состояние заданной массы m идеального газа определяется значениями трёх параметров: давления P, объёма V, и температуры Т. Соотношение, устанавливающее связь между этими параметрами, имеет вид:
PV=(m/M)RT - уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона)
где М - масса 1 моля газа, R = 8,31 Дж/мольК универсальная газовая постоянная.
Для одного моля газа уравнение состояния идеального газа примет вид:
PV/T=R=const - уравнение Клапейрона.
Рассмотрим теперь изопроцессы для идеального газа:
1)T = const – изотермический процесс.
PV = const – закон Бойля-Мариотта
2)P = const - изобарический процесс.
V/T=const закон Гей-Люссака.
3)V = const – изохорический процесс
P /T= const - закон Шарля.
Запишем уравнение состояния идеального газа в другой форме.
Введем новую постоянную величину:
- постоянная Больцмана
и перепишем уравнение Менделеева-Клапейрона в виде: PV=(m/M)NAkT
Учитывая, что (m/M)NA=N - число молекул в газе массы m, получим PV= nkT => P=(N/V)kT
Так как N/V=n - число молекул в единице объема или концентрация молекул, то P=nkT - другая форма записи уравнения состояния идеального газа.
3. Основное уравнение молекулярно – кинетической
теории газов.
Возьмем сосуд в форме куба с ребром L с газом и определим давление P газа на стенки сосуда.
1)Вдоль оси х движется одна треть всех молекул, т.е. ;
2)Удар молекул о стенку Q идеально упругий и молекулы проходят расстояние, равное размеру куба, не испытывая соударений.
Импульс силы, полученный стенкой при ударе молекулы, определим из второго закона Ньютона:
где - изменение импульса молекулы, m – масса молекулы.
Одна молекула одна молекула за время t передает стенке импульс силы
,а за время t=1сек передаёт стенке импульс силы равный F*1=2mVk,
где k – число ударов молекул за 1 сек.
Так как - промежуток времени между двумя последовательными ударами,. то K=1/t=V/2L, тогда F*1=m V2/L
Теперь подсчитаем суммарный импульс силы, который передают стенке N1 молекул, движущихся вдоль оси x, за 1 сек
средняя квадратичная скорость молекул газа
Давление, оказываемое газом на грань куба, где n – концентрация молекул. Запишем это выражение в виде:
средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
основное уравнение молекулярно-кинетической теории ( уравнение Клаузиуса )
С учетом уравнения состояния идеального газа: P=nkT
получаем выражение для средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
kT есть мера энергии теплового движения молекул.
Молекулярно- кинетическое толкование абсолютной температуры:
А. т. – есть величина, пропорциональная средней энергии поступательного движения молекул.
* Абсолю́тный нуль температу́ры (реже — абсолютный ноль температуры) — минимальный предел температуры, которую может иметь физическое тело во Вселенной. Абсолютный нуль служит началом отсчёта абсолютной температурной шкалы, например, шкалы Кельвина. В 1954 X Генеральная конференция по мерам и весам установила термодинамическую температурную шкалу с одной реперной точкой — тройной точкой воды, температура которой принята 273,16 К (точно), что соответствует 0,01 °C, так что по шкале Цельсия абсолютному нулю соответствует температура −273,15 °C.
* Термодинамическое равновесие — состояние системы, при котором остаются неизменными по времени макроскопические величины этой системы (температура, давление, объём,энтропия) в условиях изолированности от окружающей среды. В общем, эти величины не являются постоянными, они лишь флуктуируют (колеблются) возле своих средних значений. Если равновесной системе соответствует несколько состояний, в каждом из которых система может находиться неопределенно долго, то о системе говорят, что она находится в метастабильном равновесии. В состоянии равновесия в системе отсутствуют потоки материи или энергии, неравновесные потенциалы (или движущие силы), изменения количества присутствующих фаз. Отличают тепловое, механическое, радиационное (лучистое) и химическое равновесия. На практике условие изолированности означает, что процессы установления равновесия протекают гораздо быстрее, чем происходят изменения на границах системы (то есть изменения внешних по отношению к системе условий), и осуществляется обмен системы с окружением веществом и энергией. Иными словами, термодинамическое равновесие достигается, если скорость релаксационных процессов достаточно велика (как правило, это характерно для высокотемпературных процессов) либо велико время для достижения равновесия (этот случай имеет место в геологических процессах).
2