Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
8. планирование эксперимента
Хотя истоки планирования эксперимента уходят в глубокую древность и связаны с числовой мистикой (магические квадраты), пророчествами и суевериями, возникновение современных статистических методов планирования эксперимента относится только к началу нашего века, и связано с именем английского математика Рональда Фишера. В 1935 году появилась его монография “Design of Experiments”, давшая название всему направлению.
Продолжим рассмотрение кибернетической модели объекта исследования, представленной схематично рисунком
Ранее рассмотрено влияние на отклик Y неконтролируемых факторов dn и одного или нескольких контролируемого фактора hn.
Перейдем к рассмотрению возможностей исследователя вмешиваться в процесс проведения эксперимента, т.е. проводить активный эксперимент, предполагающий планирование эксперимента.
Под планированием эксперимента подразумевается процедура выбора число и условий проведения опытов необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.
8.1. Предпланирование эксперимента
Перед началом непосредственного составления плана эксперимента необходимо решить ряд вопросов связанных с постановкой задачи. Этот этап называют этапом предпланирования эксперимента. Он включает следующие основные процедуры.
1. Формулирование ясного и однозначного представления о цели работы.
2. Выбор и однозначное определение объекта исследования, поиск путей управления исследуемым объектом.
3. Выбор зависимых переменных Y(отклик, выход, целевая функция, параметр оптимизации).
4. Выбор независимых переменных xi (факторов, входов).
Процедуры указанные в первых двух пунктах имеют самостоятельное, порой фундаментальное значение. Грамотность и эффективность их выполнения в значительной степени зависит от профессиональных знаний и навыков исследователя в конкретной области науки и техники. При выборе же зависимых переменных и независимых факторов можно выделить ряд общих требований и рекомендаций, связанных с последующим составлением плана эксперимента.
Зависимые переменные должны удовлетворять следующим основным требованиям.
1. Статистическая эффективность - требование выбора отклика, определяемого с наибольшей точность.
2. Однозначность в статистическом смысле - заданному набору факторов должно соответствовать одно (с точностью до ошибки эксперимента) значение отклика.
3. Зависимая переменная должна характеризоваться числом, при этом допустимы некоторые ранговые оценки типа сорт, балл, класс и др.
4. Зависимая переменная должна иметь ясный физический смысл, лучше чтоб она являлась определенной физической величиной.
5. Для экстремальных задач зависимая переменная должна действительно определять экстремум.
6. Зависимая переменная должна иметь известную область определения - известное множество значений, которое может принимать зависимая переменная.
7. Зависимая переменная должна быть единственной. В случае если характеристик исследуемого объекта несколько, то существует ряд методов преодоления этой проблемы, основными из которых являются следующие:
- метод априорного (доопытного) ранжирования - расстановка возможных зависимых переменных по мере их значимости и выделение наиболее важной;
- переформулировка задачи или сведение ее к ряду более простых задач с одной независимой переменной;
- установление связи между возможными зависимыми переменными с помощью корреляционного анализа.
К факторам (независимым переменным) также предъявляется ряд требований. Они должны удовлетворять следующим основным условиям.
1. Непосредственно воздействовать на объект исследования, т.е. изменение значения фактора должно приводить к изменению значения отклика.
2. Быть взаимно независимыми, т.е. должна иметься возможность изменять значение одного фактора не затрагивая значения остальных.
3. Управляемость - возможность для исследователя изменять значение фактора и поддерживать его на требуемом уровне.
4. Измеряемость - возможность для исследователя измерить величину уровня фактора.
5. Совместность - возможность осуществить все запланированные комбинации факторов.
Факторы удовлетворяющие перечисленным критериям имеет смысл подвергнуть априорному ранжированию с целью выявления наиболее значимых из них и отсеивания малозначимых.
Каждый из выбранных факторов необходимо подвергнуть предварительной обработке, включающей следующие основные операции.
1. Установление области определения фактора - установление тех границ, в которых может изменяться фактор исходя из физического смысла, технико-экономических соображений, возможностей исследовательской аппаратуры, реальных целей исследования.
Выбор области эксперимента - определение наибольшего и наименьшего значений фактора Xmax и Xmin.
Выбор уровней варьирования. Количество уровней варьирования определяется предполагаемой сложностью изучаемого объекта. Например, для построения линейной модели достаточно двух уровней, квадратичной - трех, кубической - четырех и т.д.
Кодирование факторов (нормирование) - линейное преобразование факторного пространства. Кодирование производят по следующему алгоритму:
1) Центрирование - перенос начала координат факторного пространства в центральную точку Х0
.
Расчет интервала варьирования (полуинтервала)
.
Установление уровней факторов в кодированном масштабе
.
Проведя такое кодирование для каждого фактора и его уровней, получим следующее соответствие:
, , .
Для двух или трех уровней варьирования имеет смысл отбросить цифру 1 и обозначить соответствующие уровни в виде
, , .
8.2. План эксперимента первого порядка
План эксперимента первого порядка предназначен для получения зависимостей выражаемых линейным уравнением учитывающим эффекты взаимодействия факторов.
Различают полные и дробные планы эксперимента.
8.2.1. Полный факторный план
Полным факторным экспериментом называют эксперимент в котором реализуются все возможные сочетания факторов.
Общее число опытов полного факторного эксперимента N (без дублирования опытов при каждом сочетании фактор) можно рассчитать используя выражение
,
где s - число уровней фактора, k - число факторов.
Для случая варьирования факторов на двух уровнях число опытов полного факторного эксперимента составит .
Все возможные сочетания факторов отображают в виде таблицы, называемой матрицей планирования эксперимента.
Для простейшего случая, когда в задаче варьируются только два фактора x1 и x2 на двух уровнях +1 и -1, все возможные сочетания факторов будут исчерпаны в четырех опытах, указанных в табл. 8.1
Таблица 8.1
Матрица полного факторного эксперимента 22
|
Номер опыта |
х1 |
х2 |
у |
|
1 |
+ |
- |
y1 |
|
2 |
- |
+ |
y2 |
|
3 |
+ |
- |
y3 |
|
4 |
- |
+ |
y4 |
Принцип построения матрицы планирования полного факторного эксперимента следующий: при любом k факторов необходимо повторить дважды матрицу планирования для случая k-1 сначала на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное достраивание матрицы полного факторного эксперимента при увеличении k от 2 до 5 показано в таблице 8.2.
Первые отчеркнутые четыре опыта представляют собой матрицу 22. Далее они еще раз повторены и в столбце х3 для первой матрицы поставлены знаки +, а для второй - . Таким образом отчеркнутые восемь опытов представляют собой матрицу планирования 32 . Затем процедура повторяется до построения матрицы 25.
Построенные таким образом планы обладают двумя важными свойствами: симметричностью и нормированостью.
Симметричность относительно центра эксперимента - свойство матрицы плана эксперимента, согласно которому сумма элементов любого столбца равна нулю:
, i=1, 2, ..., k . (8.1)
Нормированость - свойство матрицы плана эксперимента, согласно которому сумма квадратов элементов любого столбца равна числу опытов:
, i=1, 2, ..., k . (8.2)
Таблица 8.2
Матрица полного факторного эксперимента от 22 до 25
|
План |
№ опыта |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|||
|
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
||||
|
22 |
2 |
- |
+ |
+ |
+ |
+ |
|||
|
3 |
+ |
- |
+ |
+ |
+ |
||||
|
4 |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
||||
|
23 |
5 |
+ |
+ |
- |
+ |
+ |
|||
|
6 |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
||||
|
7 |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
||||
|
8 |
- |
- |
- |
+ |
+ |
||||
|
24 |
9 |
+ |
+ |
+ |
- |
+ |
|||
|
10 |
- |
+ |
+ |
- |
+ |
||||
|
11 |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
||||
|
12 |
- |
- |
+ |
- |
+ |
||||
|
13 |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
||||
|
14 |
- |
+ |
- |
- |
+ |
||||
|
15 |
+ |
- |
- |
- |
+ |
||||
|
16 |
- |
- |
- |
- |
+ |
||||
|
25 |
17 |
+ |
+ |
+ |
+ |
- |
|||
|
18 |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
||||
|
19 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
||||
|
20 |
- |
- |
+ |
+ |
- |
||||
|
21 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
||||
|
22 |
- |
+ |
- |
+ |
- |
||||
|
23 |
+ |
- |
- |
+ |
- |
||||
|
24 |
- |
- |
- |
+ |
- |
||||
|
25 |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
||||
|
26 |
- |
+ |
+ |
- |
- |
||||
|
27 |
+ |
- |
+ |
- |
- |
||||
|
28 |
- |
- |
+ |
- |
- |
||||
|
29 |
+ |
+ |
- |
- |
- |
||||
|
30 |
- |
+ |
- |
- |
- |
||||
|
31 |
+ |
- |
- |
- |
- |
||||
|
32 |
- |
- |
- |
- |
- |
Рассмотрим подробней матрицы плана эксперимента для двух факторов варьируемых на двух уровнях (см. табл. 1), применительно к построению линейной модели определяемой выражением
. (8.3)
Преобразуем матрицу табл. 8.1 к виду показанному в табл. 8.3 путем введения фиктивного фактора х0 , принимающего для всех опытов значение +1 и дополнительного столбца х1х2, равного произведению значений факторов х1 и х2 в соответствующем опыте.
Таблица 8.3
Расширенная матрица полного факторного эксперимента 22
|
Номер опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х1х2 |
у |
|
1 |
+ |
+ |
- |
+ |
y1 |
|
2 |
+ |
- |
+ |
- |
y2 |
|
3 |
+ |
+ |
- |
+ |
y3 |
|
4 |
+ |
- |
+ |
- |
y4 |
Здесь планом эксперимента являются, по сути дела, столбцы х1 и х2.
Для вычисления коэффициентов линейного уравнения (8.3) используем метод наименьших квадратов. При этом следует минимизировать функцию
, (8.4)
где и - соответственно экспериментальные и рассчитанные по (8.3) значения отклика y в u-м опыте, N - общее число опытов.
Перепишем (8.3) с учетом введенного фиктивного столбца х0:
, (8.5)
тогда функцию (8.4) можно переписать в виде
. (8.6)
Минимизация функции (8.6) производится путем приравнивания нулю частных производных функции по соответствующим коэффициентам:
, , .
После дифференцирования и проведения простых преобразований получим систему так называемых нормальных уравнений метода наименьших квадратов:
(8.7)
Решение системы уравнений (8.7) дает оценки неизвестных коэффициентов b0, b1 и b2 модели объекта исследования (8.5).
Сопоставив систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов (7) с матрицей полного плана эксперимента (табл. 8.3) и учитывая свойства симметричности и нормированности (1) и (2), можно заметить, что ряд сумм в (7) равны нулю, а суммы квадратов значений факторов равны числу опытов N:
; ; ; (8.8)
; ; . (8.9)
Условия (8.8), которые можно в общем случае записать в виде
, (8.10)
носят название условие (свойство) ортогональности.
С учетом выражений (8.8) и (8.9), систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов (8.7) можно переписать в виде
(8.11)
Систему уравнений (8.11) можно рассматривать уже не как систему , а как набор отдельных уравнений относительно оценок неизвестных коэффициентов b0, b1 и b2 модели объекта исследования (8.5).
В общем виде решения этих уравнений относительно неизвестных коэффициентов может быть записано в виде
, i=0,1,2, ..., k . (8.12)
Воспользовавшись (8.12) для расчета коэффициентов b0, b1 и b2 модели объекта исследования (8.5) в случае планирования 22, можно получить:
; ; . (8.13)
Таблицы планирования эксперимента по плану 2k 8.1, 8.2 и 8.3 можно представить в виде матриц и проводить их обработку с использованием математического аппарата обработки матриц, предоставляемого линейной алгеброй, как это показано при рассмотрении множественного регрессионного анализа в п.7.
При ортогональном планировании, когда выполняется условие (8.10), информационная матрица имеет диагональный вид:
. (8.14)
В этом случае обратная матрица также диагональна:
. (8.15)
Отсюда при ортогональном планировании формула (7.13) приобретет вид , что при учете свойства нормированности (8.2) совпадает с полученным ранее выражением (8.12).
Рассчитанные коэффициенты линейной модели (8.3) указывают на силу влияния факторов. Чем больше величина коэффициента, тем большее влияние он оказывает на отклик. Эти коэффициенты называют линейными (главными или основными) эффектами фактора. Поскольку для модели (8.3) коэффициенты оценены независимо друг от друга, величина любого эффекта не зависит от того, какие величины имеют другие эффекты.
По результатам проведения полного факторного эксперимента можно оценить некоторые члены и более сложной модели.
В частности, в рассматриваемом примере с двумя факторами полная квадратичная модель имеет вид
. (8.16)
Уже получены оценки трех коэффициентов (b0, b1 и b2), но опытов сделано четыре. Это дает основание оценить еще один коэффициент из квадратичной модели.
Если по данным табл. 8.3 составить столбцы и (путем возведения в квадрат соответствующих значений из столбцов и ), то окажется что они будут включать только величины +1 и полностью совпадут со столбцом . Поэтому коэффициенты b0, b11 и b22 раздельно оценить нельзя, так как по формуле (7.13) будет получено одно и то же значение для всех трех коэффициентов.
Для расчета коэффициента b12 составлен (перемножением элементов соответствующих столбцов) и записан в табл. 8.3 столбец . Этот столбец отличается от остальных столбцов матрицы планирования эксперимента, а поэтому по формуле (7.13) может быть получено его значение в виде
. (8.17)
Теперь модель выглядит следующим образом:
. (8.18)
Здесь b12 отражает влияние сразу двух факторов - х1 и х2 или, по другому говоря, является эффектом парного взаимодействия. Он показывает силу влияния одного фактора в зависимости от уровня , на котором находится другой.
В общем случае, из полного факторного эксперимента для двухуровневых факторов можно оценить все линейные эффекты и эффекты взаимодействия факторов (двойные, тройные, четверные и т.д.), причем не зависимо друг от друга. Общее число эффектов, включая b0, равно числу опытов полного факторного эксперимента, т.е. 2k.
8.2.2. Дробный факторный план
Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма обширную информацию, однако с ростом числа факторов число опытов в нем резко возрастает. Так при трех факторах следует поставить опытов, при пяти - , а уже при восьми - . Вполне естественно стремление уменьшить число опытов.
Рассматривая матрицу полного факторного эксперимента и сопоставляя ее с линейной моделью, можно заметить, что число опытов значительно превосходит число определяемых в модели коэффициентов.
Вновь рассмотрим полный факторный эксперимент 22, представленный в табл. 3. Как было показано выше, используя данные такого эксперимента можно вычислить четыре коэффициента, причем три из них будут соответствовать линейной модели, а четвертый (b12 в выражении (8.18)) - квадратичному члену х1х2. Если есть основания полагать, что в выбранных интервалах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то можно приписать знаки столбца х1х2 новому фактору х3 . Обычно это записывают так: . Теперь получилась матрица планирования уже для трех факторов, которая соответствует планы дробного факторного эксперимента . Причем такая матрица также обладает свойствами симметричности, ортогональности и ротатабельности.
По результатам опытов проведенных по такому планы можно построить линейную модель вида
. (8.19)
Коэффициенты этой модели также рассчитываются по формуле (7.13).
Можно заметить, что величина коэффициента b3 в точности совпадет с величиной коэффициента b12. Если в дополнение к столбцам, указанным в табл. 8.3 построить столбцы х1х3 и х2х3, то окажется, что они совпадут со столбцами х2 и х1 . Это означает, что нельзя получить раздельных, независимых оценок коэффициентов как это делалось при полном факторном эксперименте. В данном случае получилось, что линейные эффекты смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это можно записать в виде
; ; ,
где bi - вычисленные выборочные оценки коэффициентов, и - неизвестные (оцениваемые) истинные значения коэффициентов.
Читается запись следующим образом: вычисленное значение коэффициента b1 является совместной оценкой коэффициентов и .
Так как нас интересует построение линейной модели, то такое планирование нас вполне устраивает, так как мы полагаем, что эффекты парного взаимодействия близки к нулю и поэтому , и . Причем, основные эффекты оценены раздельно друг от друга.
Указанные в табл. 8.3 четыре опыта представляют собой половину полного факторного эксперимента или дробную реплику. Составляют дробные реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми независимыми переменными. Эти реплики условно обозначают 2k-p, где p - число линейных эффектов. Тогда, например, если полный факторный эксперимент 26 включает 64 опыта, то его 1/2-реплика (полуреплика) содержит опыта, 1/4-реплика (четверть-реплика) - опытов, 1/8-реплика - опытов.
Соотношение, которое показывает с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением. Полуреплика 23-1 (табл. 8.3) построена после приравнивания х3 к х1х2, т. е. генерирующее соотношение в этом случае будет выглядеть следующим образом
. (8.20)
Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых определяющих контрастов, символически обозначающих произведение столбцов, равное +1 или -1. Для рассмотренной матрицы из табл. 8.3 определяющим контрастом будет
. (8.21)
Определяющий контраст (8.21) можно получить из генерирующего соотношения путем умножения левой и правой частей на фактор стоящий в левой части, при этом следует учесть что для любого фактора i .
В качестве примера рассмотрим случай изучения влияния на отклик шести факторов. Решено реализовать 1/8-реплику 26-3, включающую 8 опытов. Одна из возможных матриц такого планы эксперимента показана в табл. 8.4. Для первых трех факторов х1 - х3 записан полный факторный эксперимент 23. Фактор х4 приравнен взаимодействию х1х2х3, фактор х5 - взаимодействию х1х2, фактор х6 - взаимодействию х2х3.
Таблица 8.4
1/8 реплика 26-3
|
N опыта |
х0 |
х1 |
х2 |
х3 |
х4х1х2х3 |
х4х1х2 |
х4х2х3 |
|
1 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
|
2 |
+ |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
|
3 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
- |
- |
|
4 |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
- |
|
5 |
+ |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
- |
|
6 |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
- |
|
7 |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
- |
+ |
|
8 |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
Генерирующие соотношения выбранного планирования:
, , .
Определяющие контрасты:
, , .
Для того, чтобы определить систему смешивания эффектов, необходимо записать так называемый обобщающий определяющий контраст, включающий в себя все определяющие контрасты и их произведения сначала попарно, а затем всех трех. При составлении обобщенного определяющего контраста следует учитывать, что любой столбец в четной степени равен единице, а нечетной - самому себе:
.
Система смешивания эффектов оказывается достаточно сложной:
;
;
;
;
;
;
и т.д.
В приведенной системе смешивания не учтены эффекты более третьего порядка.
Таким образом все линейные и парные эффекты смешаны между собой и с эффектами тройных взаимодействий, однако по результатам проведенного с использованием такого плана эксперимента можно построить линейную модель
в которой коэффициенты рассчитывают используя уравнение (7.13).