Билет 1. 1) Элементы симметрии кристаллических многогранников. Плоскость симметрии — плоскость, при зеркальном отражении в которой, фигура совмещается сама с собой. Поворотная ось симметрии —прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой.. Центр симметрии (центр инверсии, центр обратного равенства) — воображаемая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая прямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях. Симметричное преобразование в центре симметрии — это зеркальное отражение в точке.. Инверсионная ось симметрии — совместное действие оси вращения и одновременного отражения (инверсии) в центре симметрии. Плоскости симметрии, оси симметрии простые и инверсионные, центр симметрии обнаруживаются в кристаллах в различных сочетаниях. Теорема Эйлера (осевая) При наличии двух пересекающихся осей симметрии присутствует третья ось,  равнодействующая им и проходящая через точку их пересечения.                                                                  Следствие: Если есть ось n-порядка и перпендикулярная ей ось 2 порядка, то осей 2 порядка будет n.              Ln + ┴L2 = nL2                                                                                                                                                                            Теорема о плоскостях Линия пересечения двух плоскостей симметрии есть простая ось симметрии,  равнодействующая им, с элементарным углом поворота – вдвое большим.   Следствие: Если есть параллельные ось и плоскость, то через ось будет проходить столько плоскостей, каков ее порядок.        Ln + ll m = nm                                                                                                                                                        Теорема об инверсионных осях Через точку пересечения оси второго порядка и плоскости симметрии (пересекающихся под углом λ) будет проходить инверсионная ось симметрии,  равнодействующая им, с элементарным углом поворота α = 180 - 2λ.                                                                                                                      Следствие: Если есть инверсионная ось симметрии n-порядка и параллельная ей плоскость, то будет присутствовать перпендикулярная ось второго порядка,  причем число L2 и m будет равно порядку простой оси, содержащейся в инверсионной.        Li3 + ll m = 3ll m + 3┴L2                                                                                            Теорема о центре инверсии (четных осях симметрии) При наличии оси симметрии четного порядка и центра инверсии, в кристалле будут плоскости зеркального отражения,  перпендикулярные оси, причем число плоскостей будет равно числу осей четного порядка.                                                                                                    Следствие:   m + С = ┴L2n            L2n + C = L2nmC          L2 + C = L2mC         L4 + C = L4mC           L6 + C = L6mC

Билет 2. Кристаллографические проекции.Сингонии. Характеристика сингоний по единичным направлениям. Разные виды симметрии существенно различаются по степени симметричности. Можно 32 вида симметрии сгруппировать в три категории – низшую, среднюю и высшую. К низшей категории будем относить виды симметрии, не содержащие осей симметрии высшего порядка (т.е. порядка выше второго). К средней категории относятся виды симметрии, имеющие одну ось симметрии высшего порядка. В высшую категорию попадают высокосимметричные кристаллы с несколькими осями симметрии высшего порядка .Далее, внутри категорий можно провести дальнейшую группировку видов симметрии, выделяя 7 сингоний. Сингония  - одно из подразделений кристаллов по признаку формы их элементарной ячейки.  Низшая категория: триклинная ( ось 1-го порядка), моноклинная (одна ось 2-го порядка), ромбическая ( три препендикулярных оси 2-го порядка); Средняя категория: тригональная (одна ось 3-го порядка), тетрагональная ( одна ось 4-го порядка), гексагональная ( одна ось 6-го порядка); Высшая категория: кубическая ( 4 оси 3-го порядка);  

Билет 3Вывод видов симметрии низшей категории. Триклинная: Примитивный(L1) ; Иневерсионно-примитивный( L1 C); Моноклинная: Примитивный (L2); Инверсионно-примитивный (Li2 {m}); Центральный ( L2 C m ) ; Ромбическая: Планальный(L2 2m) ; Аксиальный(3L2); Аклиально-центральный (3L2 3m C)

Билет 4. Вывод видов симметрии тетрагональной сингонии. Примитивные – одна поворотная ось симметрии порядка  4 .Инверсионно-примитивные – одна инверсионная ось симметрии порядка  4(содержит L2).Планальные – поворотная ось симметрии порядка  4 и проходящая через нее плоскость симметрии(L4 4m).Инверсионно-планальные–инверсионная ось симметрии порядка  n и проходящая через нее плоскость симметрии(Li42L22m).Аксиальные – поворотная ось симметрии порядка  n и перпендикулярная ей поворотная ось симметрии второго порядка.(L44L2, т.к они перпендикулярны поэтому 4L2).Центральные - поворотная ось симметрии порядка n и центр инверсии.(L4Cm). Аксиально-центральные – набор элементов симметрии аксиального семейства и центр инверсии.(L44L2C5m+5м, т.к сумма осей четного порядка)

Билет 5.Вывод видов симметрии тригональной сингонии. Примитивные – одна поворотная ось симметриипорядка  n.Инверсионно-примитивные – одна инверсионная ось симметрии порядка  n(Li3).Планальные – поворотная ось симметрии порядка  n и проходящая через нее плоскость симметрии(L33m).Инверсионно-планальные–инверсионная ось симметрии порядка  n и проходящая через нее плоскость симметрии(Li33L2C3m).Аксиальные – поворотная ось симметрии порядка  n и перпендикулярная ей поворотная ось симметрии второго порядка(L33L2).

Билет 6. Вывод видов симметрии гексагональной сингонии. Показатель гексагональной сингонии – одна главная ось 6-го порядка. Примитивный вид – L6. Добавляем перпендикулярную к оси плоскость – получаем инверсионную ось 6-го порядка(по теореме сложения об инверсионных осях) – Инверсионно-примитивный вид Li6. Добавляем центр – центральный вид L6Cm. К набору инверсионно-примитивного вида добавляем перпендикулярную к данной плоскости плоскость, проходящую через ось 6-го порядка,  плоскость размножается осью, получается три плоскости, а по теореме сложения на каждом пересечении 2-ух плоскостей образуется по оси 2-го порядка – инверсионно-планальный вид Li63L23m. К примитивному виду добавляем две взаимноперпендикулярные плоскости, осью плоскости размножаются – планальный вид L66m. К примитивному виду добавляем две взаимноперпендикулярные L2, осью L6 они  размножаются – аксиальный вид L66L2. К L6 добавляем центр и две взаимоперпендикулярные прямые L2Осью прямые размножаются, а т.к. существует цент, то кол-ко осей четного порядка равно кол-ву плоскостей – аксиально-центральный вид L6 6L2C7m.

Билет 7. Вывод кубич. Сингонии.  Признак куб сингонии – 4L3. 4L3 + L2 получается 3 L2 4 L3, так как оси 2-го порядка размножаются осями 3-го – Примитивный вид. Набор элементов симметрии инв-прим и центрального вида одинаковы 3L24L3C3m. Так как в первом случае мы добавляем инверсионную ось, а во втором центр (Li2=L2+C)

Билет 8.  Простые формы низшей категории. Простая форма – это совокупность граней, связанных друг с другом элементами симметрии кристалла.

Моноэдр (одногранник) – грань, не размножаемая элементами симметрии либо в силу их отсутствия (примитивный вид симметрии триклинной сингонии), либо из-за особого положения (перпендикулярно единственной полярной оси симметрии порядка n).

Диэдр (двугранник) – две грани, пересекающиеся в общем ребре и образующие «двускатную крышу». Грани диэдра могут быть связаны осью симметрии L2, перпендикулярной общему ребру (осевой диэдр) или плоскостью симметрии, проходящей через ребро (плоскостной диэдр).

Пинакоид (греч. пинакс – доска) две равные и параллельные грани (частая ошибка – относить к пинакоиду два параллельных, но не равных, или даже равных, но не связанных элементами симметрии  моноэдра).

Ромбическая призма. Поперечные сечения  -  ромб. грани призмы параллельны одной из осей второго порядка. Ромбические призмы возможны также в центральном виде симметрии моноклинной сингонии, но грани их наклонны к оси симметрии второго порядка.

Ромбические Пирамиды – сложены гранями, пересекающимися в одной точке (вершине), которая лежит на оси симметрии. Вершина может быть обращена либо вверх, либо вниз относительно плоскости проекции. Соответственно, проекции граней – либо только кружки, либо только крестики. Поперечное сечение – ромб.

Ромбические Дипирамиды. Эту форму можно рассматривать как две пирамиды, сложенные основаниями. Вершины двух пирамид лежат на одной оси симметрии. Нижние грани находятся точно под верхними и связаны с ними плоскостью симметрии, совпадающей с плоскостью общего основания, либо осями второго порядка, лежащими в этой плоскости. На стереограмме проекции верхних и нижних граней совпадают (крестики в кружках). . Поперечное сечение – ромб.

Ромбические Тетраэдры - замкнутые четырехгранники, сложенные треугольными гранями так, что каждая нижняя грань лежит между двумя верхними, и наоборот, каждая верхняя грань – между двумя нижними (несимметрично). В ромбическом тетраэдре эти горизонтальные ребра не перпендикулярны друг другу, а грани – разносторонние треугольники. Смежные верхняя и нижняя грани связаны горизонтальными осями второго порядка, проходящими через середины общих ребер.

Билет 9. Частные простые формы куб сингонии.  Вид называется по частной форме. В кубической сингонии встречается 5 частных форм. В примитивном виде – пентагонтритетраэдр, в центральном – дидодекаэдр, в инверсионно-планальном – гексатетраэдр, в аксиальном – пентагонтриоктаэдр, в аксиально-центральном – гексоктаэдр.

Билет 10. Простые формы тригональной сингонии.

Тригональные  Призмы 

Тригональная Пирамида 

Дитригональная пирамида

Тригональная дипирамида.

Дитригональная дипирамида -

Тригональный Трапецоэдр

Тригональный Скаленоэдр 

Ромбоэдр 

Билет 11. Простые формы тетрагональной сингонии.

Тетрагональные  Призмы –

Тетрагональная Пирамида –Дитетрагональная пирамида

Тетрагональная дипирамида.

Дитетрагональная дипирамида  

тетрагональный Трапецоэдр.

Тетрагональный Скаленоэдр 

Тетраэдры тетрагональный 

Билет 12. ) Простые формы гексагональной сингонии.

гексагональные

 Призмы –Дигексагональная призма гексагональная Пирамида –

Дигексагональная пирамида - гексагональная дипирамида.

Дигексагональная дипирамида

Гексагональный Трапецоэдр.

Билет 13. Общие простые формы кристаллов кубической сингонии.  Основные простые формы кубических кристаллов – это простейшие кристаллографические фигуры с несколькими осями высшего порядка. Куб (гексаэдр), октаэдр, тетраэдр, ромбододекаэдр.  Общие простые формы кристаллов кубической сингонии: гексаоктаэдр (октагексаэдр), гексатетраэдр, дидодекаэдр, пентагон-триоктаэдр, пентагон-тритетраэдр.

Билет 14. Производные куба {hk0}: тригон-тетрагексаэдр (пирамидальный куб, двадцатичетырехгранник), пентагон-додекаэдр (пентагон-дигексаэдр, двенадцатигранник), ромбододекаэдр.

Билет 15. Частные простые формы куб сингонии.  Вид называется по частной форме. В кубической сингонии встречается 5 частных форм. В примитивном виде – пентагонтритетраэдр, в центральном – дидодекаэдр, в инверсионно-планальном – гексатетраэдр, в аксиальном – пентагонтриоктаэдр, в аксиально-центральном – гексоктаэдр.

Билет 16. Кристаллическое состояние. Пространственная решетка. Кристалл – это твёрдое однородное анизотропное тело, способное в определённых условиях самоограняться. Кристаллическое состояние вещества – это трёхмерная периодичность расположения одинаковых материальных  частиц в пространстве. Если рассматривать эту особенность на примере кристалла, состоящего из частиц одного сорта. Частицы расположены на одинаковом расстоянии, отсюда – «узловой ряд». Это мы можем наблюдать на трёхмерной пространственной решётке (если существует трансляция в третьем направлении). Каждый узел этой решётки бесконечно повторяется в трёх направлениях, лежащих  в одной плоскости трансляции. Из трёхмерно-периодичного строения следуют основные макроскопические свойства кристаллов: однородность, анизотропность, способность самоограняться, дифракция. Определение кристаллического состояния должно базироваться на микроструктуре кристаллического вещества, отличной от других состояний структуры вещества. Кристалл – это твёрдое тело, имеющее трёхмерно-периодическое строение и дающее дискретную дифрактограмму. Кристалли́ческая структу́ра — такая совокупность атомов, в которой с каждой точкой кристаллической решётки связана определённая группа атомов, называемая мотивной единицей, причем все такие группы одинаковые по составу, строению и ориентации относительно решётки. Можно считать, что структура возникает в результате синтеза решётки и мотивной единицы, в результате размножения мотивной единицы группой трансляции. Основными параметрами, характеризующими кристаллическую структуру, некоторые из которых взаимосвязаны, являются следующие: тип кристаллической решётки (сингония, решётка Браве); число формульных единиц, приходящихся на элементарную ячейку; пространственная группа; параметры элементарной ячейки (линейные размеры и углы); координаты атомов в ячейке; координационные числа всех атомов. Пространственная, или трехмерная решетка образуется из параллельно расположенных в пространстве и связанных между собой плоскостей, которые, в свою очередь, состоят из параллельно расположенных рядов частиц. Расстояние между частицами называется периодом решетки. В кристаллографии за структурную единицу принимается элементарная ячейка пространственной решетки, которая занимает минимально возможный объем и обладает всеми свойствами трехмерной кристаллической решетки. Элементарная ячейка кристаллической решетки считается определенной, когда известна природа и положение частиц, образующих кристалл, длина ребер a, b, с и величина углов α, β и γ между гранями ячейки

Билет 17. Плотнейшие упаковки в кристаллических структурах. Для устойчивости кристаллической структуры должно соблюдаться одно важное условие: постройка из атомов ионов или молекул должна обладать минимальной внутренней энергией. Наименьшей внутренней энергией обладают структуры, в которых частицы максимально сближены друг с другом или иными словами плотно упакованы. Если взять шарики одинакового размера, то наибольшее количество шариков можно уместить в данный объем, если расстояния между соседними частицами будут равны удвоенному радиусу частиц. Способ заполнения пространства шарами одинакового радиуса, при котором расстояния между центрами частиц минимальны, называются плотнейшими упаковками. В плоском слое шаров, плотнейшим образом  прилегающих друг к другу, каждый шар соприкасается с шестью шарами и окружён шестью лунками (пустотами). Над лункой первого слоя находится шар второго слоя – тетраэдрическая пустота (Т); пустота второго слоя находится над  пустотой первого слоя – октаэдрическая пустота (О); Число О равно числу шаров, а число пустот вдвое больше. Бывают двухслойные, трёхстойные. Число ближайших соседей, окружающих данную частицу в структурах кристаллов называется координационным числом.Типы химической связи в кристаллах. В зависимости от природы частиц и от характера сил взаимодействия различают четыре вида химической связи в кристаллах: ковалентную, ионную, металлическую и молекулярную. Ионная связь.В узлах кристаллической решётки помещаются положительно и отрицательно заряженные ионы.Силы взаимодействия между узлами являются в основном электростатическими (кулоновскими). Связь между такими частицами называется гетерополярной или ионной. Металлическая связь. Особый тип связи, характерный для металлов и металлидов. Во всех узлах кристаллической решётки расположены положительные ионы металла. Между ними беспорядочно, подобно молекулам газа, движутся валентные электроны, отщепившиеся от атомов при образовании ионов. Эти электроны играют роль цемента, удерживая вместе положительные ионы; в противном случае решётка распалась бы под действием сил отталкивания между ионами. Вместе с тем и электроны удерживаются ионами в пределах кристаллической решётки и не могут её покинуть. Силы связи не локализованы и не направлены. Молекулярная связь. В узлах кристаллической решётки помещаются определённым образом ориентированные молекулы. Силы связи между молекулами в кристалле имеют ту же природу, что и силы притяжения между молекулами, приводящие к отклонению газов от идеальности. По этой причине их называют ван-дер-ваальсовскими силами.

17 продолжение.

Водородная связь. Особая разновидность молекулярной связи — водородная связь. При определённых условиях атом водорода может быть связан довольно прочно с двумя другими атомами. Имея лишь одну стабильную орбиталь, атом водорода способен образовывать только одну ковалентную связь. Эта связь может, однако, резонировать между двумя положениями. Наибольшее значение имеют те водородные связи, которые образуются между двумя сильно электроотрицательными атомами, в особенности между атомами азота, кислорода и фтора. Наиболее сильные связи соединяют ион с его ближайшими соседями. Число таких ближайших соседей называется координационным числом. Рассматривая ионы как соприкасающиеся сферы, легко понять, что координационное число зависит от размеров координированных ионов, выражающихся отношением радиуса катиона к радиусу аниона (Rk:Ra). Если это отношение близко к единице, то ионы располагаются в структуре в соответствии с законами плотнейшей упаковки: гексагональной (2х-слойной) или кубической (3х-слойной). Число формульных единиц (Z) соответствует числу атомов приходящихся на одну элементарную ячейку. Для простых веществ, состоящих из атомов одного элемента (Cu, Al и др.) число формульных единиц равно числу атомов в ячейке Бравэ. Для простых молекулярных веществ (I2 и др.) и молекулярных кристаллов (H2O и др.) число формульных единиц равно числу молекул в элементарной ячейке. В ионных кристаллах (NaCl и др.) и интерметаллидах (CuAu и др.) рассчитывается суммарное число формульных единиц на одну элементарную ячейку.Число формульных единиц определяется экспериментально при рентгеновском исследовании вещества.Решётки Браве:

ГранецентрированнаяОбъёмноцентрированнаяБазоцентрированнаяПримитивная