тематика Вильгельма Йордана[1]
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].
Содержание
[показать]
Алгоритм[править | править исходный текст]
- Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
- Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
- Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
- Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
- Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
- После повторения этой процедуры раз получают верхнюю треугольную матрицу
- Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
- Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).
Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицы[править | править исходный текст]
Пусть дано:
Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)[править | править исходный текст]
- Разделим первую строку матрицы А на получим: , j — столбец матрицы А.
- Повторяем действия для матрицы I, по формуле: , s — столбец матрицы I
Получим:
- Будем образовывать 0 в первом столбце :
- Повторяем действия для матрицы І, по формулам :
Получим:
- продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы :
при условии, что
- Повторяем действия для матрицы І, по формулам :
при условии, что
Получим :
Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)[править | править исходный текст]
Используем формулу: , при условии, что
Повторяем действия для матрицы І, по формуле : , при условии, что
Окончательно получаем :