Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5. КАК РЕШАЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ?
Культорология позволяет по-новому увидеть не толь ко происхождение древнего искусства, но и элементов .древней науки. Известно, что они возникли в древнем Вавилоне. Поэтому отправимся туда, но сначала по дсмотрим, как современные историки математики объяс няют происхождение математики.
Кто же считается создателем теоретической матема тики—греки или вавилоняне? Общераспространенное мнение, что — греки, здесь сразу приходят на ум имена Фалеса, Пифагора, Евклида; убеждение ряда известных историков науки, что — вавилоняне. Так, например, счи тает А. А. Вайман, один из крупнейших российских ис следователей шумеро-вавилонской математики, который к тому же считает несомненным, «что древние матема тики достаточно хорошо владели методом логического .доказательства математических истин»*'. И Вайман не одинок, давая им такую высокую оценку: такого же мне ния и один из патриархов этой области знания — О. Ней-гебауер, который считает, что «в исторических исследо ваниях слово «доказать» может иметь только тот смысл, что из тех или иных математических данных и зависи мостей при помощи логических умозаключений выводят ся новые математические зависимости... Трудно допу стить что-либо другое,—пишет он,—кроме следующего: вавилоняне приводили путем ряда последовательных умозаключений более сложный случай к более про стым» ".
На что же опираются историки математики, оцени вая подобным образом вклад в науку шумеро-вавилон-
^ Ваймаи А. А. Шумеро-вавилонская математика, М„ 1961, •с. 209.
** Нейгебауер О. Лекции по истории античных математиче ских наук. Л„ 1937, с. 227.
3» 67
ской математики? Прежде всего на собственные рекон струкции решений задач, сведения о которых дает рас шифровка тысяч и тысяч глиняных табличек, добытых археологами из-под развалин дворцов, хозяйственных построек и школ древнего Шумера и Вавилона. В этих табличках приведены условия и решения огромного чис ла задач, но, увы, ничего не сказано о том, почему эти задачи решались именно так, а не иначе. Уже сам ха рактер условий задач и способов их решения буквально-поразил и озадачил историков математики. Оказалось, что задачи подобного типа сегодня решаются с по мощью алгебраических методов или же их арифметиче ских и геометрических эквивалентов (специально по^ строенных арифметических или геометрических уравне ний и преобразований). Решение многих этих задач предполагает довольно развитые математические зна ния: нужно владеть способами преобразования одних уравнений в другие, знать решения квадратных (и даже-кубических) алгебраических уравнений и, наконец, тео рему Пифагора. И все это при условии, что о геометрии или алгебре вавилонский математик ничего не знал, да и как он могузйать, если эти математические дисципли ны возникли одна примерно две тысячи, а другая три тысячи лет спустя. Но приведем одно из условий вави лонской математической задачи и способ ее решения (вверху мы дадим упрощенный перевод таблички, а вни зу алгебраическую запись, к которой обычно прибегают математики).
Условие. Длина (х) иширина(у). Длина превышает ширину на 4 (b), площадь 32 (S), узнай длину и шири-
"У- . . ^ . : . '
Решение. 4 раздели пополам, получишь два. Два ум ножь на само себя, ты видишь площадь—4. Площади: 32 и 4 сложи, ты видишь 36. Узнай корень квадратный' из. 36. (Это) 6. 6 и 2 сложи, ты видишь 8— (это) длина. От 6 отними 2, ты видишь 4— (это) ширина.
Решение.
xy==Sx—y=b х==? y==?
x=-.4-b/2.y=t—b/2 xy==t2— (b/2)^St^(b/2)4-S
t=V(b/2)2+S
}=V(b/2)4-S±b/2
(реконструкция Ваймана).^
Мы привели условие и решение одной цз распрост раненных, так сказать, типовых задач, но в сборниках вавилонских задач можно встретить задачи, которые в 'алгебраической форме записываются даже такими урав нениями:
ху=600;(3х+2у)2+2/13{4[1/2((х+у)--(1/2+1)(х-у))]Ч-(х+у)2}=7100.
Как же решались эти задачи, на основе какого ме тода и счисления? Если бы у историков математики бы ли сведения о способах решения вавилонских задач или стиле мышления вавилонских математиков, то ме-тод1ы решения этих задач можно было бы восстановить достаточно легко. Однако каждый крупный историк ма тематики изобретает нечто, заменяющее сведения о спо собах решения, а именно: на основе близких ему мате матических методов он реконструирует способы их ре шения. Анализ приемов решения вавилонских задач заставляет думать, что они решались как-то одинаково, на' основе близких методов. Однако оказалось, что мне ния математиков,: реконструировавших способы решения вавилонских задач, .резко разошлись. Одни из них утверждают, что вавилонские задачи решались на осно ве алгебраических методов и счислений, другие—-на ос нове геометрических, третьи—на основе арифметиче ских, (в их современном понимании). .':: Здесь, естественно, возникает вопрос: как же так, ведь, вавилонские математики не были знакомы ни е алгеброй, ни с геометрией, ни с современной теоретиче ской арифметикой? Нельзя сказать, что историки мате- ' матики не знают этого факта. Знают и очень хорошо. Поэтому они говорят не прямо, об алгебре,-геометрии или теоретической арифметике, а о том, что, хотя древ ние математики и не знали этих математических дис циплин, они тем не менее «по сути» мыслили алгебраи чески^ геометрически или арифметически;' Вбт, напри-
^ Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика.^. 159.
мер, что пишет Вайман: «Наиболее правдоподобна гип.о-теза, которая может быть подкреплена некоторыми кос венными наблюдениями. Согласно этой гипотезе, по крайней мере первоначально, полные квадратные урав нения, как и система уравнений канонического вида, решались геометрически»^. Иначе считают А. Ван дер Варден и О. Нейгебауер. «Вавилоняне,—пишет Ван дер Варден,— мыслили прежде всего алгебраически. Сквозь геометрическую внешность просвечивает алгебраиче ская сущность» ^. А вот высказывание Нейгебауера: <...эта математика имеет сильно выраженную алгебра ическую ориентировку... вычисление ведется с величай шим изяществом и совершенно тем же методом, кото рый применили бы и мы теперь»^. Но с мнением и ре конструкцией Нейгебауера не согласен известный россий ский историк математики С. Я. Лурье. В комментариях к его книге он пишет: «От сложности применяемых Ней-гебауером алгебраических формул рябит в глазах. По его мнению, вавилоняне применили вполне сознательно хитроумный алгебраический прием... Между тем, если решить эту задачу тем арифметическим способом, ко торый широко применялся в индийской и арабской ма тематике и который скорее всего восходит к Вавилону, именно методом ложного предположения, то каждое из действий, применяемых в тексте, получит свой смысл и не окажется никакой нужды в нынешней алгебре»".
Два соображения об алгебраических и геометриче ских реконструкциях и о так называемом методе ложно го предположения.
Алгебраическая или геометрическая реконструкция вызывает сомнение уже хотя бы потому, что трудно предположить у вавилонских математиков наличие со временного уровня и стиля математического мышления, а ведь именно это приходит на ум, если принять по добные реконструкции. Но, более того, оказывается, что вавилонские математики по уровню своего мышления стояли на голову выше современных математиков, кото рые без алгебраической или геометрической символики
« Там же, с. 168.
" Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука. М., 1959 с. 97.
^Нейгебауер О. Лекции по истории античных математи ческих наук, с. 201. *" Там же, с. 205.
70
не могут решать вавилонские задачи, в то время как вавилоняне их решали даже в школах. Наконец, каким образом вавилонские математики пришли к алгебраиче ским или геометрическим методам решения и почему они не сделали еще одного пустякового шага, не запи сали эти методы в стройной системе алгебраического и геометрического счисления?
Сложнее оценить метод ложного предположения — на первый взгляд, он вроде бы отвечает уровню вави лонского мышления **. Но только на первый взгляд. Дей ствительно, зачем, спрашивается, вместо одной задачи решать другую (подобный подход—сведение одной за дачи к другим естествен и оправдан в теоретическом мышлении и мало понятен в том случае, если оно еще не сложилось). Кроме того, необходимое условие при менения метода ложного предположения — установление соотношений между задачей-моделью (ложным предпо ложением) и исходной задачей, которую необходимо ре шить. Современные же логические и психолого-педаго-гические исследования показывают, что установить такие соотношения невозможно без моделирования условия за дачи в алгебре или геометрии (вероятно, этот факт проверили на себе многие родители, безуспешно пы таясь в свое время помочь детям решить сложные ариф метические задачи, не прибегая «по условиям игры» к алгебраическим уравнениям и преобразованиям). Сле довательно, применение метода ложного предположения,. как его реконструируют историки математики, в скры том виде само предполагает обращение к алгебраиче-
*' Суть этого метода можно пояснить на примере решения следующей древнеегипетской задачи (задача № 26 из папируса «Ринда»): «Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Вы числи мне это» (Решение) Считай с 4, от них возьми четверть, а именно 1, вместе будет 5, раздели 15 на 5, это будет 3, умножь 4 и 1 на 3, будет 12 и 3». В основе решения здесь лежит следую щая идея. Из условия задачи известно соотношение, связывающее известные величины с неизвестными (в данном примере первая ве личина в четыре раза больше второй). Выбрав любое удобное значение неизвестной (например число 4), можно, зная данное со отношение, построить вычисление (4:4==1, 4.+1=5). Сравнениере-зультата произведенного вычисления (то есть числа 5) с соответст вующей величиной, данной в условии задачи (числом 15), позво ляет узнать, насколько выбранное значение неизвестной (4) отли чается от истинного значения ( 15:5 == 3). Значение этого отклоне ния (числа 3) используется затем для выбора численным путем правильного значения неизвестной величины (4ХЗ==12) (Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука, с. 37).
ском или геометрическим сооотношениям и преобразова ниям.
Итак, ни одна из реконструкций, предложенных исто риками математики, не выдерживает серьезной критики. Спрашивается, почему? Возможно, потому, что создание хорошей реконструкции не под силу одним лишь исто рикам математики, знакомым, что естественно, главным образом с математикой. Ведь здесь речь идет не столь ко о математике, сколько о математическом мышлении, а мышление, как известно, изучается прежде всего в ло гике, психологии, теории культуры. Наделяя вавилон ских математиков современным стилем и характером мышления, историки математики нарушают, к примеру, некоторые основные принципы исторического рассмотре ния культур, принципы исторического анализа человече ского сознания, мышления и поведения. Согласно этим принципам, шумеро-вавилонская культура самобытна и непохожа на современную. Языки, сложившиеся в этой культуре (и математические в том числе), принципиаль но отличны от современных, мышление и поведение представителей шумеро-вавилонской культуры своеоб разны и определяются всем строем данной культуры и се историей. Спустимся теперь с абстрактных высот этих принципов на землю и посмотрим — «методом про никновения» в чужую культуру,—как же мог вавилон ский математик, он же, как известно, старший писец и распорядитель хозяйственных работ, он же часто и учи тель, решать математические задачи.
Итак, однажды в древнем Шумере или Вавилоне к вавилонскому писцу, учителю и математику пришли люди и, поклонившись, говорят: «Ты искусный и муд рый писец, имя твое славится, помоги нам поскорей. Два поля земли было у нас, одно превышало другое на 20 rap, об этом свидетельствует младший писец, брав ший с нас налог, остальное он забыл. Прошлой ночью разлив реки смыл межевые камни и уничтожил границу между полями. Сосчитай же скорей, каковы наши поля, ведь общая их площадь известна—60 rap».
Выслушав людей, писец стал размышлять. Таких за дач он никогда не решал. Он умел измерять поля, вы числять площади полей, если даны их элементы (шири на, длина, линия раздела), умел делить поля на части, соединять несколько полей между собой и даже узна вать сторону квадратного поля, если была известна его площадь. Он имел дело с тысячами таких задач, обучал 72
в школе их решению и так хорошо знал свое дело, что перед его глазами как живые стоят глиняные таблички с решениями задач, чертежами полей и числами, про ставленными на этих чертежах. Такие таблички он, старший писец и учитель, составляет каждое утро и дает переписывать своим ученикам. Но среди табличек нет такой, которая бы помогла ему сейчас.
Писец хотел было уже отослать людей, как вдруг вспомнил о задачах, которые он задал на табличках в прошлую неделю. Эти задачи были похожи на то, о чем ему говорили пришедшие люди. Перед глазами писца возникли чертежи с числами и решения.
Первая задача. Поле в 60 rap (как раз по величине, которое возникло после разлива) разделили пополам. Узнай каждое поле.
Решение. 60:2=30
Вторая задача. Поле 30 rap и другое 30 rap. От пер вого поля отрезали участок, равный 5 rap, и прибавили его к другому полю. Узнай получившиеся поля.
Решение. 30—5==25 30+5=35
Третья задача. Два поля 35 rap и 25 rap. На сколь ко одно поле выступает над другим.
Решение. 35—25^ 10
Четвертая задача. Два поля 35 rap и 25 rap соеди нили, узнай получившееся поле.
Решение. 35+25=60
Писец вспомнил, что, решая сам эти задачи, он уди вился, почему разница между полями—10 rap—оказа лась в два раза больше величины отрезанного от одного поля участка. И только посмотрев на чертеж, он понял, что эта разница суть удвоенный участок (от одного по ля он отрезан, это 5 rap, а к другому прирезан, еще 5 rap, вместе же как раз 10 rap). Как похожи эти за дачи на то, что произошло у людей, стоящих перед ним. Правда, разница между полями не 10 rap, а 20, но ведь это неважно, все равно эта разница в два раза больше величины добавленного участка. И тут писца осенило. Мысленно воздал он почести великой лунной богине Иштар, подавшей ему знак, что делать: нужно разде лить 60 rap пополам (как в той задаче, где поля были
4—594 73
равные), а затем отнять от одного полученного при делении поля участок, равный половине 20 rap, и при резать его к другому полю. И писец стал записывать ре шение первой в истории Вавилона задачи нового типа, не прибегая ни к алгебре, ни к геометрии, ни к методу ложного предположения.
Безусловно, эта история выдумана с начала до кон ца II, конечно, это очередная реконструкция, но обра тите внимание на ее достоинства. Мы не ссылались на возможности современной математики и все, что пред положили, можем документально подтвердить и обосно вать. Все перечисленные нами задачи действительно ре шались на определенном этапе развития вавилонской математики, решались тысячами, тиражировались тыся чами тысяч в школах писцов, причем в самых разнооб разных последовательностях и сочетаниях. Среди таких последовательно решенных (как правило, в учебных це лях) задач при огромном потоке решений вполне могли встречаться и такие подборки задач, которые обеспечи вали построение решений новых задач. Чертежи с чис лами и алгоритмы решений учебных задач (случайно:,. а в дальнейшем специально подобранные) облегчали отождествление уже решенных задач с условиями но вых. Вот, например, как таким способом могла быть ре шена приведенная выше задача, а также построена таб лица пифагорейских троек (чисел 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. д„ для которых была справедлива теорема Пифагора)^.
Решение приведенной выше задачи («Длина и шири на. Длина превышает ширину (высоту) на 4, площадь 32, узнай длину и ширину») могло быть найдено при сопоставлении следующей группы предварительно ре шенных задач:
Прямоугольное поле. Высота 7. Длина 9. От поля от резали вертикальный участок со стороной 1 и добавили горизонтальный участок со стороной 1.
Какова величина исходного поля и разница между полями?
Решение. 1. 7х9=63 (площадь исходного поля)
2. 7+1=8 9—1=8
•" Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика, с. 186: Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука, с. 103—104.
74
3. 8Х8==64 (площадь нового поля)
4. 64—63=1 (разница между ними)
Рассматривая решения этих задач, можно заметить, что новое поле, возникшее после передела,—квадратное (8х8). Кроме того, разница между полями (1) совпа дает по величине с маленьким квадратным полем (1Х1), получившимся в правом нижнем углу чертежа. Наконец, высота и длины исходного и нового поля свя заны следующими соотношениями: высота исходного по ля меньше стороны нового квадратного поля на 1, а дли на этого поля больше этой стороны на 1, разница же между длиной и высотой исходного поля (9—7=2) ровно в два раза больше стороны маленького квадрат ного поля (1). Отсюда при желании можно извлечь и план решения. Известна величина исходного поля. Ка ким образом его нужно переделить, чтобы возникло но вое квадратное поле? К исходному полю нужно доба вить маленькое квадратное поле, сторона которого в два раза меньше разницы между длиной и высотой ис ходного поля. Затем нужно узнать сторону получивше гося квадратного поля (т. е. извлечь корень квадратный из величины этого поля) и добавить, (отнять) от этой стороны половину разности между длиной и высотой ис ходного поля.
А вот серия задач, ведущих к пифагорейским трой кам:
(1) Поле квадратное 16. От поля разлив отрезал тре угольное поле, размеры которого 3, 4, 5. 'На большей стороне треугольного поля восстановили квадратное по ле. Определи величину отрезанного и восстановленного поля, а также разницу между исходным и восстанов ленным полем.
Решение. 1. 5Х5=25 (восстановленное поле)
2. (ЗХ4)/2=6 (треугольное поле)
3. 25—16==9
(2) Поле квадратное 16. К этому полю добавили еще одно квадратное поле 9. Узнай сторону первого и второго поля и сумму обоих полей.
Решение. 1. 16==4Х4
2. 9=3х3
3. 16+9==25
4* 75
Анализ решений этих задач показывает, что квад ратное поле (25), восстановленное на большей стороне треугольного поля, равно сумме исходного квадратного поля (16) и квадратного поля (9). Вавилонские мате матики скоро обнаружили, что не любое треугольное поле, отрезанное разливом, дает такое замечательное отношение чисел (квадратов). Например, если размеры смытого треугольного поля будут 4, 2, 6, то квадрат, восстановленный на большей стороне треугольного по ля, не будет равен сумме квадратов, построенных на двух других сторонах. Именно поэтому вавилонские ма тематики стали создавать таблицы треугольных полей, размеры которых удовлетворяли открытому соотноше нию квадратов (3, 4, 5; 5, 12, 13 и т.д.).
• Предложенная здесь реконструкция заставляет пе ресмотреть многие представления о характере шумеро-вавилонской математики. Во-первых, получается, что вавилонские математики пользовались вполне естествен ными (если иметь в виду уровень развития их практики) языком, который образовывали простейшие алгоритмы' вычисления полей и поясняющие их чертежи с числами. Во-вторых, никаких уравнений они не знали и тем более не знали способов их преобразования. В-третьих, созда вая решения задач, вавилонские математики не прово дили логических умозаключений; все, что от них требо валось в плане мышления,—сравнить между собой ус ловие новой задачи с решениями специально или слу чайно подобранных задач. Конечно это сравнение не было простым, оно включало в себя, с одной стороны, сравнение чертежей полей, с другой—сравнение чисел,, фиксирующих размеры полей или их элементов. Кроме того, необходимо было путем вычислений связывать те или иные элементы полей или величины их площадей (например, деля одну величину на другую, выяснить, что одно поле в два раза больше другого). Однако все-эти мыслительные действия ничего общего не имеют как с геометрическими или алгебраическими преобразовани ями уравнений, так и с логическими умозаключениями.
И все-таки связи между вавилонской математикой и геометрией (алгеброй) безусловно существуют. Дело в том, что греческая геометрия и элементы диофантовой алгебры возникли не на пустом месте, а в ходе рекон струкции греческими математиками вавилонских (и воз можно, древнеегипетских) задач и способов их решений. Да, именно реконструкция решений вавилонских за-
76
дач—один из путей, ведущих как к геометрии, так и к алгебре. Вот, коротко, эта история.
К тому времени, как греки заинтересовались черте жами и числовыми отношениями, вавилонская матема тика была уже в значительной мере мертвой культурой (в период знакомства греков с Вавилоном от начала расцвета вавилонской математической культуры прошло по меньшей мере полторы тысячи лет). Получив в на следство от этой культуры сборники решений египет ских и вавилонских задач (в некоторых сборниках со держалось до 200—300 однотипных задач, различаю щихся между собой только числовыми значениями из вестных величин), греческие ученые заинтересовались тем, как они решались, и попытали-сь восстановить ме тоды решения. При этом они не могли получить помощь от самих вавилонских или египетских математиков, по скольку традиция построения решений новых задач пре рвалась за много веков до встречи этих двух культур. В лучшем случае, египетские и вавилонские математики могли .показать, как надо производить то или иное вы числение, решать ту или иную задачу, но почему реше ние строилось так, а не иначе—объяснить не умели.
На что же могли опираться греки при реконструкции способов решений вавилонских задач? С одной стороны, на чертежи с числами и вычисления, зафиксированные в сборниках задач, с другой—на выработанные в гре ческой философии способы ведения рассуждений, дока зательств, способы разрешения проблем и снятия про тиворечий. Следовательно, это был совершенно иной уровень мышления, иная культура. Сама идея осмысле ния взятых из другой культуры способов решения задач могла возникнуть только на греческой культурной поч ве, только в греческой философски ориентированной культуре могла сложиться процедура реконструкции чу жого математического мышления. Состояла же эта про цедура в переосмыслении решений вавилонских задач на основе преобразований геометрических фигур. Греки, как известно, изобрели богатую и интересную игру с геометрическими фигурами: мысленно накладывали од ну фигуру на другую, выделяли в фигурах их части— другие фигуры, сравнивали полученные фигуры между собой, устанавливая между ними различные отноше ния—равно, больше, меньше, подобно, параллельно. Эта игра с идеальными объектами, представленными в чертежах (игра, в которую человечество увлеченно иг-
рает до сих пор), и позволила грекам осмыслить реше ния вавилонских задач. При этом чертежи полей интер претировались как изображения фигур, а числа—как величины этих фигур или величины элементов фигур. Сами же вычисления интерпретировались как процеду ры, направленные на установление между фигурами (или их элементами) различных геометрических отно шений (обычно равенств или подобий).
Все это, конечно, не имело ничего общего с тем, как мыслили вавилонские математики, решая свои задачи, но имело прямое отношение к формирующейся геомет рии. В частности, греческая реконструкция решений ва вилонских задач способствовала развитию и совершен ствованию геометрического языка и позволила получить формулировки многих геометрических теорем (так, большинство формулировок второй и, отчасти, первой книг «Начал» Евклида имеют, как показали исследова ния историков математики, именно такое происхожде ние, то есть являются греческой реконструкцией и осм-ыслением решений вавилонских задач).
Совершенно другую интерпретацию тех же самых решений вавилонских задач мы находим при закате ан тичной науки. В «Арифметике» Диофанта делается ак цент уже не на фигурах, а на величинах и отношениях между ними. Рассматриваются, например, такие задачи: «Разложить данный квадрат на два квадрата. Нужно разложить число 16 на два квадрата» или «Найти два неопределенных числа, таких, что их произведение вме сте с их суммой будет равно некоторому данному чис лу. Пусть последнее будет 8». Анализ показывает, что формулировки этих задач, а также отдельные приемы их решения — результат определенной, уже геометриче ской интерпретации решений вавилонских задач, В этом случае чертежи полей интерпретируются как определен ные величины (например, «квадраты» или «произведе ния»), а вычисления—как установление между подоб ными величинами отношений равенства (это уже влия ние геометрии). Именно через Диофанта и арабов (в частности, из «Алгебры и Алмукабалы» перса Алхва-разми) элементы алгебры попадают в Средние века и \в XV—XVI вв. уже на новой культурной почве Возрож дения переосмысляются и трансформируются в алгебра ическое счисление.
Итак, корни как геометрии, так и алгебры уходят в шумеро-вавилонскую математику. Ассимиляция и пере-
осмысление этой математики в трех разных- культу рах—ранней греческой, поздней греко-арабской и позд ней средневековой, сливающейся с ранним Возрождени ем, способствуют формированию и развитию геометрии и алгебры. Затем в Новое время «скрещивание» гео метрии и алгебры приводит к новым математическим дисциплинам—аналитической геометрии, теории чисел, исчислению бесконечно малых, а от них, как известно, всего один шаг и до современной математики. Сама со бой напрашивается гипотеза: все современные традици онные математические дисциплины имеют единый ис точник—шумеро-вавилонскую математику и единствен ное прасчисление — чертежно-числовое,