Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Алгебра логіки (Булева логіка, двійкова логіка, двійкова алгебра) — розділ математичної логіки, що вивчає систему логічних операцій над висловлюваннями. Тобто, представлення логіки у вигляді алгебраїчної структури.
Базовими елементами, якими оперує алгебра логіки, є висловлювання. Висловлювання будуються над множиною {B, , , , 0, 1}, де B - непорожня множина, над елементами якої визначені три операції:
заперечення (унарна операція)
кон'юнкція (бінарна)
диз'юнкція (бінарна)
а також константи - логічний нуль 0 і логічна одиниця 1.
Спочатку проблематика алгебри логіки перетиналась з проблематикою алгебри множин (теоретико-множинні операції).
Проте з закінченням формування теорії множин (70-і роки 19 ст.), яка включила в себе алгебру множин, і подальшим розвитком математичної логіки, предмет алгебри логіки значно змінився.
Сучасна алгебра логіки розглядає операції над висловлюваннями (див. Числення висловлень), як булеву функцію і вивчає відносно них такі питання, як:
Простим і найширше вживаним прикладом такої алгебраїчної системи є множина B, що складається всього з двох елементів :
B = { Хибність(0), Істина(1) }
Як правило, в математичних виразах Хибність ототожнюється з логічним нулем, а Істина - з логічною одиницею, а операції заперечення(НІ), кон'юнкції(ТА) і диз'юнкції(АБО) визначаються в звичному нам розумінні. Легко показати, що на цій множині B можна задати чотири унарні і шістнадцять бінарних відношень і усі вони можуть бути отримані через суперпозицію трьох обраних операцій.
Спираючись на цей математичний інструментарій, логіка висловлювань вивчає висловлювання і предикати. Також вводяться додаткові операції, такі як еквівалентність ("тоді і тільки тоді, коли"), імплікація ("отже"), складання по модулю два ("що виключає або»), штрих Шеффера , стрілка Пірсу та інші.
Логіка висловлювань послужила основним математичним інструментом при створенні комп'ютерів. Вона легко перетворюється в бітову логіку: істинність висловлювання позначається одним бітом (0 - ХИБНІСТЬ, 1 - ІСТИНА); тоді операція набуває суті вирахування з одиниці; - немодульного складання; & - множення; - рівності; - в буквальному розумінні сума за модулем 2(що виключає АБО - XOR); - сума не перевищує 1 (тобто A B = (A + B) <= 1).
Згодом булева алгебра була узагальнена від логіки висловлювань шляхом введення характерних для логіки висловлювань аксіом. Це дозволило розглядати, наприклад, логіку кубітів, потрійну логіку(коли є три варіанти істинності висловлювання : "істина", "хибність" і "невизначено") та ін.
Властивості логічних операцій
Існують методи спрощення логічної функції : наприклад, Карта Карно, метод Куайна - Мак-Класкі