Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 11
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется неравенством . Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ. Получим график функции . Затем переместим график вправо по оси ОХ на две единицы и повернем отрицательные части графика вверх зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график данной функции.
Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
3. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на 0,5 единицы влево. Получим график функции . Затем отобразим весь график вверх зеркально по отношению к оси ОХ и «поднимем» его по оси ОУ вверх на одну единицу. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
4. Построить график функции: .
Исключим параметр t: . Складывая равенства, получим: . Это уравнение эллипса с большой полуосью 5 и малой полуосью 3: . Ответ: График функции представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или или . В этом интервале функция возрастает от 0 до 1 (при ), затем убывает от 1 до 0. Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение окружности , радиус которой равен 1/2, а центр находится в точке Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии: , где a1 – первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии. Тогда числитель равен , а знаменатель - . Следовательно,
. Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
.
Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение, получим: . Разложим знаменатель как разность кубов: .
Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену:
. Тогда
.
Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Предел в квадратных скобках равен числу e. Рассмотрим предел в показателе степени: . Следовательно, .
Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Преобразуем предел: . Но ex-1~x и sin(x/2)~x/2. Поэтому . Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения – все действительные числа, кроме x=2. В точке x=2 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке x=2 имеют место устранимый разрыв. Полагая , можно считать функцию непрерывной на всей числовой оси. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке x=2 функция имеет устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=−1 функция непрерывна, а в точке x=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=1 равна -1.
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае . Но arctg(t) ~t, при t→0 . Поэтому
. Ответ: Производная не существует.
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y:
. Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
. Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и :
.Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Можно перейти к полярной системе координат: действительно, - полярный угол. Тогда полярный радиус точки равен: . Получили уравнение гиперболы в полярных координатах: или . Можно перейти к декартовым координатам:
.
Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): . Или . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: , , .
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени:
. Следовательно, .
Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞∙0):
. Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:
. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (1, 2) является точкой минимума функции.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
По формуле Тейлора . Подставим это в предел: .
Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: , . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.
4. . Найдём наклонные асимптоты: . Следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . В точке производная не существует. При производная , следовательно, функция возрастает, при производная - функция убывает, при производная , следовательно, функция возрастает. Точка является точкой максимума функции, причём . Точка является точкой минимума функции, причём .
6. . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - тоже интервал выпуклости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости. Точка перегиба - . 7. График функции пересекает ось координат ОХ в точке , а ось координат ОУ – в точке . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - максимум, экстремум в точке - минимум. Точка перегиба - .
2
1
0
1
2
1
2
4