ТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ Культорология позволяет поновому увидеть не только происхождение

Работа добавлена на сайт samzan.net:

5. КАК РЕШАЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ?

Культорология позволяет по-новому увидеть не только происхождение древнего искусства, но и элементов .древней науки. Известно, что они возникли в древнем Вавилоне. Поэтому отправимся туда, но сначала подсмотрим, как современные историки математики объясняют происхождение математики.

Кто же считается создателем теоретической математики—греки или вавилоняне? Общераспространенное мнение, что — греки, здесь сразу приходят на ум имена Фалеса, Пифагора, Евклида; убеждение ряда известных историков науки, что — вавилоняне. Так, например, считает А. А. Вайман, один из крупнейших российских исследователей шумеро-вавилонской математики, который к тому же считает несомненным, «что древние математики достаточно хорошо владели методом логического .доказательства математических истин»*'. И Вайман не одинок, давая им такую высокую оценку: такого же мнения и один из патриархов этой области знания — О. Ней-гебауер, который считает, что «в исторических исследованиях слово «доказать» может иметь только тот смысл, что из тех или иных математических данных и зависимостей при помощи логических умозаключений выводятся новые математические зависимости... Трудно допустить что-либо другое,—пишет он,—кроме следующего: вавилоняне приводили путем ряда последовательных умозаключений более сложный случай к более простым» ".

На что же опираются историки математики, оценивая подобным образом вклад в науку шумеро-вавилон-

^ Ваймаи А. А. Шумеро-вавилонская математика, М„ 1961, •с. 209.

** Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук. Л„ 1937, с. 227.

3» 67

ской математики? Прежде всего на собственные реконструкции решений задач, сведения о которых дает расшифровка тысяч и тысяч глиняных табличек, добытых археологами из-под развалин дворцов, хозяйственных построек и школ древнего Шумера и Вавилона. В этих табличках приведены условия и решения огромного числа задач, но, увы, ничего не сказано о том, почему эти задачи решались именно так, а не иначе. Уже сам характер условий задач и способов их решения буквально-поразил и озадачил историков математики. Оказалось, что задачи подобного типа сегодня решаются с помощью алгебраических методов или же их арифметических и геометрических эквивалентов (специально по^ строенных арифметических или геометрических уравнений и преобразований). Решение многих этих задач предполагает довольно развитые математические знания: нужно владеть способами преобразования одних уравнений в другие, знать решения квадратных (и даже-кубических) алгебраических уравнений и, наконец, теорему Пифагора. И все это при условии, что о геометрии или алгебре вавилонский математик ничего не знал, да и как он могузйать, если эти математические дисциплины возникли одна примерно две тысячи, а другая три тысячи лет спустя. Но приведем одно из условий вавилонской математической задачи и способ ее решения (вверху мы дадим упрощенный перевод таблички, а внизу алгебраическую запись, к которой обычно прибегают математики).

Условие. Длина (х) иширина(у). Длина превышает ширину на 4 (b), площадь 32 (S), узнай длину и шири-

"У- . . ^ . : . '

Решение. 4 раздели пополам, получишь два. Два умножь на само себя, ты видишь площадь—4. Площади: 32 и 4 сложи, ты видишь 36. Узнай корень квадратный' из. 36. (Это) 6. 6 и 2 сложи, ты видишь 8— (это) длина. От 6 отними 2, ты видишь 4— (это) ширина.

Решение.

xy==Sx—y=b х==? y==?

x=-.4-b/2.y=t—b/2 xy==t2— (b/2)^St^(b/2)4-S

t=V(b/2)2+S

}=V(b/2)4-S±b/2

(реконструкция Ваймана).^

Мы привели условие и решение одной цз распространенных, так сказать, типовых задач, но в сборниках вавилонских задач можно встретить задачи, которые в 'алгебраической форме записываются даже такими уравнениями:

ху=600;(3х+2у)2+2/13{4[1/2((х+у)--(1/2+1)(х-у))]Ч-(х+у)2}=7100.

Как же решались эти задачи, на основе какого метода и счисления? Если бы у историков математики были сведения о способах решения вавилонских задач или стиле мышления вавилонских математиков, то ме-тод1ы решения этих задач можно было бы восстановить достаточно легко. Однако каждый крупный историк математики изобретает нечто, заменяющее сведения о способах решения, а именно: на основе близких ему математических методов он реконструирует способы их решения. Анализ приемов решения вавилонских задач заставляет думать, что они решались как-то одинаково, на' основе близких методов. Однако оказалось, что мнения математиков,: реконструировавших способы решения вавилонских задач, .резко разошлись. Одни из них утверждают, что вавилонские задачи решались на основе алгебраических методов и счислений, другие—-на основе геометрических, третьи—на основе арифметических, (в их современном понимании). .':: Здесь, естественно, возникает вопрос: как же так, ведь, вавилонские математики не были знакомы ни е алгеброй, ни с геометрией, ни с современной теоретической арифметикой? Нельзя сказать, что историки мате- ' матики не знают этого факта. Знают и очень хорошо. Поэтому они говорят не прямо, об алгебре,-геометрии или теоретической арифметике, а о том, что, хотя древние математики и не знали этих математических дисциплин, они тем не менее «по сути» мыслили алгебраически^ геометрически или арифметически;' Вбт, напри-

^ Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика.^. 159.

мер, что пишет Вайман: «Наиболее правдоподобна гип.о-теза, которая может быть подкреплена некоторыми косвенными наблюдениями. Согласно этой гипотезе, по крайней мере первоначально, полные квадратные уравнения, как и система уравнений канонического вида, решались геометрически»^. Иначе считают А. Ван дер Варден и О. Нейгебауер. «Вавилоняне,—пишет Ван дер Варден,— мыслили прежде всего алгебраически. Сквозь геометрическую внешность просвечивает алгебраическая сущность» ^. А вот высказывание Нейгебауера: <...эта математика имеет сильно выраженную алгебраическую ориентировку... вычисление ведется с величайшим изяществом и совершенно тем же методом, который применили бы и мы теперь»^. Но с мнением и реконструкцией Нейгебауера не согласен известный российский историк математики С. Я. Лурье. В комментариях к его книге он пишет: «От сложности применяемых Ней-гебауером алгебраических формул рябит в глазах. По его мнению, вавилоняне применили вполне сознательно хитроумный алгебраический прием... Между тем, если решить эту задачу тем арифметическим способом, который широко применялся в индийской и арабской математике и который скорее всего восходит к Вавилону, именно методом ложного предположения, то каждое из действий, применяемых в тексте, получит свой смысл и не окажется никакой нужды в нынешней алгебре»".

Два соображения об алгебраических и геометрических реконструкциях и о так называемом методе ложного предположения.

Алгебраическая или геометрическая реконструкция вызывает сомнение уже хотя бы потому, что трудно предположить у вавилонских математиков наличие современного уровня и стиля математического мышления, а ведь именно это приходит на ум, если принять подобные реконструкции. Но, более того, оказывается, что вавилонские математики по уровню своего мышления стояли на голову выше современных математиков, которые без алгебраической или геометрической символики

« Там же, с. 168.

" Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука. М., 1959 с. 97.

^Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук, с. 201. *" Там же, с. 205.

не могут решать вавилонские задачи, в то время как вавилоняне их решали даже в школах. Наконец, каким образом вавилонские математики пришли к алгебраическим или геометрическим методам решения и почему они не сделали еще одного пустякового шага, не записали эти методы в стройной системе алгебраического и геометрического счисления?

Сложнее оценить метод ложного предположения — на первый взгляд, он вроде бы отвечает уровню вавилонского мышления **. Но только на первый взгляд. Действительно, зачем, спрашивается, вместо одной задачи решать другую (подобный подход—сведение одной задачи к другим естествен и оправдан в теоретическом мышлении и мало понятен в том случае, если оно еще не сложилось). Кроме того, необходимое условие применения метода ложного предположения — установление соотношений между задачей-моделью (ложным предположением) и исходной задачей, которую необходимо решить. Современные же логические и психолого-педаго-гические исследования показывают, что установить такие соотношения невозможно без моделирования условия задачи в алгебре или геометрии (вероятно, этот факт проверили на себе многие родители, безуспешно пытаясь в свое время помочь детям решить сложные арифметические задачи, не прибегая «по условиям игры» к алгебраическим уравнениям и преобразованиям). Следовательно, применение метода ложного предположения,. как его реконструируют историки математики, в скрытом виде само предполагает обращение к алгебраиче-

*' Суть этого метода можно пояснить на примере решения следующей древнеегипетской задачи (задача № 26 из папируса «Ринда»): «Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Вычисли мне это» (Решение) Считай с 4, от них возьми четверть, а именно 1, вместе будет 5, раздели 15 на 5, это будет 3, умножь 4 и 1 на 3, будет 12 и 3». В основе решения здесь лежит следующая идея. Из условия задачи известно соотношение, связывающее известные величины с неизвестными (в данном примере первая величина в четыре раза больше второй). Выбрав любое удобное значение неизвестной (например число 4), можно, зная данное соотношение, построить вычисление (4:4==1, 4.+1=5). Сравнениере-зультата произведенного вычисления (то есть числа 5) с соответствующей величиной, данной в условии задачи (числом 15), позволяет узнать, насколько выбранное значение неизвестной (4) отличается от истинного значения ( 15:5 == 3). Значение этого отклонения (числа 3) используется затем для выбора численным путем правильного значения неизвестной величины (4ХЗ==12) (Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука, с. 37).

ском или геометрическим сооотношениям и преобразованиям.

Итак, ни одна из реконструкций, предложенных историками математики, не выдерживает серьезной критики. Спрашивается, почему? Возможно, потому, что создание хорошей реконструкции не под силу одним лишь историкам математики, знакомым, что естественно, главным образом с математикой. Ведь здесь речь идет не столько о математике, сколько о математическом мышлении, а мышление, как известно, изучается прежде всего в логике, психологии, теории культуры. Наделяя вавилонских математиков современным стилем и характером мышления, историки математики нарушают, к примеру, некоторые основные принципы исторического рассмотрения культур, принципы исторического анализа человеческого сознания, мышления и поведения. Согласно этим принципам, шумеро-вавилонская культура самобытна и непохожа на современную. Языки, сложившиеся в этой культуре (и математические в том числе), принципиально отличны от современных, мышление и поведение представителей шумеро-вавилонской культуры своеобразны и определяются всем строем данной культуры и се историей. Спустимся теперь с абстрактных высот этих принципов на землю и посмотрим — «методом проникновения» в чужую культуру,—как же мог вавилонский математик, он же, как известно, старший писец и распорядитель хозяйственных работ, он же часто и учитель, решать математические задачи.

Итак, однажды в древнем Шумере или Вавилоне к вавилонскому писцу, учителю и математику пришли люди и, поклонившись, говорят: «Ты искусный и мудрый писец, имя твое славится, помоги нам поскорей. Два поля земли было у нас, одно превышало другое на 20 rap, об этом свидетельствует младший писец, бравший с нас налог, остальное он забыл. Прошлой ночью разлив реки смыл межевые камни и уничтожил границу между полями. Сосчитай же скорей, каковы наши поля, ведь общая их площадь известна—60 rap».

Выслушав людей, писец стал размышлять. Таких задач он никогда не решал. Он умел измерять поля, вычислять площади полей, если даны их элементы (ширина, длина, линия раздела), умел делить поля на части, соединять несколько полей между собой и даже узнавать сторону квадратного поля, если была известна его площадь. Он имел дело с тысячами таких задач, обучал 72

в школе их решению и так хорошо знал свое дело, что перед его глазами как живые стоят глиняные таблички с решениями задач, чертежами полей и числами, проставленными на этих чертежах. Такие таблички он, старший писец и учитель, составляет каждое утро и дает переписывать своим ученикам. Но среди табличек нет такой, которая бы помогла ему сейчас.

Писец хотел было уже отослать людей, как вдруг вспомнил о задачах, которые он задал на табличках в прошлую неделю. Эти задачи были похожи на то, о чем ему говорили пришедшие люди. Перед глазами писца возникли чертежи с числами и решения.

Первая задача. Поле в 60 rap (как раз по величине, которое возникло после разлива) разделили пополам. Узнай каждое поле.

Решение. 60:2=30

Вторая задача. Поле 30 rap и другое 30 rap. От первого поля отрезали участок, равный 5 rap, и прибавили его к другому полю. Узнай получившиеся поля.

Решение. 30—5==25 30+5=35

Третья задача. Два поля 35 rap и 25 rap. На сколько одно поле выступает над другим.

Решение. 35—25^ 10

Четвертая задача. Два поля 35 rap и 25 rap соединили, узнай получившееся поле.

Решение. 35+25=60

Писец вспомнил, что, решая сам эти задачи, он удивился, почему разница между полями—10 rap—оказалась в два раза больше величины отрезанного от одного поля участка. И только посмотрев на чертеж, он понял, что эта разница суть удвоенный участок (от одного поля он отрезан, это 5 rap, а к другому прирезан, еще 5 rap, вместе же как раз 10 rap). Как похожи эти задачи на то, что произошло у людей, стоящих перед ним. Правда, разница между полями не 10 rap, а 20, но ведь это неважно, все равно эта разница в два раза больше величины добавленного участка. И тут писца осенило. Мысленно воздал он почести великой лунной богине Иштар, подавшей ему знак, что делать: нужно разделить 60 rap пополам (как в той задаче, где поля были

4—594 73

равные), а затем отнять от одного полученного при делении поля участок, равный половине 20 rap, и прирезать его к другому полю. И писец стал записывать решение первой в истории Вавилона задачи нового типа, не прибегая ни к алгебре, ни к геометрии, ни к методу ложного предположения.

Безусловно, эта история выдумана с начала до конца II, конечно, это очередная реконструкция, но обратите внимание на ее достоинства. Мы не ссылались на возможности современной математики и все, что предположили, можем документально подтвердить и обосновать. Все перечисленные нами задачи действительно решались на определенном этапе развития вавилонской математики, решались тысячами, тиражировались тысячами тысяч в школах писцов, причем в самых разнообразных последовательностях и сочетаниях. Среди таких последовательно решенных (как правило, в учебных целях) задач при огромном потоке решений вполне могли встречаться и такие подборки задач, которые обеспечивали построение решений новых задач. Чертежи с числами и алгоритмы решений учебных задач (случайно:,. а в дальнейшем специально подобранные) облегчали отождествление уже решенных задач с условиями новых. Вот, например, как таким способом могла быть решена приведенная выше задача, а также построена таблица пифагорейских троек (чисел 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17 и т. д„ для которых была справедлива теорема Пифагора)^.

Решение приведенной выше задачи («Длина и ширина. Длина превышает ширину (высоту) на 4, площадь 32, узнай длину и ширину») могло быть найдено при сопоставлении следующей группы предварительно решенных задач:

Прямоугольное поле. Высота 7. Длина 9. От поля отрезали вертикальный участок со стороной 1 и добавили горизонтальный участок со стороной 1.

Какова величина исходного поля и разница между полями?

Решение. 1. 7х9=63 (площадь исходного поля)

2. 7+1=8 9—1=8

•" Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика, с. 186: Ван дер Варден А. Пробуждающаяся наука, с. 103—104.

3. 8Х8==64 (площадь нового поля)

4. 64—63=1 (разница между ними)

Рассматривая решения этих задач, можно заметить, что новое поле, возникшее после передела,—квадратное (8х8). Кроме того, разница между полями (1) совпадает по величине с маленьким квадратным полем (1Х1), получившимся в правом нижнем углу чертежа. Наконец, высота и длины исходного и нового поля связаны следующими соотношениями: высота исходного поля меньше стороны нового квадратного поля на 1, а длина этого поля больше этой стороны на 1, разница же между длиной и высотой исходного поля (9—7=2) ровно в два раза больше стороны маленького квадратного поля (1). Отсюда при желании можно извлечь и план решения. Известна величина исходного поля. Каким образом его нужно переделить, чтобы возникло новое квадратное поле? К исходному полю нужно добавить маленькое квадратное поле, сторона которого в два раза меньше разницы между длиной и высотой исходного поля. Затем нужно узнать сторону получившегося квадратного поля (т. е. извлечь корень квадратный из величины этого поля) и добавить, (отнять) от этой стороны половину разности между длиной и высотой исходного поля.

А вот серия задач, ведущих к пифагорейским тройкам:

(1) Поле квадратное 16. От поля разлив отрезал треугольное поле, размеры которого 3, 4, 5. 'На большей стороне треугольного поля восстановили квадратное поле. Определи величину отрезанного и восстановленного поля, а также разницу между исходным и восстановленным полем.

Решение. 1. 5Х5=25 (восстановленное поле)

2. (ЗХ4)/2=6 (треугольное поле)

3. 25—16==9

(2) Поле квадратное 16. К этому полю добавили еще одно квадратное поле 9. Узнай сторону первого и второго поля и сумму обоих полей.

Решение. 1. 16==4Х4

2. 9=3х3

3. 16+9==25

4* 75

Анализ решений этих задач показывает, что квадратное поле (25), восстановленное на большей стороне треугольного поля, равно сумме исходного квадратного поля (16) и квадратного поля (9). Вавилонские математики скоро обнаружили, что не любое треугольное поле, отрезанное разливом, дает такое замечательное отношение чисел (квадратов). Например, если размеры смытого треугольного поля будут 4, 2, 6, то квадрат, восстановленный на большей стороне треугольного поля, не будет равен сумме квадратов, построенных на двух других сторонах. Именно поэтому вавилонские математики стали создавать таблицы треугольных полей, размеры которых удовлетворяли открытому соотношению квадратов (3, 4, 5; 5, 12, 13 и т.д.).

• Предложенная здесь реконструкция заставляет пересмотреть многие представления о характере шумеро-вавилонской математики. Во-первых, получается, что вавилонские математики пользовались вполне естественными (если иметь в виду уровень развития их практики) языком, который образовывали простейшие алгоритмы' вычисления полей и поясняющие их чертежи с числами. Во-вторых, никаких уравнений они не знали и тем более не знали способов их преобразования. В-третьих, создавая решения задач, вавилонские математики не проводили логических умозаключений; все, что от них требовалось в плане мышления,—сравнить между собой условие новой задачи с решениями специально или случайно подобранных задач. Конечно это сравнение не было простым, оно включало в себя, с одной стороны, сравнение чертежей полей, с другой—сравнение чисел,, фиксирующих размеры полей или их элементов. Кроме того, необходимо было путем вычислений связывать те или иные элементы полей или величины их площадей (например, деля одну величину на другую, выяснить, что одно поле в два раза больше другого). Однако все-эти мыслительные действия ничего общего не имеют как с геометрическими или алгебраическими преобразованиями уравнений, так и с логическими умозаключениями.

И все-таки связи между вавилонской математикой и геометрией (алгеброй) безусловно существуют. Дело в том, что греческая геометрия и элементы диофантовой алгебры возникли не на пустом месте, а в ходе реконструкции греческими математиками вавилонских (и возможно, древнеегипетских) задач и способов их решений. Да, именно реконструкция решений вавилонских за-

дач—один из путей, ведущих как к геометрии, так и к алгебре. Вот, коротко, эта история.

К тому времени, как греки заинтересовались чертежами и числовыми отношениями, вавилонская математика была уже в значительной мере мертвой культурой (в период знакомства греков с Вавилоном от начала расцвета вавилонской математической культуры прошло по меньшей мере полторы тысячи лет). Получив в наследство от этой культуры сборники решений египетских и вавилонских задач (в некоторых сборниках содержалось до 200—300 однотипных задач, различающихся между собой только числовыми значениями известных величин), греческие ученые заинтересовались тем, как они решались, и попытали-сь восстановить методы решения. При этом они не могли получить помощь от самих вавилонских или египетских математиков, поскольку традиция построения решений новых задач прервалась за много веков до встречи этих двух культур. В лучшем случае, египетские и вавилонские математики могли .показать, как надо производить то или иное вычисление, решать ту или иную задачу, но почему решение строилось так, а не иначе—объяснить не умели.

На что же могли опираться греки при реконструкции способов решений вавилонских задач? С одной стороны, на чертежи с числами и вычисления, зафиксированные в сборниках задач, с другой—на выработанные в греческой философии способы ведения рассуждений, доказательств, способы разрешения проблем и снятия противоречий. Следовательно, это был совершенно иной уровень мышления, иная культура. Сама идея осмысления взятых из другой культуры способов решения задач могла возникнуть только на греческой культурной почве, только в греческой философски ориентированной культуре могла сложиться процедура реконструкции чужого математического мышления. Состояла же эта процедура в переосмыслении решений вавилонских задач на основе преобразований геометрических фигур. Греки, как известно, изобрели богатую и интересную игру с геометрическими фигурами: мысленно накладывали одну фигуру на другую, выделяли в фигурах их части— другие фигуры, сравнивали полученные фигуры между собой, устанавливая между ними различные отношения—равно, больше, меньше, подобно, параллельно. Эта игра с идеальными объектами, представленными в чертежах (игра, в которую человечество увлеченно иг-

рает до сих пор), и позволила грекам осмыслить решения вавилонских задач. При этом чертежи полей интерпретировались как изображения фигур, а числа—как величины этих фигур или величины элементов фигур. Сами же вычисления интерпретировались как процедуры, направленные на установление между фигурами (или их элементами) различных геометрических отношений (обычно равенств или подобий).

Все это, конечно, не имело ничего общего с тем, как мыслили вавилонские математики, решая свои задачи, но имело прямое отношение к формирующейся геометрии. В частности, греческая реконструкция решений вавилонских задач способствовала развитию и совершенствованию геометрического языка и позволила получить формулировки многих геометрических теорем (так, большинство формулировок второй и, отчасти, первой книг «Начал» Евклида имеют, как показали исследования историков математики, именно такое происхождение, то есть являются греческой реконструкцией и осм-ыслением решений вавилонских задач).

Совершенно другую интерпретацию тех же самых решений вавилонских задач мы находим при закате античной науки. В «Арифметике» Диофанта делается акцент уже не на фигурах, а на величинах и отношениях между ними. Рассматриваются, например, такие задачи: «Разложить данный квадрат на два квадрата. Нужно разложить число 16 на два квадрата» или «Найти два неопределенных числа, таких, что их произведение вместе с их суммой будет равно некоторому данному числу. Пусть последнее будет 8». Анализ показывает, что формулировки этих задач, а также отдельные приемы их решения — результат определенной, уже геометрической интерпретации решений вавилонских задач, В этом случае чертежи полей интерпретируются как определенные величины (например, «квадраты» или «произведения»), а вычисления—как установление между подобными величинами отношений равенства (это уже влияние геометрии). Именно через Диофанта и арабов (в частности, из «Алгебры и Алмукабалы» перса Алхва-разми) элементы алгебры попадают в Средние века и \в XV—XVI вв. уже на новой культурной почве Возрождения переосмысляются и трансформируются в алгебраическое счисление.

Итак, корни как геометрии, так и алгебры уходят в шумеро-вавилонскую математику. Ассимиляция и пере-

осмысление этой математики в трех разных- культурах—ранней греческой, поздней греко-арабской и поздней средневековой, сливающейся с ранним Возрождением, способствуют формированию и развитию геометрии и алгебры. Затем в Новое время «скрещивание» геометрии и алгебры приводит к новым математическим дисциплинам—аналитической геометрии, теории чисел, исчислению бесконечно малых, а от них, как известно, всего один шаг и до современной математики. Сама собой напрашивается гипотеза: все современные традиционные математические дисциплины имеют единый источник—шумеро-вавилонскую математику и единственное прасчисление — чертежно-числовое,

1. Вариант 13 1
2. Вопросы для повторения 1
3. Дедуктивные и индуктивные умозаключения
4. Способи словотворення суспільно-політичної термінології
5. реферату- Біографія Остапа ВишніРозділ- Література українська Біографія Остапа Вишні ОСТАП ВИШНЯ 1889 19.html
6. кристаллический пропилпарабен поливинилпирролидон циклодекстрин парфюмерная кохмпозиция.html
7. вариант Часть 1 При выполнении заданий этой части в бланке ответов ’ 1 под номером выполняем.html
8. О контрактной системе в сфере закупок товаров работ услуг для обеспечения государственных и муниципальных
9. О реконструкции дославянских этнических границ на территории славии в связи с одной языковой чертой
10. Четыре дня сразу создавшим ему известность
11. ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан МСФ Дедюх
12. Теоретические аспекты формирования маркетинговой стратегии
13. Оценка кредитоспособности заемщика с целью минимизации кредитного риска
14. Принцип коллегиального рассмотрения дел
15. Учредительное собрание (Проблемы современного переосмысления)
16. энергетический комплекс является одной из основ экономики
17. Виды программного обеспечения Общие требования к программным системам
18. тематический план ТЕМА 1 Что такое журналистика Основные понятия курса
19. пихтовобуковые леса; на высоте 12001400 м ~ темнохвойные еловые леса; с высоты 14001500 м деревья уменьшаются приоб
20. Экономические взгляды Аристотеля

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе