Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
15.Одн-стор.предл.
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.
Число называется правым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается
Число называется левым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается
Если существуют и , причем , то существует и. Обратное утверждение также верно.
В случае, если , то предел не существует.
Задание. Найти односторонние пределы функции при
Решение. Правый предел:
Левый предел:
16.--------
17.Перв.зам.прдл.Следств.Прим.
Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.
Задание. Найти предел
Решение. Воспользуемся заменой и первым замечательным пределом.
Ответ.
Следствия из первого замечательного предела
1°
2°
3°
4°
18.Втор.зам.прдл. Следств.Прим.
Задание. Найти предел
Решение. Подставим , получим неопределенность и для решения предела воспользуемся вторым замечательным пределом.
Ответ.
1°
2°
3°
4°
5°
6°
19.Сравн.бм. Эквив.б.м. Прим.
Пусть и — бесконечно малые при .
1. Если , то говорят, что является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут .
2. Если , где —число, отличное от нуля, то говорят, что и — бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малые и называются эквивалентными. Запись ~ означает, что и —эквивалентные бесконечно малые.
Если , то это означает, что . Таким образом, является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , т. е.
3. Если и —бесконечно малые одного и того же порядка, причем , то говорят, что бесконечно малая имеет порядок по сравнению с .
Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин:
1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , то и .
2o. Бесконечно малые и эквивалентны тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с и , т. е. если , .
3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если
, ~, ~, то .
Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин:
если , то
~ ~ ~ ~
~ ~ ~
20.Непр.ф-и в тчк. Опр. Св-ва. Непр.осн.элем.ф-й.
Функция называется непрерывной в точке , если:
При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть
Задание. Вычислить предел
Решение.
Ответ.
|
Непрерывность элементарных функций Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения. композиций и комбинаций основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:
|
|||
|
Пример 1 |
|||
|
Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a.
Условие непрерывности по Гейне можно записать в виде
где Δx и Δy − малые приращения, показанные на рисунке 3. Для заданной функции справедливы следующие соотношения в точке x = a:
Следовательно,
Вычислим предел.
Таким образом, функция является непрерывной в произвольной точке x = a. |
21.Тчк.разрв.Типы тчк.разр.Прим.
|
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. |
|||||||||||||
|
Пример 1 |
|||||||||||||
|
Исследовать функцию на непрерывность.
Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точкахx = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках.
Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода.
Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. |