Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(ДГТУ)
Кафедра «Радиоэлектроника»
Руденко Н.В.
ЛЕКЦИЯ № 3
Тема лекции: «МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД»
по дисциплине ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Ростов-на-Дону
2013
Лекция № 3
Тема лекции: «Метод комплексных амплитуд»
Учебные вопросы
1. Основные характеристики гармонических токов и напряжений.
2. Основы метода комплексных амплитуд.
3. Комплексное сопротивление пассивного двухполюсника. Закон Ома в комплексной форме.
4. Комплексная схема замещения цепи. Закон Кирхгофа в комплексной форме.
5. Идеализированные пассивные элементы при гармоническом воздействии.
Литература
1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов спец. "Радиотехника".-М.: Высшая школа, 2007 с. 65-95.
1. Основные характеристики гармонических токов
и напряжений
На практике широкое распространение получил переменный ток.
Рисунок 3.1 а, б - Примеры периодических токов
Переменный ток – это ток, значение которого изменяется с течением времени.
Периодический ток – это переменный ток, мгновенное значение которого повторяется через равные промежутки времени. (рис. 3.1 а, б)
Период электрического тока – наименьший интервал времени, по истечении которого значение периодического электрического тока повторяется. Период измеряется в секундах (с). Для периодического тока можно записать:
где К – произвольное целое число.
На рисунках 3.1 представлены временные диаграммы тока, т.е. графики зависимости тока от времени.
Частота периодического тока (циклическая) – есть величина, обратная периоду, и характеризующая число периодов в секунду, т.е. скорость завершения полных циклов изменений мгновенных значений периодического тока:
Частота измеряется в герцах (Гц)
Разновидность периодических прочесов, происходящих в радиотехнических цепях, являются гармонические процессы.
Синусоидальным (гармоническим ) током называется ток, изменяющийся по синусоидальному или косинусоидальному закону:
(3.1)
Традиционно в электротехнической литературе используют синусную форму записи гармонического тока(напряжения), а в радиотехнической – косинусную. Обе формы записи являются равноценными, отличаются только началом отсчёта значений и их можно проиллюстрировать одной и той же кривой (рис.3.2).
Рисунок 3.2 а, б, в - График гармонического тока и напряжения.
Приведём величины, характеризующие синусоидальный ток:
- амплитуда – наибольшее значение гармонического тока (только для гармонического, в остальных случаях пиковое значение). Её размерность совпадает с размерностью i(t).
γ(t)=(ωt+ψi)- мгновенная фаза (фаза) – аргумент функции i(t);
ω - угловая частота – скорость измерения фазы, выражается в радианах в секунду (рад/с)
Т - период – наименьший временной интервал повторения периодического синусоидального сигнала, т.е. следовательно, ,
откуда период:
f - циклическая частота – число периодов в секунду, т.е..
Очевидно, что .
Ток промышленной частоты соответствует f = 50 Гц, а =314 рад/с.
- начальная фаза тока определяет значение фазы при t=0 (часть её для удобства записывают в градусах). Она определяет положение ближайшего положительного максимума( в косинусной форме записи) относительно оси координат (рис 2);
при >0 этот максимум будет смещён влево от оси ординат на величину .
разность фаз, или сдвиг по фазе двух синусоидальных функций одинаковой частоты – разность их начальных. Так, если , а , то сдвигом по фазе между током и напряжением называется угол .
Если , то (рис 3.2.б), тогда максимум напряжения наступает раньше, чем максимум тока. В этом случае говорят, что ток отстаёт по фазе на угол от напряжения или напряжение опережает по фазе ток на угол .
Если , то, тогда максимум тока наступает раньше, чем максимум напряжения. В этом случае говорят, что ток опережает напряжение на угол или напряжение отстаёт по фазе на угол от тока.
При имеем , тогда ток и напряжение совпадают по фазе.
Токи и напряжения цепи, изменяющиеся по гармоническому или другому периодическому закону характеризуются средними за период, средневыпрямленными и действующими.
Среднее значение периодического тока за период определяется выражением:
(3.2)
Для гармонически изменяющихся токов и напряжений среднее значение за период равно нулю, так как площадь, ограниченная полуволной и осью времени, равна площади, ограниченной отрицательной полуволной и осью времени. (рис. 3.3)
Рисунок 3.3 - К определению понятия среднего значения
периодического тока
Средневыпрямленное значение периодического тока или напряжения называется среднее значение модуля соответствующей периодической функции за период:
Значение пропорционально площади, ограниченной частью кривой и осью времени за период Т, и не зависит от выбора начального момента
Рисунок 3.4 - К определению понятия средневыпрямленного
значения гармонического тока
Средневыпрямлённое значение гармонического тока или напряжения равно среднему значению соответствующей гармонической функции на положительном полупериоде. (см. рис. 3.4)
(3.3)
Среднее значение за полупериод гармонического тока равно высоте прямоугольника с основанием , площадь которого равна площади под кривой сигнала
Рисунок 3.5- К определению понятия действующего
значения синусоидального тока
Очень важной характеристикой периодических токов и напряжений являются действующее, или эффективное значение. Действующим значением периодического тока называется среднеквадратическое значение тока за секунду.
(3.4)
Действующее значение I периодического тока i(t)численно равно значению постоянного тока I, при протекании которого за время Т выделяется такое же количество энергии, как и при протекании тока i(t)
Покажем это. Пусть при протекании периодического тока i(t) через линейное сопротивление R в нём в соответствии с выражением (3.4) и законом Джоуля-Ленца за период Т выделяется энергия
(3.5)
Выражение (3.5) совпадает с выражением для энергии, выделяющейся в сопротивлении при протекании через него постоянного тока I_=I в течении времени Т (закон Джоуля-Ленца):
Аналогично можно определить и действующее значение U периодического напряжения и (t).
(3.6)
Действующее значение I гармонического тока i(t) в раз меньше его амплитуды:
(2.7)
Поскольку большинство электроизмерительных приборов реагируют на действующие, а не на максимальные (пиковые)значения токов и напряжений, при описании гармонических и напряжений принято указывать действующее, а не амплитудное значение.
Выражая в (3.1) амплитуду через действующее значение I, ещё одну формулу записи гармонического тока:
(3.8)
В соответствии с ГОСТ 1494-77 обозначают:
мгновенное значение токов и напряжений ветвей, токов источников тока и ЭДС источников напряжения, являющихся гармоническими функциями времени – строчными буквами ;
действующее значение этих величин – соответствующими прописными буквами I, U, J, E
амплитудное значение – теми же прописными буквами с индексом m
Размерность средних, средневыпрямлённых и действующих значений гармонических токов и напряжений совпадают с размерностью соответствующих функций и, следовательно, с размерностью их амплитуд.
2. Основы метода комплексных амплитуд
2.1 Способы представления гармонических токов.
Понятие о символическом методе
При анализе цепей переменного тока используют следующие способы представления гармонических токов и напряжений:
1) с помощью временных диаграмм.
2) с применением временных диаграмм.
3) с использованием комплексных чисел.
Временная диаграмма гармонического тока i(t) – это график функции времени
Временную диаграмму напряжения можно наблюдать на экране осциллографа.
С помощью временных диаграмм можно производить суммирование и вычитание мгновенных значений токов. (рис. 3.6)
Рисунок 3.6 - Суммирование мгновенных значений токов
на временной диаграмме.
Однако получение суммарного и разностного тока по времени диаграмме является наглядной, но очень трудоёмкой операцией.
Поскольку временная диаграмма периодического тока i(t) представляет собой проекцию вектора, длина которого численно равна амплитуде , начальное положение на плоскости равно начальной фазе тока , и вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью (рис. 3.7), то для изображения гармонического тока удобно использовать векторные диаграммы.
Рисунок 3.7- Представление гармонического тока
вращающимся вектором
При этом рассматриваются не проекции вращающихся с угловой скоростью w векторов, а сами эти векторы.
Векторная диаграмма – это диаграмма представляющая собой совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной по фазе. Чтобы ‘остановить’ вращение векторов необходимо вращать плоскость вокруг точки начала этих векторов по часовой стрелке с той же угловой частотой , то и предполагается при рассматривании векторных диаграмм.
Векторная диаграмма строится в амплитудных либо в действующих значениях. Отсчёт начальных фаз ведётся от горизонтальной оси. (рис. 3.8)
Рисунок 3.8 - Векторная диаграмма токов
По векторной диаграмме можно определить сумму (разность) токов.
Пусть, например,
Необходимо найти. Воспользуемся для этого методом векторных диаграмм. Изобразим на плоскости векторы и со своими начальными фазами. (рис. 3.9)
Рисунок 3.9 - Суммирование токов методом векторных диаграмм.
Амплитуда тока находится из векторной диаграмме путём геометрического сложения векторов и . Отсюда же находиться начальная фаза суммарного тока.
Аналогично можно найти и разность токов, используя геометрические построения.
Существенные недостатки метода векторных диаграмм и метода временных диаграмм являются:
недостаточная точность;
большой объём графических работ (громоздкость).
Эти недостатки особенно проявляются при анализе сложных радиотехнических цепей.
Для расчёта сложной цепи гармонического тока, если все источники ЭДС этой цепи генерируют колебания одной и той же частоты, широко применяется метод комплексных амплитуд (иначе – символический или комплексный).
Этот метод разработан в конце XIX века американскими инженерами Ч.П.Штейнметцем и А.Е.Кеннели.
Метод комплексных амплитуд, подобно логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями исходных функций. Поэтому методы такого типа называются символическими.
Решение любой задачи символическими методами содержит следующие основные этапы:
- прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символическим (изображениям);
- определение изображений искомых величин путём выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;
- обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений искомых величин к их оригиналам.
Очевидно, что эффективность символического метода определяется трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, насколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.
Символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод) основан на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, т.е. на преобразовании исходных функций из временной области (области вещественных переменных) в частотную (область мнимого аргумента jw)
При использовании комплексного метода алгебраически интерпретируется векторная диаграмма.
3.2 Комплексные числа и основные операции над ними
Комплексным числом A называется выражение вида
А = a + jb, (3.9)
где а – действительное число, называемое вещественной составляющей комплексной;
b – действительное число, называемое мнимой составляющей комплексного числа;
– мнимая единица.
Вещественная и мнимая составляющие комплексного числа обозначаются так: ,
Выражение (3.9) – это алгебраическая форма записи комплексного числа.
Комплексное число А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна а, а ордината – b (рис. 3.10 а)
Ось абсцисс, на которой откладывается вещественная часть комплексного числа, называется действительной (Re); ось ординат, на которой откладывается мнимая часть – мнимой ().
Рисунок 3.10 а, б, в - К определению понятия комплексного числа
Каждой точке А комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплексному числу А можно поставить в соответствие вектор А, проведённый из начала координат в точку А. (рис 3.10 б)
Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа:
(3.10)
Угол между вектором А и положительным направлением вещественной оси называют аргументом комплексного числа:
(3.11)
Положительное направление отсчёта – против часовой стрелки. Главное значение в промежутке
Как видно из рис. 3.11, вещественная а и мнимая b части комплексного числа А есть проекция вектора А на действительную и мнимую оси
(3.12)
Подставляем соотношение (3.12) в выражение (3.9), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:
(3.13)
Использую форму Эйлера
(3.14)
где e – основание натурального логарифма, получаем показательную формулу записи комплексного числа:
(3.15)
Комплексные числа и считаются равными, если попарно равны их действительные и мнимые части a=c, b=d, или равны их модули |А|=|В|, а аргументы отличаются на ,(n – целое число).
Два комплексных числа и называются сопряжёнными, если их действительные части равны а мнимые отличаются только знаком.
Точки на плоскости, изображающие сопряжённые комплексные числа, симметричны относительно действительной оси (рис. 3.10 в)
Модули сопряжённых чисел равны, а главные значения их аргументов отличаются только знаком:
Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, учитывая что ,
Операции сложения и вычитания удобнее выполнять, используя алгебраическую форму записи:
(3.16)
сумма двух сопряжённых комплексных чисел и представляет собой действительное число.
(3.17)
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее производить в показательной форме:
(3.18)
Из выражений (3.18) следует, что при умножении вектора на действительное число m получается новый вектор, модуль которого в m раз больше модуля А:
При умножении вектора на вектор , модуль которого равен единице, образуется новый вектор, повёрнутый относительно вектора А на угол против часовой стрелки:
(3.19)
Из выражения (3.19) и формулы Эйлера (3.14) также, что умножение вектора на вектор
(3.20)
равносильно повороту вектора А на угол против часовой стрелки:
а умножение вектора А на вектор приводит к повороту вектора А на угол по часовой стрелке:
Умножение вектора А на равносильно изменению аргумента А на:
2.3. Представление гармонических токов и напряжений
в комплексной форме
При использовании метода комплексных амплитуд необходимо уметь записывать символы (комплексные числа), характеризующие функции мгновенных значений электрических величин, их амплитуды и действующие значения.
Рассмотрим этот вопрос применительно к синусоидальному току:
Ранее было доказано, что этой функции соответствует вектор , вращающийся против часовой стрелки с угловой скоростью равной угловой частоте тока (рис. 3.11 а).
Рисунок 3.11 а, б - Соответствие вращающемуся вектору (а)
комплексного числа (б)
Комплексный мгновенный ток. Вращающемуся вектору тока , помещённому на комплексную плоскость (рис.3.11 б) соответствует комплексное число
(3.22)
Данное комплексное число i можно принять в качестве символа мгновенного синусоидального тока, при этом:
(3.23)
– его вещественная составляющая,
(3.24)
– его мнимая составляющая.
Комплексное число i (3.22) в теории цепей принимается в качестве символа функции времени мгновенного синусоидального тока при условии, что мнимая часть этого комплекса (3.24) вообще опускается при переходе от символа к оригиналу. Таким образом, символом функции времени мгновенного синусоидального тока i(t) является комплексное число i, называемое комплексным мгновенным синусоидальным током.
Из соотношения для (3.22) следует определение этого тока:
Комплексный мгновенный синусоидальный ток есть комплексная величина, зависящая от времени, модуль и аргумент которой равен соответственно амплитуде и аргументу заданного синусоидального тока.
Комплексная амплитуда тока. Если рассмотреть вращающийся вектор синусоидального тока (рис. 3.11 а) в момент времени t=0, т.е. в момент начала отсчёта (рис. 3.12 а), то этот вектор можно считать неподвижным. На комплексной плоскости этому вектору соответствует число , называемое комплексной амплитудой данного синусоидального тока:
(3.25)
Комплексная амплитуда является частью комплексного мгновенного тока.
Действительно, с углом (3.22) и (3.25) можно записать:
(3.26)
Множитель (оператор вращения) характеризует зависимость комплексного мгновенного тока i от времени. В комплексной амплитуде тока (3.25) он отсутствует.
Комплексная амплитуда синусоидального тока есть комплексная величина, модуль которой равен амплитуде, а аргумент – начальной фазе данного синусоидального тока.
Рисунок 3.12 а, б - Комплексная амплитуда тока(а)
и комплексный действующий ток.
Комплексный действующий ток. Большинство расчётных соотношений для цепей гармонических токов записываются через действующие значения электрических величин (тока, напряжения, ЭДС). Переход к символической форме записи требует выбора символа (комплексного числа) и для действующих значений электрических величин.
Применительно к синусоидальному току символ действующего значения тока можно получить делением комплексной амплитуды тока (3.25) на
(3.27)
Данному комплексному числу соответствует неподвижный вектор, как и комплексному числу , но уменьшенный по длине в (рис. 3.12 б).
Это комплексное число (2.27) называется комплексным действующим током.
Комплексный действующий синусоидальный ток (комплексный ток) есть комплексная величина, модуль которой равен действующему значению синусоидального тока, а аргумент – начальной фазе этого тока.
Пример 1. Пусть имеется гармонический ток
Тогда комплекс мгновенного тока:
Комплексная амплитуда тока:
– в показательной форме;
– в тригонометрической форме;
– в алгебраической форме.
Комплексный действующий ток:
– в показательной форме;
– в тригонометрической форме;
– в алгебраической форме.
Вещественная часть комплекса мгновенного тока есть исходный гармонический ток:
Пример 2. Напряжению соответствует комплексная амплитуда
2.4 Операции над комплексными изображениями
гармонических функций
Комплексный метод предполагает замену геометрических операций над векторами синусоидальных электрических величин алгебраическими операциями над их символами (комплексными числами).
Рисунок 3.13 а, б, в - Сложение комплексных токов.
Покажем возможность такой алгебраизации геометрических задач на следующем примере.
Пример 3. Сложение комплексных чисел изображающих вектора.
В цепи синусоидального тока, изображённой на рис. 2.13 а, действующее значение тока суммируется геометрически, что подтверждает векторная диаграмма токов для данной цепи (рис 3.13 б), т.е.
(3.28)
При этом проекция результирующего вектора на соответствующие оси системы координат равны сумме проекций составляющих векторов и на этой же оси.
;
Векторной диаграмме токов, помещённой на комплексную плоскость (рис. 3.13 в) соответствует система чисел , , , являющихся символами рассматриваемых векторов токов:
; ; (3.29)
Символами результирующего вектора с учётом соотношений (3.29) можно записать следующим образом:
, т.е.
(3.30)
Сравнивая выражения (3.28) и (3.30) можно сделать вывод о соответствии геометрических и алгебраических операций.
Геометрической сумме векторов синусоидальных электрических величин соответствует алгебраическая сумма комплексных чисел, изображающих эти векторы.
Распространяя этот результат на все аналогичные линейные операции над гармоническими функциями времени, можно сделать вывод, что любые геометрические операции над векторами синусоидальных электрических величин можно заменить алгебраическими операциями над символами этих величин, в качестве которых используются комплексные числа. Другими словами линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексами.
В лекции №1 показано, что для расчёта последовательной RLC-цепи необходимо решить следующее интегро-дифференциальное уравнение, составленное на основе второго закона Кирхгофа:
Решение этого уравнения сопряжено с выполнение операций дифференцирования и интегрирования функций времени.
Применение комплексного метода позволяет решать подобные уравнения более простым алгебраическим способом.
Рассмотрим это подробнее. Пусть ток в цепи изменяется по синусоидальному закону
Тогда его производная и интеграл соответственно записываются следующим образом:
(3.31)
(3.32)
Новым синусоидальным функциям (3.31) и (3.32) соответствуют свои мгновенные комплексные значения(символы), которые по аналогии с соотношением (3.26) можно записать так:
.
С учётом формул (3.20), (3.21) и (3.26) окончательно получим:
(3.33)
(3.34)
Комплексные числа (3.33) и (3.34) являются символами производной и интеграла синусоидальных функций электрических величин и отражают смысл алгебраизации операций дифференцирования (интегрирования) оригиналов:
Операции дифференцирования (интегрирования) синусоидальных функций можно заменить алгебраическими операциями умножения (деления)комплексных мгновенных значений (комплексных амплитуд) этих функций на .
Таким образом, при переходе от синусоидальных электрических величин (оригиналов) к их символам (комплексным числам)удаётся полностью алгебраизовать все операции над синусоидальными электрическими величинами.
Это позволяет существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, т.к. даёт возможность заменить систему интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия цепи, составленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных амплитуд соответствующих токов и напряжений.
В этом и заложена основа комплексного метода расчёта гармонических цепей.
3. Комплексное сопротивление пассивного
двухполюсника. Закон Ома в комплексной форме
Рассмотрим произвольный пассивный линейный двухполюсник, находящийся под гармоническим воздействием. (рис. 3.14)
Рисунок 3.14 - Идеализированный пассивный двухполюсник.
Ток и напряжение на зажимах этого двухполюсника являются гармоническими функциями времени:
Комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) пассивного двухполюсника называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах двухполюсника к комплексной амплитуде тока:
(3.35)
Выражая комплексные амплитуды тока и напряжения через соответствующие комплексные действующие значения ; , получим, что комплексное сопротивление пассивного двухполюсника может быть найдено как отношение комплексных действующих значений тока и напряжения:
(3.36)
Комплексное сопротивление произвольного двухполюсника в общем случае представляет собой комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной
(3.37)
тригонометрической
(3.38)
или алгебраической
(3.39)
формах.
Величина z=|Z| называется модулем комплексного сопротивления (полным входным сопротивлением) и определяет отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока?
(3.40)
Величина называется аргументом комплексного сопротивления и равен разности начальных фаз напряжения и тока:
(3.41)
В зависимости от фазовых соотношений между напряжением и током значения может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстаёт по фазе от тока) или равно нулю (ток и напряжение совпадают по фазе).
Величина и называется соответственно вещественной (активной или резистивной) или мнимой (реактивной) составляющими комплексного сопротивления
Комплексное входное сопротивления может быть представлено в виде вектора, расположенного в комплексной плоскости, длина которого в определённом масштабе равна Z , а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен (рис 3.15)
Рисунок 3.15 - Изображение комплексного сопротивление
на комплексной плоскости
,
Вещественная и мнимая составляющие входного сопротивления представляют собой проекции вектора на вещественную и мнимую оси.
Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной входной проводимостью двухполюсника.
(3.42)
Комплексная проводимость определяется как отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого двухполюсника:
(3.43)
где
- модуль комплексной входной проводимости, называемый полной входной проводимостью двухполюсника и является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления:
– аргумент входной проводимости равный по абсолютному значению и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления.
g и b – вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора Y на вещественную и мнимую оси положительной плоскости (рис. 3.16):
Рисунок 3.16 - Изображение комплексной проводимости
на комплексной плоскости.
Подставляя в (2.42) и определим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости двухполюсника:
(3.44)
(3.45)
Введение понятия комплексного сопротивления, как коэффициента пропорциональности между комплексной амплитудой напряжения и комплексной амплитудой тока, и означает введение закона Ома в комплексной форме:
(3.46)
По форме записи закон Ома в комплексной форме (3.46) аналогичен закону Ома для резистивной цепи, однако, здесь он устанавливает связь не между током и напряжением двухполюсника, а между комплексными амплитудами синусоидального тока и напряжения двухполюсника.
4. Комплексная схема замещения цепи. Законы Кирхгофа
в комплексной форме
На основе закона Ома в комплексной форме каждому участку линейной электрической цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода(рис. 3.16), т.е. идеализированному пассивному двухполюснику можно поставить в соответствие комплексную схему замещения, на которой рассматриваемый участок цепи представлен комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи или напряжения на его зажимах – комплексными амплитудами (рис. 3.17 а) или комплексными действующими значениями. (рис. 3.17 б)
Рисунок 3.17 - Комплексные схемы замещения идеализированного
пассивного двухполюсника
Представляя все входящие в моделирующую цепь идеализированные пассивные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и ЭДС идеализированных источников – их комплексными амплитудами или действующими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (схему замещения для комплексных амплитуд или схему замещения для комплексных действующих значений).
Таким образом, комплексная схема замещения цепи может быть получена из схемы замещения для мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями.
По внешнему виду комплексная схема замещения цепи постоянного тока, составленная только из сопротивлений и идеализированных источников энергии, причем, подобно цепи постоянного тока, компонентные уравнения всех ветвей в комплексной форме являются алгебраическими.
Мгновенное значение токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемые на основании закона Кирхгофа.
Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдём от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений и законов Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых законами Кирхгофа в комплексной форме.
Первый закон Кирхгофа в комплексной форме устанавливает связь между комплексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи:
Сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) токов всех ветвей, подключённых к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:
, (3.47)
где k – номер ветви, подключённой к рассматриваемому узлу.
Второй закон Кирхгофа в комплексной форме определить связь между комплексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи:
Сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в замкнутый контур электрической цепи, равна нулю:
, , (3.48)
где n – номер ветви, входящий в рассматриваемый контур.
В ряде случаев удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме:
Сумма комплексных ЭДС, действующих в замкнутом контуре электрической цепи, равна сумме комплексных падений напряжений на комплексных сопротивлениях участков этого контура.
(3.49)
Закон Кирхгофа сформулирован только для мгновенных значений, комплексных амплитуд и комплексных мгновенных значений токов и напряжений.
Они не выполняются для амплитуд и действующих значений соответствующих величин.
Используя выражения для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, можно составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от системы уравнений электрического равновесия для мгновенных значений токов и напряжений уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений являются алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще, чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений.
Алгоритм анализа цепи методом комплексных амплитуд
1. Переход от гармонических токов и напряжений всех ветвей к их комплексным изображениям (комплексным амплитудам или комплексным действующим значениям).
2. Переход от схемы замещения цепи для мгновенных значений к комплексной форме замещения.
3. Составление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений но основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
4. Решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений.
5. Переход от комплексных изображений интегрирующих токов и напряжений к их оригиналам.
5. Идеализированные пассивные элементы
при гармоническом воздействии
5.1 Резистивный элемент.
Пусть к резистивному элементу (рис. 3.20)
Рисунок 3.20 - Резистивный элемент
Приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону (рис.3.21,а):
(3.50)
Рисунок 3.21, а, б, в, г - Временные диаграммы (а) напряжения, (б) тока,
мгновенной мощности (в) и энергии (г) резистивного элемента.
Определим ток резистивного элемента и его комплексное входное сопротивление , а также построим диаграммы, характеризующие зависимость тока, напряжения и мгновенной мощности от времени.
Связь между мгновенными значениями тока и напряжения линейного резистивного элемента определяется.
Подставляя (3.50) в выражение для закона Ома, находим
(3.51)
Анализ выражения (3.51) позволяет сделать следующие выводы.
При гармоническом внешнем воздействии ток резистивного элемента является функцией времени той же части, что и напряжение (рис. 3.21 б):
Ток и напряжение линейного резистивного элемента совпадают по фазе:
(3.52)
Действующие значения напряжения и тока связаны между собой отношением:
, (3.53)
подобный закону Ома для мгновенных значений.
Комплексный ток и напряжение резистивного элемента:
и
На комплексной плоскости напряжение и ток изображаются векторами, которые совпадают по направлению и различаются только масштабом (рис.3.22,а).
Рисунок 2.22 а, б, в - Векторная диаграмма тока и напряжения, комплексного
сопротивления, и комплексной проводимости резистивного элемента.
Комплексное сопротивление резистивного элемента равно отношению комплексных действующих значений напряжения и тока:
(3.54)
Анализ выражения (3.54) с учётом (3.52) и (3.53) позволяет сделать следующие выводы:
1. Модуль комплексного сопротивления;
;
2. Аргумент комплексного сопротивления;
;
3. Комплексное входное сопротивление резистивного элемента содержит только вещественную составляющую:
,
На комплексной плоскости комплексное сопротивление изображается вектором, направленным вдоль вещественной оси (рис. 3.22 б).
Комплексная проводимость резистивного элемента по аналогии (3.54) будет иметь вид:
(3.55)
Комплексная проводимость резистивного элемента также изображается вектором, направление которого совпадает с направлением положительной вещественной полуоси (рис.3.22, в).
Комплексная схема замещения резистивного элемента (рис. 3.23) имеет такой же вид, как и схема замещения этого элемента для мгновенных значений (рис. 3.20), и отличается от последней только тем, что мгновенные значения тока и напряжения заменены их комплексными изображениями и .
Рисунок 3.23 - Комплексная схема замещения участка цепи,
содержащего резистивный элемент
Мгновенная мощность резистивного элемента определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока :
С учётом того, что , мгновенную мощность резистивного элемента можно представить в виде:
(3.56)
Из выражения (3.56) следует, что мгновенная мощность резистивного элемента содержит две составляющие:
- постоянную, равная произведению действующих значений тока и напряжения;
- переменную, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой, удвоенной по сравнению с частотой воздействующего напряжения (рис. 3.21,в).
Максимальное значение мощности резистивного элемента равно, а минимальное – нулю.
Выводы:
1. Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительна, т.к. знаки тока и напряжения в любой момент времени одинаковы.
2. Мгновенная мощность образуется в нуль в точках, где ток и напряжение равны нулю, и достигает максимума в момент времени, когда ток и напряжение максимальны по абсолютному значению. Это означает, что движение энергии в цепи имеет односторонний характер – от источника к резистору.
Среднее значение мощности резистивного элемента за период называется активной мощностью; оно равно произведению действующих значений напряжения и тока:
(3.57)
Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления энергии от источнике.
Энергия, поступившая в резистивный элемент к произвольному времени t, может быть найдена как интеграл от мощности. Тогда с учетом выражения (3.5) полагая, что энергия, поступившая к моменту времени t = 0, равна , получаем.
Вывод:
Энергия, поступившая в резистивный элемент в произвольный момент времени является неубывающей функцией времени (рис . 3.21 г), причём в моменты времени, когда мгновенная мощность резистивного элемента принимает нулевые значения, на графике появляется горизонтальный участок. Следовательно, электрическая энергия в цепи гармонического тока с резистивным элементом непрерывно необратимо преобразуется в тепло; эта энергия доставляется в цепь от источника, к которому подключена цепь.
5.2. Индуктивный элемент
Пусть ток, протекающий через индуктивный элемент (рис. 3.24) изменяется по гармоническому закону:
(3.58)
Рисунок 3.24 - Индуктивный элемент
Найдём напряжение на индуктивном элементе. Связь между мгновенными значениями тока и напряжения на индуктивном элементе определяется законом электромагнитной индукции. Подставляя (3.58) в выражение этого закона, получаем:
(3.59)
Анализ выражения (3.59) позволит сделать следующие выводы:
1. При гармоническом внешнем воздействии напряжения на зажимах индуктивного элемента является гармонической функцией времени той же частоты, что и воздействующий то (рис.3.25 а)
(3.60)
Рисунок 3.25 а, б - Временные диаграммы тока и напряжения (а),
мощности и энергии (б) индуктивного элемента
2. Начальная фаза напряжения на 90о больше начальной фазы тока
(3.61)
3. Действующее значение напряжения на зажимах индуктивного элемента пропорционально действующему значению тока
(3.62)
Комплексный ток и комплексное напряжение определяются выражениями:
(3.63)
(3.64)
Рисунок 3.26 а, б, в - Векторные диаграммы тока и напряжения (а),
Комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в)
индуктивного элемента
Они изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины которых в определённом масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктивного элемента, причём вектор повёрнут относительно вектора на угол против часовой стрелки (рис. 3.26 а)
Используя выражения (3.63) и (3.64), находим комплексное сопротивление и комплексную проводимость индуктивности:
(3.65)
(3.66)
Сравнивая (3.65) и (3.66) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивления и проводимости , получаем модули и аргументы вещественную и мнимую части комплексного сопротивления и комплексной проводимости
На комплексной плоскости и изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительного или отрицательного направлениям мнимой оси (рис. 3.26 б, в).
Комплексная схема замещения индуктивного элемента приведена на рис. 3.27
Рисунок 3.27 - Комплексная схема замещения индуктивного элемента
Мгновенная мощность индуктивного элемента при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой равной (рис 3.25 б):
(3.67)
В связи с тем, что в индуктивном элементе отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, его активная мощность равна нулю:
(3.68)
Энергия , запасённая в магнитном поле индуктивного элемента, определяется мгновенным значением тока:
(3.69)
Мгновенная энергия индуктивного элемента содержит постоянную и переменную составляющие, причём переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой (рис. 3.26 в).
Выводы:
Из полученных соотношений (3.67) – (3.69) и графиков, изображённых на рис. 3.25 можно сделать выводы о характере движения энергии в цепи синусоидального тока с индуктивностью:
1. В цепи с индуктивностью энергетический процесс заключается в колебании энергии между цепью и источником без её необратимых преобразований в другие виды энергии; в течении первой четверти периода с ростом тока энергии от источника питания поступает в цепь, запасаясь в магнитном поле индуктивного элемента, в следующую четверть периода энергия магнитного поля по мере убывания значений тока убывает, полностью возвращаясь к источнику питания, и далее процесс повторяется;
2. Максимум энергии, накопленной в индуктивном элементе, совпадает с максимумом тока и определяется при заданной индуктивности амплитудой тока (3.69).
3. Активная мощность в цепи гармонического тока с индуктивностью равна нулю, поэтому ток в такой цепи полезной работы не совершает;
4. Энергия, обратимо преобразуемая в цепи с индуктивностью, является не активной, а реактивной энергией, поэтому цепь с индуктивностью называется «реактивной цепью», а индуктивный элемент – «реактивным элементом» цепи.
5.3. Емкостной элемент
Пусть к емкостному элементу (рис. 3.28)приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону:
(3.70)
Рисунок 3.28 - Емкостной элемент
Используя выражение связи тока и напряжения на ёмкости, найдём
(3.71)
Анализ выражения (3.71) позволяет сделать следующие выводы:
1. При гармоническом приложенном напряжении ток емкостного элемента изменяется по гармоническому закону (рис. 3.29 а):
(3.72)
2. Начальная фаза тока на больше начальной фазы напряжения, т.е. ток емкостного элемента опережает по фазе напряжение на 90 (рис 3.29).
(3.73)
3. Действующее значение тока емкостного элемента пропорционально действующему значению напряжения:
(3.74)
Рисунок 3.29 а, б, в - Временные диаграммы напряжения и тока (а)
мощности (б) и энергии (в) емкостного элемента.
В связи с тем, что ток ёмкости опережает напряжение ёмкости по фазе на угол , комплексные ток и напряжения ёмкости
(3.75)
(3.76)
изображаются на комплексной плоскости в виде двух векторов, расположенных так, что вектор повёрнут относительно вектора на угол против часовой стрелки (рис. 3.30)
Рисунок 3.30 а, б, в - Векторные диаграммы тока и напряжения (а) комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости емкостного элемента
Используя выражения (3.75) и (3.76) находим комплексное сопротивление и комплексную проводимость ёмкости
(3.77)
(3.78)
Сравнивая (3.77) и (3.78) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивлений и проводимости , находим модули, аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных сопротивлений и проводимости ёмкости:
На комплексной плоскости и изображаются векторами, направленными соответственно вдоль отрицательной или положительной мнимых полуосей (рис. 3.30 б, в)
Комплексная схема замещения емкости приведена на рис 3.31.
Рисунок 3.31 - Комплексная схема замещения емкостного элемента
Мгновенная мощность емкостного элемента при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, в два раза большей частоты приложенного напряжения (рис. 3.29 б):
(3.75)
Как видно из временных диаграмм (рис. 3.29) в течение половины периода изменение мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (ёмкость заряжается), при этом мгновенная мощность ёмкости положительна.
В течение второй половины периода ёмкость отдаёт запасённую энергию (разряжается), при этом ток и напряжение ёмкости имеют разные знаки, а мгновенная мощность тока отрицательна.
Среднее значение мощности ёмкостного элемента за период (активная мощность) равна нулю:
(3.76)
Энергия, запасённая в ёмкости, определяется приложенным к ней напряжением:
(3.77)
Из выражения (3.77) следует, что энергия, запасённая в ёмкости, содержит две составляющие: переменную и постоянную, причём переменная составляющая энергии изменяется во времени по гармоническому закону с частотой (рис. 3.29 в)
Выводы:
Из полученных соотношений (3.75) – (3.77) и графиков, изображённых не рис 3.29 можно сделать следующие выводы о характере движения энергии в цепи синусоидального тока с ёмкостью:
1. В цепи с ёмкостью энергетический процесс заключается в колебании энергии между цепью и источником без её необратимых преобразований в другие виды энергии; в течении первой четверти периода, по мере возрастания напряжения на ёмкости энергии от источника питания поступает в цепь, запасаясь в электрическом поле конденсатора, в следующую четверть периода по мере убывания значения напряжения на ёмкости энергия электрического поля конденсатора убывает, возвращаясь к источнику питания цепи, и далее процесс повторяется;
2. Максимум накопленной энергии в электричёском поле ёмкостью элемента совпадает с максимумом напряжения на нём и определяется при заданной ёмкости амплитудой этого напряжения;
3. Активная мощность в цепи гармонического тока с ёмкостью равна нулю, поэтому ток в такой цепи полезной работы не совершает;
4. Энергия, обратимо преобразуемая в цепи ёмкостью, является не активной, а реактивной энергией, поэтому цепь с ёмкостью называется реактивной цепью, а емкостной элемент – реактивным элементом цепи.
Лекция составлена доцентом кафедры «Радиоэлектроника»
Руденко Н.В.