тематикалы~ ~ылым саласы

Работа добавлена на сайт samzan.net:

 3билет .ОҚИҒА ЖƏНЕ ОЛАРҒА АМАЛДАР ҚОЛДАНУ.Элементар оқиғалар кеңістігі

Ықтималдықтар теориясы - ол кездейсоқ құбылыстардың заңдылықтарын зерттейтін математикалық ғылым саласы. Оқиға жəне ықтималдық ұғымдары бұл теорияның негізі болып табылады. Бұл ұғымдарды енгізу үшін, əдетте, 1929 жылы академик А.Н. Колмогоров ұсынған ықтималдықтар теориясының теориялық-жиындық моделін, яғни ықтималдық  кеңістігі деп аталатын (W, F, P) үштігін негізге алады,мұндағы:

W = {w}- қарастырылып отырған кездейсоқ құбылыстың барлық (өзара сыйспайтын) элементар нəтижелерінің жиыны, W ¹ Æ (Æ -бос жиын).

F -W-ның о_иғалар (кездейсо_ о_иғалар) деп аталатын барлық ішкі жиындарының жүйесі, басқаша айтқанда F s -алгебра (сигма-алгебра), яғни мына шарттарды қанағаттан-дыратын жиындар жүйесі:

А1. WÎF,

А2. Егер AÎF болса, онда A ÎF ,

А3. Егер  болса, онда

 0

Р - əрбір AÎF оқиғасы үшін анықталған ықтималдық (ықтималдықтың функция) деп аталатын сандық функция; Ықтималдық келесі шарттарды (аксиомаларды) қанағаттан-дырады:

Р1. Кез келген AÎF оқиғасы үшін P(A)³ 0 (теріс емес аны_талғанды_ _асиеті),

Р2. P(W) =1 (нормаланғанды_ _асиеті),

Р3. Кез келген  

үшін

Бұл қасиет ықтималдықтың сигма-аддитивтілік (саналымдылық) қасиеті деп аталады.

P(A) A - оқиғасының ықтималдығы деп аталады.

Егер Р3 қасиеті ақырлы санды оқиғалар үшін орындалса, онда ықтималдықтың бұл қасиеті ақырлы аддитивтілік  қасиеті деп аталады.

Егер А3 шарты ақырлы санды оқиғалар үшін ғана орындалса, онда мұндай жиындар жүйесі F алгебра деп, ал (W,F ,P) үштігі кеңейтілген ықтималдық  кеңістігі деп аталады.

Сонымен, алгебра — ақырлы санды толықтауыш жиын алу, қосу жəне қиылысу операцияларына

байланысты жабық жиындар жүйесі; ал s -алгебра — жүйенің саналымды жиындарына жоғарыдағы операцияларды қолдану осы жүйеде қалдыратын (жабық болатын) жиындар жүйесі.

Егер W = {w } жиыны жəне оның қандай да бір ішкі жиындарының алгебрасы не s -алгебрасы F берілсе, онда (W,F,P ) жұбы  өлшенетін кеңістік деп аталады.

Кез келген санды s -алгебралардың ´(алгебралардың) қиылысуы тағы да s -алгебра (алгебра) болады.

Егер A W -ның қандай да бір ішкі жиындарының жүйесі болса, онда оны қамтитын ең  кіші алгебра a (A) жəне ең  кіші s -алгебра s (A) əрқашан бар болады жəне олар сəйкес A жүйесі арқылы пайда болған ең кіші алгебра жəне ең кіші s -алгебра деп аталады.

R = (-¥, +¥) сан түзуіндегі барлық мүмкін болатын интервалдарды қамтитын ең кіші s -алгебра борелдік s -алгебра деп аталады жəне ол b (R) арқылы белгіленеді. Борелдік s -алгебраның элементтері борелдік жиындар деп аталады.  борелдік s -алгебрасы

кеңістігіндегі барлық тіктөртбұрыштарды (шарларды) қамтитын ең кіші s -алгебра ретінде анықталады.

үшін борелдік s -алгебра  ұқсас анықталады.

Борелдік s -алгебралар жеткілікті бай жиындар жүйелері болып табылады жəне олар біздің практикалық мақсаттарымызды толық қанағаттандырады да.

Қандай да бір ықтималдықтық есепті формалдау үшін есепке қатысты тəжірибені сəйкес (W,F ) өлшенетін кеңістігімен сипаттау керек. Онда W = {w } жиыны эксперименттің барлық мүмкін болатын элементар нəтижелерінің жиыны, ал F -алгебрасы (s -алгебрасы) барлық оқиғалар жүйесін құрайды (бөліп көрсетеді): егер AÎF болса, онда A - оқиға, басқа жағдайда (AÏF ) - оқиға бола алмайды. Көбіне (іс жүзінде) оқиғалар класы болатын F s -алгебрасын қандай да бір A алгебрасы арқылы пайда болған s -алгебра ретінде қарастырған қолайлы ([1]-[3]).

Нендей де бір оқиғалардың алгебрасы не s -алгебрасы болатын F жүйесін басқалардан бөле-жарып қарау — ол, біріншіден қарастырып отырған есептің мəн-мазмұнына, екіншіден W жиынының құрылымына (табиғатына) байланысты. Жалпы ықтималдық ұғымын W -ның кез келген ішкі жиыны үшін оның (ықтималдықтың) мағынасы болатындай етіп анықтауға болмайды ([1]-[3]).

Əрбір wÎW элементар оқиға деп, ал W -ның өзі элементар оқиғалар кеңістігі (э.о.к.) деп аталады.

Оқиғалар W -ның ішкі жиындары болатындықтан, теориялық-жиындық терминологияны пайдаланып жаңа оқиғаларды сəйкес жиындардың қосындысы, қиылысуы жəне толықтауыш жиындары ретінде анықтауға болады. Оқиғаларға қолданылатын  амалдарды жиындарға қолданылатын амалдарға ұқсас түрде ықтималдыққа тəн арнайы терминдерді пайдаланып анықтаймыз.

Егер кездейсоқ тəжірибе (сынақ, құбылыс) нəтижесінде элементар wÎW оқиғасы пайда болатын болса жəне wÎ AÎF болса, онда тəжірибе нəтижесінде A оқиғасы пайда болды дейді. A,BÎF оқиғалары үшін A U B арқылы осы оқиғалардың ең болмағанда біреуі пайда болған кезде ғана пайда болатын оқиғаны белгілейді жəне оны A жəне B оқиғаларының  қосындысы (бірігуі) деп атайды. AI B (немесе AВ) арқылы A жəне B оқиғаларының екеуі де пайда болған кезде ғана пайда болатын оқиғаны белгілейді, оны A , B оқиғаларының көбейтіндісі (қиылысуы) деп атайды. A оқиғасы пайда болған, ал B оқиғасы пайда болмаған кезде ғана пайда болатын оқиғаны A жəне B оқиғаларының айырымы деп атайды жəне оны A\ B арқылы белгілейді. A арқылы A оқиғасы пайда болмаған кезде ғана пайда болатын оқиғаны белгілейді де, оны A оқиғасына қарама-қарсы оқиға деп атайды ( A жиыны A -ға толықтауыш жиын).

Егер A оқиғасы пайда болғаннан əруақытта B оқиғасының пайда болатыны шықса, онда A оқиғасы B оқиғасын ілестіреді дейді жəне оны A Í B арқылы белгілейді. Егер A оқиғасы B оқиғасын, ал B оқиғасы A оқиғасын ілестіретін болса, онда мұндай оқиғалар те_ о_иғалар деп аталады да, A = B деп белгіленеді.

W -ақиқат  оқиға, ал Æ (бос жиын) мүмкін емес оқиға деп аталады. A жəне B оқиғалары бірдей уақытта пайда болмайтын болса ( AB =Æ ) онда олар үйлеспейтін оқиғалар деп аталады. Үйлеспейтін оқиғалардың қосындысы үшін əдетте U таңбасының орнына + таңбасын пайдаланады: A B =Æ болса A U B = A + B .

Егер W = {w}={w1,w2 ,...} ақырлы не саналымды жиын болса, мұндай элементар оқиғалар кеңістігі дискретті элементар оқиғалар кеңістігі деп аталады жəне де бұл жағдайда оның кез келген ішкі жиыны оқиға болады: F = {A: A Í W}.

Жиындарға қолданылатын амалдардың қасиеттері оқиғаларға қатысты амалдарға да тəн. Мəселен,

28 билет .Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.Ықтималдықтың қасиеттері.

Айталық, W ={w1,w2 ,...} дискретті элементар оқиғалар кеңістігінің əрбір элементар w оқиғасына сəйкес P(w) саны қойылатын жəне ол

P(w) ³ 0,

шартын қанағаттандыратын болсын. Онда P(w) саны w элементар оқиғасының ықтималдығы деп аталады да, A Í W оқиғасының ықтималдығы былай анықталады:

   (2)

Егер W ={w1,w2 ,...} дискретті элементар оқиғалар кеңістігі, F= {A: A Í W}, P (1.1) формуласымен анықталған ық-тималдық болса, онда (W ,F, P ) үштігі дискретті ықтималдық  кеңістігі (егер W < ¥( |А| - А жиынының қуаты (элементтер саны)) болса ақырлы ықтималдық кеңістігі) деп аталады.

Дискретті ықтималдық кеңістігіндегі оқиғалар жүйесі s -алгебра (сигма-алгебра) болатынын, ал ықтималдық P Р1-Р3 қасиеттерін қанағаттандыратынын байқау қиын емес.

Сонымен, дискретті ықтималдық кеңістігін анықтау үшін W ={w1,w2 ,...} дискретті элементар оқиғалар

кеңістігін жəне   бейнелеулерін беру жеткілікті.

Р1-Р3 аксиомаларынан шығатын ықтималдықтың мынан-дай қасиеттеріне назар аудара кетейік:

A Í B болғанынан P( A) £ P( B ) болатыны шығады;

жалпы түрде:

Соңғы формулалар ықтималдықтарды қосу формулалары деп аталады.

P3¢ (ықтималдықтың жоғарыдан үзіліссіздік қасиеті).

Егер

(қысқаша  ) болса, онда

P3¢ (ықтималдықтың төменнен үзіліссіздік қасиеті).

Егер

(қысқаша  ) болса, онда

P3¢¢ (ықтималдықтың нөлдегі үзіліссіздік қасиеті).

Егер жəне (қысқаша ) болса, онда

Егер P -ақырлы аддитивті болса жəне P3' не P3¢ не P3¢¢ қасиеттерін қанағаттандырса, онда P саналымды аддитивті, яғни Р3 қасиетін қанағаттандырады.

Ықтималдықтың бұл қасиеттері турасында 1.28-1.37 есептерді жəне олардың шешулерін (нұсқауларын)

қараңыз. u

Айталық, (W,F, P ) ақырлы ықтималдық кеңістігі (яғни,  ) болсын жəне де бұл

кеңістіктегі барлық элементар оқиғалар өзара тең ықтималдықты болсын. Онда

болғандықтан (1.2)- формуладан кез келген A Í W үшін

болатыны шығады. Мұндай ықтималдықтық схема тəжірибенің ерекшелігін анықтайтын шарттарға қарағанда барлық элементар оқиғалар (қандай да бір мағынада) симметриялы, яғни тең мүмкіндікті болған жағдайларда қолданылады. Ықтималдықты осылай (1.4)- формула арқылы анықтау ықтималдықтық классикалық анықтамасы деп аталады.

1-мысал. Ойын сүйегі екі рет лақтырылған.

1. Ықтималдық кеңістігін жəне мына оқиғаларды сипаттаңыз:

а) A- түскен ұпайлардың қосындысы 10-ға тең;

ə) B - ең болмағанда бір рет “6” ұпай түседі;

б) C - түскен ұпайлардың қосындысы жұп сан;

в) D - түскен ұпайлардың қосындысы 10-нан кем емес;

2. Барлық элементар оқиғалар тең ықтималдықты деп есептеп, A, B, C, D, AB, C U D оқиғаларының

ықтималдық-тарын табыңыз.

Шешуі. 1. Элементар оқиғалар кеңістігі ретінде мына жиынды алуға болады:

W = {w = (i, j) : i, j = 1,2,...,6},

мұндағы ( i, j ) - элементар оқиға: i - бірінші, j - екінші рет ойын сүйегін лақтырғанда түскен ұпай саны.

Онда жəне F = {A: A Í W},

а) A = {(i, j )ÎW : i + j =10}= {(4,6),(5,5),(6,4)};

ə)

B = {(i, j)ÎW: i = 6 немесе j = 6}= {(6,1),...,(6,6), (1,6),...,(5,6)};

б)C = {( i, j )ÎW: i + j = 2k , k =1,2,3,4,5,6}= {( i, j ) : i - тақ, j -тақ немесе i -жұп, j -

жұп} = {(1,1),..., (1,5),..., (6,6)};

в) D = {( i, j )ÎW: i + j ³10}= {( 6,4 ),( 6,5 ),( 6,6 ),( 4,6 ),( 5,6 )}.

2. (1.3) - формула бойынша ;  

   

 1 билет .КОМБИНАТОРИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Айталық, n əртүрлі элементтен тұратын қандай да бір негізгі жиын (бас жиынтық) берілсін:

. Бұл бас жиынтықтан алынған  реттелген тізбегін бас жиынтықтан алынған көлемі r –ге тең таңдама (іріктеме) деп атайды.Егер осы ықтималдықтық схема үшін

болса жəне барлық элементар оқиғалар (таңдамалар) тең ықтималдықты болса, онда мұндай схеманы қайтарылатын (қайталанатын) кездейсоқ таңдамалар схемасы деп, ал схеманың əрбір таңдамасын қайтарылатын (қайталанатын) кездейсоқ таңдама деп атайды.

Егер жоғарыдағы ықтималдықтық схема үшін

жəне барлық элементар оқиғалар (таңдамалар) тең ықтималдықты болса, онда мұндай схеманы қайтарылмайтын (қайталанбайтын) кездейсоқ таңдамалар схемасы деп, схеманың əрбір таңдамасын қайтарылмайтын (қайталанбайтын) кездейсоқ таңдама деп атайды.Қайтарылатын жəне қайтарылмайтын кездейсоқ таңдамалар схемасы үшін сəйкес

 

жəне

 

Қайталанбайтын таңдамаларды кейде орналастырулар деп атайды. Сонымен, n элементтен алынған көлемі r –ге тең орналастырулар саны (n)r -ге тең. r = n болған жағдайда орналастырулар алмастырулар деп аталады. Ендеше n -элементтен құруға болатын барлық алмастырулардың саны

Айырмашылығы ең болмағанда бір элементінде болатын орналастырулар (қайталанбайтын таңдамалар)

терулер деп аталады. Сонымен, берілген n элементтен ( n элементтен тұратын жиыннан) алынған r элементтен тұратын терулердің (ішкі жиындардың) саны мынаған тең:  

Көптеген жағдайларда жуықтап есептеу үшін мына Стирлинг формуласы деп аталатын формуланы пайдаланады:

 

Кейбір есептерде “Бүтін a саны бүтін b санымен m модулі бойынша салыстырылымды” деген сөз тіркесі қолданылады жəне оны символикалық түрде

a º b(mod m) (4)

деп жазады. (1.8) салыстырымы (жазуы) мынаған мəндес: бүтін t саны табылады жəне де a - b = tm (яғни

a мен b -ның айырымы m -ге қалдықсыз бөлінеді немесе a мен b -ны m -ге бөлгенде бірдей қалдық қалады). Жеке жағдайда a º 0(mod m) жазуы a саны m -ге қалдықсыз бөлінеді дегенді білдіреді. Нақты a санының бүтін бөлігін ( a -дан аспайтын ең үлкен бүтін санды) [a] арқылы белгілейміз.

   8 – 10  билет .Шарларды жәшіктере үлестіру. Максвел-Больцман, Бозе-Эйнштейн, және Ферма-Дирак статистикалары.

Əдетте, физикада (статистикалық механикада) фазалық кеңістікті кішкене n облысқа ( n үлкен сан) бөледі де, бұл кішкене облыстарды жəшіктер деп атайды, ал барлық жүйенің күйі r бөлшектің (шардың) n жəшікке орналастырылуымен анықталады. Максвелл-Больцман жүйесі басқа бөлшектер қайда орналасқанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей ықтималдықпен əрбір n жəшіктің біреуіне орналаса алатын r ажыратылатын (əрт!рлі) бөлшектер жүйесі ретінде сипатталады. Мұндай жүйеде r бөлшекті n жəшікке əртүрлі орналастырулар саны  -ге тең. Егер де бұл жағдайда қосымша барлық  орналастырулар тең ықтималды деп есептелсе, онда физиктер Максвелл-Больцман статистикасы туралы айтады. Бұл статистикадағы əрбір күйдің ықтималдығы  -ге тең.

Бозе-Эйнштейн жүйесі басқа бөлшектер қайда орналас-қанына тəуелсіз түрде əрқайсысы бірдей ықтималдықпен əрбір n жəшіктің біреуіне орналаса алатын r ажыратылмайтын (бірдей) бөлшектер жүйесі ретінде анықталады. Бөлшектер бірдей болғандықтан, Бозе-Эйнштейн жүйесінің əрбір күйі қай жəшікке қанша бөлшек орналастырылғандығымен, яғни () “толтыру сандарымен” ( j-ші жəшіктегі бөлшектер саны) анықталады. Егер де бұл жағдайда жүйенің əрбір күйі өзара тең ықтималды болса, онда физиктер Бозе-Эйнштейн статистикасы туралы айтады. r бірдей бөлшекті (шарды) n жəшікке орналастырған кезде ажыратылатын (əртүрлі) орналастырулар саны   

ендеше Бозе-Эйнштейн статистикасындағы əрбір   күйдің ықтималдығы -ге тең.

Егер Бозе-Эйнштейн жүйесінде əр жəшікке бірден артық бөлшек орналастыруға болмайтын болса онда бөлшектер Ферми-Дирак жүйесіне бағынады дейміз.

Сонымен, Ферми-Дирак жүйесінде шарлар бірдей əрі міндетті түрде r £ n (r шарлар саны, n

жəшіктер саны) жəне жүйе  не 1 ( j=  1,2,...,n) “толтыру сандарымен” сипатталады, ал барлық орналастырулар n жəшіктің ішінен r бөлшек үшін сəйкес  r жəшікті таңдаумен толық анықталады. Бұл r жəшікті əдіспен таңдап алуға болады. Егер Ферми-Дирак жүйесіндегі барлық күйлер өзара тең ықтималды болса, онда физиктер Ферми-Дирак статистикасы туралы айтады. Ендеше, Ферми-Дирак статистикасындағы əрбір күйдің ықтималдығы -ге тең ( r £ n ).

Классикалық статистикалық физикада Максвелл-Больцман статистикасына газдың молекулаларының жүйесі бағынатындығы белгілі. Бүтін жəне жартылай бүтін спинді бөлшектер жүйесі сəйкес Бозе-Эйнштейн жəне Ферми-Дирак статистикаларына бағынады.

  17 билет. Геометриялық ықтималдық. Үзіксіз Ω және ω жиындары сандық осьте ,

жазықтықта  немесе кеңістікте  белгілі бір аймақ құрайды.

Сәйкес аралықтың ұзындығын, жазық фигураның ауданын немесе дененің көлемін сол нысандармен анықталатын жиынның өлшемі (mesure) деп атап, mes(Ω), mes(ω) немесе  қысқаша , m(Ω), m(ω) арқылы белгілейміз. Өлшемі шекті аймақты

сәйкес кеңістікте  квадратталатын (кубталатын) аймақ дейміз.

Квадратталатын аймақтар үшін  (1.2)

 2 билет.ШАРТТЫ ЫҚТИМАЛДЫҚ. СЫНАҚТАР ТІЗБЕКТЕРІ

Айталық, элементар оқиғалар кеңістігі ақырлы:  жəне

болсын. Онда кез келген A Í W оқиғасы үшін

 болатынын білеміз(ықтималдықтың классикалық анықтамасы). Берілген жағдайда, егер B Í W оқиғасы пайда болғаны белгілі болса, жəне

|B| = m> 0 болса, онда A оқиғасының B оқиғасы пайда болған кездегі шартты ықтималдығы деп (оны P(A / B) арқылы белгілейміз) мына қатынаспен анықталған шаманы алуға болатыны түсінікті:

(3)

Шындығында да бұл ықтималдық классикалық анықтамаға сəйкес A оқиғасы B оқиғасымен бірге пайда болатын нəтижелер санының B -ның пайда болуына əкеп соғатын нəтижелер санына қатынасы арқылы,яғни келесі өрнектер арқылы анықталады:

Кейде (3)-формуламен анықталған шартты ықтималдықты PB (A) арқылы да белгілейді.Жоғарыда айтылғанды негізге ала отырып жалпы ықтималдық кеңістігі жағдайында да шартты ықтималдықтың анықтамасы ретінде (3)-формуланы алады (тек P(B) > 0 шартын қосымша талап ету керек).

(3) қатынасынан ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталатын мына формула шығады:

P(AB) = P(B) × P(A / B) . (4)

Соңғы формуланы кез келген оқиғалары үшін былайша жалпыландыруға болады:

(5)

Мұнда тек шартын қосымша талап ету қажет, себебі бұл шарт орындалған жағдайда (2.3) формуланың оң жағындағы барлық шартты ықтималдықтар анықталған:

1-мысал. Нөмірленген əртүрлі n элементтен тұратын бас жиынтықтан бір-бірлеп қайтарусыз түрде екі

элемент алынған. Егер бірінші рет i - ші элемент алынған ( B оқиғасы) болса, онда екінші рет j -ші (i ¹ j) элемент (A оқиғасы) алыну ықтималдығы P(A/ B) неге тең? P(AB) ше?

Егер бірінші рет алынған элемент кері қайтарылған болса, онда жауаптар қалай өзгереді?

Шешуі. Əрине

, ал, себебі екінші элементті алар алдында бас жиынтықта

қалған элементтер саны бірге кеміді ( n -1 элемент қалды). Егер (2.2) - формуланы пайдалансақ, онда бірінші рет i -ші элемент, екінші рет j -ші элемент алыну ықтималдығы

болар еді. Егер алынған элементтер əр жолы кері қайтарылып отырған болса, онда

болады

31 билет .Ықтималдықтарды қосу, көбейту формуласы.

 () қатынасынан ықтималдықтарды көбейту формуласы деп аталатын мына формула шығады:

P(AB) = P(B) × P(A / B) . (4)

Соңғы формуланы кез келген оқиғалары үшін былайша жалпыландыруға болады:

(5)

Мұнда тек шартын қосымша талап ету қажет, себебі бұл шарт орындалған жағдайда (2.3) формуланың оң жағындағы барлық шартты ықтималдықтар анықталған: :

Теорема. Бірікпейтін бірнеше оқиғаның қайсысы бола да біреуінің пайда болуының ықтималдығы олардың ықтималдықтарының қосындысына тең:

 

 Дәлелдеу. Айталық, кездейсоқ эксперимент үшін  соның ішінде

оқиғасының пайда болуына  нәтиже қолайлы болсын. Оқиғаларға мүмкін

(жиындарға қолданылатын ) амалдар қолдану арқылы алынған оқиғаны күрделі оқиға

дейміз. Күрделі  оқиғасы пайда болу үшін қосылғыш оқиғалардың кез

келген біреуі пайда болса болғаны, демек, оған  нәтиже қолайлы.

Классикалық схема бойынша

 Бірікпейтін  оқиғалары үшін ω(A) және ω(B) жиындары

қиылыспайды (айқаспайды):  Екі жиынның да барлық элементтері

 оқиғасының пайда болуына қолайлы, олардың ортақ элементтері жоқ: (1.15)

 түрінде жазылады. Ал, бірігетін оқиғалар үшін A + B

оқиғасының пайда болуына қолайлы нәтижелердің санын анықтағанда  аймағына сай келетін нәтижелер қайталанып алынбас үшін ықтималдықтарды қосу

теоремасын

 (1.16) түрінде жазамыз.

Бірігетін n оқиға үшін ықтималдықтарды қосудың жалпыланған формуласы

(1.17)

түрінде жазылады. Қосылғыштардың саны өскен сайын оны қолдану күрделі

есептеулерді талап етеді. Мысалы, бірігетін үш оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда

болу ықтималдығы

 (1.18)

Оқиғалардың толық тобын құру арқылы есептеуді азайтуға болады. Қарама-қарсы

оқиғалар қашанда толық топ құрайды:

 (1.19)

Бұл шарт  және  қарама-қарсы оқиғалары үшін де орындалады,

демек,  Жалпы түрде

  (1.20)

Қаралып отырған оқиғалар жиынтығында тәуелсіз болса:

(1.21).

   23 билет .25 билет ТОЛЫҚ ЫҚТИМАЛДЫҚТАР      ФОРМУЛАСЫ.

Айталық, H1,H2,... екеуара үйлеспейтін, қатаң оң ықтималдықты оқиғалар тізбегі болсын

жəне

шарты орындалсын. Онда кез келген А оқиғасының ықтималдығын толық ықтималдықтар формуласы деп аталатын мына формула арқылы

есептеуге болады:

(1)

25билет  жалгасы.БАЙЕС ФОРМУЛАСЫ.Толық ықтималдықтар формуласының шарттары орындалған жағдайда P(Hi / A) шартты ықтималдықтары үшін мына Байес формулалары деп аталатын формулаларды аламыз:

 (2)

Əдетте (2.8)-(2.9) формулалардағы H1, H2 ,... оқиғалары болжамдар (гипотезалар) деп, олардың шартсыз ықтималдықтары P(H1), P(H2 ),... априорлы (тəжірибеге дейінгі) ықтималдықтар деп, ал А оқиғасы пайда болған жағдайда есептелінген шартты ықтималдықтар P(H1 / A), P(H2 / A),... апостериорлы (тəжірибеден кейінгі) ықтималдықтар деп аталады.

(1)-(2)- формулалардан толық ықтималдықтар формуласы мен Байес формулаларының шартты ықтималдықтар берілген немесе олар оңай есептелінетін жағдайларда қолдануға тиімді формулалар болатынын аңғарамыз. Сонымен бірге бұл формулалардағы

шартын  шартымен алмастыруға болатынына да назар аудара кетелік.

1-мысал. Емтихан билеттерінің (немесе тест сұрақтарының) саны n болсын, ал студент A алдын-ала соның тек m билетіне (сұрағына) дайындалған болсын (əрине m £ n ). Егер студент білетін билетін алған болса, онда ол емтиханды сəтті тапсырады деп есептелік. Студенттер емтиханға бір-бірден кезекпен кіретін болса, онда емтиханды ең жоғарғы ықтималдықпен сəтті тапсыру үшін A -ның стратегиясы қандай болу керек: оған емтиханға ең алдымен кіргені тиімді ме, немесе орта шенінде, немесе ең соңында кіргені тиімді ме?

Шешуі. Айталық, Ai (i = 1,2,...,n) арқылы студент i -ші болып емтиханға кірген жəне де білетін билетін алған деген оқиғаны белгілейік. Онда А -ның алдында кірген студенттер j "бақытты" ( А білетін) билетті ( j = 0,1,2,..., i -1) алып кеткен болуы мүмкін (оқиғасы). Енді ықтималдықтарын есептеу үшін

(2)- формуланы пайдалануымызға болады:

(3)

Егер алғашқы i -1 студенттің ішінен j студент "бақытты" билет алған болса, онда i -ші болып кірген студенттің "бақытты" билет алу ықтималдығы тең, себебі бұл жағдайда барлық қалған билеттер

саны n - (i -1) = n - i +1, ал оның ішіндегі "бақытты" билеттер саны m - j . Сонымен

Сол сияқты бастапқы кірген i -1 студенттің ішінен дəл j студент "бақытты" билет алуының (оқиғасы) ықтималдығы мынаған тең (гипергеометриялық үлестірім):

Онда (3)- формула бойынша:

Егер болатынын ескерсек, онда

яғни

Бұл мысалдан мынандай қорытындыға келеміз: берілген есеп шартында студенттің емтиханды сəтті тапсыру ықтималдығы оның емтиханға қашан (ең алдымен, орта шенінде, ең соңында, т.с.с.) кіруіне байланыссыз (өзгермейді) жəне де ол m/ n тең; мұндағы n -барлық билеттер (сұрақтар) саны, ал m - студент дайындалған (білетін) билеттер саны. Басқаша айтқанда, студенттің емтиханды сəтті тапсыруытек ғана оның емтиханға дайындығына байланысты екен.

 37 билет .БЕРНУЛЛИ СХЕМАСЫ. БЕРНУЛЛИ СХЕМАСЫНА БАЙЛАНЫСТЫ ШЕКТІК

ТЕОРЕМАЛАР.

Тəжірбиенің тек қана екі нəтижесі болатын тəуелсіз сынақтар тізбегі Бернулли схемасы немесе Бернуллидің тəуелсіз сынақтар тізбегі деп аталады. Бернулли схемасының екі нəтижесін “1” жəне “0” арқылы белгілейміз де, сəйкес "табыс" жəне "сəтсіздік" деп атайтын боламыз; олардың əр сынақтағы ықтималдықтарын сəйкес p жəне q = 1- p арқылы белгілейміз. Полиномдық схеманың əртүрлі сынақтарына сəйкес оқиғалар өзара тəуелсіз болатынын дəлелдеу қиын емес ([1], [5] қараңыз).

арқылы Бернуллидің алғашқы n сынағындағы табыс санын белгілейік ((2.13)-те не

1):

не 1.

Онда

(1)

Егер полиномдық схема үшін арқылы i -ші нəтиженің санын белгілесек, онда

(2 )

мұндағы

Əр сынағы үшін 0,1,2,…,9 нəтижелері бірдей 1/ 10 тең ықтималдықпен пайда болатын жəне N =10 болатын полиномдық схеманың нəтижелерінің тізбегі кездейсо_ сандар деп аталады.

1-мысал. 10 бірмəнді кездейсоқ сандардың ішінде дəл 4 жұп сан жəне 3-ке еселі болатын 2 тақ сан болу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. Бірмəнді кездейсоқ сан тең ықтималдықпен жұп сан жəне ықтималдықпен 3-ке еселі тақ сан болады. Қалған нəтижелердің ықтималдығы Егер кездейсоқ санның ішіндегі жұп сандар саны, -ке еселі тақ сандар саны,  – олардан өзгеше басқа сандар саны болса, онда жəне де (2) формулаға сəйкес (бізде n = N =10 ):

Ескерту. ықтималдықтарын ((1)-формуланы қараңыз) k -ның функциясы ретінде зерттеу мынаны көрсетеді: егер болса, онда егер болса егер

k > np - q болса Бұдан шартынан анықтал-ған k * үшін мына қатынастарды аламыз:

 Жоғарыдағыдай анықталған k * саны ең ықтимал табыс саны деп аталады.

27 билет . Пуассонның жуықтау формуласы.

Көптеген, іс жүзінде маңызды жағдайларда ( ) n P k ықтималдықтарын жеткілікті дəлдікпен жуықтап есептей білу қажеттігі туады. Оның негізгі себептерінің бірі- биномдық үлестірім формуласы бойынша ықтималдықтарды тікелей дəл есептеудің қиындығы (егер n аса үлкен сан болса, n! да аса үлкен сан, сəйкес k ! да аса үлкен сан болуы керек т.с.с.); оның үстіне көбіне бізге табыс санының дəл бір мəні емес, оның белгілі бір аралықта жату ықтималдығын есептеу жеткілікті. Осы айтылған мəселелер тұрғысында пайдала-нылатын аса маңызды бірнеше жуықтау формулаларын келтірелік.

Егер (11)- формулада параметр  жəне n®¥ кезде l ®l > 0 n (0 < l < ¥) болса, онда Пуассон теоремасы ([5]-қараңыз) бойынша

(4)-формуланың оң жағын əдетте P{ n k} Pn (k) ì = = ықтималдықтарының жуық мəні ретінде p аса аз ( p ®0 ), ал n аса үлкен (n®¥) , бірақ ln = np » l болған жағдайларда қолданады. Бұл жуықтаудың мына

дəлдігі белгілі ([1], V-тарау, §20):

(1 )

 шамалары

шамаларына n®¥ кезде жинақталуының

жылдамдығы жөнінде Ю.В.Прохоров дəлелдеген мынандай нəтижені де келтіре кетелік ([2], І-тарау, §6):

 

 14 билет. Муавр-Лапластың жергіліктік және интегралдық теоремалары.(дәлелдеу схемалары)

Бернулли схемасындағы табыс ықтималдығы p аса аз сан болмаған жағдайда

( 0< p < 1 )қолданылатын Pn (k) ықтималдық-тарын жуықтап есептеуформулалары Муавр-Лапластың төменгі екі теоремасына негізделген:

Муавр-Лапластың жергіліктілік (локальдық) теоремасы. Егер n®¥ , p- тұрақты, 0 < p < 1 ,

 болса, онда барлық  үшін бірқалыпты түрде

мұндағы  

Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы. Егер n®¥ ,  p - тұрақты, 0 < p < 1 , болса, онда барлық нақты a,b ( -¥ £a £ b £ +¥) үшін бірқалыпты түрде

 (6)

(5)-(6)-формулалардың оң жақтары n жеткілікті үлкен, ал p нөлге аса жақын болмайтын жағдайларда жақсы жуықтаулар береді. Көбіне бұл жуықтауларды npq > 20 болған жағдайда пайдаланады. (2.22)-формуладағы жуықтауды есептеу үшін

 функцияларының мəндерін пайдалануға болады:

 

функцияларының мəндерінің таблицалары (кестелері) есептер жинағының соңындағы 1,2-қосымшаларда келтірілген.Муавр-Лаплас теоремаларын пайдаланып табыс ықтималдығының белгілі бір аралықта жату

ықтималдығын былайша жуықтап есептеуге болады:

 

Сол сияқты табыстың салыстырмалы жиілігінің табыс ықтималдығынан ауытқуын былайша жуықтап табуға болады:

 n,a ,b , p параметрлерінің біреуін қалған үшеуі белгілі болған жағдайда мына теңсіздіктен анықтауға

болады:

 

Соңғы нəтижені пайдаланып белгісіз табыс ықтималдығы p үшін сенімділік ықтималдығы 1-b болатын  (кездейсоқ) сенімділік интервалын былайша табуға болады:

 

  38 билет .ДИСКРЕТТІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР

(W,F,P ) ықтималдық кеңістігі берілсін.

Кездейсоқ шама деп элементар оқиғалар кеңістігін (W) нақты сандар жиынына (R) бейнелейтін

өлшенетін функцияны (F-өлшенетін функцияны), яғни кез келген борелдік BÎb (R) жиыны үшін

 (3.1)

шартын қанағаттандыратын x : W® R функциясын айтады.

Анықтамадан кез келген борелдік B Îb (R) жиыны үшін оқиға болатыны, яғни ол үшін

ықтималдығы анықталатындығы шығады. Жоғарыдағыдай анықталған Px (R,b (R))кеңістігінде анықталған ықтималдық (ықтималдықтың функция) болады жəне ол ( Px ) x кездейсоқ шамасының үлестірім заңы (үлестірімі) деп аталады; Px жаңа (R,b (R), Px ) ықтималдық кеңістігін пайда қылады.

Егер C(Fx ) = {x : Fx (x ± 0) = Fx (x)} Fx (x) үлестірім функциясының үзіліссіздік нүктелерінің жиыны

болса, онда C (Fx ) = R \C(Fx ) ақырлы не саналымдыдан артық емес жиын: үшін ықтималдықтары шартын қанағаттандыратын болса, онда біз x кездейсоқ шамасын дискретті үлестірімді кездейсоқ шама немесе дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз.

Егер x дискретті кездейсоқ шама болса, онда кез келген ВÎb (R) үшін

Бұдан оның үлестірім функциясы Fx (x) сатылы функция болатыны жəне былайша анықталатынын шығады:

 (3.4)

Анықтамадан W = {w1,w 2 ,...} дискретті элементар оқиғалар кеңістігінде анықталған кез келген сандық функция x (x (×): W® X = {x (w1 ),x (w 2 ),...}) дискретті кездейсоқ шама болатыны шығатынын байқау қиын емес.

Енді жиі кездесетін үлестірім заңдары мен кездейсоқ шамалардың мысалдарын келтірелік.

Дискретті үлестірімдер.

1. өзгеше (ерекше) үлестірім:

P{x = a} = 1 , а -тұрақты.

2. Гипергеометриялық үлестірім (параметрлері: n,k,m -натурал сандар, k £ n, m £ n ) :

3. Биномдық үлестірім (параметрлері: n-натурал сан, 0 £ p £ 1 ) :

Параметрлері n,p болатын биномдық кездейсоқ шаманы көбіне қысқаша x ~ Bі(n;p) түрінде жазатын

боламыз.

4. Пуассондық үлестірім (параметрі l >0):

Қысқаша жазылуы: x ~ p (l ) , не x ~ p (l ) .

5. Геометриялық үлестірім (параметрі p, 0<p £ 1):

Гипергеометриялық кездейсоқ шама ретінде ішінде m ақ, n-m қара шары бар құтыдан кездейсоқ алынған k шардың ішіндегі ақ шардың санын білдіретін кездейсоқ шаманы, ал биномдық кездейсоқ шама ретінде табысының ықтималдығы p-ға тең болатын n тəуелсіз Бернулли сынақтарындағы табыс санын білдіретін кездейсоқ шаманы алуға болады. Пуассондық үлестірімді биномдық үлестірімнің шектік түрі ретінде, ал геометриялық кездейсоқ шаманы əр тəуелсіз сынақтағы пайда болу ықтималдығы p-ға тең оқиғаның бірінші рет пайда болуына дейінгі қайталанатын сынақ санын білдіретін шама ретінде қарастыруға болатынынбайқау қиын емес.

1-мысал. A жиыны үшін анықталған

функциясы A жиынының индикаторы деп аталады.

Егер (W,F,P) ықтималдық кеңістігі, ал AÎF болса, онда I A (w) - кездейсоқ шама болады. Себебі, кез

келген BÎb (R) үшін

яғни, əруақытта .

Ескерте кетелік, егер A оқиға болмаса ( AÏF), онда I A (w) - кездейсоқ шама болмайды.Оқиғалардың индикаторлары арқылы кез келген дискретті x кездейсоқ шамасын мына түрде жазуға

болады:

Егер дискретті кездейсоқ шаманың қабылдайтын мəндерінің саны ақырлы болса, онда мұндай

кездейсоқ шама қарапайым кездейсоқ шама деп аталады.

 38 жалгасы .ҮЗІЛІССІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАР, ҮЛЕСТІРІМ ТҮРЛЕРІ

Кез келген нақты x ÎR үшін x -тің функциясы ретінде анықталған {w : x (w) £ x} оқиғасының

ықтималдығы P{x £ x}= Px (-¥, x] x кездейсоқ шамасының үлестірім (үлестіру) функциясы деп аталады жəне ол Fx (x) (не F(x) ) арқылы белгіленеді:

F(x) = Fx (x) =P {w : x (w) £ x}= Px (¥, x] (3.2)

үлестірім функциясының қасиеттері:

 1. болғанынан болатыны шығады (монотондылық қасиеті)

 2. F(x + 0) = F(x) (оң жағынан үзіліссіздік қасиеті)

 3.

 F(x) = Fx (x) функциясы арқылы x кездейсоқ шамасының кез келген интервалға түсу ықтималдығын бірмəнді анықтауға болады. Мəселен:

P{x1 <x £ x2}= F(x2 ) - F(x1 ) ,

P{x = x}= F(x) - F(x - 0) ,

P{x1 £x £ x2}= F(x2 ) - F(x1 - 0) , (3.2)

P{x1 £x < x2}= F(x2 - 0) - F(x1 - 0) ,

P{x1 <x < x2}= F(x2 - 0) - F(x1) .

Жалпы Fx (x) үлестірім функциясы арқылы кез келген борелдік жиын B үшін P{x ÎB} ықтималдығын бірмəнді анықтауға болатынын дəлелдеуге болады. Былайша анықталған жиындар(оқиғалар) жүйесі

 (3.3)

 s -алгебра болады жəне ол x кездейсо_ шамасы ар_ылы пайда болған s -алгебра деп аталады.

Егер x кездейсоқ шамасы үшін fx (x) ³ 0 функциясы табылып, оның үлестірім функциясы

 (3.5)

түрінде жазылатын болса  онда fx (x) функциясы                          x кездейсоқ шамасының үлестірім (үлестіру) тығыздығы деп, ал x кездейсоқ шамасы абсолютті үзіліссіз (үлестірілген) кездейсоқ шама деп аталады.

Абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама үшін  P -ақиқат дерлік түрде ) (x fx = ) (x Fx ¢ жəне де кез келген BÎb (R) үшін

 (3.6)

Жеке жағдайда, əрине,

Абсолютті үзіліссіз үлестірімдер ( f (x) -үлестірім тығыздығы)

1. [a,b] аралығындағы бірқалыпты үлестірім (a<b):

2. Параметрлері a жəне s 2 болатын ( -¥ < a < +¥, 0 <s < ¥ ) нормаль (гаустік, қалыпты)

үлестірім:

Мұндай қалыпты кездейсоқ шаманы қысқаша x ~ N(a, s 2 ) түрінде жазатын боламыз. Параметрлері a =0,s =1 болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады.

3. Параметрі l >0 болатын көрсеткіштік үлестірім:

4. Параметрлері l >0, a >0 болатын гамма-үлестірім:

 

(Мұндағы -гамма-функция).

Əрине, егер l >0, a =1 болса, онда біз көрсеткіштік үлестірімді алған болар едік.

5. Параметрі b>0 болатын Коши үлестірімі

 16 билетҮЗІЛІССІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫҢ САНДЫҚ СИПАТТАМАЛАРЫ

Математикалық күтімді есептеу формулалары

x кездейсоқ шамасының математикалық күтімін мына Лебег-Стильтес интегралы арқылы есептеуге

болады:

(3.26)

Егер x абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама болса жəне болса, мұндағы

fx (x) - x кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы, онда

 (3.29)

Егер x кездейсоқ шама, g = g(x) -борелдік функция болса, онда h =g(x ) кездейсоқ шамасының

математикалық күтімі:

дискретті x кездейсоқ шамасы үшін

 (3.30)

Абсолютті үзіліссіз x кездейсоқ шамасы үшін

 (3.31)

формулаларымен есептелінеді.

Жалпы жағдайда кездейсоқ шаманың функциясының математикалық күтімін мына Риман-Стильтес

интегралы ретінде жазуға болады:

 (3.32)

(3.32) формула дұрыс болу үшін интегралдың абсолютті жинақталуы қажет.

1-есеп. Бірқалыпты үлестірілген, көрсеткіштік жəне нормаль кездейсоқ шамалардың математикалық күтімдері мен дисперсияларын есептелік.

Шешуі. Егер x [a, b] ( a < b ) аралығында бірқалыпты үлестірілген болса, онда (3.29) формула

бойынша

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін

Егер болса, онда

Біз алдыңғы интегралда x = a +sy ауыстыруын жасадық. Енді соңғы интегралды екі интегралдың

қосындысы ретінде жазсақ, онда оның алғашқысы нөлге тең (себебі интеграл астындағы

функциясы тақ функция), ал екіншісі a  ға тең, өйткені белгілі Пуассон интегралы бойынша

Сонымен, болса, онда a = Mx , яғни нормаль үлестірімдегі параметр a - ның мағынасы-кездейсоқ шаманың орта мəні (математикалық күтімі) екен.

Енді кездейсоқ шамалардың дисперсияларын есептелік. [a,b] аралығында бірқалыпты үлестірілген x кездейсоқ шамасы үшін

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін есептеулер

болатынын _____көрсетеді.

үшін

себебі

Сонымен нормаль кездейсоқ шама үшін параметр -тың мағынасы- дисперсия, ал s -орташа квадраттық ауытқу болады екен.

13 билет . Биномдық және Пуассондық үлестірілген шама.Олардың сандық сипаттамалары.Мысал келтір.

Биномдық үлестірім (параметрлері: n-натурал сан, 0 £ p £ 1 ) :

Параметрлері n,p болатын биномдық кездейсоқ шаманы көбіне қысқаша x ~ Bі(n;p) түрінде жазатын

боламыз.

 Пуассондық үлестірім (параметрі l >0):

Қысқаша жазылуы: x ~ p (l ) , не x ~ p (l ) .

 17 жалғасы. Гипергеометриялық үлестірім. Құтыда m қара, n - m ақ, барлығы n шар бар. Құтыдан кездейсоқ түрде r шар алынған. x -осы алынған r шардың ішіндегі қара шарлардың саны. Онда x -0,1,2,…,min(m,r ) мəндерін қабылдайтын кездейсоқ шама. Осы шаманың дисперсиясын есептеңіз.

Шешуі. 1-əдіс. Алдымен дисперсияны тікелей анықтама бойынша кездейсоқ x шамасының үлестірім заңын пайдаланып есептелік. Бізде

Жоғарыда біз егер 0 < l немесе l > n  болса, онда  болатынын ескеріп x -дің мəнін 0-ден m-ге дейін (тек mіn(r,m) емес) өзгеруі мүмкін деп есептедік. Соңғы формуладан ( P{x = k} ықтималдықтық үлестірім заңы болғандықтан) мынандай қатынас шығатынын атай кетелік

 (3.42)

Анықтама бойынша

 

Қосынды ішіндегі  -ны  түрінде жазып, сəйкес қысқартуларды орындасақ мынаны аламыз:

 

Біз бұл жерде ортаңғы қосындыны (3.42)-қатынасты пайдаланып  түрінде жаздық. Енді Mx (x -1) есептелік:

 Бұдан

2-əдіс. Жаңа k x кездейсоқ шамаларын енгізелік: егер k-рет алынған шар қара шар болса, k x =1; егер ол ақ шар болса k x =0 (k £ r) болсын. Онда

 36 билет .Бірқалыпты және көрсеткіштік үлестірілген кездейсоқ шама. Олардың сандық сипаттамалары.Мысал келтір.

1. [a,b] аралығындағы бірқалыпты үлестірім (a<b):

2. Параметрі l >0 болатын көрсеткіштік үлестірім:

Егер x [a, b] ( a < b ) аралығында бірқалыпты үлестірілген болса, онда () формула

бойынша

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін

Енді кездейсоқ шамалардың дисперсияларын есептелік. [a,b] аралығында бірқалыпты үлестірілген x кездейсоқ шамасы үшін

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін есептеулер

болатынын _____көрсетеді.

18 билет . Нормальды үлестірілген кездейсоқ шама. Олардың сандық сипаттамалары.Мысал келтір.

Параметрлері a жəне s 2 болатын ( -¥ < a < +¥, 0 <s < ¥ ) нормаль (гаустік, қалыпты)

үлестірім:

Мұндай қалыпты кездейсоқ шаманы қысқаша x ~ N(a, s 2 ) түрінде жазатын боламыз. Параметрлері a =0,s =1 болатын нормаль үлестірім стандартты нормаль үлестірім деп аталады. болса, онда

Біз алдыңғы интегралда x = a +sy ауыстыруын жасадық. Енді соңғы интегралды екі интегралдың

қосындысы ретінде жазсақ, онда оның алғашқысы нөлге тең (себебі интеграл астындағы

функциясы тақ функция), ал екіншісі a  ға тең, өйткені белгілі Пуассон интегралы бойынша

Сонымен, болса, онда a = Mx , яғни нормаль үлестірімдегі параметр a - ның мағынасы-кездейсоқ шаманың орта мəні (математикалық күтімі) екен.

себебі

Сонымен нормаль кездейсоқ шама үшін параметр -тың мағынасы- дисперсия, ал s -орташа квадраттық ауытқу болады екен.

   4 билет .КӨП ӨЛШЕМДІ ДИСКРЕТТІ     КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА

Егер көп өлшемді x =(x1,x 2 ,...,x n ) кездейсоқ шамасының қабылдайтын мəндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болса, онда x көп өлшемді (n-өлшемді) дискретті кездейсоқ шама деп аталады. Мұндай кездейсоқ шамалар үшін

ықтималдықтары

шарттарын қанағаттандырады.

Мультиномиалды үлестірім. Егер (x1,x 2 ,...,x n ) дискретті кездейсоқ векторы үшін оның үлестірім заңы мына қатынастармен

 (мұндағы -бүтін сандар) анықталса, онда біз (x1,x 2 ,...,x n ) дискретті векторын полиномиалды (мультиномиалды), параметрлері n; p1 ,..., pn болатын кездейсоқ вектор (шама) деп атаймыз жəне оны қысқаша ( ) x ~ Bi n; p1,..., pn түрінде жазамыз. Қарапайымдылық үшін n=2, n=3 болатын жағдайлардағы дискретті үлестірімдерге қысқаша тоқталайық.

дискретті кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім ықтималдықтары болса, онда

Егер болса, онда

Егер функциясы кез келген борелдік жиыны үшін

шартын қанағаттандыратын болса, онда ол (көп өлшемді) борелдік функция деп аталады.

Егер x1,x 2 ,...,x n бір ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ шамалар, ал

g = g(x1, x2 ,..., xn ) n-айнымалының борелдік функциясы болса, онда

кездейсоқ шама болады.

Бұл жаңа кездейсоқ шаманың үлестірім заңы:

(3.16)

Дискретті жəне (абсолютті) үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін соңғы формула сəйкес былай жазылады:

   21.КӨП ӨЛШЕМДІ ДИСКРЕТТІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА

Егер көп өлшемді x =(x1,x 2 ,...,x n ) кездейсоқ шамасының қабылдайтын мəндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болса, онда x көп өлшемді (n-өлшемді) дискретті кездейсоқ шама деп аталады. Мұндай кездейсоқ шамалар үшін

ықтималдықтары

шарттарын қанағаттандырады.

Мультиномиалды үлестірім. Егер (x1,x 2 ,...,x n ) дискретті кездейсоқ векторы үшін оның үлестірім заңы мына қатынастармен

 (мұндағы -бүтін сандар) анықталса, онда біз (x1,x 2 ,...,x n ) дискретті векторын полиномиалды (мультиномиалды), параметрлері n; p1 ,..., pn болатын кездейсоқ вектор (шама) деп атаймыз жəне оны қысқаша ( ) x ~ Bi n; p1,..., pn түрінде жазамыз. Қарапайымдылық үшін n=2, n=3 болатын жағдайлардағы дискретті үлестірімдерге қысқаша тоқталайық.

дискретті кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім ықтималдықтары болса, онда

Егер болса, онда

Егер функциясы кез келген борелдік жиыны үшін

шартын қанағаттандыратын болса, онда ол (көп өлшемді) борелдік функция деп аталады.

Егер x1,x 2 ,...,x n бір ықтималдық кеңістігінде анықталған кездейсоқ шамалар, ал

g = g(x1, x2 ,..., xn ) n-айнымалының борелдік функциясы болса, онда

кездейсоқ шама болады.

Бұл жаңа кездейсоқ шаманың үлестірім заңы:

(3.16)

Дискретті жəне (абсолютті) үзіліссіз кездейсоқ шамалар үшін соңғы формула сəйкес былай жазылады:

 9 билет .КӨП ӨЛШЕМДІ ҮЗІЛІССІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМА

Егер x1,x 2 ,...,x n кездейсоқ шамалары бір (W,F,P) ықтималдық кеңістігінде анықталған болса, онда

x =(x1,x 2 ,...,x n ) кездейсоқ векторы немесе (x1,x 2 ,...,x n )-көп өлшемді ( n - өлшемді) кездейсоқ шамасы

берілген дейміз. Онда кез келген  үшін

яғни

 (3.8)

ықтималдығы анықталған. Px (B) = P{x ÎB} шартынан анықталған Px функциясы x -дің n-лшемді

_лестірімі (_лестірім за_ы) деп аталады.

Айтылғандардан кез келген

n-өлшемді интервал (борелдік жиын) үшін

(3.9)

функциясы əрқашан анықталғандығы шығады. Бұл функция x кездейсоқ векторынық үлестірім функциясы немесе x1,x 2 ,...,x n кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім функциясы, немесе n-өлшемді (көп өлшемді) үлестірім функциясы деп аталады.

Анықтамадан кездейсоқ шамалардың бірлескен үлестірім функциясының əр аргументі бойынша

монотонды кемімейтін функция жəне əр аргументі бойынша оң жақтан үзіліссіз функция болатындығы, сонымен бірге аргументтерінің ең болмағанда біреуі ¥ -ке ұмтылса функция мəні нөлге ұмтылатыны, ал егер барлық xi ®+¥ (i = 1,2,..., n) болса F(+¥,+¥,...,+¥) = 1 шартын қанағаттандыратындығы шығады.

Егер ai < bi , ai , bi ÎR үшін айырымдық операторын былайша

 

(3.10)

анықтасақ, онда көп өлшемді F(x) үлестірім функциясы үшін əрқашан

(3.11)

Көп өлшемді үлестірім функциясының осы (3.11) қасиеті оның теріс емес анықталғандық қасиеті деп аталады.

Анықтамадан, егер

функциясын-дағы аргументтерін +¥ -ке

ұмтылдырсақ, онда x кездейсоқ векторының  лерден басқа компоненталарынан тұратын вектордың үлестірім функциясын (маргиналды үлестірімін) алатынымыз шығады. Мəселен

Абсолютті үзіліссіз n-өлшемді ықтималдықтық үлестірім n-лшемді

 (бірлескен) үлестірім тығыздығы, яғни теріс емес жəне кез келген n-өлшемді борелдік жиын үшін

 (3.12)

шартын қанағаттандыратын функция арқылы беріледі. (3.12) формуласындағы интеграл (бір өлшемді

жағдайдағы секілді) жалпы алғанда көп өлшемді Лебег интегралы ретінде анықталады (бір өлшемді

жағдайды ( (3.6)- формула) еске түсіріңіз) жəне бұл жерде де Лебег пен Риман интегралдарына қатысты бір өлшемді жағдайда айтылған ескертпе дұрыс. Айтылғандар (көп өлшемді) абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама дегеннің орнына көбінесе (кп лшемді) үзіліссіз кездейсоқ шама деген сөз тіркесін қолданатынымызға да, көп өлшемді кездейсоқ шама жəне оның үлестірімі Px (×) туралы айтылатындарға да қатысты ((3.6) формуладан кейінгі келтірілген ескертуді қараңыз).

Əрине, үлестірім тығыздығы үшін барлық жерде дерлік мына теңдік дұрыс

Маргиналды үлестірім тығыздықтарын, мəселен, былай табуға болады:

Көп үлшемді бірқалыпты үлестірім. Көп өлшемді бірқалыпты үлестірім егер x =(x1,x 2 ,...,x n )

кездейсоқ векторы үшін оның тығыздығы

(3.13)

(мұндағы ның n-өлшемді ақырлы “көлемі”) қатынасымен берілсе, онда

x =(x1,x 2 ,...,x n ) векторы  облысында бір_алыпты _лестірілген n-өлшемді кездейсоқ шама деп

аталады.

Бұл жағдайда кез келген үшін

Көп өлшемді нормал үлестірім. Егер n

a = (a1, a2 ,..., an )ÎR векторы жəне симметриялы, қатаң оң анықталған

матрицасы беріліп, f (x) функциясы былай анықталса (үшін

(3.14)

онда  яғни f (x) -қандай да бір кездейсоқ вектордың үлестірім тығыздығы болады (3.14-формулада det R - R - дің анықтауышы, кері матрица).

Үлестірім тығыздығы fx (x) (3.14) формуламен анықталатын x кездейсоқ векторы көп өлшемді

нормаль (гаустік, қалыпты) кездейсоқ шама деп аталады да, ол əдетте қысқаша x ~N( a , R ) түрінде

жазылады.

 ( E - бірлік матрица) векторының үлестірімі сфералық симметриялы нормаль үлестірім деп, егер s = 1 болса, онда стандартты нормаль үлестірім деп аталады. Бұл жерде тек n= 2 болған жағдайда екі өлшемді нормаль кездейсоқ шаманың тығыздығын мына түрде жазуға болатынын айта кетелік

(1.130-есепті қараңыз):

 (3.15)

Бұл жағдайда

1-мысал. (x ,h) кездейсоқ векторының үлестірім тығыздығы

а) Белгісіз тұрақты a -ны; ə) маргиналды үлестірім тығыздықтары fx (x) пен fh ( y) -ті; б)

Fx ,h (x, y), Fx (x), Fh ( y) үлестірім функцияларын табыңыз.

Шешуі.

Бұдан

Ары қарай

Сол сияқты

б)

Ескерту. қарастырылған мысалда fx ,h (x, y) = fx (x) × fh ( y) ; Fx ,h (x, y) = Fx (x) × Fh ( y)

қатынастары орындалатынына, яғни олардың тəуелсіз кездейсоқ шамалар (тəуелсіздік туралы төменде айтамыз) болатынына назар аударыңыз. u

Егер кез келген B1, B2 ,..., Bn борелдік жиындар үшін

 (3.18)

теңдігі орындалса, онда кездейсоқ шамалары тəуелсіз кездейсоқ шамалар деп аталады.

Кездейсоқ шамалардың тəуелсіздігі олар арқылы пайда болған

s -алгебра-ларының тəуелсіздігіне, ал ол өз кезегінде кездейсоқ шамаларының бірлескен үлестірім функциясының жеке үлестірім функцияларының көбейтіндісіне тең

болуына, яғни

(3.18¢)

шартына эквивалентт).

Абсолютті үзіліссіз үлестірімдер үшін кездейсоқ шамаларының тəуелсіздігі мынаған

эквивалентті: кез келген үшін

(3.18¢¢)

( (3.18¢¢) теңдігі өлшемі нөлге тең болатын нүктелер жиынында ғана орындалмауы мүмкін).

Егер кездейсоқ шамалары тəуелсіз, ал борелдік

функциялар болса, онда кездейсоқ шамалары да тəуелсіз болады, яғни тəуелсіз кездейсоқ шамалардың функциялары да тəуелсіз кездейсо_ шамалар (1.77-есеп).

Егер x жəне h тəуелсіз кездейсоқ шамалар болса, онда олардың тығыздықтары fx (x) , fh (x)

арқылы олардың қосындысының тығыздығы f (x) x +h функциясын композиция формуласы (немесе үйірткі формуласы) деп аталатын мына формула арқылы табуға болады:

 (3.19)

Үлестірім функциялары үшін композиция формуласы былай жазылады:

 (3.20)

(соңғы интегралдарды жалпы жағдайда Лебег-Стильтес интегралы ретінде түсіну керек).

u

  23.Композиция формуласы.Тəуелсіз Пуассондық кездейсоқ шамалардың қосындысы Пуассондық кездейсоқ шама болатынын дəлелдеңіз.

Шешуі. б) жəне тəуелсіз болатын x1,x 2 кездейсоқ шамалары үшін толық ықтималдықтар формуласын пайдаланып былай жаза аламыз:

Əрі қарай шартты ықтималдықтың формуласы бойынша

Біз бұл жерде {x1 +x 2 = k,x 2 = m}= {x1 = k -m,x 2 = m} болатынын жəне x1 мен x 2 -нің тəуелсіздігін пайдаландық.

Сонымен:

 (3.21)

Ескерту. (3.21) формуланы да композиция формуласы деп атаймыз.

Енді берілген үшін (3.21) формула бойынша

 Сонымен мынандай тұжырым дұрыс екен:

 жəне x1,x 2 тəуелсіз болғанынан  болатыны шығады, яғни тəуелсіз Пуассондық кездейсоқ шамалардың қосындысы да Пуассондық кездейсоқ шама болады.

 19 билет  39 билет . МАТЕМАТИКАЛЫҚ КҮТІМ

Енді кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларына тоқталайық.

(W ,F,P ) ыктималдық кеңістігінде анықталған x =x (w ) кездейсоқ шамасының математикалық күтімі (орта мəні) ұғымы алдымен қарапайым, сосын теріс емес, ақырында кез келген кездейсоқ шама үшін біртіндеп былай анықталады:

І. қарапайым, яғни мына түрде жазылатын

мұндағы  

 шамасы үшін оның математикалық күтімі Mx шамасын

 (3.22) қатынасы арқылы анықтаймыз.

ІІ. Кез келген теріс емес x (w) кездейсоқ шамасы үшін оның математикалық күтімін мынандай шек түрінде анықтаймыз:

(3.23)

мұндағы n x -қарапайым, яғни n x кездейсоқ шамалары

шартын қана-ғаттандыратын қарапайым кездейсоқ шамалар тізбегі.

ІІІ. Кез келген x =x (w ) кездейсоқ шамасын бірмəнді түрде былай жазуға болады

мұндағы

Онда анықтама бойынша

 (3.24)

Егер болса, онда математикалық күтім бар болады дейді жəне деболса болса Mx = -¥ деп есептейді. Егер

болса, онда математикалық күтім анықталмаған дейді.

Математикалық күтімнің мынандай негізгі қасиеттерін атай кетелік.

1. Сызықтық қасиеттері.

Mx ,Mh жəне Mx + Mh бар болсын жəне c-тұрақты шама болсын. Онда

M(x +h) = Mx +Mh; M(cx ) = cMx .

2. Теріс еместік қасиеттері.

Егер x ³ 0 болса, онда Mx ³ 0 ;

Егер Mx ,Mh бар болса жəне x ³h болса, онда Mx ³ Mh .

3. Ақырлылық қасиеттері.

Егер Mx <  ¥ болса, онда Mx < ¥ жəне керісінше;

Егер x £h жəне Mh < ¥ болса, онда Mx < ¥ ;

Егер Mx < ¥ , Mh < ¥ болса, онда M(x +h) < ¥

Мультипликативтік қасиеті

Егер x жəне h тəуелсіз кездейсоқ шамалар жəне Mx < ¥ Mh < ¥ болса, онда Mxh < ¥ жəне Mxh = Mx ×Mh . (3.25)

1-есеп. Бернуллилік кездейсоқ шаманың жəне оқиғаның индикаторының математикалық күтімі.

Шешуі. x Бернуллилік кездейсоқ шамасы үшін Mx =p, себебі P{x = 1} = p, P{x = 0} = q =1- p болса, онда (3.22) формула бойынша Mx =1× p + 0 ×q = p

үшін (3.22) формула Mx =P(A) болатындығын көрсетеді.

2-есеп. а) Биномдық; ə) Пуассондық жəне б) геометриялық кездейсоқ шамалардың математикалық күтімдері.

Шешуі. а) x ~ Bi(n, p), яғни x параметрлері n жəне p болатын биномдық кездейсоқ шама болсын. Онда

болғандықтан

Сонымен x ~ Bi(n, p), болса, онда Mx = np.

ə) x ~ П(l ) , яғни x - параметрі l - ға тең пуассондық кездейсоқ шама. Онда монотондылық қасиеттің салдары бойынша

Сонымен, x ~ П(l ) болса, онда Mx = l .

б) x параметрі p-ға тең геометриялық кездейсоқ шама болсын. Онда жоғарыдағы ə) жағдайындағыдай:

Біз мұнда 0 < q < 1 болғандықтан шектеусіз геометриялық прогрессияның қосындысының формуласы бойынша жəне де дəрежелік қатарды жинақталу облысында мүшелеп дифференциялдауға болатындығын пайдаландық ( (...)¢q жақша ішіндегі өрнектен q бойынша туынды алуды білдіреді). 

Математикалық күтімді есептеу формулалары

x кездейсоқ шамасының математикалық күтімін мына Лебег-Стильтес интегралы арқылы есептеуге

болады:

(3.26)

Егер x абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама болса жəне болса, мұндағы

fx (x) - x кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы, онда

 (3.29)

Егер x кездейсоқ шама, g = g(x) -борелдік функция болса, онда h =g(x ) кездейсоқ шамасының

математикалық күтімі:

дискретті x кездейсоқ шамасы үшін

 (3.30)

Абсолютті үзіліссіз x кездейсоқ шамасы үшін

 (3.31)

формулаларымен есептелінеді.

Жалпы жағдайда кездейсоқ шаманың функциясының математикалық күтімін мына Риман-Стильтес

интегралы ретінде жазуға болады:

 (3.32)

(3.32) формула дұрыс болу үшін интегралдың абсолютті жинақталуы қажет.

1-есеп. Бірқалыпты үлестірілген, көрсеткіштік жəне нормаль кездейсоқ шамалардың математикалық күтімдері мен дисперсияларын есептелік.

Шешуі. Егер x [a, b] ( a < b ) аралығында бірқалыпты үлестірілген болса, онда (3.29) формула

бойынша

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін

Егер болса, онда

Біз алдыңғы интегралда x = a +sy ауыстыруын жасадық. Енді соңғы интегралды екі интегралдың

қосындысы ретінде жазсақ, онда оның алғашқысы нөлге тең (себебі интеграл астындағы

функциясы тақ функция), ал екіншісі a  ға тең, өйткені белгілі Пуассон интегралы бойынша

Сонымен, болса, онда a = Mx , яғни нормаль үлестірімдегі параметр a - ның мағынасы-кездейсоқ шаманың орта мəні (математикалық күтімі) екен.

  24 билет .ДИСПЕРСИЯ.ҚАСИЕТТЕРІ.МЫСАЛДАРЫ

Екінші ретті орталық момент дисперсия деп аталады да, Dξ арқылы белгіленеді.

Сонымен

 (3.36)

σ = Dξ шамасы орташа квадраттық ауытқу деп аталады.

(3.30)-(3.31) формулалар дискретті жəне абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамалардың

дисперсияларын сəйкес мына формулалар арқылы есептеуге болатынын көрсетеді:

, fξ ( x )− тығыздық.

Дисперсияның бірнеше қарапайым да маңызды қасиеттеріне назар аудара кетейік:

с - тұрақты болса D(c) = 0; D(cξ ) = c 2Dξ ;

Dξ = 0 болса, онда P{ξ = Mξ }= 1 , яғни ξ = Mξ (а.д) жəне керісінше;

Əрқашан Dξ ≥ 0 ;

Дисперсияны мына формула арқылы да есептеуге болады:

(3.37)

Кез келген ξ ,η кездейсоқ шамалары үшін

D(ξ ±η) = Dξ + Dη ± 2 cov(ξ ,η)

 Биномды_, пуассонды_ жəне геометриялы_ кездейсоқ шамалардың дисперсияларын есептелік.

Шешуі. x ~ Bі(n;p) үшін дисперсияны тікелей есептеу мына қосындыны табуды қажет еткен болар еді:

Берілген жағдайда бізге формуласын қолданған тиімді. Онда (q=1-p деп алсақ):

Демек, x ~ Bі(n;p) үшін

 

Енді кездейсоқ шамалардың дисперсияларын есептелік. [a,b] аралығында бірқалыпты үлестірілген x кездейсоқ шамасы үшін

Параметрі l -ға тең көрсеткіштік кездейсоқ шама үшін есептеулер

болатынын _____көрсетеді.

үшін

себебі

Сонымен нормаль кездейсоқ шама үшін параметр -тың мағынасы- дисперсия, ал s -орташа квадраттық ауытқу болады екен.

  27.Чебышев теңсіздігі. Үлкен сандар заңы.Марков теңсіздігі.Мысалдар

Шекті МТ-сы бар кездейсоқ шама және саны үшін Чебышевтың бірінші теңсіздігі деп аталады

 (4.1)

қатынасы орындалады.

Бұл теңсіздіктерді Марков мәндері оң сандар болуы міндетті емес, бірақ 1-

абсолюттік момент деп аталатын сандық сипаттамасы M |X |бар кездейсоқ шамалар X

үшін жалпылап,

 (4.2)

теңсіздіктерін дәлелдеді. Кездейсоқ шамалардың X сандық сипаттамаларының қатарына

олардың m-ретті бастапқы және орталық моменттері деп аталатын

 (4.3)

заттық сандары да (егер олар бар болса) жатады. Дискретті және үзіксіз кездейсоқ

шамалар үшін бұл сипаттамалар сәйкес

 (4.4)

 (4.5)

формулалармен анықталады. Бұлардан нөлінші ретті моменттер  және олар ықтималдықтарды нормалау шарты (3.12) болатынын көреміз. Әрі қарай:

және (3.35)-тен Кезектегі жоғарғы ретті орталық моменттер кездейсоқ шамалар үлестірілуінің сындарлы сипаттамалары: 1) үлестірілудің ассиметриялық (танассыздық) немесе қиғаштық коэффициентін , 2) үлестірілу эксцессінің (шығандауының) немесе сүйіртөбелігінің коэффициентін  анықтайды.Егер X кездейсоқ шамасының 2-ретті моменттері  2 

және  бар болса, онда саны үшін

Үлкен сандар заңы. Үлкен сандар заңының негізін құрайтын теореманы және оның

жоғарыдағы теңсіздіктердің көмегімен дәлелдеуін П.Л. Чебышев 1866 ж. « Орташа

шамалар туралы» деген мемуарында жариялады. Кейінірек Марков үлкен сандар заңының

жалпыланған түрдегі пайымдамасын берді.

Егер үшін

болса, онда кездейсоқ шамалар тізбегі ықтимал жинақты және X

кездейсоқ шамасына ықтималдықпен ұмтылады дейміз. Басқаша айтқанда X шамасы

тізбегінің ықтимал шегі:

Чебышев теоремасы. Егер қос-қостан тәуелсіз Xk кездейсоқ шамаларының

дисперсиялары бірқалыпты шектелген:  болса, онда n кездейсоқ шаманың арифметикалық ортасының  болғандағы тізбегі олардың МТ-ларының арифметикалық ортасына ықтималдықпен жинақталады, яғни

 үшін

(4.8)

Айта кетелік,  болғандықтан кездейсоқ шамалар дисперсияларының бір ғана  оң санымен шектелген болуы  шартына пара-пар.

Салдар. Чебышев теоремасының шарттарына қанағаттандыратын кездейсоқ

шамалардың МТ-лары бірдей:  болса, онда жеткілікті үлкен n және  үшін

  20 билет 34 билет.КОВАРАЦИЯ.КОРРЕЛИЯЦИЯ.

Жоғарыдағы мысалдағы x ~ Bi(n, p) кездейсоқ шамасының математикалық күтімін басқаша есептелік.Ол үшін биномдық кездейсоқ шаманы Бернуллилік кездейсоқ шамалардың қосындысы түрінде жазып, сосын математикалық күтімнің сызықтық қасиеттерін пайдаланалық. Шындығында да Бернулли схемасы үшін i - ші сынақта табыс болса сəтсіздік болса  деп есептеп,

кездейсоқ шамаларын енгізсек, онда x ~ Bi(n; p) үшін

x =x1 +x 2 +...+x n ,

Біз мұнда Mxi = p болатынын ескердік.  ковариациясы деп аталады. Ковариацияны былай да есептеуге болады:

cov(x ,h) = Mxh -Mx ×Mh . (3.3 8¢ )

Егер cov(x ,h) = 0 болса, x ,h кездейсоқ шамалары корреляцияланбаған деп аталады. Тəуелсіз кездейсоқ

Егер  болса, онда

Кез келген x ,h кездейсоқ шамалары үшін

D(x ±h) = Dx + Dh ± 2 cov(x ,h),

мұндағы

cov(x ,h) = M(x -Mx )(h -Mh). (3.38)

cov(x ,h) x жəне h кездейсоқ шамаларының шамалар əрқашан корреляцияланбаған. Кері тұжырым үнемі дұрыс бола бермейді. Dx > 0, Dh > 0 үшін анықталған мына шама

 (3.39)

x жəне h кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп аталады. Əрқашан r (x ,h) £ 1 жəне де корреляцияланбаған кездейсоқ шамалар үшін r (x ,h) = 0 ; ал x мен h бірге тең ықтималдықпен сызықты байланысты, яғни a ¹ 0, b тұрақтылары табылып P{x =a h + b }= 1 болса, r = 1 жəне керісінше r = 1 болғанынан x мен h а.д түрде (бірге тең ықтималдықпен) сызықты байланысты болатындығы шығады

Тəуелсіз x1,x 2 ,...x n кездейсоқ шамалары үшін

Жалпы жағдайда

 (3.40)

Элементтері s ij = cov(x i ,x j ) сандарынан тұратын

матрицасы x =(x1,x 2 ,...,x n ) векторының

ковариациялық матрицасы деп аталады, оны көбіне cov(x ,x ) арқылы да белгілейді. Кез келген c1, c2 ,..., cn тұрақтылары үшін

болғандығынан V = cov(x ,x ) ковариациялық матрицасының теріс емес аны_талған матрица болатындығын байқаймыз.

x =(x1,x 2 ,...,x n ) кездейсоқ векторының математикалық күтімі деп Mx =(Mx1,Mx 2 ,...,Mx n ) векторын,

ал S = x ij кездейсоқ матрицасының математикалық күтімі деп M S = Mx ij матрицасын айтамыз. Бұдан ковариациялық матрица V = cov(x ,x ) = M(x -Mx )* (x -Mx )

қатынасымен анықталатындығы шығады (*-транспорттау (төңкеру) операциясы).

  33 билет .МАТЕМАТИКАЛЫҚ  

СТАТИСТИКАНЫҢ НЕГІЗГІ ЕСЕПТЕРІ. ТАҢДАМАЛЫҚ ТЕОРИЯНЫҢ НЕГІЗГІ ҰҒЫМДАРЫ

Математикалыϗ статистика– бұл ыϗтималдыϗтар теориясына жаϗын ϗолданбалыϗ бағыттағы математикалыϗ пән. Ол ыϗтималдыϗтар теориясының ұғымдары мен әдістеріне сүйенеді, біраϗ та өзінің арнайы есептерін  өз әдістерімен шешеді.

Cтатистикалы деректер -деп зерттелініп отырған эксперименттің нәтижесін сипаттайтын ϗандай да бір Х=(X1, X2 ,...,Xn) кездейсоϗ шамаларының баϗыланатын нәтижелерін айтамыз. Бұны әдетте былайша тҰжырымдайды: эксперимент i -ші сынағының нәтижесі Xi , i =1,2,…, n , кездейсоϗ шамасымен сипатталатын n сынаϗ жүргізуден тұрады. Баϗыланатын кездейсоϗ шамалардың жиынтығы Х=(X1, X2 ,...,Xn) таңдама деп, Xi шамалары – таңдаманың элементтері, ал олардың саны n - таңдаманың көлемі деп аталады. Х таңдамасының ϗабылдайтын мәндерін кіші арϗылы белгілейміз. лер варианталар деп, ал

c = {x} кеϟістігі таңдамалы кеңістік деп аталады.

-детте математикалыϗ статистикада Х=(X1, X2 ,...,Xn) таңда-масының X1, X2 ,...,Xn

компоненталары тәуелсіз және олардың бәрі ϗандай да бір x кездейсоϗ шамасымен бірдей үлестірілген деп есептелінеді. Бұл x кездейсоϗ шамасы баϗыланатын тәуелсіз сынаϗтарды ϗайталаудан тϭратын экспериментке сәйкес келеді ( Xi -x -дің i -ші “данасы”, “к шірмесі”) және де бұл жағдайда

Мϭндай модельді Fx (x) функциясы терминінде беруге болады және бϭл модель үшін Х=(X1, X2,...,Xn) таϟдамасы x кездейсоқ шамасының үлестірімінен алын$ан таңдама деп аталады. Бұдан былай ϗарай x -діϟ ϫлестірімін G(x ) арϗылы белгілейтін боламыз: параметрлері болатын нормаль кездейсоϗ шама т.с.с. Сонымен “Х=(X1, X2 ,...,Xn) G(x ) үлестірімінен алынған таңдама” дегеніміз

болатынын білдіреді.

Егер F класының үлестірім функциялары  згеру облысы Q болатын ϗандай да бір q

параметріне (ол скаляр да, вектор да болуы мϫмкін) дейінгі дәлдікпен берілсе, онда бϭл модель F = {F(x,q ):q ÎQ} арϗылы белгіленетін болады. Q жиыны параметрлік жиын деп аталады.Т менде үнемі fx (x) арϗылы (параметрлік модельдер үшін f (x,q ) арϗылы) абсолютті үзіліссіз модельдер үшін - тығыздыϗты, дискретті модельдер үшін P{x = x} ыϗтимал-дыϗтарын белгілейтін боламыз. Сонымен бірге параметрлік модель үшін c = {x} таңдамалыϗ кеңістігінде параметр q -ға сәйкес келетін ыϗтималдыϗтыϗ үлестірімді Pq арϗылы, ал Pq үлестірімі бойынша алынатын математикалыϗ кϫтім, дисперсия т.с.с. сәйкес Mq ,Dq т.с.с. арϗылы белгілейміз.

Жиі кездесетін статистикалыϗ модельдер кітап соңындағы 1-ϗосымшада келтірілген.

    15 билет .ВАРИЯЦИЯЛЫҚ ҚАТАР.ЭМПЕРИКАЛЫҚ ҮЛЕСТІРІМ ФУНКЦИЯСЫ

Айталық, X = (X1, X2,..., Xn ) – G (x )  үлестірімінен алынған көлемі n -ге тең таңдама, ал

x = (x1, x2 ,..., xn ) - X -тің бақылан-ған мəні болсын. X -тің əрбір жүзеге асырылуы (бақыланған мəні) x -ке мынадай реттелген тізбекті сəйкес қоюға болады:

x(1) £ x(2) £ ... £ x(n) , (1)

мұндағы x(1) -бақыланған мəндердің ең кішісі, x(2) - x1, x2 , ..., xn -дердің ішіндегі мəнінің кішілігі бойынша екіншісі, т.с.с., x(n) - бақыланған мəндердің ең үлкені. X1, X2,..., Xn таңдамасы-ның əрбір жүзеге асырылуы ( ) x = x1, x2 ,..., xn үшін X(k ) арқылы x(k ) мəнін (k=1,2,..., n) қабылдайтын кездейсоқ шаманы белгілейік. Осылайша X таңдамасы арқылы жаңа, реттік статистикалар деп аталатын X(1), X(2),..., X(n) кездейсоқ шамалар тізбегін анықтаймыз. Бұл жағдайда X(k ) - k –ші реттік статистика деп аталады. Құрастыруымыз бойынша

( X 1) £ X(2) £ ... £ X(n) . (2)

(2)-қатар таңдаманың вариациялық қатары деп аталады. Əрине, X(1), X(2),..., X(n) тəуелсіз

кездейсоқ шамалар болуы міндетті емес (бізде X1, X 2 ,..., X n - тəуелсіз бірдей үлестірілген

кездейсоқ шамалар!), себебі олар (2)-теңсіздіктерге бағынады.

Əрбір xÎ R үшін  X = X1, X2 ,..., X n таңдамасының x - тен аспайтын элементтерінің санын

арқылы белгілелік. Онда бұл кездейсоқ шаманы

 (3)

түрінде жаза аламыз, мұндағы -A оқиғасының индикаторы: I A(w) = 1, егер w Î A болса;

I A(w ) = 0 егер w Ï A болса.

 (4)

функциясы эмпирикалық үлестірім функциясы деп аталады да, бақыланатын x кездейсоқ

шамасының үлестірім функциясы F(x) теориялық ( немесе гипотетикалы_ ) үлестірім функциясы деп аталады. Анықтама бойынша - кездейсоқ шама жəне болғандықтан

 эмпирикалық үлестірім функциясының кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының біз білетін барлық қасиеттерін қанағаттан-дыратынын байқау қиын емес: нөл мен бірдің арасында өзгереді; кемімейді; оң жағынан үзіліссіз. Сонымен бірге ол бөлікті-тұрақты жəне тек (1)-тізбек нүктелерінде ғана өседі.

Статистикалық деректерді көрнекі түрде сипаттайтын басқа да əдістер көп, солардың бірі–

гистограмма салу əдісі. Бұл жағдайда бақыланатын x кездейсоқ шамасының қабылдайтын мəндер облысы ұзындықтары h бірдей болатын интервалдарға бөлінеді де, G(x )-ден алынған X таңдамасының бақыланатын  x = x1, x2 ,..., xn мəндері үшін сəйкес интервалға түсетін xi –координаталарын санайды (деректер топтастырылады). Мəселен, егер D j - j –ші нөмірлі интервал

болса, онда –осы интервалға түскен xi –лердің саны. Сосын осындай əрбір D j интервалын табаны етіп алып, биіктігі n j /(nh) болатын тіктөртбұрыштар салады. Осылайша алынған фигура гистограмма деп аталады. Егер таңдама дискретті үлестірімнен алынса, онда

нүктелерін қосатын сынық қисық салыстырмалы жиіліктер полигоны деп аталады,мұндағы варианталарының бақы-ланған саны; егер таңдама үзіліссіз үлестірімнен алынса, онда ол гистограмма құрастырған кездегі интервалдардың орта нүктелерін қосатын сынық қисық. Жиіліктер полигоны сəйкес  , арқылы салынатын қисық.

 6 билет .ТАҢДАМАЛЫҚ ОРТА ЖӘНЕ ТАҢДАМАЛЫҚ ДИСПЕРСИЯ

Айталық, үлестірімінен алынған таңдама, ал F(x) жəне сəйкес теориялық жəне эмпи-рикалық үлестірім функциялары болсын. F(x) функциясына функциясын сəйкес қойғанымыз секілді, F(x) арқылы анықталған кез келген сипаттамасына оның статистикалық “көшірмесі”

шамасын сəйкес қоюға болады. G кездейсоқ шамасын теориялық сипаттама g –ға сəйкес эмпирикалық немесе таңда-малық сипаттама деп атайды. Осылайша, таңдамалық сипат-тама – ол  X = X1, X 2 ,..., X n таңдамасының элементтері үшін g(x) функциясының арифметикалық ортасы.

Егер g(x) = xk болса, онда G – k - ші ретті таңдамалық момент (оны ank арқылы

белгілейік):

 (11)

Егер k =1 болса, онда an1 таңдамалы_ орта деп аталады да, X арқылы белгіленеді.

Сол сияқты k –ші ретті таңдамалық орталық момент

(12)

қатынасы арқылы анықталады. Екінші ретті таңдамалық орталық момент bn2 таңдамалық

дисперсия деп аталады да,   арқылы белгіленеді:

 (12')

Осы жерде жəне бұдан былай қарай үнемі теориялық k –ші моментті a k , теориялық k -ші

ретті орталық моментті ар-қылы белгілейтін боламыз:

(13)

Таңдамалық жəне таңдамалық орталық моменттер өздерінің теориялық моменттері a k жəне секілді байланысатынын байқау қиын емес. Жалпы жағдайда k ³ 2 үшін (12) – қатынас-тан

Жеке жағдайларда

 (14)

Таңдамалық абсолютті моменттер, таңдамалық семиинва-рианталар т.с.с. ұғымдар ұқсас түрде енгізіледі.

 X = X1, X 2 ,..., X n таңдамасының компоненталары тəуелсіз жəне бақыланатын x кездейсоқ

шамасымен бірдей үлестірілгендіктен (төменде белгілеулерін пайдаланатын боламыз)

(15)

Сол сияқты

 (16)

 35.БЕЛГІСІЗ ПАРАМЕТРЛЕРДІН НҮКТЕЛІК БАҒАСЫ

Айталық, G(x )ÎF = {F(x,q ):q ÎQ} үлестірімінен алынған ( ) n X X , X ,..., X 1 2 = таңдамасы бар болсын. Онда, бақыланатын x кездейсоқ шамасы туралы априорлы (тəжірибеге дейінгі) біздегі бар мəлімет оның үлестірім функциясы F(x;q ) берілген F параметрлік үлестірімдер үйірінің элементі болатындығынан (яғни белгілі функционалдық формалы, бірақ белгісіз q параметрінен тəуелді (q берілген Q параметрлік жиынының кез келген элементі болуы мүмкін)) тұрады.

Жалпы түрде бағалау туралы есеп былай айтылады:  X = X1, X2,..., Xn таңдамасы арқылы

жеткізілген статистикалық деректерді (ақпараттарды) қолдану арқылы белгісіз q

параметрінің нақты (тура) бағасы q 0 туралы статистикалы_ _орытындылар жасау керек,яғни q 0 нүктесін бағалау керек.

 X = X1, X2,..., Xn таңдамасының ғана функциясы болатын кез келген кездейсоқ шама

статистика деп аталады.Нүктелік бағалау кезінде берілген  x = x1, x2,..., xn іске асырылымы (реализациясы) үшін q 0 параметрінің жуық мəні ретінде қабылданатын Х таңдамасының функциясы болатын T = T(Х ) статистикасын іздейді. Бұл жағдайда T= T(Х ) статистикасы q параметріні_ бағасы деп аталады. Əдетте (бірақ əрқашан емес) T бағасының мүмкін мəндер жиыны Q болады.

Егер кез келген q ÎQ үшін

 1)

шарты орындалса, онда T = T(Х ) статистикасы q параметрі үшін ығыстырылмаған баға деп аталады.

(1)-шарт орындалмайтын бағалар үшін

b(q ) = Mq T(Х ) -q функциясы ығысу функциясы,ал

шамасы _атені_ орта квадраты немесе Т бағасының орташа квадраттық қатесі деп аталады.

Кейде параметр q -ның өзін емес, оның нендей де бір t (q ) функциясын бағалау қажет болады (t (q ) функциялары параметрлік функциялар деп аталады). Бұл жағдайда

Mq T = t (q ) , q ÎQ, шартын қанағаттандыратын T = T(Х ) сатистикасы t (q ) параметрлік функциясы үшін ығыстырылмаған баға деп аталады.

1-мысал. Fˆn (x) эмпирикалық үлестірім функциясы белгісіз F(x) теориялық функциясының ығыстырылмаған бағасы болады: MFˆn (x) = F(x) .

2-мысал. k -ші ретті таңдамалық моменттері k

ak = Mx теориялық k - ші ретті моменттердің ығыстырылмаған бағалары болады: Mank =ak . Жеке жағдайда, X таңдамалық ортасы белгісіз математикалық күтім a1 үшін ығыстырылмаған баға болады: MX =a1 = MXi

3-мысал. Белгісіз дисперсия  үшін таҢдамалы_ дисперсия ығыстырылмаған баға

болмайды:

Шындығында да, егер -таңдамалық дисперсия болса, онда

мұндағы a = MXi . Бұдан

себебі  

. Соңғы теңдік бізге дисперсияның келесі ығыстырылмаған бағасын құрастыруға мүмкіндік береді:

түзетілген таңдамалық дисперсия деп аталады.

4-мысал. Пуассондық модель, параметрлік функцияны бағалау. Айталық J(x )ÎP(q ) жəне n =1 болсын, яғни пуассондық кездейсоқ шаманың бір ғана мəні бақылансын. параметрлік функциясын бағалалық.

Егер T(X ) - t (q ) функциясының ығыстырылмаған бағасы болса, онда ығыстырылмағандық шарты мына түрде жазылады:

немесе

Əрине, жоғарыдағы шарттарды қанағаттандыратын жəне q - дан тəуелсіз болатын (бұл бағалар туралы ұғымға сəйкес талап) T(X ) функциясы табылмайды, яғни берілген жағдайда

үшін ығыстырылмаған баға мүлдем жоқ.

5-мысал. Теріс биномдық модель, параметрлік бағалау. Берілген жағдайда

Айталық тек бір ғана бақылау жүргізілсін: n =1. Онда ығыстырылмағандық шарты былай жазылады:

яғни

 q -ның бірдей дəрежелерінің алдындағы коэффициенттерді теңестіріп, берілген жағдайдағы жалғыз ғана ығыстырылмаған баға мына статистика болатынын аламыз:

Бірақ бұл статистиканың мəндері берілген модельдің Q = (0,1) параметрлік жиынына жатпайды, сондықтан да мұндай баға мүлдем пайдасыз.

6-мысал. Жалпы нормаль модель, дисперсияны бағалау. Айталық,  X = X1, X2,..., Xn , n ³ 2, моделінен алынған таңдама болсын. параметрлік функциясын бағалалық. Біздің 3-мысалдан білетініміз . Жəне де бұл жағдайда (хи-квадрат үлестірімнің анықтамасы бойынша)

өйткені ,

 мұндағы

Ендеше,  болғандықтан

(5)

  26. билет МАКСИМАЛДЫ ШЫНДЫҚҚА СӘЙКЕСТІК ӘДІСІ

Айталық, X = (X1, X2,..., Xn )-таңдама, ал

дің үлестірім тығыздығы (немесе ықтималдығы) болсын. Онда

функциясы (q ÎQ параметрінің функциясы ретінде) шындыққа сəйкестік функциясы деп аталады.

q параметірінің максималды (ең үлкен) шындыққа сəйкестік бағасы (дəлірек айтсақ, X таңдамасының берілген x іске асырылуындағы максималды шындыққа сəйкестік бағасының мəні) деп берілген х үшін L(х,q ) шын-дыққа сəйкестік функциясы максималды (ең үлкен) мəнін қабыл-дайтын параметрлік Q жиынының qˆ нүктесін айтамыз. Сонымен L(x;qˆ)³ L(x;q ),q ÎQ;

немесе

Шындыққа сəйкестік функциясы диференциалданатын болуға міндетті емес жəне максималды шындыққа сəйкестік бағасы жалғыз болуы да міндетті еместігіне назар аударамыз. Сəйкес мысалдар келтірейік.

13-мысал үлестірімінен алынған таңдама болсын. Онда

шындыққа сəйкестік функциясы

мұндағы

функциясы q параметірінің кемімелі функциясы, сондықтан да L(q ; x) функциясын

максималдау үшін q - ны мүмкін болатын ең аз мəнге дейін азайту керек. Əрине, максималды шындыққа сəйкестік бағасы болатыны түсінікті.Бұл жағдайда баға жалғыз жəне ол толық

жеткілікті статистика. Сонымен бірге X(n) бағасы q үшін ығыстырылған баға болатынын, ал

ығыстырылмаған баға болатынын айта кетейік.

14-мысал.  X = X1, X 2 ,..., X n таңдамасы R(q ,q +1), - ¥ <q < +¥ , бірқалыпты үлестірімінен

алынған таңдама болсын. Онда шындыққа сəйкестік функциясы

Бұл жағдайда максималды шындыққа сəйкестік бағасы жалғыз емес:

Егер c таңдамалық кеңістігінің əрбір x нүктесі үшін L(x;q )–ның максимумы Q жиынының

ішкі нүктесінде болатын болса жəне L(x;q ) q бойынша дифференциалданса, онда максималдышындыққа сəйкестік бағасы qˆ мына

теңдеуін, яғни

теңдеуін қанағаттандырады (көбейтіндінің логарифмі логарифмдердің қосындысына тең болғандықтан іс жүзінде соңғы теңдеуді шешу əлдеқайда тиімді болатыны сөзсіз). Егер

векторлық параметр болса, онда соңғы теңдеу мынандай теңдеулер жүйесіне

көшеді:

 Соңғы теңдеулер шындыққа сəйкестік теңдеулері деп аталады.

15-мысал. жалпы нормаль моделі. Бұл жағдайда

Шындыққы сəйкестік теңдеулері былай жазылады:

Бұл жүйені шешсек,

Егер де бағаланатын екінші параметр үшін  шамасын алсақ, онда шындыққа сəйкестік теңдеулерінің екіншісі былай жазылған болар еді:

Бұдан біз максималды шындыққа сəйкестік бағасы болатын үшін бағасын алған болар едік. Сонымен бізде . Бірақ бұл сияқты бағалар теңдігі əруақытта орындала бермейтінін атай кетелік. 

  37.МОМЕНТТЕР ӘДІСІ

Тарихи тұрғыдан алғанда белгісіз параметрлердің бағаларын табудың моменттер əдісі параметрлерді нүктелік бағалаудың ең бірінші əдісі болып табылады.Бұл əдістің мəні мынада. Айта-лық  X= X1, X 2 ,...,X n  -таңдама, ал оның үлестірім тығыздығы (дискретті модельдер үшін- ықтималдығы)

болсын. Барлық моменттері ақырлы жəнетеңдеулер жүйесі бірмəнді шешілетін, ал оның шешімі

үзіліссіз кері  функцияларымен берілсін. Бұл шарттар орындалғанда мына теорема дұрыс:

9-теорема.

жүйесінің шешімдері ретінде алынатын ,q k k =1,2,..., r, бағалары тиянақты бағалар (жоғарыда

таңдамалық моменттер).

Бағаларды табудың теоремада келтірілген əдісі моменттер əдісі деп аталады. Егер қажетті теориялық моменттер бар болмаса (мəселен, Коши үлестірімі үшін) бұл əдісті қолдануға болмайды.

16-мысал. Айталық , G(x ) –параметрі q - ға тең көрсеткіштік үлестірім болсын: оның

тығыздығы Онда n бақылау бойынша алынған таңдамалық бірінші момент ал теориялық момент .

Таңдамалық екінші момент

ал теориялық екінші момент  Енді (*) теңдеулері

былай жазылады: ,

Бұдан моменттер əдісінің бағалары

17-мысал. Жалпы нормаль модель  Бұл жағдайда (*) жүйесі былай жазылады:

ал бұл жүйенің шешімі

  29 билет .Сенімділік интервалы

39.Бірлескен үлестірім функциясы.Бірлескен үлестірім тығыздығы.