Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа №10
Уравнение регрессии первого порядка
Цель работы: решение задач агропромышленного комплекса в области животноводства,растениеводства,переработкисельхозпродукции, проектирования и производства машин и механизмов связано с построением математических моделей, позволяющих делать прогнозы, управлять процессами, осуществлять оптимизацию.
Теоретическая часть
Для упрощения процедура расчетов коэффициентов уравнения регрессии вводится операция нормирования факторов, которая позволяет избежать отрицательных моментов, связанных с различ ной размерностью и масштабом факторов. Переход от натуральных значений фактора x1j к нормированным X1j осуществляется по фор мулам:
(1)
(2)
(3)
Уравнения (1)-(3) нормируют значения фактора X1j на единич ный отрезок X1j =[ -1, +1], в то время как диапазон изменения физи ческих значений фактора x1j=[] Натуральные значения фактора x1 имеют некоторую размерность, а нормированные значе ния фактора X1 безразмерны. Переход от натуральных значений фактора x1j к нормированным X1j и обратно проиллюстрирован на примере сушильного агрегата (таблица 1).
Практика научных исследований показала, что при отсутствии априорной информации об изучаемом объекте исследование це лесообразно начинать с построения уравнения регрессии первого порядка:
(4)
В уравнение (4) для единообразия обработки и записи экспери ментальных данных введен фиктивный фактор , связанный с ко эффициентом . Все значения фиктивного фактора
Таблица 1. Переход от натуральных значений фактора x1 к нормированным
|
Характеристики фактора |
Натуральные значения фактора x1j |
Нормированные значения фактора X1j |
|
Основной уровень |
65 °С |
0 |
|
Интервал варьирования |
25 °С |
1 |
|
Верхний уровень |
40 °С |
+ 1 |
|
Нижний уровень |
90 °С |
-1 |
|
Формулы перехода |
; |
Прямую, которая является геометрическим образом уравне ния (4), можно было бы провести через «облако» эксперименталь ных данных «на глаз» (рисунок 1).
Рисунок 1. Геометрический образ метода наименьших квадратов
Очевидно, что построение прямой таким способом неоднозначно, весьма приближенно и не имеет математического обоснования. Для строгого и однозначного построения искомого уравнения прямой (4) по экспериментальным данным, однозначно задаваемого коэффициентами b0 и, b1 используют метод Лагранжа - метод наименьших квадратов (МНК), основанный на поиске минимума остаточной суммы квадратов φ между значениями параметров, рассчитанными по уравнению регрессии , и экспериментальными данными Yj (рисунок 1):
(5)
Системы уравнений (5) достаточно для нахождения неизвестных коэффициентов уравнения регрессии первого порядка b0 и b1 (два уравнения с двумя неизвестными).
Аналогичным способом молено получить систему уравнений для нахождения коэффициентов уравнения регрессии любого порядка. Например, для нахождения коэффициентов уравнения регрессии четвертого порядка (5 коэффициентов) МНК составляется система из 5-ти уравнений с 5-ю неизвестными. Решение таких систем, ко торые, как правило, близки к вырожденным, представляет некото рые трудности (необходимо производить достаточно громоздкие расчеты с высокой точностью). Кроме того, если по какой-то при чине потребуется исключить тот или иной коэффициент, то нахождение оставшихся коэффициентов потребует повторного решения системы уравнений, хотя и на одно уравнение меньше.
Однако, для того чтобы система уравнений (5) имела бы диагональный вид необходимо выполнения условия:
(6)
Для выполнения уравнения (6) можно построить большое количество планов. В таблице 8 приведено 4 плана, построенные для изучения производительности сушильного агрегата в зависимости от температуры сушильного агента (воздуха).
Таблица 2. Примеры планов однофакторного эксперимента
|
N |
1-й план |
2-й план |
3-й план |
4-й план |
|||||||||
|
x1j |
x1j |
x1j |
x1j |
||||||||||
|
1 |
1 |
40 |
-1 |
-1 |
40 |
-1 |
-1 |
40 |
-1 |
-1 |
40 |
-1 |
-1 |
|
2 |
1 |
60 |
-0.2 |
-0.2 |
42.5 |
-0.9 |
-0.8 |
45 |
-0.8 |
-0.8 |
50 |
-4).6 |
-0.6 |
|
3 |
1 |
65 |
0 |
0 |
65 |
0 |
0 |
50 |
-0.6 |
-0.6 |
60 |
-0.2 |
-0.2 |
|
4 |
1 |
80 |
0.6 |
0.6 |
72.5 |
0.3 |
0.2 |
80 |
0.6 |
0.6 |
70 |
0.2 |
0.2 |
|
5 |
1 |
85 |
0.8 |
0.8 |
80 |
0.6 |
0.6 |
85 |
0.8 |
0.8 |
80 |
0.6 |
0.6 |
|
6 |
1 |
90 |
1 |
1 |
90 |
1 |
1 |
90 |
1 |
1 |
90 |
1 |
1 |
|
6 |
- |
1.2 |
1.2 |
- |
0 |
0 |
- |
0 |
0 |
- |
0 |
0 |
|
|
6 |
- |
3.04 |
- |
- |
3.26 |
- |
4.00 |
- |
- |
2.80 |
- |
Из приведенных примеров можно сделать вывод, что планов, для которых выполняется условие (6), можно построить большое количество. Отметим, что планов аналогичных 2-му и 3-му молено составить бесконечное множество, а 4-й план равномерный и симметрич ный (РСП) - единственный.
Уравнения для РСП принимают следующий вид:
(7)
Поскольку для оценки коэффициентов регрессии используется конечное число опытов N и дублей п, необходимо произвести статистическую оценку полученных коэффициентов уравнения регрессии на значимость, а найденное уравнение регрессии - на адекватность.
Проверка коэффициентов уравнения регрессии на значимость по критерию Стьюдента. После подтверждения однородности дисперсии всех опытов рассчитывается средняя дисперсия, называемая дисперсией воспроизводимости:
(8)
Доверительные интервалы для каждого коэффициента регрессии рассчитывают по следующей формуле:
(9)
где - критическое значение критерия Стьюдента.
Если выполняется неравенство < , то коэффициенты регрессии статистически значимы. Если >, то коэффициенты регрессии статистически незначимы. Незначимые коэффициенты следует исключить из уравнения регрессии.
Проверка уравнения регрессии на адекватность по критерию Фишера. Идея проверки уравнения регрессии на адекватность заключается в сравнении двух дисперсий: дисперсии адекватности S2ад (мера рассеяния выборочных средних в каждом опыте относительно расчетных значений параметра и дисперсии воспроизводимости. Однородность двух выбороч-ных дисперсий S2ад и S2воспр определяется менее жестким критерием в силу относительно небольшого размера выборок, по которым они рас считываются, и определяется по критерию Фишера.
Прежде чем пояснить процедуру проверки уравнений регрессии на адекватность, приведем алгоритм расчета выборочной дисперсии адекватности.
1. По уравнению регрессии первого порядка рассчитывают значения параметра в каждом опыте
2. В каждом опыте рассчитывают квадрат разности между средним значением и расчетным .
3. Рассчитывают остаточную сумму квадратов:
(10)
4. Выборочная дисперсия адекватности определяется по формуле
; f=N-B (11)
где В - число значимых коэффициентов уравнения регрессии.
Дисперсия адекватности , рассчитанная по формуле (11), является мерой рассеяния выборочных средних параметра в каждом опыте относительно расчетных значений .
Изм.
Лист
№ докум.
Подп.
Дата
ист
1
Лабораторная работа №10
Разраб.
Пешевич В.В.
Пров.
Попов В.Б.
Уравнение регрессии первого порядка
Лит.
Листов
8
ГГТУ гр.С-31
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
2
Лабораторная работа №10
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
3
Лабораторная работа №10
Изм.
Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
4
Лабораторная работа №10
Лабораторная работа №10
4
Лист
Дата
Подпись
№ докум.
Лист
Изм.