У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Лабораторная работа 1 по курсу Методы вычислений Математический факультет 5 семестр

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.6.2025

Лабораторная работа №1

по курсу   Методы вычислений

Математический факультет, 5 семестр

Тема

«Численное решение краевой задачи для обыкновенного  дифференциального уравнения второго порядка.»

Ф.И.О.

Анисимов Даниил Сергеевич

Группа

481б

Вариант

2

Дата сдачи

Пусть на отрезке [a,b] требуется найти решение дифференциального уравнения

y+p(x)y+q(x)y=f(x),       (1)

удовлетворяющее краевым условиям

d1y(a)+d2y(a)=d, e1y(b)+e2y(b)=e, d1+d20, e1+e20.  (2)

На отрезке [a,b] построим равномерную сетку xk=a+kh, k=0,1,...,N, где h=(b-a)/N шаг сетки. Задачу (1)-(2) аппроксимируем следующей конечноразностной задачей

(yk+1-2yk+yk-1)/h2+pk(yk+1-yk-1)/(2h)+qkyk= fk, k=1,2,...,N-1

d1y0+d2(y1-y0)/h=d, e1yN+e2(yN-yN-1)/h=e,    (3)

здесь использованы общепринятые обозначения : Q(xk)=Qk.

Систему (3) запишем в виде

akyk-1-bkyk+ckyk-1=Fk, k=1,2,...,N-1,     (4)

y0=r1y1+s1, yN=r2yN-1+s2,      (5)

где

аk=1-hpk/2, bk=2-h2qk,  ck=1+hpk/2,  Fk=h2fk,

r1=d2/(d2-hd1), s1=-hd/(d2-hd1), r2=e2/(e2+he1),  s2=he/(e2+he1).

Систему (4)-(5) можно решить методом прогонки при выполнении следующих условий на её коэффициенты: bkak+ck, k=1,2,...,N-1, r1  1, r2  1. Причем, хотя бы одно из этих неравенств должно быть строгим.

Метод прогонки для решения системы.

Решение этой системы будем искать в виде

yk-1=kyk+ k        (6)

Из первого равенства (5) находим, что

1=r1 ,  1=s1,        (7)

а из системы (4) и соотношений (6) получаем рекуррентные формулы

k+1=ck/(bk-kak),   k+1=(kak-Fk)/(bk-kak).    (8)

Формулы (8) и равенства (7) позволяют определить k, k, k=1,2,...,N. Из второго равенства (5) и равенства (6) при k=N находим, что

yN=(Nr2+s2)/(1-Nr2).       (9)

Равенства (9) и (6) позволяют определить искомые  yk,   k=N,N-1,...,0.

Задание вариант №2.

Номер

варианта

a

b

p(x)

q(x)

f(x)

d1

d2

d

e1

e2

e

y(x)

2.

0

1

4x/(x2+1)

-1/(x2+1)

-3/(x2+1)2

0

1

0

1

0

0,5

1/(x2+1)


Решение задания №2

  1.  Текст программы:

Eps= 0.005

a0=0; b0=1; d1= 0; d2 =1; d=0; e1=1; e2=0; e=0.5;

E=100; N=2;

while E > Eps

 N=N+1;

 h=(b0-a0)/N;

 x=0; p =0; q=0; f=0; a=0; b=0; c=0; F=0;

 for k = 1:N+1

   x(k) = a0 + (k-1)*h;

   p(k) = 4*x(k)/((x(k))^2+1);

   q(k) = -1/((x(k))^2+1);

   f(k) = -3/((x(k))^2+1)^2;

 end

 for k= 2:N

   a(k) = 1 - h*p(k)/2;    b(k) = 2-(h^2)*q(k);

   c(k) = 1+h*p(k)/2;      F(k) = h^2*f(k);

 end

 r1=d2/(d2-h*d1);    s1=-h*d/(d2-h*d1);

 r2=e2/(e2+h*e1);    s2=h*e/(e2+h*e1);

 alfa=0; beta=0;

 alfa(2)=r1;   beta(2)=s1;

 for k=2:N

   alfa(k+1)=c(k)/(b(k)-alfa(k)*a(k));

   beta(k+1)=(beta(k)*a(k)-F(k))/(b(k)-alfa(k)*a(k));

 end

 y=0;

 y(N+1)=(beta(N+1)*r2+s2)/(1-alfa(N+1)*r2);

 for m=1:N

   k = (N+1)-m;   

   y(k)=alfa(k+1)*y(k+1)+beta(k+1);  

 end

 Y=0;

 Y=1./(1+x.^2);

 E=0;

 E=max(abs(y-Y));

End

N

plot(x,y,'-r',x,Y,'b');

  1.  

  1.  Решение для Eps = 0.005

k

X

Y приближенное решение

Y точное решение

1

0

0.99504324714222

1.00000000000000

2

0.00892857142857

0.99504324714222

0.99992028696692

3

0.01785714285714

0.99488347049332

0.99968122409946

------

------

-------

-------

111

0.98214285714286

0.50897708497071

0.50900827787697

112

0.99107142857143

0.50446875706456

0.50448421475970

113

1.00000000000000

0.50000000000000

0.50000000000000

  1.  График при Eps =0.005

  1.  
    Решение для
    Eps = 0.01

Число точек N= 56




1. контрольна робота І рівень Розвиток термінологічної лексики в національних мовах відбувається під вп
2. Исследование и совершенствование хозяйственной деятельности ООО
3. Учебное пособие- Геометрична оптика та квантова фізика
4.  1Способи визначення експлуатаційного парку поїзних локомотивів
5. Операционная система
6. Subjectivity There re lot of historicl events which we hve doubts bout becuse we still hven~t got trustworthy testimony to the fcts written bout it in the books nd other sourses
7. Положение о порядке подготовки и проверки знаний персонала для взрывных работ
8. ТЕМА 10 Место России в современном мировом хозяйстве Лекция 1
9. Творческие работы учеников 8, 10 классов
10. Не случайно вопрос об отношении сознания к бытию мышления к материи многие философы считали основным вопро