Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси
Абзалимов Р.Р.
В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал заменяется на , после чего задача решается на конечном отрезке. Точность приближенных собственных чисел будет зависеть от выбора граничного условия в точке R.
I. Регулярная задача
Рассмотрим следующую краевую задачу:
, (1.1)
, (1.2)
. (1.3)
Здесь предполагается, что q(x) кусочно-непрерывна на [a, b]. Наряду с данной задачей рассмотрим дифференциальные операторы вида:
, (1.4)
с граничными условиями
, (1.5)
, (1.6)
где
. (1.7)
Под собственными функциями краевой задачи (1.4)-(1.6) будем понимать функцию y(x), удовлетворяющую следующим условиям (см. [1]):
;
;
удовлетворяет граничным условиям (1.5) и (1.6);
удовлетворяет так называемым условиям сопряжения
(1.8)
В каждом интервале решения уравнения (1.4) имеют вид:
. (1.9)
Из условий сопряжения (1.8) и (1.9) имеем:
, (1.10)
где , выписываются явно (i=1,2; j=1,2; k=1..N). Таким образом, получаем:
(1.11)
Из первого краевого условия получаем зависимость от , затем, подставляя во второе краевое условие (1.6), получаем уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6):
, (1.12)
где выписывается явно.
Пусть - собственные значения и - соответствующие им собственные функции задачи (1.4)-(1.6), где через h обозначено
,
и пусть - собственные значения задачи (1)-(3) и соответствующие им собственные функции. Введем обозначение:
. (1.13)
Заметим прежде, что при .
Тогда имеет место следующая
ТЕОРЕМА 1.1 Справедливы равенства
, (1.14)
. (1.15)
Доказательство. Вначале докажем равенство (1.15). Для этого рассмотрим уравнение (1.1) на интервале . Представим ее в виде
, (1.16)
где вычисляется по формуле (1.7). Для уравнения (1.16) получаем интегральные уравнения:
,
.
Применяя метод последовательных приближений, получаем:
, (1.17)
где - решения уравнения (1.4).
Следовательно, для всего промежутка [0,p] справедливо равенство (1.15).
Из (1.15) нетрудно установить неравенство:
, (1.18)
где при .
Тогда имеет место следующее равенство:
(1.19)
при , где - оператор Штурма-Лиувилля задачи (1.1)-(1.3), а - оператор задачи (1.4)-(1.6). Из (1.18) и (1.19) нетрудно показать справедливость оценки (1.14). Теорема доказана.
Следствие 1.1 ,
.
Следствие 1.2 , где - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.4)-(1.6), - характеристическое уравнение для собственных значений задачи (1.1)-(1.3).
Следствие 1.3 и совпадают со всеми корнями уравнения .
Следствие 1.4 образуют полную систему собственных функций.
II. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
, (2.1)
, (2.2)
где монотонно, т.е. уравнение (2.1) имеет не более одной точки поворота. Таким образом, для любого . В случае, когда , спектральная задача имеет дискретный спектр. Из представленного метода решения регулярной задачи следует, что ; таким образом, для каждого задачи на полуоси ставится в соответствие своя регулярная задача на конечном отрезке . Если бы мы знали все значения собственных функций , соответствующие собственным числам задачи на полуоси, в точке , то, решая задачи на конечном промежутке с дополнительным граничным условием , мы могли бы вычислить все собственные числа задачи на достаточно точно. Исходя из сказанного, можно утверждать, что погрешность определения собственных чисел тем меньше, чем точнее выбор второго краевого условия. В связи с этим рассмотрим два краевых условия (условие Дирихле) и (условие Неймана). Пусть - собственные числа задач на конечном промежутке с дополнительными условиями Дирихле и Неймана соответственно. С помощью метода решения регулярной задачи доказываются следующие утверждения:
ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси
, (2.3)
где 2 .
Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.
ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:
. (2.4)
Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.
Замечание В случае полуограниченного оператора (), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.
Следствие 2.1 , где - длина промежутка .
Пример
.
Известно, что , где вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:
.
III. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
, (2.1)
. (2.2)
Имеет место следующая (см. [3])
ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция удовлетворяет следующим условиям
;
, при ;
сохраняет знак для больших ;
, где , при ;
.
Тогда спектр оператора - чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на и .
Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал заменяется на , где - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая
ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если - собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке с дополнительным краевым условием , то справедливо равенство для всех .
Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).
Замечание 2 Для расчета собственных чисел задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на , где - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями и .
IV. Сингулярная задача. Случай .
Будем рассматривать задачу
, (3.1)
(3.2)
с дополнительными условиями:
;
голоморфна в точке , причем ;
при монотонно, и , где ;
при , .
Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность с единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале в точности нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.
Пример
.
Известно (см. [3]), что - собственные числа.
Введем обозначения: - приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что
,
где вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение
.
|
n |
Промежуток |
|||||
|
1 |
0.2500 |
0.25000… |
0.247… |
(1.16,6.82) |
||
|
2 |
0.1111 |
0.11107… |
0.111… |
(1.06,16.9) |
||
|
3 |
0.0625 |
0.06249… |
0.063… |
(1.03,30.9) |
||
|
4 |
0.0400 |
0.39995… |
0.041… |
(1.02,48.9) |
||
|
5 |
0.0277 |
0.0277715 |
0.028… |
(1.01,70.9) |
Список литературы
Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.
Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4
Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.
Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.
Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.bashedu.ru
2 Вопрос о том, как находить значения для расчета собственных чисел, остается нерешенным