Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 5
Законы надежности
План лекции
5.1 Экспоненциальный закон распределения
Если вероятность попадания случайной величины на заданный участок имеет вид
, (5.1)
то говорят она подчиняется экспоненциальному закону. Функция плотности экспоненциального распределения значений случайной величины .
, (5.2)
где - параметр распределения.
Интегральная функция экспоненциального закона
(5.3)
Так как интенсивность отказа определяется
. (5.4)
Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия до момента , при условии к моменту элемент не отказал и подчиняющая показательному закону.
В математической форме условие задачи пишется так:
,
это есть решение рассмотренной задачи, поясняющее, что вероятность безотказной работы изделия в течение времени не зависит от того сколько времени до этого оно проработало.
У экспоненциального распределения математическое ожидание случайной величины совпадает со среднеквадратическим отклонением и является величиной, обратной параметру :
. (5.5)
Коэффициент вариации этого закона
. (5.6)
5.2 Закон Вейбулла
Закон Вейбулла является наиболее распространенным законом при оценке надежности технических систем и назван по имени шведского математика, разработавшего и применившего для исследования сопротивляемости материалов.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется
, (5.7)
где и с – параметры распределения, которые должны удовлетворять условиям , , .
Параметр является характеристикой масштаба, в – характеристикой формы, с – характеристикой сдвига.
Другие показатели этого распределения соответственно определяется:
. (5.8)
. (5.9)
. (5.10)
Предположим параметр в = 1. Тогда трехпараметрическое распределение Вейбулла (см. ур. 5.7) легко переходит экспоненциальное распределение со сдвигом с, т.е.
. (5.11)
При значении в = 2 Вейбуллово распределение переходит в закон распределения Релея. Для исследования надежности транспортной техники значение в = 0,7…2.
Обозначив математическое ожидание случайной величины через , а ее среднее квадратичное отклонение через , напишем их формулы:
, (5.12)
. (5.13)
Значения и могут быть определены как:
, (5.14)
, (5.15)
где - гамма-функция:
. (5.16)
Теперь рассмотрим случай отсутствия сдвига Вейбуллового распределения, с = 0.
, (5.17)
. (5.18)
Далее предположим в = 1, в этом случае вновь мы возвращаемся к экспоненциальному распределению без сдвига
, (5.19)
, (5.20)
Случай экспоненциального распределения без сдвига. В этом случае с = 0, в = 1
(5.21)
Коэффициент вариации случайной величины находится для закона Вейбулла по уравнению
, (5.22)
где
. (5.23)
PAGE 2