Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

темах управления и телекоммуникаций Выпуск 3 М

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 20.5.2024

Федеральное агентство морского и речного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Волжская государственная академия водного транспорта»

Кафедра информатики, систем управления

и телекоммуникаций

Серия «Информационные технологии

в системах управления и телекоммуникаций»

Выпуск 3

М.М. Чиркова

Сборник тестовых задач

по теории автоматического управления

Методическое пособие

для студентов очного и заочного обучения

технических специальностей

Ответственный редактор – Ю.С. Федосенко

Нижний Новгород

Издательство ФГОУ ВПО «ВГАВТ»

2010

УДК 681.5

Ч64

Редакционная коллегия серии «Информационные технологии в системах управления и телекоммуникаций»:

Ю.С. Федосенко – д.т.н., профессор;

М.М. Чиркова – д.т.н., профессор;

В.И. Логинов – к.т.н., доцент;

А.В. Преображенский – к.т.н., доцент

Чиркова, М.М.

Сборник тестовых задач по теории автоматического управления : метод. пособие для студ. оч. и заоч. обучения технич. специальностей / М.М. Чиркова ; отв. ред. Ю.С. Федосенко. – Н. Новгород : Изд-во ФГОУ ВПО «ВГАВТ», 2010. – 32 с.

Изложены примеры решения задач по основным темам теории автоматического управления (линейные системы). Пособие может быть использовано при проведении практических занятий, контрольных работ, тестовых опросах студентов.

Для студентов технических специальностей дневного и заочного обучения.

Работа рекомендована к изданию кафедрой информатики, систем управления и телекоммуникаций (протокол № 5 от 21.05.2009 г.).

Введение

Навык решения задач по теории автоматического управления необходим для более глубокого понимания материала, излагаемого в лекционном курсе ТАУ. Нельзя проектировать систему управления состоянием технического объекта, не прибегая к моделированию динамики системы и её элементов с использованием их математических моделей (уравнений динамики). Основные вопросы, которые решаются с помощью моделей: построение статических и динамических характеристик элементов, узлов, системы; построение областей устойчивости в области тех параметров регулятора, выбор которых (или перенастройка в процессе эксплуатации) возможен на этапе проектирования. Под собственными параметрами понимают коэффициенты передачи (ki), инерционные свойства элементов системы (Ti).

При расчетах исходным является уравнение динамики вынужденных движений системы (элемента, узла), связывающее координаты состояния yi и их производные dyi/dt, d2yi/dt2, … (иногда их не очень удачно называют «переменные параметры») с собственными параметрами системы (ki, Ti,) и с внешними воздействиями X(t) (1). Внешние воздействия подразделяют на два типа – задающие, или управляющие, и возмущающие. Для первого типа воздействий обычно используют обозначения U или Y0. Для второго типа – F (отражает состояние внешней среды, влияющей на работу объекта управления) или N (нагрузка, подключенная к объекту, например, ток нагрузки на шинах генератора).

(1)

где n – порядок дифференциального уравнения. Высокий порядок уравнения (n > 3) не только усложняет расчеты, но и указывает на сложную динамику системы. Полное уравнение динамики (1), когда Х(t) ≠ 0 (правая часть уравнения (1)), используют для построения как статических характеристик системы, так и вынужденных движений системы.

Для построения статических характеристик, что возможно только после оценки устойчивости системы (способности возвращаться в исходное состояние после кратковременного воздействия помех), используют уравнение статики, когда все производные координаты состояния в уравнении (1) зануляют:

, (2)

где ycт – установившееся (статическое) значение координаты состояния;

k1/a3 – коэффициент чувствительности к задающему (или управляющему) воздействию;

k2/a3 – коэффициент чувствительности к нагрузке (или изменению состояния внешней среды).

В том случае, когда реакция каждого элемента системы прямо пропорциональна воздействию и реакция на сумму воздействий равна сумме реакции на каждое воздействие, систему называют линейной. Полученное выше уравнение статики справедливо для линейных устойчивых систем.

Динамику линейных систем проще оценить по собственным движениям системы – возврат в исходное состояние после кратковременного изменения какого-либо из воздействий (F, N). В этом случае используют уравнение собственных движений системы, (когда в (1) Х(t) = 0), и отличные от нуля начальные условия – отклонения координат состояния от исходного значения, которое возникло из-за кратковременного воздействия помехи.

(3)

Уравнение собственных движений системы (3) необходимо для получения характеристического уравнения (4) и расчета его корней.

(4)

Вид корней (действительные или комплексные) и значение действительной и мнимой составляющей зависят от собственных параметров (ki, Ti) и полностью определяют характер (динамику) устройства: носят ли процессы в устройстве колебательный характер или апериодический, как быстро затухают процессы и затухают ли они вообще.

В данном пособии рассматривается несколько типов задач, решение которых отвечает на поставленные вопросы.

ТЕМА 1. Расчет (или оценка) собственных движений

системы

Пример 1

Дано уравнение динамики (математическая модель) собственных движений системы:

. (1)

Требуется оценить вид собственных движений системы.

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

, в общем виде

Знак и величина действительной части комплексного корня характеризует скорость затухания (при Re < 0) или расхождения (при Re > 0) процесса. Величина мнимой части определяет частоту собственных колебаний. При комплексных корнях решение уравнения (1) записывается в виде

Допустим, для конкретных значений имеем следующие корни: тогда решение исходного дифференциального уравнения примет вид

(2)

Для нахождения константы С1 используем одно из начальных условий:

y(0) = –1. Подставив t = 0 в (2), получим

(3)

Для нахождения С2 воспользуемся вторым начальным условием. Для этого продифференцируем по t уравнение (2):

(4)

Используя начальные условия: , перейдем от (4) к (5):

(5)

В полученное уравнение подставим выражение (3):

или

Воспользуемся таблицей тригонометрических функций (приложение 1):

Таким образом, уравнение (2) собственного движения системы запишется в виде

(6)

Решение (6) можно построить по точкам, меняя t от 0 и до…..? и используя данные таблицы функций, или оценить вид процесса y(t) качественно. Проведем качественный анализ процесса. По корням характеристического уравнения можно оценить частоту или период собственных колебаний (т.к. корни имеют мнимую составляющую) и время их затухания (т.к. действительная составляющая корня – отрицательная величина).

Определим точки пересечения функции с осью времени. Примем аргумент за x, тогда

Это дает значения t = 1; 3,85; 6,6;…, т.е. период колебаний Т ≈ 5,7 c. Период колебаний можно оценить и по величине мнимой части корня:

Огибающая функции определяется затухающей экспонентой . Если учесть, что , то можно оценить длительность процесса затухания собственных движений системы – tк. При t ≈ 6 с , следовательно, .

Рис. 1. Компоненты и общий вид собственного движения системы

Пример 2

Дано уравнение движения:

(1)

Решение. Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:

тогда

(2)

Воспользуемся начальными условиями:

(3)

Продифференцируем уравнение (2)

Используя начальные условия по производной, получим

(4)

Решая совместно (3) и (4), получим С1 = –2 , С2 = 3. Следовательно, решение дифференциального уравнения примет вид

(5)

Первая экспонента начинается в т. y = –2 и затухнет через t ≈ 1,5 c. Вторая экспонента начинается в т. y = 3 и затухнет через t ≈ 3 c.

Рис. 2. Компоненты и общий вид собственного движения системы

Для выполнения контрольной работы по первой теме в табл. 1 даны значения коэффициентов уравнения динамики собственных движений системы и начальные условия. Для всех вариантов задач уравнение динамики системы – линейное дифференциальное уравнение второго порядка (приложение 2, стр. 28).

Задания

1. Записать характеристическое уравнение системы и найти корни уравнения.

2. По значениям действительной и мнимой составляющей корня определить: устойчивый или неустойчивый процесс, если процесс устойчивый, рассчитать время затухания процесса и частоту собственных колебаний. Если процесс неустойчивый, определить частоту собственных колебаний и построить первые два периода.

3. Представить график собственных движений элементов системы.

Таблица 1. Значение коэффициентов модели и начальных условий y(0) и dy(0)/dt

№ варианта			y(0)
0	1	1,4	1	1
1	1	0,9	–1	1
2	1	0,5	1	1
3	1	–1,4	–1	1
4	1	–0,9	1	1
5	1	–0,5	–1	1
6	0,1	1,4	1	1
7	0,1	0,9	–1	1
8	0,1	–1,4	1	1
9	0,1	–0,9	–1	1

ТЕМА 2. Оценка вида вынужденных

движений системы (элемента системы)

Пример.

Дано: дифференциальное уравнение типового звена и нулевые начальные условия:

(1)

Примечание. Входной сигнал x(t) имеет сложную форму, которую можно считать суммой единичных ступенек х1 + х2 + х3, например:

В рассматриваемом примере изменения входного воздействия x(t) возникают в моменты времени t = 0 и t = 4 c.

Требуется представить качественный вид реакции звена на изменение входного сигнала: 1) оценить установившееся значение выходного сигнала; 2) определить длительность переходного процесса; 3) определить количество колебаний за время переходного процесса.

Решение. Для линейной системы справедлив принцип суммирования реакций на входные воздействия, т. е. y(t) = y1(t) + y2(t), где y1(t) – реакция на x1, а на x2.

Запишем уравнения динамики для каждого из воздействий. Допустим, звено имеет следующие параметры (причем чувствительность к воздействиям у звена разная):

;

и .

Оценим установившееся значение выходной координаты. Для устойчивых линейных систем справедливо утверждение:

Таким образом, уравнения статики (yт(t)|t→∞) примет вид

Установившееся значение выходной координаты:

Оценим длительность переходного процесса – реакции на каждое из воздействий. Длительность процесса (как и длительность собственных движений системы) определяется по величине реальной части корней характеристического уравнения. Таким образом, определив корни характеристического уравнения, мы сможем оценить длительность переходного процесса (tпп.) и количество колебаний за tпп. Запишем дифференциальное уравнение собственных движений, для этого приравняем правую часть уравнения (1) к нулю:

(2)

Характеристическое уравнение:

(3)

Корни характеристического уравнения:

Время затухания процесса определяется реальной частью , а частота колебаний – мнимой частью корня Так как решение уравнения (2) записывается в виде

то огибающая функции C1sin(0,6 ∙ t + С2) определяется затухающей экспонентой . Если учесть, что , то можно оценить длительность процесса затухания собственных движений системы tпп. Это произойдет приблизительно через 4,5 с после появления отклонения y(t) от исходного принятого за ноль значения. Так как второе воздействие возникло при t = 4 с, то к моменту t ≈ 8,5 с переходные процессы закончатся. Таким образом, tпп ≈ 8,5 с.

Оценим колебательность процесса. Если величина действительной части комплексного корня характеризует скорость затухания (расхождения) процесса, то величина мнимой части определяет частоту собственных колебаний – ω.

Так как реакции, как на первое, так и второе воздействия, длятся 4,5 с, то за время реакции можно наблюдать приблизительно полпериода собственных колебаний (рис. 3, 4).

Рис. 3. Компоненты вынужденных движений

Общая реакция: y(t) = y1(t) + y2(t)

Рис. 4. Общий вид вынужденных движений

Задания

1. Определить установившееся значение выходной координаты, используя уравнение статики элемента.

2. Записать характеристическое уравнение и найти его корни.

3. По значениям действительной и мнимой составляющей корня определить: устойчивый или неустойчивый процесс. Если процесс устойчивый, то рассчитать время затухания процесса и частоту собственных колебаний. Если процесс неустойчивый, определить частоту собственных колебаний и построить первые два периода.

4. Представить график реакции элемента на изменение входного сигнала.

В табл. 2 даны варианты заданий, вид воздействия и тип исследуемого звена.

Таблица 1. Варианты заданий

(уравнения динамики звеньев даны в приложении)

№

вар.

Тип звена

Параметры звена

Вид воздействия

Инерционно- дифференцирующее

Продолжение табл. 2

№ вар.	Тип звена	Параметры звена	Вид воздействия
2	Интегрирующее	T = 1
3	Интегрирующее	T = 0,5
4	Инерционное (апериодическое 1-го порядка)	k =10 T =3
5	Инерционное (апериодическое 1-го порядка)	k =2 T =0,5

Окончание табл. 2

№ вар.	Тип звена	Параметры звена	Вид воздействия
6	Апериодическое 2-го порядка	k = 2 = 1 T2 = 2
7	Апериодическое 2-го порядка	k = 1 = 16 T2 = 8
8	Колебательное	k = 2 = 1 T2 = 1
9	Колебательное	k = 2 = 2 T2 = 2

ТЕМА 3. Нахождения области допустимого

сочетания параметров, обеспечивающих

устойчивость системы

Пример 1

На рис. 5 дана структурная схема системы и значения параметров звеньев (ki, Ti ).

Рис. 5. Структурная схема системы управления

Требуется определить область устойчивости системы (или область отсутствия собственных колебаний в системе, если порядок характеристического уравнения n < 3) в плоскости параметров x1 – x2 методом Раусса – Гурвица.

В данном примере область устойчивости определяется в плоскости параметров К1 и Кос , т.е. x1 = К1, x2 = Кос, остальные приняты равными 1.

Решение

1. Запишем передаточную функцию 1-го блока (параллельное соединение элементов):

2. Запишем передаточную функцию 3-го блока (элемент охвачен отрицательной обратной связью):

3. Запишем передаточную функцию трех последовательно соединённых блока – :

4. Запишем выражение для расчёта передаточной функции замкнутой системы

5. В выражение для вывода характеристического уравнения замкнутой системы

подставим значения передаточных функций:

6. Приведём дробь к общему знаменателю и приравняем числитель к нулю:

(1)

где

7. Запишем необходимое условие устойчивости по критерию Раусса – Гурвица:

все , ( i = 0,1,2,…n, для рассматриваемого случая n = 3).

Для уравнения (1) имеем

, при любых значениях К1 и Ко с ,

, при любых К1 и Ко с ,

, при ,

при и ,

или ,.

На рис. 6, 7 построены границы области устойчивости, удовлетворяющие необходимым условиям критерия.

Рис. 6. Области, где выполняются условия: а2 > 0 (область А) и а3 > 0 (области В и С)

Рис. 7. Области, удовлетворяющие необходимым условиям Раусса – Гурвица

8. Запишем достаточное условие критерия Раусса – Гурвица. В найденных областях В и С1 для уравнения 3-го порядка достаточным условием является положительность определителя Гурвица, составленного из коэффициентов аi характеристического уравнения:

, т.е.

(2)

Подставив значения в (2), имеем:

(3)

Равенство левой и правой частей даёт уравнение границы, а знак “≤” – допустимую область сочетания параметров (рис. 8).

Рис. 8. В1 и С2 – области допустимого сочетания параметров, внутри

которых выполняются необходимые и достаточные условия устойчивости

Пример 2

На рис. 9 дана структурная схема системы.

Требуется найти область допустимых значений параметров x1 – x2, при которых система устойчивая и собственные движения системы носят апериодический (неколебательный) характер (рис. 9).

Рис. 9. Структурная схема системы

Решение

1. Запишем передаточную функцию 1-го блока (параллельное соединение звеньев):

2. Запишем передаточную функцию 3-го блока (элемент, охваченный отрицательной обратной связью):

3. Запишем передаточную функцию трёх последовательно соединённых блоков:

4. Запишем выражение для расчёта передаточной функции замкнутой системы

5. В выражение для вывода характеристического уравнения замкнутой системы

подставим значения передаточных функций:

(1)

6. Выделим искомые параметры х1 и х2, остальные положим равными 1. Допустим , . Для этого случая уравнение (1) примет вид:

(2)

7. Уравнение (2), приведя к общему знаменателю и приравняв числитель дроби к нулю, приведём к виду:

(3)

Для оценки устойчивости системы, когда характеристическое уравнение имеет порядок < 3, достаточно проверить выполнение необходимого условия критерия Раусса – Гурвица, т.е. все коэффициенты должны быть > 0. Для рассматриваемого случая это условие выполняется, если

(4)

Границы допустимой области показаны на рис. 10.

Рис. 10. Границы допустимой области

8. Колебательность системы определяется по наличию комплексных корней характеристического уравнения:

Корень будет иметь мнимую составляющую (а система будет склонна к колебаниям), если дискриминант (подкоренное выражение) меньше нуля.

9. Запишем условие отсутствия колебаний:

(5)

При равенстве левой и правой части получим уравнение для построения границы области отсутствия колебаний.

10. Решим уравнение (5) относительно параметра, например, k1.

(6)

Графическое решение уравнения (6) с учетом (4) дает область отсутствия колебаний (B) в области устойчивости системы (A).

Задания

1. Построить области устойчивости в плоскости двух параметров х1 – х2 (табл. 3).

Примечание: если порядок характеристического уравнения n = 2, то находить и область устойчивости, и область отсутствия колебаний, если n = 3, то только область устойчивости.

Для курсовых работ студентов заочного отделения.

2. Зафиксировав один из параметров, например Х1, построить область устойчивости в плоскости 1-го параметра – Х2.

Таблица 3. Варианты задания, изменяемые параметры х1 – х2

и структурные схемы

№ вар-та

и пара-метры

х1–х2

Структурная схема системы

к1 –кос1

Продолжение табл. 3

№ вар-та и пара-метры х1–х2	Структурная схема системы
1 к3 – к4
2 к1 – кос
3 к1 – к3
4 к1 – к2
5 к2 –Т2

Окончание табл. 3

№ вар-та и пара-метры х1–х2	Структурная схема системы
6 к1 – к3
7 к1 –кос
8 к2 –Т3
9 к3 – к4

Библиографический список

1. Воронов, А.А. Теория автоматического управления : учеб. для вузов / А.А. Воронов, Д.П. Ким, В.М. Лохин. – М. : Высшая школа, 1986. – 476 с.

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования : учеб. для вузов / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – М. : Наука, 1975. – 370 с.

3. Иващенко, Н.Н. Автоматическое регулирование : учеб. для вузов / Н.Н. Иващенко. – М. : Машиностроение, 1978. – 736 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Таблица функций

Параметр	Функции
Х	sin(x)	cos(x)	tg(x)
0	0	1	0	1	1
0,1	0,099	0,99	0,1	1,10	0,90
0,2	0,20	0,98	0,2	1,22	0,82
0,3	0,30	0,95	0,3	1,35	0,74
0,4	0,40	0,92	0,4	1,49	0,67
0,5	0,50	0,88	0,5	1,65	0,60
0,6	0,56	0,82	0,7	1,82	0,55
0,7	0,64	0,76	0,8	2,01	0,49
0,8	0,72	0,69	1,0	2,22	0,45
0,9	0,78	0,62	1,2	2,46	0,40
1	0,84	0,54	1,5	2,72	0,37
1,1	0,90	0,45	1,9	3,00	0,33
1,2	0,93	0,36	2,6	3,32	0,30
1,3	0,96	0,26	3,6	3,67	0,27
1,4	0,98	0,17	5,8	4,05	0,24
1,5	0,99	0,07	14,1	4,48	0,22
1,6	1,00	–0,03	–34,2	4,95	0,20
1,7	1,01	–0,13	–7,7	5,47	0,18
1,8	0,97	–0,23	–4,3	6,05	0,16
1,9	0,95	–0,32	–2,9	6,68	0,15
2	0,91	–0,41	–2,1	7,39	0,13
2,1	0,86	–0,50	–1,7	8,16	0,12
2,2	0,81	–0,59	–1,3	9,02	0,11
2,3	0,74	–0,66	–1,1	9,97	0,10
2,4	0,67	–0,74	–0,9	11,02	0,09
2,5	0,60	–0,80	–0,7	12,18	0,08
2,6	0,51	–0,85	–0,6	13,46	0,07
2,7	0,43	–0,90	–0,5	14,88	0,06
2,8	0,33	–0,94	–0,3	16,44	0,06
2,9	0,24	–0,97	–0,2	18,17	0,05
3	0,14	–0,10	–0,1	20,08	0,05

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица характеристик типовых звеньев

Тип звена

(номер звена)

Дифференциальное уравнение и передаточная функция W(р)

Вид переходного процесса

Вид АФЧХ

Безинерцонное

y(t) = k x(t)

W(p) = k

Инерционное 1-го порядка

T dy/dt + y(t) = k х(t)

W(p) =

Инерционное 2-го порядка

T12 d2y/dt2 + T2 dy/dt+y(t) = k x(t)

T2 >> 2 T1

Колебательное

T12 d2y/dt2 + T2 dy/dt + y(t) = k x(t)

T2 >> 2 T1

Окончание прил. 2

Тип звена

(номер звена)

Дифференциальное уравнение и передаточная функция W(р)

Вид переходного процесса

Вид АФЧХ

Интегрирующее

T dy/dt = x(t)

Инерционное дифференцирующее

T2 dy/dt + y(t) = T1 dx/dt

Оглавление

Введение…………………………………………………………..	3
Тема 1. Расчет (или оценка) собственных движений системы...	5
Тема 2. Оценка вида вынужденных движений системы (элемента системы)……………………………………...	9
Тема 3. Нахождения области допустимого сочетания параметров, обеспечивающих устойчивость системы…............	17
Библиографический список……………………………………….	26
Приложения………………………………………………………..	27
1. Таблица функций…………………………..……………….	27
2. Таблица характеристик типовых звеньев…………………	28

Чиркова Маргарита Макаровна

Сборник тестовых задач

по теории автоматического управления

Методическое пособие

Редактор Н.С. Алёшина

Корректор Д.В. Богданов

Компьютерная верстка А.А. Курчакова

Подписано в печать 09.09.10.

Формат бумаги 60´84 1/16. Гарнитура «Таймс».

Ризография. Усл. печ. л. 1,9. Уч.-изд. л. 2,0.

Тираж 680 экз. Заказ 577.

Издательско-полиграфический комплекс ФГОУ ВПО «ВГАВТ»

603950, Нижний Новгород, ул. Нестерова, 5а

-1

Собственные

движения системы

0 1 2 3 4 5 t

0.5

ycт

1,1sin(1,1∙t – 1,1)

1 2 (tk) t

-1

-2

Собственные

движения системы

3e-1t

y(t)

-2e-2t

1 2 3 4 5 t 6 t t

x(t)

1 2 3 4 5 t, c t t

x1(t)

x2(t)

1 2 3 4 5 t 6 t t t

-1

1 2 3 4 5 t

x3(t)

x(t)

1 2 3 4 t, c

x(t)

x1(t)

1 2 3 4 t, c

x2(t)

y(t)

y1(t)

y2(t)

T/2

x1 x2

4 8 t, c

T/2

t, c

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

-1

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

-1

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 4 t,c

x(t)

1 2 3 t,c

К3

–

К2/р(Т2р+1)

EMBED Equation.3

К1

К11 Р EMBED Equation.3

1/Т3р

Кос

–

1-й блок 2-й блок 3-й блок

–1

Ко с

К1

EMBED Equation.3

–1

С1

К1

EMBED Equation.3

Ко с

EMBED Equation.3

К1

EMBED Equation.3

С2

- 4

В1

–1

Кос

EMBED Equation.3

К3

–

К2/(Т2р+1)

EMBED Equation.3

К1

К11 Р EMBED Equation.3

1/Т3р

Кос=1

–

1-й блок 2-й блок 3-й блок

К1

EMBED Equation.3

–2

–1

К11

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

–-

EMBED Equation.3

---

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

–

EMBED Equation.3

y(t)

k X

y(t)

x(t)

EMBED Word.Picture.8

Y(t)

x(t)

tg φ =1/T 1/T / T

y (t)

ω→0

ω → ∞

R → 0

φ = -π/2

ω = ω1 R=→ R1 φ = -π/2

х (t)

T1/T2

y (t)

y(t)

1,75

-1

0,75

–0,25

1. Tone mrks ccording to the rules nd comment on the use of puses
2. начинается с изменения социальной ситуации развития
3. Современные тенденции в социологическом анализе развода
4. Создаем новый файл размером 500500 пикселей
5. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата медичних наук Київ ~ 2006
6. 41МЛ заводской лицензия на приобретение хранение и ношение оружия самообороны ЛОа в отсут
7. і Ті видозміни що сталися з членами родини можна було б назвати моральною катастрофою
8. і. Негізгі капитал~а салынатын инвестиция ~ ~~рылыс~а материалды~ бейматериалды~ негізгі капиталды салу~а
9. 5 Часть пятая Перед этим визитом к Наставнику Айвен постарался одеться как можно более тщательно
10. Статья 14. ФЗ О Рекламе 1
11. Тема- Business nd griculture Цель занятия- Формирование коммуникативной компетенции по теме- Business nd griculture
12. МАМИ Щербаков В.
13. Курсовая работа Система контроля бюджетов
14. тема госуправления
15. М- АН СССР ИНИОН 1987
16. Экономика и управление на предприятии по отраслям
17. Развитие и размещение ведущих отраслей промышленности Центрального федерального округа
18. тема состоящая из федерального органа исполнительной власти уполномоченного на проведение федерального го
19. История возникновения и развития такого феномена как политическая партия насчитывает не одно столетие
20. практикуму Для студентов 4го курса кафедры ИУ5 Cisco Pcket Trcer

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе