Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Урок исследование
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Цель урока: Показать множественность подходов к доказательству теоремы; совершенствовать исследовательские умения и навыки учащихся.
Подготовка к уроку: ученики-консультанты дома готовят по дополнительной литературе семь доказательств признака перпендикулярности прямой и плоскости.
Ход урока: I
Вступительное слово учителя:
Сегодняшний урок – урок исследования. Всем вместе предстоит в процессе решения задач и ответов на проблемные вопросы, подойти к формулировке теоремы перпендикулярности прямой и плоскости и познакомиться с семью вариантами доказательств этой теоремы с тем, чтобы выбрать наиболее оптимальный из них, обстоятельно мотивировать своё мнение.
1.Подготовка к формулировке теоремы:
Повторение определения перпендикуляра к плоскости, анализ практического применения данного понятия посредством решения задач.
Задача 1.
Даны: Плоскость , точки А и В в этой плоскости; АМ – прямая перпендикулярная этой плоскости. Определить вид треугольника АМВ.
Задачи по вариантам.
I
Дан плоский четырёхугольник АВСD. АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Какие из треугольников ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM – прямоугольные.
II
ABCD – квадрат. Прямая ВК перпендикулярна плоскости квадрата. Какие из треугольников ABD, BCD, ABK, BDK, BCK – прямоугольные.
Консультанты собирают листочки и проверяют решения, а учитель подводит учащихся к выводу:
1.Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная к плоскости,
перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости?
2.Когда же прямая перпендикулярна плоскости?
3.Сколько прямых лежат на плоскости? Можно ли их посчитать?
Далее учитель создаёт проблемную ситуацию, в основе которой – поиск ответа на вопрос: Сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы можно было сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
Ученик – консультант на модели из спиц показывает различные варианты: в плоскости две прямые в плоскости, прямая перпендикулярна одной из них. Вывод: прямая не перпендикулярна плоскости. Следующий вариант модели: прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, и, оказывается, перпендикулярна плоскости. Далее для закрепления, можно взять модель из трёх прямых и т. д.
По завершению работы с моделями перед учащимися ставится очередной проблемный вопрос: сколько прямых достаточно в плоскости, чтобы сказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
Исследовав ситуацию перпендикулярности прямой и плоскости, мы в плотную подошли к теореме, которая даст возможность выяснить на чертежах, на моделях и в практика перпендикулярность к прямой и плоскости. Попробуем сформулировать теорему.
Ребята предлагают свои варианты формулировки теоремы. Учитель выделяет наиболее рациональнее и предлагает прослушать различные варианты формулировки и доказательства рассматриваемой теоремы, которые ученик разыскали дома в рекомендованной литературе.
2. Доказательство теоремы:
I вариант автор А.П. Киселев
Теорема: Если прямая, пересекающаяся с плоскостью, перпендикулярна каким - нибудь двум прямым, проведённым на этой плоскости через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой третьей прямой проведённой в этой плоскости через ту же точку пересечения.
O
D
Доказательство: Отложим на прямой AA1 произвольной длины, но равные отрезки OA и OA1 и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекла бы три прямые исходящие из точки О в точках C, D, и B .Эти точки соединим с точками A и A1; мы получим несколько треугольников.∆ACB= ∆A1CB, так как у них BC - общая, AC=A1C - как наклонные к прямой AA1, одинаково удаленые от основания О перпендикуляра ОС. По той же причине AB=A1B .Из равенства этих треугольников следует, что ∟ABC=∟A1BC.
∆ABD=∆A1BD по первому признаку равенства треугольников: BD - общая, AB=A1B по доказанному, ∟ABC= ∟A1BC .Из равенства этих треугольников следует, что AD=A1D.
∆АОD=∆A1OD по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует, что AOD= A1OD; и так как эти углы смежные, то AA1 перпендикулярна OD.
II вариант. Автор М.И.Башмаков
Теорема: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, перпендикулярна плоскости.
Первый случай, когда все прямые a, b, c проходят через точку О – точку пересечения прямой с плоскостью α. Отметим на прямой р вектор OP, на прямой с вектор OC и докажем, что произведение векторов OP и OC равно 0.
Разложим вектор OC по векторам OA и OB, расположенные соответственно на прямых a и b; тогда (речь идет о векторах) OC=OA+OB. Значит:
OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB
Но OP ┴ OA, OP ┴ OB; поэтому OP∙OA=0, OP∙OB=0. Отсюда OP∙OC=0; значит OP ┴ OC и р ┴ с. Но с – любая прямая плоскости; значит, р ┴ α
Второй случай, когда прямые a, b, c не проходят через точку О. Проведем через точку О прямые a1||a; b1||b; c1||c. По условию p ┴ а, p ┴ b, значит p ┴ а1, p ┴ b1, и, по доказанному выше, p ┴ с1, а поэтому p ┴ с. Прямая с – любая прямая плоскости α; значит прямая р перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в плоскости α, а поэтому p ┴ α.
III вариант. Автор А. В. Погорелов.
Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Доказательство можно взять из учебника А.В. Погорелов «Геометрия 7-11»
А1
α A X B
C b
c x
А2
IV вариант Э.Е. Лежандр
Теорема: Прямая перпендикулярная двум прямым, лежащим на плоскости, перпендикулярна самой плоскости.
Дано: SOOA, SOOB, OA C .,OB C
Доказать: SO
Доказательство:
1. Медиану треугольника можно выразить через стороны
4AM2=2(AB2+AC2)-BC2
2 Через точку С проведём прямую так, чтобы отрезок АВ, заключённый между сторонами угла АОВ, разделился бы в этой точке пополам, то есть АС=ВС. SC – медиана треугольника АSВ: 4SС2=2(SА2+SВ2)-АВ2. ОС – медиана треугольника АОВ: 4ОВ2=2(АО2+ОВ2)-АВ2. Почленно вычитая эти равенства, получим: 4(SС2-ОС2)=2((SА2-АО2)+(SВ2-ОВ2)). Выражение в скобках в правой части равенства можно заменить по т. Пифагора. Для треугольника АОS: SО2=SА2-ОА2. Для треугольника ВОS: SО2=SВ2-ОВ2.
Отсюда: 4(SС2-ОС2)=2(SО2+SО2), 4(SС2-ОС2)=4SО2, SС2-ОС2=SО2, откуда SС2=SО2+ОС2. Согласно обратной теоремы Пифагора, SООС. ОС – произвольная прямая, принадлежащая плоскости , значит SО.
V вариант автор О.К. Яковлев.
Теорема: Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости.
Докажем, что прямая l перпендикулярна любой третьей прямой в плоскости
VI вариант автор И.В. Фетисов.
Теорема: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярно самой плоскости.
Доказательство основано на симметрии относительно оси плоскости.
VII вариант автор Атанасян (разобрать самостоятельно по учебнику).
3.Обсуждение различных вариантов доказательства теоремы. Учащиеся высказываю свои мнения о том, какое из доказательств, на их взгляд, является оптимальным и почему. Учитель разрешает выбрать для себя любой вариант и увязывает теорему с примерами из жизни: В технике часто встречается направление, перпендикулярное плоскости. Колонны устанавливают так, что их ось перпендикулярна плоскости фундамента; гвозди забивают в доску так, что они перпендикулярны плоскости доски; в цилиндре паровой машины шток перпендикулярен плоскости поршня и т.д. Особенно важно вертикальное направление, то есть направление силы тяжести, оно перпендикулярно горизонтальной плоскости.
Задача: ABCD – ромб, прямая ОК перпендикулярна диагоналям ромба.
Доказать: ОК перпендикулярна плоскости ромба.
Итог урока.
Задание на дом: п17, №120, №129
Р
О
Р1
n
m
l1
l
C
0
A
L
D1
M
М
С
А
В
В
S
А
O
C
p
P
c
C
B
b
O
A a
A
B
C
A1
P