Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
21
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ
КОХАН СЕРГІЙ ВАСИЛЬОВИЧ
УДК 539.2
Статистична теорія самоподібних систем ІЗ різним перемішуванням потоку у фазовому просторі
01.04.02 –теоретична фізика
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Харків –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана у Сумському державному університеті
Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор,
заслужений діяч науки і техніки України
Олємской Олександр Іванович,
Сумський державний університет,
завідувач кафедри фізичної електроніки.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
Болотін Юрій Львович,
ННЦ „Харківський фізико-технічний інститут”,
„Інститут теоретичної фізики ім. А.І. Ахієзера”,
завідувач відділу теоретико-групових властивостей
елементарних частинок, теорії ядра і нелінійної
динаміки;
доктор фізико-математичних наук, професор
Єрмолаєв Олександр Михайлович,
Харківський національний університет, фізичний
факультет, завідувач кафедри теоретичної фізики.
Провідна установа – нститут теоретичної фізики НАН України
ім. М.М. Боголюбова, відділ теорії та моделювання
плазмових процесів, м. Київ.
Захист відбудеться 17.05.2006 року о _14___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 при Інституті монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.
Автореферат розісланий 10.04.2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук М.В. Добротворська
Загальна характеристика роботи
Останнім часом значно підвищився інтерес до дослідження складних систем, поведінка яких змінюється критичним чином залежно від стану їх складових. Серед них особливе місце займають самоподібні системи, які мають симетрію відносно зміни їх масштабу. Самоподібність фазового простору пов’язана з його перемішуванням у процесі еволюції системи. Найпростішим нетривіальним прикладом такої системи є дивний атрактор, який подається самоподібною множиною з повністю перемішуваним потоком. У стохастичних системах дія випадкової сили може приводити як до сильного, так і до слабкого перемішування потоку у фазовому просторі. Перший випадок реалізується за наявності мультиплікативного шуму, дія якого проявляється на мікроскопічному рівні, у другому випадку це приводить до неадитивності макроскопічних величин, таких, як ентропія. Встановлення зв’язку між ступенем перемішування потоку у фазовому просторі і макроскопічними властивостями самоподібних систем є основною метою дисертаційної роботи.
Актуальність теми. Перемішування потоку у фазовому просторі є необхідною умовою, яка забезпечує можливість застосування ергодичної гіпотези, що є підґрунтям статистичної фізики. У зв’язку з цим особливу актуальність становлять дослідження складних систем, в яких фазовий простір, зберігаючи самоподібність, частково або повністю втрачає властивість перемішування. Задача зводиться до дослідження особливостей поведінки складних систем, що мають різні ступені перемішування потоку у самоподібному фазовому просторі.
Зв’язок роботи з науковими програмами і темами. Робота виконана на кафедрі фізичної електроніки Сумського державного університету і пов’язана з виконанням держбюджетної теми „Синергетична теорія конденсованого середовища” (номер державної реєстрації 0103U000772, термін виконання 2003-2005 рр.).
Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є кількісний опис статистичних властивостей самоподібних систем, які мають різне перемішування потоку у фазовому просторі. Для цього розглядаються системи, що самоорганізуються і мають зворотний фрактальний зв’язок, стохастичні системи з кольоровим мультиплікативним шумом і самоподібні часові ряди. Дослідження першої із названих систем, яка має повністю перемішуваний потік у фазовому просторі, зводиться до визначення умов переходу в режим дивного атрактора. Дослідження систем з мультиплікативним шумом, в яких потік у фазовому просторі перемішується на мікроскопічному рівні, складається з виявлення впливу шуму на поведінку макроскопічних характеристик системи. І нарешті, розгляд самоподібних часових рядів, в яких властивість перемішування порушено на макроскопічному рівні, зводиться до побудови термодинамічної моделі, яка дозволяє стандартним чином описувати неадитивні стохастичні системи.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:
Об’єктом дослідження є процес перемішування потоку у фазовому просторі самоподібних складних систем.
Предметом дослідження є системи, які самоорганізуються і мають фрактальний зворотний зв’язок, стохастичні системи, що зазнають фазових переходів, індукованих кольоровим мультиплікативним шумом, і самоподібні часові ряди.
Методи дослідження. Нелінійні стохастичні рівняння самоорганізації розв’язувалися за допомогою використання адіабатичного наближення. Для знаходження показника Парето використовувалося дробово-диференціальне рівняння Фоккера–Планка. Дослідження динаміки фазового переходу, індукованого кольоровим мультиплікативним шумом, досягалося на основі методу фазової площини. Для побудови статистичної моделі самоподібних часових рядів застосовувалися методи неадитивної статистичної фізики.
Наукова новизна отриманих результатів. У процесі виконання роботи були отримані такі нові результати:
1. Для самоподібної системи, що відповідає дробовій системі Лоренца показано, що дія стохастичних джерел приводить до степеневого розподілу з показником, значення якого визначається динамічним показником, порядком похідної за часом і параметром Цаліса. Встановлено, що еволюція економічної системи відповідає процесу субдифузії, який забезпечується дією пасток у просторі станів.
2. Показано, що кореляційні ефекти, які визначають картину фазових переходів, індукованих мультиплікативним шумом, потребують нарівні з параметром порядку враховувати самоузгоджену зміну автокорелятора. Встановлено, що фазовий перехід обумовлений спільною дією нелінійності самоподібної системи і кольорового мультиплікативного шуму, який має значну швидкість нарощування інтенсивності.
. Показано, що асимптотики часових залежностей параметра порядку і автокорелятора не залежать від ступеня забарвлення і швидкості зростання мультиплікативного шуму. Знайдено, що поведінка системи визначається початковим значенням параметра порядку: якщо воно не перебільшує критичного, то параметр порядку спадає за степеневим законом, а автокорелятор –гіперболічно; релаксація до впорядкованого стану проходить згідно із законом слабко стиснутої експоненти.
. Запропоновано подання самоподібного часового ряду в рамках термодинамічної моделі неадитивного ідеального газу, для якої знайдено температуру та ентропію, об’єм і тиск, внутрішню і вільну енергії. Показано, що статистична картина поведінки такого ряду визначається ефективною температурою, яка експоненціально залежить від фрактальної вимірності та степеневим чином –від максимального розкиду стохастичної змінної.
. Показано, що поведінки кластеризованого часового ряду визначається поправками до наближення ідеального газу, обумовленими дією зовнішнього поля та міжчастинковою взаємодією. Знайдено, що передбачуваність поведінки часового ряду задається умовами позитивності теплоємності і сприйнятливості, температурні залежності яких приводять до появи максимального кроку часу і мінімального масштабу стохастичної змінної.
. Розроблено і реалізовано чисельну процедуру моделювання часового ряду, поданого неадитивними випадковими блуканнями. Показано, що вона підтверджує розвинену аналітичну схему –зокрема, закон рівнорозподілу, за яким ефективна температура дорівнює середній енергії, що припадає на ступінь вільності.
Практичне значення отриманих результатів. Дослідження поведінки самоподібної системи, яка відповідає дробовій системі Лоренца, є основою прогнозування процесів самоорганізації в екології, соціології, економіці і фізиці (прогнозування кліматичних явищ, соціальних катаклізмів, економічних потрясінь і фазових переходів). Фазові переходи є одним із актуальних об’єктів експериментального дослідження полімерів, які мають значний прикладний інтерес. І нарешті, оскільки часові ряди є основним знаряддям описування випадкових змін економічних показників, таких, як обмінні курси валют, то запропонована теорія є основою описування цих показників у межах стандартних уявлень статистичної фізики.
Особистий внесок здобувача. У працях [1 –] участь автора дисертації полягала у вивченні літературних джерел, аналітичному та чисельному розв’язанні поставлених задач, а також у обговоренні отриманих результатів та роботі над публікаціями. У працях [1, 5] розроблено чисельну модель, що імітує неадитивні часові ряди, для яких знайдено фрактальні вимірності. Розроблено і реалізовано чисельну процедуру визначення статистичних характеристик часових рядів, знайдено їх макроскопічні характеристики. У праці [2] проведено зіставлення отриманих результатів з вихідними виразами неадитивної статистичної фізики. Чисельно визначено область фрактальних вимірностей, в якій отримані результати є дійсними. У працях [3, 6] одержано вирази показника Парето через динамічний показник і параметр Цаліса. У праці [4] були проведені розрахунки параметрів запропонованої моделі і знайдені інтервали їх зміни. Проведений чисельний аналіз рівнянь руху параметра порядку і автокорелятора, побудовані їхні часові залежності, фазові портрети і біфуркаційні діаграми.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались і обговорювалися на таких конференціях:
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи надруковані у 4 статтях у спеціалізованих наукових журналах, що входять до переліку ВАК України і 2 збірниках тез конференцій.
Структура і обсяг дисертації. Дисертація викладена на 123 сторінках і складається із вступу, чотирьох розділів основного змісту з 24 рисунками, висновків, списку використаних джерел із 108 найменувань та 3 додатків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі викладається актуальність теми та обґрунтовується необхідність виконання роботи, її зв’язок з науковими програмами та темами, сформульовано мету і основні задачі дослідження, визначено наукову новизну роботи та практичне значення отриманих результатів, а також сфери їх можливого застосування.
У першому розділі проведено аналітичний огляд літературних джерел за темою дисертації, яка ґрунтується на визначенні перемішування потоку: ступінь перемішування визначається поведінкою корелятора потоків
C(t)=j(t)j(0). (1)
Якщо у границі нескінченно великого часу корелятор (1) спадає експоненціально, то реалізується сильне перемішування; при степеневому спаданні C(t)t- з показником a>0 система є слабко перемішуваною. Умова перемішування узгоджується зі статистичною незалежністю в реалізації мікростанів макроскопічних складових повної системи. При слабкому порушенні цієї умови у неадитивних системах методи статистичної фізики потребують модифікації.
Основним об’єктом дослідження є складні системи, поведінка яких може змінитися докорінно при будь-якому слабкому впливові. Складна система має властивість самоподібності за умови, що будь-яке розтягування або стискання її фазового простору не змінить розподілу мікростанів при вибиранні відповідного масштабу. Самоподібні системи, які виявляють непередбачувану поведінку, поділяються на 2 класи: системи із детерміністичним хаосом і стохастичні системи. До першого класу належать системи, що самоорганізуються, подані атрактором Лоренца. Незважаючи на те, що поведінка системи Лоренца є чисто детерміністичною, траєкторія її еволюції у просторі станів настільки заплутана, що найменше відхилення початкового стану приводить до непередбачуваних змін у подальшій поведінці. Для стохастичних систем така непередбачуваність обумовлена випадковою силою –ланжевенівським джерелом, що може приводити як до сильного, так і до слабкого перемішування потоку у фазовому просторі. У першому випадку наявність мультиплікативного шуму в системі забезпечує перемішування потоку у фазовому просторі на мікроскопічному рівні. У другому випадку порушується властивість адитивності макроскопічних величин, зокрема ентропії. Виходячи з аналізу літературних даних, наведені основні співвідношення, які використовуються у роботі, і сформульовані задачі дослідження.
Другий розділ присвячено дослідженню стохастичного атрактора Лоренца. Детерміністичний атрактор подається дробовою системою Лоренца:
(2)
яка описує часові залежності параметра порядку (t), спряженого поля h(t) і керуючого параметра S(t) (крапка означає диференціювання за часом , виміряним у масштабі часу змінювання параметра порядку, 0a1 –показник степеня зворотного зв’язку, r –параметр зовнішнього впливу, , b –сталі, які визначають відношення часових масштабів зміни параметра порядку, спряженого поля і керуючого параметра).
Суттєва особливість переходу детермінованої системи в режим дивного атрактора полягає у тому, що часи змінювання спряженого поля і керуючого параметра значно перевищують масштаб параметра порядку. У протилежному випадку адіабатичного режиму, коли спряжене поле і керуючий параметр йдуть за змінюванням параметра порядку, стохастична поведінка системи забезпечується ланжевенівськими джерелами, які випадковим чином змінюють зазначені величини. У цьому випадку до правих частин системи (2) додаються стохастичні доданки з інтенсивностями I, Ih, ISі білим шумом (t) із властивостями (t)=0, (t)(t)=(t-t), де … означає усереднення за статистичним ансамблем. В адіабатичному режимі ліві частини двох останніх рівнянь (2) можна опустити, завдяки чому поведінка стохастичної системи подається рівнянням Ланжевена , де сила і ефективна інтенсивність шуму . У тому випадку, коли інтенсивність шуму керуючого параметра значно перевищує інтенсивності шумів параметра порядку і спряженого поля (I, Ih<<IS), розподіл параметра порядку набуває степеневого хвоста P()a, який відповідає закону Парето з показником =2a.
Визначення показника Парето досягається використанням дробово-диференціального рівняння Фоккера-Планка, в якому похідна за часом має порядок , а похідна за параметром порядку –порядок . Зазначене рівняння приводить до часової асимптотики середнього значення параметра порядку zt, в якому динамічний показник z=2/. З іншого боку, стаціонарний розв’язок рівняння Фоккера-Планка виражається через дробовий інтеграл порядку =1-/, що приводить до результату =2-z. Оскільки типове значення 3/2, а динамічний показник знаходиться в інтервалі 1<z<2, то порядок похідної за часом набуває значення <1, що відповідає процесу субдифузії, який обумовлений дією пасток у фазовому просторі. Якщо еволюція системи подається дискретними стрибками x, імовірність , =const>0 яких розподілена за Цалісом, то зазначені показники пов’язуються рівностями z=(1+q)/[1-(q-1)/2] при 1<q<5/3 та z=(1+q)/(q-1) при 5/3<q<2.
Третій розділ присвячено дослідженню еволюції самоподібної стохастичної системи під дією кольорового мультиплікативного шуму. Основою такого розгляду є рівняння Ланжевена =f(x)+g(x)(t), де сила f=x-x визначається параметром зовнішнього впливу , амплітуда шуму подається показниковою функцією g(x)=xa, a[0,1], що відображає самоподібність системи, кольоровий шум визначається корелятором , який характеризується часом кореляції . Адіабатичне наближення дозволяє перейти до рівняння із білим шумом (t) і коефіцієнтом =1-(f-fg/g), де штрих означає диференціювання за x. Усереднюючи це рівняння за шумом і розщеплюючи корелятори вищих порядків із використанням властивостей гаусівських процесів, одержуємо рівняння для параметра порядку x і автокорелятора Sx:
, (3)
де введені позначення E1-(1-a), (3-a).
Для отримання другого рівняння еволюції статистичних моментів вводиться допоміжна змінна y, пов’язана з x співвідношенням dy(x)dx і підпорядкована стохастичному диференціальному рівнянню з прирощуванням вінеровського процесу , для якого . Усереднюючи співвідношення d(y)=2ydy+(dy), одержуємо друге рівняння
(4)
останній член якого подає середнє дробового степеня стохастичної змінної. Для його визначення вводиться допоміжний розподіл за змінною y=xa, використання якого показує, що , де p=[2(1-a)]-1 при 0<a<1/2 та p=(3-2a)-1 при 1/2<a<1.
Чисельний розв’язок рівнянь (3), (4) показує, що при a>1/2 система завжди є невпорядкованою (0), а при a<1/2 параметр порядку набуває ненульового стаціонарного значення. Стаціонарні значення параметра порядку залежно від керуючого параметра показані на рис.1.
Рис.1. Стаціонарні значення параметра порядку при a=0.2, залежно від керуючого параметра
З рисунка бачимо, що незважаючи на наявність x-потенціалу, що є притаманним неперервним переходам, система зазнає фазового переходу першого роду, що характеризується стрибками параметра порядку та автокорелятора при критичних значеннях параметрів і . Крім того, впорядкований стан може бути обмежений не тільки нижнім, але й верхнім значенням керуючого параметра .
Динаміка поведінки системи подається фазовим портретом, який має єдиний вузол C при a>1/2. Поблизу цього вузла автокорелятор зростає за степеневим законом при малому часі і наближається до стаціонарного значення експоненціально. Як бачимо із рис.2, з переходом у область a<1/2 фазовий портрет одержує додатковий вузол C,
Рис.2. Фазовий портрет при a=0.2, =0.5, =0.2
який відповідає впорядкованому стану, і сідло S, що визначає міжфазовий бар’єр. Якщо початковий стан системи розміщується у невпорядкованій області, що розташована лівіше відповідної гілки сепаратриси, то система прямує до вузла C, поблизу якого параметр порядку спадає за степеневим законом , а автокорелятор –за гіперболічним. При потраплянні початкового стану у впорядковану область динаміка системи характеризується законом стиснутої експоненти , , де , S –стаціонарні значення, c=const.
Четвертий розділ присвячено термодинамічному опису самоподібних часових рядів, які є основним об’єктом дослідження в екології, економіці, соціології, фізиці та інших науках. Згідно з визначенням, часовий ряд являє собою дискретну послідовність значень досліджуваної величини, що фіксується в моменти часу, розділені малим інтервалом . Принципова особливість часового ряду полягає у тому, що він розвивається протягом великого, але кінцевого проміжку часу N, що містить 1<<N< значень. З іншого боку, властивість самоподібності означає, що ряд являє собою фрактальну множину вимірності D. Розвинена термодинамічна схема базується на тому, що обидві зазначені властивості враховуються природним чином, якщо використовувати узагальнену статистичну схему Цаліса, в межах якої комбінація величин D і N визначається показником неадитивності q.
Задача полягає в описанні d-вимірного часового ряду послідовних значень x(ti), ti=i, i=1,2,…N досліджуваної величини x(t). У відповідності до ергодичної гіпотези поведінка такого ряду подається наборами координат {xn}, n=1,2,…,N і швидкостей {vn}, n=1,2,…,N; v(xn-xn-1)/, в яких число елементів N не збігається з числом членів ряду N, оскільки різні значення швидкості v(ti), v(tj) можуть виявитися однаковими. Часовий ряд розглядається як динамічна система з ефективним гамільтоніаном H=H{xn,vn}, використання якого дозволяє визначити його статистичні властивості. Оскільки стохастичні значення xn не пов’язані одне з одним, то різні стани n дають незалежний внесок, і гамільтоніан зводиться до адитивної форми , яка відповідає великому канонічному ансамблю, кожний стан якого має енергію n і число частинок Nn. Для мікроскопічно однорідного ряду енергія не залежить від координати . Оскільки ця енергія не змінюється при n=vn/2 перестановці координат стрибків xn-xn-1, то вона задається парною функцією. При вмиканні однорідного поля силою F вираз для енергії ускладнюється доданком -Fxn, а кластеризація ряду відображається вмиканням міжчастинкової взаємодії .
Аналітичний опис часового ряду потребує підсумовування за фазовим простором {xn,vn}, від якого зручно перейти до інтегрування за безрозмірними значеннями координати ynxn/X і швидкості unvn/X, де X –максимальний розкид xn. Такий перехід приводить до появи множника , де ефективна стала Планка визначає об’єм фазового простору, що припадає на один член ряду (розгляд тривіального випадку xn=const дає ). Умова самоподібності виражається законом Леві Xd=xdN/z, де x –мікроскопічний масштаб, а динамічний показник z дорівнює фрактальній вимірності D.
Термодинамічне уявлення часового ряду ґрунтується на визначенні ентропії Реньї H=alnZ, a(1-q)dN/2, де статистична сума Z і внутрішня енергія E визначаються виразами, знайденими групою Цаліса для неадитивного газу. Використання цих виразів дозволяє надати ентропії стандартної форми:
, (5)
якщо виконується умова самоподібності zD=(1-a)-1 (G –число станів). При цьому виконуються закон рівнорозподілу E=N(d/2)T і основні термодинамічні співвідношення, якщо температура визначена рівністю , де Ts –масштаб зміни температури. Вибір цього масштабу Ts(X/) приводить до залежності
, (6)
згідно з якою температура змінюється експоненціально з величиною фрактальної вимірності D і степенево –з максимальним розкидом X.
Межі прогнозування поведінки часового ряду визначаються умовами невід’ємності теплоємності і сприйнятливості, знайденими для моделі Ван-дер-Ваальса, яка враховує дію зовнішнього поля і міжчастинкову взаємодію. Дослідження відповідних температурних залежностей показує, що поведінка часового ряду стає непередбачуваною, якщо крок зміни часу перебільшує критичне значення, яке фіксується інтенсивністю зовнішнього поля і силою міжчастинкової взаємодії. З іншого боку, мікроскопічний масштаб не повинен бути меншим за граничне значення.
Для підтвердження отриманих аналітичних результатів використовувалася чисельна процедура, що ґрунтується на моделі неадитивних випадкових блукань. Вона приводить до часових залежностей координати і швидкості одновимірного ряду, що показані на рис. 3.
Рис.3. Часовий ряд x(t) і відповідна залежність швидкості v(t) (фрактальна вимірність DR/S визначена R/S-методом, значення Dbc –методом покриття)
Використання цих залежностей приводить до розподілу швидкостей за N мезоскопічними інтервалами великого канонічного ансамблю, які обрані так, щоб зміна швидкості всередині кожного з них була незначною. Це дозволяє знайти залежність внутрішньої енергії E і ентропії H від числа частинок N при заданому значенні фрактальної вимірності D. У результаті одержано значення температури T, яке виявляється незалежним від числа частинок в області фрактальних вимірностей D2. Таким чином, у цій області можна застосовувати розвинену аналітичну схему. Для порівняння її результатів з чисельними даними зіставлені значення температури (6) із середньою кінетичною енергією , яка припадає на один степінь вільності. Як бачимо з рис.4, в актуальній області названі значення мають розбіжність не більше ніж 10%.
Рис.4. Порівняння середньої кінетичної енергії та температури T при різних значеннях фрактальної вимірності D
Крім того, чисельні дані підтверджують експоненціальну залежність (6) температури T від фрактальної вимірності D.
ОСНОВНІ ВИСНОВКИ
Досліджено складні системи, які мають самоподібний фазовий простір і виявляють непередбачувану поведінку, обумовлену наявністю дивного атрактора або дією стохастичних джерел. Основні результати дослідження подані такими висновками.
. Дослідження самоподібної системи показує, що в умовах, коли зовнішній вплив ненабагато перевищує критичне значення, а керуючий параметр змінюється набагато повільніше за інші величини, система переходить у режим дивного атрактора.
. Дія стохастичних джерел призводить до степеневого розподілу Парето, показник якого задається динамічним показником, порядком похідної за часом і параметром Цаліса. Еволюція системи відповідає процесу субдифузії, що обумовлений дією пасток у просторі станів.
. Дослідження кореляційних ефектів у динаміці фазових переходів, індукованих мультиплікативним шумом, досягається розглядом параметра порядку і автокорелятора. Спільна дія кольорового мультиплікативного шуму, що має значну швидкість наростання інтенсивності, і нелінійності самоподібної стохастичної системи приводять до значного ускладнення картини фазового переходу.
. Характер часових асимптотик поведінки параметра порядку і автокорелятора не залежить від ступеня забарвлення і швидкості наростання мультиплікативного шуму. Поведінка системи залежить від початкового значення параметра порядку: якщо воно не перевищує критичного, то система прямує до невпорядкованого стану так, що параметр порядку спадає за степеневим законом, а автокорелятор змінюється гіперболічно; релаксація системи до впорядкованого стану відбувається згідно із законом слабко стиснутої експоненти.
5. Самоподібний часовий ряд описується моделлю ідеального газу, що приводить до визначення температури та ентропії, об’єму і тиску, внутрішньої та вільної енергій. Самоподібність часового ряду виражається у тому, що всі термодинамічні величини визначаються характерною комбінацією числа частинок і параметра неадитивності, яка задається фрактальною вимірністю ряду.
. Поведінка кластеризованого часового ряду визначається поправками до наближення ідеального газу, обумовленими дією зовнішнього поля і міжчастинковою взаємодією. Температурні залежності теплоємності і сприйнятливості показують, що поведінка часового ряду є передбачуваною, якщо крок зміни часу не перевищує максимального значення, а масштаб стохастичної змінної не менший за мінімальний.
. Статистична картина поведінки часового ряду визначається ефективною температурою, яка залежить експоненціально від фрактальної вимірності і степеневим чином –від максимального розкиду стохастичної змінної. Чисельне дослідження часового ряду підтверджує закон рівнорозподілу, згідно з яким ефективна температура дорівнює середній енергії, що припадає на ступінь вільності.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ здобувача за ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
АНОТАЦІЇ
Кохан С.В. Статистична теорія самоподібних систем із різним перемішуванням потоку у фазовому просторі.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 –теоретична фізика. –Інститут монокристалів НАН України, Харків, 2006.
Дисертація присвячена дослідженню складних систем, які мають самоподібний фазовий простір і виявляють непередбачувану поведінку, обумовлену наявністю дивного атрактора або дією стохастичних джерел. У дисертації розв’язані такі задачі: визначено умови переходу самоподібної системи, що відповідає дробовій системі Лоренца, до режиму дивного атрактора; досліджено динаміку фазового переходу, індукованого кольоровим мультиплікативним шумом; побудовано термодинамічну теорію самоподібних часових рядів і проведено її тестування на моделі неадитивних випадкових блукань.
Для систем, що самоорганізовуються, отримано систему рівнянь, яка описує поведінку системи з кольоровим мультиплікативним шумом. Визначено умови самоподібності простору станів. Показано, що макроскопічні характеристики часового ряду визначаються ефективною температурою, експоненціально пов’язаною з фрактальною вимірністю.
Ключові слова: самоподібна стохастична система, фрактальна вимірність, атрактор Лоренца, часовий ряд, мультиплікативний шум.
Kokhan S.V. Statistical theory of self-similar systems with different flow mixing in the phase space. –Manuscript.
Thesis submitted for a Doctor of Philosophy (Ph.D.) degree in physics and mathematics, specialty 01.04.02 –theoretical physics, Institute for Single Crystals of National Academy of Science of Ukraine, Kharkiv, 2006.
The present work is concerned with consideration of complex systems, which have self-similar phase space and display non-predictable behavior that is caused by the strange attractor or stochastic sources. The following problems are studied: the conditions of transition of self-similar system corresponding to the fractional Lorenz system to the strange attractor are defined, the dynamic of the phase transition induced by the color multiplicative noise is studied, and the thermodynamic theory of self-similar time series is built and tested within no additive random-walk model.
The self-similarity conditions of the state space for self-organization systems are defined. The set of equations describing behavior of the system with color multiplicative noise is obtained. It is shown that the macroscopic characteristics of time series are defined by the effective temperature which is connected with the fractal dimensionality exponentially.
Keywords: self-similar stochastic system, fractal dimensionality, Lorenz attractor, time series, multiplicative noise.
Кохан С.В. Статистическая теория самоподобных систем, обладающих различным перемешиванием фазового пространства. –Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 –теоретическая физика. –Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 2006.
Исследованы сложные системы, которые обладают самоподобным фазовым пространством и проявляют непредсказуемое поведение, обусловленное наличием странного аттрактора или действием стохастических источников. В первом случае поток является полностью перемешиваемым, а в стохастических системах поток может перемешиваться на микроскопическом уровне или перемешивание нарушается, когда становится неаддитивной энтропия. Показано, что в стохастических системах функция распределения по фазовому пространству приобретает степенной характер.
Исследование самоподобной системы, отвечающей странному аттрактору Лоренца, показывает, что в условиях, когда внешнее воздействие не намного превышает критическое значение, а управляющий параметр изменяется гораздо медленнее других величин, система переходит в режим странного аттрактора. Показано, что действие стохастических источников приводит к степенному распределению Парето, показатель которого задаётся динамическим показателем, показателем производной по времени и показателем Цаллиса. При этом эволюция системы отвечает процессу субдиффузии, обусловленному действием ловушек в пространстве состояний.
Исследование корреляционных эффектов в динамике фазовых переходов, индуцированных мультипликативным шумом, достигается рассмотрением параметра порядка и автокоррелятора. Показано, что совместное действие цветного мультипликативного шума, обладающего значительной скоростью нарастания интенсивности, и нелинейности самоподобной стохастической системы приводят к существенному усложнению картины фазового перехода. Характер временных асимптотик поведения параметра порядка и автокоррелятора не зависит от степени окрашивания и скорости нарастания мультипликативного шума. Показано, что поведение системы определяется начальным значением параметра порядка: если оно не превышает критического, то система скатывается в неупорядоченное состояние таким образом, что параметр порядка спадает по степенному закону, а автокоррелятор изменяется гиперболически; релаксация системы в упорядоченное состояние протекает согласно закону слабо сжатой экспоненты.
Самоподобный временной ряд представлен моделью идеального газа, приводящей к определению температуры и энтропии, объёма и давления, внутренней и свободной энергий. Условие самоподобия позволяет выразить термодинамические величины через характерную комбинацию числа частиц и параметра неаддитивности, которая задаётся фрактальной размерностью. Поведение кластеризованного ряда определяется поправками к приближению идеального газа, обусловленными внешним полем и межчастичным взаимодействием. Температурные зависимости теплоёмкости и восприимчивости показывают, что поведение ряда является предсказуемым, если шаг изменения времени не превышает максимального значения, а масштаб изменения стохастической переменной не меньше минимального. Статистическая картина определяется эффективной температурой, которая зависит экспоненциально от фрактальной размерности и степенным образом от максимального разброса стохастической переменной. Численное исследование временного ряда подтверждает закон равнораспределения, согласно которому эффективная температура равна средней энергии, приходящейся на степень свободы.
Ключевые слова: самоподобная стохастическая система, фрактальная размерность, аттрактор Лоренца, временной ряд, мультипликативный шум.
Підп. до друку 27.03.2006 р. Друк офс. Формат 60×90/16.
Наклад 100 прим. Папір офс. Обл.-вид. арк. 0,9.
Замовлення № . Ум. друк. арк. 1,0.
Вид-во СумДУ. Р.с. ДК №2365 від 08.12.2005р.
, м. Суми, вул. Римського-Корсакова, 2.
Друкарня СумДУ. 40007, м. Суми,
вул. Римського-Корсакова, 2.