Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Классификация сигналов
Аналоговый сигнал описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией хa(t), причем и аргумент, и сама функция могут принимать любые значения из некоторых интервалов:
На рис. 1.1,а изображен график аналогового сигнала
К аналоговым сигналам относятся, например, речевые сигналы в «обычной» телефонии и радиовещании и «обычные» телевизионные сигналы.
Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией (последовательностью, временным рядом) х(пТ), которая может принимать любые значения в некотором интервале в то время как независимая переменная п принимает лишь дискретные значения.
Частота дискретизации.
На рис. 1.1,6 изображен график дискретного сигнала
Используются и иные способы обозначения решетчатой функции: х(п), хn, когда интервал ди скретизации тем или иным способом нормирован и остается постоянным, или (х(пТ)}, когда необ ходимо подчеркнуть, что речь идет о решетчатой функции в целом, а не об отдельном значении (отсчете) этой функции при t=nT. В дальнейшем, как правило, отдельный отсчет решетчатой функ ции при t=nT и решетчатая функция в целом бу дут обозначаться одинаково—х(пТ). Конечная последовательность, т. е. дискретный сигнал, у которого число отсчетов конечно, представляет собой вектор и часто обозначается через х. Например, конечная последовательность х, состоящая из трех отсчетов
где Т — символ транспонирования вектора.
Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным. В пер вом случае отсчеты принимают лишь вещественные значения, во втором — комплексные.
К дискретным неквантованным по амплитуде сигналам относятся
сигналы, используемые в системах связи с амплитудно-импульсной модуляцией.
Цифровой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (кван
тованной последовательностью, квантованным временным рядом) хц(пТ), т. е.
решетчатой функцией, принимающей лишь ряд дискретных значений — уровней
квантования h1, h2 hk, в то время как независимая переменная п принима
ет значения О, 1,... На рис. 1.1,в изображен график цифрового сигнала
Каждый из уровней квантования кодируется кодом, состоящим из двоич ных цифр, так что передача или обработка отсчета цифрового кодированного сигнала сводится к операциям над безразмерным двоичным кодом. Число К уровней квантования и число s разрядов соответствующих кодов связаны зависимостью
l=1,2,...,K; k=9 и нелинейная функция Ок(р) определяется следующим образом
Значения цифрового сигнала могут быть заданы таблицей. В табл. 1.1 пои:
Значения рассмотренного выше цифрового сигнала
причем отсчеты представлены десятичными числами или пятиразрядными двоичными кодами s=5, в которых первый сле ва разряд — знаковый.
К цифровым сигналам относятся сигналы, используемые в системах связи с импульсно-кодовой модуляцией.
Дискретные сигналы, так же как и аналоговые, образуют линейное прост ранство [1.1]. Поэтому математический аппарат теории дискретных сигналов и линейных дискретных систем развит так же хорошо, как и математический аппарат теории аналоговых сигналов и линейных аналоговых систем. Циф ровые сигналы при ограниченном числе разря дов, используемых для представления отсче тов, не образуют линейного пространства от носительно обычных операций сложения и ум ножения. Поэтому при решении задач обра ботки цифровых сигналов используются линей ные дискретные модели, позволяющие приме нять методы теории дискретных сигналов и ли нейных дискретных систем (см. разд. 2).
* Значение функции int(B) — наименьшее целое число, не меньшее чис ла В.
2. Преобразование Лаплапса.
Функция |H(W)|2 – представляет собой энергетический спектр сигнала (спектральную плотность мощности) и не имеет фазовой характеристики, т.е. является четной вещественной, образованной из двух комплексно сопряженных функций H(W) и H*(W), при этом порядок фильтра N определяет число полюсов функции H(W) и комплексно сопряженных с ними полюсов функции H*(W).
Преобразование Лапласа. Переводим функцию |H(W)|2 на координатную ось пространства преобразования Лапласа при p = jW, для чего достаточно подставить W = p/j:
|H(р)|2 = 1/[1+(p/j)2N]. (6.1.8)
Полюсы функции находятся в точках нулевых значений знаменателя:
1+(p/j)2N = 0, p = j. (6.1.9)
Отсюда следует, что полюсы располагаются на единичной окружности в p-плоскости, а их местоположение определяется корнями уравнения (6.1.9). В полярных координатах:
pn = j exp(j(2n-1)/2N), n = 1,2, ... ,2N. (6.1.10)
pn = j cos[(2n-1)/2N] - sin[(2k-1)/2N]. (6.1.10')
Продолжение примера расчета фильтра
6. Вычисляем значения полюсов фильтра по формуле (6.1.10). Значения полюсов и их расположение на р-плоскости приведены на рис. 6.1.2. Положение первого полюса отмечено. Нумерация полюсов идет против часовой стрелки.
Как следует из формулы (6.1.10) и наглядно видно на рис. 6.1.2, все полюса с n N являются комплексно сопряженными с полюсами n<N. Устойчивую минимально-фазовую передаточную функцию фильтра образуют полюса левой половины р-плоскости:
H(p) = G/B(p), (6.1.11)
где G - масштабный множитель, B(p) - полином Баттерворта:
B(p) = B1(p) B2(p) ... BN(p), (6.1.12)
Bn(p) = p-pn. (6.1.13)
Практическая реализация фильтра Баттеруорта при четном значении N производится в виде последовательной каскадной схемы биквадратными блоками, т.е. составными фильтрами второго порядка. Для этого множители B(p) в (6.1.12) объединяются попарно с обоих концов ряда по n (от 1 до N) по комплексно сопряженным полюсам, при этом для каждой пары получаем вещественные квадратичные множители:
Вm(p) = Bn(p)·BN+1-n(p) == [p+j exp(j(2n-1)/2N)][p+j exp(j(2(N+1)-2n-1)/2N)] =
= [p+j exp(j(2n-1)/2N)][p-j exp(j(2n-1)/2N)] = p2+2p sin((2m-1)/2N)+1, n = 1,2, ..., N/2; m = n. (6.1.14)
Общее количество секций фильтра M=N/2. При нечетном N к членам (6.1.14) добавляется один линейный множитель с вещественным полюсом p(N+1)/2 = -1, пример положения которого на р-плоскости можно видеть на рисунке 6.1.2 для N=5:
В(N+1)/2(p)= p+1. (6.1.15)
Машинное время фильтрации на один оператор фильтра первого или второго порядка практически не отличаются, поэтому использование операторов первого порядка можно не рекомендовать и при установлении порядка фильтра по формуле (6.1.6) округлять расчетное значение N в сторону большего четного числа, что создает определенный запас по крутизне среза частотной характеристики.
Таким образом, передаточная функция ФНЧ Баттеруорта в p-области при четном N:
H(p)=G1/Bm(p)=G1/(p2+amp+1),
am = 2 sin((2m-1)/2N), m = 1,2, ... ,N/2.
При нечетном N: H(p) = (G/p+1)1/(p2+amp+1),
3.Виды дискретизации.
Существует три вида дискретизации (основных):
1. амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), при которой амплитуда импульса пропорциональна дискретному значению входного сигнала дискретизатора (модулятора).
При этом на выходе модулятора импульсы одинаковой длительности tu =TD, а
амплитуда которых равна значению входного сигнала в начале i-го интервала:
Аi=X(iTd).
2). широтно-импульсная модуляция (ШИМ), при которой ширина импульса пропорциональна величине входного дискретного сигнала модулятора.
На выходе модулятора – прямоугольные
импульсы постоянной амплитуды A, длительность которых tui=iTD пропорциональна значениям входного сигнала в тактовые моменты времени, т.е. t=tiTD. Ширина импульса не должна превышать периода дискретизации:
i =ax(iTD), i1,aM1, M=|x(t)|max.
3). фазо-импульсная модуляция (ФИМ): здесь фаза импульса пропорциональна дискретному значению входного сигнала модулятора.
На выходе дискретизатора появляются импульсы постоянной длительности и амплитуды, но вводится
переменный сдвиг импульса во времени после каждого периода дискретизации на величину i=ax(iTD).
4.Элементарные сигналы.
Реальный аналоговый сигнал для любого вида может быть представлен в виде суммы элементарных сигналов, в качестве которых чаще всего выбирается:
б) дельта-функция (-функция):
Классическая математика полагает, что функция f(t) принимает какие-то значения в любой точке оси t. -функция при этом не вписывается в эти рамки и значение при t=0 не определено, но имеет единичный интеграл: .
Поэтому -функция попадает под понятие обобщенной функции. Для этого определим -функцию, используя предельный переход. Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы:
Q(t, )=(1/)[ (t+/2)- (t-/2].
При любом выборе параметра площадь импульса остается равна 1.Пусть 0, импульс сокращается по длительности, но сохраняет свою площадь, поэтому его высота будет возрастать. Предел последовательности этих функций при 0, называется -функцией (функция Дираха):
(t)=limQ(t, ), при 0. Функция четная: (-t)=+(t).
5.Динамическое представление при помощи -функции.
Сигналы x(t) можно приближенно представить в виде суммы примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов. Если Xk- значение сигнала в момент времени tk=k, то прямоугольный импульс с номером k можно представить следующим образом:
k(t)=Xk[(t-tk)-(t-tk-)],
тогда сумма элементарных сигналов будет представлять общий сигнал:
(умножили и поделили на ).
Переходя к lim при 0, произведем следующие замены: [(t-tk)-(t-tk-)]/(t-)d.
Поскольку допускается(t-)(-t), то согласно этой формуле интеграл по времени произведения функции времени X() на(t-) равен значению функции X() в той точке, где сосредоточен -импульс. Этот вывод определяет формулировку фильтрующего свойства -функции. Если проинтегрировать по времени произведение функции x(t)(t-), сосредоточенное в точке t=t0 ,тогда
Это рассуждение справедливо для произвольной функции f(x):
6. Реальные дискретизаторы.
Рассмотрим устройство, осуществляющее АИМ первого рода - устройство выборки и хранения (УВХ), которое обычно соединяется с АЦП/ЦАП. Кроме дискретизации (т.е. фиксации конкретных дискретных значений входного сигнала) задачей УВХ является запоминание этих значений на некоторое время tz.
На временной диаграмме показано изменение входного напряжения Uвх(t), напряжение на запоминающем конденсаторе и управляющее напряжение Uy1.
Основные параметры:
.На диаграмме принято ta 0,т.е. ключ К1 размыкается мгновенно после окончания управляющего импульса.
При замыкании ключа К2 конденсатор быстро разряжается. Процесс повторяется.
В цифровых системах обработки операции выборки и хранения управляются от таймеров.
7. Геометрические методы в теории сигналов.
1. Линейное пространство сигналов.
Множество М сигналов образуют линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:
1) любой сигнал U(t)M при любых значениях t принимает только вещественные значения.
2) для любых сигналов U(t)M и (t)M существует их сумма W(t)=U(t)+ (t), причем W(t)M. Операция суммирования коммутативна и ассоциативна.
U(t)+[(t)+W(t)]=[ U(t)+ (t)]+ W(t).
3) для любого сигнала U(t)M существует единственный противоположный элемент такой, что сумма с ним дает 0.
U(t)+[- U(t)]=0.
U(t)+0=U(t).
5) для любого сигнала U(t)M и любого вещественного числа определен сигнал:
f(t)= U(t).
Аналогично определяется линейное комплексное пространство. Для этого в аксиоме 5) допускается умножение на комплексное число.
Элементы линейных пространств называются точками (векторами). Не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.
2. Нормированное линейное пространство.
Длина вектора называется его нормой. Линейное пространство сигналов L называется нормированным, если с каждым вектором s(t)L однозначно сопоставимо неотрицательное число ||s||, которое называется нормой.
В одном и том же линейном пространстве можно ввести целый ряд норм. Но для всех норм должны быть выполнимы аксиомы:
1) норма ||s||=0 тогда и только тогда, когда s= 0.
2) для любого числа справедливо равенство:
|| s||=||* ||s||.
||U+||||U||+||||.
На практике в радиотехнике норма сигнала определяется:
(1)
А для комплексных сигналов норма определяется:
По формуле (1) определяемая норма называется энергетической, а квадрат этой нормы называется энергией сигнала.
3. Метрическое пространство.
Величина, характеризующая расстояние между сигналами U(t) и (t) в линейном пространстве L, называется метрикой d(U,).
Линейное пространство L называется метрическим, при этом с каждой парой векторов сопоставимо неотрицательное число d(U,), т. е. с метрикой.
Аксиомы:
d(U,)=d(U,).
2) Если сигнал U(t)L, то можно записать, что dU(U,U) (метрика с самим сигналом).
Два сигнала U(t) и (t) и если есть еще сигнал W(t)L , и их можно изобразить:
то d(U,) d(U,W)+ d(W,).
Метрику также можно записать при помощи нормы, положив метрику равную норме разности сигналов:
d(U,)=||U-||.
Метрическое пространство является нормированным
8,9. Обобщенный ряд Фурье. Ортогональные сигналы. Скалярное произведение.
Система l1, l2,…,ln сигналов гильбертова пространства H называется ортонормированной, если эти сигналы ортогональны друг другу и обладают единичными нормами.
Условия ортонормированности:
Для любого сигнала U(t)H числа ci называются коэффициентами Фурье:
ci=(U,li) сигнала U(t) относительно системы сигналов l.
Ортонормированная система {li} называется ортонормированным базисом гильбертова пространства Н, если выполняется равенство:
Найдем энергию сигнала, представленного обобщенным рядом Фурье.
Меняем порядок интегрирования и суммирования:
Согласно условию ортогональности:
при i=j.
Обозначим энергию через ||U||2,тогда получим, что энергия сигнала есть сумма составляющих, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.
- уравнение Парсеваля
Периодические сигналы и ряды Фурье.
Рассмотрим систему ортогональных функций, образующих полное, бесконечно мерное эвклидово-гильбертово пространство.
(1)
Эти функции образуют в пространстве полную ортогональную систему.
Для каждой функции f(t) из этого пространства на отрезке от –Т/2 до Т/2 можно записать ряд Фурье.
со следующими коэффициентами:
(2)
Вместо функций, заданных на отрезке от –Т/2 до Т/2, можно говорить о периодических функциях с периодом Т на всей оси времени, т.к. каждую функцию, заданной на указанном отрезке, можно периодически продолжить.
При использовании ортогональных систем комплексных функций ряд Фурье имеет следующий вид:
где Cn – коэффициенты ряда Фурье. (3)
Используя переход и подставляя вместо тригонометрическое представление:
Выполнив подстановку в формулу (3), учитывая (2), получим:
Эти комплексные коэффициенты Сn образуют комплексно-сопряженные пары:
Каждой комплексно-сопряженной паре соответствует гармоническое колебание:
Графически можно изобразить это колебание двумя векторами, вращающимися в противоположных направлениях.
Верхний – против часовой стрелки(положительная частота).
Нижний – наоборот.
Совокупность коэффициентов Сn называется частотным спектром периодического сигнала f(t).
Преимущества базиса (1):
11. Z-преобразование. Практические методы Z-преобразования
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЯМОГО Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Поиск z-изображения по заданному сигналу x(nT) выполняется в соответствии с определением z-преобразования:
x(nT)=0 при n<0 (1)
Основные свойства z-преобразования приведены в приложении 1. Вычисление прямого z-преобразования выполняется непосредственно по определению (1) с использованием свойств z-преобразования.
Отметим, что в изображении X(n) при z-n в качестве коэффициента стоит значение отсчета x(nT).
Пример 1. Найти изображение сигнала, заданного последовательностью отсчетов
x(nT) =( 1, -2, -0.5, 3)
В соответствии с (1) имеем
X(n)=1-2*z-1-0.5*z-2+3*z-3
Пример 2. Найти изображение сигнала, заданного формулой x(nT)=5*cos(0.25nT)
В соответствии с (1) имеем
Бесконечные суммы, получающиеся в изображениях, удобно аналитически вычеслить, используя формулы сумм рядов. С помощью аналитического суммирования бесконечных рядов получены z-изображения для наиболее часто встречающихся в практических исследованиях сигналов. Основная часть этих результатов приведена в приложении 2 в форме таблицы, связывающей аналитическую форму записи сигнала во времени с его изображением в z-области.
Использование таблицы z-преобразований - наиболее простой путь поиска изображения сигналов. Однако для применения данных таблицы необходимо учитывать свойства z-преобразования (см. Приложение 1).
Пример 3. Найти изображение сигнала, являющегося суммой двух дискретных экспонент
x1(nT)=A*exp(-pn)
x2(nT)=B*exp(-qn)
Причем сигнал x2 запаздывает на 3 такта относительно сигнала x1.
Прежде всего найдем аналитическую запись такого сигнала во временной области. С этой целью рассмотрим графическое представление сигналов при A=2 и B=-1 (Рис. 1)
Рис.1 Графики сигналов x1(nT), x2(nT) и их суммы y(nT).
В соответствии с графиком на рис. 1 можно записать
Более удобную запись можно получить с помощью ступенчатой функции (график ступенчатой функции представлен на рис. 2)
y(nT)=A*exp(-pn)*u(n)+B*exp(-p(n-3)*u(n-3)
Умножение на ступенчатую функцию эквивалентно «включению» соответствующего сигнала в тот момент времени, когда аргумент ступенчатой функции становиться равен нулю.
Изображение сигнала легко получить с помощью таблицы z-преобразований и свойств линейности и сдвига (задержки) во временной области. Из таблицы имеем
С учетом задержки получаем искомое изображение
Пример 4. Найти изображение сигнала x(nT)=C*(n+2). Этот сигнал похож на табличный линейно возрастающий сигнал x(nT)=n, сдвинутый влево (опережающий) на 2 такта (рис.3). Поэтому используя свойства сдвига и линейности, получаем
Необходимо отметить, что слагаемые в круглых скобках служат для компенсации (уничтожения) ненулевых отсчетов функции x(nT)=n, появляющихся при n<0 в результате сдвига ее влево (опережения) во времени. Появление ненулевых отсчетов в отрицательные моменты времени в соответствии с определением (1) одностороннего z-преобразования запрещено и приводит к некорректным результатам. Поэтому при всяком сдвиге функции времени влево по оси времени следует обеспечивать, чтобы x(nT)=0 при n<0.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ Z-ИЗОБРАЖЕНИЙ
В теории z-преобразований переменная z рассматривается как комплексная переменная, имеющая вещественную и мнимую части. Поэтому z описывает плоскость с двумя измерениями. В декартовой системе вещественную часть z принято откладывать на оси абсцисс, а мнимую часть - по оси ординат.
Используя z-плоскость, можно получить компактное геометрическое описание временного сигнала или линейной дискретной системы.
В большинстве практических интересных случаях изображение имеет вид дробно-рациональной функции вида
X(z)=Qn(z)/Pm(z) (2)
где Qn(z) b Pm(z) - полиномы от z степеней n и m соответственно. Изображение X(z) можно представить в виде
(3)
где z0i - нули (в общем случае комплексные числа) функции X(z), являющиеся корнями уравнения Qn(z)=0; zpi -полюса (также могут быть комплексными числами) функции X(z), являющиеся корнями уравнения Pn(z)=0. Отметим, что часть нулей и/или полюсов могут совпадать друг с другом. Совокупность нулей и полюсов полностью определяет кратность нуля или полюса соответственно. Объединяя кратные нули и полюса, представление (3) можно привести к виду
(4)
где mai, mpi -кратност нулей и полюсов.
В качестве примера найдем графическое представление для линейно возрастающего сигнала x(nT)=n+2. Используя результаты примера 4 найдем нули и полюса этого сигнала. Из решения уравнения
2*(z2-z)=0; (z-1)2=0;
имеем z01=0; z02=1; zp1=1; zp2=1. Откладывая координаты этих точек на z-плоскости, получим искомое графическое представление сигнала (рис. 4). На рисунке положение нулей отмечено символом «0», а положение полюсов - символом «+». Отметим, что два полюса и один ноль рассматриваемого сигнала совпали в одной точке, причем кратность двух различных нулей равна 1, а кратность полюса в точке z=1 равна 2
Рис.4. Положение нулей и полюсов линейно возрастающего сигнала.
Нули и полюса называют особыми точками изображения. Координаты нулей определяют значения z, при которых функция изображения X(z) обращается в ноль. Координаты полюсов указывают точки z-плоскости, в которых функция x(z) обращается в бесконечность.
12. Свойства Z-преобразования.
Свойства Z-пробразования.
Приняты следующие обозначения: X(z)=Z(x(nT)), X1(z)=Z(x1(nT)), X2(z)=Z(x2(nT)), где через x(nT), x1(nT), x2(nT) обозначены сигналы во временной области, а через X(z), X1(z), X2(z) — их изображения в z-области.
1.Линейность.
Пусть a, b — константы, тогда Z(a*x1(nT)+b*x2(nT))=a*X1(z)+b*X2(z) т.е. изображение взвешенной суммы сигналов есть сумма их изображений, взятых с теми же весами.
2.1 Сдвиг сигнала во времени (Задержка).
Z(x(nT-mT))=z-m*X(z)
т.е. задержка сигнала на m тактов во времени (сдвиг вправо по оси времени на m тактов) эквивалентна в Z-области умножению изображения этого сигнала на z-m
2.2 Сдвиг сигнала во времени (Опережение).
Z(x(nT+mT))=zm*[X(z)- x(iT)*z-i]т.е. сдвиг сигнала на m тактов (опережение во времени на m тактов) эквивалентен умножению на zm изображения этого сигнала с уничтоженными отсчетами x(kT) при k=(n+m)<0.
3. Свертка временных последовательностей.
Свертка двух временных последовательностей вычисляется по правилу
x(nT)=x1(mT)*x2(nT-mT)= x1(nT-mT)*x2(mT)
Тогда Y(z)=Z(x(nT)=X1(z)*X2(z)т.е. изображением свертки двух временных последовательностей является произвидение изображений этих последовательностей.
13. Обратное Z-преобразование
Вычисление обратного z-преобразования
Переход от изображения на z-плоскости к его временному преставлению или оригиналу осуществляется с помощью обратного z-преобразоваения.
X(nT)=1/(*j) X(z)*zn-1dz=Z-1(X(z)) (5)
Где Г — контур, охватывающий все полюса изображения X(z) на Z-плоскости; j=. Поиск обратного z-преобразования в общем случае требует вычисления контурного интеграла. Однако в практически значимых случаях, когда изображение X(z) имеет вид дробно-линейной функции (2), функцию x(nT) (оригинал) можно получить более простыми методами.
Метод вычетов. Если изображение X(z) представлено в виде (3), то на основании теоремы о вычетах контурный интеграл (4) является суммой вычетов
L(z)=X(z)*zn-1
где Res[L(z)] — вычет подинтегральной функции, вычисленный в полюсе zpi. Для вычисления вычетов существует формула
с помощью которой вычисление контурного интеграла заменяется (m-1)-кратным дифференцированием и вычислением предела.
При вычислении вычетов следует отдельно исследовать случаи n=0 и n=1, так как при этих значениях n функция L(z) может иметь дополнительные полюса в точке z=0.
В качестве примера рассмотрим задачу, обратную задаче Примера 4. Пусть требуется найти оригинал x(nT) изображения вида
При n=0 имеем
т.е подинтегральная функция имеет полюс zp0=0 кратности m=1 полюс zp0=1 кратности m=2. Для полюса в точке z=0 из (7) получаем
Для полюса в точке z=1 кратности 2, выполняя в (7) дифференцирование: получим (некоторые правила дифференцирования и производные приведены а Приложении 3)
Итак, при n=0 получаем
При n=1 имеем
В этом случае подинтегральная функция имеет только полюс zp1=1 кратности m=2. Для этого полюса, выполняя в (7) дифференцирование, получим
Поэтому
Рассматривая теперь случай n>1, получаем
Окончательно имеем x(nT)=n+2, что совпадает с исходным оригиналом в Примере 4.
Метод деления многочленов. Деление многочленов в (2) можно выполнить столбиком по правилу, аналогичному правилу деления в арифметике.
В качестве примера рассмотрим задачу определения отсчетов сигнала во временной области, если известно его изображение
Выполняя действие, последовательно получаем
В общем случае процесс деления может продолжаться бесконечно. Представив X(z) в виде многочлена с последовательно убывающими степенями z, несложно перечислить отчеты сигнала во времени x(nT)={5/2; 3/2; -5/2; -3/2; ....}
Недостаток этого метода состоит в том, что он не дает аналитической записи сигнала,- получаются только численные значения отсчетов сигнала во времени. Причем, вследствие неизбежных ошибок округления в ходе вычислений значения отсчетов сильно искажаются по мере увеличения номера отсчета.
Метод разложения на элементарные дроби. При поиске изображения по оригиналу при вычислении прямого z-преобразования используется таблица z-преобразований (приложение 2). Естественно стремление использовать эту же таблицу и при выполнении обратной операции — вычислении обратного z-преобразования. С этой целью отношение двух многочленов в (2) необходимо привести к сумме элементарных дробей
Где Si(z) — простая дробь, знаменатель которой имеет вид либо двучлена (z-a), либо является трехчленом вида (z*z+b*z+c) c комплексно-сопряженными корнями, где a,b,c — вещественные числа.
После разложения на элементарные дроби каждое слагаемое Si(z) можно сопоставить с табличным изображением и с учетом свойств сдвига для z-преобразования определить искомый сигнал как сумму соответствующих оригиналов.
В качестве примера опять рассмотрим задачу, обратную задаче примера 4. Пусть требуется найти оригинал x(nT) изображения вида
Представим X(z) в виде суммы X(z)=S1(z)+S2(z), где элементарные дроби имеют вид
Изображение S2(z) совпадает с табличным. Поэтому сразу получаем S2(nT)=-n*u(n). В S1(z), вынося z за скобки получаем
Выражение в квадратных скобках -табличное, а умножение его на z обозначает сдвиг оригинала в области времени влево (опережение). Поэтому получаем S2(nT)2*(n+1)*u(n+1).
При сдвиге влево обязательно следует убедиться, что в отрицательные моменты времени (n<0) значение временного сигнала - ноль. В рассматриваемом случае при n=-1 имеем S2(-T)=0, так как (n+1)=0, хотя u(n+1)=1, при n<=-2 также S2(nT)=0, поскольку u(n+1)=0.
Итак окончательно
x(nT)=S1(nT)+S2(nT)=2*(n+1)*u(n+1)-n*u(n)=n+2.
Этот прием разложения на элементарные дроби применим только тогда, когда дробь - правильная (n<m) и знаменавтель изображения -двучлен или трехчлен.
В более общем случае следует использовать следующее представление (8)
где Cki - постоянные коэффициенты, mk- кратность полюса zpi.
(9)
Формула (9) упрощается, если все полюса zpi имеют кратность mk=1. Тогда Cki=Qn(zpi)/P’m(zpi) (10)
где P’m(zpi) - производная от Pm(z), вычисленная в точке z=zpi.
Отметим , что в (8) должно строго выполняться условие n<m. Если же степень числителя равна или больше степени знаменателя, то предварительно необходимо выделить целую часть дроби с помощью деления многочленов.
В качестве примера определим оригинал следующего изображения
Нетрудно заметить, что n=m+3 и требуется выделение целой части. Выполняя деление многочленов, имеем
Теперь n=1<m=3 и можно использовать формулы (8)-(10), находим полюса zp1=0.9, zp2=j0.5, zp3=-j0.5. Все они имеют кратность m1=m2=m3=1, что позволяет воспользоваться формулой (10). Итак, ищем разложение в виде
Pm(z)=(z-0.9)(z*z+0.25) P’m(z)=2*z*(z-0.9)+ (z*z+0.25) Qn(z)=z
Из (10) получаем
С11=0.9/1.06; C21=-0.5/(0.9-j0.5); C31=-0.5/(0.9+j0.5)
Полученное разложение целесообразно проверить на справедливость с помощью приведения его к общему знаменателю и сравнения с исходным выражением. Убедившись в правильности вычислений, приступим к поиску оригинала. Домножая выражение в скобках на z/z=1 и внося z внутрь скобок, приходим к табличным изображениям.
Учитывая свойство сдвига (задержка на 1 такт), получаем
x(nT)=(nT)-[C11*(0.9)n-1+C21*(j0.5) n-1+C31*(-j0.5) n-1]*u(n-1)
Метод разложения на элементарные дроби и метод вычетов являются универсальными методами поиска аналитического выражения оригиналов.
14. Основные свойства преобразования Фурье
Преобразование Фурье (обобщение рядов Фурье).
Преобразование Фурье позволяет получать спектральные характеристики не периодических сигналов.
Пусть есть абсолютно интегральный сигнал S(t), удовлетворяющий условию:
(1)
тогда прямое преобразование Фурье оценивается через спектральную плотность сигнала:
(2)
Обратное преобразование Фурье оценивается по спектральной плотности, можно найти сигнал во временной области.
Сравним спектральную плотность одиночного импульса, сосредоточеннного
на интервале от 0 до Т:
и спектр периодической функции, которая образуется из смещенных на время iT и смещенных на iT импульсов:
(4)
Сравнивая (3) и (4) и полагая, что w1=2/T, получим:
(5)
где Cn - коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности импульсов, не накладывающихся друг на друга, равны спектральной плотности одного из этих импульсов, деленной на период Т. Это свойство используется при нахождении спектра периодического сигнала. Сначала определяется спектральная плотность одиночного импульса, а потом по (5) коэффициенты ряда Фурье.
Спектральная плотность одиночного импульса:
Спектр последовательности импульсов:
При увеличении периода Т спектральные линии (рис. б) сближаются, а коэффициенты уменьшаются, но таким образом соотношение Cn/f1 остается постоянным. При Т-> получим одиночный импульс.
Основные свойства преобразований Фурье.
Спектральная плотность линейной комбинации сигналов S1(t) и S2(t) равна такой же линейной комбинации спектральных плотностей S1(w) и S2(w).
ai - коэффициенты (произвольные числовые).
N – число сигналов.
Пусть для исходного сигнала S(t) известно следующее соотношение: S(t)->S(w).
Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на время t0 позднее: S(t-t0).
Запишем преобразование Фурье:
Рассмотрим связь спектра исходного сигнала от изменения масштаба времени.
Есть сигнал S(t), его спектральная плотность S(w).
Требуется определить спектральную плотность сигнала S(t), причем такого, что при >1 – происходит сжатие сигнала, а при 0<<1 - растягивание сигнала.
Таким образом, при растяжении сигнала во времени происходит сжатие частотного спектра, при сжатии сигнала в раз на временной оси, его спектр растягивается на оси частот в раз.
Найдем спектральную плотность по формуле (1):
При нулевой частоте значение спектральной плотности равна площади импульса или произведению длительности импульса tu на Um.
При увеличении длительности импульса tu расстояние между нулями функции U(w) уменьшается, что равносильно сужению спектра, а значение U(0) возрастает.
При уменьшении длительности импульса, наоборот, спектр расширяется, а значение U(0) уменьшается.
16. Теорема Котельникова.
Если непрерывная функция удовлетворяет условиям Дирихле (функция x(t) ограниченна, кусочно-непрерывна и имеет конечное число экстремумов) и спектр этой функции ограничен некоторой частотой fc, то она полностью определяется последовательностью своих значений в точках отстоящих друг от друга на период Tk=1/2fc=1/Fд, где Fд – частота дискретизации.
17. Дискретизация сигналов с неограниченным спектром
Неотъемлемой частью любой человеческой деятельности является обработка информации. Для автоматизации процесса обработки информации служат технические информационные системы, которые по форме обрабатываемой информации подразделяются на аналоговые и цифровые. В технических системах источником и носителем информации являются сигналы. Сигналы могут быть непрерывными во времени (аналоговые сигналы) или дискретными.
Аналоговые сигналы описываются непрерывными функциями времени. Примерами аналоговых сигналов являются речь, музыка, телевизионное изображение, электромагнитные колебания и др. Значение аналогового сигнала определено в любой момент времени.
Дискретным сигналом называется сигнал, определенный только в дискретные моменты времени, например через одну микросекунду или через 24 часа. В промежутках между отсчетами дискретный сигнал неопределен. Частным случаем дискретных сигналов являются цифровые сигналы, в которых каждое значение (отсчет) дискретного сигнала представлено (закодировано) конечным числом.
В последние годы в связи с развитием микроэлектроники и появлением дешевых микропроцессорных БИС широкое распространение получили цифровые системы обработки информации, выполняющие обработку цифровых сигналов. Поскольку большинство сигналов в природе имеет аналоговую форму, для их обработки в цифровой информационной системе необходимо преобразование сигналов из аналоговой в цифровую форму.
Процесс аналого-цифрового преобразования обычно выполняется по схеме: дискретизация (квантование по времени) - квантование по уровню - кодирование.
В процессе дискретизации исходный аналоговый сигнал преобразуется в дискретную форму. С этой целью из входного аналогового сигнала x(t) через некоторый интервал времени Т берутся выборки (отсчеты) (Рис. 1).
Рис. 1. Дискретизация аналогового сигнала
Отсчеты дискретного сигнала x(nT) непрерывны по уровню - они могут принимать любое допустимое значение. Это означает, что для их представления в цифровом устройстве обработки информации потребуется разрядная сетка с бесконечным числом разрядов. Поскольку длина разрядной сетки всегда ограничена, приходится огрублять значения отсчетов x(nT) до конечного множества допустимых значений. В процессе квантования дискретный сигнал огрубляется до одного из множества разрешенных уровней (Рис. 2).
Рис. 2. Квантование по уровню
Кодирование заключается в представлении отсчетов квантованного сигнала каким-либо кодом, обычно двоичным числом. Поскольку число разрешенных уровней конечно, любое значение сигнала представляется конечным числом.
Техническая реализация аналого-цифрового преобразователя (АЦП) осуществляется с помощью блока выборки и запоминания сигнала, который выполняет дискретизацию сигнала, и блока сравнения с порогами и кодирования, который квантует и кодирует сигнал (Рис. 3). Аналоговый фильтр нижних частот ФНЧ служит для подавления во входном аналоговом сигнале всех составляющих с частотой F > 1/(2T), где Т - период дискретизации.
Рис. 3. Структурная схема блока АЦП
Основными параметрами, на основе которых разрабатывается реальная схема блока АЦП, являются характеристики сигнала x(t) (обычно спектр мощности и динамический диапазон) и допустимая дисперсия (мощность) ошибок преобразования, вносимых АЦП. На основе этих данных определяют такие основные параметры АЦП как период дискретизации Т (квант по времени), число уровней квантования М и величину кванта по уровню h. Эти параметры необходимо определить так, чтобы потери информации, неизбежно возникающие в блоке АЦП, не превышали допустимого, наперед заданного значения. Потери информации оцениваются уровнем шума, вносимого АЦП, который не должен превышать заданную дисперсию ошибок квантования.
Расчет периода дискретизации
Выбор Т основывается на одном из следующих критериев:
1. Теорема Котельникова утверждает, что если период дискретизации удовлетворяет условию
Т < 1/(2Fmax)
где Fmax - максимальная частота в спектре сигнала x(t), то потерь информации в результате дискретизации не происходит, так как непрерывный сигнал x(t) полностью восстанавливается по своим отсчетам. Этот критерий используется для сигналов с ограниченным спектром.
2. Теорема Железнякова утверждает, что если спектр сигнала не ограничен, то период дискретизации может быть выбран из условия
Т < корр
где
корр - время корреляции сигнала x(t), определяющее статистическую связь между двумя отсчетами сигнала:
R(t)=B(t)/B(0)
B(t) - корреляционная функция сигнала x(t); В(0) - средняя мощность сигнала x(t).
Спектр сигнала F() и корреляционная функция В(t) связаны соотношением Виннера-Хинчина
Применение критерия 1 гарантирует отсутствие потерь информации при дискретизации. На практике чаще используется критерий 2, так как спектры реальных сигналов имеют большую протяженность.
18. ДПФ.
ДПФ определяет линейчатый спектр дискретной периодичной функции x(t), а обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру.
Периодичная непрерывная функция времени x0(t) с периодом Р и частотой f0= 1/Р определяется рядом Фурье:
(1)
где коэффициенты x(n) (комплексные отчеты спектра) определяются следующим образом:
(2)
Непрерывная периодичная функция и ее спектр:
Линейчатость спектра x(n) является следствием периодичности функции x0(t).
Выполним дискретизацию функции x0(t).
В результате дискретизации получим дискретную функцию с периодом дискретизации Т:
и, полагая t= kТ, x(k)=x0(k), перепишем изображение спектра через x(k):
– дискретное преобразование Фурье.
Спектр находится по временной дискретной функции.
Обратное ДПФ
k – дискретное время,
n – дискретная частота (номер гармоники).
19. Свойства ДПФ.
1. Спектр, вычисляемый с помощью ДПФ, является дискретным. Это следствие периодичности функции x(k).
2. Спектр ДПФ является периодическим. Это следствие дискретности функции x(k).
Для анализа непериодических функций, наблюдаемых в окне Р тоже используется ДПФ. При этом получается спектр периодический и дискретный, но соответствует некоторой периодичной функции Z1(t) , период которой совпадает с протяженностью окна Р. Так как Z1(t) на границах окна претерпевает разрывы, то в спектре ДПФ появляются высокочастотные составляющие, отсутствующие в спектре функции Z(t).
3. Линейность.
Спектр взвешенной суммы сигналов равен сумме взвешенных спектров.
x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)
4. Сдвиг последовательности.
Сдвиг на отчетов в частотной области эквивалентен умножению временного сигнала на :
5. Теорема Парсиваля.
Даны: временная последовательность X(kT) и ее спектр(F{x(kT)}=X(n)), временная последовательность Y(kT) и ее спектр Y(n).
ДПФ комплексно сопряженной последовательности Y(kT) будет иметь вид:
Вычислим среднее значение почленного произведения x(kT) и y*(kT) :
f(kT)=x(kT)y*(kT)
Выполним ДПФ f(kT):
Если y*(kT)=x(kT), то
Средняя мощность функции времени x(kT) равна сумме мощностей ее спектральных составляющих и не зависит от фаз этих спектральных составляющих.
6.ДПФ временной последовательности x(kT) представляет комплексный спектр x(n), учитывающий амплитуды и фазы каждой спектральной составляющей.
Часто удобнее пользоваться только амплитудным спектром или спектром мощности без учета фаз. Поэтому мощность n-ой спектральной составляющей можно определить:
Px(n)=X(n)X*(n)=|X(n)|2
7.Свойство симметрии.
Коэффициенты X(n), номера которых расположены симметрично относительно N/2, образуют комплексно сопряженные пары.
X (n)=X*(N-n) X (-n)=X*(n)
8.Автокорреляционные функции (дискретные соотношения Винера-Хинчина).
Автокорреляционная функция (АКФ) определяет степень статистической связи или зависимость соседних отcчетов, отстоящих на K шагов.
с помощью ДПФ можно получить отчеты корреляционной функции через спектральную мощность:
т.е. энергетический спектр и автокорреляционная функция периодической последовательности связаны парой ДПФ:
дискретный аналог соотношения Винера-Хинчина.
9. Свертка во временной области двух последовательностей эквивалентна умножению в частотной.
20. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Общее описание БПФ
Как отмечалось в введении, БПФ представляет собой алгоритм, позволяющий вычислять ДПФ временных рядов значительно быстрее, чем это можно сделать с помощью других доступных алгоритмов. Возможность вычисления ДПФ с помощью такого «быстрого» алгоритма делает ДПФ важным средством анализа. Таблица дает возможность оце нить уменьшение объема вычислений, которое мож но достичь благодаря
применению БПФ для полу чения некоторых наиболее часто употребляемых характеристик. Необходимо, правда, добавить, что объем вычислительного времени представлен в таб лице верхней границей; действительный объем вы числительных операций зависит от величины N и «изобретательности» используемого алгоритма.
Полезно, по-видимому, отметить, что БПФ не только сокращает время вычислений; оно также существенно снижает ошибки округления, связан ные с этими вычислениями. Действительно, в этом случае и вычислительное время, и ошибки округле ния уменьшаются в (log2 N)/N раз, где N — число выборок временного ряда. Например, если N = 1024 = 210, то N log2N = 10240. Для стан дартных методов вычисления ДПФ (1) при N = 1024 потребовалось бы время, пропорциональное N2 = 1048576, т. е. более чем в 50 раз большее, чем в случае применения БПФ.
По существу БПФ — это остроумный метод вы числения посредством последовательного объедине ния прогрессивно увеличивающихся взвешенных сумм выборочных, величин для получения коэффи циентов ДПФ, определяемых формулой (2). этот метод можно интерпретировать как метод объеди нения ДПФ отдельных выборочных величин, в ко тором моменты времени, соответствующие наличию этих выборок, последовательно учитываются и ис пользуются для получения ДПФ прогрессивно воз растающих, взаимно исключающих подгрупп выбо рочных величин, которые далее объединяются для окончательного получения ДПФ всей данной после довательности выборочных величин. Авторы пола гают, что объяснение алгоритма БПФ, данное в этой статье, окажется, в частности, вполне достаточным для целей программирования.
Стандартные формы БПФ
Децимация во времени. Поскольку ДПФ, соглас но (2). и его обращение [см. (4)1 имеют одну и ту же форму, то алгоритм, машина или подпрограмма, пригодные для вычисления одного из них, можно использовать и для вычисления другого преобразо вания, что просто достигается переменой ролей Хk и Аr введением соответствующего масштабного множителя и необходимым изменением знаков. В связи с этим две основные формы БПФ (каждая из которых имеет несколько модификаций) экви валентны. Однако все же стоит различать их и рассмотреть отдельно друг от друга. Рассмотрим сначала форму БПФ, применявшуюся Кули и Таки, которую будем далее называть децима цией во времени. Перемена ролей Аr и Хk дает форму БПФ, получившую название децимация по частоте, которая ниже также будет рассмотрена.
Предположим, что временной ряд, состоящий из N выборок (таких, как, например, Хk на фиг. 2, а), разделили на две функции, Yk и Zk, каждая из которых состоит только из половины исходных точек (N/2). Пусть функция Yk составлена четно пронумерованными точками (Х0, Х2, Х4,...), а Zk — нечетно пронумерованными точками (Х1, Х3, A5,...). Вид этих функций показан на фиг. 2, b и с, и мы можем формально записать их как
Yk=X2kk=0, 1, 2,..., -1 (15)
Zk=X2k+1
Для функций У,, и Z,, дискретные преобразования Фурье имеют следующий вид:
r=0, 1, 2,..., -1 (16)
Дискретное преобразование Фурье исходного вре менного ряда, определяемое формулой (1), можно записать, отделив под знаком суммы четно и не четно пронумерованных точек, т. е.
r = 0,1, 2,..., N-1 (17)
или
(18)
Последнее выражение, используя формулу (16), можно переписать в следующем виде:
Аr = Вr + exp(-2jr/N)Cr 0 r < N/2 (19)
Для значений n > N/2 дискретные преобразования Фурье Вr и Сr периодически принимают значения, которые они имели при r < N/2. Поэтому, под ставляя в формуле (19) вместо r+N/2 величину r, получаем, что
0 r <N/2
=Br-exp(-2jr/N)Cr 0 r <N/2 (20)
Последние две формулы дают возможность полу чить первые N/2 и последние N/2 точек ДПФ по следовательности Xk, состоящей из N выборок, из ДПФ последовательностей Yk и Zk, состоящих из N/2 выборок.
Полагая далее, что в нашем распоряжении имеется метод вычисления ДПФ за время, пропор циональное квадрату от количества выборок, можно воспользоваться этим алгоритмом для вычисления преобразований Yk и Zk, для чего потребуется вре мя, пропорциональное величине
2 (N/2)”, и, при меняя затем формулы (21) и (22), найти Ar за N дополнительных операций. Сказанное проиллю стрировано на фиг. 3 с помощью текущего графа сигнала, на котором левые точки изображают ве личины Xk (т. е. Yk и Zk), а правые точки являются точками дискретного преобразования Фурье,
А,. Для простоты на фиг. 3 представлен случай, когда функция Xk состоит из восьми выборок и, кроме того, учтен факт, что
Wn = - W-n-N/2 [согласно (3)].
Однако поскольку аналогичное преобразование можно в свою очередь применить к Yk и Zk и по скольку было показано, что вычисление ДПФ по следовательности из N выборок можно свести к вы числению ДПФ двух последовательностей из N/2 выборок каждая, то вычисление Вk (или Сk) также можно свести к вычислению ДПФ последователь ностей из N/4 выборок каждая. Аналогичные опе рации можно проводить до тех пор, пока каждая функция будет иметь количество выборок, кратное двум. Таким образом, если N~=2", имеется воз можность проведения п таких операций посредст вом последовательного применения формул (15), (21) и (22) сначала для функции, содержащей N точек, затем N/2,... и, наконец, для функции, содержащей две точки. Дискретным преобразова нием фурье-функции, представленной всего лишь одной точкой, является, конечно, сама выборка. Последующее уменьшение порядка дискретного пре образования Фурье, состоящего из восьми точек, начатое на фиг. 3, продолжено на фиг. 4 и 5. На фиг. 5 эта операция полностью сведена к опе рациям комплексного умножения и сложения, т. е. к текущему графу сигнала, содержащего 8х3 кон цевых вершин и 2х8х3 ребер, что соответствует 24 операциям сложения и 48 операциям умножения. Половину операций умножения можно при этом опустить, так как передачи, соответствующие этим ребрам, соответствуют операции умножения на единицу. Таким образом, вообще говоря, для вы числения ДПФ последовательности из N точек, где N – степень числа 2, требуется выполнить N log2 N операций комплексного сложения и самое большое 0,5N log2 N операций комплексного умно жения.
В случае когда N не является степенью числа 2, но имеет простой делитель р. получение уравнений, аналогичных уравнениям с (15) по (22), возможно посредством формирования р различных последо вательностей вида из N/p выборок. Каждая такая последовательность имеет ДПФ , в связи с чем ДПФ последовательности Хk можно вычислить по р более простым ДПФ за pN операций комплексного умножения и сложения, т. е.
m = 0, 1, 2,..., p-1
r = 0, 1, 2,..., (23)
21. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени
Децимация по времени
Значительную экономию вычислительных затрат дают алгоритмы БПФ. Следует отметить, что БПФ - это не какое-то новое преобразование, а лишь эффективный способ проведения ДПФ.
Одним из методов БПФ является прореживание во времени.
Его сущность заключается в том, что исходную последовательность выборок x(k) разбивают на две последовательности: с четными y(k) и нечетными номерами z(k).
Тогда .
Графически это эквивалентно:
Если количество отсчетов, полученных последовательностей не является степенью двойки, то такое прореживание производят до тех пор, пока не останутся двухточечные преобразования Фурье, которые не требуют значительных вычислительных затрат.
23. Опишите эффект наложения спектров.
В результате дискретизации временного сигнала f(t), его спектр периодически повторяется с частотой =2/T, Fg=1/T.
При неправильном выборе частоты дискретизации появляется эффект перекрытия или наложения спектров, приводящий к искажению временного сигнала.
25. Децимация по частоте.
Рассмотрим теперь де цимацию по частоте — вторую и совершенно от личную от рассмотренной выше форму алгоритма БПФ. Эта форма была независимо найдена Джентль меном и Сандэ и Кули и Стокхэмом. Пусть временной ряд Хk имеет ДПФ Аr и пусть этот ряд и его ДПФ имеют по N членов. Как и прежде, раз делим N на две последовательности по N/2 точек каждая. Однако первая последовательность Yk составляется теперь из первых N/2 точек Хk, а вторая, Zk,– из последних N/2 точек Xk, т. е. формально можно записать, что
N точек ДПФ Xk можно теперь записать через Yk и Zk т.е.
Рассмотрим отдельно четно и нечетно пронумеро ванные точки преобразования, которые соответст венно обозначим через Rr и Sr, где
Rr=A2r
0 r N/2 (28)
Sr=A2r+1
Именно в этом и состоит этап, который можно назвать децимацией по частоте. Заметим, что для вычисления спектра четно пронумерованных точек выражение (27) превращается в простое выражение вида
которое представляет собой содержащее М2 точек ДПФ функции Yk+Zk, т. е. суммы первых N/2 и последних N/2 временных выборок. Аналогично для спектра нечетно пронумерованных точек выраже ние (27) принимает вид
и представляет собой содержащее N/2 точек ДПФ функции
(Уk–Zk) exp (–2njk/N).
Из (29) и (30) можно заключить, что ДПФ после довательности Хk из N выборок можно определить следующим образом. Преобразование для нечетно пронумерованных точек можно вычислить как со держащее N/2 точек ДПФ простой комбинации первых N/2 и последних N/2 выборок Хk. Преоб разование четно пронумерованных точек можно вы числить как содержащее другие N/2 точек ДПФ различных простых комбинаций первых и послед них N/2 выборок Хk. Сказанное проиллюстриро вано на фиг. 8 текущим графом сигнала для функ ции, представленной восемью выборками. Величина W, как и прежде, определяется выражением (3).
Как и в случае децимации во времени, ДПФ, показанные на фиг. 8, можно заменить ДПФ функ ций, содержащих по две выборки, причем эти ДПФ являются эквивалентными операциями. Указанные этапы показаны
Ф и г. 8. Текущий граф сигнала для иллюстрации операции сведения концевых точек ДПФ к двум ДПФ из N/2 точек каж дое, используемый в методе децимации по частоте.
Рассмотрение фиг. 10 дает значительную инфор мацию о методе децимации по частоте и позволяет сравнить этот метод с методом децимации во вре мени. Оба метода требуют N/2 log2N операций комплексного сложения, комплексного вычитания и комплексного умножения. В обоих методах вы числения можно выполнить рекуррентно. Если необходимо, чтобы коэффициенты при вычислении ис пользовались в «естественном», а не «двоично-ин версном» порядке, как это сделано на фиг. 5 и 10, метод децимации по частоте будет «работать» и при неперетасованной записи входных временных выборок, однако частотные выборки оказываются при этом перетасованными (двоично-инверсный по рядок записи). Напомним, что граф на фиг. 5 приводил к противоположному результату.
Ф и г. 9. Текущий граф сигнала, иллюстрирующий после дующую операцию уменьшения порядка вычисления ДПФ, предложенного на фиг. 8.
Также имеется возможность для видоизменения графа на фиг. 10 для получения текущего графа сигнала, изображенного на фиг. 11, посредством которого производятся вычисления с перетасованными временными выборками и который позволяет получить частотные выборки, расположенные в естественном порядке,
но вычисленные коэффициен ты при этом будут расположены в двоично-инверс ном порядке. Геометрия этого графа идентична геометрии графа на фиг. 5 (точно так же, как гео метрия графа на фиг. 10 идентична геометрии графа на фиг. 6, однако между этими графами есть неко торое различие в передачах.
Текущий граф сигнала, иллюстрирующий вычис ление ДПФ, когда все вычислительные операции сведены полностью к операциям умножения и сложения.
Несколько усложненное видоизменение графа на фиг. 10 приводит к текущему графу сигнала, показанному на фиг. 12. ^гот граф оперируете не перетасованными выборками и позволяет получить совокупность коэффициентов Фурье, которые уже не будут расположены в двоично-инверсном порядке. Однако вычисление при этом не обладает свойством рекуррентности, и в этом случае необходимо нали чие по крайней мере хотя бы одного дополнитель ного регистра памяти. Этот метод аналогичен методу децимации во времени, показанному на фиг. 7. Графы, изображенные на фиг. 5—7, 10, II и 12, составляют совокупность алгоритмов, которые мож но назвать каноническими формами БПФ. Из этой совокупности можно выбрать форму для построения алгоритма с «рекуррентным» свойством вычисле ния, для построения алгоритма с естественным рас положением входных величин, с естественным рас положением выходных величин либо с естественным расположением коэффициентов Фурье, однако нель зя найти форму для построения алгоритма, обла дающего всеми четырьмя свойствами сразу. Дей ствительно, чтобы обеспечить «рекуррентность» вы числения, необходимо выполнение условия двоич ной инверсии, а чтобы устранить двоичную инвер сию, необходимо отказаться от свойства «рекуррент ности» вычисления. Эти два метода оказываются наиболее эффективными, когда используемые одно родные запоминающие устройства являются устрой ствами, обеспечивающими получение правильной последовательности синусных и косинусных коэф фициентов, необходимых при вычислении. Другие методы, по-видимому, менее удобны, поскольку для них требуются дополнительные (незанятые) реги стры памяти. Тем не менее все шесть методов имеют приблизительно одинаковую ценность, и выбор наилучшего метода будет зависеть от конкретного вида рассматриваемой задачи. Например, метод, представленный на фиг. 10, можно использовать для преобразования функций из временной в ча стотную область, а метод, представленный на фиг. 4, – для обратного преобразования. Любой из описанных выше методов можно применить для вычисления обратного дискретного преобразования Фурье, если коэффициенты преобразования заме нить их комплексно-сопряженными, а результат вычисления помножить на 1/N.
Ф и г. 11. Видоизменение текущего графа на фиг. 10, иллю стрирующее вычисление ДПФ, при котором коэффициенты найденного ДПФ расположены в «естественном» порядке.
Все шесть рассмотренных форм являются в не котором смысле каноническими, однако наряду с ними возможно также применение комбинации методов децимации во времени и децимации по ча стоте, которую можно получить на различных эта пах процесса редукции, что приводит к гибридному текущему графу сигнала.
Фиг. 12. Видоизменение текущего графа на фиг. 10, иллюстрирующее вычисление ДПФ без двоичной инверсии
26. Уравнение дискретного фильтра
В одномерной дискретной системе связь между входным и выходным сигналами задается оператором .Математическая работа линейного дискретного цифрового фильтра описывается линейным разностным уравнением: (5)где - входные отсчеты входного и выходного сигнала фильтра, - натуральные числа, - вещественные или комплексные коэффициенты, не зависящие от .Если хотя бы один коэффициент зависит от n, то уравнение (5) описывает фильтр, называемый параметрическим, т.е. фильтр с переменными коэффициентами.Из (5) следует, что y(nT) в момент времени определяется значениями входного сигнала x(nT), x[(n-1)T]… и т.д., а также M-1 значениями y[(n-1)T], y[(n-2)T]… в прошедшие моменты времени.
27. Импульсная характеристика линейной дискретной системы цифрового фильтра
Импульсная характеристика ЦФ – важнейшая характеристика линейной дискретной системы и является реакцией системы на единичный импульс .
Нетрудно показать, что импульсная характеристика – это Z-преобразование передаточной функции фильтра. Действительно, т.к. и то где -импульсная характеристика (по определению) или Это – первый способ вычисления , т.е. по известной передаточной характеристике выполняя обратное Z-преобразование получаем импульсную характеристику (аналитическое выражение). в общем случае является дробно-рациональной функцией: .Выполняя деление полинома на , получим , т.к. коэффициент при равен временному отсчету в момент времени n, по определению Z-преобразования.Очевидно, что совпадают с . Поэтому можно записать: - это второй способ вычисления . (8)этот способ дает числовой ряд.Третий, простейший способ определения - метод непосредственных вычислений.Например, для фильтра с разностным уравнением ; ;;; ; ;; ; и т.д.В общем случае импульсная характеристика фильтра бесконечна. Таковы обычно импульсные характеристики рекурсивных фильтров – фильтров с бесконечной памятью: один входной сигнал порождает бесконечную последовательность выходных сигналов.В частном случае полиномы и делятся без остатка (например, при ) и тогда: ,Что свидетельствует о конечной импульсной характеристике (КИХ). КИХ имеют нерекурсивные фильтры. Поэтому их называют фильтрами с конечной памятью.С помощью импульсной характеристики можно рассчитать отклик фильтра на любое воздействие во временной области. Действительно, дискретный сигнал имеет вид:
т.е. является суммой сдвинутыхпо заданному сигналу
28. Частотная характеристика дискретной системы (ЦФ)
ЦФ полностью определяется своим разностным уравнением. Это означает, что все выходные отсчеты фильтра можно вычислить по входным отсчетам используя алгоритм, заданный разностным уравнением.Чтобы получить частотную характеристику системы на ее вход следует подать комплексное синусоидальное колебание и исследовать сигнал на выходе. В линейной системе на выходе будут существовать колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой.Учитывая это, найдем выражение для частотной характеристики ЦФ.Пусть на вход подается комплексный синусоидальный сигнал . Учитывая свойство линейности сигнал на выходе может быть только вида , где H(w) -комплексный коэффициент, зависящий только от wПри этом разностное уравнение (5) преобразуется к виду:Преобразовав, получим выражение для частотной характеристики ЦФ: (6)Модуль этого выражения дает амплитудно-частотную характеристику, аргумент - фазочастотную.ЦФ удобно описывать в Z-плоскости. Формально Z-преобразование частотной характеристики (6) можно получить из . Тогда (6) превращается в дробно-линейную функцию вида: (7)Выражение (7) позволяет определить физическую сущность оператора Z-1 как элемента задержки выборки сигнала на время, равное интервалу дискретизации.По виду частотной характеристики (7) ЦФ можно подразделить на два типа: рекурсивные и нерекурсивные.Выходной сигнал рекурсивного фильтра определяется, текущего и предыдущих значений сигналов, еще и предыдущими значениями выходного сигнала. Это эквивалентно введению задержанной обратной связи. Рекурсивному фильтру соответствует характеристика вида (6).Нерекурсивный фильтр имеет все коэффициенты b1… bm =0, т.е. выходные отсчеты нерекурсивного фильтра зависят только от конечного числа предшествующих значений входного сигнала.Выражение (6) для передаточной (частотной) характеристики можно получить строго, используя определение Z-преобразования и свойство сдвига (задержки).Выполняя
Z-преобразование разностного уравнения (5), получим: Как следует из этого определения, Z-изображение выходного сигнала дискретного фильтра определяется с помощью передаточной характеристики H(z).Передаточной функцией H(z) называется отношение Z-образов выходного Y(z) и входного X(z) сигналов фильтра в установившемся режиме.Поэтому, если известны , то можно вычислить любое y(nT) по заданному сигналу x(nT).
29. Аналого-цифровое преобразование. Ошибки преобразования.
АЦП выполняет перевод аналогового сигнала в цифровой.Наряду с источником внешних шумов (электромагнитные поля, шумы и т.д., собств. шумы активных приборов) на работу АЦП оказывают влияние:шумы дискретизации - неправильный выбор шага дискретизации - слишком большой шаг (для ограниченного спектра, т.е. при нарушении теоремы Котельникова) или отсечение части спектра для сигнала с неограниченным спектром (теорема Железнякова). После дискретизации точное восстановление исх. сигнала невозможно, т. к. происходит наложение.ошибка дрожания - нарушение т. Котельникова в результате нестабильности работы аппаратуры. Дрожание - это процесс, вследствие которого выборки производятся в случайные отличные от N=nT моменты, отсюда момент взятия выборок случайный. Т.е. выборки производятся в моменты времени nT+e(t), где e(t) случайная величина (дрожание). Анализ дрожания показывает:а) наибольшему искажению подвергается верхняя часть спектра сигнала;
б) к сигналу добавляется равномерно распределенный белый шум.
Операция выборки должна осуществляться с помощью последовательности дельта импульсов бесконечно малой длительности. В реальных устройствах дельта импульсы получить невозможно и вместо них используются импульсы конечной длительности. Отсюда, реальный спектр дискретизированного сигнала равен произведению спектра идеально дискретизированного сигнала на спектр прямоуг. импульса. Отсюда и ошибка.
30. Секвентные спектры. Преобразование Уолша.
Рассмотрим функцию , заданную своими отсчетами. Тогда можно определить спектр Уолша функции . Коэффициенты Уолша указывают с какими весами входят функции Уолша wal в качестве составляющих в данную функцию.
Это выражение описывает дискретное преобразование Уолша-Фурье. По форме оно напоминает ДПФ, однако поскольку , то для его вычисления не требуется операций умножения.
Вычисление ДПУ требует операций сложения. Однако, существует быстрый алгоритм ДПУ, который позволяет вычислить ДПУ только за операций сложения. Процедура вычисления БПУ показана в таблице.
|
О ф-я |
шаг 1 знаки по ф-ии |
шаг 2 |
шаг 3 |
|
A |
A+B=A' |
A'+B'=A" |
A"+B"=a(0) |
|
B |
C+D=B' |
C'+D'=B" |
A"-B"=a(1) |
|
C |
E+F=C' |
A'-B'=C" |
C"-D"=a(2) |
|
D |
G+H=D' |
C'-D'=D" |
C"+D"=a(3) |
Спектр Уолша называется последовательным или S-спектром (секвентный).
В качестве примера даны S-спектры периодической последовательности пилообразных и прямоугольных импульсов.
S спектр и частотный спектр (Фурье) имеют общие свойства:
1.S спектр периодической функции дискретный
2. S спектр для непериодической функции сплошной
3. сжатие фун во времени приводит к растяжению S спектра
Различия: если функция времени ограничена во времени, то ее частотный спектр имеет бесконечную протяженность. Для S спектра это не всегда соблюдается.
31. Различные базисы для представления спектра сигналов.
Наибольший практический интерес для систем ЦОС имеют систмеы Хаара, Радемахера и Уолша.
Система Хаара состоит из кусочно-постоянных функций.
Функции Радемахера имеют форму меандра.
где
Наибольшее применение находят функции Уолша
Название функций Уолша sal и cal (wal) появилось из-за их схожести с функциями sin и cos. Математически функции Уолша определяются следующим образом:
bk-1bk-2...b0 — запись числа i в коде Грея, тогда
например:
|
i |
Код Грея |
Выражение для |
|
b3b2b1b0 |
||
|
0 |
0000 |
|
|
1 |
0001 |
|
|
2 |
0011 |
|
|
3 |
0010 |
|
|
4 |
0110 |
и т.д., где — функция Радемахера
Приведенная таблица позволяет разработать устройство формирования функций Уолша. Действительно, функции Радемахера описывают выхода триггеров двоичного счетчика. Поэтому перемножая эти выходы в соответствии с таблицей будем иметь систему функций Уолша.
32. Алгоритмы БПФ Кули-Тьюки, простых множителей, Винограда.
Наряду с алгоритмами БПФ с децимацией по времени и частоте известны также и другие не менее эффективные алгоритмы вычисления ДПФ.
В основе всех известных алгоритмов БПФ лежит принцип разбиения исходного ДПФ на совокупность ДПФ меньшего размера N. Эти алгоритмы различаются только способом вычисления малоточечных ДПФ и последующего объединения частичных результатов. При этом появляется возможность вычисления БПФ для N, отличных от 2R.
В последующих алгоритмах предполагается, что , однако рассматриваемые алгоритмы обобщаются и для , где - целые, положительные числа.
По определению ДПФ:
Обобщенный алгоритм Кули-Тьюки
Подставляя в ДПФ
(1)
(2)
Подставляя (1) и (2) в выражение для ДПФ с учетом того, что после перегруппировки слагаемых можно записать:
(3)
Откуда следует, что ДПФ - точечное последовательности можно вычислить с помощью ДПФ размером отсчетов и ДПФ размером отсчетов. Наряду с вычислением ДПФ в алгоритме требуется также:
- перестановка исходных данных в соответствие с (2)
- домножение на поворотные множители
- перестановка результатов в соответствии с (1)
Например, рассмотрим случай
Пусть:
и тогда:
.
Изображая алгоритм обработки в виде графа, получим:
Наибольшее распространение получили алгоритмы Кули-Тьюки с основаниями , а также с , более эффективные, чем БПФ с децимацией.
Алгоритм простых множителей
В случае, когда и взаимно простые множители, в разложении Кули-Тьюки (3) можно избавиться от поворотных множителей . Это обеспечивается специальными перестановками данных на входе и выходе ДПФ.
При этом сокращается число операций, необходимых для выполнения ДПФ. Этот алгоритм иногда называют алгоритмом Гуда или Гуда-Винограда, если для вычисления элементарных ДПФ с или отсчетами используются алгоритмы Винограда.
Алгоритмы Винограда
Для случая взаимнопростых множителей дальнейшей экономии вычислений можно достичь, если ступенчатый характер объединения частичных малоточечных ДПФ заменить вложенным. Алгоритмы Винограда известны только для конечного ряда N=2,3,4,5,7,8,9,16.
Алгоритмы Винограда при равном числе операций сложения требуют почти в 5 раз меньше операций умножения.
Например, алгоритм Винограда для N=2 имеет вид:
} требует 4 операции умножения и 2 операции сложения.
Или в матричной форме записи:
Этот же результат можно получить с помощью:
} что требует только 2 операции и 2 операции умножения.
Для N=3 алгоритм Винограда требует только 3 операции умножения вместо 9 при прямых вычислениях.
Еще более эффективными алгоритмами БПФ являются алгоритмы на базе теоретико-числовых и полиноминальных преобразований.
35. Интерполяция цифровых сигналов
Процесс преобразования цифрового сигнала от более низкой частоты дискретизации к более высокой называется интерполяцией сигнала.
Тд’- интерполированный сигнал
В частотной области процесс интерполяции характеризуется следующими преобразованиями спектров.
Пусть модуль спектра аналогового сигнала с частотой Fд будет иметь вид:
Тогда спектр цифрового сигнала с частотой F будет иметь вид:
а).
Спектр интерполированного сигнала с Fд’=2Fд должен иметь вид:
б).
Процесс интерполяции частотной области заключается в фильтрации лишних спектральных составляющих. Итак, процесс интерполяции эквивалентен преобразованию спектра от вида а) к виду б), что можно выполнить с помощью ЦФ.
Интерполятор цифрового сигнала
Рассматривая преобразование спектра в процессе интерполяции, можно получить структурную схему интерполятора.
где экспандер [L] служит для увеличения частоты дискретизации в L раз, а ЦФ с передаточной характеристикой H(z) - для подавления “лишних” спектральных составляющих.
ЦФ с представленной АЧХ относится к идеальным системам интерполяции. В реальных системах с АЧХ реального ФНЧ переходная полоса частот и пульсаций АЧХ в полосе задержания и пропускания приводят к искажениям интерполированного сигнала.
Интерполятор нулевого порядка:
Простейший ФНЧ описывается уравнением: n=L, L+1…. =0,1,2,... т.е. отсчет x(T) повторяется L раз.
АЧХ такого фильтра
Через боковые лепестки АЧХ реального фильтра лишние частотные составляющие будут просачиваться в выходной сигнал.
Интерполятор 1-го порядка
Идея этого интерполирующего ЦФ заключается в использовании пары отсчетов исходного сигнала
используя уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки [] и [] можно записать уравнение прямой
по форме это уравнение является нерекурсивным фильтром, поэтому в общем виде
Отсюда
т.е. интерполятор 1 порядка соответствует последовательному соединению интерполяторов 0-го порядка. При этом уровень боковых лепестков уменьшается, что ведет к повышению точности интерполяции.
Интерполяторы выше 2-го порядка не применяются из-за сложности. Более эффективны оптимальные интерполяционные ЦФ, синтезируемые по заданным требованиям к АЧХ.
36. Экспандер частоты дискретизации
Для выполнения интерполяции с помощью ЦФ необходимо увеличить частоту дискретизации в заданное число раз. Эту задачу решают с помощью экспандеров.
Математически их работа описывается выражением:
где L - число раз, в которое увеличивается частота дискретизации.
т.е. экспандер добавляет L-1 нулей между отсчетами входного сигнала.
Cпектры сигналов X(nT) и X*(nT) совпадают.
37. Децимация сигнала
Системы уменьшения частоты дискретизации (децимации) сигнала относятся к классу нисходящих дискретных систем.
Пусть требуется уменьшить частоту дискретизации сигнала. Рассмотрим процесс в спектральной области.
Модуль спектра исходного аналогового сигнала:
Модуль спектра дискретного сигнала с частотой дискретизации Fg.
Модуль дискретного сигнала с частотой дискретизации Fg’<Fg
Модуль спектра дискретного сигнала с частотой дискретизации Fg’’<Fg’<Fg
т.е. при значительном уменьшении частоты дискретизации может произойти наложение спектров, что ведет к искажению сигналов и невозможности точного восстановления аналогового сигнала.
Поэтому общая схема децимации цифрового сигнала имеет вид:
где H(z) - ЦФНЧ, ограничивающий спектр сигнала верхней частотой fв<=Fg, где Fg - новая частота дискретизации. Компрессор частоты дискретизации выбирает из входной последовательности каждый М-ый отсчет.
В качестве ЦФНЧ могут также применяться фильтры 0 и 1 порядков, либо оптимальный фильтр, синтезированный по требованиям АЧХ ЦФ.
38. Компрессор частоты дискретизации (КЧД)
Уменьшение частоты дискретизации входного сигнала в m раз (m - целое), представляет собой ключ, замыкающий в моменты времени t=nmT+kT k=0,1..m-1; n=0,1,2..., т.е. из входного дискретного сигнала (описываемого решетчатой функцией) x(nT) берется только каждый m-й отсчет, что позволяет получить выходной дискретный сигнал (описываемый решетчатой функцией) =0,1,2… c периодом повторения T’=mT.
Операция, выполняемая КЧД называется прореживанием, а последовательность на выходе КЧД-прореженной.
-2w1 -w1
w1 2w1
w1|S(w)|/2
p=1/f0
p
X0(t)